$Q^{+}$ के सभी धनात्मक परिमेय संख्याओं के समूह में द्वि-आधारी संक्रिया $*$ जो $a * b = \frac{ab}{2010}, \forall a, b \in Q^{+}$ द्वारा परिभाषित है,में $2010$ का प्रतिलोम क्या है?

मान लीजिए कि $^*$ $N$ पर एक द्वि-आधारी संक्रिया है जो $a \,^*\, b = a \text{ और } b \text{ का म.स.प.}$ द्वारा परिभाषित है। क्या $^*$ क्रमविनिमेय है? क्या $^*$ साहचर्य है? क्या $N$ पर इस द्वि-आधारी संक्रिया के लिए कोई तत्समक अवयव मौजूद है?

नीचे परिभाषित प्रत्येक द्विआधारी संक्रिया $^*$ के लिए,निर्धारित करें कि क्या $^*$ क्रमविनिमेय है या साहचर्य है। $Z$ पर,$a ^* b = a - b$ परिभाषित करें।

मान लीजिए कि $^*$ $N$ पर एक द्विआधारी संक्रिया है जो $a ^* b = a$ और $b$ का ल.स.प. ($L$.$C$.$M$.) द्वारा दी गई है। ज्ञात कीजिए कि $N$ के कौन से अवयव संक्रिया $^*$ के लिए व्युत्क्रमणीय हैं?

सिद्ध कीजिए कि $+: R \times R \rightarrow R$ और $\times: R \times R \rightarrow R$ क्रमविनिमेय द्विआधारी संक्रियाएँ हैं,लेकिन $-: R \times R \rightarrow R$ और $\div: R_* \times R_* \rightarrow R_*$ क्रमविनिमेय नहीं हैं।

यदि $Q^{+}$ पर $a * b = 10ab$ है,तो $0.01$ का प्रतिलोम ज्ञात कीजिए।