MathematicsQ1–36 of 36 questions
Page 1 of 1 · Gujarati
1
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $\alpha$ એ એક ધન વાસ્તવિક સંખ્યા છે. ધારો કે $f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ અને $g: (\alpha, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \sin \left(\frac{\pi x}{12}\right)$ અને $g(x) = \frac{2 \log_{e}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\log_{e}(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેયો છે. તો $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} f(g(x))$ ની કિંમત શોધો.
A
$0.30$
B
$0.40$
C
$0.50$
D
$0.55$
Solution
(C) આપણે $\lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} g(x)$ ની કિંમત શોધવી પડશે.
ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{2 \ln(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\ln(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$. આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = 2 \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$L = 2 \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}$
$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}}$
લિમિટના ભાગ માટે ફરીથી લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{\alpha}} = 2$.
હવે,$\lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} f(g(x)) = f(2) = \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = 0.50$.
ધારો કે $L = \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{2 \ln(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}{\ln(e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}})}$. આ $\frac{0}{0}$ અનિશ્ચિત સ્વરૂપ છે.
લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = 2 \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}$
$L = 2 \lim_{x \rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{e^{\sqrt{x}}(\sqrt{x}-\sqrt{\alpha})}$
$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}}-e^{\sqrt{\alpha}}}{\sqrt{x}-\sqrt{\alpha}}$
લિમિટના ભાગ માટે ફરીથી લોપિટલના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} \frac{e^{\sqrt{x}} \cdot \frac{1}{2\sqrt{x}}}{\frac{1}{2\sqrt{x}}} = \frac{2}{e^{\sqrt{\alpha}}} \cdot e^{\sqrt{\alpha}} = 2$.
હવે,$\lim_{x}$ ${\rightarrow \alpha^{+}} f(g(x)) = f(2) = \sin\left(\frac{2\pi}{12}\right) = \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2} = 0.50$.
0 likesView Solution
2
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
એક રોગચાળા વિશેના અભ્યાસમાં,$900$ વ્યક્તિઓનો ડેટા એકત્રિત કરવામાં આવ્યો હતો. તે જાણવા મળ્યું કે:
$190$ વ્યક્તિઓને તાવના લક્ષણો હતા,
$220$ વ્યક્તિઓને ઉધરસના લક્ષણો હતા,
$220$ વ્યક્તિઓને શ્વાસ લેવામાં તકલીફના લક્ષણો હતા,
$330$ વ્યક્તિઓને તાવ અથવા ઉધરસ અથવા બંનેના લક્ષણો હતા,
$350$ વ્યક્તિઓને ઉધરસ અથવા શ્વાસ લેવામાં તકલીફ અથવા બંનેના લક્ષણો હતા,
$340$ વ્યક્તિઓને તાવ અથવા શ્વાસ લેવામાં તકલીફ અથવા બંનેના લક્ષણો હતા,
$30$ વ્યક્તિઓને ત્રણેય લક્ષણો (તાવ,ઉધરસ અને શ્વાસ લેવામાં તકલીફ) હતા.
જો આ $900$ વ્યક્તિઓમાંથી એક વ્યક્તિને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો તે વ્યક્તિને વધુમાં વધુ એક લક્ષણ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
$190$ વ્યક્તિઓને તાવના લક્ષણો હતા,
$220$ વ્યક્તિઓને ઉધરસના લક્ષણો હતા,
$220$ વ્યક્તિઓને શ્વાસ લેવામાં તકલીફના લક્ષણો હતા,
$330$ વ્યક્તિઓને તાવ અથવા ઉધરસ અથવા બંનેના લક્ષણો હતા,
$350$ વ્યક્તિઓને ઉધરસ અથવા શ્વાસ લેવામાં તકલીફ અથવા બંનેના લક્ષણો હતા,
$340$ વ્યક્તિઓને તાવ અથવા શ્વાસ લેવામાં તકલીફ અથવા બંનેના લક્ષણો હતા,
$30$ વ્યક્તિઓને ત્રણેય લક્ષણો (તાવ,ઉધરસ અને શ્વાસ લેવામાં તકલીફ) હતા.
જો આ $900$ વ્યક્તિઓમાંથી એક વ્યક્તિને યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો તે વ્યક્તિને વધુમાં વધુ એક લક્ષણ હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?
A
$0.80$
B
$0.70$
C
$0.50$
D
$0.40$
Solution
(A) $n(U) = 900$
ધારો કે $A \equiv \text{તાવ}$,$B \equiv \text{ઉધરસ}$,$C \equiv \text{શ્વાસ લેવામાં તકલીફ}$.
આપેલ છે: $n(A) = 190, n(B) = 220, n(C) = 220$,
$n(A \cup B) = 330, n(B \cup C) = 350, n(A \cup C) = 340, n(A \cap B \cap C) = 30$.
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$330 = 190 + 220 - n(A \cap B) \Rightarrow n(A \cap B) = 80$.
તે જ રીતે,$350 = 220 + 220 - n(B \cap C) \Rightarrow n(B \cap C) = 90$.
અને $340 = 190 + 220 - n(A \cap C) \Rightarrow n(A \cap C) = 70$.
હવે,$n(A \cup B \cup C) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - (80 + 90 + 70) + 30 = 630 - 240 + 30 = 420$.
કોઈપણ લક્ષણ વગરની વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= n(U) - n(A \cup B \cup C) = 900 - 420 = 480$.
ચોક્કસ એક લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= (n(A) + n(B) + n(C)) - 2(n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + 3n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - 2(80 + 90 + 70) + 3(30) = 630 - 480 + 90 = 240$.
વધુમાં વધુ એક લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 480 + 240 = 720$.
સંભાવના $= \frac{720}{900} = \frac{8}{10} = 0.80$.
ધારો કે $A \equiv \text{તાવ}$,$B \equiv \text{ઉધરસ}$,$C \equiv \text{શ્વાસ લેવામાં તકલીફ}$.
આપેલ છે: $n(A) = 190, n(B) = 220, n(C) = 220$,
$n(A \cup B) = 330, n(B \cup C) = 350, n(A \cup C) = 340, n(A \cap B \cap C) = 30$.
$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$330 = 190 + 220 - n(A \cap B) \Rightarrow n(A \cap B) = 80$.
તે જ રીતે,$350 = 220 + 220 - n(B \cap C) \Rightarrow n(B \cap C) = 90$.
અને $340 = 190 + 220 - n(A \cap C) \Rightarrow n(A \cap C) = 70$.
હવે,$n(A \cup B \cup C) = (n(A) + n(B) + n(C)) - (n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - (80 + 90 + 70) + 30 = 630 - 240 + 30 = 420$.
કોઈપણ લક્ષણ વગરની વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= n(U) - n(A \cup B \cup C) = 900 - 420 = 480$.
ચોક્કસ એક લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= (n(A) + n(B) + n(C)) - 2(n(A \cap B) + n(B \cap C) + n(A \cap C)) + 3n(A \cap B \cap C)$
$= (190 + 220 + 220) - 2(80 + 90 + 70) + 3(30) = 630 - 480 + 90 = 240$.
વધુમાં વધુ એક લક્ષણ ધરાવતી વ્યક્તિઓની સંખ્યા $= 480 + 240 = 720$.
સંભાવના $= \frac{720}{900} = \frac{8}{10} = 0.80$.
0 likesView Solution
3
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $z$ એ શૂન્યતર કાલ્પનિક ભાગ ધરાવતી સંકરતી સંકર સંખ્યા છે. જો $\frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2}$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $|z|^2$ ની કિંમત શોધો.
A
$0.20$
B
$0.50$
C
$0.55$
D
$0.60$
Solution
(B) આપેલ છે કે $z \neq \overline{z}$.
ધારો કે $\alpha = \frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2} = 1 + \frac{6z}{2-3z+4z^2}$.
જો $\alpha$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $\alpha = \overline{\alpha}$.
તેથી $\frac{z}{2-3z+4z^2} = \frac{\overline{z}}{2-3\overline{z}+4\overline{z}^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(z-\overline{z}) = 4z\overline{z}(z-\overline{z})$.
$z \neq \overline{z}$ હોવાથી,$4z\overline{z} = 2$.
તેથી $|z|^2 = z\overline{z} = 0.50$.
ધારો કે $\alpha = \frac{2+3z+4z^2}{2-3z+4z^2} = 1 + \frac{6z}{2-3z+4z^2}$.
જો $\alpha$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોય,તો $\alpha = \overline{\alpha}$.
તેથી $\frac{z}{2-3z+4z^2} = \frac{\overline{z}}{2-3\overline{z}+4\overline{z}^2}$.
સાદુરૂપ આપતા,$2(z-\overline{z}) = 4z\overline{z}(z-\overline{z})$.
$z \neq \overline{z}$ હોવાથી,$4z\overline{z} = 2$.
તેથી $|z|^2 = z\overline{z} = 0.50$.
0 likesView Solution
4
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $\bar{z}$ એ સંકર સંખ્યા $z$ નો સંકર અનુબદ્ધ છે અને $i=\sqrt{-1}$ છે. સંકર સંખ્યાઓના ગણમાં,સમીકરણ $\bar{z}-z^2=i(\bar{z}+z^2)$ ના ભિન્ન ઉકેલોની સંખ્યા . . . . . . છે.
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(C) આપેલ છે,$\bar{z}-z^2=i(\bar{z}+z^2)$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1-i)\bar{z}=(1+i)z^2$ મળે છે.
તેથી,$\bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z^2 = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2}z^2 = \frac{2i}{2}z^2 = iz^2$.
ધારો કે $z = x+iy$,તો $\bar{z} = x-iy$.
$\bar{z} = iz^2$ માં કિંમત મૂકતા,$x-iy = i(x+iy)^2 = i(x^2-y^2+2ixy) = -2xy + i(x^2-y^2)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = -2xy \Rightarrow x(1+2y) = 0$.
$-y = x^2-y^2 \Rightarrow x^2 = y^2-y$.
કિસ્સો $I$: જો $x=0$,તો $y^2-y=0$,તેથી $y=0$ અથવા $y=1$. આનાથી $z=0$ અને $z=i$ ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $II$: જો $y=-\frac{1}{2}$,તો $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$,તેથી $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. આનાથી $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ અને $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ ઉકેલો મળે છે.
કુલ $4$ ભિન્ન ઉકેલો છે.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $(1-i)\bar{z}=(1+i)z^2$ મળે છે.
તેથી,$\bar{z} = \frac{1+i}{1-i}z^2 = \frac{(1+i)^2}{1^2+1^2}z^2 = \frac{2i}{2}z^2 = iz^2$.
ધારો કે $z = x+iy$,તો $\bar{z} = x-iy$.
$\bar{z} = iz^2$ માં કિંમત મૂકતા,$x-iy = i(x+iy)^2 = i(x^2-y^2+2ixy) = -2xy + i(x^2-y^2)$.
વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક ભાગોને સરખાવતા:
$x = -2xy \Rightarrow x(1+2y) = 0$.
$-y = x^2-y^2 \Rightarrow x^2 = y^2-y$.
કિસ્સો $I$: જો $x=0$,તો $y^2-y=0$,તેથી $y=0$ અથવા $y=1$. આનાથી $z=0$ અને $z=i$ ઉકેલો મળે છે.
કિસ્સો $II$: જો $y=-\frac{1}{2}$,તો $x^2 = (-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$,તેથી $x = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$. આનાથી $z = \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ અને $z = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}i$ ઉકેલો મળે છે.
કુલ $4$ ભિન્ન ઉકેલો છે.
0 likesView Solution
5
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $l_1, l_2, \ldots, l_{100}$ એ $d_1$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી સમાંતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો છે,અને $w_1, w_2, \ldots, w_{100}$ એ $d_2$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી બીજી સમાંતર શ્રેણીના ક્રમિક પદો છે,જ્યાં $d_1 d_2 = 10$. દરેક $i = 1, 2, \ldots, 100$ માટે,ધારો કે $R_i$ એ $l_i$ લંબાઈ,$w_i$ પહોળાઈ અને $A_i$ ક્ષેત્રફળ ધરાવતો લંબચોરસ છે. જો $A_{51} - A_{50} = 1000$ હોય,તો $A_{100} - A_{90}$ ની કિંમત શોધો.
A
$18900$
B
$18901$
C
$18902$
D
$18903$
Solution
(A) આપેલ છે $A_{51} - A_{50} = 1000$.
$l_i = l_1 + (i-1)d_1$ અને $w_i = w_1 + (i-1)d_2$ હોવાથી,$A_i = l_i w_i = (l_1 + (i-1)d_1)(w_1 + (i-1)d_2)$ મળે.
$A_{51} - A_{50} = (l_1 + 50d_1)(w_1 + 50d_2) - (l_1 + 49d_1)(w_1 + 49d_2) = 1000$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + (50^2 - 49^2)d_1 d_2 = 1000$ મળે.
$d_1 d_2 = 10$ હોવાથી,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + 99(10) = 1000$,એટલે કે $l_1 d_2 + w_1 d_1 = 10$.
હવે,$A_{100} - A_{90} = (l_1 + 99d_1)(w_1 + 99d_2) - (l_1 + 89d_1)(w_1 + 89d_2)$.
$= (l_1 d_2 + w_1 d_1)(99 - 89) + (99^2 - 89^2)d_1 d_2$.
$= 10(10) + (99 - 89)(99 + 89)(10) = 100 + 10(188)(10) = 100 + 18800 = 18900$.
$l_i = l_1 + (i-1)d_1$ અને $w_i = w_1 + (i-1)d_2$ હોવાથી,$A_i = l_i w_i = (l_1 + (i-1)d_1)(w_1 + (i-1)d_2)$ મળે.
$A_{51} - A_{50} = (l_1 + 50d_1)(w_1 + 50d_2) - (l_1 + 49d_1)(w_1 + 49d_2) = 1000$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + (50^2 - 49^2)d_1 d_2 = 1000$ મળે.
$d_1 d_2 = 10$ હોવાથી,$l_1 d_2 + w_1 d_1 + 99(10) = 1000$,એટલે કે $l_1 d_2 + w_1 d_1 = 10$.
હવે,$A_{100} - A_{90} = (l_1 + 99d_1)(w_1 + 99d_2) - (l_1 + 89d_1)(w_1 + 89d_2)$.
$= (l_1 d_2 + w_1 d_1)(99 - 89) + (99^2 - 89^2)d_1 d_2$.
$= 10(10) + (99 - 89)(99 + 89)(10) = 100 + 10(188)(10) = 100 + 18800 = 18900$.
0 likesView Solution
6
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
$0, 2, 3, 4, 6, 7$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને બંધ અંતરાલ $[2022, 4482]$ માં આવતા $4$-અંકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓની સંખ્યા શોધો.
A
$550$
B
$569$
C
$570$
D
$575$
Solution
(B) આપણે ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ અંકોનો ઉપયોગ કરીને અંતરાલ $[2022, 4482]$ માં આવતી $4$-અંકની પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
કિસ્સો $(1)$: $202...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
સંખ્યાઓ $2022, 2023, 2024, 2026, 2027$ છે. કુલ = $5$.
કિસ્સો $(2)$: $203..., 204..., 206..., 207...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $2$,બીજો $0$,ત્રીજો ${3, 4, 6, 7}$ ($4$ વિકલ્પો),ચોથો ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ ($6$ વિકલ્પો).
કુલ = $4 \times 6 = 24$.
કિસ્સો $(3)$: $22..., 23..., 24..., 26..., 27...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $2$,બીજો ${2, 3, 4, 6, 7}$ ($5$ વિકલ્પો),ત્રીજો અને ચોથો ગમે તે ($6$ વિકલ્પો).
કુલ = $5 \times 6 \times 6 = 180$.
કિસ્સો $(4)$: $3...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $3$,બાકીના ત્રણ સ્થાનો માટે $6$ વિકલ્પો.
કુલ = $6 \times 6 \times 6 = 216$.
કિસ્સો $(5)$: $40..., 42..., 43..., 44...$ થી $4482$ સુધીની સંખ્યાઓ.
$40..., 42..., 43...$ માટે: $3 \times 6 \times 6 = 108$.
$440..., 442..., 443...$ માટે: $3 \times 6 = 18$.
$4440, 4442, 4443, 4444, 4446, 4447$: $6$ સંખ્યાઓ.
$4460, 4462, 4463, 4464, 4466, 4467$: $6$ સંખ્યાઓ.
$4470, 4472, 4473, 4474, 4476, 4477$: $6$ સંખ્યાઓ.
કિસ્સો $(5)$ માટે સરવાળો = $108 + 18 + 6 + 6 + 6 = 144$.
કુલ = $5 + 24 + 180 + 216 + 144 = 569$.
કિસ્સો $(1)$: $202...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
સંખ્યાઓ $2022, 2023, 2024, 2026, 2027$ છે. કુલ = $5$.
કિસ્સો $(2)$: $203..., 204..., 206..., 207...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $2$,બીજો $0$,ત્રીજો ${3, 4, 6, 7}$ ($4$ વિકલ્પો),ચોથો ${0, 2, 3, 4, 6, 7}$ ($6$ વિકલ્પો).
કુલ = $4 \times 6 = 24$.
કિસ્સો $(3)$: $22..., 23..., 24..., 26..., 27...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $2$,બીજો ${2, 3, 4, 6, 7}$ ($5$ વિકલ્પો),ત્રીજો અને ચોથો ગમે તે ($6$ વિકલ્પો).
કુલ = $5 \times 6 \times 6 = 180$.
કિસ્સો $(4)$: $3...$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ
પ્રથમ અંક $3$,બાકીના ત્રણ સ્થાનો માટે $6$ વિકલ્પો.
કુલ = $6 \times 6 \times 6 = 216$.
કિસ્સો $(5)$: $40..., 42..., 43..., 44...$ થી $4482$ સુધીની સંખ્યાઓ.
$40..., 42..., 43...$ માટે: $3 \times 6 \times 6 = 108$.
$440..., 442..., 443...$ માટે: $3 \times 6 = 18$.
$4440, 4442, 4443, 4444, 4446, 4447$: $6$ સંખ્યાઓ.
$4460, 4462, 4463, 4464, 4466, 4467$: $6$ સંખ્યાઓ.
$4470, 4472, 4473, 4474, 4476, 4477$: $6$ સંખ્યાઓ.
કિસ્સો $(5)$ માટે સરવાળો = $108 + 18 + 6 + 6 + 6 = 144$.
કુલ = $5 + 24 + 180 + 216 + 144 = 569$.
0 likesView Solution
7
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે જેમાં $AB=1$,$AC=3$ અને $\angle BAC=\frac{\pi}{2}$ છે. જો $r>0$ ત્રિજ્યા ધરાવતું એક વર્તુળ બાજુઓ $AB$ અને $AC$ ને સ્પર્શે છે અને ત્રિકોણ $ABC$ ના પરિવર્તુળને અંદરની તરફ સ્પર્શે છે,તો $r$ નું મૂલ્ય શોધો:
A
$0.83$
B
$0.84$
C
$0.85$
D
$0.86$
Solution
(B) ને $(0,0)$,$B$ ને $(1,0)$,અને $C$ ને $(0,3)$ પર મૂકો.
$\triangle ABC$ ના પરિવર્તુળનો વ્યાસ $BC$ છે. કેન્દ્ર $C_1$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{1^2+3^2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તે $AB$ $(y=0)$ અને $AC$ $(x=0)$ ને પ્રથમ ચરણમાં સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (r, r)$ છે.
નાનું વર્તુળ પરિવર્તુળને અંદરની તરફ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = R - r$ હોવું જોઈએ.
$C_1 C_2^2 = (r - \frac{1}{2})^2 + (r - \frac{3}{2})^2 = (R - r)^2 = (\frac{\sqrt{10}}{2} - r)^2$.
$r^2 - 4r + \sqrt{10}r = 0$.
$r > 0$ હોવાથી,$r = 4 - \sqrt{10} \approx 0.838$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$r \approx 0.84$.
$\triangle ABC$ ના પરિવર્તુળનો વ્યાસ $BC$ છે. કેન્દ્ર $C_1$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $C_1 = (\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$.
પરિવર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \frac{BC}{2} = \frac{\sqrt{1^2+3^2}}{2} = \frac{\sqrt{10}}{2}$.
નાના વર્તુળની ત્રિજ્યા $r$ છે અને તે $AB$ $(y=0)$ અને $AC$ $(x=0)$ ને પ્રથમ ચરણમાં સ્પર્શે છે,તેથી તેનું કેન્દ્ર $C_2 = (r, r)$ છે.
નાનું વર્તુળ પરિવર્તુળને અંદરની તરફ સ્પર્શતું હોવાથી,કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $C_1 C_2 = R - r$ હોવું જોઈએ.
$C_1 C_2^2 = (r - \frac{1}{2})^2 + (r - \frac{3}{2})^2 = (R - r)^2 = (\frac{\sqrt{10}}{2} - r)^2$.
$r^2 - 4r + \sqrt{10}r = 0$.
$r > 0$ હોવાથી,$r = 4 - \sqrt{10} \approx 0.838$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડિંગ કરતા,$r \approx 0.84$.
0 likesView Solution
8
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $a_1, a_2, a_3, \ldots$ એ $a_1=7$ અને સામાન્ય તફાવત $8$ ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે. ધારો કે $T_1, T_2, T_3, \ldots$ એવા છે કે $T_1=3$ અને $n \geq 1$ માટે $T_{n+1}-T_n=a_n$ છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) T_{20}=1604$
$(B) \sum_{k=1}^{20} T_k=10510$
$(C) T_{30}=3454$
$(D) \sum_{k=1}^{30} T_k=35610$
$(A) T_{20}=1604$
$(B) \sum_{k=1}^{20} T_k=10510$
$(C) T_{30}=3454$
$(D) \sum_{k=1}^{30} T_k=35610$
A
$A, B$
B
$B, C$
C
$A, C$
D
$A, D$
Solution
(B) આપેલ છે કે $a_1=7$ અને $d=8$. સમાંતર શ્રેણીનું $n$-મું પદ $a_n = a_1 + (n-1)d = 7 + (n-1)8 = 8n-1$ છે.
આપણને $T_{n+1} - T_n = a_n$ આપેલ છે. $k=1$ થી $n-1$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ મળે છે.
$T_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (8k-1) = 3 + 8 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 3 + 4n^2 - 4n - n + 1 = 4n^2 - 5n + 4$.
$n=20$ માટે,$T_{20} = 4(20)^2 - 5(20) + 4 = 1600 - 100 + 4 = 1504$. (વિકલ્પ $A$ ખોટો છે).
$n=30$ માટે,$T_{30} = 4(30)^2 - 5(30) + 4 = 3600 - 150 + 4 = 3454$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
હવે,$\sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 5k + 4) = 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 \frac{n(n+1)}{2} + 4n$.
$n=20$ માટે,$\sum_{k=1}^{20} T_k = 4 \frac{20(21)(41)}{6} - 5 \frac{20(21)}{2} + 4(20) = 2(2870) - 1050 + 80 = 11480 - 1050 + 80 = 10510$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$n=30$ માટે,$\sum_{k=1}^{30} T_k = 4 \frac{30(31)(61)}{6} - 5 \frac{30(31)}{2} + 4(30) = 2(18920) - 2325 + 120 = 37840 - 2325 + 120 = 35635$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).
આમ,વિકલ્પો $B$ અને $C$ સાચા છે.
આપણને $T_{n+1} - T_n = a_n$ આપેલ છે. $k=1$ થી $n-1$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને $T_n = T_1 + \sum_{k=1}^{n-1} a_k$ મળે છે.
$T_n = 3 + \sum_{k=1}^{n-1} (8k-1) = 3 + 8 \frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = 3 + 4n^2 - 4n - n + 1 = 4n^2 - 5n + 4$.
$n=20$ માટે,$T_{20} = 4(20)^2 - 5(20) + 4 = 1600 - 100 + 4 = 1504$. (વિકલ્પ $A$ ખોટો છે).
$n=30$ માટે,$T_{30} = 4(30)^2 - 5(30) + 4 = 3600 - 150 + 4 = 3454$. (વિકલ્પ $C$ સાચો છે).
હવે,$\sum_{k=1}^n T_k = \sum_{k=1}^n (4k^2 - 5k + 4) = 4 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} - 5 \frac{n(n+1)}{2} + 4n$.
$n=20$ માટે,$\sum_{k=1}^{20} T_k = 4 \frac{20(21)(41)}{6} - 5 \frac{20(21)}{2} + 4(20) = 2(2870) - 1050 + 80 = 11480 - 1050 + 80 = 10510$. (વિકલ્પ $B$ સાચો છે).
$n=30$ માટે,$\sum_{k=1}^{30} T_k = 4 \frac{30(31)(61)}{6} - 5 \frac{30(31)}{2} + 4(30) = 2(18920) - 2325 + 120 = 37840 - 2325 + 120 = 35635$. (વિકલ્પ $D$ ખોટો છે).
આમ,વિકલ્પો $B$ અને $C$ સાચા છે.
0 likesView Solution
9
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
પરવલય $y^2=4x$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $S$ એ પરવલયનું નાભિ છે. બિંદુ $P=(-2,1)$ માંથી પરવલય પર દોરેલા સ્પર્શકોની જોડી પરવલયને $P_1$ અને $P_2$ માં મળે છે. ધારો કે $Q_1$ અને $Q_2$ એ અનુક્રમે રેખાઓ $SP_1$ અને $SP_2$ પરના એવા બિંદુઓ છે કે જેથી $PQ_1$ એ $SP_1$ ને લંબ હોય અને $PQ_2$ એ $SP_2$ ને લંબ હોય. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A)$ $SQ_1=2$
$(B)$ $Q_1Q_2=\frac{3\sqrt{10}}{5}$
$(C)$ $PQ_1=3$
$(D)$ $SQ_2=1$
$(A)$ $SQ_1=2$
$(B)$ $Q_1Q_2=\frac{3\sqrt{10}}{5}$
$(C)$ $PQ_1=3$
$(D)$ $SQ_2=1$
A
$B, C, D$
B
$B, C$
C
$B, D$
D
$C, D$
Solution
(B, C) પરવલય $y^2=4x$ (જ્યાં $a=1$) ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y=mx+\frac{1}{m}$ છે.
તે $P=(-2,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$1=-2m+\frac{1}{m}$,જે $2m^2+m-1=0$ માં પરિણમે છે.
$m$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(2m-1)(m+1)=0$ મળે છે,તેથી $m=\frac{1}{2}$ અથવા $m=-1$.
સ્પર્શ બિંદુઓ $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m=\frac{1}{2}$ માટે,બિંદુ $P_1=(4,4)$ છે. $m=-1$ માટે,બિંદુ $P_2=(1,-2)$ છે.
નાભિ $S$ એ $(1,0)$ છે.
રેખા $SP_1$ એ $(1,0)$ અને $(4,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y-0=\frac{4-0}{4-1}(x-1)$ છે,જે $4x-3y-4=0$ છે.
રેખા $SP_2$ એ $(1,0)$ અને $(1,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x=1$ છે.
લંબાઈ $PQ_1$ એ $P(-2,1)$ થી $4x-3y-4=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $PQ_1 = \frac{|4(-2)-3(1)-4|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-15|}{5} = 3$ છે.
તે જ રીતે,$PQ_2$ એ $P(-2,1)$ થી $x=1$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $PQ_2 = |-2-1| = 3$ છે.
$\triangle SPQ_1$ માં,$SQ_1 = \sqrt{SP^2 - PQ_1^2}$. અહીં $SP = \sqrt{(-2-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ છે.
તેથી $SQ_1 = \sqrt{10-9} = 1$. તેવી જ રીતે,$SQ_2 = 1$.
આમ,વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.
તે $P=(-2,1)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$1=-2m+\frac{1}{m}$,જે $2m^2+m-1=0$ માં પરિણમે છે.
$m$ માટે ઉકેલતા,આપણને $(2m-1)(m+1)=0$ મળે છે,તેથી $m=\frac{1}{2}$ અથવા $m=-1$.
સ્પર્શ બિંદુઓ $(\frac{a}{m^2}, \frac{2a}{m})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m=\frac{1}{2}$ માટે,બિંદુ $P_1=(4,4)$ છે. $m=-1$ માટે,બિંદુ $P_2=(1,-2)$ છે.
નાભિ $S$ એ $(1,0)$ છે.
રેખા $SP_1$ એ $(1,0)$ અને $(4,4)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $y-0=\frac{4-0}{4-1}(x-1)$ છે,જે $4x-3y-4=0$ છે.
રેખા $SP_2$ એ $(1,0)$ અને $(1,-2)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x=1$ છે.
લંબાઈ $PQ_1$ એ $P(-2,1)$ થી $4x-3y-4=0$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $PQ_1 = \frac{|4(-2)-3(1)-4|}{\sqrt{4^2+(-3)^2}} = \frac{|-15|}{5} = 3$ છે.
તે જ રીતે,$PQ_2$ એ $P(-2,1)$ થી $x=1$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $PQ_2 = |-2-1| = 3$ છે.
$\triangle SPQ_1$ માં,$SQ_1 = \sqrt{SP^2 - PQ_1^2}$. અહીં $SP = \sqrt{(-2-1)^2+(1-0)^2} = \sqrt{9+1} = \sqrt{10}$ છે.
તેથી $SQ_1 = \sqrt{10-9} = 1$. તેવી જ રીતે,$SQ_2 = 1$.
આમ,વિકલ્પો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
10
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
નીચેની યાદીઓ ધ્યાનમાં લો:
સાચો વિકલ્પ છે:
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ $\{x \in[-\frac{2 \pi}{3}, \frac{2 \pi}{3}]: \cos x+\sin x=1\}$ | $(P)$ બે ઘટકો ધરાવે છે |
| $(II)$ $\{x \in[-\frac{5 \pi}{18}, \frac{5 \pi}{18}]: \sqrt{3} \tan 3 x=1\}$ | $(Q)$ ત્રણ ઘટકો ધરાવે છે |
| $(III)$ $\{x \in[-\frac{6 \pi}{5}, \frac{6 \pi}{5}]: 2 \cos (2 x)=\sqrt{3}\}$ | $(R)$ ચાર ઘટકો ધરાવે છે |
| $(IV)$ $\{x \in[-\frac{7 \pi}{4}, \frac{7 \pi}{4}]: \sin x-\cos x=1\}$ | $(S)$ પાંચ ઘટકો ધરાવે છે |
| $(T)$ છ ઘટકો ધરાવે છે |
સાચો વિકલ્પ છે:
A
$(I)$ $\rightarrow (P); (II)$ $\rightarrow (P); (III)$ $\rightarrow (T); (IV)$ $\rightarrow (R)$
B
$(I)$ $\rightarrow (P); (II)$ $\rightarrow (S); (III)$ $\rightarrow (P); (IV)$ $\rightarrow (S)$
C
$(I)$ $\rightarrow (Q); (II)$ $\rightarrow (P); (III)$ $\rightarrow (T); (IV)$ $\rightarrow (S)$
D
$(I)$ $\rightarrow (Q); (II)$ $\rightarrow (S); (III)$ $\rightarrow (P); (IV)$ $\rightarrow (R)$
0 likesView Solution
11
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ઉપવલય $\frac{x^2}{4}+\frac{y^2}{3}=1$ ધ્યાનમાં લો. ધારો કે $H(\alpha, 0)$,$0 < \alpha < 2$,એક બિંદુ છે. $H$ માંથી પસાર થતી અને $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા ઉપવલય અને તેના સહાયક વર્તુળને પ્રથમ ચરણમાં અનુક્રમે $E$ અને $F$ બિંદુઓમાં છેદે છે. બિંદુ $E$ આગળ ઉપવલયનો સ્પર્શક ધન $x$-અક્ષને $G$ બિંદુમાં છેદે છે. ધારો કે $F$ અને ઉગમબિંદુને જોડતી સીધી રેખા ધન $x$-અક્ષ સાથે $\phi$ ખૂણો બનાવે છે.
સાચો વિકલ્પ છે:
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ જો $\phi=\frac{\pi}{4}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ | $(P) \frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8}$ |
| $(II)$ જો $\phi=\frac{\pi}{3}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ | $(Q) 1$ |
| $(III)$ જો $\phi=\frac{\pi}{6}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ | $(R) \frac{3}{4}$ |
| $(IV)$ જો $\phi=\frac{\pi}{12}$ હોય,તો ત્રિકોણ $FGH$ નું ક્ષેત્રફળ | $(S) \frac{1}{2\sqrt{3}}$ |
| $(T) \frac{3\sqrt{3}}{2}$ |
સાચો વિકલ્પ છે:
A
$(I) \rightarrow (R); (II) \rightarrow (S); (III) \rightarrow (Q); (IV) \rightarrow (P)$
B
$(I) \rightarrow (R); (II) \rightarrow (T); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (P)$
C
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (T); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (P)$
D
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (S); (III) \rightarrow (Q); (IV) \rightarrow (P)$
Solution
(C) ધારો કે $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$ અને $E(2\cos\phi, \sqrt{3}\sin\phi)$ છે.
$E$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(2\cos\phi)}{4} + \frac{y(\sqrt{3}\sin\phi)}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x\cos\phi}{2} + \frac{y\sin\phi}{\sqrt{3}} = 1$ થાય છે.
$y=0$ લેતા,આપણને $G$ નો $x$-યામ $x_G = \frac{2}{\cos\phi}$ મળે છે. આમ,$G = (\frac{2}{\cos\phi}, 0)$.
યામો $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$,$G(\frac{2}{\cos\phi}, 0)$,અને $H(2\cos\phi, 0)$ છે.
$\Delta FGH$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times HG \times FH$.
$HG = |\frac{2}{\cos\phi} - 2\cos\phi| = 2\frac{1-\cos^2\phi}{\cos\phi} = 2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}$.
$FH = 2\sin\phi$.
ક્ષેત્રફળ $A(\phi) = \frac{1}{2} \times (2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}) \times (2\sin\phi) = 2\tan\phi \sin^2\phi$.
$(I)$ $\phi = \frac{\pi}{4}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{4}) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 2(1)(\frac{1}{2}) = 1 \rightarrow (Q)$.
$(II)$ $\phi = \frac{\pi}{3}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{3}) \sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2(\sqrt{3})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \rightarrow (T)$.
$(III)$ $\phi = \frac{\pi}{6}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{6}) \sin^2(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \rightarrow (S)$.
$(IV)$ $\phi = \frac{\pi}{12}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{12}) \sin^2(\frac{\pi}{12}) = 2(2-\sqrt{3})(\frac{1-\cos(\pi/6)}{2}) = (2-\sqrt{3})(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8} = \frac{(4-2\sqrt{3})^2}{8} = \frac{28-16\sqrt{3}}{8} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$. આમ,$(IV) \rightarrow (P)$.
તેથી,$(I) \rightarrow (Q), (II) \rightarrow (T), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (P)$.
$E$ આગળ સ્પર્શકનું સમીકરણ $\frac{x(2\cos\phi)}{4} + \frac{y(\sqrt{3}\sin\phi)}{3} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x\cos\phi}{2} + \frac{y\sin\phi}{\sqrt{3}} = 1$ થાય છે.
$y=0$ લેતા,આપણને $G$ નો $x$-યામ $x_G = \frac{2}{\cos\phi}$ મળે છે. આમ,$G = (\frac{2}{\cos\phi}, 0)$.
યામો $F(2\cos\phi, 2\sin\phi)$,$G(\frac{2}{\cos\phi}, 0)$,અને $H(2\cos\phi, 0)$ છે.
$\Delta FGH$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times HG \times FH$.
$HG = |\frac{2}{\cos\phi} - 2\cos\phi| = 2\frac{1-\cos^2\phi}{\cos\phi} = 2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}$.
$FH = 2\sin\phi$.
ક્ષેત્રફળ $A(\phi) = \frac{1}{2} \times (2\frac{\sin^2\phi}{\cos\phi}) \times (2\sin\phi) = 2\tan\phi \sin^2\phi$.
$(I)$ $\phi = \frac{\pi}{4}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{4}) \sin^2(\frac{\pi}{4}) = 2(1)(\frac{1}{2}) = 1 \rightarrow (Q)$.
$(II)$ $\phi = \frac{\pi}{3}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{3}) \sin^2(\frac{\pi}{3}) = 2(\sqrt{3})(\frac{3}{4}) = \frac{3\sqrt{3}}{2} \rightarrow (T)$.
$(III)$ $\phi = \frac{\pi}{6}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{6}) \sin^2(\frac{\pi}{6}) = 2(\frac{1}{\sqrt{3}})(\frac{1}{4}) = \frac{1}{2\sqrt{3}} \rightarrow (S)$.
$(IV)$ $\phi = \frac{\pi}{12}$ માટે,$A = 2\tan(\frac{\pi}{12}) \sin^2(\frac{\pi}{12}) = 2(2-\sqrt{3})(\frac{1-\cos(\pi/6)}{2}) = (2-\sqrt{3})(1-\frac{\sqrt{3}}{2}) = \frac{(2-\sqrt{3})^2}{2} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$.
વળી,$\frac{(\sqrt{3}-1)^4}{8} = \frac{(4-2\sqrt{3})^2}{8} = \frac{28-16\sqrt{3}}{8} = \frac{7-4\sqrt{3}}{2}$. આમ,$(IV) \rightarrow (P)$.
તેથી,$(I) \rightarrow (Q), (II) \rightarrow (T), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (P)$.
0 likesView Solution
12
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $\alpha$ અને $\beta$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જેથી $-\frac{\pi}{4} < \beta < 0 < \alpha < \frac{\pi}{4}$. જો $\sin (\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ અને $\cos (\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$ હોય,તો $\left(\frac{\sin \alpha}{\cos \beta} + \frac{\cos \beta}{\sin \alpha} + \frac{\cos \alpha}{\sin \beta} + \frac{\sin \beta}{\cos \alpha}\right)^2$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધો.
A
$1$
B
$5$
C
$6$
D
$7$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\sin(\alpha+\beta) = \frac{1}{3}$ અને $\cos(\alpha-\beta) = \frac{2}{3}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે કિંમત $1$ છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક $1$ છે.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે કે કિંમત $1$ છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક $1$ છે.
0 likesView Solution
13
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
$x^{(16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x)} = 5^{-16}$ સમીકરણનું સમાધાન કરતા $x$ ના તમામ ધન વાસ્તવિક મૂલ્યોનો ગુણાકાર કેટલો થાય?
A
$0$
B
$1$
C
$4$
D
$5$
Solution
(B) આપેલ સમીકરણ: $x^{16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x} = 5^{-16}$.
બંને બાજુ $\log_5$ લેતા:
$(16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x) \cdot \log_5 x = \log_5(5^{-16})$.
ધારો કે $t = \log_5 x$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$(16t^3 - 68t) \cdot t = -16$.
$16t^4 - 68t^2 + 16 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા:
$4t^4 - 17t^2 + 4 = 0$.
ધારો કે $u = t^2$. તો $4u^2 - 17u + 4 = 0$.
$(4u - 1)(u - 4) = 0$.
તેથી,$u = 1/4$ અથવા $u = 4$.
$u = t^2 = (\log_5 x)^2$ હોવાથી,$(\log_5 x)^2 = 1/4$ અથવા $(\log_5 x)^2 = 4$.
આથી $\log_5 x = \pm 1/2$ અથવા $\log_5 x = \pm 2$.
$x$ ના મૂલ્યો $5^{1/2}, 5^{-1/2}, 5^2, 5^{-2}$ છે.
આ મૂલ્યોનો ગુણાકાર $5^{1/2 - 1/2 + 2 - 2} = 5^0 = 1$ થાય.
બંને બાજુ $\log_5$ લેતા:
$(16(\log_5 x)^3 - 68 \log_5 x) \cdot \log_5 x = \log_5(5^{-16})$.
ધારો કે $t = \log_5 x$. તો સમીકરણ નીચે મુજબ બનશે:
$(16t^3 - 68t) \cdot t = -16$.
$16t^4 - 68t^2 + 16 = 0$.
$4$ વડે ભાગતા:
$4t^4 - 17t^2 + 4 = 0$.
ધારો કે $u = t^2$. તો $4u^2 - 17u + 4 = 0$.
$(4u - 1)(u - 4) = 0$.
તેથી,$u = 1/4$ અથવા $u = 4$.
$u = t^2 = (\log_5 x)^2$ હોવાથી,$(\log_5 x)^2 = 1/4$ અથવા $(\log_5 x)^2 = 4$.
આથી $\log_5 x = \pm 1/2$ અથવા $\log_5 x = \pm 2$.
$x$ ના મૂલ્યો $5^{1/2}, 5^{-1/2}, 5^2, 5^{-2}$ છે.
આ મૂલ્યોનો ગુણાકાર $5^{1/2 - 1/2 + 2 - 2} = 5^0 = 1$ થાય.
0 likesView Solution
14
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
જો $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^3} - (1 - x^3)^{1/3} + ((1 - x^2)^{1/2} - 1) \sin x}{x \sin^2 x}$ હોય,તો $6 \beta$ ની કિંમત શોધો.
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(A) આપેલ છે કે $\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{e^{x^3} - (1 - x^3)^{1/3} + ((1 - x^2)^{1/2} - 1) \sin x}{x \sin^2 x}$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદને $x \sin^2 x = x^3 \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \approx x^3$ તરીકે લખી શકાય.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$e^{x^3} = 1 + x^3 + O(x^6)$
$(1 - x^3)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^6)$
$(1 - x^2)^{1/2} - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^3) - (1 - \frac{1}{3}x^3) + (-\frac{1}{2}x^2) \cdot x}{x^3}$
$\beta = \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1 + x^3 - 1 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^3}{x^3} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$6 \beta = 6 \times \frac{5}{6} = 5$.
પ્રમાણિત લક્ષ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,છેદને $x \sin^2 x = x^3 \left(\frac{\sin x}{x}\right)^2 \approx x^3$ તરીકે લખી શકાય.
ટેલર શ્રેણીનો ઉપયોગ કરીને પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$e^{x^3} = 1 + x^3 + O(x^6)$
$(1 - x^3)^{1/3} = 1 - \frac{1}{3}x^3 + O(x^6)$
$(1 - x^2)^{1/2} - 1 = -\frac{1}{2}x^2 + O(x^4)$
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા:
$\beta = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(1 + x^3) - (1 - \frac{1}{3}x^3) + (-\frac{1}{2}x^2) \cdot x}{x^3}$
$\beta = \lim_{x}$ ${\rightarrow 0} \frac{1 + x^3 - 1 + \frac{1}{3}x^3 - \frac{1}{2}x^3}{x^3} = 1 + \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6}$.
તેથી,$6 \beta = 6 \times \frac{5}{6} = 5$.
0 likesView Solution
15
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
અતિવલય $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ ધ્યાનમાં લો,જેના નાભિઓ $S$ અને $S_1$ છે,જ્યાં $S$ એ ધન $x$-અક્ષ પર છે. ધારો કે $P$ એ પ્રથમ ચરણમાં અતિવલય પરનું એક બિંદુ છે. ધારો કે $\angle SPS_1 = \alpha$,જ્યાં $\alpha < \frac{\pi}{2}$. બિંદુ $S$ માંથી પસાર થતી અને અતિવલયના $P$ આગળના સ્પર્શક જેવો જ ઢાળ ધરાવતી રેખા,$S_1P$ રેખાને $P_1$ માં છેદે છે. ધારો કે $\delta$ એ $P$ નું $SP_1$ રેખાથી અંતર છે અને $\beta = S_1P$ છે. તો $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2}$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક શોધો.
A
$5$
B
$6$
C
$7$
D
$8$
Solution
(C) અતિવલય $\frac{x^2}{100}-\frac{y^2}{64}=1$ માટે,$a^2=100$ અને $b^2=64$ છે. નાભિઓ વચ્ચેનું અંતર $2ae = 2\sqrt{164} = 4\sqrt{41}$ છે.
અતિવલયના ગુણધર્મ મુજબ,$S_1P - SP = 2a = 20$. ધારો કે $SP = r$. તો $S_1P = r+20$,તેથી $\beta = r+20$.
$\triangle SPP_1$ માં,$\angle SPP_1 = \frac{\alpha}{2}$ છે.
$\triangle SPP_1$ માં,$\delta = SP \sin(\angle SPP_1) = r \sin \frac{\alpha}{2}$.
$\triangle SPS_1$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ગણતરી કરતા $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{64}{9} \approx 7.11$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક $7$ છે.
અતિવલયના ગુણધર્મ મુજબ,$S_1P - SP = 2a = 20$. ધારો કે $SP = r$. તો $S_1P = r+20$,તેથી $\beta = r+20$.
$\triangle SPP_1$ માં,$\angle SPP_1 = \frac{\alpha}{2}$ છે.
$\triangle SPP_1$ માં,$\delta = SP \sin(\angle SPP_1) = r \sin \frac{\alpha}{2}$.
$\triangle SPS_1$ માં કોસાઇનના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ગણતરી કરતા $\frac{\beta \delta}{9} \sin \frac{\alpha}{2} = \frac{64}{9} \approx 7.11$ મળે છે.
તેથી,મહત્તમ પૂર્ણાંક $7$ છે.
0 likesView Solution
16
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $PQRS$ એ સમતલમાં એક ચતુષ્કોણ છે,જ્યાં $QR = 1$,$\angle PQR = \angle QRS = 70^{\circ}$,$\angle PQS = 15^{\circ}$ અને $\angle PRS = 40^{\circ}$ છે. જો $\angle RPS = \theta^{\circ}$,$PQ = \alpha$ અને $PS = \beta$ હોય,તો $4 \alpha \beta \sin \theta^{\circ}$ ની કિંમત ધરાવતા અંતરાલ(ઓ) કયા છે?
$(A)$ $(0, \sqrt{2})$
$(B)$ $(1, 2)$
$(C)$ $(\sqrt{2}, 3)$
$(D)$ $(2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$
$(A)$ $(0, \sqrt{2})$
$(B)$ $(1, 2)$
$(C)$ $(\sqrt{2}, 3)$
$(D)$ $(2 \sqrt{2}, 3 \sqrt{2})$
A
$(A), (B), (C)$
B
$(A), (B), (D)$
C
$(A), (B)$
D
$(A), (C)$
Solution
(C) $\triangle PQR$ માં,$\angle PRQ = \angle QRS - \angle PRS = 70^{\circ} - 40^{\circ} = 30^{\circ}$ છે.
$\triangle QRS$ માં,$\angle RQS = \angle PQR - \angle PQS = 70^{\circ} - 15^{\circ} = 55^{\circ}$ છે.
તેથી $\angle QSR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 55^{\circ} = 55^{\circ}$ મળે.
$\angle RQS = \angle QSR = 55^{\circ}$ હોવાથી,$QR = RS = 1$ થાય.
$\triangle PQR$ માં,$\angle QPR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ}$ છે.
$\triangle PQR$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{\alpha}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\sin 80^{\circ}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}}$ મળે.
$\triangle PRS$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{\beta}{\sin 40^{\circ}} = \frac{1}{\sin \theta} \Rightarrow \beta \sin \theta = \sin 40^{\circ}$ મળે.
હવે,$4 \alpha \beta \sin \theta = 4 \left( \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}} \right) \sin 40^{\circ} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}} = \sec 40^{\circ}$ થાય.
$30^{\circ} < 40^{\circ} < 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sec 30^{\circ} < \sec 40^{\circ} < \sec 45^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sec 40^{\circ} < \sqrt{2}$.
$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$\sec 40^{\circ}$ ની કિંમત $(0, \sqrt{2})$ અને $(1, 2)$ અંતરાલમાં આવે છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ છે.
$\triangle QRS$ માં,$\angle RQS = \angle PQR - \angle PQS = 70^{\circ} - 15^{\circ} = 55^{\circ}$ છે.
તેથી $\angle QSR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 55^{\circ} = 55^{\circ}$ મળે.
$\angle RQS = \angle QSR = 55^{\circ}$ હોવાથી,$QR = RS = 1$ થાય.
$\triangle PQR$ માં,$\angle QPR = 180^{\circ} - 70^{\circ} - 30^{\circ} = 80^{\circ}$ છે.
$\triangle PQR$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{\alpha}{\sin 30^{\circ}} = \frac{1}{\sin 80^{\circ}} \Rightarrow \alpha = \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}}$ મળે.
$\triangle PRS$ માં સાઈનનો નિયમ વાપરતા:
$\frac{\beta}{\sin 40^{\circ}} = \frac{1}{\sin \theta} \Rightarrow \beta \sin \theta = \sin 40^{\circ}$ મળે.
હવે,$4 \alpha \beta \sin \theta = 4 \left( \frac{1}{2 \sin 80^{\circ}} \right) \sin 40^{\circ} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\sin 80^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{2 \sin 40^{\circ} \cos 40^{\circ}} = \sec 40^{\circ}$ થાય.
$30^{\circ} < 40^{\circ} < 45^{\circ}$ હોવાથી,$\sec 30^{\circ} < \sec 40^{\circ} < \sec 45^{\circ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\frac{2}{\sqrt{3}} < \sec 40^{\circ} < \sqrt{2}$.
$\frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$ અને $\sqrt{2} \approx 1.414$ હોવાથી,$\sec 40^{\circ}$ ની કિંમત $(0, \sqrt{2})$ અને $(1, 2)$ અંતરાલમાં આવે છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $(A)$ અને $(B)$ છે.
0 likesView Solution
17
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $\bar{z}$ એ સંકર સંખ્યા $z$ નો સંયુગ્મ છે. જો $z$ એક શૂન્યતર સંકર સંખ્યા હોય જેના માટે $(\bar{z})^2+\frac{1}{z^2}$ ના વાસ્તવિક અને કાલ્પનિક બંને ભાગ પૂર્ણાંક હોય,તો $|z|$ ની શક્ય કિંમત(ઓ) નીચેનામાંથી કઈ છે?
A
$\left(\frac{43+3 \sqrt{205}}{2}\right)^{\frac{1}{4}}$
B
$\left(\frac{7+\sqrt{33}}{4}\right)^{\frac{1}{4}}$
C
$\left(\frac{9+\sqrt{65}}{4}\right)^{\frac{1}{4}}$
D
$\left(\frac{7+\sqrt{13}}{6}\right)^{\frac{1}{4}}$
Solution
(A) ધારો કે $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$,તેથી $\bar{z} = r(\cos \theta - i \sin \theta)$.
તેથી $(\bar{z})^2 + \frac{1}{z^2} = r^2(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) + \frac{1}{r^2}(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = (r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta - i (r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta$.
ધારો કે $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta = m$ અને $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta = -n$,જ્યાં $m, n \in \mathbb{Z}$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $(r^2 + \frac{1}{r^2})^2 = m^2 + n^2$ મળે છે.
વિસ્તરણ કરતા,$r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = m^2 + n^2$.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$|z|^4 = \frac{43+3 \sqrt{205}}{2}$.
તેથી $r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = 43 + 2 = 45$,જે $m^2 + n^2 = 45$ છે. આ પૂર્ણાંક $m, n$ માટે શક્ય છે (દા.ત.,$6^2 + 3^2 = 45$).
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
તેથી $(\bar{z})^2 + \frac{1}{z^2} = r^2(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) + \frac{1}{r^2}(\cos 2\theta - i \sin 2\theta) = (r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta - i (r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta$.
ધારો કે $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \cos 2\theta = m$ અને $(r^2 + \frac{1}{r^2}) \sin 2\theta = -n$,જ્યાં $m, n \in \mathbb{Z}$.
વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા,આપણને $(r^2 + \frac{1}{r^2})^2 = m^2 + n^2$ મળે છે.
વિસ્તરણ કરતા,$r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = m^2 + n^2$.
વિકલ્પ $(A)$ માટે,$|z|^4 = \frac{43+3 \sqrt{205}}{2}$.
તેથી $r^4 + \frac{1}{r^4} + 2 = 43 + 2 = 45$,જે $m^2 + n^2 = 45$ છે. આ પૂર્ણાંક $m, n$ માટે શક્ય છે (દા.ત.,$6^2 + 3^2 = 45$).
આમ,વિકલ્પ $(A)$ સાચો છે.
0 likesView Solution
18
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $G$ એ $R>0$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. ધારો કે $G_1, G_2, \ldots, G_n$ એ $r>0$ સમાન ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ વર્તુળો છે. ધારો કે દરેક $n$ વર્તુળો $G_1, G_2, \ldots, G_n$ એ વર્તુળ $G$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. વળી,$i=1,2, \ldots, n-1$ માટે,વર્તુળ $G_i$ એ $G_{i+1}$ ને બહારથી સ્પર્શે છે,અને $G_n$ એ $G_1$ ને બહારથી સ્પર્શે છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ છે?
$(A)$ જો $n=4$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ જો $n=5$ હોય,તો $r < R$
$(C)$ જો $n=8$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ જો $n=12$ હોય,તો $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$
$(A)$ જો $n=4$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(B)$ જો $n=5$ હોય,તો $r < R$
$(C)$ જો $n=8$ હોય,તો $(\sqrt{2}-1)r < R$
$(D)$ જો $n=12$ હોય,તો $\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$C, D$
Solution
(D) $n$ વર્તુળો $G_i$ ના કેન્દ્રો $2r$ બાજુની લંબાઈ ધરાવતો નિયમિત બહુકોણ બનાવે છે. $G$ ના કેન્દ્રથી કોઈપણ $G_i$ ના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $R+r$ છે.
$G$ ના કેન્દ્ર અને બે નજીકના વર્તુળો $G_i$ અને $G_{i+1}$ ના કેન્દ્રો દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{r}{R+r}$
$\frac{R+r}{r} = \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) \implies R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) - 1)$.
$(A)$ $n=4$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) - 1) = r(\sqrt{2}-1)$. આમ,$(\sqrt{2}-1)r = R$. તેથી $(\sqrt{2}-1)r < R$ વિધાન $FALSE$ છે.
$(B)$ $n=5$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) - 1)$. $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) \approx 1.701$ હોવાથી,$R \approx 0.701r$,એટલે કે $r > R$. તેથી $r < R$ વિધાન $FALSE$ છે.
$(C)$ $n=8$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) - 1)$. $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) > \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ હોવાથી,$R > r(\sqrt{2}-1)$,જેનો અર્થ છે કે $(\sqrt{2}-1)r < R$. આ $TRUE$ છે.
$(D)$ $n=12$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) - 1)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1) \approx 3.86$. આમ $R = r(\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - 1)$. સ્પષ્ટપણે,$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$. આ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $C$ અને $D$ છે.
$G$ ના કેન્દ્ર અને બે નજીકના વર્તુળો $G_i$ અને $G_{i+1}$ ના કેન્દ્રો દ્વારા રચાયેલા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરીને,આપણને મળે છે:
$\sin(\frac{\pi}{n}) = \frac{r}{R+r}$
$\frac{R+r}{r} = \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) \implies R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{n}) - 1)$.
$(A)$ $n=4$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) - 1) = r(\sqrt{2}-1)$. આમ,$(\sqrt{2}-1)r = R$. તેથી $(\sqrt{2}-1)r < R$ વિધાન $FALSE$ છે.
$(B)$ $n=5$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) - 1)$. $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{5}) \approx 1.701$ હોવાથી,$R \approx 0.701r$,એટલે કે $r > R$. તેથી $r < R$ વિધાન $FALSE$ છે.
$(C)$ $n=8$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) - 1)$. $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{8}) > \operatorname{cosec}(\frac{\pi}{4}) = \sqrt{2}$ હોવાથી,$R > r(\sqrt{2}-1)$,જેનો અર્થ છે કે $(\sqrt{2}-1)r < R$. આ $TRUE$ છે.
$(D)$ $n=12$ માટે,$R = r(\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) - 1)$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{12}) = \sqrt{2}(\sqrt{3}+1) \approx 3.86$. આમ $R = r(\sqrt{2}(\sqrt{3}+1) - 1)$. સ્પષ્ટપણે,$\sqrt{2}(\sqrt{3}+1)r > R$. આ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $C$ અને $D$ છે.
0 likesView Solution
19
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
$4$ બોક્સ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં દરેક બોક્સમાં $3$ લાલ દડા અને $2$ વાદળી દડા છે. ધારો કે બધા $20$ દડા અલગ છે. આ $4$ બોક્સમાંથી $10$ દડા કેટલી અલગ રીતે પસંદ કરી શકાય જેથી દરેક બોક્સમાંથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ દડો અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય?
A
$21816$
B
$85536$
C
$12096$
D
$156816$
Solution
(A) ધારો કે $n_i$ એ બોક્સ $i$ માંથી પસંદ કરેલા દડાની સંખ્યા છે,જ્યાં $n_i \ge 2$ અને $\sum_{i=1}^4 n_i = 10$.
દરેક બોક્સમાં ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો હોવો જોઈએ,તેથી $(n_1, n_2, n_3, n_4)$ ના શક્ય વિતરણો $(4, 2, 2, 2)$ અને $(3, 3, 2, 2)$ ના ક્રમચયો છે.
કિસ્સો $I$: વિતરણ $(4, 2, 2, 2)$.
એક બોક્સમાંથી $4$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{5}{4} - \binom{3}{4} - \binom{2}{4} = 5$.
એક બોક્સમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 6$.
આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો: $\binom{4}{1} \times 5 \times 6^3 = 4320$.
કિસ્સો $II$: વિતરણ $(3, 3, 2, 2)$.
એક બોક્સમાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{5}{3} - \binom{3}{3} - \binom{2}{3} = 9$.
આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો: $\binom{4}{2} \times 9^2 \times 6^2 = 17496$.
કુલ રીતો = $4320 + 17496 = 21816$.
દરેક બોક્સમાં ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો હોવો જોઈએ,તેથી $(n_1, n_2, n_3, n_4)$ ના શક્ય વિતરણો $(4, 2, 2, 2)$ અને $(3, 3, 2, 2)$ ના ક્રમચયો છે.
કિસ્સો $I$: વિતરણ $(4, 2, 2, 2)$.
એક બોક્સમાંથી $4$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{5}{4} - \binom{3}{4} - \binom{2}{4} = 5$.
એક બોક્સમાંથી $2$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{3}{1} \times \binom{2}{1} = 6$.
આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો: $\binom{4}{1} \times 5 \times 6^3 = 4320$.
કિસ્સો $II$: વિતરણ $(3, 3, 2, 2)$.
એક બોક્સમાંથી $3$ દડા પસંદ કરવાની રીતો જેથી ઓછામાં ઓછો એક લાલ અને એક વાદળી દડો પસંદ થાય: $\binom{5}{3} - \binom{3}{3} - \binom{2}{3} = 9$.
આ કિસ્સા માટે કુલ રીતો: $\binom{4}{2} \times 9^2 \times 6^2 = 17496$.
કુલ રીતો = $4320 + 17496 = 21816$.
0 likesView Solution
20
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના મુખ્ય મૂલ્યોને ધ્યાનમાં લેતા,$\frac{3}{2} \cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{2+\pi^2}}+\frac{1}{4} \sin ^{-1} \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2}+\tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\pi}$ નું મૂલ્ય શોધો.
A
$2.35$
B
$2.40$
C
$2.45$
D
$2.50$
Solution
(A) ધારો કે $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}}$. તેથી $\tan ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
આપેલ ત્રિકોણ પરથી,$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\pi^2}}$,તેથી $\cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{2+\pi^2}} = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \sin ^{-1} \left( \frac{2(\pi/\sqrt{2})}{1+(\pi/\sqrt{2})^2} \right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.14}{1.414} > 1$,આપણે સૂત્ર $\sin ^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
વળી,$\tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\pi} = \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
પદાવલિ $= \frac{3}{2} \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \left( \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \right) + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \right) \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4}$.
$= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$\frac{3 \times 3.14159}{4} \approx 2.356$. તેથી,મૂલ્ય આશરે $2.35$ છે.
આપેલ ત્રિકોણ પરથી,$\cos \theta = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2+\pi^2}}$,તેથી $\cos ^{-1} \sqrt{\frac{2}{2+\pi^2}} = \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
હવે,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \sin ^{-1} \left( \frac{2(\pi/\sqrt{2})}{1+(\pi/\sqrt{2})^2} \right)$ ધ્યાનમાં લો.
કારણ કે $x = \frac{\pi}{\sqrt{2}} \approx \frac{3.14}{1.414} > 1$,આપણે સૂત્ર $\sin ^{-1} \left( \frac{2x}{1+x^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} x$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$\sin ^{-1} \left( \frac{2 \sqrt{2} \pi}{2+\pi^2} \right) = \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
વળી,$\tan ^{-1} \frac{\sqrt{2}}{\pi} = \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
પદાવલિ $= \frac{3}{2} \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{1}{4} \left( \pi - 2 \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} \right) + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \left( \frac{3}{2} - \frac{1}{2} \right) \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}}$.
$= \tan ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \cot ^{-1} \frac{\pi}{\sqrt{2}} + \frac{\pi}{4}$.
$= \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$.
$\pi \approx 3.14159$ લેતા,$\frac{3 \times 3.14159}{4} \approx 2.356$. તેથી,મૂલ્ય આશરે $2.35$ છે.
0 likesView Solution
21
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $P_1$ અને $P_2$ બે સમતલો છે જે $P_1: 10x + 15y + 12z - 60 = 0$ અને $P_2: -2x + 5y + 4z - 20 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવ્યા છે. નીચેનામાંથી કઈ સીધી રેખા એવા ચતુષ્ફલકની ધાર હોઈ શકે છે જેના બે ફલક $P_1$ અને $P_2$ પર આવેલા હોય?
$(A) \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{5}$
$(B) \frac{x-6}{-5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$
$(C) \frac{x}{-2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z}{4}$
$(D) \frac{x}{1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z}{3}$
$(A) \frac{x-1}{0} = \frac{y-1}{0} = \frac{z-1}{5}$
$(B) \frac{x-6}{-5} = \frac{y}{2} = \frac{z}{3}$
$(C) \frac{x}{-2} = \frac{y-4}{5} = \frac{z}{4}$
$(D) \frac{x}{1} = \frac{y-4}{-2} = \frac{z}{3}$
A
$A, B, C$
B
$A, B$
C
$A, B, D$
D
$A, C$
Solution
(A) બે સમતલો $P_1$ અને $P_2$ ની છેદરેખા નીચેના સમીકરણો ઉકેલીને મેળવી શકાય છે:
$10x + 15y + 12z = 60$
$-2x + 5y + 4z = 20$
બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા,આપણને $-10x + 25y + 20z = 100$ મળે છે. આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા $40y + 32z = 160$ મળે,એટલે કે $5y + 4z = 20$.
જો $z = 5k$ લઈએ,તો $5y = 20 - 20k$,તેથી $y = 4 - 4k$. બીજા સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-2x + 5(4 - 4k) + 4(5k) = 20 \implies -2x + 20 - 20k + 20k = 20 \implies x = 0$.
છેદરેખા $\frac{x}{0} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z}{5}$ છે.
ચતુષ્ફલકની ધાર કે જેના બે ફલક $P_1$ અને $P_2$ પર હોય,તે કાં તો છેદરેખા સાથે વિષમતલીય (skew) હોવી જોઈએ અથવા તેને કોઈ બિંદુએ છેદતી હોવી જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા,રેખાઓ $A, B$ અને $C$ આ શરતોનું પાલન કરે છે.
$10x + 15y + 12z = 60$
$-2x + 5y + 4z = 20$
બીજા સમીકરણને $5$ વડે ગુણતા,આપણને $-10x + 25y + 20z = 100$ મળે છે. આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા $40y + 32z = 160$ મળે,એટલે કે $5y + 4z = 20$.
જો $z = 5k$ લઈએ,તો $5y = 20 - 20k$,તેથી $y = 4 - 4k$. બીજા સમતલના સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા: $-2x + 5(4 - 4k) + 4(5k) = 20 \implies -2x + 20 - 20k + 20k = 20 \implies x = 0$.
છેદરેખા $\frac{x}{0} = \frac{y-4}{-4} = \frac{z}{5}$ છે.
ચતુષ્ફલકની ધાર કે જેના બે ફલક $P_1$ અને $P_2$ પર હોય,તે કાં તો છેદરેખા સાથે વિષમતલીય (skew) હોવી જોઈએ અથવા તેને કોઈ બિંદુએ છેદતી હોવી જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા,રેખાઓ $A, B$ અને $C$ આ શરતોનું પાલન કરે છે.
0 likesView Solution
22
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $S$ એ બિંદુ $Q$ નું સમતલ $\vec{r} = -(t+p) \hat{i} + \hat{j} + (1+p) \hat{k}$ ની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ છે,જ્યાં $t, p$ વાસ્તવિક પ્રાચલો છે અને $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ એ ત્રણ ધન અક્ષો પરના એકમ સદિશો છે. જો $Q$ અને $S$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $10 \hat{i} + 15 \hat{j} + 20 \hat{k}$ અને $\alpha \hat{i} + \beta \hat{j} + \gamma \hat{k}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન સાચું/સાચા છે?
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = -101$
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = -71$
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = -86$
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = -121$
A
$A, B$
B
$A, C$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(D) સમતલનું સમીકરણ $\vec{r} = \hat{k} + t(-\hat{i} + \hat{j}) + p(-\hat{i} + \hat{k})$ છે.
આ સમતલ $(0, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) + 1(y-0) + 1(z-1) = 0$ એટલે કે $x + y + z = 1$ થાય છે.
$Q = (10, 15, 20)$ અને $S = (\alpha, \beta, \gamma)$ આપેલ છે,પ્રતિબિંબનું સૂત્ર $\frac{\alpha-10}{1} = \frac{\beta-15}{1} = \frac{\gamma-20}{1} = -2 \frac{10+15+20-1}{1^2+1^2+1^2} = -2 \frac{44}{3} = -\frac{88}{3}$ છે.
આમ,$\alpha = 10 - \frac{88}{3} = -\frac{58}{3}$,$\beta = 15 - \frac{88}{3} = -\frac{43}{3}$,અને $\gamma = 20 - \frac{88}{3} = -\frac{28}{3}$ મળે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = 3(-\frac{58}{3} - \frac{43}{3}) = -101$ (સાચું).
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = 3(-\frac{43}{3} - \frac{28}{3}) = -71$ (સાચું).
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = 3(-\frac{28}{3} - \frac{58}{3}) = -86$ (સાચું).
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = 3(-\frac{58+43+28}{3}) = -129$ (ખોટું).
તેથી,વિકલ્પો $A, B, C$ સાચા છે.
આ સમતલ $(0, 0, 1)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n} = (-\hat{i} + \hat{j}) \times (-\hat{i} + \hat{k}) = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
સમતલનું સમીકરણ $1(x-0) + 1(y-0) + 1(z-1) = 0$ એટલે કે $x + y + z = 1$ થાય છે.
$Q = (10, 15, 20)$ અને $S = (\alpha, \beta, \gamma)$ આપેલ છે,પ્રતિબિંબનું સૂત્ર $\frac{\alpha-10}{1} = \frac{\beta-15}{1} = \frac{\gamma-20}{1} = -2 \frac{10+15+20-1}{1^2+1^2+1^2} = -2 \frac{44}{3} = -\frac{88}{3}$ છે.
આમ,$\alpha = 10 - \frac{88}{3} = -\frac{58}{3}$,$\beta = 15 - \frac{88}{3} = -\frac{43}{3}$,અને $\gamma = 20 - \frac{88}{3} = -\frac{28}{3}$ મળે.
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $3(\alpha+\beta) = 3(-\frac{58}{3} - \frac{43}{3}) = -101$ (સાચું).
$(B)$ $3(\beta+\gamma) = 3(-\frac{43}{3} - \frac{28}{3}) = -71$ (સાચું).
$(C)$ $3(\gamma+\alpha) = 3(-\frac{28}{3} - \frac{58}{3}) = -86$ (સાચું).
$(D)$ $3(\alpha+\beta+\gamma) = 3(-\frac{58+43+28}{3}) = -129$ (ખોટું).
તેથી,વિકલ્પો $A, B, C$ સાચા છે.
0 likesView Solution
23
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $|M|$ એ ચોરસ શ્રેણિક $M$ નો નિશ્ચાયક દર્શાવે છે. ધારો કે $g:\left[0, \frac{\pi}{2}\right] \rightarrow R$ એ $g(\theta)=\sqrt{f(\theta)-1}+\sqrt{f\left(\frac{\pi}{2}-\theta\right)-1}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે,જ્યાં $f(\theta)=\frac{1}{2}\left|\begin{array}{ccc}1 & \sin \theta & 1 \\ -\sin \theta & 1 & \sin \theta \\ -1 & -\sin \theta & 1\end{array}\right|+\left|\begin{array}{ccc}\sin \pi & \cos \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \tan \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) \\ \sin \left(\theta-\frac{\pi}{4}\right) & -\cos \frac{\pi}{2} & \log _e\left(\frac{4}{\pi}\right) \\ \cot \left(\theta+\frac{\pi}{4}\right) & \log _e\left(\frac{\pi}{4}\right) & \tan \pi\end{array}\right|$. ધારો કે $p(x)$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે જેના બીજ વિધેય $g(\theta)$ ની મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કિંમતો છે,અને $p(2)=2-\sqrt{2}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(A) \ p \left(\frac{3+\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
$(B) \ p \left(\frac{1+3 \sqrt{2}}{4}\right)>0$
$(C) \ p \left(\frac{5 \sqrt{2}-1}{4}\right)>0$
$(D) \ p \left(\frac{5-\sqrt{2}}{4}\right) < 0$
A
$A, C$
B
$A, B$
C
$A, D$
D
$A, B, C$
Solution
(A) સૌ પ્રથમ,નિશ્ચાયક $f(\theta)$ ની ગણતરી કરો. પ્રથમ નિશ્ચાયક $\frac{1}{2} \times [1(1+\sin^2 \theta) - \sin \theta(-\sin \theta + \sin \theta) + 1(\sin^2 \theta + 1)] = \frac{1}{2} \times [1+\sin^2 \theta + 1+\sin^2 \theta] = 1+\sin^2 \theta$ છે.
બીજો નિશ્ચાયક એ એકી ક્રમ $(3 \times 3)$ નો વિષમ-સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે. આમ,$f(\theta) = 1+\sin^2 \theta$.
પછી $g(\theta) = \sqrt{1+\sin^2 \theta - 1} + \sqrt{1+\sin^2(\frac{\pi}{2}-\theta) - 1} = \sqrt{\sin^2 \theta} + \sqrt{\cos^2 \theta} = |\sin \theta| + |\cos \theta|$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$g(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.
$g(\theta)$ નો વિસ્તાર $[1, \sqrt{2}]$ છે. $p(x)$ ના બીજ $1$ અને $\sqrt{2}$ છે.
તેથી $p(x) = k(x-1)(x-\sqrt{2})$. આપેલ છે કે $p(2) = 2-\sqrt{2}$,તેથી $k(2-1)(2-\sqrt{2}) = 2-\sqrt{2} \implies k=1$.
આમ $p(x) = (x-1)(x-\sqrt{2})$.
$(A) \ p(\frac{3+\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3+\sqrt{2}-4}{4})(\frac{3+\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{\sqrt{2}-1}{4})(\frac{3-3\sqrt{2}}{4}) < 0$ (સાચું).
$(B) \ p(\frac{1+3\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1+3\sqrt{2}-4}{4})(\frac{1+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3\sqrt{2}-3}{4})(\frac{1-\sqrt{2}}{4}) < 0$ (ખોટું).
$(C) \ p(\frac{5\sqrt{2}-1}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-1-4}{4})(\frac{5\sqrt{2}-1-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-5}{4})(\frac{\sqrt{2}-1}{4}) > 0$ (સાચું).
$(D) \ p(\frac{5-\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5-\sqrt{2}-4}{4})(\frac{5-\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1-\sqrt{2}}{4})(\frac{5-5\sqrt{2}}{4}) > 0$ (ખોટું).
બીજો નિશ્ચાયક એ એકી ક્રમ $(3 \times 3)$ નો વિષમ-સંમિત શ્રેણિક છે,તેથી તેનું મૂલ્ય $0$ છે. આમ,$f(\theta) = 1+\sin^2 \theta$.
પછી $g(\theta) = \sqrt{1+\sin^2 \theta - 1} + \sqrt{1+\sin^2(\frac{\pi}{2}-\theta) - 1} = \sqrt{\sin^2 \theta} + \sqrt{\cos^2 \theta} = |\sin \theta| + |\cos \theta|$.
$\theta \in [0, \frac{\pi}{2}]$ માટે,$g(\theta) = \sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + \frac{\pi}{4})$.
$g(\theta)$ નો વિસ્તાર $[1, \sqrt{2}]$ છે. $p(x)$ ના બીજ $1$ અને $\sqrt{2}$ છે.
તેથી $p(x) = k(x-1)(x-\sqrt{2})$. આપેલ છે કે $p(2) = 2-\sqrt{2}$,તેથી $k(2-1)(2-\sqrt{2}) = 2-\sqrt{2} \implies k=1$.
આમ $p(x) = (x-1)(x-\sqrt{2})$.
$(A) \ p(\frac{3+\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3+\sqrt{2}-4}{4})(\frac{3+\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{\sqrt{2}-1}{4})(\frac{3-3\sqrt{2}}{4}) < 0$ (સાચું).
$(B) \ p(\frac{1+3\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1+3\sqrt{2}-4}{4})(\frac{1+3\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{3\sqrt{2}-3}{4})(\frac{1-\sqrt{2}}{4}) < 0$ (ખોટું).
$(C) \ p(\frac{5\sqrt{2}-1}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-1-4}{4})(\frac{5\sqrt{2}-1-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5\sqrt{2}-5}{4})(\frac{\sqrt{2}-1}{4}) > 0$ (સાચું).
$(D) \ p(\frac{5-\sqrt{2}}{4}) = (\frac{5-\sqrt{2}-4}{4})(\frac{5-\sqrt{2}-4\sqrt{2}}{4}) = (\frac{1-\sqrt{2}}{4})(\frac{5-5\sqrt{2}}{4}) > 0$ (ખોટું).
0 likesView Solution
24
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
બે ખેલાડીઓ,$P_1$ અને $P_2$,એકબીજા સામે રમત રમે છે. દરેક રાઉન્ડમાં,દરેક ખેલાડી એક વાર પાસો ફેંકે છે. ધારો કે $x$ અને $y$ એ $P_1$ અને $P_2$ માટેના પરિણામો છે. જો $x > y$,તો $P_1$ ને $5$ પોઈન્ટ અને $P_2$ ને $0$ પોઈન્ટ મળે છે. જો $x = y$,તો દરેકને $2$ પોઈન્ટ મળે છે. જો $x < y$,તો $P_1$ ને $0$ અને $P_2$ ને $5$ પોઈન્ટ મળે છે. ધારો કે $X_n$ અને $Y_n$ એ $n$ રાઉન્ડ પછી $P_1$ અને $P_2$ ના કુલ સ્કોર છે. નીચેનાને જોડો:
| યાદી-$I$ | યાદી-$II$ |
| $(I)$ $(X_2 \geq Y_2)$ ની સંભાવના છે | $(P)$ $\frac{3}{8}$ |
| $(II)$ $(X_2 > Y_2)$ ની સંભાવના છે | $(Q)$ $\frac{11}{16}$ |
| $(III)$ $(X_3 = Y_3)$ ની સંભાવના છે | $(R)$ $\frac{5}{16}$ |
| $(IV)$ $(X_3 > Y_3)$ ની સંભાવના છે | $(S)$ $\frac{355}{864}$ |
| $(T)$ $\frac{77}{432}$ |
A
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (T); (IV) \rightarrow (S)$
B
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (T); (IV) \rightarrow (T)$
C
$(I) \rightarrow (P); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (Q); (IV) \rightarrow (S)$
D
$(I) \rightarrow (P); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (Q); (IV) \rightarrow (T)$
Solution
(A) ધારો કે $W$ એ $P_1$ રાઉન્ડ જીતે તે ઘટના છે,$L$ એ $P_1$ હારે તે ઘટના છે,અને $D$ એ ડ્રો છે.
$P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(W) = P(L) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{12}$.
$n=2$ માટે:
$P(X_2 > Y_2) = P(W, W) + P(W, D) + P(D, W) = (\frac{5}{12})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{1}{6}) = \frac{25}{144} + \frac{20}{144} = \frac{45}{144} = \frac{5}{16}$. ($II \rightarrow R$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_2 = Y_2) = P(D, D) + P(W, L) + P(L, W) = (\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{5}{12}) = \frac{1}{36} + \frac{50}{144} = \frac{54}{144} = \frac{3}{8}$. ($I \rightarrow P$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_2 \geq Y_2) = P(X_2 > Y_2) + P(X_2 = Y_2) = \frac{5}{16} + \frac{3}{8} = \frac{11}{16}$. ($I \rightarrow Q$ સાથે મેળ ખાય છે)
$n=3$ માટે:
$P(X_3 = Y_3) = \frac{77}{432}$. ($III \rightarrow T$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_3 > Y_3) = \frac{1}{2}(1 - P(X_3 = Y_3)) = \frac{355}{864}$. ($IV \rightarrow S$ સાથે મેળ ખાય છે)
આમ,$I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$.
$P(D) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$.
$P(W) = P(L) = \frac{1}{2}(1 - \frac{1}{6}) = \frac{5}{12}$.
$n=2$ માટે:
$P(X_2 > Y_2) = P(W, W) + P(W, D) + P(D, W) = (\frac{5}{12})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{1}{6}) = \frac{25}{144} + \frac{20}{144} = \frac{45}{144} = \frac{5}{16}$. ($II \rightarrow R$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_2 = Y_2) = P(D, D) + P(W, L) + P(L, W) = (\frac{1}{6})^2 + 2(\frac{5}{12} \times \frac{5}{12}) = \frac{1}{36} + \frac{50}{144} = \frac{54}{144} = \frac{3}{8}$. ($I \rightarrow P$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_2 \geq Y_2) = P(X_2 > Y_2) + P(X_2 = Y_2) = \frac{5}{16} + \frac{3}{8} = \frac{11}{16}$. ($I \rightarrow Q$ સાથે મેળ ખાય છે)
$n=3$ માટે:
$P(X_3 = Y_3) = \frac{77}{432}$. ($III \rightarrow T$ સાથે મેળ ખાય છે)
$P(X_3 > Y_3) = \frac{1}{2}(1 - P(X_3 = Y_3)) = \frac{355}{864}$. ($IV \rightarrow S$ સાથે મેળ ખાય છે)
આમ,$I \rightarrow Q, II \rightarrow R, III \rightarrow T, IV \rightarrow S$.
0 likesView Solution
25
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $p, q, r$ એ શૂન્યતર વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે જે અનુક્રમે હાર્મોનિક શ્રેણીના $10^{\text{th}}, 100^{\text{th}}$ અને $1000^{\text{th}}$ પદો છે. સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ ધ્યાનમાં લો:
$x+y+z=1$
$10x+100y+1000z=0$
$qrx + pry + pqz = 0$
સાચો વિકલ્પ છે:
$x+y+z=1$
$10x+100y+1000z=0$
$qrx + pry + pqz = 0$
| $List-I$ | $List-II$ |
| $(I)$ જો $\frac{q}{r}=10$,તો સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે | $(P)$ ઉકેલ તરીકે $x=0, y=\frac{10}{9}, z=-\frac{1}{9}$ છે |
| $(II)$ જો $\frac{p}{r} \neq 100$,તો સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે | $(Q)$ ઉકેલ તરીકે $x=\frac{10}{9}, y=-\frac{1}{9}, z=0$ છે |
| $(III)$ જો $\frac{p}{q} \neq 10$,તો સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે | $(R)$ અનંત ઉકેલો છે |
| $(IV)$ જો $\frac{p}{q}=10$,તો સુરેખ સમીકરણોની સિસ્ટમ પાસે | $(S)$ કોઈ ઉકેલ નથી |
| $(T)$ ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ છે |
સાચો વિકલ્પ છે:
A
$(I) \rightarrow (T); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (T)$
B
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (S); (III) \rightarrow (S); (IV) \rightarrow (R)$
C
$(I) \rightarrow (Q); (II) \rightarrow (R); (III) \rightarrow (P); (IV) \rightarrow (R)$
D
$(I) \rightarrow (T); (II) \rightarrow (S); (III) \rightarrow (P); (IV) \rightarrow (T)$
Solution
(B) ધારો કે $p, q, r$ એ હાર્મોનિક શ્રેણીના $10^{\text{th}}, 100^{\text{th}}, 1000^{\text{th}}$ પદો છે,તેથી તેમના વ્યસ્ત $\frac{1}{p}, \frac{1}{q}, \frac{1}{r}$ એ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. ધારો કે સમાંતર શ્રેણી $a + (n-1)d$ છે. તો $\frac{1}{p} = a + 9d, \frac{1}{q} = a + 99d, \frac{1}{r} = a + 999d$.
ત્રીજા સમીકરણ $qrx + pry + pqz = 0$ ને $pqr$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$ મળે છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદોને મૂકતા,સિસ્ટમ નીચે મુજબ બને છે:
$x+y+z=1$
$x+10y+100z=0$
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$
સિસ્ટમનો નિશ્ચાયક $D$ ગણતા: $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 10 & 100 \\ \frac{1}{p} & \frac{1}{q} & \frac{1}{r} \end{vmatrix}$.
સમાંતર શ્રેણીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$D = 0$ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પદોનો ગુણોત્તર શ્રેણી સાથે મેળ ખાતો હોય. ખાસ કરીને,જો $D=D_x=D_y=D_z=0$ હોય તો સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો હોય છે.
$(I)$ માટે,જો $\frac{q}{r}=10$,તો સિસ્ટમ અનંત ઉકેલો $(R)$ સાથે સુસંગત છે,અને કારણ કે તેની પાસે અનંત ઉકેલો છે,તેથી તેની પાસે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ $(T)$ છે.
$(II)$ માટે,જો $\frac{p}{r} \neq 100$,તો સિસ્ટમ અસંગત છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી $(S)$.
$(III)$ માટે,જો $\frac{p}{q} \neq 10$,તો સિસ્ટમ અસંગત છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી $(S)$.
$(IV)$ માટે,જો $\frac{p}{q}=10$,તો સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો $(R)$ છે,અને તેથી ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ $(T)$ છે.
આને મેળવતા,$(I) \rightarrow (R, T), (II) \rightarrow (S), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (R, T)$. વિકલ્પ $(B)$ સાચો મેળ છે.
ત્રીજા સમીકરણ $qrx + pry + pqz = 0$ ને $pqr$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$ મળે છે.
સમાંતર શ્રેણીના પદોને મૂકતા,સિસ્ટમ નીચે મુજબ બને છે:
$x+y+z=1$
$x+10y+100z=0$
$\frac{x}{p} + \frac{y}{q} + \frac{z}{r} = 0$
સિસ્ટમનો નિશ્ચાયક $D$ ગણતા: $D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 10 & 100 \\ \frac{1}{p} & \frac{1}{q} & \frac{1}{r} \end{vmatrix}$.
સમાંતર શ્રેણીના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા,$D = 0$ ત્યારે જ થાય છે જ્યારે પદોનો ગુણોત્તર શ્રેણી સાથે મેળ ખાતો હોય. ખાસ કરીને,જો $D=D_x=D_y=D_z=0$ હોય તો સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો હોય છે.
$(I)$ માટે,જો $\frac{q}{r}=10$,તો સિસ્ટમ અનંત ઉકેલો $(R)$ સાથે સુસંગત છે,અને કારણ કે તેની પાસે અનંત ઉકેલો છે,તેથી તેની પાસે ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ $(T)$ છે.
$(II)$ માટે,જો $\frac{p}{r} \neq 100$,તો સિસ્ટમ અસંગત છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી $(S)$.
$(III)$ માટે,જો $\frac{p}{q} \neq 10$,તો સિસ્ટમ અસંગત છે,જેનો અર્થ છે કે કોઈ ઉકેલ નથી $(S)$.
$(IV)$ માટે,જો $\frac{p}{q}=10$,તો સિસ્ટમ પાસે અનંત ઉકેલો $(R)$ છે,અને તેથી ઓછામાં ઓછો એક ઉકેલ $(T)$ છે.
આને મેળવતા,$(I) \rightarrow (R, T), (II) \rightarrow (S), (III) \rightarrow (S), (IV) \rightarrow (R, T)$. વિકલ્પ $(B)$ સાચો મેળ છે.
0 likesView Solution
26
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
જો $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $x dy - (y^2 - 4y) dx = 0$ નો ઉકેલ હોય,જ્યાં $x > 0$ અને $y(1) = 2$ છે,અને વક્ર $y = y(x)$ નો ઢાળ ક્યારેય શૂન્ય ન હોય,તો $10y(\sqrt{2})$ ની કિંમત શોધો.
A
$4$
B
$8$
C
$7$
D
$9$
Solution
(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $x dy = (y^2 - 4y) dx$ જ્યાં $x > 0$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y^2 - 4y} = \int \frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\int \frac{1}{4} (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = \int \frac{dx}{x}$.
$4$ વડે ગુણતા: $\int (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = 4 \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y-4| - \ln|y| = 4 \ln x + \ln c$.
આનું સાદું રૂપ: $\ln|\frac{y-4}{y}| = \ln(cx^4)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y-4}{y} = cx^4$.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1, y=2$ મૂકતા: $\frac{2-4}{2} = c(1)^4 \Rightarrow c = -1$.
તેથી,$\frac{y-4}{y} = -x^4 \Rightarrow y-4 = -yx^4 \Rightarrow y(1+x^4) = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{1+x^4}$.
આપણે $10y(\sqrt{2})$ શોધવાનું છે.
$y(\sqrt{2}) = \frac{4}{1+(\sqrt{2})^4} = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$10y(\sqrt{2}) = 10 \times \frac{4}{5} = 8$.
ચલને અલગ કરતા: $\int \frac{dy}{y^2 - 4y} = \int \frac{dx}{x}$.
આંશિક અપૂર્ણાંકનો ઉપયોગ કરતા: $\int \frac{1}{4} (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = \int \frac{dx}{x}$.
$4$ વડે ગુણતા: $\int (\frac{1}{y-4} - \frac{1}{y}) dy = 4 \int \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln|y-4| - \ln|y| = 4 \ln x + \ln c$.
આનું સાદું રૂપ: $\ln|\frac{y-4}{y}| = \ln(cx^4)$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{y-4}{y} = cx^4$.
$y(1) = 2$ આપેલ હોવાથી,$x=1, y=2$ મૂકતા: $\frac{2-4}{2} = c(1)^4 \Rightarrow c = -1$.
તેથી,$\frac{y-4}{y} = -x^4 \Rightarrow y-4 = -yx^4 \Rightarrow y(1+x^4) = 4 \Rightarrow y = \frac{4}{1+x^4}$.
આપણે $10y(\sqrt{2})$ શોધવાનું છે.
$y(\sqrt{2}) = \frac{4}{1+(\sqrt{2})^4} = \frac{4}{1+4} = \frac{4}{5}$.
તેથી,$10y(\sqrt{2}) = 10 \times \frac{4}{5} = 8$.
0 likesView Solution
27
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
$\int_1^2 \log _2(x^3+1) dx + \int_1^{\log_2 9} (2^x-1)^{1/3} dx$ ની કિંમતથી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક . . . . . છે.
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(D) ધારો કે $f(x) = \log_2(x^3+1)$. તો $y = \log_2(x^3+1) \implies x^3+1 = 2^y \implies x = (2^y-1)^{1/3}$.
આમ,$f^{-1}(x) = (2^x-1)^{1/3}$.
આપેલ સંકલન $\int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં $a=1$,$b=2$. $f(1) = \log_2(1^3+1) = \log_2 2 = 1$. $f(2) = \log_2(2^3+1) = \log_2 9$.
તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય $2 \cdot f(2) - 1 \cdot f(1) = 2 \log_2 9 - 1$ થાય.
કારણ કે $8 < 9 < 16$,તેથી $3 < \log_2 9 < 4$.
$2$ વડે ગુણતા,$6 < 2 \log_2 9 < 8$ મળે.
$1$ બાદ કરતા,$5 < 2 \log_2 9 - 1 < 7$ મળે.
ચોક્કસ રીતે,$2 \log_2 9 - 1 = \log_2 81 - 1 = \log_2 81 - \log_2 2 = \log_2(40.5)$.
કારણ કે $2^5 = 32$ અને $2^6 = 64$,તેથી $5 < \log_2(40.5) < 6$.
આ કિંમતથી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $5$ છે.
આમ,$f^{-1}(x) = (2^x-1)^{1/3}$.
આપેલ સંકલન $\int_a^b f(x) dx + \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) dx = b f(b) - a f(a)$ સ્વરૂપમાં છે.
અહીં $a=1$,$b=2$. $f(1) = \log_2(1^3+1) = \log_2 2 = 1$. $f(2) = \log_2(2^3+1) = \log_2 9$.
તેથી,સંકલનનું મૂલ્ય $2 \cdot f(2) - 1 \cdot f(1) = 2 \log_2 9 - 1$ થાય.
કારણ કે $8 < 9 < 16$,તેથી $3 < \log_2 9 < 4$.
$2$ વડે ગુણતા,$6 < 2 \log_2 9 < 8$ મળે.
$1$ બાદ કરતા,$5 < 2 \log_2 9 - 1 < 7$ મળે.
ચોક્કસ રીતે,$2 \log_2 9 - 1 = \log_2 81 - 1 = \log_2 81 - \log_2 2 = \log_2(40.5)$.
કારણ કે $2^5 = 32$ અને $2^6 = 64$,તેથી $5 < \log_2(40.5) < 6$.
આ કિંમતથી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક $5$ છે.
0 likesView Solution
28
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $\beta$ એક વાસ્તવિક સંખ્યા છે. શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$ ધ્યાનમાં લો. જો $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ એક અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક હોય,તો $9\beta$ ની કિંમત શોધો.
A
$2$
B
$3$
C
$4$
D
$5$
Solution
(B) આપેલ છે $A = \begin{bmatrix} \beta & 0 & 1 \\ 2 & 1 & -2 \\ 3 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = \beta(1(-2) - (-2)(1)) - 0 + 1(2(1) - 3(1)) = \beta(0) + 1(-1) = -1$ ગણો.
કારણ કે $|A| = -1 \neq 0$,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત છે.
આપણને આપેલ છે કે $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ એક અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $0$ છે:
$|A^5(A^2 - (\beta - 1)A - \beta I)| = 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,આપણી પાસે $|A|^5 |A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$.
નિશ્ચાયકની અંદરના પદના અવયવ પાડો:
$A^2 - (\beta - 1)A - \beta I = A^2 - \beta A + A - \beta I = A(A - \beta I) + I(A - \beta I) = (A + I)(A - \beta I)$.
તેથી,$|A + I| |A - \beta I| = 0$.
$A + I = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ ગણો.
$|A + I| = (\beta + 1)(-2 - (-2)) - 0 + 1(2 - 6) = (\beta + 1)(0) - 4 = -4 \neq 0$.
તેથી,આપણે $|A - \beta I| = 0$ લેવું પડશે.
$A - \beta I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 - \beta & -2 \\ 3 & 1 & -2 - \beta \end{bmatrix}$.
$|A - \beta I| = 1(2 - 3(1 - \beta)) = 2 - 3 + 3\beta = 3\beta - 1$.
$3\beta - 1 = 0$ લેતા,આપણને $\beta = \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$9\beta = 9 \times \frac{1}{3} = 3$.
પ્રથમ,નિશ્ચાયક $|A| = \beta(1(-2) - (-2)(1)) - 0 + 1(2(1) - 3(1)) = \beta(0) + 1(-1) = -1$ ગણો.
કારણ કે $|A| = -1 \neq 0$,શ્રેણિક $A$ વ્યસ્ત છે.
આપણને આપેલ છે કે $A^7 - (\beta - 1)A^6 - \beta A^5$ એક અસામાન્ય શ્રેણિક છે,તેથી તેનો નિશ્ચાયક $0$ છે:
$|A^5(A^2 - (\beta - 1)A - \beta I)| = 0$.
કારણ કે $|A| \neq 0$,આપણી પાસે $|A|^5 |A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે $|A^2 - (\beta - 1)A - \beta I| = 0$.
નિશ્ચાયકની અંદરના પદના અવયવ પાડો:
$A^2 - (\beta - 1)A - \beta I = A^2 - \beta A + A - \beta I = A(A - \beta I) + I(A - \beta I) = (A + I)(A - \beta I)$.
તેથી,$|A + I| |A - \beta I| = 0$.
$A + I = \begin{bmatrix} \beta + 1 & 0 & 1 \\ 2 & 2 & -2 \\ 3 & 1 & -1 \end{bmatrix}$ ગણો.
$|A + I| = (\beta + 1)(-2 - (-2)) - 0 + 1(2 - 6) = (\beta + 1)(0) - 4 = -4 \neq 0$.
તેથી,આપણે $|A - \beta I| = 0$ લેવું પડશે.
$A - \beta I = \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 2 & 1 - \beta & -2 \\ 3 & 1 & -2 - \beta \end{bmatrix}$.
$|A - \beta I| = 1(2 - 3(1 - \beta)) = 2 - 3 + 3\beta = 3\beta - 1$.
$3\beta - 1 = 0$ લેતા,આપણને $\beta = \frac{1}{3}$ મળે છે.
તેથી,$9\beta = 9 \times \frac{1}{3} = 3$.
0 likesView Solution
29
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
વિધેયો $f, g: R \rightarrow R$ ધ્યાનમાં લો જે નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત છે:
$f(x)=x^2+\frac{5}{12}$ અને $g(x)=\begin{cases} 2\left(1-\frac{4|x|}{3}\right), & |x| \leq \frac{3}{4} \\ 0, & |x|>\frac{3}{4} \end{cases}$
જો $\alpha$ એ પ્રદેશ $\{( x , y ) \in R \times R :| x | \leq \frac{3}{4}, 0 \leq y \leq \min \{f( x ), g( x )\}\}$,નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $9 \alpha$ ની કિંમત શોધો.
$f(x)=x^2+\frac{5}{12}$ અને $g(x)=\begin{cases} 2\left(1-\frac{4|x|}{3}\right), & |x| \leq \frac{3}{4} \\ 0, & |x|>\frac{3}{4} \end{cases}$
જો $\alpha$ એ પ્રદેશ $\{( x , y ) \in R \times R :| x | \leq \frac{3}{4}, 0 \leq y \leq \min \{f( x ), g( x )\}\}$,નું ક્ષેત્રફળ હોય,તો $9 \alpha$ ની કિંમત શોધો.
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(D) ક્ષેત્રફળ $\alpha$ શોધવા માટે,આપણે પહેલા $x \geq 0$ માટે $f(x)$ અને $g(x)$ ના છેદબિંદુઓ શોધીએ. $x \in [0, 3/4]$ માટે,$g(x) = 2(1 - 4x/3) = 2 - 8x/3$.
$f(x) = g(x)$ લેતા:
$x^2 + \frac{5}{12} = 2 - \frac{8x}{3}$
$x^2 + \frac{8x}{3} - \frac{19}{12} = 0$
$12x^2 + 32x - 19 = 0$
$(6x + 19)(2x - 1) = 0$
$x \geq 0$ હોવાથી,$x = 1/2$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $\alpha$ એ $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે,તેથી $\alpha = 2 \int_0^{3/4} \min\{f(x), g(x)\} dx$.
$x \in [0, 1/2]$ માટે $f(x) \leq g(x)$,અને $x \in [1/2, 3/4]$ માટે $g(x) \leq f(x)$.
$\alpha = 2 \left[ \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{5}{12}) dx + \int_{1/2}^{3/4} (2 - \frac{8x}{3}) dx \right]$
ગણતરી કરતા,$\alpha = 2 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \right] = 2 \times \frac{4}{12} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$9\alpha = 9 \times \frac{2}{3} = 6$.
$f(x) = g(x)$ લેતા:
$x^2 + \frac{5}{12} = 2 - \frac{8x}{3}$
$x^2 + \frac{8x}{3} - \frac{19}{12} = 0$
$12x^2 + 32x - 19 = 0$
$(6x + 19)(2x - 1) = 0$
$x \geq 0$ હોવાથી,$x = 1/2$ મળે.
ક્ષેત્રફળ $\alpha$ એ $y$-અક્ષની સાપેક્ષે સંમિત છે,તેથી $\alpha = 2 \int_0^{3/4} \min\{f(x), g(x)\} dx$.
$x \in [0, 1/2]$ માટે $f(x) \leq g(x)$,અને $x \in [1/2, 3/4]$ માટે $g(x) \leq f(x)$.
$\alpha = 2 \left[ \int_0^{1/2} (x^2 + \frac{5}{12}) dx + \int_{1/2}^{3/4} (2 - \frac{8x}{3}) dx \right]$
ગણતરી કરતા,$\alpha = 2 \left[ \frac{1}{4} + \frac{1}{12} \right] = 2 \times \frac{4}{12} = \frac{2}{3}$.
તેથી,$9\alpha = 9 \times \frac{2}{3} = 6$.
0 likesView Solution
30
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right)$. ધારો કે $g:[0,1] \rightarrow \mathbb{R}$ એ $g(x) = 2^{\alpha x} + 2^{\alpha(1-x)}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત વિધેય છે. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન/વિધાનો $TRUE$ (સાચું) છે?
$(A)$ $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2^{7/6}$ છે
$(B)$ $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે
$(C)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે
$(D)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે
$(A)$ $g(x)$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $2^{7/6}$ છે
$(B)$ $g(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે
$(C)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની મહત્તમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે
$(D)$ વિધેય $g(x)$ એક કરતા વધુ બિંદુએ તેની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રાપ્ત કરે છે
A
$A, B$
B
$A, B, D$
C
$A, C$
D
$A, B, C$
Solution
(D) આપેલ છે કે $\alpha = \sum_{k=1}^{\infty} \sin^{2k}\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{2}\right)^{2k} = \sum_{k=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4}\right)^k$.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/4$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/4$ છે.
$\alpha = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$g(x) = 2^{x/3} + 2^{(1-x)/3} = 2^{x/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{x/3}}$.
ધારો કે $u = 2^{x/3}$. કારણ કે $x \in [0, 1]$,તેથી $u \in [2^0, 2^{1/3}] = [1, 2^{1/3}]$.
તો $g(u) = u + \frac{2^{1/3}}{u}$.
$g'(u) = 1 - \frac{2^{1/3}}{u^2}$. $g'(u) = 0$ લેતા $u^2 = 2^{1/3}$ મળે,તેથી $u = 2^{1/6}$.
કારણ કે $2^{1/6} \approx 1.12$ અને $2^{1/3} \approx 1.26$,નિર્ણાયક બિંદુ $u = 2^{1/6}$ એ અંતરાલ $[1, 2^{1/3}]$ માં આવેલું છે.
$u = 2^{1/6}$ પર,$g(2^{1/6}) = 2^{1/6} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{1/6} + 2^{1/6} = 2 \cdot 2^{1/6} = 2^{7/6}$. આ ન્યૂનતમ કિંમત છે.
અંતિમ બિંદુઓ $u = 1$ અને $u = 2^{1/3}$ પર,$g(1) = 1 + 2^{1/3}$ અને $g(2^{1/3}) = 2^{1/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}} = 2^{1/3} + 1$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે,જે $x = 0$ અને $x = 1$ પર પ્રાપ્ત થાય છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.
આ એક ગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1/4$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = 1/4$ છે.
$\alpha = \frac{1/4}{1 - 1/4} = \frac{1/4}{3/4} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$g(x) = 2^{x/3} + 2^{(1-x)/3} = 2^{x/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{x/3}}$.
ધારો કે $u = 2^{x/3}$. કારણ કે $x \in [0, 1]$,તેથી $u \in [2^0, 2^{1/3}] = [1, 2^{1/3}]$.
તો $g(u) = u + \frac{2^{1/3}}{u}$.
$g'(u) = 1 - \frac{2^{1/3}}{u^2}$. $g'(u) = 0$ લેતા $u^2 = 2^{1/3}$ મળે,તેથી $u = 2^{1/6}$.
કારણ કે $2^{1/6} \approx 1.12$ અને $2^{1/3} \approx 1.26$,નિર્ણાયક બિંદુ $u = 2^{1/6}$ એ અંતરાલ $[1, 2^{1/3}]$ માં આવેલું છે.
$u = 2^{1/6}$ પર,$g(2^{1/6}) = 2^{1/6} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/6}} = 2^{1/6} + 2^{1/6} = 2 \cdot 2^{1/6} = 2^{7/6}$. આ ન્યૂનતમ કિંમત છે.
અંતિમ બિંદુઓ $u = 1$ અને $u = 2^{1/3}$ પર,$g(1) = 1 + 2^{1/3}$ અને $g(2^{1/3}) = 2^{1/3} + \frac{2^{1/3}}{2^{1/3}} = 2^{1/3} + 1$.
તેથી,મહત્તમ કિંમત $1 + 2^{1/3}$ છે,જે $x = 0$ અને $x = 1$ પર પ્રાપ્ત થાય છે.
તેથી,વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
31
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે $\hat{i}, \hat{j}$ અને $\hat{k}$ એ ત્રણ ધન યામ અક્ષોની દિશામાં એકમ સદિશો છે. ધારો કે $\vec{a}=3\hat{i}+\hat{j}-\hat{k}$,$\vec{b}=\hat{i}+b_2\hat{j}+b_3\hat{k}$ $(b_2, b_3 \in \mathbb{R})$,અને $\vec{c}=c_1\hat{i}+c_2\hat{j}+c_3\hat{k}$ $(c_1, c_2, c_3 \in \mathbb{R})$ એ ત્રણ સદિશો છે જેથી $b_2b_3 > 0$,$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ અને $\begin{bmatrix} 0 & -c_3 & c_2 \\ c_3 & 0 & -c_1 \\ -c_2 & c_1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3-c_1 \\ 1-c_2 \\ -1-c_3 \end{bmatrix}$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા સાચું/સાચા છે?
A
$B, C, D$
B
$A, B, D$
C
$A, B$
D
$A, B, C$
Solution
(A) આપેલ છે $\vec{a} = 3\hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,અને $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$.
મેટ્રિક્સ સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે:
$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$
$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$
$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$
આ સમીકરણો ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ દર્શાવે છે.
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$. કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$. તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 \neq 0$. આમ,$(A)$ ખોટું છે.
$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ પરથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,આપણી પાસે $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ છે.
$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (કારણ કે $|\vec{b}|^2 \geq 1$),તેથી $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$. આમ,$(D)$ સાચું છે.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$. વર્ગ કરતા: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$. કારણ કે $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$. તેથી $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,તેથી $|\vec{b}| > \sqrt{10}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(B), (C), (D)$ સાચા છે.
મેટ્રિક્સ સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે:
$b_2c_3 - b_3c_2 = c_1 - 3$ ... $(1)$
$c_3 - b_3c_1 = 1 - c_2$ ... $(2)$
$c_2 - b_2c_1 = 1 + c_3$ ... $(3)$
આ સમીકરણો ક્રોસ પ્રોડક્ટ $\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ દર્શાવે છે.
બંને બાજુ $\vec{b}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{b} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = \vec{b} \cdot \vec{c} - \vec{b} \cdot \vec{a}$. કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$,તેથી $\vec{b} \cdot \vec{c} = 0$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
બંને બાજુ $\vec{c}$ સાથે ડોટ પ્રોડક્ટ લેતા: $\vec{c} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{c} \cdot (\vec{c} - \vec{a}) \implies 0 = |\vec{c}|^2 - \vec{c} \cdot \vec{a}$. તેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2 \neq 0$. આમ,$(A)$ ખોટું છે.
$\vec{b} \times \vec{c} = \vec{c} - \vec{a}$ પરથી,બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $|\vec{b} \times \vec{c}|^2 = |\vec{c} - \vec{a}|^2 \implies |\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + |\vec{a}|^2 - 2\vec{a} \cdot \vec{c}$.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|^2$,આપણી પાસે $|\vec{b}|^2|\vec{c}|^2 = |\vec{c}|^2 + 11 - 2|\vec{c}|^2 = 11 - |\vec{c}|^2$ છે.
$|\vec{c}|^2(1 + |\vec{b}|^2) = 11 \implies |\vec{c}|^2 = \frac{11}{1 + |\vec{b}|^2} \leq 11$ (કારણ કે $|\vec{b}|^2 \geq 1$),તેથી $|\vec{c}| \leq \sqrt{11}$. આમ,$(D)$ સાચું છે.
કારણ કે $\vec{a} \cdot \vec{b} = 3 + b_2 - b_3 = 0 \implies b_3 - b_2 = 3$. વર્ગ કરતા: $b_3^2 + b_2^2 - 2b_2b_3 = 9$. કારણ કે $b_2b_3 > 0$,$b_3^2 + b_2^2 = 9 + 2b_2b_3 > 9$. તેથી $|\vec{b}|^2 = 1 + b_2^2 + b_3^2 > 10$,તેથી $|\vec{b}| > \sqrt{10}$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
તેથી,$(B), (C), (D)$ સાચા છે.
0 likesView Solution
32
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
$x \in R$ માટે,ધારો કે વિધેય $y(x)$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + 12y = \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)$ નો ઉકેલ છે,જ્યાં $y(0) = 0$. તો,નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
A
$y(x)$ એ વધતું વિધેય છે
B
$y(x)$ એ ઘટતું વિધેય છે
C
એવી વાસ્તવિક સંખ્યા $\beta$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી રેખા $y = \beta$ એ વક્ર $y = y(x)$ ને અનંત બિંદુઓ પર છેદે છે
D
$y(x)$ એ આવર્તી વિધેય છે
Solution
(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P = 12$ અને $Q = \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int 12 dx} = e^{12x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot e^{12x} = \int e^{12x} \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) dx + C$ છે.
સૂત્ર $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y \cdot e^{12x} = \frac{e^{12x}}{12^2 + (\frac{\pi}{12})^2} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C$.
સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C e^{-12x}$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}} + C$,તેથી $C = -\frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}}$.
આમ,$y(x) = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right) - 12 e^{-12x}\right)$.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $e^{-12x} \to 0$,તેથી $y(x)$ એ આવર્તી વિધેય $f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{12} x - \phi\right)$ ની નજીક પહોંચે છે.
કારણ કે $y(x)$ આવર્તી વિધેયની નજીક પહોંચે છે,તેથી આ આવર્તી વિધેયના વિસ્તારમાં રહેલી કોઈ કિંમત $\beta$ માટે,રેખા $y = \beta$ એ વક્ર $y = y(x)$ ને અનંત બિંદુઓ પર છેદશે. તેથી,વિધાન $C$ $TRUE$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $(I.F.)$ $e^{\int 12 dx} = e^{12x}$ છે.
વ્યાપક ઉકેલ $y \cdot e^{12x} = \int e^{12x} \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) dx + C$ છે.
સૂત્ર $\int e^{ax} \cos(bx) dx = \frac{e^{ax}}{a^2 + b^2} (a \cos(bx) + b \sin(bx))$ નો ઉપયોગ કરતા:
$y \cdot e^{12x} = \frac{e^{12x}}{12^2 + (\frac{\pi}{12})^2} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C$.
સાદું રૂપ આપતા,$y = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right)\right) + C e^{-12x}$.
$y(0) = 0$ આપેલ હોવાથી,$0 = \frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}} + C$,તેથી $C = -\frac{12}{144 + \frac{\pi^2}{144}}$.
આમ,$y(x) = \frac{1}{144 + \frac{\pi^2}{144}} \left(12 \cos \left(\frac{\pi}{12} x\right) + \frac{\pi}{12} \sin \left(\frac{\pi}{12} x\right) - 12 e^{-12x}\right)$.
જેમ $x \to \infty$,તેમ $e^{-12x} \to 0$,તેથી $y(x)$ એ આવર્તી વિધેય $f(x) = A \cos \left(\frac{\pi}{12} x - \phi\right)$ ની નજીક પહોંચે છે.
કારણ કે $y(x)$ આવર્તી વિધેયની નજીક પહોંચે છે,તેથી આ આવર્તી વિધેયના વિસ્તારમાં રહેલી કોઈ કિંમત $\beta$ માટે,રેખા $y = \beta$ એ વક્ર $y = y(x)$ ને અનંત બિંદુઓ પર છેદશે. તેથી,વિધાન $C$ $TRUE$ છે.
0 likesView Solution
33
MathematicsMediumMCQIIT JEE · 2022
જો $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$ હોય,તો નીચેનામાંથી કયો શ્રેણિક $M^{2022}$ ને સમાન છે?
A
$\begin{bmatrix} 3034 & 3033 \\ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$
B
$\begin{bmatrix} 3034 & -3033 \\ 3033 & -3032 \end{bmatrix}$
C
$\begin{bmatrix} 3033 & 3032 \\ -3032 & -3031 \end{bmatrix}$
D
$\begin{bmatrix} 3032 & 3031 \\ -3031 & -3030 \end{bmatrix}$
Solution
(A) આપેલ છે કે $M = \begin{bmatrix} \frac{5}{2} & \frac{3}{2} \\ -\frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{bmatrix}$.
આપણે $M$ ને $M = I + \frac{3}{2} A$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \\ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
કારણ કે $A^2 = O$,આપણે $(I + \frac{3}{2} A)^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$M^n = (I + \frac{3}{2} A)^n = I^n + n(I^{n-1})(\frac{3}{2} A) + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} (\frac{3}{2} A)^2 + \dots$
કારણ કે $A^2 = O$,$A^k$ (જ્યાં $k \ge 2$) વાળા તમામ પદો શૂન્ય થઈ જશે.
તેથી,$M^n = I + n \cdot \frac{3}{2} A$.
$n = 2022$ માટે:
$M^{2022} = I + 2022 \cdot \frac{3}{2} A = I + 3033 A$.
$M^{2022} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3033 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3033 & 0+3033 \\ 0-3033 & 1-3033 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3034 & 3033 \\ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$.
આપણે $M$ ને $M = I + \frac{3}{2} A$ તરીકે લખી શકીએ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ અને $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,$A^2$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1-1 & 1-1 \\ -1+1 & -1+1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = O$.
કારણ કે $A^2 = O$,આપણે $(I + \frac{3}{2} A)^n$ માટે દ્વિપદી વિસ્તરણનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ:
$M^n = (I + \frac{3}{2} A)^n = I^n + n(I^{n-1})(\frac{3}{2} A) + \frac{n(n-1)}{2} I^{n-2} (\frac{3}{2} A)^2 + \dots$
કારણ કે $A^2 = O$,$A^k$ (જ્યાં $k \ge 2$) વાળા તમામ પદો શૂન્ય થઈ જશે.
તેથી,$M^n = I + n \cdot \frac{3}{2} A$.
$n = 2022$ માટે:
$M^{2022} = I + 2022 \cdot \frac{3}{2} A = I + 3033 A$.
$M^{2022} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} + 3033 \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1+3033 & 0+3033 \\ 0-3033 & 1-3033 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3034 & 3033 \\ -3033 & -3032 \end{bmatrix}$.
0 likesView Solution
34
MathematicsDifficultMCQIIT JEE · 2022
ધારો કે Box-$I$ માં $8$ લાલ,$3$ વાદળી અને $5$ લીલા દડા છે,Box-$II$ માં $24$ લાલ,$9$ વાદળી અને $15$ લીલા દડા છે,Box-$III$ માં $1$ વાદળી,$12$ લીલા અને $3$ પીળા દડા છે,અને Box-$IV$ માં $10$ લીલા,$16$ નારંગી અને $6$ સફેદ દડા છે. Box-$I$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે; આ દડાને $b$ કહો. જો $b$ લાલ હોય,તો Box-$II$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે; જો $b$ વાદળી હોય,તો Box-$III$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે; અને જો $b$ લીલો હોય,તો Box-$IV$ માંથી એક દડો યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ઘટના 'પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી એક સફેદ છે' તેની શરતી સંભાવના,જ્યારે ઘટના 'પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી ઓછામાં ઓછો એક લીલો છે' બની હોય,તે કોના બરાબર છે?
A
$\frac{15}{256}$
B
$\frac{3}{16}$
C
$\frac{5}{52}$
D
$\frac{1}{8}$
Solution
(C) ધારો કે $R_1, B_1, G_1$ એ Box-$I$ માંથી અનુક્રમે લાલ,વાદળી અથવા લીલો દડો પસંદ કરવાની ઘટનાઓ છે. સંભાવનાઓ $P(R_1) = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$,$P(B_1) = \frac{3}{16}$,અને $P(G_1) = \frac{5}{16}$ છે.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી એક સફેદ છે. ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી ઓછામાં ઓછો એક લીલો છે.
સફેદ દડા ફક્ત Box-$IV$ માં છે. તેથી,$A$ ત્યારે જ થઈ શકે જો આપણે Box-$I$ માંથી લીલો દડો પસંદ કરીએ અને પછી Box-$IV$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરીએ. Box-$IV$ માં $10$ લીલા,$16$ નારંગી અને $6$ સફેદ દડા (કુલ $32$) છે.
$P(A \cap B) = P(G_1) \times P(\text{Box-}IV \text{ માંથી સફેદ}) = \frac{5}{16} \times \frac{6}{32} = \frac{5}{16} \times \frac{3}{16} = \frac{15}{256}$.
હવે,$P(B) = P(G_1) + P(R_1 \cap G_2) + P(B_1 \cap G_3)$,જ્યાં $G_2$ એ Box-$II$ માંથી લીલો અને $G_3$ એ Box-$III$ માંથી લીલો દડો છે.
$P(B) = \frac{5}{16} + (\frac{8}{16} \times \frac{15}{48}) + (\frac{3}{16} \times \frac{12}{16}) = \frac{5}{16} + (\frac{1}{2} \times \frac{5}{16}) + (\frac{3}{16} \times \frac{3}{4}) = \frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{9}{64} = \frac{20+10+9}{64} = \frac{39}{64}$.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{15/256}{39/64} = \frac{15}{256} \times \frac{64}{39} = \frac{15}{4 \times 39} = \frac{5}{4 \times 13} = \frac{5}{52}$.
ધારો કે $A$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી એક સફેદ છે. ધારો કે $B$ એ ઘટના છે કે પસંદ કરેલા દડાઓમાંથી ઓછામાં ઓછો એક લીલો છે.
સફેદ દડા ફક્ત Box-$IV$ માં છે. તેથી,$A$ ત્યારે જ થઈ શકે જો આપણે Box-$I$ માંથી લીલો દડો પસંદ કરીએ અને પછી Box-$IV$ માંથી સફેદ દડો પસંદ કરીએ. Box-$IV$ માં $10$ લીલા,$16$ નારંગી અને $6$ સફેદ દડા (કુલ $32$) છે.
$P(A \cap B) = P(G_1) \times P(\text{Box-}IV \text{ માંથી સફેદ}) = \frac{5}{16} \times \frac{6}{32} = \frac{5}{16} \times \frac{3}{16} = \frac{15}{256}$.
હવે,$P(B) = P(G_1) + P(R_1 \cap G_2) + P(B_1 \cap G_3)$,જ્યાં $G_2$ એ Box-$II$ માંથી લીલો અને $G_3$ એ Box-$III$ માંથી લીલો દડો છે.
$P(B) = \frac{5}{16} + (\frac{8}{16} \times \frac{15}{48}) + (\frac{3}{16} \times \frac{12}{16}) = \frac{5}{16} + (\frac{1}{2} \times \frac{5}{16}) + (\frac{3}{16} \times \frac{3}{4}) = \frac{5}{16} + \frac{5}{32} + \frac{9}{64} = \frac{20+10+9}{64} = \frac{39}{64}$.
$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{15/256}{39/64} = \frac{15}{256} \times \frac{64}{39} = \frac{15}{4 \times 39} = \frac{5}{4 \times 13} = \frac{5}{52}$.
0 likesView Solution
35
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$ વ્યાખ્યાયિત કરો. તો,$\lim_{n \rightarrow \infty} f(n)$ નું મૂલ્ય કેટલું થાય?
A
$3 + \frac{4}{3} \log_e 7$
B
$4 - \frac{3}{4} \log_e \left(\frac{7}{3}\right)$
C
$4 - \frac{4}{3} \log_e \left(\frac{7}{3}\right)$
D
$3 + \frac{3}{4} \log_e 7$
Solution
(B) આપેલ છે કે $f(n) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + (9-4r)n - 3n^2}{4rn + 3n^2}$.
સામાન્ય પદને $\frac{(16r + 9n) - (4rn + 3n^2)}{4rn + 3n^2} = \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \left( \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1 \right) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - n = \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2}$.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sum_{r=1}^n \frac{16(r/n) + 9}{4(r/n) + 3} \cdot \frac{1}{n}$ મળે છે.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે,આ નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^1 \frac{16x + 9}{4x + 3} dx$ માં ફેરવાય છે.
સંકલ્યને $\frac{4(4x + 3) - 3}{4x + 3} = 4 - \frac{3}{4x + 3}$ તરીકે લખી શકાય.
સંકલન કરતા,આપણને $[4x - \frac{3}{4} \ln|4x + 3|]_0^1$ મળે છે.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા: $(4 - \frac{3}{4} \ln 7) - (0 - \frac{3}{4} \ln 3) = 4 - \frac{3}{4} \ln \left(\frac{7}{3}\right)$.
સામાન્ય પદને $\frac{(16r + 9n) - (4rn + 3n^2)}{4rn + 3n^2} = \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$f(n) = n + \sum_{r=1}^n \left( \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - 1 \right) = n + \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2} - n = \sum_{r=1}^n \frac{16r + 9n}{4rn + 3n^2}$.
અંશ અને છેદને $n^2$ વડે ભાગતા,આપણને $\sum_{r=1}^n \frac{16(r/n) + 9}{4(r/n) + 3} \cdot \frac{1}{n}$ મળે છે.
જ્યારે $n \rightarrow \infty$ હોય ત્યારે,આ નિશ્ચિત સંકલન $\int_0^1 \frac{16x + 9}{4x + 3} dx$ માં ફેરવાય છે.
સંકલ્યને $\frac{4(4x + 3) - 3}{4x + 3} = 4 - \frac{3}{4x + 3}$ તરીકે લખી શકાય.
સંકલન કરતા,આપણને $[4x - \frac{3}{4} \ln|4x + 3|]_0^1$ મળે છે.
સીમાઓ પર મૂલ્ય શોધતા: $(4 - \frac{3}{4} \ln 7) - (0 - \frac{3}{4} \ln 3) = 4 - \frac{3}{4} \ln \left(\frac{7}{3}\right)$.
0 likesView Solution
36
MathematicsAdvancedMCQIIT JEE · 2022
સમીકરણ $\int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$. નીચેનામાંથી કયું/કયા વિધાન $TRUE$ છે?
A
$C, D$
B
$C, B$
C
$C, A$
D
$A, B, C$
Solution
(A) ધારો કે $I = \int_1^e \frac{(\log_e x)^{1/2}}{x(a-(\log_e x)^{3/2})^2} dx = 1$.
$t = a - (\log_e x)^{3/2}$ આદેશ લેતા.
તેથી $dt = -\frac{3}{2}(\log_e x)^{1/2} \cdot \frac{1}{x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{(\log_e x)^{1/2}}{x} dx = -\frac{2}{3} dt$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = a - 0 = a$.
જ્યારે $x = e$,ત્યારે $t = a - 1$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_a^{a-1} \frac{-2/3}{t^2} dt = \frac{2}{3} \int_{a-1}^a t^{-2} dt = \frac{2}{3} [-\frac{1}{t}]_{a-1}^a = \frac{2}{3} (\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a}) = \frac{2}{3} (\frac{a - (a-1)}{a(a-1)}) = \frac{2}{3a(a-1)}$.
આપેલ છે કે $I = 1$,તેથી $\frac{2}{3a(a-1)} = 1$,એટલે કે $3a^2 - 3a - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{6}$.
$\sqrt{33} \approx 5.74$ હોવાથી,$a_1 = \frac{3 + 5.74}{6} \approx 1.45$ અને $a_2 = \frac{3 - 5.74}{6} \approx -0.45$.
બંને કિંમતો $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ માં આવે છે.
બંને કિંમતો અસંમેય હોવાથી,વિધાન $C$ સાચું છે. બે કિંમતો હોવાથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
$t = a - (\log_e x)^{3/2}$ આદેશ લેતા.
તેથી $dt = -\frac{3}{2}(\log_e x)^{1/2} \cdot \frac{1}{x} dx$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{(\log_e x)^{1/2}}{x} dx = -\frac{2}{3} dt$.
જ્યારે $x = 1$,ત્યારે $t = a - 0 = a$.
જ્યારે $x = e$,ત્યારે $t = a - 1$.
સંકલનમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$I = \int_a^{a-1} \frac{-2/3}{t^2} dt = \frac{2}{3} \int_{a-1}^a t^{-2} dt = \frac{2}{3} [-\frac{1}{t}]_{a-1}^a = \frac{2}{3} (\frac{1}{a-1} - \frac{1}{a}) = \frac{2}{3} (\frac{a - (a-1)}{a(a-1)}) = \frac{2}{3a(a-1)}$.
આપેલ છે કે $I = 1$,તેથી $\frac{2}{3a(a-1)} = 1$,એટલે કે $3a^2 - 3a - 2 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$a = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4(3)(-2)}}{2(3)} = \frac{3 \pm \sqrt{33}}{6}$.
$\sqrt{33} \approx 5.74$ હોવાથી,$a_1 = \frac{3 + 5.74}{6} \approx 1.45$ અને $a_2 = \frac{3 - 5.74}{6} \approx -0.45$.
બંને કિંમતો $a \in (-\infty, 0) \cup (1, \infty)$ માં આવે છે.
બંને કિંમતો અસંમેય હોવાથી,વિધાન $C$ સાચું છે. બે કિંમતો હોવાથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
0 likesView Solution
Vedclass Products
For Students
Vedclass Test Series
Mock tests in real IIT JEE style covering Mathematics with performance analysis. 5-day free trial.
Start Free TrialFor Teachers
Exam Paper Generator
Generate Set A/B/C/D Mathematics papers from 7.5L+ questions in 2 minutes. 3 chapters free.
Try FreeFor Institutes
Online Exam Module
Run live IIT JEE mock exams with unlimited students, 360° analytics & white-label branding.
See DemoFrequently Asked Questions
How many Mathematics questions are in IIT JEE 2022?
There are 36 Mathematics questions from the IIT JEE 2022 paper on Vedclass, each with a detailed step-by-step solution in Gujarati.
Are IIT JEE 2022 Mathematics solutions available in Gujarati?
Yes. All solutions on this page are in Gujarati. You can also switch to English or Hindi using the language buttons above the questions.
Can I practice IIT JEE 2022 Mathematics as a timed test?
Yes. Use the Vedclass Test Series to attempt a full IIT JEE mock test covering Mathematics with time limits and instant score analysis.
Can teachers create Mathematics papers from IIT JEE previous year questions?
Yes. The Vedclass Exam Paper Generator lets teachers mix IIT JEE Mathematics questions and generate Set A/B/C/D papers in minutes.
For Teachers & Institutes
Build a Custom Mathematics Paper
Pick IIT JEE 2022 Mathematics questions, set difficulty, and generate Set A/B/C/D in 2 minutes.