$AB$ व्यास वाले एक अर्धवृत्त पर बिंदु $C$ और $D$ इस प्रकार हैं कि $AC=1, CD=2$ और $DB=3$ है। तो,$AB$ की लंबाई किस अंतराल में स्थित है?

मान लीजिए $AB$ एक वृत्त की जीवा है और $C$,$AB$ को $3 : 1$ के अनुपात में आंतरिक रूप से विभाजित करता है। $C$ से होकर जाने वाली एक रेखा वृत्त को $D$ और $E$ पर इस प्रकार काटती है कि $D$ और $E$ की रेखा $AB$ से न्यूनतम दूरी क्रमशः $3$ और $2$ है। यदि $r$,$AB$ की न्यूनतम लंबाई है ताकि इस $r$ के लिए $AB$ और $DE$ के बीच का कोण $\alpha$ हो,तो '$r\alpha$' का मान क्या है?

एक व्यक्ति $X$ एक वृत्ताकार ट्रैक पर दौड़ रहा है,जो हर $40 \ s$ में एक चक्कर पूरा करता है। विपरीत दिशा में दौड़ रहा दूसरा व्यक्ति $Y$,हर $15 \ s$ में $X$ से मिलता है। $Y$ द्वारा एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय,सेकंड में,क्या है?

मान लीजिए $A, B, C$ त्रिज्या $1$ वाले एक वृत्त पर तीन बिंदु इस प्रकार हैं कि $\angle ACB = \frac{\pi}{4}$ है। तब,भुजा $AB$ की लंबाई क्या है?

वृत्त $x^2 + y^2 + 10x - 6y + 9 = 0$ द्वारा $x$-अक्ष पर बनाए गए अंतःखंड की लंबाई क्या है?

मान लीजिए $C_1$ और $C_2$ दो वृत्त हैं जो बिंदु $A$ पर बाह्य रूप से एक-दूसरे को स्पर्श करते हैं। मान लीजिए $AB$ वृत्त $C_1$ का व्यास है। वृत्त $C_2$ के लिए एक छेदक रेखा $BA_3$ खींचें,जो वृत्त $C_1$ को बिंदु $A_1$ (जहाँ $A_1 \neq A$) पर और वृत्त $C_2$ को बिंदुओं $A_2$ और $A_3$ पर काटती है। यदि $BA_1 = 2$,$BA_2 = 3$ और $BA_3 = 4$ है,तो वृत्तों $C_1$ और $C_2$ की त्रिज्याएँ क्रमशः क्या हैं?