मान लीजिए J = int_0^1 frac{x}{1+x^8} dx. निम् | vedclass

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Question

(A) $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम कथनों का विश्लेषण करते हैं।कथन $I$ के लिए:चूंकि सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $1+x^8 < 2

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केवल $I$ सत्य है

Vedclass · Answer

(A) $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम कथनों का विश्लेषण करते हैं।कथन $I$ के लिए:चूंकि सभी $x \in (0, 1)$ के लिए $1+x^8  \frac{1}{2}$ है।$x > 0$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{x}{1+x^8} > \frac{x}{2}$ प्राप्त होता है।दोनों पक्षों का $0$ से $1$ तक समाकलन करने पर:$J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{2} dx = \left[ \frac{x^2}{4} ight]_0^1 = \frac{1}{4}$.अतः,कथन $I$ सत्य है।कथन $II$ के लिए:$x \in (0, 1)$ के लिए $x^8 अतः $\frac{1}{1+x^8} > \frac{1}{1+x^4}$।तब $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx > \int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx$।मान लीजिए $u = x^2$,$du = 2x dx$। तो $\int_0^1 \frac{x}{1+x^4} dx = \frac{1}{2} \int_0^1 \frac{du}{1+u^2} = \frac{1}{2} [	an^{-1}(u)]_0^1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{8}$।चूंकि $J > \frac{\pi}{8}$,कथन $II$ असत्य है।इसलिए,केवल $I$ सत्य है।

मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$I$. $J > \frac{1}{4}$
$II$. $J < \frac{\pi}{8}$
तो,

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कथन $(A): \int_{-a}^a f(x) dx = \int_0^a (f(x) + f(-x)) dx$
कारण $(R): \int_a^b f(x) dx = \int_{g(a)}^{g(b)} f(g(u)) g'(u) du$
निम्नलिखित में से सही विकल्प चुनें:

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

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मान लीजिए $J = \int_0^1 \frac{x}{1+x^8} dx$. निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:$I$. $J > \frac{1}{4}$$II$. $J < \frac{\pi}{8}$तो,