IIT JEE 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પરવલય $y^2 = 12x$ ના સ્પર્શકનું સમીકરણ $y = mx + \frac{3}{m}$ છે.
આ રેખા ઉપવલય $\frac{x^2}{6} + \frac{y^2}{3} = 1$ નો સ્પર્શક હોય,તો તે $c^2 = a^2m^2 + b^2$ શરતનું પાલન કરે,જ્યાં $c = \frac{3}{m}$,$a^2 = 6$,અને $b^2 = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા: $(\frac{3}{m})^2 = 6m^2 + 3 \implies \frac{9}{m^2} = 6m^2 + 3 \implies 3 = 2m^4 + m^2 \implies 2m^4 + m^2 - 3 = 0$.
ધારો કે $u = m^2$,તો $2u^2 + u - 3 = 0 \implies (2u + 3)(u - 1) = 0$. $u = m^2 > 0$ હોવાથી,$m^2 = 1$,એટલે કે $m = \pm 1$.
સ્પર્શકો $y = x + 3$ અને $y = -x - 3$ છે. બંને $x$-અક્ષને $(-3, 0)$ પર મળે છે. તેથી,વિધાન $(C)$ સાચું છે.
$T_1: y = x + 3$ માટે,$P$ પર સ્પર્શબિંદુ $A_1(3, 6)$ છે અને $E$ પર $A_2(-2, 1)$ છે.
$T_2: y = -x - 3$ માટે,$P$ પર સ્પર્શબિંદુ $A_4(3, -6)$ છે અને $E$ પર $A_3(-2, -1)$ છે.
ચતુષ્કોણ $A_1 A_2 A_3 A_4$ એ સમાંતર બાજુઓ $A_1 A_4$ (લંબાઈ $6 - (-6) = 12$) અને $A_2 A_3$ (લંબાઈ $1 - (-1) = 2$) વાળો સમલંબ ચતુષ્કોણ છે. ઊંચાઈ $x = 3$ અને $x = -2$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $3 - (-2) = 5$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times (12 + 2) \times 5 = \frac{1}{2} \times 14 \times 5 = 35$ ચોરસ એકમ. તેથી,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
સાચા વિધાનો $(A)$ અને $(C)$ છે.

(B) આપેલ ગણ $X = \{(x, y) \in \mathbb{Z} \times \mathbb{Z} : \frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} < 1 \text{ અને } y^2 < 5x\}$.
સીમા સમીકરણો $\frac{x^2}{8} + \frac{y^2}{20} = 1$ અને $y^2 = 5x$ ને ઉકેલતા,$y^2 = 5x$ ને ઉપવલયના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{x^2}{8} + \frac{5x}{20} = 1 \implies \frac{x^2}{8} + \frac{x}{4} = 1 \implies x^2 + 2x - 8 = 0 \implies (x+4)(x-2) = 0$. $y^2 < 5x$ હોવાથી,$x > 0$ હોવું જોઈએ,તેથી $x = 2$. $x = 2$ માટે,$y^2 < 10$,તેથી $y \in \{-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3\}$. $x = 1$ માટે,$y^2 < 5$,તેથી $y \in \{-2, -1, 0, 1, 2\}$.
ગણ $X$ માં $12$ બિંદુઓ છે: $X = \{(1, -2), (1, -1), (1, 0), (1, 1), (1, 2), (2, -3), (2, -2), (2, -1), (2, 0), (2, 1), (2, 2), (2, 3)\}$.
$3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ છે. બિંદુઓ $x=1$ અને $x=2$ રેખાઓ પર હોવાથી,પાયો બેકી સંખ્યામાં હોય તો ક્ષેત્રફળ પૂર્ણાંક મળે.
સાનુકૂળ કિસ્સાઓની ગણતરી કરતા: $46 + 22 + 5 = 73$.
આમ,સંભાવના $\frac{73}{220}$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(at^2, 2at)$ છે. $P$ આગળ અભિલંબનું સમીકરણ $y = -tx + 2at + at^3$ છે.
$x$-અક્ષ માટે,$y = 0$ લેતા,$0 = -tx + 2at + at^3$,તેથી $x = 2a + at^2$. આમ,$Q$ એ $(2a + at^2, 0)$ છે.
નાભિ $F$ એ $(a, 0)$ છે.
$\triangle PFQ$ નું ક્ષેત્રફળ $= a^2|t|(1 + t^2)$ છે.
અભિલંબનો ઢાળ $m = -t$ છે,તેથી $t = -m$. અહીં $m > 0$ હોવાથી,$|t| = m$.
ક્ષેત્રફળ $= a^2 m(1 + m^2) = 120$.
જો $a = 2$ અને $m = 3$ લઈએ,તો ક્ષેત્રફળ $= 2^2 \times 3(1 + 3^2) = 4 \times 3(10) = 120$.
આમ,જોડી $(a, m)$ એ $(2, 3)$ છે.

(C) ધારો કે $k$-મું પદ $T_k = 75 \ldots 57$ છે.
$9S = 75 \ldots 57 + 1210$ મળે છે.
અહીં $m = 1210$ અને $n = 9$ છે.
તેથી $m + n = 1210 + 9 = 1219$.

(A) આપેલ છે $A = \frac{1967 + 1686 i \sin \theta}{7 - 3 i \cos \theta}$.
અંશમાંથી $281$ સામાન્ય લેતા: $A = \frac{281(7 + 6 i \sin \theta)}{7 - 3 i \cos \theta}$.
છેદની અનુબદ્ધ સંખ્યા $(7 + 3 i \cos \theta)$ વડે ગુણતા અને ભાગતા:
$A = \frac{281(49 + 21 i \cos \theta + 42 i \sin \theta - 18 \sin \theta \cos \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta}$.
$A$ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવા માટે,કાલ્પનિક ભાગ શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$21 \cos \theta + 42 \sin \theta = 0 \implies \tan \theta = -\frac{1}{2}$.
$\tan \theta = -\frac{1}{2}$ નો ઉપયોગ કરીને,$\sin 2 \theta = -\frac{4}{5}$ અને $\cos^2 \theta = \frac{4}{5}$ મળે છે.
આ કિંમતો $A$ ના વાસ્તવિક ભાગમાં મૂકતા:
$A = \frac{281(49 - 9 \sin 2 \theta)}{49 + 9 \cos^2 \theta} = \frac{281(49 + 36/5)}{49 + 36/5} = 281$.
આમ,એકમાત્ર ધન પૂર્ણાંક $n = 281$ છે.

(B) $(ax^2 + \frac{70}{27bx})^4$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^4C_r (ax^2)^{4-r} (\frac{70}{27bx})^r = {}^4C_r a^{4-r} (\frac{70}{27b})^r x^{8-3r}$ છે.
$x^5$ ના સહગુણક માટે,$8-3r = 5$ લેતા,$r=1$ મળે છે.
સહગુણક ${}^4C_1 a^3 (\frac{70}{27b}) = 4a^3 \cdot \frac{70}{27b} = \frac{280a^3}{27b}$ થાય.
$(ax - \frac{1}{bx^2})^7$ ના વિસ્તરણમાં સામાન્ય પદ $T_{r+1} = {}^7C_r (ax)^{7-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = {}^7C_r a^{7-r} (-\frac{1}{b})^r x^{7-3r}$ છે.
$x^{-5}$ ના સહગુણક માટે,$7-3r = -5$ લેતા,$3r = 12$,એટલે કે $r=4$ મળે છે.
સહગુણક ${}^7C_4 a^3 (-\frac{1}{b})^4 = 35 \cdot \frac{a^3}{b^4} = \frac{35a^3}{b^4}$ થાય.
બંને સહગુણકોને સરખાવતા: $\frac{35a^3}{b^4} = \frac{280a^3}{27b}$.
$35a^3$ વડે ભાગતા ($a \neq 0$ હોવાથી),$\frac{1}{b^3} = \frac{8}{27}$ મળે છે.
આમ,$b^3 = \frac{27}{8}$,જેનો અર્થ છે કે $b = \frac{3}{2}$.
તેથી,$2b = 2(\frac{3}{2}) = 3$.

(A) પ્રથમ,$x_i$ ના ચડતા ક્રમમાં ડેટા ગોઠવો:
$x_i: 3, 4, 5, 8, 10, 11$
$f_i: 5, 4, 4, 2, 2, 3$
કુલ આવૃત્તિ $N = \Sigma f_i = 5 + 4 + 4 + 2 + 2 + 3 = 20$.
$(P)$ મધ્યક $(\bar{x}) = \frac{\Sigma f_i x_i}{N} = \frac{(3 \times 5) + (4 \times 4) + (5 \times 4) + (8 \times 2) + (10 \times 2) + (11 \times 3)}{20} = \frac{15 + 16 + 20 + 16 + 20 + 33}{20} = \frac{120}{20} = 6$.
$(Q)$ મધ્યસ્થ: $N=20$ (બેકી) હોવાથી,મધ્યસ્થ એ $10^{th}$ અને $11^{th}$ અવલોકનોની સરેરાશ છે. સંચયી આવૃત્તિઓ $5, 9, 13, 15, 17, 20$ છે. $10^{th}$ અને $11^{th}$ બંને અવલોકનો $5$ મૂલ્યમાં આવે છે. તેથી,મધ્યસ્થ $= 5$.
$(R)$ મધ્યક વિશે સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 6|}{N} = \frac{5|3-6| + 4|4-6| + 4|5-6| + 2|8-6| + 2|10-6| + 3|11-6|}{20} = \frac{5(3) + 4(2) + 4(1) + 2(2) + 2(4) + 3(5)}{20} = \frac{15 + 8 + 4 + 4 + 8 + 15}{20} = \frac{54}{20} = 2.7$.
$(S)$ મધ્યસ્થ વિશે સરેરાશ વિચલન $= \frac{\Sigma f_i |x_i - 5|}{N} = \frac{5|3-5| + 4|4-5| + 4|5-5| + 2|8-5| + 2|10-5| + 3|11-5|}{20} = \frac{10 + 4 + 0 + 6 + 10 + 18}{20} = \frac{48}{20} = 2.4$.
જોડકાં: $(P) \rightarrow 3, (Q) \rightarrow 2, (R) \rightarrow 4, (S) \rightarrow 5$. સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ ...$(1)$
બંને બાજુ અનુબદ્ધ લેતા:
$|z|^3 + 2\bar{z}^2 + 4z - 8 = 0$ ...$(2)$
$(1)$ માંથી $(2)$ બાદ કરતા:
$2(z^2 - \bar{z}^2) + 4(\bar{z} - z) = 0$
$2(z - \bar{z})(z + \bar{z}) - 4(z - \bar{z}) = 0$
કારણ કે $\text{Im}(z) \neq 0$,તેથી $z - \bar{z} \neq 0$,તેથી $2(z + \bar{z}) - 4 = 0 \Rightarrow z + \bar{z} = 2$.
ધારો કે $z = x + iy$. તો $2x = 2 \Rightarrow x = 1$.
$x=1$ ને મૂળ સમીકરણ $|z|^3 + 2z^2 + 4\bar{z} - 8 = 0$ માં મૂકતા:
$|z|^3 + 2(1+iy)^2 + 4(1-iy) - 8 = 0$
$|z|^3 + 2(1 - y^2 + 2iy) + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 + 2 - 2y^2 + 4iy + 4 - 4iy - 8 = 0$
$|z|^3 - 2y^2 - 2 = 0$
કારણ કે $|z|^2 = x^2 + y^2 = 1 + y^2$,તેથી $|z|^3 = (1+y^2)^{3/2}$.
$(1+y^2)^{3/2} - 2(y^2 + 1) = 0$
$(1+y^2) [\sqrt{1+y^2} - 2] = 0$
કારણ કે $1+y^2 \neq 0$,તેથી $\sqrt{1+y^2} = 2 \Rightarrow |z| = 2$.
આમ,$|z|^2 = 4$.
$1 + y^2 = 4 \Rightarrow y^2 = 3 \Rightarrow y = \pm \sqrt{3}$.
$|z-\bar{z}|^2 = |2iy|^2 = 4y^2 = 4(3) = 12$.
$|z|^2 + |z+\bar{z}|^2 = 4 + |2|^2 = 4 + 4 = 8$.
$|z+1|^2 = |(1+iy)+1|^2 = |2+iy|^2 = 2^2 + y^2 = 4 + 3 = 7$.
તેથી,$P \rightarrow 2, Q \rightarrow 1, R \rightarrow 3, S \rightarrow 5$.

(C) ધારો કે નિયમિત અષ્ટકોણના શિરોબિંદુઓ સંકર સંખ્યાઓ $z_k = 2e^{i(\theta_0 + \frac{2\pi(k-1)}{8})}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k=1, 2, \ldots, 8$. સામાન્યતા ગુમાવ્યા વિના,ધારો કે $\theta_0 = 0$. શિરોબિંદુઓ એ સમીકરણ $z^8 - 2^8 = 0$ ના બીજ છે.
આમ,$z^8 - 2^8 = \prod_{k=1}^8 (z - A_k)$.
ધારો કે $P$ ને સંકર સંખ્યા $z = 2e^{i\theta}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. અંતર $PA_k = |z - A_k|$ છે.
ગુણાકાર $\prod_{k=1}^8 PA_k = |\prod_{k=1}^8 (z - A_k)| = |z^8 - 2^8|$ છે.
$z = 2e^{i\theta}$ મૂકતા,આપણને $|(2e^{i\theta})^8 - 2^8| = |2^8 e^{i8\theta} - 2^8| = 2^8 |e^{i8\theta} - 1|$ મળે છે.
નિત્યસમ $|e^{i\phi} - 1| = 2|\sin(\frac{\phi}{2})|$ નો ઉપયોગ કરતા,અહીં $\phi = 8\theta$ છે,તેથી ગુણાકાર $2^8 \cdot 2|\sin(4\theta)| = 512 |\sin(4\theta)|$ થાય છે.
$|\sin(4\theta)|$ ની મહત્તમ કિંમત $1$ છે.
તેથી,ગુણાકારની મહત્તમ કિંમત $512 \times 1 = 512$ છે.

(A) વર્તુળ $C_1$ એ $x^2+y^2=1$ છે અને $C_2$ એ $(x-4)^2+(y-1)^2=r^2$ છે.
બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ $S_1 - S_2 = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$x^2+y^2-1 - ((x-4)^2+(y-1)^2-r^2) = 0$
$x^2+y^2-1 - (x^2-8x+16+y^2-2y+1-r^2) = 0$
$8x+2y-18+r^2 = 0$,જેનું સાદું રૂપ $8x+2y = 18-r^2$ થાય છે.
સામાન્ય સ્પર્શકોના મધ્યબિંદુઓને જોડતી રેખા એ બે વર્તુળોની રેડિકલ અક્ષ છે.
આ રેખા $x$-અક્ષને $B$ પર મળે છે. રેડિકલ અક્ષના સમીકરણમાં $y=0$ મૂકતા,આપણને $8x = 18-r^2$ મળે છે,તેથી $x = \frac{18-r^2}{8}$.
આમ,$B = \left(\frac{18-r^2}{8}, 0\right)$.
આપેલ છે કે $A=(4,1)$ અને $AB=\sqrt{5}$,તેથી $AB^2 = 5$.
$\left(\frac{18-r^2}{8}-4\right)^2 + (0-1)^2 = 5$
$\left(\frac{18-r^2-32}{8}\right)^2 + 1 = 5$
$\left(\frac{-(14+r^2)}{8}\right)^2 = 4$
$\frac{14+r^2}{8} = 2$ (કારણ કે $r^2 > 0$,તેથી વર્ગમૂળ $2$ મેળવવા માટે કૌંસની અંદરની કિંમત ધન હોવી જોઈએ)
$14+r^2 = 16$,જે $r^2 = 2$ આપે છે.

(A) ધારો કે ત્રિકોણના ખૂણા $A, C, B$ છે જેથી $A < C < B$. આપેલ છે $B - A = \frac{\pi}{2}$.
ધારો કે બાજુઓ $n-d, n, n+d$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
પરિવૃતની ત્રિજ્યા $R=1$ સાથે સાઈન નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બાજુઓ $2R \sin A, 2R \sin C, 2R \sin B$ છે.
આમ,$n-d = 2 \sin A$,$n = 2 \sin C$,$n+d = 2 \sin B$.
$A+B+C = \pi$ અને $B = A + \frac{\pi}{2}$ હોવાથી,$C = \pi - (A + B) = \pi - (2A + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2} - 2A$.
$2n = (n-d) + (n+d) = 2 \sin A + 2 \sin B$ પરથી,$n = \sin A + \sin B = \sin A + \cos A$.
વળી $n = 2 \sin C = 2 \sin(\frac{\pi}{2} - 2A) = 2 \cos 2A$.
$n$ ને સરખાવતા: $\sin A + \cos A = 2 \cos 2A = 2(\cos^2 A - \sin^2 A) = 2(\cos A - \sin A)(\cos A + \sin A)$.
$\sin A + \cos A \neq 0$ હોવાથી,$1 = 2(\cos A - \sin A) \Rightarrow \cos A - \sin A = \frac{1}{2}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $1 - 2 \sin A \cos A = \frac{1}{4} \Rightarrow \sin 2A = \frac{3}{4}$.
ક્ષેત્રફળ $a = \frac{1}{2} (n-d)(n+d) \sin C = \frac{1}{2} (2 \sin A)(2 \sin B) \sin C = 2 \sin A \cos A \sin C = \sin 2A \cos 2A$.
$\sin 2A = \frac{3}{4}$ હોવાથી,$\cos 2A = \sqrt{1 - (3/4)^2} = \frac{\sqrt{7}}{4}$.
$a = \frac{3}{4} \times \frac{\sqrt{7}}{4} = \frac{3\sqrt{7}}{16}$.
$(64a)^2 = (64 \times \frac{3\sqrt{7}}{16})^2 = (4 \times 3\sqrt{7})^2 = 144 \times 7 = 1008$.
અંતઃત્રિજ્યા $r = \frac{a}{s} = \frac{a}{(3n/2)} = \frac{2a}{3n} = \frac{2 \sin 2A \cos 2A}{3(2 \cos 2A)} = \frac{\sin 2A}{3} = \frac{3/4}{3} = \frac{1}{4} = 0.25$.

(A) આપેલ છે કે $S = (0,1) \cup (1,2) \cup (3,4)$ અને $T = \{0, 1, 2, 3\}$.
$(A)$ $S$ એ અનંત ગણ હોવાથી અને $T$ માં $4$ ઘટકો હોવાથી,$S$ થી $T$ પરના કુલ $4^{|S|}$ વિધેયો મળે. $|S|$ અનંત હોવાથી,અસંખ્ય વિધેયો શક્ય છે. તેથી,$(A)$ સાચું છે.
$(B)$ $S$ ના દરેક જોડાયેલા ઘટક માટે સતત વિધેયનું પ્રતિબિંબ પણ જોડાયેલું હોવું જોઈએ. $T$ એ વિક્ષિપ્ત ગણ હોવાથી,વિધેય દરેક ઘટક પર અચળ હોવું જોઈએ. $T$ સીમિત હોવાથી,આવા વિધેયોની સંખ્યા સીમિત છે. તેથી,$(B)$ ખોટું છે.
$(C)$ $S$ થી $T$ પરનું સતત વિધેય $S$ ના દરેક જોડાયેલા ઘટક પર અચળ હોવું જોઈએ. $S$ ના $3$ ઘટકો છે અને દરેક માટે $4$ પસંદગીઓ છે,તેથી કુલ $4 \times 4 \times 4 = 64$ વિધેયો મળે. $64 \le 120$ હોવાથી,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ $S$ ના દરેક ઘટક પર સતત વિધેય અચળ હોય છે,અને અચળ વિધેય વિકલનીય હોય છે. તેથી,$(D)$ સાચું છે.
આમ,સાચા વિધાનો $(A)$,$(C)$ અને $(D)$ છે.

(B) આપેલ છે $f(x) = \frac{x^3}{3} - x^2 + \frac{5x}{9} + \frac{17}{36}$.
પ્રથમ,લાલ પ્રદેશનું કુલ ક્ષેત્રફળ $A_R = \int_0^1 f(x) dx = \left[ \frac{x^4}{12} - \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{18} + \frac{17x}{36} \right]_0^1 = \frac{1}{12} - \frac{1}{3} + \frac{5}{18} + \frac{17}{36} = \frac{3 - 12 + 10 + 17}{36} = \frac{18}{36} = \frac{1}{2}$.
ચોરસ $S$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $1 \times 1 = 1$ હોવાથી,લીલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $A_G = 1 - A_R = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.
ધારો કે $A_R^-(h)$ અને $A_G^-(h)$ એ રેખા $L_h$ ની નીચેના લાલ અને લીલા પ્રદેશોના ક્ષેત્રફળ છે. ધારો કે $A_R^+(h)$ અને $A_G^+(h)$ એ $L_h$ ની ઉપરના ક્ષેત્રફળો છે.
$(B)$ માટે: આપણે $A_R^+(h) = A_R^-(h)$ ઇચ્છીએ છીએ,જેનો અર્થ છે $A_R^-(h) = \frac{1}{2} A_R = \frac{1}{4}$. $f(x) \ge \frac{13}{36} > \frac{1}{4}$ હોવાથી,$h = \frac{1}{4}$ માટે,$A_R^-(h) = \int_0^1 \frac{1}{4} dx = \frac{1}{4}$. આમ,$(B)$ સાચું છે.
$(C)$ માટે: ધારો કે $g(h) = A_G^+(h) - A_R^-(h)$. $h = \frac{13}{36}$ પર,$A_R^-(h) = 0$ અને $A_G^+(h) = \frac{1}{2}$,તેથી $g(h) = \frac{1}{2}$. $h = \frac{181}{324}$ પર,$A_R^-(h) = \frac{1}{2}$ અને $A_G^+(h) = 0$,તેથી $g(h) = -\frac{1}{2}$. ઇન્ટરમીડિયેટ વેલ્યુ થિયરમ દ્વારા,એવો $h$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $g(h) = 0$,એટલે કે $A_G^+(h) = A_R^-(h)$. આમ,$(C)$ સાચું છે.
$(D)$ માટે: ધારો કે $k(h) = A_R^+(h) - A_G^-(h)$. $A_R^+(h) + A_R^-(h) = A_R = 1/2$ અને $A_G^+(h) + A_G^-(h) = A_G = 1/2$ હોવાથી,આપણી પાસે $A_R^+(h) = 1/2 - A_R^-(h)$ અને $A_G^-(h) = 1/2 - A_G^+(h)$ છે. પછી $k(h) = (1/2 - A_R^-(h)) - (1/2 - A_G^+(h)) = A_G^+(h) - A_R^-(h) = g(h)$. $g(h)$ એ $1/2$ થી $-1/2$ સુધીની કિંમતો લેતું હોવાથી,$k(h)$ પણ $0$ કિંમત લે છે. આમ,$(D)$ સાચું છે.
તેથી,વિકલ્પો $(B), (C),$ અને $(D)$ સાચા છે.

(C) $x \in \left[\frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}\right)$ માટે,$f(x) = \sqrt{n}$ છે. જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $n \rightarrow \infty$,તેથી $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$.
આપેલ છે કે $\int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt < g(x) < 2\sqrt{x}$.
ધારો કે $I(x) = \int_{x^2}^x \sqrt{\frac{1-t}{t}} dt$. $t = \sin^2 \theta$ આદેશ લેતા,$dt = 2\sin \theta \cos \theta d\theta$,આપણને મળે $\int 2\cos^2 \theta d\theta = \theta + \frac{1}{2}\sin 2\theta = \arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}$.
આમ,$I(x) = [\arcsin \sqrt{t} + \sqrt{t(1-t)}]_{x^2}^x = \arcsin \sqrt{x} + \sqrt{x(1-x)} - \arcsin x - x\sqrt{1-x^2}$.
જેમ $x \rightarrow 0$,તેમ $I(x) \approx \sqrt{x} + \sqrt{x} - 0 - 0 = 2\sqrt{x}$.
કારણ કે $f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}}$,તેથી $f(x)g(x) \approx \frac{1}{\sqrt{x}} \cdot (2\sqrt{x}) = 2$.
સ્ક્વીઝ પ્રમેય મુજબ,$\lim_{x \rightarrow 0} f(x)g(x) = 2$.

(A) ધારો કે ઘન $Q$ ના શિરોબિંદુઓ $(x_1, x_2, x_3)$ છે જ્યાં $x_i \in \{0, 1\}$ છે.
મુખ્ય વિકર્ણ $OG$ ને ધ્યાનમાં લો જે $(0,0,0)$ અને $(1,1,1)$ ને જોડે છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}_1 = (1, 1, 1)$ છે. રેખા $OG$ નું સમીકરણ $\frac{x}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z}{1}$ છે.
એક બાજુનો વિકર્ણ ધ્યાનમાં લો,ઉદાહરણ તરીકે,$z=0$ બાજુ પરનો વિકર્ણ $AB$ જે $(1,0,0)$ અને $(0,1,0)$ ને જોડે છે. તેનો દિશા સદિશ $\vec{v}_2 = (-1, 1, 0)$ છે.
બે રેખાઓ વચ્ચેનું લઘુત્તમ અંતર $d$ જેમના દિશા સદિશો $\vec{v}_1, \vec{v}_2$ અને બિંદુઓ $P_1, P_2$ હોય,તે $d = \frac{|(\vec{P}_2 - \vec{P}_1) \cdot (\vec{v}_1 \times \vec{v}_2)|}{|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2|}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0-1) - \hat{j}(0 - (-1)) + \hat{k}(1 - (-1)) = -\hat{i} - \hat{j} + 2\hat{k}$.
તેનું માન $|\vec{v}_1 \times \vec{v}_2| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{6}$ છે.
$P_1 = (0,0,0)$ અને $P_2 = (1,0,0)$ લેતા,$\vec{P}_2 - \vec{P}_1 = (1,0,0)$.
અંતર $d = \frac{|(1,0,0) \cdot (-1, -1, 2)|}{\sqrt{6}} = \frac{|-1|}{\sqrt{6}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$ છે.
બાજુના વિકર્ણો અને મુખ્ય વિકર્ણોના અન્ય સંયોજનો માટે,અંતર કાં તો $0$ (જો તેઓ છેદતા હોય) અથવા $\frac{1}{\sqrt{6}}$ છે. આમ,મહત્તમ અંતર $\frac{1}{\sqrt{6}}$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sqrt{1+\cos (2 x)}=\sqrt{2} \tan ^{-1}(\tan x)$
નિત્યસમ $1+\cos(2x) = 2\cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે $\sqrt{2\cos^2 x} = \sqrt{2} \tan^{-1}(\tan x)$.
આનું સાદું રૂપ $\sqrt{2}|\cos x| = \sqrt{2} \tan^{-1}(\tan x)$ અથવા $|\cos x| = \tan^{-1}(\tan x)$ થાય છે.
આપણે પ્રદેશ $D = \left(-\frac{3 \pi}{2},-\frac{\pi}{2}\right) \cup\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \cup\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ માં $y = |\cos x|$ અને $y = \tan^{-1}(\tan x)$ ના છેદબિંદુઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
$1$. $\left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$ માં,$\tan^{-1}(\tan x) = x$. સમીકરણ $|\cos x| = x$ છે. $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \setminus \{0\}$ માટે $|\cos x| > 0$ હોવાથી અને $x=0$ માટે $|\cos 0| = 1 \neq 0$ હોવાથી,$x > 0$ માટે એક ઉકેલ મળે છે અને $x \leq 0$ માટે કોઈ ઉકેલ મળતો નથી.
$2$. $\left(\frac{\pi}{2}, \frac{3 \pi}{2}\right)$ માં,$\tan^{-1}(\tan x) = x - \pi$. સમીકરણ $|\cos x| = x - \pi$ છે. આ અંતરાલમાં એક છેદબિંદુ મળે છે.
$3$. $\left(-\frac{3 \pi}{2}, -\frac{\pi}{2}\right)$ માં,$\tan^{-1}(\tan x) = x + \pi$. સમીકરણ $|\cos x| = x + \pi$ છે. આ અંતરાલમાં એક છેદબિંદુ મળે છે.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $1 + 1 + 1 = 3$ છે.

(B) વક્રો $x=0, x=1, y=0$ અને $y=f(x)$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $\int_{0}^{1} |f(x)| dx$ દ્વારા મળે છે. આપેલ આલેખ મુજબ,ક્ષેત્રફળ ત્રણ ત્રિકોણીય પ્રદેશો $I, II, III$ અને એક સમલંબ ચતુષ્કોણ પ્રદેશનો બનેલો છે.
પ્રદેશ $I$ નું ક્ષેત્રફળ (પાયો $\frac{1}{2n}$ અને વેધ $n$ ધરાવતો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
પ્રદેશ $II$ નું ક્ષેત્રફળ (પાયો $\frac{1}{2n}$ અને વેધ $n$ ધરાવતો ત્રિકોણ): $\frac{1}{2} \times \frac{1}{2n} \times n = \frac{1}{4}$.
પ્રદેશ $III$ નું ક્ષેત્રફળ (સમાંતર બાજુઓ $n$ અને $0$ તથા વેધ $1-\frac{1}{n}$ ધરાવતો સમલંબ ચતુષ્કોણ): $\frac{1}{2} \times (n+0) \times (1-\frac{1}{n}) = \frac{n}{2} \times \frac{n-1}{n} = \frac{n-1}{2}$.
કુલ ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{n-1}{2} = 4$.
$\frac{1}{2} + \frac{n-1}{2} = 4 \implies \frac{n}{2} = 4 \implies n = 8$.
આમ,$f(x)$ ની મહત્તમ કિંમત $n = 8$ છે.

(B) આપેલ છે કે $|\vec{u}-\vec{v}|=|\vec{v}-\vec{w}|=|\vec{w}-\vec{u}|$,તેથી $\triangle UVW$ એ સમબાજુ ત્રિકોણ છે.
ધારો કે $O$ એ ઉગમબિંદુ છે. સદિશો $\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ એ એકમ સદિશો છે,તેથી તેઓ $O$ પર કેન્દ્રિત $1$ ત્રિજ્યાવાળા ગોલક પર આવેલા છે.
સમતલ $P: \sqrt{3}x + 2y + 3z = 16$ નું ઉગમબિંદુ $O(0,0,0)$ થી અંતર $OQ = \frac{|0+0+0-16|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2 + 2^2 + 3^2}} = \frac{16}{\sqrt{3+4+9}} = \frac{16}{4} = 4$ છે.
$S$ માંના કોઈપણ બિંદુ $(\alpha, \beta, \gamma)$ નું સમતલ $P$ થી અંતર $\frac{7}{2}$ આપેલ છે. ધારો કે $Q$ એ $O$ નો $P$ પરનો પ્રક્ષેપ છે. $U, V, W$ એ $P$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,તેઓ એક વર્તુળ પર આવેલા છે જે ગોલક અને $P$ ને સમાંતર સમતલના છેદથી બને છે. ધારો કે આ સમતલ $P'$ છે. $O$ થી $P'$ નું અંતર $OP = OQ - PQ = 4 - \frac{7}{2} = \frac{1}{2}$ છે.
ગોલક અને સમતલ $P'$ ના છેદથી બનતા વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ છે.
$\triangle UVW$ સમબાજુ હોવાથી અને આ $R$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં અંતર્ગત હોવાથી,તેની બાજુની લંબાઈ $a = 2R \cos(30^\circ) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3}{2}$ છે.
$\triangle UVW$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{\sqrt{3}}{4} a^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \cdot \frac{9}{4} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ છે.
શિરોબિંદુઓ $O, U, V, W$ વાળા ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ $= \frac{1}{3} \times \text{Area}(\triangle UVW) \times OP = \frac{1}{3} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{3\sqrt{3}}{32}$ છે.
$\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}$ દ્વારા નિર્ધારિત સમાંતરબાજુ ફલકનું ઘનફળ $V = 6 \times \text{ચતુષ્ફલકનું ઘનફળ} = 6 \times \frac{3\sqrt{3}}{32} = \frac{9\sqrt{3}}{16}$ છે.
તેથી,$\frac{80}{\sqrt{3}} V = \frac{80}{\sqrt{3}} \times \frac{9\sqrt{3}}{16} = 5 \times 9 = 45$.

(A) આપેલ સમીકરણોની સંહતિ:
$x+2y+z=7$
$x+\alpha z=11$
$2x-3y+\beta z=\gamma$
સહગુણક શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક $\Delta = \begin{vmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 1 & 0 & \alpha \\ 2 & -3 & \beta \end{vmatrix} = 1(0 - (-3\alpha)) - 2(\beta - 2\alpha) + 1(-3 - 0) = 3\alpha - 2\beta + 4\alpha - 3 = 7\alpha - 2\beta - 3$ છે.
જો $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ હોય,તો $\Delta = 0$ થાય.
$(P)$ માટે: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ અને $\gamma = 28$. $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ ની ગણતરી કરતા,તે બધા $0$ મળે છે. તેથી,સંહતિને અનંત ઉકેલો છે. $(P \rightarrow 3)$.
$(Q)$ માટે: $\beta = \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ અને $\gamma \neq 28$. $\Delta = 0$ હોવાથી અને $\Delta_x, \Delta_y, \Delta_z$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક શૂન્યતર હોવાથી,સંહતિને કોઈ ઉકેલ નથી. $(Q \rightarrow 2)$.
$(R)$ માટે: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$,તેથી $\Delta \neq 0$. સંહતિને અનન્ય ઉકેલ છે. $(R \rightarrow 1)$.
$(S)$ માટે: $\beta \neq \frac{1}{2}(7\alpha - 3)$ અને $\alpha = 1, \gamma = 28$. $\Delta \neq 0$ હોવાથી,અનન્ય ઉકેલ મળે છે. $x=11, y=-2, z=0$ ને સમીકરણોમાં મૂકતા: $11+2(-2)+0 = 7$ (સાચું),$11+1(0) = 11$ (સાચું),$2(11)-3(-2)+\beta(0) = 22+6 = 28 = \gamma$ (સાચું). આમ,$(x=11, y=-2, z=0)$ એ અનન્ય ઉકેલ છે. $(S \rightarrow 4)$.

(B) આપેલ રેખાઓ $L_1: \vec{r}_1 = \lambda(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})$ અને $L_2: \vec{r}_2 = (\hat{j}-\hat{k}) + \mu(\hat{i}+\hat{k})$ છે.
$L_1$ ને સમાવતું કોઈપણ સમતલ $H$ ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો અભિલંબ સદિશ $\vec{n}$ એ $L_1$ ના દિશા સદિશ $(1,1,1)$ ને લંબ છે. ધારો કે સમતલ $ax+by+cz=0$ છે,જ્યાં $a+b+c=0$.
$L_2$ થી $H$ નું અંતર $d(H)$ શૂન્યતર ત્યારે જ હોય જો $L_2$ એ $H$ ને સમાંતર હોય. જો $L_2$ એ $H$ ને સમાંતર ન હોય,તો અંતર $0$ છે. $d(H)$ ને મહત્તમ કરવા માટે,$L_2$ એ $H$ ને સમાંતર હોવું જોઈએ. આમ,અભિલંબ $\vec{n} = (a,b,c)$ એ $L_2$ ના દિશા સદિશ $(1,0,1)$ ને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,$a+c=0$. કારણ કે $a+b+c=0$ અને $a+c=0$,આપણને $b=0$ મળે છે. ધારો કે $a=1$,તો $c=-1$. સમતલ $H_0$ એ $x-z=0$ છે.
$(P)$ $d(H_0)$ એ $L_2$ પરના કોઈપણ બિંદુ (દા.ત.,$(0,1,-1)$) થી $H_0$ નું અંતર છે: $d = \frac{|0 - (-1)|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$. આમ,$P \rightarrow 5$.
$(Q)$ $(0,1,2)$ નું $x-z=0$ થી અંતર $\frac{|0-2|}{\sqrt{1^2+(-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ છે. આમ,$Q \rightarrow 4$.
$(R)$ કારણ કે $H_0$ એ $x-z=0$ છે,તે ઉગમબિંદુ $(0,0,0)$ માંથી પસાર થાય છે. તેથી,અંતર $0$ છે. $R \rightarrow 3$.
$(S)$ $y=z, x=1, x-z=0$ નું છેદબિંદુ: $x=1$ અને $x-z=0$ પરથી,$z=1$. $y=z$ પરથી,$y=1$. બિંદુ $(1,1,1)$ છે. ઉગમબિંદુથી અંતર $\sqrt{1^2+1^2+1^2} = \sqrt{3}$ છે. આમ,$S \rightarrow 1$.
તેથી,સાચી જોડ $(P) \rightarrow (5), (Q) \rightarrow (4), (R) \rightarrow (3), (S) \rightarrow (1)$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $3 \int_1^x f(t) dt = x f(x) - \frac{x^3}{3}$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$3 f(x) = f(x) + x f'(x) - x^2$.
પદોને ગોઠવતા:
$2 f(x) = x f'(x) - x^2 \implies x f'(x) - 2 f(x) = x^2$.
$x$ વડે ભાગતા $(x \geq 1)$:
$f'(x) - \frac{2}{x} f(x) = x$.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ પ્રકારનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2}{x}$ અને $Q(x) = x$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ = $e^{\int P(x) dx} = e^{\int -\frac{2}{x} dx} = e^{-2 \ln x} = x^{-2} = \frac{1}{x^2}$.
ઉકેલ $f(x) \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + C$ દ્વારા મળે છે:
$f(x) \cdot \frac{1}{x^2} = \int x \cdot \frac{1}{x^2} dx = \int \frac{1}{x} dx = \ln x + C$.
તેથી,$f(x) = x^2 \ln x + C x^2$.
શરત $f(1) = \frac{1}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f(1) = 1^2 \ln(1) + C(1)^2 = \frac{1}{3} \implies 0 + C = \frac{1}{3} \implies C = \frac{1}{3}$.
આમ,$f(x) = x^2 \ln x + \frac{x^2}{3}$.
$f(e)$ ની ગણતરી કરતા:
$f(e) = e^2 \ln(e) + \frac{e^2}{3} = e^2(1) + \frac{e^2}{3} = \frac{3e^2 + e^2}{3} = \frac{4e^2}{3}$.

(B) ધારો કે $P(H) = \frac{1}{3}$ અને $P(T) = \frac{2}{3}$.
પ્રયોગ છાપ પર અટકે જો આપણને $HH$ મળે અથવા $HTHH, HTHTHH, \dots$ અથવા $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ જેવી શ્રેણીઓ મળે.
કિસ્સો $1$: $H$ થી શરૂ થતી અને $HH$ પર પૂરી થતી શ્રેણીઓ $HH, HTHH, HTHTHH, \dots$ છે.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{1}{9}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{9}$ છે.
સરવાળો $= \frac{1/9}{1 - 2/9} = \frac{1}{7}$.
કિસ્સો $2$: $T$ થી શરૂ થતી અને $HH$ પર પૂરી થતી શ્રેણીઓ $THH, THTHH, THTHTHH, \dots$ છે.
આ એક ભૂમિતિ શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = \frac{2}{27}$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{2}{9}$ છે.
સરવાળો $= \frac{2/27}{1 - 2/9} = \frac{2}{21}$.
કુલ સંભાવના $= \frac{1}{7} + \frac{2}{21} = \frac{5}{21}$.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશો $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k}$,$\vec{b} = 3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}$,$\vec{c} = \frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}$,અને $\vec{d} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ છે.
પદ $\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3} = \frac{(3\hat{i} + 6\hat{j} + 3\hat{k}) + 2(2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k})}{3} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ ધ્યાનમાં લો.
હવે,$PR$ ને $5:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરતા બિંદુનો સ્થાન સદિશ $\frac{5\vec{c} + 4\vec{a}}{5+4} = \frac{5(\frac{17}{5}\hat{i} + \frac{16}{5}\hat{j} + 7\hat{k}) + 4(\hat{i} + 2\hat{j} - 5\hat{k})}{9} = \frac{(17\hat{i} + 16\hat{j} + 35\hat{k}) + (4\hat{i} + 8\hat{j} - 20\hat{k})}{9} = \frac{21\hat{i} + 24\hat{j} + 15\hat{k}}{9} = \frac{7\hat{i} + 8\hat{j} + 5\hat{k}}{3}$ છે.
બંને પદો સમાન હોવાથી,$\frac{\vec{b} + 2\vec{d}}{3}$ દ્વારા દર્શાવેલ બિંદુ $PR$ નું $5:4$ ના ગુણોત્તરમાં અંતઃવિભાજન કરે છે.
વિકલ્પ $D$ માટે,$|\vec{b} \times \vec{d}|^2 = |\vec{b}|^2 |\vec{d}|^2 - (\vec{b} \cdot \vec{d})^2 = (3^2 + 6^2 + 3^2)(2^2 + 1^2 + 1^2) - (3(2) + 6(1) + 3(1))^2 = 54 \times 6 - (15)^2 = 324 - 225 = 99$. આમ,વિકલ્પ $D$ ખોટો છે.
તેથી,સાચું વિધાન $B$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $\tan ^{-1}\left(\frac{6 y}{9-y^2}\right)+\cot ^{-1}\left(\frac{9-y^2}{6 y}\right)=\frac{2 \pi}{3}$.
ધારો કે $x = \frac{6y}{9-y^2}$. તો સમીકરણ $\tan^{-1}(x) + \cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \frac{2\pi}{3}$ બને છે.
કિસ્સો $I$: જો $x > 0$ હોય,તો $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \tan^{-1}(x)$. સમીકરણ $2\tan^{-1}(x) = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow \tan^{-1}(x) = \frac{\pi}{3} \Rightarrow x = \sqrt{3}$ બને છે.
$\frac{6y}{9-y^2} = \sqrt{3} \Rightarrow 6y = 9\sqrt{3} - \sqrt{3}y^2 \Rightarrow \sqrt{3}y^2 + 6y - 9\sqrt{3} = 0 \Rightarrow y^2 + 2\sqrt{3}y - 9 = 0$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{-2\sqrt{3} \pm \sqrt{12 + 36}}{2} = -\sqrt{3} \pm \sqrt{12} = -\sqrt{3} \pm 2\sqrt{3}$.
કારણ કે $x > 0$,આપણે $y \in (0, 3)$ જોઈએ છે,તેથી $y = \sqrt{3}$.
કિસ્સો $II$: જો $x < 0$ હોય,તો $\cot^{-1}(\frac{1}{x}) = \tan^{-1}(x) + \pi$. સમીકરણ $2\tan^{-1}(x) + \pi = \frac{2\pi}{3} \Rightarrow 2\tan^{-1}(x) = -\frac{\pi}{3} \Rightarrow \tan^{-1}(x) = -\frac{\pi}{6} \Rightarrow x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ બને છે.
$\frac{6y}{9-y^2} = -\frac{1}{\sqrt{3}} \Rightarrow 6\sqrt{3}y = -9 + y^2 \Rightarrow y^2 - 6\sqrt{3}y - 9 = 0$.
$y$ માટે ઉકેલતા: $y = \frac{6\sqrt{3} \pm \sqrt{108 + 36}}{2} = 3\sqrt{3} \pm \sqrt{36} = 3\sqrt{3} \pm 6$.
કારણ કે $x < 0$,આપણે $y \in (-3, 0)$ જોઈએ છે,તેથી $y = 3\sqrt{3} - 6$.
ઉકેલોનો સરવાળો: $\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - 6 = 4\sqrt{3} - 6$.

(A) સૌ પ્રથમ,આપણે શરત $a_{ij} = 1$ જો $i$ એ $(j+1)$ ને ભાગે,અને અન્યથા $0$ મુજબ શ્રેણિક $M$ બનાવીએ.
$i=1$ માટે: $j=1, 2, 3$ માટે $j+1$ એ $1$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$a_{11}=1, a_{12}=1, a_{13}=1$.
$i=2$ માટે: $j=1, 3$ માટે $j+1$ એ $2$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$a_{21}=1, a_{22}=0, a_{23}=1$.
$i=3$ માટે: $j=2$ માટે $j+1$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય છે. તેથી,$a_{31}=0, a_{32}=1, a_{33}=0$.
આમ,$M = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$.
$(A)$ નિશ્ચાયક શોધો: $|M| = 1(0-1) - 1(0-0) + 1(1-0) = -1 + 1 = 0$. $|M| = 0$ હોવાથી,$M$ એ સિંગ્યુલર છે અને વ્યસ્ત કરી શકાતો નથી. ($A$ ખોટું છે).
$(B)$ આપણે $M X = -X$ ઉકેલીએ,જે $(M + I)X = 0$ છે.
$M+I = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}$. નિશ્ચાયક $|M+I| = 2(1-1) - 1(1-0) + 1(1-0) = 0$. નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,શૂન્યતર ઉકેલ $X$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે. ($B$ સાચું છે).
$(C)$ ગણ $\{X \in \mathbb{R}^3 : MX = 0, X \neq 0\}$ એ $M$ ની શૂન્ય અવકાશ (null space) દર્શાવે છે. $|M| = 0$ હોવાથી,શૂન્ય અવકાશ શૂન્યતર છે. ($C$ સાચું છે).
$(D)$ $M - 2I = \begin{bmatrix} -1 & 1 & 1 \\ 1 & -2 & 1 \\ 0 & 1 & -2 \end{bmatrix}$.
$|M-2I| = -1(4-1) - 1(-2-0) + 1(1-0) = -3 + 2 + 1 = 0$. તેથી,$(M-2I)$ વ્યસ્ત કરી શકાતો નથી. ($D$ ખોટું છે).
તેથી,સાચા વિધાનો $B$ અને $C$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = [4x](x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$ ને આ રીતે લખી શકાય:
$f(x) = \begin{cases} 0 & 0 < x < \frac{1}{4} \\ (x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{1}{4} \leq x < \frac{1}{2} \\ 2(x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{1}{2} \leq x < \frac{3}{4} \\ 3(x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2}) & \frac{3}{4} \leq x < 1 \end{cases}$
$1$. સાતત્ય: વિધેય $x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{3}{4}$ પર અસતત છે કારણ કે આ બિંદુઓ પર ડાબી અને જમણી બાજુની સીમાઓ સમાન નથી. તેથી,વિધાન $(A)$ ખોટું છે.
$2$. વિકલનીયતા: વિધેય $x = \frac{1}{4}$ પર સતત છે પરંતુ ત્યાં વિકલનીય નથી. તે $x = \frac{1}{2}$ અને $x = \frac{3}{4}$ પર અસતત છે. આમ,બરાબર એક બિંદુ $(x = \frac{1}{4})$ છે જ્યાં તે સતત છે પરંતુ વિકલનીય નથી. વિધાન $(B)$ સાચું છે.
$3$. અવિકલનીયતા: વિધેય $x = \frac{1}{4}, \frac{1}{2}, \frac{3}{4}$ પર અવિકલનીય છે. આ બરાબર ત્રણ બિંદુઓ છે. વિધાન $(C)$ ખોટું છે.
$4$. ન્યૂનતમ કિંમત: $x \in [\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ માટે,$f(x) = (x-\frac{1}{4})^2(x-\frac{1}{2})$. ધારો કે $t = x-\frac{1}{4}$,તો $f(t) = t^2(t-\frac{1}{4}) = t^3 - \frac{1}{4}t^2$. $f'(t) = 3t^2 - \frac{1}{2}t = t(3t - \frac{1}{2})$. $f'(t) = 0$ લેતા,આપણને $t = \frac{1}{6}$ મળે છે. કિંમત $(\frac{1}{6})^2(\frac{1}{6}-\frac{1}{4}) = \frac{1}{36}(-\frac{1}{12}) = -\frac{1}{432}$ છે. તેથી,વિધાન $(D)$ ખોટું છે.

(A) ધારો કે $S$ એ $R \rightarrow R$ પરના તમામ બે વાર વિકલનીય વિધેયો $f$ નો ગણ છે,જેથી દરેક $x \in (-1, 1)$ માટે $\frac{d^2 f}{dx^2} > 0$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે $f$ નો આલેખ અંતરાલ $(-1, 1)$ પર ચુસ્તપણે અંતર્મુખ (concave upward/convex) છે.
ધારો કે $\phi(x) = f(x) - x$. તો $\phi''(x) = f''(x) - 0 = f''(x) > 0$,દરેક $x \in (-1, 1)$ માટે.
કારણ કે $\phi''(x) > 0$ છે,વિધેય $\phi(x)$ ચુસ્તપણે બહિર્મુખ (strictly convex) છે.
ચુસ્તપણે બહિર્મુખ વિધેય $x$-અક્ષને વધુમાં વધુ બે બિંદુઓમાં છેદી શકે છે.
તેથી,સમીકરણ $\phi(x) = 0$,જે $f(x) = x$ ને સમાન છે,તેને અંતરાલ $(-1, 1)$ માં વધુમાં વધુ બે ઉકેલો હોઈ શકે છે.
આમ,દરેક $f \in S$ માટે $X_f \leq 2$ થાય છે,જે વિધાન $(B)$ ને સાચું ઠેરવે છે.
યોગ્ય બહિર્મુખ વિધેયો પસંદ કરીને,આપણે એવા ઉદાહરણો બનાવી શકીએ છીએ જ્યાં $X_f = 0$ (દા.ત.,$f(x) = x^2 + 2$),$X_f = 1$ (દા.ત.,$f(x) = x^2 + x + 0.1$),અને $X_f = 2$ (દા.ત.,$f(x) = x^2 + 0.1$).
કારણ કે $X_f$ ની કિંમત $0, 1,$ અથવા $2$ હોઈ શકે છે,વિધાન $(A)$ સાચું છે,વિધાન $(C)$ સાચું છે,અને વિધાન $(D)$ ખોટું છે.
તેથી,સાચા વિધાનો $(A)$,$(B)$,અને $(C)$ છે.

(B) વિધેય $f(x) = \int_0^{x \tan^{-1} x} \frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}} dt$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
લેબનીઝના નિયમનો ઉપયોગ કરીને વિકલન $f'(x)$ મેળવી શકાય છે.
જોકે,વિધેયની રચના જોતા,આપણે નોંધવું જોઈએ કે $x=0$ માટે,$f(0) = \int_0^0 \dots dt = 0$ થાય છે.
$x \neq 0$ માટે,$x \tan^{-1} x > 0$ થાય છે કારણ કે $\tan^{-1} x$ ની નિશાની $x$ જેવી જ હોય છે.
અહીં સંકલ્ય (integrand) $\frac{e^{t-\cos x}}{1+t^{2023}}$ એ $t \geq 0$ માટે ધન છે,અને ઉપલી સીમા $x \tan^{-1} x$ હંમેશા અ-ઋણ (non-negative) છે,તેથી સંકલન $f(x)$ એ તમામ $x \in R$ માટે અ-ઋણ છે.
ચોક્કસ રીતે,તમામ $x$ માટે $f(x) \geq 0$ અને $f(0) = 0$ છે.
આમ,વિધેયની ન્યૂનતમ કિંમત $0$ છે.

(B) આપેલ વિકલ સમીકરણ $(x^2-5) \frac{dy}{dx} - 2xy = -2x(x^2-5)^2$ છે.
$(x^2-5)$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{dy}{dx} - \frac{2x}{x^2-5} y = -2x(x^2-5)$ મળે છે.
આ $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ સ્વરૂપનું સુરેખ વિકલ સમીકરણ છે,જ્યાં $P(x) = -\frac{2x}{x^2-5}$ અને $Q(x) = -2x(x^2-5)$ છે.
સંકલ્યકારક અવયવ $IF = e^{\int P(x) dx} = e^{-\int \frac{2x}{x^2-5} dx} = e^{-\ln|x^2-5|} = \frac{1}{x^2-5}$ છે.
ઉકેલ $y \cdot IF = \int Q(x) \cdot IF dx + c$ છે.
$y \cdot \frac{1}{x^2-5} = \int -2x(x^2-5) \cdot \frac{1}{x^2-5} dx + c$.
$\frac{y}{x^2-5} = \int -2x dx + c = -x^2 + c$.
$y(2) = 7$ આપેલ હોવાથી,$\frac{7}{2^2-5} = -2^2 + c \Rightarrow \frac{7}{-1} = -4 + c \Rightarrow c = -3$ મળે છે.
તેથી,$\frac{y}{x^2-5} = -x^2 - 3$,જેનો અર્થ છે કે $y = -(x^2-5)(x^2+3) = -x^4 + 2x^2 + 15$.
મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,ધારો કે $t = x^2$ જ્યાં $t \ge 0$ છે. તો $y = -t^2 + 2t + 15$.
આ એક નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય છે જેનું શિરોબિંદુ $t = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(-1)} = 1$ પર છે.
$t=1$ એ પ્રદેશ $t \ge 0$ માં હોવાથી,મહત્તમ કિંમત $y(1) = -(1)^2 + 2(1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16$ છે.

(C) સંખ્યા $5$ નો ગુણક હોય જો તેનો છેલ્લો અંક $0$ અથવા $5$ હોય. સમૂહ ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ માં $5$ નથી,તેથી છેલ્લો અંક $0$ હોવો જોઈએ.
અમે એકમના સ્થાને $0$ રાખીને ${1, 2, 2, 2, 4, 4, 0}$ નો ઉપયોગ કરીને પાંચ અંકની સંખ્યાઓ બનાવીએ છીએ.
બાકીના ચાર અંકો ${1, 2, 2, 2, 4, 4}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
કિસ્સો $1$: અંકો ${1, 2, 2, 2}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{3!} = 4$.
કિસ્સો $2$: અંકો ${1, 4, 2, 2}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{2!} = 12$.
કિસ્સો $3$: અંકો ${4, 2, 2, 2}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{3!} = 4$.
કિસ્સો $4$: અંકો ${2, 2, 4, 4}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{2!2!} = 6$.
કિસ્સો $5$: અંકો ${1, 2, 4, 4}$,ક્રમચયો $= \frac{4!}{2!} = 12$.
$5$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $(n(A))$ $= 4 + 12 + 4 + 6 + 12 = 38$.
સંખ્યા $20$ નો ગુણક હોય જો તે $5$ અને $4$ બંનેનો ગુણક હોય. $4$ વડે વિભાજ્ય થવા માટે,છેલ્લા બે અંકો $4$ વડે વિભાજ્ય હોવા જોઈએ. છેલ્લો અંક $0$ હોવાથી,દશકનો અંક $2$ અથવા $4$ હોવો જોઈએ.
જો છેલ્લા બે અંકો $20$ હોય,તો બાકીના ત્રણ અંકો ${1, 2, 2, 4, 4}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
ક્રમચયો $= \frac{3!}{2!} = 3$.
જો છેલ્લા બે અંકો $40$ હોય,તો બાકીના ત્રણ અંકો ${1, 2, 2, 2, 4}$ માંથી પસંદ કરવામાં આવે છે.
ક્રમચયો $= \frac{3!}{3!} = 1$ (${2, 2, 2}$ માટે) $+ \frac{3!}{2!} = 3$ (${1, 2, 2}$ માટે) $= 4$.
$20$ વડે વિભાજ્ય કુલ સંખ્યાઓ $(n(A \cap B))$ $= 3 + 4 = 7$.
આમ,$5$ વડે વિભાજ્ય સંખ્યાઓમાંથી $20$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી સંખ્યાઓ $38 - 7 = 31$ છે.
શરતી સંભાવના $p = \frac{31}{38}$.
તેથી,$38p = 31$.

(B) શ્રેણિક $M \in R$ વ્યસ્ત હોય જો અને માત્ર જો તેનો નિશ્ચાયક $|M| \neq 0$ હોય.
શ્રેણિકનો નિશ્ચાયક નીચે મુજબ છે:
$|M| = a(2 \times 0 - 5 \times d) - 3(c \times 0 - 0 \times d) + b(c \times 5 - 2 \times 0)$
$|M| = a(-5d) - 3(0) + b(5c) = 5bc - 5ad = 5(bc - ad)$.
શ્રેણિક વ્યસ્ત હોવા માટે,$|M| \neq 0$,જેનો અર્થ છે $bc - ad \neq 0$,અથવા $bc \neq ad$.
$a, b, c, d$ માટેના મૂલ્યોનો ગણ $S = \{0, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19\}$ છે,જેમાં $8$ ઘટકો છે.
$R$ માં શ્રેણિકોની કુલ સંખ્યા $8^4 = 4096$ છે.
આપણે $bc = ad$ હોય તેવા કિસ્સાઓની સંખ્યા શોધવાની જરૂર છે.
ધારો કે $X = bc$ અને $Y = ad$.
$1$. જો $ad = 0$,તો $a=0$ અથવા $d=0$. રીતોની સંખ્યા = $8^2 - 7^2 = 15$.
$2$. જો $bc = 0$,તો $b=0$ અથવા $c=0$. રીતોની સંખ્યા = $8^2 - 7^2 = 15$.
$bc = ad = 0$ હોય તેવી કુલ રીતો $15 \times 15 = 225$ છે.
હવે $bc = ad = k$ ધ્યાનમાં લો,જ્યાં $k \neq 0$.
$bc = ad \neq 0$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $91$ છે.
આમ,$|M| = 0$ હોય તેવા $225 + 91 = 316$ કિસ્સાઓ છે.
વ્યસ્ત શ્રેણિકોની સંખ્યા = $4096 - 316 = 3780$.

(A) ગ્રીડમાં $7 \times 7$ બિંદુઓ છે,તેથી કુલ $49$ બિંદુઓ છે.
$(1)$ મિત્રોની સંખ્યા દ્વારા બિંદુઓનું વર્ગીકરણ:
- ખૂણાના બિંદુઓ: $4$ બિંદુઓ,દરેકને $2$ મિત્રો છે.
- ધારના બિંદુઓ (ખૂણા સિવાય): $5 \times 4 = 20$ બિંદુઓ,દરેકને $3$ મિત્રો છે.
- આંતરિક બિંદુઓ: $5 \times 5 = 25$ બિંદુઓ,દરેકને $4$ મિત્રો છે.
$X$ (મિત્રોની સંખ્યા) નું સંભાવના વિતરણ:
- $P(X=2) = \frac{4}{49}$
- $P(X=3) = \frac{20}{49}$
- $P(X=4) = \frac{25}{49}$
- $P(X=0) = P(X=1) = 0$
$E(X) = \sum x_i P(X=x_i) = 2 \times \frac{4}{49} + 3 \times \frac{20}{49} + 4 \times \frac{25}{49} = \frac{8 + 60 + 100}{49} = \frac{168}{49} = \frac{24}{7}$.
તેથી,$7 E(X) = 7 \times \frac{24}{7} = 24$.
$(2)$ $2$ અલગ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{49}{2} = \frac{49 \times 48}{2} = 49 \times 24$ છે.
મિત્રોની જોડીની સંખ્યા (ગ્રીડમાં નજીકની ધાર):
- આડી ધાર: $7$ હાર,દરેકની $6$ ધાર,તેથી $7 \times 6 = 42$.
- ઊભી ધાર: $7$ સ્તંભ,દરેકની $6$ ધાર,તેથી $7 \times 6 = 42$.
કુલ ધાર = $42 + 42 = 84$.
સંભાવના $p = \frac{84}{\binom{49}{2}} = \frac{84 \times 2}{49 \times 48} = \frac{168}{2352} = \frac{1}{14}$.
તેથી,$7 p = 7 \times \frac{1}{14} = 0.5$.