0 leq theta leq 2pi को संतुष्ट करने वाले sin( | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $\sin(\pi \sin^2 	heta) + \sin(\pi \cos^2 	heta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos 	heta)$ है।सर्वसमिका $\sin A + \sin B = 2 \sin(\fr

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$7$

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(D) दिया गया समीकरण $\sin(\pi \sin^2 	heta) + \sin(\pi \cos^2 	heta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos 	heta)$ है।सर्वसमिका $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ का उपयोग करने पर:$2 \sin(\frac{\pi(\sin^2 	heta + \cos^2 	heta)}{2}) \cos(\frac{\pi(\sin^2 	heta - \cos^2 	heta)}{2}) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos 	heta)$.चूँकि $\sin^2 	heta + \cos^2 	heta = 1$ और $\sin^2 	heta - \cos^2 	heta = -\cos 2	heta$,हमारे पास है:$2 \sin(\frac{\pi}{2}) \cos(-\frac{\pi}{2} \cos 2	heta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos 	heta)$.चूँकि $\sin(\frac{\pi}{2}) = 1$ और $\cos(-x) = \cos x$,यह सरल होकर निम्न हो जाता है:$\cos(\frac{\pi}{2} \cos 2	heta) = \cos(\frac{\pi}{2} \cos 	heta)$.इसका अर्थ है $\frac{\pi}{2} \cos 2	heta = 2n\pi \pm \frac{\pi}{2} \cos 	heta$,अतः $n \in Z$ के लिए $\cos 2	heta = 4n \pm \cos 	heta$.स्थिति $I$: $\cos 2	heta - \cos 	heta = 4n$. $n=0$ के लिए,$2\cos^2 	heta - 1 - \cos 	heta = 0$,अतः $(2\cos 	heta + 1)(\cos 	heta - 1) = 0$. इस प्रकार $\cos 	heta = 1$ या $\cos 	heta = -1/2$. $[0, 2\pi]$ में हल $	heta = 0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3$ हैं।स्थिति $II$: $\cos 2	heta + \cos 	heta = 4n$. $n=0$ के लिए,$2\cos^2 	heta + \cos 	heta - 1 = 0$,अतः $(2\cos 	heta - 1)(\cos 	heta + 1) = 0$. इस प्रकार $\cos 	heta = 1/2$ या $\cos 	heta = -1$. $[0, 2\pi]$ में हल $	heta = \pi, \pi/3, 5\pi/3$ हैं।कुल हल ${0, 2\pi, 2\pi/3, 4\pi/3, \pi, \pi/3, 5\pi/3}$ हैं,जो कुल $7$ हल हैं।

$0 \leq \theta \leq 2\pi$ को संतुष्ट करने वाले $\sin(\pi \sin^2 \theta) + \sin(\pi \cos^2 \theta) = 2 \cos(\frac{\pi}{2} \cos \theta)$ के हलों की संख्या है

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