मान लीजिए a = hat{i} + hat{j} + hat{k},b = 2h | vedclass

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Question

(A) समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ एक समतल $x + y + z = 5$ को दर्शाता है। समीकरण $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ अंतरिक्ष में एक द

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$4$

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(A) समीकरण $\vec{r} \cdot \vec{a} = 5$ एक समतल $x + y + z = 5$ को दर्शाता है। समीकरण $|\vec{r} - \vec{b}| + |\vec{r} - \vec{c}| = 4$ अंतरिक्ष में एक दीर्घवृत्त (ellipse) को दर्शाता है जिसकी नाभियाँ $\vec{b}$ और $\vec{c}$ हैं,बशर्ते कि समतल इन नाभियों को समाहित करता हो। सबसे पहले,जांचें कि क्या $\vec{b}$ और $\vec{c}$ समतल $x + y + z = 5$ पर स्थित हैं: $\vec{b}(2, 2, 1)$ के लिए,$2 + 2 + 1 = 5$ (सत्य)। $\vec{c}(5, 1, -1)$ के लिए,$5 + 1 - 1 = 5$ (सत्य)। चूंकि दोनों नाभियाँ समतल पर स्थित हैं,इसलिए प्रतिच्छेदन समतल में एक दीर्घवृत्त है। दीर्घ अक्ष की लंबाई $2a = 4$ है,इसलिए $a = 2$। नाभियों के बीच की दूरी $2ae = |\vec{b} - \vec{c}| = |(2-5)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (1-(-1))\hat{k}| = |-3\hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}| = \sqrt{(-3)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14}$। अतः,$2ae = \sqrt{14} \Rightarrow 4e = \sqrt{14} \Rightarrow e = \frac{\sqrt{14}}{4}$। $b^2 = a^2(1 - e^2)$ का उपयोग करने पर,हमें $b^2 = 4(1 - \frac{14}{16}) = 4(\frac{2}{16}) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है,इसलिए $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$। दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $\pi ab = \pi(2)(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \sqrt{2}\pi \approx 1.414 	imes 3.14159 \approx 4.44$ है। सबसे निकटतम पूर्णांक $4$ है।

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