मान लें कि $f:[0,1] \rightarrow[0,1]$ एक सतत फलन इस प्रकार है कि

$x^2+(f(x))^2 \leq 1$ सभी $x \in[0,1]$ के लिए एवं $\int \limits_0^1 f(x) d x=\frac{\pi}{4}$ तब $\int \limits_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} d x$ निम्न के बराबर है।

यदि फलन $f(x) = P{e^{2x}} + Q{e^x} + Rx$ निम्न प्रतिबन्धों को सन्तुष्ट करता है: $f(0) = - 1,$ $f'(\log 2) = 31$ तथा $\int_0^{\log 4} {(f(x) - Rx)\,dx = \frac{{39}}{2}} $ तो $P, Q, R$ के मान हैं

माना $f:[0,2] \rightarrow R$,

$f(x)= \begin{cases}e^{\min \left\{x^2, x-[x]\right\}}, & x \in[0,1) \\ e^{\left[x-\log _e x\right]}, & x \in[1,2]\end{cases}$

द्वारा परिभाषित है, जहाँ $[\mathrm{t}]$ का महत्तम पूर्णांक $\leq \mathrm{t}$ है। तो समाकलन $\int_0^2 \mathrm{xf}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}$ का मान है -

$x \in R$ के लिए, मान लें कि $f(x)=|\sin x|$ एवं $g(x)=\int_0^x f(t) d t$ है। मान लें कि $p(x)=$ $g(x)-\frac{2}{\pi} x$ । तब

माना $\mathrm{x} \in \mathbb{R}$ के लिए $\mathrm{S}_0(\mathrm{x})=\mathrm{x}$,

$\mathrm{S}_{\mathrm{k}}(\mathrm{x})=\mathrm{C}_{\mathrm{k}} \mathrm{x}+\mathrm{k} \int_0^{\mathrm{x}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{t}) \mathrm{dt}$, हैं, जहाँ

$\mathrm{C}_0=1, \mathrm{C}_{\mathrm{k}}=1-\int_0^{\mathrm{l}} \mathrm{S}_{\mathrm{k}-1}(\mathrm{x}) \mathrm{dx}, \mathrm{k}=1,2,3 \ldots$ हैं। 

तो $\mathrm{S}_2(3)+6 \mathrm{C}_3$ बराबर है

माना एक फलन $f [0,1]$ मे ऋणोत्तर तथा $(0,1)$ में दो बार अवकलनीय है। यदि $\int_{0}^{ x } \sqrt{1-\left( f ^{\prime}( t )\right)^{2}} dt =\int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$, $0 \leq x \leq 1$ तथा $f (0)=0$, है, तो $\lim \limits_{ x \rightarrow 0} \frac{1}{ x ^{2}} \int \limits_{0}^{ x } f ( t ) dt$