बहुपद $\left|\begin{array}{ccc}x+3 & x & x+2 \\ x & x+1 & x-1 \\ x+2 & 2x & 3x+1\end{array}\right|$ का अचर पद है

यदि समीकरणों की प्रणाली
$x+(\sqrt{2} \sin \alpha) y+(\sqrt{2} \cos \alpha) z=0$
$x+(\cos \alpha) y+(\sin \alpha) z=0$
$x+(\sin \alpha) y-(\cos \alpha) z=0$
का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो $\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए:

यह दिया गया है कि,$a \alpha^2+2 b \alpha+c \neq 0$ और समीकरणों की प्रणाली
$\begin{aligned} & (a \alpha+b) x+a y+b z=0 \\ & (b \alpha+c) x+b y+c z=0 \\ & (a \alpha+b) y+(b \alpha+c) z=0\end{aligned}$
का एक गैर-तुच्छ (non-trivial) हल है,तो $a, b$ और $c$ किसमें हैं?

यदि $a, b$ और $c$ वास्तविक संख्याएँ हैं,और $\Delta=\begin{vmatrix} b+c & c+a & a+b \\ c+a & a+b & b+c \\ a+b & b+c & c+a \end{vmatrix}=0$ है,तो सिद्ध कीजिए कि या तो $a+b+c=0$ है या $a=b=c$ है।

यदि $a^2 + b^2 + c^2 = -2$ और $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 1 + a^2x & (1 + b^2)x & (1 + c^2)x \\ (1 + a^2)x & 1 + b^2x & (1 + c^2)x \\ (1 + a^2)x & (1 + b^2)x & 1 + c^2x \end{array} \right|$ है,तो $f(x)$ किस घात का बहुपद है?

$(-3, 0)$,$(3, 0)$ और $(0, k)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $9$ वर्ग इकाई है। $k$ का मान ज्ञात कीजिए।