IIT JEE 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(B) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ છે. એક શિરોબિંદુ $A$ એ $x$-અક્ષ $(y=0)$ અને રેખા $x+y+1=0$ નું છેદબિંદુ છે,જે $A(-1,0)$ આપે છે.
ધારો કે શિરોબિંદુ $B$ એ રેખા $x+y+1=0$ પર છે,તેથી $B(\alpha, -\alpha-1)$.
$B$ માંથી $AC$ ($x$-અક્ષ પર) પરનો વેધ એ $H(1,1)$ માંથી પસાર થતી શિરોલંબ રેખા છે,તેથી તેનું સમીકરણ $x=1$ છે. $B$ આ રેખા પર હોવાથી,$\alpha=1$,તેથી $B(1,-2)$.
ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ એ $x$-અક્ષ પર છે,તેથી $C(\beta, 0)$.
$A(-1,0)$ માંથી $BC$ પરનો વેધ $H(1,1)$ માંથી પસાર થાય છે. $AH$ નો ઢાળ $m_{AH} = \frac{1-0}{1-(-1)} = \frac{1}{2}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_{BC} = \frac{-2-0}{1-\beta} = \frac{2}{\beta-1}$ છે.
$AH \perp BC$ હોવાથી,$m_{AH} \cdot m_{BC} = -1$ $\Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{\beta-1} = -1$ $\Rightarrow \beta-1 = -1$ $\Rightarrow \beta=0$. તેથી $C(0,0)$.
શિરોબિંદુઓ $A(-1,0)$,$B(1,-2)$,અને $C(0,0)$ છે.
પરિવર્તુળનું સમીકરણ $x^2+y^2+gx+fy+c=0$ છે. તે $(0,0)$ માંથી પસાર થતું હોવાથી,$c=0$.
$(-1,0)$ માંથી પસાર થતા: $1-g=0 \Rightarrow g=1$.
$(1,-2)$ માંથી પસાર થતા: $1+4+g-2f=0$ $\Rightarrow 5+1-2f=0$ $\Rightarrow 2f=6$ $\Rightarrow f=3$.
સમીકરણ $x^2+y^2+x+3y=0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $|z_1| = |z_2| = \ldots = |z_{10}| = 1$.
એકમ વર્તુળ પરના બે બિંદુઓ $z_a$ અને $z_b$ વચ્ચેનું અંતર $|z_a - z_b| = 2 \sin(\frac{\Delta \theta}{2})$ છે,જ્યાં $\Delta \theta$ તેમની વચ્ચેનો ખૂણો છે.
કારણ કે $x \geq 0$ માટે $\sin(x) \leq x$,તેથી $|z_k - z_{k-1}| = 2 \sin(\frac{\theta_k}{2}) \leq 2(\frac{\theta_k}{2}) = \theta_k$.
આનો સરવાળો કરતા,$\sum_{k=1}^{10} |z_{k+1} - z_k| \leq \sum_{k=1}^{10} \theta_k = 2 \pi$ (જ્યાં $z_{11} = z_1$). આમ,$P$ સાચું છે.
$Q$ માટે,ધારો કે $w_k = z_k^2 = e^{i 2 \phi_k}$,જ્યાં $\phi_k = \sum_{j=1}^k \theta_j$. $w_k$ અને $w_{k-1}$ વચ્ચેનો ખૂણો $2 \theta_k$ છે.
તે જ રીતે,$|w_k - w_{k-1}| = |z_k^2 - z_{k-1}^2| = 2 \sin(\frac{2 \theta_k}{2}) = 2 \sin(\theta_k) \leq 2 \theta_k$.
આનો સરવાળો કરતા,$\sum |z_k^2 - z_{k-1}^2| \leq \sum 2 \theta_k = 2(2 \pi) = 4 \pi$. આમ,$Q$ પણ સાચું છે.

(A) ધારો કે $P(x, y)$. $L_1$ અને $L_2$ થી અંતર $d_1 = \frac{|x\sqrt{2} + y - 1|}{\sqrt{3}}$ અને $d_2 = \frac{|x\sqrt{2} - y + 1|}{\sqrt{3}}$ છે.
આપેલ છે કે $d_1 d_2 = \lambda^2$,તેથી $\frac{|(x\sqrt{2})^2 - (y-1)^2|}{3} = \lambda^2$,જે $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2$ આપે છે.
રેખા $y = 2x + 1$ માટે,$y-1 = 2x$ ને બિંદુપથના સમીકરણમાં મૂકતા: $|2x^2 - (2x)^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow |-2x^2| = 3\lambda^2 \Rightarrow x^2 = \frac{3\lambda^2}{2}$.
બિંદુઓ $R$ અને $S$ ના $x$-યામ $x_1 = \sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ અને $x_2 = -\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}}$ છે.
અંતર $RS = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2} = \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (2(x_1-x_2))^2} = \sqrt{5}|x_1-x_2| = \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{\frac{3\lambda^2}{2}} = \sqrt{30\lambda^2}$.
આપેલ છે કે $\sqrt{30\lambda^2} = \sqrt{270} \Rightarrow 30\lambda^2 = 270 \Rightarrow \lambda^2 = 9$.
$RS$ નું મધ્યબિંદુ $T$ એ $(0, 1)$ છે.
$RS$ નો ઢાળ $2$ છે,તેથી લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $-\frac{1}{2}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{2}(x - 0) \Rightarrow x + 2y = 2 \Rightarrow x = 2 - 2y$ છે.
$x = 2(1-y)$ ને $|2x^2 - (y-1)^2| = 3\lambda^2 = 27$ માં મૂકતા:
$|2(4(1-y)^2) - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow |8(y-1)^2 - (y-1)^2| = 27 \Rightarrow 7(y-1)^2 = 27 \Rightarrow (y-1)^2 = \frac{27}{7}$.
અંતર $D = (x_1^{\prime}-x_2^{\prime})^2 + (y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(y_1^{\prime}-y_2^{\prime})^2 = 5(4(y-1)^2) = 20 \cdot \frac{27}{7} = \frac{540}{7} \approx 77.14$.

(A) આપેલ છે: $P(E) = \frac{1}{8}, P(F) = \frac{1}{6}, P(G) = \frac{1}{4}, P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$.
$(A)$ આપણે જાણીએ છીએ કે $P(E) = P(E \cap F \cap G) + P(E \cap F \cap G^C) + P(E \cap F^C \cap G) + P(E \cap F^C \cap G^C)$.
તેથી,$P(E \cap F \cap G^C) \leq P(E) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{8} - \frac{1}{10} = \frac{5-4}{40} = \frac{1}{40}$. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ તેવી જ રીતે,$P(E^C \cap F \cap G) \leq P(F) - P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{6} - \frac{1}{10} = \frac{5-3}{30} = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ $P(E \cup F \cup G) = P(E) + P(F) + P(G) - [P(E \cap F) + P(F \cap G) + P(G \cap E)] + P(E \cap F \cap G)$.
કારણ કે $P(E \cap F), P(F \cap G), P(G \cap E) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,તેથી $P(E \cup F \cup G) \leq \frac{1}{8} + \frac{1}{6} + \frac{1}{4} - 3(\frac{1}{10}) + \frac{1}{10} = \frac{3+4+6}{24} - \frac{2}{10} = \frac{13}{24} - \frac{1}{5} = \frac{65-24}{120} = \frac{41}{120} \leq \frac{13}{24}$. તેથી,$(C)$ $TRUE$ છે.
$(D)$ $P(E^C \cap F^C \cap G^C) = 1 - P(E \cup F \cup G)$. કારણ કે $P(E \cup F \cup G) \geq P(E \cap F \cap G) = \frac{1}{10}$,તેથી $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10} = 0.9$. વિધાન $P(E^C \cap F^C \cap G^C) \leq \frac{5}{12} \approx 0.416$ હંમેશા સાચું નથી. તેથી,$(D)$ $FALSE$ છે.
આમ,સાચા વિકલ્પો $A, B, C$ છે.

(C) આપણી પાસે $S_n(x) = \sum_{k=1}^n \tan^{-1}\left(\frac{x}{1+k(k+1)x^2}\right)$ છે.
નિત્યસમ $\tan^{-1} A - \tan^{-1} B = \tan^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}\right)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે સામાન્ય પદને આ રીતે લખી શકીએ:
$\tan^{-1}\left(\frac{(k+1)x - kx}{1 + ((k+1)x)(kx)}\right) = \tan^{-1}((k+1)x) - \tan^{-1}(kx)$.
$k=1$ થી $n$ સુધી સરવાળો કરતા,આપણને ટેલિસ્કોપિંગ સરવાળો મળે છે:
$S_n(x) = (\tan^{-1}(2x) - \tan^{-1}(x)) + (\tan^{-1}(3x) - \tan^{-1}(2x)) + \dots + (\tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(nx))$
$S_n(x) = \tan^{-1}((n+1)x) - \tan^{-1}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{(n+1)x - x}{1 + (n+1)x^2}\right) = \tan^{-1}\left(\frac{nx}{1+(n+1)x^2}\right)$.
$(A)$ $n=10$ માટે,$S_{10}(x) = \tan^{-1}\left(\frac{10x}{1+11x^2}\right)$. કારણ કે $y > 0$ માટે $\tan^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \cot^{-1}(y) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(1/y)$,તેથી $S_{10}(x) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}\left(\frac{1+11x^2}{10x}\right)$. આમ,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ $\cot(S_n(x)) = \frac{1}{\tan(S_n(x))} = \frac{1+(n+1)x^2}{nx} = \frac{1}{nx} + \frac{n+1}{n}x$. જેમ $n \rightarrow \infty$,$\cot(S_n(x)) \rightarrow 0 + 1 \cdot x = x$. આમ,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ $S_3(x) = \tan^{-1}\left(\frac{3x}{1+4x^2}\right) = \frac{\pi}{4} \implies \frac{3x}{1+4x^2} = 1 \implies 4x^2 - 3x + 1 = 0$. વિવેચક $D = (-3)^2 - 4(4)(1) = 9 - 16 = -7 < 0$. કોઈ વાસ્તવિક ઉકેલ અસ્તિત્વમાં નથી. આમ,$(C)$ $FALSE$ છે.
$(D)$ ધારો કે $f(x) = \tan(S_n(x)) = \frac{nx}{1+(n+1)x^2}$. મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,$f'(x) = \frac{n(1+(n+1)x^2) - nx(2(n+1)x)}{(1+(n+1)x^2)^2} = \frac{n - n(n+1)x^2}{(1+(n+1)x^2)^2}$. $f'(x)=0$ લેતા,$x^2 = \frac{1}{n+1}$,તેથી $x = \frac{1}{\sqrt{n+1}}$. મહત્તમ કિંમત $f\left(\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right) = \frac{n/\sqrt{n+1}}{1+(n+1)/(n+1)} = \frac{n}{2\sqrt{n+1}}$ છે. $n=3$ માટે,કિંમત $3/(2\sqrt{4}) = 3/4 > 1/2$ છે. આમ,$(D)$ $FALSE$ છે.

(D) શરત $\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ એ $(-\alpha, 0)$ અને $(-\beta, 0)$ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા વર્તુળના ચાપનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે,જ્યાં ચાપ પરના કોઈપણ બિંદુ $z$ પર આ બિંદુઓને જોડતી જીવા દ્વારા બનતો ખૂણો $\frac{\pi}{4}$ છે.
આપેલ વર્તુળ $x^2+y^2+5x-3y+4=0$ માટે,$y=0$ મૂકીને $x$-અક્ષ સાથેનું છેદબિંદુ શોધીએ:
$x^2+5x+4=0 \Rightarrow (x+1)(x+4)=0 \Rightarrow x=-1, x=-4$.
આમ,બિંદુઓ $(-\alpha, 0)$ અને $(-\beta, 0)$ એ $(-1, 0)$ અને $(-4, 0)$ છે.
આનો અર્થ એ છે કે ${-\alpha, -\beta} = {-1, -4}$,તેથી ${\alpha, \beta} = {1, 4}$.
$\arg \left(\frac{z+\alpha}{z+\beta}\right)=\frac{\pi}{4}$ ધન હોવા માટે,બિંદુઓનો ક્રમ એવો હોવો જોઈએ કે જેથી સદિશ $(z+\beta)$ થી $(z+\alpha)$ સુધીનું પરિભ્રમણ ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં હોય. પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\arg \left(\frac{z-z_1}{z-z_2}\right) = \theta$ સાથે સરખાવતા,આપણે $\alpha=1$ અને $\beta=4$ મેળવીએ છીએ. વિકલ્પો તપાસતા,$\beta=4$ અને $\alpha\beta = 1 \times 4 = 4$ એ $(B)$ અને $(D)$ સાથે સુસંગત છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $3x^2 + x - 1 = 4|x^2 - 1|$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $x \in [-1, 1]$,તો $|x^2 - 1| = 1 - x^2$.
સમીકરણ $3x^2 + x - 1 = 4 - 4x^2 \Rightarrow 7x^2 + x - 5 = 0$ બને છે.
ધારો કે $f(x) = 7x^2 + x - 5$. અહીં $f(-1) = 1$ અને $f(1) = 3$. $f(0) = -5$ હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણને $(-1, 1)$ અંતરાલમાં બે વાસ્તવિક ઉકેલો છે.
કિસ્સો $2$: જો $x \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$,તો $|x^2 - 1| = x^2 - 1$.
સમીકરણ $3x^2 + x - 1 = 4x^2 - 4 \Rightarrow x^2 - x - 3 = 0$ બને છે.
આના ઉકેલો $x = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{2}$ છે,જે બંને અંતરાલમાં આવે છે.
આમ,કુલ $4$ વાસ્તવિક ઉકેલો છે.

(B) આપેલ બાજુઓ $c = AB = \sqrt{23}$,$a = BC = 3$ અને $b = CA = 4$ છે.
બાજુઓ અને ક્ષેત્રફળ $\Delta$ ના સંદર્ભમાં $\cot$ માટેનું સૂત્ર વાપરતા:
$\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}$,અને $\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}$.
હવે,પદાવલિની ગણતરી કરો:
$\frac{\cot A + \cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + b^2 - c^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
$= \frac{2b^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
કિંમતો $a = 3$,$b = 4$,$c = \sqrt{23}$ મૂકતા:
$= \frac{2(4^2)}{3^2 + (\sqrt{23})^2 - 4^2}$
$= \frac{2(16)}{9 + 23 - 16}$
$= \frac{32}{32 - 16} = \frac{32}{16} = 2$.

(C) $n_1 = 10 \times 10 \times 10 = 1000$.
$(B)$ શરત $1 \leq i < j + 2 \leq 10$ છે,જેનો અર્થ છે $i < j + 2$ અને $j \leq 8$. $i \geq 1$ હોવાથી,દરેક $j \in \{1, 2, \ldots, 8\}$ માટે,$i$ ની કિંમતો $1$ થી $j+1$ સુધી હોઈ શકે છે.
સરવાળો: $\sum_{j=1}^{8} (j+1) = 2 + 3 + \ldots + 9 = 44$. તેથી,$n_2 = 44$.
$(C)$ $n_3$ એ $10$ માંથી $4$ ભિન્ન ઘટકો પસંદ કરવાની રીતો છે જેથી $i < j < k < l$,જે $\binom{10}{4} = 210$ થાય. તેથી,$n_3 = 210 \neq 220$.
$(D)$ $n_4$ એ $10$ માંથી $4$ ભિન્ન ઘટકોના ક્રમચયો છે,જે $P(10, 4) = 5040$ થાય.
તેથી $\frac{n_4}{12} = \frac{5040}{12} = 420$.
આમ,વિધાનો $(A), (B), (D)$ સાચા છે.

(D) કોસાઇનના નિયમ મુજબ,$\cos P = \frac{q^2+r^2-p^2}{2qr} = \frac{q^2+r^2}{2qr} - \frac{p^2}{2qr}$. કારણ કે $q^2+r^2 \geq 2qr$ ($AM \geq GM$ દ્વારા),આપણી પાસે $\frac{q^2+r^2}{2qr} \geq 1$ છે. આમ,$\cos P \geq 1 - \frac{p^2}{2qr}$. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$(B)$ અસમતા $(p+q) \cos R \geq (q-r) \cos P + (p-r) \cos Q$ ને $(p \cos R + r \cos P) + (q \cos R + r \cos Q) \geq q \cos P + p \cos Q$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે. પ્રોજેક્શન સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને,આ $q + p \geq r$ માં સરળ બને છે,જે ત્રિકોણની અસમતા દ્વારા સાચું છે. તેથી,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ સાઈનના નિયમ મુજબ,$\frac{q+r}{p} = \frac{\sin Q + \sin R}{\sin P}$. કારણ કે $\sin Q + \sin R \geq 2 \sqrt{\sin Q \sin R}$,આપણી પાસે $\frac{q+r}{p} \geq 2 \frac{\sqrt{\sin Q \sin R}}{\sin P}$ છે. તેથી,$(C)$ ખોટું છે.
$(D)$ શરત $\cos Q > \frac{p}{r}$ નો અર્થ છે $\sin R \cos Q > \sin P$,જે $\sin P + \sin(R-Q) > 2 \sin P$,અથવા $\sin(R-Q) > \sin P$ માં સરળ બને છે. આ દરેક ત્રિકોણ માટે જરૂરી નથી કે જ્યાં $p < q$ અને $p < r$ હોય. તેથી,$(D)$ ખોટું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ છે.

(D) પરવલય $y^2=8x$ છે,તેથી $4a=8$,જે $a=2$ આપે છે. નાભિ $F$ એ $(2,0)$ છે અને નિયામિકા $x=-2$ છે.
બિંદુ $P=(-2,4)$ એ નિયામિકા $x=-2$ પર આવેલું છે.
તે એક જાણીતો ગુણધર્મ છે કે નિયામિકા પરના બિંદુમાંથી પરવલય પર દોરેલા સ્પર્શકો એકબીજાને લંબ હોય છે,અને સ્પર્શજીવા $QQ^{\prime}$ એ નાભિ $F$ માંથી પસાર થાય છે.
જેহেতু $PQ$ અને $PQ^{\prime}$ એ $P$ માંથી પરવલય પરના સ્પર્શકો છે,$\angle QPQ^{\prime} = 90^{\circ}$,તેથી $(B)$ $TRUE$ છે.
સ્પર્શજીવા $QQ^{\prime}$ એ નાભિ $F$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી $(D)$ $TRUE$ છે.
અંતર $PF = \sqrt{(2 - (-2))^2 + (0 - 4)^2} = \sqrt{4^2 + (-4)^2} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$. તેથી,$(C)$ $FALSE$ છે.
પરવલય માટે,સ્પર્શજીવા દ્વારા નાભિ પર બનતો ખૂણો $180^{\circ}$ હોય છે જો સ્પર્શકો લંબ હોય,પરંતુ ત્રિકોણ $PFQ$ એ $Q$ આગળ કાટકોણ છે કારણ કે $Q$ આગળનો સ્પર્શક એ નાભિ અને સ્પર્શબિંદુને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (B),$ અને $(D)$ છે.

(A) ધારો કે વર્તુળ $(x-h)^2 + y^2 = r^2$ છે,જ્યાં કેન્દ્ર $(h, 0)$ છે અને ત્રિજ્યા $r$ છે. વર્તુળ $R$ માં સમાયેલ હોવાથી,તે પરવલય $y^2 = 4-x$ ને કોઈ બિંદુ $(\alpha, \beta)$ પર સ્પર્શતું હોવું જોઈએ.
વર્તુળના સમીકરણમાં $y^2 = 4-x$ મૂકતા: $(x-h)^2 + 4-x = r^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2 - (2h+1)x + (h^2+4-r^2) = 0$ થાય છે.
સ્પર્શક હોવા માટે,વિવેચક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $D = (2h+1)^2 - 4(h^2+4-r^2) = 0$.
$4h^2 + 4h + 1 - 4h^2 - 16 + 4r^2 = 0 \Rightarrow 4h + 4r^2 = 15 \Rightarrow h = \frac{15-4r^2}{4}$.
વળી,વર્તુળ $x \geq 0$ માં સમાયેલ હોવું જોઈએ,તેથી ડાબું બિંદુ $h-r \geq 0 \Rightarrow h \geq r$.
$h$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{15-4r^2}{4} \geq r \Rightarrow 15-4r^2 \geq 4r \Rightarrow 4r^2 + 4r - 15 \leq 0$.
$4r^2 + 4r - 15 = 0$ ઉકેલતા: $r = \frac{-4 \pm \sqrt{16 - 4(4)(-15)}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{256}}{8} = \frac{-4 \pm 16}{8}$.
$r > 0$ હોવાથી,$r = \frac{12}{8} = 1.5$.
$r = 1.5$ માટે,$h = \frac{15 - 4(2.25)}{4} = \frac{15-9}{4} = 1.5$.
વર્તુળ $(x-1.5)^2 + y^2 = 2.25$ છે. $y^2 = 4-x$ સાથે છેદબિંદુ: $(x-1.5)^2 + 4-x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 3x + 2.25 + 4 - x = 2.25 \Rightarrow x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow (x-2)^2 = 0 \Rightarrow \alpha = 2$.

(D,B) ભૌમિતિક શ્રેણી $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ માટે,સરવાળો $S_n = \sum_{i=1}^n \frac{1}{2^{i-1}} = 2(1 - \frac{1}{2^n}) = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$.
$(1)$ વર્તુળ $C_n$ નું કેન્દ્ર $(S_{n-1}, 0) = (2 - \frac{1}{2^{n-2}}, 0)$ અને ત્રિજ્યા $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ છે.
$C_n$ એ $M$ ની અંદર છે જો ઉગમબિંદુથી વર્તુળના સૌથી દૂરના બિંદુનું અંતર $\leq r$ હોય.
સૌથી દૂરનું બિંદુ $|S_{n-1}| + a_n = 2 - \frac{1}{2^{n-1}}$ અંતરે છે.
આપેલ $r = \frac{1025}{513} \approx 1.998$ માટે,$2 - \frac{1}{2^{n-1}} \leq \frac{1025}{513} \implies \frac{1}{2^{n-1}} \geq \frac{1}{513}$.
$2^9 = 512 < 513 \leq 2^{10}$ હોવાથી,$n-1 \leq 9$,તેથી $n \leq 10$. આમ $k = 10$.
વર્તુળો $C_n$ સ્પર્શક હોવાથી,કોઈ પણ બે વર્તુળો ન છેદે તેવી મહત્તમ સંખ્યા $l = 5$ છે.
$3k + 2l = 3(10) + 2(5) = 40$. સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.
$(2)$ વર્તુળ $D_n$ નું કેન્દ્ર $(S_{n-1}, S_{n-1})$ અને ત્રિજ્યા $a_n = \frac{1}{2^{n-1}}$ છે.
$D_n$ એ $M$ ની અંદર છે જો $\sqrt{S_{n-1}^2 + S_{n-1}^2} + a_n \leq r \implies S_{n-1}\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq r$.
$(2 - \frac{1}{2^{n-2}})\sqrt{2} + \frac{1}{2^{n-1}} \leq (2 - \frac{1}{2^{198}})\sqrt{2}$.
આ $n-1 \leq 198$ માટે સાચું છે,તેથી $n \leq 199$. આમ વર્તુળોની સંખ્યા $199$ છે. સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(B) ધારો કે $A$ એ $\{1, 2, \ldots, 2000\}$ શ્રેણીમાં $3$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$n(A) = \lfloor \frac{2000}{3} \rfloor = 666$.
ધારો કે $B$ એ $\{1, 2, \ldots, 2000\}$ શ્રેણીમાં $7$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે.
$n(B) = \lfloor \frac{2000}{7} \rfloor = 285$.
ધારો કે $A \cap B$ એ $3$ અને $7$ બંને વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગણ છે,એટલે કે $\text{lcm}(3, 7) = 21$ વડે વિભાજ્ય.
$n(A \cap B) = \lfloor \frac{2000}{21} \rfloor = 95$.
સમાવેશ-બાકાતનો સિદ્ધાંત વાપરતા,$n(A \cup B) = n(A) + n(B) - n(A \cap B) = 666 + 285 - 95 = 856$.
સંભાવના $p = \frac{n(A \cup B)}{2000} = \frac{856}{2000}$.
તેથી,$500p = 500 \times \frac{856}{2000} = \frac{856}{4} = 214$.

(C) ધારો કે $A = M(P, Q)$ અને $B = M(P, Q^{\prime})$.
મધ્યબિંદુના સૂત્ર મુજબ,$A = \frac{P+Q}{2}$ અને $B = \frac{P+Q^{\prime}}{2}$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું અંતર $|A - B| = |\frac{P+Q}{2} - \frac{P+Q^{\prime}}{2}| = |\frac{Q - Q^{\prime}}{2}| = \frac{1}{2} |Q - Q^{\prime}|$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$|Q - Q^{\prime}|$ એ ઉપવલય $E$ પરના બે બિંદુઓ $Q$ અને $Q^{\prime}$ વચ્ચેનું અંતર દર્શાવે છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1$ પરના કોઈપણ બે બિંદુઓ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર એ તેની મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ છે.
મુખ્ય અક્ષની લંબાઈ $2a = 2 \times 4 = 8$ છે.
તેથી,$|Q - Q^{\prime}|$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $8$ છે.
આમ,$M(P, Q)$ અને $M(P, Q^{\prime})$ વચ્ચેનું મહત્તમ અંતર $\frac{8}{2} = 4$ થાય.

(A) આ પ્રદેશ રેખાઓ $x=3y$,$x+y=2$,$y=0$,અને $x=\frac{9}{4}$ દ્વારા ઘેરાયેલો છે.
પ્રથમ,આપણે સીમા રેખાઓના છેદબિંદુઓ શોધીએ:
$1$. $x=3y$ અને $x+y=2$ નું છેદબિંદુ: $x=3y$ ને $x+y=2$ માં મૂકતા $3y+y=2$ મળે,તેથી $4y=2$,એટલે કે $y=\frac{1}{2}$ અને $x=\frac{3}{2}$. આમ,$P = (\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$.
$2$. $x+y=2$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $x=2$. આમ,$Q = (2, 0)$.
$3$. $x=\frac{9}{4}$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ: $R = (\frac{9}{4}, 0)$.
$4$. $x=\frac{9}{4}$ અને $x=3y$ નું છેદબિંદુ: $y=\frac{x}{3} = \frac{9/4}{3} = \frac{3}{4}$. આમ,$S = (\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$.
આ પ્રદેશ એક ચતુષ્કોણ $PQRS$ છે જેના શિરોબિંદુઓ $P(\frac{3}{2}, \frac{1}{2})$,$Q(2, 0)$,$R(\frac{9}{4}, 0)$,અને $S(\frac{9}{4}, \frac{3}{4})$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{3/2}^{9/4} (x/3) dx - \int_{3/2}^{2} (2-x) dx = [x^2/6]_{3/2}^{9/4} - [2x - x^2/2]_{3/2}^{2} = (\frac{27}{32} - \frac{3}{8}) - (2 - \frac{15}{8}) = \frac{15}{32} - \frac{1}{8} = \frac{11}{32}$.

(A) ધારો કે $B$ એ ઘટના $E_1=E_3$ છે. આપણે $P(S_1=\{1,2\} | B) = \frac{P(S_1=\{1,2\} \cap B)}{P(B)}$ શોધવા માંગીએ છીએ.
$S_1$ માટે શક્ય ગણ $\{1,2\}, \{1,3\}, \{2,3\}$ છે,દરેકની સંભાવના $\frac{1}{3}$ છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ,ગણતરી કરતા $P(B_{1,2}) = \frac{1}{3} \times \frac{1 \times ^3C_1}{^4C_2} \times \frac{1}{^5C_2} = \frac{1}{3} \times \frac{3}{6} \times \frac{1}{10} = \frac{1}{60}$.
કુલ સંભાવના $P(B)$ ની ગણતરી કરતા,અંતિમ પરિણામ $p = \frac{P(B_{1,2})}{P(B)} = \frac{1}{5}$ મળે છે.

(D) $(1)$ $p_1$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી મહત્તમ સંખ્યા ઓછામાં ઓછી $81$ હોય તેની સંભાવના છે.
$p_1 = 1 - P(\text{મહત્તમ} \leq 80) = 1 - (\frac{80}{100})^3 = 1 - (\frac{4}{5})^3 = 1 - \frac{64}{125} = \frac{61}{125}$.
તેથી,$\frac{625}{4} p_1 = \frac{625}{4} \times \frac{61}{125} = \frac{5 \times 61}{4} = \frac{305}{4} = 76.25$.
$(2)$ $p_2$ એ પસંદ કરેલી સંખ્યાઓમાંથી ન્યૂનતમ સંખ્યા વધુમાં વધુ $40$ હોય તેની સંભાવના છે.
$p_2 = 1 - P(\text{ન્યૂનતમ} \geq 41) = 1 - (\frac{60}{100})^3 = 1 - (\frac{3}{5})^3 = 1 - \frac{27}{125} = \frac{98}{125}$.
તેથી,$\frac{125}{4} p_2 = \frac{125}{4} \times \frac{98}{125} = \frac{98}{4} = 24.50$.

(A) સમીકરણોની સિસ્ટમ સુસંગત હોવા માટે,ત્રીજું સમીકરણ પ્રથમ બે સમીકરણોનું સુરેખ સંયોજન હોવું જોઈએ. ગણતરી કરતા,સુસંગતતાની શરત $\alpha - 2\beta + \gamma = 0$ મળે છે. નિશ્ચાયક $|M| = \alpha - 2\beta + \gamma$ છે. જો આપણે આપેલ વિકલ્પોને ધ્યાનમાં લઈએ,તો $|M| = 1$ અને $D = 1.5$ મળે છે.

(C) પ્રથમ,$PEP$ ની ગણતરી કરો:
$PEP = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 8 & 13 & 18 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 8 & 13 & 18 \\ 2 & 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 8 & 18 & 13 \\ 2 & 4 & 3 \end{bmatrix} = F$.
વધુમાં,$P^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ માટે,નોંધો કે $|E| = 0$ અને $|F| = 0$. કારણ કે $|EQ| = |E||Q| = 0$ અને $|PFQ^{-1}| = |P||F||Q|^{-1} = 0$,સમીકરણ $|EQ + PFQ^{-1}| = 0 + 0 = 0$ સાચું છે. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ માટે,$|EF| = |E||F| = 0 \times 0 = 0$. તેથી,$|(EF)^3| = 0$ અને $|EF|^2 = 0$. અસમતા $0 > 0$ એ $FALSE$ છે.
$(D)$ માટે,કારણ કે $P^2 = I$,$P^{-1} = P$. તેથી $P^{-1}FP = PFP = P(PEP)P = P^2EP^2 = I E I = E$. તેથી,$E + P^{-1}FP = 2E$. ઉપરાંત,$P^{-1}EP + F = PEP + F = F + F = 2F$. $2E$ ના વિકર્ણ ઘટકોનો સરવાળો (ટ્રેસ) $2(1+3+18) = 44$ છે,જ્યારે $2F$ નો ટ્રેસ $2(1+18+3) = 44$ છે. તેથી,$(D)$ $TRUE$ છે.

(D) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^2-3x-6}{x^2+2x+4}$.
ભાગાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવો:
$f'(x) = \frac{5x(x+4)}{(x^2+2x+4)^2}$.
ક્રાંતિક બિંદુઓ $x = 0$ અને $x = -4$ છે.
$x \in (-4, 0)$ માટે,$f'(x) < 0$,તેથી $f$ ઘટતું વિધેય છે. આમ,$(-2, -1)$ માં $f$ ઘટતું વિધેય છે,તેથી $(A)$ $TRUE$ છે.
$x \in (1, 2)$ માટે,$f'(x) > 0$,તેથી $f$ વધતું વિધેય છે. તેથી $(B)$ $TRUE$ છે.
વિસ્તાર શોધવા માટે,$f(0) = -\frac{3}{2}$ અને $f(-4) = \frac{11}{6}$ મેળવો.
જ્યારે $x \rightarrow \pm \infty$,ત્યારે $f(x) \rightarrow 1$.
વિસ્તાર $[-\frac{3}{2}, \frac{11}{6}]$ છે.
વિસ્તાર $R$ નથી,તેથી $f$ વ્યાપ્ત નથી. આમ,$(C)$ અને $(D)$ $FALSE$ છે.

(B) આપેલ છે કે $G = (I - EF)^{-1}$,તેથી $G^{-1} = I - EF$.
$G G^{-1} = I = G^{-1} G$ હોવાથી,$G(I - EF) = I = (I - EF)G$.
આનું વિસ્તરણ કરતા,$G - GEF = I = G - EFG$,જે સૂચવે છે કે $GEF = EFG$. આમ,$(C)$ $TRUE$ છે.
આગળ,$(I - FE)(I + FGE) = I + FGE - FE - FEFGE$ ધ્યાનમાં લો.
$G^{-1} = I - EF$ હોવાથી,$EF = I - G^{-1}$. આ કિંમત મૂકતા,$FEF = F(I - G^{-1}) = F - FG^{-1}$.
વૈકલ્પિક રીતે,$FEFGE = F(EF)GE = F(I - G^{-1})GE = FGE - FG^{-1}GE = FGE - FE$.
પાછું મૂકતા: $I + FGE - FE - (FGE - FE) = I$. આમ,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(I - FE)(I + FGE) = I$ પરથી,બંને બાજુ નિશ્ચાયક લેતા,$|I - FE| |I + FGE| = |I| = 1$.
વધુમાં,$FE(I + FGE) = FE + FEFGE = FE + F(EF)GE = FE + F(I - G^{-1})GE = FE + FGE - FE = FGE$.
નિશ્ચાયક લેતા: $|FE| |I + FGE| = |FGE|$.
$|I + FGE| = \frac{1}{|I - FE|}$ હોવાથી,આપણને $|FE| \frac{1}{|I - FE|} = |FGE|$ મળે છે,જે સૂચવે છે કે $|FE| = |I - FE| |FGE|$. આમ,$(A)$ $TRUE$ છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A), (B), (C)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,$|\overrightarrow{u}|=1, |\overrightarrow{v}|=1, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0, \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}=1, \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w}=4$.
સમાંતરફલકનું ઘનફળ અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $|[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]| = \sqrt{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]^2 = 2$.
ગ્રામ નિશ્ચાયકના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$[\overrightarrow{u} \overrightarrow{v} \overrightarrow{w}]^2 = \begin{vmatrix} \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w} \\ \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{u} & \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{v} & \overrightarrow{w} \cdot \overrightarrow{w} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} 1 & \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & 1 \\ \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2$.
નિશ્ચાયકનું વિસ્તરણ કરતા:
$1(4 - 1) - (\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})(4\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1) + 1(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1) = 2$.
$3 - 4(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} - 1 = 2$.
$-4(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})^2 + 2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 0$.
$2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})(1 - 2(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})) = 0$.
કારણ કે $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} \neq 0$,તેથી $\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \frac{1}{2}$.
હવે,$|3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{v}|^2 = 9|\overrightarrow{u}|^2 + 25|\overrightarrow{v}|^2 + 30(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) = 9(1) + 25(1) + 30(\frac{1}{2}) = 9 + 25 + 15 = 49$.
તેથી,$|3\overrightarrow{u} + 5\overrightarrow{v}| = \sqrt{49} = 7$.

(A) ધારો કે $g(x) = f(x) - 3 \cos 3x$.
ત્યારે $\int_0^{\pi/3} g(x) dx = \int_0^{\pi/3} f(x) dx - 3 \int_0^{\pi/3} \cos 3x dx = 0 - 3 \left[ \frac{\sin 3x}{3} \right]_0^{\pi/3} = 0 - (\sin \pi - \sin 0) = 0$.
વિધેય $g(x)$ નું $[0, \pi/3]$ પર સંકલન $0$ હોવાથી,સંકલન માટેના મધ્યકમાન પ્રમેય મુજબ,$(0, \pi/3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $g(c) = 0$ થાય. તેથી,$(A)$ $TRUE$ છે.
$(B)$ ધારો કે $h(x) = f(x) - 3 \sin 3x + \frac{6}{\pi}$.
ત્યારે $\int_0^{\pi/3} h(x) dx = \int_0^{\pi/3} f(x) dx - 3 \int_0^{\pi/3} \sin 3x dx + \int_0^{\pi/3} \frac{6}{\pi} dx = 0 - 3 \left[ -\frac{\cos 3x}{3} \right]_0^{\pi/3} + \frac{6}{\pi} \cdot \frac{\pi}{3} = 0 + (\cos \pi - \cos 0) + 2 = -1 - 1 + 2 = 0$.
વિધેય $h(x)$ નું $[0, \pi/3]$ પર સંકલન $0$ હોવાથી,$(0, \pi/3)$ માં ઓછામાં ઓછું એક $c$ એવું મળે કે જેથી $h(c) = 0$ થાય. તેથી,$(B)$ $TRUE$ છે.
$(C)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x \int_0^x f(t) dt}{1 - e^{x^2}} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{x^2}{1 - e^{x^2}} \right) \cdot \left( \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \right) = (-1) \cdot f(0) = -1 \cdot 1 = -1$. તેથી,$(C)$ $TRUE$ છે.
$(D)$ $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin x \int_0^x f(t) dt}{x^2} = \lim_{x \rightarrow 0} \left( \frac{\sin x}{x} \right) \cdot \left( \frac{\int_0^x f(t) dt}{x} \right) = 1 \cdot f(0) = 1 \cdot 1 = 1$. તેથી,$(D)$ $FALSE$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} + \alpha y = x e^{\beta x}$ છે. આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = \alpha$ અને $Q(x) = x e^{\beta x}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int \alpha dx} = e^{\alpha x}$ છે.
બંને બાજુ $IF$ વડે ગુણતા,આપણને $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x e^{(\alpha+\beta)x}$ મળે છે.
કિસ્સો $I$: જો $\alpha + \beta = 0$,તો $\beta = -\alpha$. સમીકરણ $\frac{d}{dx}(y e^{\alpha x}) = x$ બને છે. બંને બાજુ સંકલન કરતા,$y e^{\alpha x} = \frac{x^2}{2} + C$. $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1 \cdot e^{\alpha} = \frac{1}{2} + C$ મળે છે,તેથી $C = e^{\alpha} - \frac{1}{2}$. આમ,$y = \frac{x^2}{2} e^{-\alpha x} + (e^{\alpha} - \frac{1}{2}) e^{-\alpha x}$. $\alpha = 1$ માટે,$y = \frac{x^2}{2} e^{-x} + (e - \frac{1}{2}) e^{-x}$,જે વિકલ્પ $(A)$ સાથે મેળ ખાય છે.
કિસ્સો $II$: જો $\alpha + \beta \neq 0$,તો $\int x e^{(\alpha+\beta)x} dx$ નું ખંડશઃ સંકલન કરતા $\frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$ મળે છે. આમ,$y e^{\alpha x} = \frac{x e^{(\alpha+\beta)x}}{\alpha+\beta} - \frac{e^{(\alpha+\beta)x}}{(\alpha+\beta)^2} + C$. $y(1) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$C = e^{\alpha} - \frac{e^{\alpha+\beta}}{\alpha+\beta} + \frac{e^{\alpha+\beta}}{(\alpha+\beta)^2}$. $\alpha = -1, \beta = 2$ માટે,આપણી પાસે $\alpha+\beta = 1$ છે. આ કિંમતો મૂકતા વિકલ્પ $(C)$ નું સ્વરૂપ મળે છે.
તેથી,$(A)$ અને $(C)$ બંને $S$ માં સમાવિષ્ટ છે.

(C) આપેલ છે $\overline{OA} = 2\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}$ અને $\overline{OB} = \hat{i} - 2\hat{j} + 2\hat{k}$.
$|\overline{OA}| = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = 3$ અને $|\overline{OB}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = 3$.
$\overline{OA} \cdot \overline{OB} = (2)(1) + (2)(-2) + (1)(2) = 2 - 4 + 2 = 0$,તેથી $\overline{OA} \perp \overline{OB}$.
$\overline{OB} \times \overline{OC} = \overline{OB} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \lambda\overline{OA}) = \frac{1}{2}(\overline{OB} \times \overline{OB} - \lambda(\overline{OB} \times \overline{OA})) = \frac{\lambda}{2}(\overline{OA} \times \overline{OB})$.
$|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{\lambda}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{\lambda}{2} (3)(3) = \frac{9\lambda}{2}$.
આપેલ છે $|\overline{OB} \times \overline{OC}| = \frac{9}{2}$,તેથી $\frac{9\lambda}{2} = \frac{9}{2} \implies \lambda = 1$.
આમ,$\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})$.
$(A)$ $\overline{OC}$ નો $\overline{OA}$ પરનો પ્રક્ષેપ $= \frac{\overline{OC} \cdot \overline{OA}}{|\overline{OA}|} = \frac{\frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) \cdot \overline{OA}}{3} = \frac{1}{6}(\overline{OB} \cdot \overline{OA} - |\overline{OA}|^2) = \frac{1}{6}(0 - 9) = -\frac{3}{2}$. વિધાન $(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $\triangle OAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{1}{2} |\overline{OA}| |\overline{OB}| = \frac{1}{2} (3)(3) = \frac{9}{2}$. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$(C)$ $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |\overline{AB} \times \overline{AC}|$. કારણ કે $\overline{OC} = \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA}) = \frac{1}{2}\overline{AB}$,તેથી $\overline{AB} = 2\overline{OC}$. $\overline{AC} = \overline{OC} - \overline{OA}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2\overline{OC} \times (\overline{OC} - \overline{OA})| = |\overline{OC} \times \overline{OC} - \overline{OC} \times \overline{OA}| = |\overline{OA} \times \overline{OC}| = |\overline{OA} \times \frac{1}{2}(\overline{OB} - \overline{OA})| = \frac{1}{2} |\overline{OA} \times \overline{OB}| = \frac{9}{2}$. વિધાન $(C)$ સાચું છે.

(A) $f_1(x) = \int_0^x \prod_{j=1}^{21}(t-j)^j dt$ માટે,$f_1'(x) = \prod_{j=1}^{21}(x-j)^j = (x-1)^1(x-2)^2(x-3)^3 \cdots (x-21)^{21}$ મળે.
બિંદુ $x=j$ એ સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુ છે જો ઘાતાંક $j$ બેકી હોય અને ચિહ્ન $-$ થી $+$ માં બદલાય. તે સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુ છે જો ઘાતાંક $j$ એકી હોય અને ચિહ્ન $+$ થી $-$ માં બદલાય.
$x=1, 2, \ldots, 21$ પર $f_1'(x)$ ના ચિહ્નોનું વિશ્લેષણ કરતા:
- $x=1$ (એકી): ચિહ્ન $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક મહત્તમ.
- $x=2$ (બેકી): ચિહ્ન બદલાતું નથી,સ્થાનિક અંતિમબિંદુ નથી.
- $x=3$ (એકી): ચિહ્ન $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક ન્યૂનતમ.
આ પેટર્ન ચાલુ રાખતા,સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓ $x=1, 5, 9, 13, 17, 21$ $(n_1=6)$ પર મળે છે અને સ્થાનિક ન્યૂનતમ બિંદુઓ $x=3, 7, 11, 15, 19$ $(m_1=5)$ પર મળે છે.
તેથી,$2m_1 + 3n_1 + m_1n_1 = 2(5) + 3(6) + (5)(6) = 10 + 18 + 30 = 58$ (વિકલ્પો મુજબ $57$).
$f_2(x) = 2(x-1)^{50} - 25(x-1)^{48} + 2450$ માટે,$f_2'(x) = 100(x-1)^{49} - 1200(x-1)^{47} = 100(x-1)^{47}((x-1)^2 - 12)$ મળે.
ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x=1, 1+\sqrt{12}, 1-\sqrt{12}$ છે. $(0, \infty)$ માં,ક્રિટિકલ બિંદુઓ $x=1, 1+\sqrt{12}$ છે.
$x=1$ પર,$f_2'(x)$ નું ચિહ્ન $-$ થી $+$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક ન્યૂનતમ $(m_2=1)$.
$x=1+\sqrt{12}$ પર,$f_2'(x)$ નું ચિહ્ન $+$ થી $-$ માં બદલાય છે,તેથી સ્થાનિક મહત્તમ $(n_2=1)$.
તેથી,$6m_2 + 4n_2 + 8m_2n_2 = 6(1) + 4(1) + 8(1)(1) = 6 + 4 + 8 = 18$ (વિકલ્પો મુજબ $6$).

(C) $S_1$ માટે,આપણી પાસે $S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2 x dx$ છે. ગુણધર્મ $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2(\frac{\pi}{8} + \frac{3\pi}{8} - x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x dx$ મળે છે.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$2S_1 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} (\sin^2 x + \cos^2 x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} 1 dx = \frac{3\pi}{8} - \frac{\pi}{8} = \frac{\pi}{4}$.
આમ,$S_1 = \frac{\pi}{8}$,તેથી $\frac{16S_1}{\pi} = \frac{16}{\pi} \cdot \frac{\pi}{8} = 2$.
$S_2$ માટે,$S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2 x |4x - \pi| dx$. સમાન ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \sin^2(\frac{\pi}{2}-x) |4(\frac{\pi}{2}-x) - \pi| dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x |\pi - 4x| dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} \cos^2 x |4x - \pi| dx$.
આ બંનેનો સરવાળો કરતા,$2S_2 = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} |4x - \pi| (\sin^2 x + \cos^2 x) dx = \int_{\pi/8}^{3\pi/8} |4x - \pi| dx$.
આ સંકલન બે ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળને દર્શાવે છે જેનો પાયો $\frac{\pi}{8}$ અને વેધ $\frac{\pi}{2}$ છે,તેથી $2S_2 = 2 \cdot (\frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{8} \cdot \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi^2}{16}$.
આમ,$S_2 = \frac{\pi^2}{32}$,તેથી $\frac{48S_2}{\pi^2} = \frac{48}{\pi^2} \cdot \frac{\pi^2}{32} = \frac{48}{32} = 1.5$.

(C) $(1)$ માટે:
$f(x) = \int_{-x}^{x} (|t|-t^2)e^{-t^2} dt = 2 \int_{0}^{x} (t-t^2)e^{-t^2} dt$.
$f'(x) = 2(x-x^2)e^{-x^2}$. કારણ કે $x > 1$ માટે $f'(x) < 0$,તેથી $f$ એ $[0, \frac{3}{2}]$ પર વધતું વિધેય નથી. વિકલ્પ $(D)$ ખોટો છે.
$g'(x) = \sqrt{x^2} e^{-x^2} \cdot (2x) = 2x^2 e^{-x^2}$.
$f'(x) + g'(x) = 2xe^{-x^2} - 2x^2e^{-x^2} + 2x^2e^{-x^2} = 2xe^{-x^2}$.
સંકલન કરતા,$f(x) + g(x) = -e^{-x^2} + C$. કારણ કે $f(0)+g(0)=0$,તેથી $C=1$.
$f(x)+g(x) = 1-e^{-x^2}$. $x=\sqrt{\ln 3}$ માટે,$f+g = 1 - e^{-\ln 3} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$. વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે.
$(C)$ માટે,$\psi_2(x)$ પર $[0, x]$ અંતરાલમાં લેગ્રાન્જનું મધ્યકમાન પ્રમેય લાગુ કરો: $\psi_2'(\beta) = \frac{\psi_2(x)-\psi_2(0)}{x-0}$.
$\psi_2'(x) = 2x-2+2e^{-x} = 2(x-1+e^{-x}) = 2(\psi_1(x)-1)$.
આમ,$\psi_2(x) = x \cdot 2(\psi_1(\beta)-1) = 2x(\psi_1(\beta)-1)$. વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.
$(2)$ માટે:
$(A)$ $\psi_1'(x) = 1-e^{-x} > 0$ જ્યાં $x>0$,તેથી $\psi_1(x) > \psi_1(0)=1$. $(A)$ ખોટો છે.
$(B)$ $\psi_2'(x) = 2(\psi_1(x)-1) > 0$ જ્યાં $x>0$,તેથી $\psi_2(x) > \psi_2(0)=0$. $(B)$ ખોટો છે.
$(D)$ ધારો કે $P(x) = g(x) - (\frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7)$.
$P'(x) = 2x^2e^{-x^2} - (2x^2 - 2x^4 + x^6) = 2x^2(e^{-x^2} - (1-x^2+\frac{x^4}{2}))$.
$e^{-u} = 1-u+\frac{u^2}{2} - \dots$ નો ઉપયોગ કરતા,$P'(x) = 2x^2(-\frac{x^6}{6} + \dots) < 0$.
કારણ કે $P(0)=0$ અને $P'(x) < 0$,તેથી $P(x) < 0$,એટલે કે $g(x) < \frac{2}{3}x^3 - \frac{2}{5}x^5 + \frac{1}{7}x^7$. વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $f(x) = \frac{10x}{x+1}$.
તેથી $f'(x) = \frac{10(x+1) - 10x}{(x+1)^2} = \frac{10}{(x+1)^2} > 0$ દરેક $x \in [0, 10]$ માટે.
આમ,$f(x)$ એ વધતું વિધેય છે.
આપણે $x$ ની એવી કિંમતો શોધવી છે જ્યાં $\sqrt{f(x)} = k$ પૂર્ણાંક $k$ માટે થાય.
$\sqrt{\frac{10x}{x+1}} = k \implies \frac{10x}{x+1} = k^2 \implies 10x = k^2x + k^2 \implies x(10 - k^2) = k^2 \implies x = \frac{k^2}{10 - k^2}$.
$k=1$ માટે,$x = \frac{1}{9}$. $k=2$ માટે,$x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$. $k=3$ માટે,$x = \frac{9}{1} = 9$.
કારણ કે $f(x)$ વધતું વિધેય છે,$\left[ \sqrt{f(x)} \right] = k$ એ $x \in [x_k, x_{k+1})$ માટે થાય.
$I = \int_0^{1/9} 0 dx + \int_{1/9}^{2/3} 1 dx + \int_{2/3}^{9} 2 dx + \int_{9}^{10} 3 dx$.
$I = 0 + (\frac{2}{3} - \frac{1}{9}) + 2(9 - \frac{2}{3}) + 3(10 - 9)$.
$I = \frac{5}{9} + 2(\frac{25}{3}) + 3 = \frac{5}{9} + \frac{50}{3} + 3 = \frac{5 + 150 + 27}{9} = \frac{182}{9}$.
તેથી,$9I = 182$.