मान लीजिए $E$ अंग्रेजी वर्णमाला के अक्षरों के समुच्चय को दर्शाता है,$V = \{a, e, i, o, u\}$ और $C$,$E$ में $V$ का पूरक है। तब,चार अक्षरों वाले शब्दों की संख्या (जहाँ अक्षरों की पुनरावृत्ति की अनुमति है) जिनमें कम से कम एक अक्षर $V$ से और कम से कम एक अक्षर $C$ से हो,है

दो पासे फेंके जाते हैं। घटनाएँ $A$,$B$ और $C$ इस प्रकार हैं:
$A$: पहले पासे पर सम संख्या प्राप्त करना।
$B$: पहले पासे पर विषम संख्या प्राप्त करना।
$C$: पासों पर संख्याओं का योग $\leq 5$ प्राप्त करना।
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य है या असत्य और कारण दीजिए:
कथन: $A$ और $C$ परस्पर अपवर्जी (mutually exclusive) हैं।

छात्रों के एक समूह में,$100$ छात्र हिंदी जानते हैं,$50$ अंग्रेजी जानते हैं और $25$ दोनों जानते हैं। प्रत्येक छात्र या तो हिंदी या अंग्रेजी जानता है। समूह में कुल कितने छात्र हैं?

मान लीजिए $X$ एक $5$ तत्वों का समुच्चय है। $X$ के उपसमुच्चयों के क्रमित युग्मों $(A, B)$ की संख्या $d$ इस प्रकार है कि $A \neq \phi, B \neq \phi, A \cap B \neq \phi$,तो $d$ संतुष्ट करता है:

समुच्चय $\{\alpha \in \{1, 2, \ldots, 100\} : \operatorname{HCF}(\alpha, 24) = 1\}$ के सभी तत्वों का योग क्या है?

यदि $A$ और $B$ एक यादृच्छिक प्रयोग की ऐसी घटनाएँ हैं कि $P(A \cup B) = \frac{3}{4}$,$P(A \cap B) = \frac{1}{4}$,और $P(\bar{A}) = \frac{2}{3}$,तो $P(\bar{A} \cap B)$ ज्ञात कीजिए।