$15$ शीर्षों वाले एक नियमित ग्राफ में,शीर्षों की डिग्री का योग $60$ है। तो,प्रत्येक शीर्ष की डिग्री क्या है?

एक वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$[x]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $x$ से कम या उसके बराबर है। $\left[ \frac{1}{2} \right] + \left[ \frac{1}{2} + \frac{1}{100} \right] + \left[ \frac{1}{2} + \frac{2}{100} \right] + \dots + \left[ \frac{1}{2} + \frac{99}{100} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $A, B,$ और $C$ तीन समुच्चय इस प्रकार हैं कि $A \cup B = A \cup C$ तथा $A \cap B = A \cap C$,तब

यदि $A, B, C$ तीन समुच्चय इस प्रकार हैं कि $A \cup B = A \cup C$ और $A \cap B = A \cap C$,तो

मान लीजिए $x_k$ वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि $1 \leq k \leq 2018$ के लिए $x_k \geq k^4+k^2+1$ है। $N=\sum_{k=1}^{2018} k$ को निरूपित करें। निम्नलिखित असमानताओं पर विचार करें।
$I$. $\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k\right)^2 \leq N\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k^2\right)$
$II$. $\left(\sum_{k=1}^{2018} k x_k\right)^2 \leq N\left(\sum_{k=1}^{2018} k^2 x_k^2\right)$
तो,

मान लीजिए $S$ धनात्मक पूर्णांकों के सभी क्रमित युग्मों $(x, y)$ का समुच्चय है,जहाँ $\text{HCF}(x, y) = 16$ और $\text{LCM}(x, y) = 48000$ है। $S$ में अवयवों की संख्या है