मान लीजिए f:[0,1] rightarrow [0,1] एक सतत फलन | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ एक सतत फलन है जो सभी $x \in [0,1]$ के लिए $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ को संतुष्ट करता है।इसका अर्थ है कि $(f(

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$\frac{\pi}{12}$

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(A) दिया गया है कि $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ एक सतत फलन है जो सभी $x \in [0,1]$ के लिए $x^2+(f(x))^2 \leq 1$ को संतुष्ट करता है।इसका अर्थ है कि $(f(x))^2 \leq 1-x^2$,इसलिए $f(x) \leq \sqrt{1-x^2}$ क्योंकि $f(x) \geq 0$ है।दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर,हमें $\int_0^1 f(x) dx \leq \int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ प्राप्त होता है।समाकलन $\int_0^1 \sqrt{1-x^2} dx$ त्रिज्या $1$ वाले वृत्त के एक चौथाई भाग का क्षेत्रफल दर्शाता है,जो $\frac{1}{4} \pi (1)^2 = \frac{\pi}{4}$ है।चूंकि दिया गया है कि $\int_0^1 f(x) dx = \frac{\pi}{4}$,इसलिए समानता बनी रहनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in [0,1]$ के लिए $f(x) = \sqrt{1-x^2}$ है।अब,हम $\int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{f(x)}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{\sqrt{1-x^2}}{1-x^2} dx = \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx$ का मूल्यांकन करते हैं।यह $[\sin^{-1} x]_{\frac{1}{2}}^{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sin^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) - \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{4} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{12}$ के बराबर है।

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