मान लीजिए P एक शून्येतर बहुपद है ताकि सभी वास | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $P(x)$ एक शून्येतर बहुपद है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए $P(1+x)=P(1-x)$ और $P(1)=0$ को संतुष्ट करता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक

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$2$

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(B) दिया गया है कि $P(x)$ एक शून्येतर बहुपद है जो सभी वास्तविक $x$ के लिए $P(1+x)=P(1-x)$ और $P(1)=0$ को संतुष्ट करता है। दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है: $P'(1+x) = -P'(1-x)$. $x=0$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $P'(1) = -P'(1) \implies 2P'(1) = 0 \implies P'(1) = 0$. चूंकि $P(1)=0$ और $P'(1)=0$,गुणनखंड प्रमेय के अनुसार,$(x-1)^2$ को $P(x)$ का एक गुणनखंड होना चाहिए। यह जांचने के लिए कि क्या $m$ बड़ा हो सकता है,$P(x) = (x-1)^2$ पर विचार करें। यह $P(1+x) = (1+x-1)^2 = x^2$ और $P(1-x) = (1-x-1)^2 = (-x)^2 = x^2$ को संतुष्ट करता है। अतः,$P(1+x)=P(1-x)$ सत्य है। इसलिए,सबसे बड़ा पूर्णांक $m$ ताकि $(x-1)^m$ ऐसे सभी $P(x)$ को विभाजित करे,वह $2$ है।

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यदि $f(x) = \sum_{p=1}^7 p^2 \sin^{-1}\left(\frac{4}{5} \sin(px) - \frac{3}{5} \cos(px)\right)$ है,तो $x = 1$ पर $\frac{df}{dx}$ का मान क्या होगा? (दिया गया है कि $\sin^{-1}(\sin x) = x$)

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यदि $f(x) = \frac{\sin(\frac{\pi x}{4})}{x + 1}$ है,तो $\lim_{h \to 0} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h^2 + 2h}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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