$x+y \leq 40$,$x+2y \leq 60$ અને $x, y \geq 0$ મર્યાદાઓને આધીન $z=3x+4y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધો.

એક બીમાર વ્યક્તિના આહારમાં ઓછામાં ઓછા $4000$ એકમ વિટામિન,$50$ એકમ પ્રોટીન અને $1400$ કેલરી હોવી જોઈએ. બે ખોરાક $A$ અને $B$ અનુક્રમે ₹ $4$ અને ₹ $3$ પ્રતિ એકમના ભાવે ઉપલબ્ધ છે. જો $A$ ના એક એકમમાં $200$ એકમ વિટામિન,$1$ એકમ પ્રોટીન અને $40$ કેલરી હોય,જ્યારે ખોરાક $B$ ના એક એકમમાં $100$ એકમ વિટામિન,$2$ એકમ પ્રોટીન અને $40$ કેલરી હોય,તો આ સમસ્યાને એવી રીતે તૈયાર કરો કે જેથી આહાર સૌથી સસ્તો પડે.

એક ઉત્પાદક બે પ્રકારના રમકડાં $A$ અને $B$ બનાવે છે. આ હેતુ માટે ત્રણ મશીનોની જરૂર પડે છે અને દરેક રમકડા માટે મશીનો પર જરૂરી સમય (મિનિટમાં) નીચે મુજબ છે:

રમકડાના પ્રકાર	મશીન-$I$	મશીન-$II$	મશીન-$III$
$A$	$12$	$18$	$6$
$B$	$6$	$0$	$9$

દરેક મશીન દિવસમાં મહત્તમ $6 \, \text{કલાક}$ $(360 \, \text{મિનિટ})$ માટે ઉપલબ્ધ છે. જો પ્રકાર $A$ ના દરેક રમકડા પરનો નફો $Rs. \, 7.50$ હોય અને પ્રકાર $B$ ના દરેક રમકડા પરનો નફો $Rs. \, 5$ હોય,તો મહત્તમ નફો મેળવવા માટે દિવસમાં દરેક પ્રકારના કેટલા રમકડાં બનાવવા જોઈએ તે શોધો.

એક ખેડૂત પશુ આહારની બે બ્રાન્ડ $P$ અને $Q$ ને મિશ્રિત કરે છે. બ્રાન્ડ $P$,જેની કિંમત $Rs. 250$ પ્રતિ બેગ છે,તેમાં પોષક તત્વ $A$ ના $3$ એકમો,તત્વ $B$ ના $2.5$ એકમો અને તત્વ $C$ ના $2$ એકમો છે. બ્રાન્ડ $Q$,જેની કિંમત $Rs. 200$ પ્રતિ બેગ છે,તેમાં પોષક તત્વ $A$ ના $1.5$ એકમો,તત્વ $B$ ના $11.25$ એકમો અને તત્વ $C$ ના $3$ એકમો છે. પોષક તત્વો $A, B$ અને $C$ ની ન્યૂનતમ જરૂરિયાત અનુક્રમે $18$ એકમો,$45$ એકમો અને $24$ એકમો છે. મિશ્રણની પ્રતિ બેગ ન્યૂનતમ કિંમત મેળવવા માટે દરેક બ્રાન્ડની કેટલી બેગ મિશ્રિત કરવી જોઈએ? મિશ્રણની પ્રતિ બેગ ન્યૂનતમ કિંમત કેટલી છે?

હેતુલક્ષી વિધેય $z = 3x + 5y$ માટે શરતો $x + 3y \leqslant 60$,$x + y \geqslant 10$,$x - y = 0$,અને $x, y \geqslant 0$ ને આધીન મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્ય વચ્ચેનો તફાવત કેટલો છે?

હેતુ લક્ષી વિધેય $Z = 5x + 8y$ માટે,શરતો $x + y \geq 5$,$x \leq 4$,$y \leq 2$,$x \geq 0$,અને $y \geq 0$ ને આધીન ન્યૂનતમ કિંમત કયા બિંદુએ મળે છે?