x^{2}-y^{2}=4 के फोकस की उसके निकटतम नियता (d | vedclass

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Question

(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}-y^{2}=4$ है। $4$ से भाग देने पर,$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$ प्राप्त होता है। यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=4

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$\sqrt{2}$

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(D) अतिपरवलय का दिया गया समीकरण $x^{2}-y^{2}=4$ है। $4$ से भाग देने पर,$\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{4}=1$ प्राप्त होता है। यहाँ,$a^{2}=4$ और $b^{2}=4$ है। अतिपरवलय के लिए,$b^{2}=a^{2}(e^{2}-1)$,अतः $4=4(e^{2}-1)$,जिससे $e^{2}-1=1$,अर्थात $e^{2}=2$ और $e=\sqrt{2}$ प्राप्त होता है। फोकस के निर्देशांक $(\pm ae, 0) = (\pm 2\sqrt{2}, 0)$ हैं। नियता के समीकरण $x = \pm \frac{a}{e} = \pm \frac{2}{\sqrt{2}} = \pm \sqrt{2}$ हैं। फोकस $(2\sqrt{2}, 0)$ और निकटतम नियता $x = \sqrt{2}$ पर विचार करें। उनके बीच की दूरी $|2\sqrt{2} - \sqrt{2}| = \sqrt{2}$ है।

$x^{2}-y^{2}=4$ के फोकस की उसके निकटतम नियता (directrix) से दूरी क्या है?

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मान लीजिए $\lambda x - 2y = \mu$ अतिपरवलय $a^{2}x^{2} - y^{2} = b^{2}$ की एक स्पर्श रेखा है। तो $\left(\frac{\lambda}{a}\right)^{2} - \left(\frac{\mu}{b}\right)^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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