IIT JEE 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) આપેલ છે કે $x^2+20x-2020=0$ ના બીજ $a, b$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$a+b = -20$ અને $ab = -2020$ થાય.
આપેલ છે કે $x^2-20x+2020=0$ ના બીજ $c, d$ છે. વિએટાના સૂત્રો મુજબ,$c+d = 20$ અને $cd = 2020$ થાય.
આપણે $E = ac(a-c)+ad(a-d)+bc(b-c)+bd(b-d)$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદાવલિનું વિસ્તરણ કરતા: $E = a^2c - ac^2 + a^2d - ad^2 + b^2c - bc^2 + b^2d - bd^2$.
પદોને જૂથમાં ગોઠવતા: $E = a^2(c+d) + b^2(c+d) - c^2(a+b) - d^2(a+b)$.
$E = (c+d)(a^2+b^2) - (a+b)(c^2+d^2)$.
$a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ અને $c^2+d^2 = (c+d)^2 - 2cd$ નો ઉપયોગ કરતા:
$a^2+b^2 = (-20)^2 - 2(-2020) = 400 + 4040 = 4440$.
$c^2+d^2 = (20)^2 - 2(2020) = 400 - 4040 = -3640$.
આ કિંમતો મૂકતા: $E = (20)(4440) - (-20)(-3640)$.
$E = 88800 - 72800 = 16000$.

(A) પરવલય $y^2 = 4 \lambda x$ છે. નાભિલંબનું અંત્યબિંદુ $P(\lambda, 2 \lambda)$ છે.
પરવલયના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_1 = 1$ મળે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ ના સ્પર્શકનો ઢાળ $m_2 = -\frac{b^2}{2a^2}$ મળે છે.
સ્પર્શકો લંબ હોવાથી $m_1 \times m_2 = -1$,તેથી $\frac{b^2}{a^2} = 2$ મળે છે.
બિંદુ $P$ ઉપવલય પર હોવાથી,$\frac{\lambda^2}{a^2} + \frac{4 \lambda^2}{b^2} = 1$ મળે છે.
$\frac{b^2}{a^2} = 2$ મૂકતા,$a^2 = 3 \lambda^2$ અને $b^2 = 6 \lambda^2$ મળે છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e = \sqrt{1 - \frac{a^2}{b^2}} = \sqrt{1 - \frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે $|z^2+z+1|=1$.
આને $|(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| = 1$ તરીકે લખી શકાય.
ત્રિકોણ અસમતા $|a+b| \leq |a| + |b|$ નો ઉપયોગ કરતા,$1 = |(z+\frac{1}{2})^2 + \frac{3}{4}| \leq |z+\frac{1}{2}|^2 + \frac{3}{4}$,જે સૂચવે છે કે $|z+\frac{1}{2}|^2 \geq \frac{1}{4}$,તેથી $|z+\frac{1}{2}| \geq \frac{1}{2}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
વળી,$|z^2+z| = |(z^2+z+1)-1| \leq |z^2+z+1| + |-1| = 1+1 = 2$.
કારણ કે $|z^2+z| = |z||z+1| \leq 2$,મોટા $|z|$ માટે,$|z|^2 \approx |z^2+z| \leq 2$,તેથી $|z| \leq 2$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
કારણ કે સમીકરણ $|z^2+z+1|=1$ એ સંકર સમતલમાં એક વક્ર દર્શાવે છે,ગણ $S$ અનંત છે,તેથી $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ છે.

(B) આપેલ છે $\tan \frac{X}{2} + \tan \frac{Z}{2} = \frac{2y}{x+y+z}$.
સૂત્ર $\tan \frac{X}{2} = \frac{\Delta}{S(S-x)}$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $S = \frac{x+y+z}{2}$ અને $\Delta$ એ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta}{S(S-x)} + \frac{\Delta}{S(S-z)} = \frac{2y}{2S} = \frac{y}{S}$
$\frac{\Delta}{S} \left( \frac{S-z + S-x}{(S-x)(S-z)} \right) = \frac{y}{S}$
$\Delta \left( \frac{2S - (x+z)}{(S-x)(S-z)} \right) = y$
કારણ કે $2S = x+y+z$,તેથી $2S - (x+z) = y$.
$\Delta \left( \frac{y}{(S-x)(S-z)} \right) = y \implies \Delta = (S-x)(S-z)$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\Delta^2 = (S-x)^2(S-z)^2$
$S(S-x)(S-y)(S-z) = (S-x)^2(S-z)^2$
$S(S-y) = (S-x)(S-z)$
$S = \frac{x+y+z}{2}$ મૂકતા,આપણને $y^2 = x^2 + z^2$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\angle Y = 90^\circ$.
કારણ કે $X+Y+Z = 180^\circ$,$X+Z = 90^\circ$,તેથી $Y = X+Z$. આમ $(B)$ સાચું છે.
વળી,$Y$ પર કાટખૂણો ધરાવતા ત્રિકોણ માટે,$\tan \frac{X}{2} = \sqrt{\frac{(S-y)(S-z)}{S(S-x)}} = \frac{x}{y+z}$. આમ $(C)$ પણ સાચું છે.
તેથી,$(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(B) $AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^{y_1} \cdot 3^{y_2} \cdot 3^{y_3}} = \sqrt[3]{3^{y_1+y_2+y_3}}$.
$y_1+y_2+y_3=9$ આપેલ હોવાથી,$\frac{3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}}{3} \geq \sqrt[3]{3^9} = 3^3 = 27$.
તેથી,$3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3} \geq 81 = 3^4$.
બંને બાજુ $\log_3$ લેતા,$\log_3(3^{y_1}+3^{y_2}+3^{y_3}) \geq 4$,તેથી $m=4$.
$M$ માટે,$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{x_1+x_2+x_3}{3} \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$.
$x_1+x_2+x_3=9$ આપેલ હોવાથી,$3 \geq \sqrt[3]{x_1 x_2 x_3}$,તેથી $x_1 x_2 x_3 \leq 27$.
પછી $\log_3(x_1 x_2 x_3) = \log_3 x_1 + \log_3 x_2 + \log_3 x_3 \leq \log_3(27) = 3$,તેથી $M=3$.
અંતે,$\log_2(m^3) + \log_3(M^2) = \log_2(4^3) + \log_3(3^2) = \log_2(64) + 2 = 6 + 2 = 8$.

(A) સમાંતર શ્રેણીનો સરવાળો $S_n = n(c + n - 1)$ છે.
ગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $T_n = c(2^n - 1)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $2(S_n) = T_n$ માં કિંમતો મૂકતા: $2n(c + n - 1) = c(2^n - 1)$.
$c = \frac{2n^2 - 2n}{2^n - 2n - 1}$.
$n=3$ માટે $c=12$ મળે છે.
અન્ય કોઈ $n$ માટે $c$ ધન પૂર્ણાંક મળતો નથી.
તેથી,$c$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા $1$ છે.

(B) ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{(1-x)^{\frac{1}{x}}-e^{-1}}{x^a}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{\frac{1}{x} \ln(1-x)}$.
$\ln(1-x) = -x - \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} - \dots$ માટે ટેલર શ્રેણી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{x} \ln(1-x) = -1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots$
તેથી,$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1 - \frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots} = e^{-1} \cdot e^{-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots}$.
$e^u = 1 + u + \frac{u^2}{2!} + \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(1-x)^{\frac{1}{x}} = e^{-1} \left( 1 + (-\frac{x}{2} - \frac{x^2}{3} - \dots) + \frac{(-\frac{x}{2} - \dots)^2}{2} + \dots \right) = e^{-1} \left( 1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots \right)$.
આ કિંમત લક્ષમાં મૂકતા:
$L = \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{e^{-1} (1 - \frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} + \dots) - e^{-1}}{x^a} = e^{-1} \lim_{x \rightarrow 0^{+}} \frac{-\frac{x}{2} - \frac{5x^2}{24} - \dots}{x^a}$.
લક્ષ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,અંશમાં $x$ ની ઘાત છેદ $x^a$ સાથે મેળ ખાતી હોવી જોઈએ. તેથી,$a = 1$.

(D) ધારો કે $z = x + iy$. આપેલ સમીકરણ $z^4 - |z|^4 = 4iz^2$ છે।
કારણ કે $|z|^2 = z\bar{z}$, તેથી $|z|^4 = (z\bar{z})^2 = z^2\bar{z}^2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $z^4 - z^2\bar{z}^2 = 4iz^2$.
આનો અર્થ એ થાય કે $z^2(z^2 - \bar{z}^2) = 4iz^2$.
કિસ્સો $1$: $z^2 = 0 \Rightarrow z = 0$. જોકે, $z = 0$ એ $\operatorname{Re}(z_1) > 0$ અથવા $\operatorname{Re}(z_2) < 0$ ની શરતનું પાલન કરતું નથી.
કિસ્સો $2$: $z^2 - \bar{z}^2 = 4i$.
કારણ કે $z = x + iy$, તેથી $z^2 = x^2 - y^2 + 2ixy$ અને $\bar{z}^2 = x^2 - y^2 - 2ixy$.
આમ, $z^2 - \bar{z}^2 = (x^2 - y^2 + 2ixy) - (x^2 - y^2 - 2ixy) = 4ixy$.
તેને $4i$ સાથે સરખાવતા, આપણને $4ixy = 4i$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ $xy = 1$ થાય છે.
આપણે $|z_1 - z_2|^2$ ને ન્યૂનતમ બનાવવાની જરૂર છે જ્યાં $z_1 = x_1 + iy_1$ અને $x_1 > 0$ તથા $z_2 = x_2 + iy_2$ અને $x_2 < 0$ છે.
કારણ કે $xy = 1$, તેથી $y = 1/x$. આમ $z = x + i/x$.
$|z_1 - z_2|^2 = |(x_1 - x_2) + i(1/x_1 - 1/x_2)|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (\frac{x_2 - x_1}{x_1x_2})^2 = (x_1 - x_2)^2 (1 + \frac{1}{x_1^2x_2^2})$.
ધારો કે $x_1 = a > 0$ અને $x_2 = -b$ જ્યાં $b > 0$. તો $x_1x_2 = -ab$.
$|z_1 - z_2|^2 = (a + b)^2 (1 + \frac{1}{a^2b^2})$.
$AM-GM$ અસમતા મુજબ, $(a + b)^2 \ge 4ab$. ઉપરાંત $1 + \frac{1}{a^2b^2} \ge 2\sqrt{1 \cdot \frac{1}{a^2b^2}} = \frac{2}{ab}$.
તેથી $|z_1 - z_2|^2 \ge 4ab \cdot \frac{2}{ab} = 8$.

(B) ધારો કે $\triangle OPQ$ ના પરિવર્તુળનું કેન્દ્ર $C(h, k)$ છે.
$O(0, 0)$ એ ત્રિકોણનું શિરોબિંદુ હોવાથી,પરિવર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે.
જીવા $PQ$ નું સમીકરણ $2x + 4y = 5$ છે.
$OC$ રેખા $PQ$ ને લંબ છે અને $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $OC$ પર આવેલું છે.
$PQ$ નો ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.
તેથી $OC$ નો ઢાળ $2$ છે.
$OC$ રેખા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y = 2x$ છે.
કેન્દ્ર $C(h, k)$ એ $y = 2x$ પર આવેલું છે,તેથી $k = 2h$.
વળી,$C(h, k)$ એ રેખા $x + 2y = 4$ પર આવેલું છે.
$k = 2h$ ને $x + 2y = 4$ માં મૂકતા,$h + 2(2h) = 4 \Rightarrow 5h = 4 \Rightarrow h = \frac{4}{5}$.
તેથી,$k = 2(\frac{4}{5}) = \frac{8}{5}$,એટલે કે $C = (\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$.
$C$ એ $\triangle OPQ$ નું પરિકેન્દ્ર હોવાથી,$CO = CP = CQ = r_{circum}$.
$CO^2 = (\frac{4}{5})^2 + (\frac{8}{5})^2 = \frac{16+64}{25} = \frac{80}{25} = \frac{16}{5}$.
$C(\frac{4}{5}, \frac{8}{5})$ થી રેખા $2x + 4y - 5 = 0$ નું અંતર $d = \frac{|2(\frac{4}{5}) + 4(\frac{8}{5}) - 5|}{\sqrt{2^2 + 4^2}} = \frac{3}{\sqrt{20}}$.
$\triangle CPQ$ માં,$CP^2 = d^2 + PM^2$. $PM^2 = r^2 - OM^2$.
$OM = \frac{|-5|}{\sqrt{20}} = \frac{5}{\sqrt{20}}$.
$PM^2 = r^2 - \frac{25}{20} = r^2 - \frac{5}{4}$.
$CP^2 = \frac{9}{20} + r^2 - \frac{5}{4} = r^2 - \frac{16}{20} = r^2 - \frac{4}{5}$.
$\frac{16}{5} = r^2 - \frac{4}{5} \Rightarrow r^2 = 4 \Rightarrow r = 2$.

(C) ધારો કે આપેલ લક્ષ $L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{4 \sqrt{2}(\sin 3x + \sin x)}{\left(2 \sin 2x \sin \frac{3x}{2} + \cos \frac{5x}{2}\right) - \left(\sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2x + \cos \frac{3x}{2}\right)}$ છે.
નિત્યસમ $\sin 3x + \sin x = 2 \sin 2x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,અંશ $8 \sqrt{2} \sin 2x \cos x = 16 \sqrt{2} \sin x \cos^2 x$ બને છે.
છેદ માટે,આપણે $\cos \frac{5x}{2} - \cos \frac{3x}{2} = -2 \sin 2x \sin \frac{x}{2}$ અને $\sqrt{2} + \sqrt{2} \cos 2x = 2 \sqrt{2} \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
છેદનું સાદું રૂપ $2 \sin 2x (\sin \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{2}) - 2 \sqrt{2} \cos^2 x$ થાય છે.
$\sin \frac{3x}{2} - \sin \frac{x}{2} = 2 \cos x \sin \frac{x}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદ $2 \cos^2 x (4 \sin x \sin \frac{x}{2} - \sqrt{2})$ બને છે.
આમ,$L = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{8 \sqrt{2} \sin x}{4 \sin x \sin \frac{x}{2} - \sqrt{2}} = 8$.

(A, D) $P$ આગળનો અભિલંબ યામ અક્ષો પર સમાન અંતઃખંડ બનાવે છે,તેથી અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે. આમ,$P$ આગળના સ્પર્શકનો ઢાળ $1$ છે.
સ્પર્શક બિંદુ $(1, 0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - 0 = 1(x - 1)$,એટલે કે $x - y = 1$ છે.
$P(x_1, y_1)$ આગળના સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{xx_1}{a^2} - \frac{yy_1}{b^2} = 1$ છે. આને $x - y = 1$ સાથે સરખાવતા,આપણને $\frac{x_1}{a^2} = 1$ અને $\frac{y_1}{b^2} = 1$ મળે છે,તેથી $x_1 = a^2$ અને $y_1 = b^2$.
$P(a^2, b^2)$ એ અતિવલય પર હોવાથી,$\frac{(a^2)^2}{a^2} - \frac{(b^2)^2}{b^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $a^2 - b^2 = 1$ થાય છે.
$P(a^2, b^2)$ આગળના અભિલંબનો ઢાળ $-1$ છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y - b^2 = -1(x - a^2)$,એટલે કે $x + y = a^2 + b^2$ છે.
અભિલંબનો $x$-અંતઃખંડ $x = a^2 + b^2$ છે. સ્પર્શક $x - y = 1$ નો $x$-અંતઃખંડ $x = 1$ છે.
ત્રિકોણ સ્પર્શક,અભિલંબ અને $x$-અક્ષ દ્વારા બને છે. પાયો $x$-અંતઃખંડો વચ્ચેનું અંતર છે: $(a^2 + b^2) - 1 = (a^2 - 1) + b^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$. ઊંચાઈ $P$ નો $y$-યામ છે,જે $b^2$ છે.
આમ,$\Delta = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (2b^2) \times b^2 = b^4$. તેથી $(D)$ સાચું છે.
ઉત્કેન્દ્રતા $e$ માટે,$e^2 = 1 + \frac{b^2}{a^2} = 1 + \frac{a^2 - 1}{a^2} = 2 - \frac{1}{a^2}$.
$a > 1$ હોવાથી,$0 < \frac{1}{a^2} < 1$,તેથી $1 < 2 - \frac{1}{a^2} < 2$,જેનો અર્થ છે કે $1 < e^2 < 2$,તેથી $1 < e < \sqrt{2}$. આમ $(A)$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે $f(m, n, p) = \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i}$.
નિત્યસમ $\binom{n+i}{p} \binom{p+n}{p-i} = \binom{n+p}{p} \binom{n+i}{i}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$f(m, n, p) = \binom{n+p}{p} \sum_{i=0}^{p} \binom{m}{i} \binom{n+i}{i} = \binom{n+p}{p} \binom{m+n}{p}$.
તેથી,$\frac{f(m, n, p)}{\binom{n+p}{p}} = \binom{m+n}{p}$.
આમ $g(m, n) = \sum_{p=0}^{m+n} \binom{m+n}{p} = 2^{m+n}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $g(m, n) = 2^{m+n}$ અને $g(n, m) = 2^{n+m}$,તેથી $g(m, n) = g(n, m)$ એ $TRUE$ છે.
$(B)$ $g(m, n+1) = 2^{m+n+1}$ અને $g(m+1, n) = 2^{m+1+n}$,તેથી $g(m, n+1) = g(m+1, n)$ એ $TRUE$ છે.
$(C)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n}$ અને $2g(m, n) = 2 \cdot 2^{m+n} = 2^{m+n+1}$,તેથી $g(2m, 2n) \neq 2g(m, n)$.
$(D)$ $g(2m, 2n) = 2^{2m+2n} = (2^{m+n})^2 = (g(m, n))^2$,તેથી $g(2m, 2n) = (g(m, n))^2$ એ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $A, B, D$ છે.

(B) $n$ વસ્તુઓમાંથી $r$ વસ્તુઓ એવી રીતે પસંદ કરવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે ક્રમિક ન હોય,સૂત્ર $^{n-r+1}C_r$ છે.
અહીં,$n = 15$ અને $r = 4$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= ^{15-4+1}C_4 = ^{12}C_4$.
કિંમતની ગણતરી:
$^{12}C_4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$.

(C) ધારો કે ચાર રૂમમાં વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n_1, n_2, n_3, n_4$ છે. દરેક રૂમમાં ઓછામાં ઓછી $1$ અને વધુમાં વધુ $2$ વ્યક્તિઓ હોવાથી અને કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $6$ હોવાથી,$n_1 + n_2 + n_3 + n_4 = 6$ મળે,જ્યાં $1 \le n_i \le 2$.
આનો અર્થ એ છે કે બે રૂમમાં $2$ વ્યક્તિઓ અને બે રૂમમાં $1$ વ્યક્તિ હોવી જોઈએ (કારણ કે $2+2+1+1 = 6$).
$6$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓને આ જૂથોમાં વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{2!2!1!1!}$ છે.
રૂમ અલગ-અલગ હોવાથી,આપણે આ જૂથના કદને $4$ રૂમમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા વડે ગુણવું પડે,જે $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $\frac{6!}{2!2!1!1!} \times 6 = \frac{720}{4} \times 6 = 180 \times 6 = 1080$ છે.

(B) ગતિપથ $y = \frac{x^2}{2}$ આપેલ છે.
$t=0$ સમયે,કણ $(0, 0)$ પર $v = 1 \text{ m/s}$ ની ઝડપે છે.
$y = \frac{x^2}{2}$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt}$ મળે,જેનો અર્થ છે $v_y = x v_x$.
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$a_y = v_x^2 + x a_x$ મળે.
$(A)$ જો $a_x = 1 \text{ m/s}^2$ અને કણ ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પર હોય,તો $a_y = v_x^2 + (0)(1) = v_x^2$. ઝડપ $1 \text{ m/s}$ હોવાથી અને ઉગમબિંદુ પર $v_y = x v_x = 0$ હોવાથી,$v_x = 1 \text{ m/s}$ મળે. આમ,$a_y = 1^2 = 1 \text{ m/s}^2$. આ સાચું છે.
$(B)$ જો $a_x = 0$,તો $v_x$ અચળ રહે. $v_x(0) = 1 \text{ m/s}$ હોવાથી,દરેક $t$ માટે $v_x = 1 \text{ m/s}$. તેથી $a_y = v_x^2 + x a_x = 1^2 + x(0) = 1 \text{ m/s}^2$. આ સાચું છે.
$(C)$ $t=0$ સમયે,$x=0$. $v_y = x v_x$ હોવાથી,$v_y = 0 \cdot v_x = 0$. તેથી વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + 0 \hat{j}$ છે,જે $x$-દિશામાં છે. આ સાચું છે.
$(D)$ જો $a_x = 0$,તો $v_x = 1 \text{ m/s}$ અને $a_x = 0$. $a_y = v_x^2 + x a_x$ પરથી,$a_y = 1^2 + 0 = 1 \text{ m/s}^2$. $a_y$ અચળ હોવાથી,$v_y = a_y t = 1 \cdot t = t$. $t=1 \text{ s}$ સમયે,$v_y = 1 \text{ m/s}$. $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{1}{1} = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$. આ સાચું છે.
તેથી,તમામ વિધાનો $(A), (B), (C), (D)$ સાચા છે.

(C) આપેલ છે કે $f(x) = |x|(x - \sin x)$.
કારણ કે $f(-x) = |-x|(-x - \sin(-x)) = |x|(-x + \sin x) = -|x|(x - \sin x) = -f(x)$,તેથી આ વિધેય અયુગ્મ વિધેય છે.
$x \geq 0$ માટે,$f(x) = x^2 - x \sin x$. $x < 0$ માટે,$f(x) = -x^2 + x \sin x$.
જ્યારે $x \rightarrow \infty$,ત્યારે $f(x) = x^2(1 - \frac{\sin x}{x}) \rightarrow \infty$. જ્યારે $x \rightarrow -\infty$,ત્યારે $f(x) \rightarrow -\infty$. વિધેય $f$ સતત હોવાથી,તેનો વિસ્તાર $R$ છે,તેથી $f$ વ્યાપ્ત છે.
$x > 0$ માટે,$f'(x) = 2x - \sin x - x \cos x = x(1 - \cos x) + (x - \sin x)$. $x > 0$ માટે $x > \sin x$ અને $1 - \cos x \geq 0$ હોવાથી,$f'(x) > 0$ થાય.
$x < 0$ માટે,$f'(x) = -2x + \sin x + x \cos x = -[2x - \sin x - x \cos x] > 0$ (અયુગ્મ વિધેયની સંમિતિ દ્વારા).
બધા $x \neq 0$ માટે $f'(x) > 0$ હોવાથી અને $f$ સતત હોવાથી,$f$ એ $R$ પર ચુસ્ત વધતું વિધેય છે.
તેથી,$f$ એક-એક છે.
આમ,$f$ એક-એક અને વ્યાપ્ત બંને છે.

(A) આપેલ છે $f(x) = e^{x-1} - e^{-|x-1|}$ અને $g(x) = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$.
$x \leq 1$ માટે,$|x-1| = 1-x$,તેથી $f(x) = e^{x-1} - e^{x-1} = 0$.
$x \geq 1$ માટે,$|x-1| = x-1$,તેથી $f(x) = e^{x-1} - e^{1-x}$.
$x \geq 1$ માટે $f(x)$ અને $g(x)$ ના છેદબિંદુ શોધવા માટે:
$e^{x-1} - e^{1-x} = \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x})$
$2e^{x-1} - 2e^{1-x} = e^{x-1} + e^{1-x}$
$e^{x-1} = 3e^{1-x} \Rightarrow e^{2(x-1)} = 3 \Rightarrow 2(x-1) = \ln 3 \Rightarrow x = 1 + \frac{1}{2}\ln 3 = 1 + \ln \sqrt{3}$.
પ્રથમ ચરણમાં $y=f(x)$,$y=g(x)$ અને $x=0$ દ્વારા ઘેરાયેલ ક્ષેત્રફળ $A$:
$A = \int_0^1 (g(x) - 0) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (g(x) - f(x)) dx$
$A = \int_0^1 \frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) dx + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{1}{2}(e^{x-1} + e^{1-x}) - (e^{x-1} - e^{1-x})) dx$
$A = \frac{1}{2}[e^{x-1} - e^{1-x}]_0^1 + \int_1^{1+\ln \sqrt{3}} (\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}) dx$
$A = \frac{1}{2}[(e^0 - e^0) - (e^{-1} - e^1)] + [-\frac{3}{2}e^{1-x} - \frac{1}{2}e^{x-1}]_1^{1+\ln \sqrt{3}}$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [(-\frac{3}{2}e^{-\ln \sqrt{3}} - \frac{1}{2}e^{\ln \sqrt{3}}) - (-\frac{3}{2} - \frac{1}{2})]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{3}{2}(\frac{1}{\sqrt{3}}) - \frac{1}{2}(\sqrt{3}) + 2]$
$A = \frac{1}{2}(e - e^{-1}) + [-\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} + 2] = 2 - \sqrt{3} + \frac{1}{2}(e - e^{-1})$.

(B) $C_1$ માટે,$P(H) = \frac{2}{3}$. છાપની સંખ્યા $\alpha$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(2, \frac{2}{3})$ ને અનુસરે છે.
$P(\alpha = 0) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$P(\alpha = 1) = 2 \times \frac{2}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\alpha = 2) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$C_2$ માટે,$P(H) = \frac{1}{3}$. છાપની સંખ્યા $\beta$ એ દ્વિપદી વિતરણ $B(2, \frac{1}{3})$ ને અનુસરે છે.
$P(\beta = 0) = (\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 1) = 2 \times \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{4}{9}$
$P(\beta = 2) = (\frac{1}{3})^2 = \frac{1}{9}$
$x^2 - \alpha x + \beta = 0$ ના બીજ વાસ્તવિક અને સમાન હોય જો વિવેચક $D = \alpha^2 - 4\beta = 0$ થાય,એટલે કે $\alpha^2 = 4\beta$.
આ શરત સંતોષતી શક્ય જોડીઓ $(\alpha, \beta)$ એ $(0, 0)$ અને $(2, 1)$ છે.
સંભાવના $= P(\alpha=0)P(\beta=0) + P(\alpha=2)P(\beta=1)$
$= (\frac{1}{9} \times \frac{4}{9}) + (\frac{4}{9} \times \frac{4}{9}) = \frac{4}{81} + \frac{16}{81} = \frac{20}{81}$.

(C) ધારો કે લંબચોરસ રેખા $x = \frac{\pi}{4}$ ની સાપેક્ષમાં સંમિત છે. ધારો કે લંબચોરસની પહોળાઈ $2\alpha$ છે,જ્યાં શિરોલંબ બાજુઓના $x$-યામ $\frac{\pi}{4} - \alpha$ અને $\frac{\pi}{4} + \alpha$ છે.
લંબચોરસની ઊંચાઈ $y = 2 \sin(2(\frac{\pi}{4} + \alpha)) = 2 \sin(\frac{\pi}{2} + 2\alpha) = 2 \cos(2\alpha)$ છે.
લંબચોરસની પરિમિતિ $P = 2(\text{પહોળાઈ} + \text{ઊંચાઈ}) = 2(2\alpha + 2 \cos(2\alpha)) = 4(\alpha + \cos(2\alpha))$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ પરિમિતિ શોધવા માટે,આપણે $P$ નું $\alpha$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dP}{d\alpha} = 4(1 - 2 \sin(2\alpha)) = 0$.
આનાથી $\sin(2\alpha) = \frac{1}{2}$ મળે છે,તેથી $2\alpha = \frac{\pi}{6}$ (કારણ કે $0 < 2\alpha < \frac{\pi}{2}$),જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \frac{\pi}{12}$.
દ્વિતીય વિકલન ચકાસતા: $\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(2\alpha)$. $\alpha = \frac{\pi}{12}$ પર,$\frac{d^2P}{d\alpha^2} = -8 \cos(\frac{\pi}{6}) = -4\sqrt{3} < 0$,તેથી પરિમિતિ $\alpha = \frac{\pi}{12}$ પર મહત્તમ છે.
આ લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{ક્ષેત્રફળ} = \text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (2\alpha) \times (2 \cos(2\alpha)) = 2(\frac{\pi}{12}) \times 2 \cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{6} \times 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{2\sqrt{3}}$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = x - x^2 + (x - 1) \sin x = -(x - 1)^2 + (x - 1) \sin x = (x - 1) [-(x - 1) + \sin x]$.
અહીં $f(1) = 0$ છે.
વળી,$f'(x) = 1 - 2x + \sin x + (x - 1) \cos x$. તેથી,$f'(1) = 1 - 2 + \sin 1 + 0 = \sin 1 - 1$.
ધારો કે $h(x) = (fg)(x) = f(x)g(x)$.
$x=1$ આગળ વિકલનીયતા માટે,આપણે $h'(1) = \lim_{k \to 0} \frac{f(1+k)g(1+k) - f(1)g(1)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{f(1+k)g(1+k)}{k}$ ચકાસીએ.
કારણ કે $f(1+k) = k(-k + \sin(1+k))$,લક્ષ $\lim_{k \to 0} \frac{k(-k + \sin(1+k))g(1+k)}{k} = \lim_{k \to 0} (-k + \sin(1+k))g(1+k) = \sin(1) \cdot g(1)$ બને છે.
જો $g$ એ $x=1$ આગળ સતત હોય,તો $g(1+k) \to g(1)$,તેથી લક્ષનું અસ્તિત્વ છે. આમ,$(A)$ સાચું છે.
જો $g$ એ $x=1$ આગળ વિકલનીય હોય,તો તે સતત પણ હોય,તેથી $(C)$ સાચું છે.
જો $fg$ વિકલનીય હોય,તો તેનો અર્થ એ નથી કે $g$ સતત કે વિકલનીય છે. તેથી,$(B)$ અને $(D)$ ખોટા છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ છે.

(A) આપેલ છે કે $M^{-1} = \operatorname{adj}(\operatorname{adj} M)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $3 \times 3$ શ્રેણિક $M$ માટે,$\operatorname{adj}(\operatorname{adj} M) = (\operatorname{det} M)^{3-2} M = (\operatorname{det} M) M$.
તેથી,$M^{-1} = (\operatorname{det} M) M$.
બંને બાજુ $M$ વડે ગુણતા,$M^{-1} M = (\operatorname{det} M) M^2$,જેનો અર્થ છે કે $I = (\operatorname{det} M) M^2$.
બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$\operatorname{det}(I) = \operatorname{det}((\operatorname{det} M) M^2)$.
$1 = (\operatorname{det} M)^3 \cdot (\operatorname{det} M)^2 = (\operatorname{det} M)^5$.
કારણ કે $M$ ના ઘટકો વાસ્તવિક છે,$\operatorname{det} M = 1$.
$\operatorname{det} M = 1$ ને $I = (\operatorname{det} M) M^2$ માં મૂકતા,આપણને $I = M^2$ મળે છે.
કારણ કે $M^2 = I$,તેથી $(\operatorname{adj} M)^2 = \operatorname{adj}(M^2) = \operatorname{adj}(I) = I$.
આમ,વિધાનો $B, C,$ અને $D$ હંમેશા સાચા છે.

(D) $L_1$ અને $L_2$ નું છેદબિંદુ $(1, 0, 1)$ છે.
રેખા $L$ એ $(1, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $\frac{1-\alpha}{l} = \frac{0-1}{m} = \frac{1-\gamma}{-2}$ મળે.
$L_1$ અને $L_2$ ના દિશા સદિશો $\vec{v_1} = \hat{i} - \hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{v_2} = -3\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે.
કોણ દુભાજકની દિશા $\vec{v} = \hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ મળે છે.
તેથી $l=1$ અને $m=1$ મળે છે,જેથી $l+m=2$ થાય છે.
આ કિંમતો મૂકતા $\alpha=2$ અને $\gamma=-1$ મળે છે,તેથી $\alpha-\gamma=3$ થાય છે.

(C) ટેલર શ્રેણીના વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરતા,$x \in [0, 1]$ માટે $\cos x \geq 1 - \frac{x^2}{2}$ મળે છે.
$\int_0^1 x \cos x \, dx \geq \int_0^1 x(1 - \frac{x^2}{2}) \, dx = [\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{8}]_0^1 = \frac{1}{2} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8}$. આમ,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int_0^1 x \sin x \, dx \geq \int_0^1 x(x - \frac{x^3}{6}) \, dx = [\frac{x^3}{3} - \frac{x^5}{30}]_0^1 = \frac{1}{3} - \frac{1}{30} = \frac{9}{30} = \frac{3}{10}$. આમ,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ $x \in (0, 1]$ માટે $\cos x < 1$ હોવાથી,$\int_0^1 x^2 \cos x \, dx < \int_0^1 x^2 \, dx = \frac{1}{3}$. કારણ કે $\frac{1}{3} < \frac{1}{2}$,તેથી $(C)$ $FALSE$ છે.
$(D)$ $\sin x \geq x - \frac{x^3}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\int_0^1 x^2 \sin x \, dx \geq \int_0^1 x^2(x - \frac{x^3}{6}) \, dx = [\frac{x^4}{4} - \frac{x^6}{36}]_0^1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{36} = \frac{9-1}{36} = \frac{8}{36} = \frac{2}{9}$. આમ,$(D)$ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિકલ્પો $(A), (B), (D)$ છે.

(B) ધારો કે $\theta = \pi x - \frac{\pi}{4}$. $x \in [0, 2]$ હોવાથી,$\theta \in [-\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}]$.
તેથી $2\pi x = 2\theta + \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin(2\pi x) = \cos(2\theta)$.
વળી $3\pi x + \frac{\pi}{4} = 3(\theta + \frac{\pi}{4}) + \frac{\pi}{4} = 3\theta + \pi$,તેથી $\sin(3\pi x + \frac{\pi}{4}) = \sin(3\theta + \pi) = -\sin(3\theta)$.
અસમતા $f(x) \geq 0$ એ $(3 - \cos(2\theta)) \sin \theta - (-\sin(3\theta)) \geq 0$ બને છે.
$(3 - (1 - 2\sin^2 \theta)) \sin \theta + \sin(3\theta) \geq 0$.
$(2 + 2\sin^2 \theta) \sin \theta + (3\sin \theta - 4\sin^3 \theta) \geq 0$.
$2\sin \theta + 2\sin^3 \theta + 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \geq 0$.
$5\sin \theta - 2\sin^3 \theta \geq 0 \Rightarrow \sin \theta (5 - 2\sin^2 \theta) \geq 0$.
બધી $\theta$ માટે $5 - 2\sin^2 \theta > 0$ હોવાથી,$\sin \theta \geq 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,$\theta \in [0, \pi]$.
$0 \leq \pi x - \frac{\pi}{4} \leq \pi$ $\Rightarrow \frac{\pi}{4} \leq \pi x \leq \frac{5\pi}{4}$ $\Rightarrow x \in [\frac{1}{4}, \frac{5}{4}]$.
તેથી,$\alpha = \frac{1}{4}$ અને $\beta = \frac{5}{4}$,તેથી $\beta - \alpha = 1$.

(C) ત્રિકોણ $PQR$ માં,આપણી પાસે $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ છે.
કારણ કે $\vec{a} = \vec{QR}$,$\vec{b} = \vec{RP}$,અને $\vec{c} = \vec{PQ}$,તેથી $\vec{c} = -(\vec{a} + \vec{b})$.
આપેલ સમીકરણમાં $\vec{c}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{\vec{a} \cdot (-(\vec{a} + \vec{b}) - \vec{b})}{(-(\vec{a} + \vec{b})) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{|\vec{a}|}{|\vec{a}| + |\vec{b}|}$
$\frac{\vec{a} \cdot (-\vec{a} - 2\vec{b})}{-(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b})} = \frac{3}{3 + 4}$
$\frac{-|\vec{a}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(\vec{a}^2 - \vec{b}^2)} = \frac{3}{7}$
અહીં $|\vec{a}| = 3$ અને $|\vec{b}| = 4$ આપેલ છે,તેથી $|\vec{a}|^2 = 9$ અને $|\vec{b}|^2 = 16$.
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{-(9 - 16)} = \frac{3}{7}$
$\frac{-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})}{7} = \frac{3}{7}$
$-9 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 3$
$-2(\vec{a} \cdot \vec{b}) = 12$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = -6$
હવે,નિત્યસમ $|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 |\vec{b}|^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = (9)(16) - (-6)^2$
$|\vec{a} \times \vec{b}|^2 = 144 - 36 = 108$.

(A) ધારો કે $f(x) = (x^2-1)^2 h(x)$,જ્યાં $h(x) = a_0+a_1x+a_2x^2+a_3x^3$.
કારણ કે $(x^2-1)^2 = (x-1)^2(x+1)^2$,તેથી $f(x)$ ના બીજ $x=1$ અને $x=-1$ છે જેની ગુણકતા ઓછામાં ઓછી $2$ છે.
આમ,$f(1)=0, f(-1)=0$ અને $f'(1)=0, f'(-1)=0$.
રોલના પ્રમેય મુજબ,$(-1, 1)$ ની વચ્ચે એક $\alpha$ એવો મળે કે જેથી $f'(\alpha)=0$ થાય.
તેથી $f'(x)$ ના બીજ $-1, \alpha, 1$ છે,એટલે કે $m_{f'} \ge 3$.
જો $f(x) = (x^2-1)^2$ લઈએ,તો તેના બીજ $1, -1$ છે,તેથી $m_f = 2$.
આમ,$m_f + m_{f'} = 2 + 3 = 5$.
તેથી,ન્યૂનતમ કિંમત $5$ છે.

(A) ધારો કે $X$ એ સફળ હિટની સંખ્યા છે,જ્યાં $X \sim B(n, p)$ અને $p = 0.75 = \frac{3}{4}$ તથા $q = 1 - p = 0.25 = \frac{1}{4}$ છે.
લક્ષ્યને નષ્ટ કરવા માટે ઓછામાં ઓછા $3$ સફળ હિટની જરૂર છે,તેથી $P(X \geq 3) \geq 0.95$.
આ $1 - P(X < 3) \geq 0.95$ ને સમાન છે,અથવા $P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) \leq 0.05$.
સંભાવના વિધેય $P(X=r) = {}^{n}C_{r} (\frac{3}{4})^r (\frac{1}{4})^{n-r}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: ${}^{n}C_{0} (\frac{1}{4})^n + {}^{n}C_{1} (\frac{3}{4}) (\frac{1}{4})^{n-1} + {}^{n}C_{2} (\frac{3}{4})^2 (\frac{1}{4})^{n-2} \leq 0.05$.
$\frac{1}{4^n} [1 + 3n + \frac{9n(n-1)}{2}] \leq 0.05$.
$1 + 3n + 4.5n^2 - 4.5n \leq 0.05 \times 4^n$.
$4.5n^2 - 1.5n + 1 \leq 0.05 \times 4^n$.
$n=5$ માટે: $4.5(25) - 1.5(5) + 1 = 112.5 - 7.5 + 1 = 106 \leq 0.05(1024) = 51.2$ (ખોટું).
$n=6$ માટે: $4.5(36) - 1.5(6) + 1 = 162 - 9 + 1 = 154 \leq 0.05(4096) = 204.8$ (સાચું).
આમ,જરૂરી મિસાઇલોની ન્યૂનતમ સંખ્યા $6$ છે.

(C) ધારો કે $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$. $A$ નું લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - \text{tr}(A)\lambda + \det(A) = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\text{tr}(A) = a+d = 3$ અને ધારો કે $\Delta = \det(A) = ad-bc$.
તેથી,લાક્ષણિક સમીકરણ $\lambda^2 - 3\lambda + \Delta = 0$ છે.
કેલી-હેમિલ્ટન પ્રમેય મુજબ,$A^2 - 3A + \Delta I = 0$,જેનો અર્થ છે કે $A^2 = 3A - \Delta I$.
$A$ વડે ગુણતા,આપણને $A^3 = 3A^2 - \Delta A$ મળે છે.
સમીકરણમાં $A^2 = 3A - \Delta I$ મૂકતા:
$A^3 = 3(3A - \Delta I) - \Delta A = 9A - 3\Delta I - \Delta A = (9 - \Delta)A - 3\Delta I$.
બંને બાજુ ટ્રેસ લેતા:
$\text{tr}(A^3) = (9 - \Delta)\text{tr}(A) - 3\Delta \text{tr}(I)$.
કારણ કે $\text{tr}(A^3) = -18$,$\text{tr}(A) = 3$,અને $\text{tr}(I) = 2$ ($2 \times 2$ શ્રેણિક માટે):
$-18 = (9 - \Delta)(3) - 3\Delta(2)$.
$-18 = 27 - 3\Delta - 6\Delta$.
$-18 = 27 - 9\Delta$.
$9\Delta = 27 + 18 = 45$.
$\Delta = 5$.
આમ,$A$ નો નિશ્ચાયક $5$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x) = |2x-1| + |2x+1|$ અને $g(x) = x - [x] = \{x\}$.
અંતરાલ $x \in (-1, 1)$ માટે,અપૂર્ણાંક ભાગ વિધેય $g(x) = \{x\}$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$x \in (-1, 0)$ માટે $g(x) = x+1$ અને $x \in [0, 1)$ માટે $g(x) = x$.
તેથી,સંયોજિત વિધેય $h(x) = f(g(x)) = |2\{x\}-1| + |2\{x\}+1|$.
કારણ કે $\{x\} \in [0, 1)$,આપણી પાસે $2\{x\}+1 \geq 1$ છે,તેથી $|2\{x\}+1| = 2\{x\}+1$.
તેથી $h(x) = |2\{x\}-1| + 2\{x\} + 1$.
જો $0 \leq \{x\} \leq 1/2$ હોય,તો $h(x) = -(2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 2$.
જો $1/2 < \{x\} < 1$ હોય,તો $h(x) = (2\{x\}-1) + 2\{x\} + 1 = 4\{x\}$.
અંતરાલ $(-1, 1)$ નું વિશ્લેષણ કરતા:
$x \in (-1, 0)$ માટે,$\{x\} = x+1$. તેથી જો $x+1 \leq 1/2$ (એટલે કે $x \leq -1/2$) હોય તો $h(x) = 2$ અને જો $x > -1/2$ હોય તો $h(x) = 4(x+1)$.
$x \in [0, 1)$ માટે,$\{x\} = x$. તેથી જો $x \leq 1/2$ હોય તો $h(x) = 2$ અને જો $x > 1/2$ હોય તો $h(x) = 4x$.
અસતતતા: વિધેય $h(x)$ એ $x=0$ આગળ અસતત છે કારણ કે $\lim_{x \to 0^-} h(x) = 4(0+1) = 4$ અને $h(0) = 2$. તેથી,$c=1$.
અવિકલનીયતા: વિધેય $x = -1/2$ (કોર્નર પોઈન્ટ),$x = 0$ (અસતતતા),અને $x = 1/2$ (કોર્નર પોઈન્ટ) આગળ અવિકલનીય છે. તેથી,$d=3$.
તેથી,$c+d = 1+3 = 4$.

(D) આપેલ વિકલ સમીકરણ $f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2}$ છે.
ચલને અલગ કરતા,આપણને $\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} = \frac{1}{b^2+x^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા,આપણને $\int \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)} dx = \int \frac{1}{b^2+x^2} dx$ મળે છે.
આનાથી $\ln|f(x)| = \frac{1}{b} \tan^{-1}\left(\frac{x}{b}\right) + C$ મળે છે.
પ્રારંભિક શરત $f(0)=1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\ln(1) = \frac{1}{b} \tan^{-1}(0) + C$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $C=0$.
આમ,$f(x) = e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{x}{b})}$.
હવે,$f(x)f(-x) = e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{x}{b})} \cdot e^{\frac{1}{b} \tan^{-1}(\frac{-x}{b})} = e^{\frac{1}{b} (\tan^{-1}(\frac{x}{b}) - \tan^{-1}(\frac{x}{b}))} = e^0 = 1$. તેથી,$(C)$ સાચું છે.
$b>0$ માટે,$f^{\prime}(x) = \frac{f(x)}{b^2+x^2} > 0$ કારણ કે $f(x) = e^{\dots} > 0$ અને $b^2+x^2 > 0$. આમ,$f$ એ વધતું વિધેય છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ છે.

(B) આપેલ છે કે $f(x+y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y)$. બંને બાજુ $1$ ઉમેરતા $1 + f(x+y) = (1 + f(x))(1 + f(y))$ મળે છે.
ધારો કે $h(x) = 1 + f(x)$. તો $h(x+y) = h(x)h(y)$.
કારણ કે $f(x) = xg(x)$ અને $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$,તેથી $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$,એટલે કે $h(0) = 1 + f(0) = 1$.
$h(x+y) = h(x)h(y)$ માટે,ઉકેલ $h(x) = e^{cx}$ છે.
આમ $1 + f(x) = e^{cx}$,અથવા $f(x) = e^{cx} - 1$.
આપેલ છે કે $f(x) = xg(x)$,તેથી $g(x) = \frac{e^{cx}-1}{x}$.
$\lim_{x \to 0} g(x) = \lim_{x \to 0} \frac{e^{cx}-1}{x} = c$.
કારણ કે $\lim_{x \to 0} g(x) = 1$,તેથી $c = 1$.
તેથી,$f(x) = e^x - 1$.
$f'(x) = e^x$,જે તમામ $x \in R$ માટે વ્યાખ્યાયિત છે,તેથી $(A)$ $TRUE$ છે.
$f'(0) = e^0 = 1$,તેથી $(D)$ $TRUE$ છે.
$f'(1) = e^1 = e \neq 1$,તેથી $(C)$ $FALSE$ છે.
$g(x) = \frac{e^x-1}{x}$ માટે જ્યારે $x \neq 0$ અને $g(0)=1$,$g$ એ તમામ $x \neq 0$ માટે વિકલનીય છે. $x=0$ આગળ,$g'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{\frac{e^h-1}{h}-1}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{e^h-1-h}{h^2} = \frac{1}{2}$. આમ $g$ દરેક જગ્યાએ વિકલનીય છે,તેથી $(B)$ $TRUE$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુઓ $P(1, 0, -1)$ અને $Q(3, 2, -1)$ છે. સમતલની સાપેક્ષે $P$ નું પ્રતિબિંબ $Q$ છે.
રેખાખંડ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ સમતલ પર આવેલું છે.
$R = \left( \frac{1+3}{2}, \frac{0+2}{2}, \frac{-1-1}{2} \right) = (2, 1, -1)$.
કારણ કે $R$ એ સમતલ $\alpha x + \beta y + \gamma z = \delta$ પર છે,તેથી:
$2\alpha + \beta - \gamma = \delta$ --- $(1)$
સમતલનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (\alpha, \beta, \gamma)$ છે.
સદિશ $\vec{PQ} = (3-1, 2-0, -1-(-1)) = (2, 2, 0)$ એ અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ ને સમાંતર છે.
તેથી,$\frac{\alpha}{2} = \frac{\beta}{2} = \frac{\gamma}{0} = k$ (જ્યાં $k \neq 0$).
આનાથી $\alpha = 2k$,$\beta = 2k$,અને $\gamma = 0$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\alpha + \gamma = 1$,તેથી $2k + 0 = 1$,એટલે કે $k = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = 1$,$\beta = 1$,અને $\gamma = 0$.
આ કિંમતોને $(1)$ માં મૂકતા:
$2(1) + 1(1) - 0 = \delta \implies \delta = 3$.
હવે,વિકલ્પો તપાસીએ:
$(A)$ $\alpha + \beta = 1 + 1 = 2$ (સાચું)
$(B)$ $\delta - \gamma = 3 - 0 = 3$ (સાચું)
$(C)$ $\delta + \beta = 3 + 1 = 4$ (સાચું)
$(D)$ $\alpha + \beta + \gamma = 1 + 1 + 0 = 2 \neq \delta$ (ખોટું)
આમ,વિધાનો $A, B, C$ સાચા છે.

(D) $\vec{w}$ નો $\vec{PQ}$ પરનો પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{u} = \left( \frac{\vec{w} \cdot \vec{PQ}}{|\vec{PQ}|^2} \right) \vec{PQ}$ છે.
તેનું માન $|\vec{u}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PQ}|}{|\vec{PQ}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai+bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{a+b}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
તે જ રીતે,$\vec{PS}$ પરના પ્રક્ષેપ સદિશ $\vec{v}$ નું માન $|\vec{v}| = \frac{|\vec{w} \cdot \vec{PS}|}{|\vec{PS}|} = \frac{|(i+j) \cdot (ai-bj)|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \frac{|a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ છે.
આપેલ છે કે $|\vec{u}| + |\vec{v}| = |\vec{w}| = \sqrt{1^2+1^2} = \sqrt{2}$,તેથી $\frac{a+b + |a-b|}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2}$.
જો $a \ge b$ હોય,તો $\frac{2a}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies 4a^2 = 2(a^2+b^2) \implies 2a^2 = 2b^2 \implies a=b$.
જો $b > a$ હોય,તો $\frac{2b}{\sqrt{a^2+b^2}} = \sqrt{2} \implies a=b$.
આમ,$a=b$. સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $|\vec{PQ} \times \vec{PS}| = |(ai+bj) \times (ai-bj)| = |(-abk - abk)| = |-2abk| = 2ab = 8$.
$a=b$ હોવાથી,$2a^2 = 8 \implies a^2 = 4 \implies a=2$ ($a>0$ હોવાથી). તેથી $a=2, b=2$.
$(A)$ $a+b = 2+2 = 4$ (સાચું).
$(B)$ $a-b = 2-2 = 0 \neq 2$ (ખોટું).
$(C)$ વિકર્ણ $\vec{PR} = \vec{PQ} + \vec{PS} = (ai+bj) + (ai-bj) = 2ai = 4i$. લંબાઈ $|4i| = 4$ છે (સાચું).
$(D)$ $\vec{PQ} = 2i+2j$ અને $\vec{PS} = 2i-2j$. ખૂણાના દ્વિભાજકની દિશા $\frac{\vec{PQ}}{|\vec{PQ}|} + \frac{\vec{PS}}{|\vec{PS}|} = \frac{2i+2j}{2\sqrt{2}} + \frac{2i-2j}{2\sqrt{2}} = \frac{4i}{2\sqrt{2}} = \sqrt{2}i$ છે. આ $x$-અક્ષની દિશામાં છે,જ્યારે $\vec{w} = i+j$ એ $45^\circ$ પર છે. (ખોટું).

(D) ધારો કે $S$ એ બે પાસા પરના અંકોનો સરવાળો છે. $S$ ના શક્ય મૂલ્યો $2$ થી $12$ છે.
અવિભાજ્ય સરવાળાનો ગણ $P = \{2, 3, 5, 7, 11\}$ છે. આ સરવાળા માટેના પરિણામોની સંખ્યા: $P(2)=1, P(3)=2, P(5)=4, P(7)=6, P(11)=2$. અવિભાજ્ય માટે કુલ પરિણામો = $1+2+4+6+2 = 15$. તેથી,$P(\text{Prime}) = \frac{15}{36}$.
પૂર્ણ વર્ગ સરવાળાનો ગણ $Q = \{4, 9\}$ છે. આ સરવાળા માટેના પરિણામોની સંખ્યા: $P(4)=3, P(9)=4$. પૂર્ણ વર્ગ માટે કુલ પરિણામો = $3+4 = 7$. તેથી,$P(\text{Perfect Square}) = \frac{7}{36}$.
અવિભાજ્ય કે પૂર્ણ વર્ગ ન મળે તેની સંભાવના $1 - (\frac{15}{36} + \frac{7}{36}) = 1 - \frac{22}{36} = \frac{14}{36}$ છે.
ધારો કે $E$ એ ઘટના છે કે અવિભાજ્ય પહેલાં પૂર્ણ વર્ગ મળે. સંભાવના $P(E) = \frac{7/36}{1 - 14/36} = \frac{7}{22}$.
આપણને આપેલ છે કે અવિભાજ્ય પહેલાં પૂર્ણ વર્ગ મળે છે. આપણે તે સંભાવના શોધીએ છીએ કે આ પૂર્ણ વર્ગ એકી સંખ્યા છે. આપણા ગણમાં એકી પૂર્ણ વર્ગ $9$ છે,જેના $4$ પરિણામો છે. બેકી પૂર્ણ વર્ગ $4$ છે,જેના $3$ પરિણામો છે.
શરત મુજબ,પૂર્ણ વર્ગ $9$ (એકી) હોય તેની સંભાવના $\frac{P(9)}{P(4) + P(9)} = \frac{4}{3+4} = \frac{4}{7}$ છે.
આમ,$p = \frac{4}{7}$.
તેથી,$14p = 14 \times \frac{4}{7} = 8$.

(A) ગુણધર્મ $f(x) + f(1-x) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં $39$ પદોનો સરવાળો છે,જેમાં વચ્ચેનું પદ $f\left(\frac{1}{2}\right)$ છે.
$19$ જોડીઓનો સરવાળો $1$ થાય છે,તેથી કુલ સરવાળો $19 + f\left(\frac{1}{2}\right)$ થશે.
આમ,$19 + f\left(\frac{1}{2}\right) - f\left(\frac{1}{2}\right) = 19$.

(A) આપેલ છે કે $F(x) = \int_0^x f(t) dt$,કલનશાસ્ત્રના મૂળભૂત પ્રમેય મુજબ,$F'(x) = f(x)$ અને $F(0) = 0$ થાય.
આપણને નીચે મુજબનું સંકલન સમીકરણ આપેલ છે:
$\int_0^\pi (f'(x) + F(x)) \cos x dx = 2$
સંકલનને બે ભાગમાં વિભાજિત કરતા:
$\int_0^\pi f'(x) \cos x dx + \int_0^\pi F(x) \cos x dx = 2$
પ્રથમ સંકલન $I_1 = \int_0^\pi f'(x) \cos x dx$ માટે ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I_1 = [f(x) \cos x]_0^\pi - \int_0^\pi f(x) (-\sin x) dx$
$I_1 = f(\pi) \cos(\pi) - f(0) \cos(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$
$f(\pi) = -6$,$\cos(\pi) = -1$,અને $\cos(0) = 1$ હોવાથી:
$I_1 = (-6)(-1) - f(0)(1) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx = 6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx$
હવે,બીજું સંકલન $I_2 = \int_0^\pi F(x) \cos x dx$ ધ્યાનમાં લો. ખંડશઃ સંકલનનો ઉપયોગ કરતા:
$I_2 = [F(x) \sin x]_0^\pi - \int_0^\pi F'(x) \sin x dx$
$F(0) = 0$ અને $\sin(0) = \sin(\pi) = 0$ હોવાથી,સીમા પદ $0$ થશે.
$I_2 = - \int_0^\pi f(x) \sin x dx$
$I_1$ અને $I_2$ ની કિંમતો મૂળ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(6 - f(0) + \int_0^\pi f(x) \sin x dx) + (- \int_0^\pi f(x) \sin x dx) = 2$
$6 - f(0) = 2$
$f(0) = 4$.