GUJCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) जब पासे के एक जोड़े को फेंका जाता है,तो कुल संभावित परिणामों की संख्या $6 \times 6 = 36$ होती है।
एक सम अभाज्य संख्या वह संख्या है जो सम और अभाज्य दोनों है। एकमात्र सम अभाज्य संख्या $2$ है।
प्रत्येक पासे के लिए,$2$ संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता $\frac{1}{6}$ है।
चूंकि दोनों पासे स्वतंत्र रूप से फेंके जाते हैं,इसलिए प्रत्येक पासे पर एक सम अभाज्य संख्या प्राप्त करने की प्रायिकता उनकी व्यक्तिगत प्रायिकताओं का गुणनफल है:
$P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) पूर्णांकों के समुच्चय $\mathbb{Z}$ पर $f(x) = x^3 + 2$ एकैकी और आच्छादक है या नहीं,यह जाँचने के लिए:
$1$. एकैकी जाँच: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तो $x_1^3 + 2 = x_2^3 + 2$,जिसका अर्थ है $x_1^3 = x_2^3$। चूँकि घन फलन एक वर्धमान फलन है,इसलिए $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है। अतः,$f$ एकैकी है।
$2$. आच्छादक जाँच: $f$ के आच्छादक होने के लिए,प्रत्येक $y \in \mathbb{Z}$ के लिए,एक ऐसा $x \in \mathbb{Z}$ होना चाहिए कि $y = x^3 + 2$ हो। इसका अर्थ है $x^3 = y - 2$,या $x = \sqrt[3]{y - 2}$। $x$ के पूर्णांक होने के लिए,$y - 2$ को एक पूर्ण घन होना चाहिए। उदाहरण के लिए,यदि $y = 3$ है,तो $x^3 = 3 - 2 = 1$,इसलिए $x = 1 \in \mathbb{Z}$। हालाँकि,यदि $y = 0$ है,तो $x^3 = 0 - 2 = -2$। चूँकि $-2$ किसी भी पूर्णांक का पूर्ण घन नहीं है,इसलिए ऐसा कोई $x \in \mathbb{Z}$ नहीं है जिसके लिए $f(x) = 0$ हो। इसलिए,$f$ आच्छादक नहीं है।
निष्कर्ष: $f$ एकैकी है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(B) समुच्चय $A = \{a, b, c\}$ पर संबंध $R$ के गुणों को निर्धारित करने के लिए:
$1$. स्वतुल्यता: एक संबंध के स्वतुल्य होने के लिए,सभी $x \in A$ के लिए $(x, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: एक संबंध के सममित होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ है,तो $(y, x) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(a, c) \in R$ है लेकिन $(c, a) \notin R$ है। इसलिए,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: एक संबंध के संक्रामक होने के लिए,यदि $(x, y) \in R$ और $(y, z) \in R$ है,तो $(x, z) \in R$ होना चाहिए। यहाँ युग्म $(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)$ हैं। $(a, c) \in R$ और $(c, c) \in R$ की जाँच करने पर,हमें $(a, c) \in R$ प्राप्त होता है। संक्रामकता की सभी शर्तें पूरी होती हैं। अतः,$R$ संक्रामक है।
निष्कर्ष: यह संबंध स्वतुल्य और संक्रामक है लेकिन सममित नहीं है। सही विकल्प $B$ है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin ^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा का परिसर $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
दिया गया व्यंजक $\sin ^{-1}(\sin \frac{23 \pi}{6})$ है।
सबसे पहले,कोण $\frac{23 \pi}{6}$ को सरल करें:
$\frac{23 \pi}{6} = \frac{24 \pi - \pi}{6} = 4 \pi - \frac{\pi}{6}$.
चूंकि $\sin(4 \pi - \theta) = -\sin \theta$,इसलिए:
$\sin(\frac{23 \pi}{6}) = \sin(4 \pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
अब,$\sin ^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$,जो अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) हम प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की मुख्य मान शाखाओं को जानते हैं:
$1$. $\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$,इसलिए $\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
$2$. $\sec ^{-1}(-x) = \pi - \sec ^{-1}(x)$,इसलिए $\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$3$. $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.
इन मानों को जोड़ने पर:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) फलन $y = \tan^{-1} x$ प्रतिलोम स्पर्शज्या (inverse tangent) फलन को दर्शाता है।
परिभाषा के अनुसार,प्रतिलोम स्पर्शज्या फलन की मुख्य मान शाखा को अंतराल $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,किसी भी वास्तविक संख्या $x$ के लिए,$y = \tan^{-1} x$ का परिसर $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ है।

(C) दिया गया है कि $A^2 = A$ (idempotent आव्यूह)।
हमें $(I + A)^2 - 3A$ का मान ज्ञात करना है।
व्यंजक का विस्तार करने पर: $(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2 = I + A + A + A^2 = I + 2A + A^2$।
चूँकि $A^2 = A$,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: $I + 2A + A = I + 3A$।
अब,$3A$ घटाने पर: $(I + 3A) - 3A = I$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,हम $A^2 = A \times A$ की गणना करते हैं:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
आव्यूह गुणन करने पर:
पंक्ति $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-1)(-1) = 1$,$(0)(0) + (0)(-1) + (-1)(0) = 0$,$(0)(-1) + (0)(0) + (-1)(0) = 0$
पंक्ति $2$: $(0)(0) + (-1)(0) + (0)(-1) = 0$,$(0)(0) + (-1)(-1) + (0)(0) = 1$,$(0)(-1) + (-1)(0) + (0)(0) = 0$
पंक्ति $3$: $(-1)(0) + (0)(0) + (0)(-1) = 0$,$(-1)(0) + (0)(-1) + (0)(0) = 0$,$(-1)(-1) + (0)(0) + (0)(0) = 1$
अतः,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
अब,हम $I + A^2 = I + I = 2I$ की गणना करते हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
अतः,परिवर्त आव्यूह $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
शर्त $A+A^{\prime} = I$ के अनुसार,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ और $A^{\prime}$ को जोड़ने पर:
$A+A^{\prime} = \begin{bmatrix} 2\sin \alpha & 0 \\ 0 & 2\sin \alpha \end{bmatrix}$.
इसे तत्समक आव्यूह $I$ के बराबर रखने पर:
$2\sin \alpha = 1$,इसलिए $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
हम जानते हैं कि $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,इसलिए $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
अतः,$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) आव्यूह $A$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले इसका सारणिक $|A|$ निकालते हैं।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}$।
$|A| = (2 \times 6) - (-4 \times -3) = 12 - 12 = 0$।
चूंकि आव्यूह $A$ का सारणिक $0$ है,इसलिए यह एक अव्युत्क्रमणीय (singular) आव्यूह है।
एक अव्युत्क्रमणीय आव्यूह का व्युत्क्रम नहीं होता है।
अतः,$A^{-1}$ का अस्तित्व नहीं है।

(B) माना कि दिए गए सारणिक $D_1$ और $D_2$ हैं।
$D_1 = \left|\begin{array}{ll}2017 & 2018 \\ 2019 & 2020\end{array}\right| = (2017 \times 2020) - (2018 \times 2019)$.
गुणधर्म $a(a+3) - (a+1)(a+2) = a^2 + 3a - (a^2 + 3a + 2) = -2$ का उपयोग करने पर,हमें $D_1 = -2$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$D_2 = \left|\begin{array}{ll}2021 & 2022 \\ 2023 & 2024\end{array}\right| = (2021 \times 2024) - (2022 \times 2023)$.
उसी गुणधर्म का उपयोग करने पर,$D_2 = -2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $D_1 + D_2 = 2k$,अतः $-2 + (-2) = 2k$.
$-4 = 2k \implies k = -2$.
इसलिए,$k^3 = (-2)^3 = -8$.

(C) त्रिभुज के शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के लिए क्षेत्रफल का सूत्र है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
यहाँ $P(k, 1)$,$Q(2, 4)$ और $R(1, 1)$ दिए गए हैं और क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है।
मान रखने पर:
$3 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$
$6 = |3k + 0 - 3|$
$6 = |3k - 3|$
इसके दो मामले बनते हैं:
मामला $1$: $3k - 3 = 6 \implies 3k = 9 \implies k = 3$.
मामला $2$: $3k - 3 = -6 \implies 3k = -3 \implies k = -1$.
अतः,$k = -1$ या $k = 3$.

(C) दिया गया समीकरण $y = 7 \sin x + 5 \cos x$ है।
सबसे पहले,$x$ के सापेक्ष प्रथम अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(7 \sin x + 5 \cos x) = 7 \cos x - 5 \sin x$.
इसके बाद,$x$ के सापेक्ष द्वितीय अवकलज ज्ञात करें:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(7 \cos x - 5 \sin x) = -7 \sin x - 5 \cos x$.
व्यंजक से $-1$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(7 \sin x + 5 \cos x)$.
चूंकि $y = 7 \sin x + 5 \cos x$,हम समीकरण में $y$ का मान प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $\frac{d^2y}{dx^2} - my = 0$ से करने पर,हमें $-m = 1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $m = -1$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $x = a(1 - \cos \theta)$ और $y = a(\theta + \sin \theta)$।
सबसे पहले,$x$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{d\theta} = a(0 - (-\sin \theta)) = a \sin \theta$।
इसके बाद,$y$ का $\theta$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a(1 + \cos \theta)}{a \sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}$।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = \cot \frac{\theta}{2}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $y = e^{x \log x} + e^3$.
चूंकि $e^{x \log x} = e^{\log(x^x)} = x^x$,इसलिए व्यंजक $y = x^x + e^3$ हो जाता है।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^x) + \frac{d}{dx}(e^3)$.
चूंकि $e^3$ एक स्थिरांक है,इसका अवकलज $0$ है।
$x^x$ का अवकलन करने के लिए,$u = x^x$ लें। तब $\log u = x \log x$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
अतः,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^x(1 + \log x)$.
इसलिए,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x) + 0 = x^x(1 + \log x)$.

(C) चूंकि $f(x)$,$x=\frac{\pi}{2}$ पर सतत है,इसलिए $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ होगा।
दिया गया है $f(\frac{\pi}{2}) = 2024$।
अब,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2k \cos x}{\pi-2x} = 2024$।
माना $x = \frac{\pi}{2} + h$। जैसे ही $x \to \frac{\pi}{2}$,$h \to 0$।
$\lim_{h \to 0} \frac{2k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{2k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2k \sin h}{-2h} = k \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = k(1) = k$।
सीमा और फलन के मान की तुलना करने पर,हमें $k = 2024$ प्राप्त होता है।

(D) अंतराल $[0, \pi]$ पर $f(x) = \sin x + \cos x$ का निरपेक्ष अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम अवकलज को शून्य के बराबर रखकर क्रांतिक बिंदु ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \cos x - \sin x$.
$f'(x) = 0$ रखने पर,हमें $\cos x = \sin x$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\tan x = 1$.
$x \in [0, \pi]$ के लिए,हल $x = \pi/4$ है।
अब,हम क्रांतिक बिंदु और अंतराल के अंतिम बिंदुओं पर $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $x = 0$ पर: $f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$2$. $x = \pi/4$ पर: $f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
$3$. $x = \pi$ पर: $f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1$.
इन मानों की तुलना करने पर,निरपेक्ष अधिकतम मान $\sqrt{2}$ है।

(D) वर्धमान और ह्रासमान अंतराल निर्धारित करने के लिए,हम $f(x) = \sin 3x$ का अवकलन करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3 \cos 3x$.
फलन के वर्धमान होने के लिए $f'(x) > 0$,अतः $3 \cos 3x > 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos 3x > 0$.
यहाँ $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ है,इसलिए $3x \in [0, \frac{3\pi}{2}]$.
$\cos 3x > 0$ तब होता है जब $3x \in [0, \frac{\pi}{2})$,अर्थात $x \in [0, \frac{\pi}{6})$.
फलन के ह्रासमान होने के लिए $f'(x) < 0$,अतः $3 \cos 3x < 0$,जिसका अर्थ है कि $\cos 3x < 0$.
$\cos 3x < 0$ तब होता है जब $3x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$,अर्थात $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$.
अतः,फलन $[0, \frac{\pi}{6})$ पर वर्धमान और $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ पर ह्रासमान है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A$ सूत्र $A = 4 \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
त्रिज्या के सापेक्ष क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए, हम $A$ का $r$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 4 \pi (2r) = 8 \pi r$.
चूंकि त्रिज्या $r = 6 \text{ cm}$ दी गई है, हम इस मान को अवकलज में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{dA}{dr} = 8 \pi (6) = 48 \pi$.
अतः, क्षेत्रफल के परिवर्तन की दर $48 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ है।

(B) समाकलन $\int_0^1 x e^x \, dx$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = x$ और $dv = e^x \, dx$.
तब $du = dx$ और $v = e^x$ प्राप्त होता है।
सूत्र लागू करने पर:
$\int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx$
$= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - [e^x]_0^1$
$= (e - 0) - (e^1 - e^0)$
$= e - (e - 1)$
$= e - e + 1$
$= 1$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) माना $f(x) = x^5 - x^3 \cos x + \sin^3 x - 3$.
हम समाकलन को अलग करते हैं:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^5 \, dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 \cos x \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \, dx$.
चूँकि $x^5$,$x^3 \cos x$,और $\sin^3 x$ विषम फलन हैं,इसलिए सममित अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर इनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 - 0 + 0 - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \, dx$.
$I = -3 \times [x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = -3 \times (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = -3 \times \pi = -3\pi$.

(B) हम जानते हैं कि $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ और $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}$.
मान लीजिए $f(x) = \tan \frac{x}{2}$,तो $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
अतः,समाकलन $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x \tan \frac{x}{2} + c$ हो जाता है।

(B) समाकलन $I = \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$ को हल करने के लिए,हम वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करेंगे।
$4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -( (x-2)^2 - 4 ) = 4 - (x-2)^2$.
इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} dx$.
मानक समाकलन सूत्र $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = 2$ और $u = x-2$ है:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + c$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) समाकल $I = \int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} dx$ को हल करने के लिए,हम अंश और हर को $e^x$ से विभाजित करके व्यंजक को फिर से लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$
मान लीजिए $u = e^x + e^{-x}$ है। तब,इसका अवकलन $du = (e^x - e^{-x}) dx$ होगा।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + C$
$u$ का मान वापस रखने पर,हमें $I = \log|e^x + e^{-x}| + C$ प्राप्त होता है।
वैकल्पिक रूप से,हम $e^x + e^{-x} = \frac{e^{2x}+1}{e^x}$ लिख सकते हैं।
अतः,$I = \log|\frac{e^{2x}+1}{e^x}| + C = \log|e^{2x}+1| - \log|e^x| + C = \log(e^{2x}+1) - x + C$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,सही विकल्प $A$ है।

(D) क्षेत्रफल $A$ दिए गए अंतराल पर फलन के मापांक का समाकलन है:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$.
चूंकि $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ के लिए $\cos x \geq 0$ है,इसलिए:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर:
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
अतः,क्षेत्रफल $2$ वर्ग इकाई है।

(B) परवलय का दिया गया समीकरण $x^2 = 4y$ है,जिसका अर्थ है $y = \frac{x^2}{4}$।
वक्र $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-अक्ष और रेखा $x = 3$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = 3$ तक फलन का $x$ के सापेक्ष समाकलन करते हैं।
क्षेत्रफल $= \int_{0}^{3} y \, dx = \int_{0}^{3} \frac{x^2}{4} \, dx$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 16y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/4)^2} = 1$ में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a = \frac{1}{3}$ और $b = \frac{1}{4}$ है।
दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ का कुल क्षेत्रफल $\pi ab$ होता है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ भाग होता है।
क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \pi ab = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{48}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$
पदों को $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2} - \frac{x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1 + y^2} x = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2}$
यहाँ,$P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(y) dy}$ है।
$IF = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{x dy - y dx}{y} = 0$ है।
$y$ से गुणा करने पर ($y \neq 0$ मानते हुए),हमें प्राप्त होता है: $x dy - y dx = 0$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $x dy = y dx$।
चरों को अलग करने पर: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$।
इससे प्राप्त होता है: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$।
लघुगणक के गुणों का उपयोग करने पर: $\ln|y| = \ln|cx|$।
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर: $y = cx$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2}$ है।
कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हम दोनों पक्षों की घात $6$ ($2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य) लेकर मूलों को हटाते हैं:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2}\right)^6 = \left(\left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^{1/3}\right)^6$.
यह सरल होकर प्राप्त होता है: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^2$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
परिमेयकरण के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $3$ है,इसलिए घात $3$ है।
अतः,कोटि $2$ है और घात $3$ है।

(C) हम इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के गुणों को जानते हैं:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
साथ ही,$\hat{a} \times \hat{b} = -(\hat{b} \times \hat{a})$ और $\hat{a} \times \hat{a} = 0$.
$1$. $\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot(-\hat{j}) = -(\hat{j} \cdot \hat{j}) = -1$.
$2$. $\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j}) = \hat{i} \cdot(0) = 0$.
$3$. $\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i}) = \hat{k} \cdot(-\hat{k}) = -(\hat{k} \cdot \hat{k}) = -1$.
$4$. $\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j}) = \hat{i} \cdot(-\hat{i}) = -(\hat{i} \cdot \hat{i}) = -1$.
इन मानों का योग: $(-1) + 0 + (-1) + (-1) = -3$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,यानी $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
सबसे पहले,हम सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करते हैं:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3(-2) - 4(-1)) - \hat{j}(2(-2) - 4(0)) + \hat{k}(2(-1) - 3(0))$
$= \hat{i}(-6 + 4) - \hat{j}(-4 - 0) + \hat{k}(-2 - 0)$
$= -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$।
अब,हम इस सदिश का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}$
$= \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$।
अतः,क्षेत्रफल $2\sqrt{6}$ वर्ग इकाई है।

(B) दो सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ है।
यहाँ $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ दिया गया है।
सबसे पहले,अदिश गुणन (dot product) ज्ञात करें: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
इसके बाद,सदिशों के परिमाण (magnitudes) ज्ञात करें: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ और $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1} \left(-\frac{1}{3}\right)$.

(D) दी गई रेखाएँ $L_1: \frac{x-3}{-3} = \frac{y-2}{2k} = \frac{z-3}{2}$ और $L_2: \frac{x-1}{3k} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-5}$ हैं।
$L_1$ के दिक अनुपात $\vec{a_1} = (-3, 2k, 2)$ हैं।
$L_2$ के दिक अनुपात $\vec{a_2} = (3k, 1, -5)$ हैं।
चूंकि रेखाएँ लंबवत हैं,इसलिए उनके दिक अनुपातों का अदिश गुणनफल शून्य होना चाहिए:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$.

(B) पहली रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ हैं।
दूसरी रेखा के दिक अनुपात $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ हैं।
दो रेखाओं जिनके दिक अनुपात $(a_1, b_1, c_1)$ और $(a_2, b_2, c_2)$ हैं,उनके बीच का कोण $\theta$ का सूत्र $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ है।
अदिश गुणनफल की गणना: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
परिमाण की गणना: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$।

(B) बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और $(a, b, c)$ दिक-अनुपात वाली रेखा का समीकरण $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ होता है।
चूंकि अभीष्ट रेखा,रेखा $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ के समांतर है,इसलिए इसके दिक-अनुपात भी $(3, 5, 6)$ होंगे।
रेखा बिंदु $(1, -3, 5)$ से गुजरती है,इसलिए मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{x-1}{3} = \frac{y-(-3)}{5} = \frac{z-5}{6}$
इसे सरल करने पर हमें $\frac{x-1}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-5}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दी गई बाधाएं $x + y < 5$,$x + y < 10$,$x > 0$,और $y > 0$ हैं।
चूंकि $x + y < 5$,$x + y < 10$ का एक उपसमुच्चय है,इसलिए प्रथम चतुर्थांश $(x > 0, y > 0)$ में प्रभावी बाधा $x + y < 5$ है।
सुसंगत क्षेत्र एक खुला त्रिभुजाकार क्षेत्र है जिसके शीर्ष $(0,0)$,$(5,0)$,और $(0,5)$ के करीब हैं।
चूंकि क्षेत्र खुला है और इसमें सीमा बिंदु शामिल नहीं हैं (कठोर असमानता $<$ के कारण),उद्देश्य फलन $t = 7x + 3y$ का न्यूनतम मान क्षेत्र के भीतर किसी भी विशिष्ट बिंदु पर प्राप्त नहीं किया जा सकता है।
जैसे-जैसे $x$ और $y$ का मान $0$ के करीब पहुंचता है,$t$ का मान $0$ के करीब पहुंचता है,लेकिन चूंकि $x > 0$ और $y > 0$ है,इसलिए $t$ हमेशा $0$ से बड़ा रहता है।
अतः,न्यूनतम मान का अस्तित्व नहीं है।

(A) उद्देश्य फलन $z = 6x + 12y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(0, 6)$ पर: $z = 6(0) + 12(6) = 0 + 72 = 72$
$2$. $(3, 3)$ पर: $z = 6(3) + 12(3) = 18 + 36 = 54$
$3$. $(9, 9)$ पर: $z = 6(9) + 12(9) = 54 + 108 = 162$
$4$. $(0, 12)$ पर: $z = 6(0) + 12(12) = 0 + 144 = 144$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $162$ है जो बिंदु $(9, 9)$ पर प्राप्त होता है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि $P(A \mid B) = 1$ है।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
चूंकि $P(A \mid B) = 1$ है,इसलिए $\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = P(B)$।
यह समानता तभी सत्य होती है जब $B \subset A$ हो।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ होता है।
हम सूत्र जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - (P \times \frac{1}{2})$.
$\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - \frac{P}{2}$.
$\frac{3}{5} = \frac{P}{2} + \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों से $\frac{1}{2}$ घटाने पर: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{P}{2}$.
$\frac{6-5}{10} = \frac{P}{2}$.
$\frac{1}{10} = \frac{P}{2}$.
$P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
अतः,$P$ का मान $\frac{1}{5}$ है।