यदि $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ क्रमशः $x, y$ और $z$-अक्षों की धनात्मक दिशा में इकाई सदिश हैं,तो निम्नलिखित में से कौन सा कथन असत्य है?

$\overline{u}, \overline{v}, \overline{w}$ तीन सदिश इस प्रकार हैं कि $|\overline{u}|=1, |\overline{v}|=2, |\overline{w}|=3$। यदि $\overline{v}$ का $\overline{u}$ पर प्रक्षेप,$\overline{w}$ के $\overline{u}$ पर प्रक्षेप के बराबर है और $\overline{v}, \overline{w}$ एक-दूसरे के लंबवत हैं,तो $|\overline{u}-\overline{v}+\overline{w}|=$

एक त्रिभुज $ABC$ में,यदि $|\overrightarrow{BC}|=3$,$|\overrightarrow{AC}|=5$,और $|\overrightarrow{BA}|=7$ है,तो सदिश $\overrightarrow{BA}$ का सदिश $\overrightarrow{BC}$ पर प्रक्षेप किसके बराबर है?

मान लीजिए $\vec{a}, \vec{b}$ और $\vec{c}$ तीन इकाई सदिश इस प्रकार हैं कि $|\vec{a}-\vec{b}|^{2}+|\vec{a}-\vec{c}|^{2}=8$ है। तो $|\vec{a}+2\vec{b}|^{2}+|\vec{a}+2\vec{c}|^{2}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $a, b$ और $c$ तीन असमतलीय सदिश हैं। उस रेखा का सदिश समीकरण ज्ञात कीजिए जो दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है,जिनमें से एक $a+2b-5c$ और $-a-2b-3c$ बिंदुओं को जोड़ती है और दूसरी $-4c$ और $6a-4b+4c$ बिंदुओं को जोड़ती है।

एक समांतर चतुर्भुज की दो आसन्न भुजाएँ $\vec{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ और $\vec{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ द्वारा निरूपित हैं। समांतर चतुर्भुज के तल में भुजा $\vec{AD}$ को एक न्यून कोण $\theta$ द्वारा घुमाया जाता है जिससे $\vec{AD}$,$\vec{AD'}$ बन जाता है। यदि $\vec{AD'}$,$\vec{AB}$ के लंबवत है,तो $\cos \theta$ ज्ञात कीजिए।