यदि f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + ldots औ | vedclass

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Question

(A) दिया गया समीकरण: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \ldots$ मान लीजिए $f(x) = e^{kx}$। तब $f'(x) = ke^{kx}$,$f''(x) = k^2e^{kx}$,$f'''(x) = k^3e^{

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$e^{x / 2}$

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(A) दिया गया समीकरण: $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \ldots$ मान लीजिए $f(x) = e^{kx}$। तब $f'(x) = ke^{kx}$,$f''(x) = k^2e^{kx}$,$f'''(x) = k^3e^{kx}$,इत्यादि। इन मानों को दिए गए समीकरण में रखने पर: $e^{kx} = ke^{kx} + k^2e^{kx} + k^3e^{kx} + \ldots$ $e^{kx}$ से भाग देने पर: $1 = k + k^2 + k^3 + \ldots$ यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = k$ और सार्व अनुपात $r = k$ है। अनंत गुणोत्तर श्रेणी का योग $S = \frac{a}{1-r}$ होता है। अतः,$1 = \frac{k}{1-k}$। $1 - k = k \implies 2k = 1 \implies k = \frac{1}{2}$। इस प्रकार,$f(x) = Ce^{x/2}$। चूंकि $f(0) = 1$ दिया गया है,इसलिए $Ce^0 = 1$,जिसका अर्थ है $C = 1$। अतः,$f(x) = e^{x/2}$।

यदि $f(x) = f'(x) + f''(x) + f'''(x) + \ldots$ और $f(0) = 1$ है,तो $f(x)$ किसके बराबर है?

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