GUJCET 2026 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) संबंध को $R = \{(a, b) : a = b - 2, b > 6\}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दिया गया है कि $b > 6$,आइए विकल्पों की जाँच करें।
विकल्प $(A)$ के लिए,$(8, 6)$: यहाँ $b = 6$,जो $b > 6$ की शर्त को पूरा नहीं करता है।
विकल्प $(B)$ के लिए,$(3, 8)$: यहाँ $a = 3$ और $b = 8$ है। शर्त $a = b - 2$ की जाँच करने पर,हमें $3 = 8 - 2 = 6$ मिलता है,जो गलत है।
विकल्प $(C)$ के लिए,$(6, 8)$: यहाँ $a = 6$ और $b = 8$ है। शर्त $a = b - 2$ की जाँच करने पर,हमें $6 = 8 - 2 = 6$ मिलता है,जो सही है। साथ ही,$b = 8 > 6$ की शर्त भी पूरी होती है।
विकल्प $(D)$ के लिए,$(8, 7)$: यहाँ $a = 8$ और $b = 7$ है। शर्त $a = b - 2$ की जाँच करने पर,हमें $8 = 7 - 2 = 5$ मिलता है,जो गलत है।
अतः,$(6, 8) \in R$ सही उत्तर है।

(D) दिया गया है $e^y(x+1) = 1$.
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural log) लेने पर: $y + \ln(x+1) = 0 \implies y = -\ln(x+1)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{x+1} = -(x+1)^{-1}$.
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2} = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर: $\frac{d^2y}{dx^2} - \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \left(\frac{1}{x+1}\right)^2 - \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2} - \frac{1}{(x+1)^2} = 0$.

(A) माना $I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{1}{1+\sqrt{\cot x}} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} dx$.
निश्चित समाकलन के गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$ है।
अतः,$I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\sin(\pi/2-x)}}{\sqrt{\sin(\pi/2-x)} + \sqrt{\cos(\pi/2-x)}} dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\cos x} + \sqrt{\sin x}} dx$.
$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\pi/6}^{\pi/3} \left( \frac{\sqrt{\sin x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} + \frac{\sqrt{\cos x}}{\sqrt{\sin x} + \sqrt{\cos x}} \right) dx = \int_{\pi/6}^{\pi/3} 1 dx$.
$2I = [x]_{\pi/6}^{\pi/3} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
इसलिए,$I = \frac{\pi}{12}$.

(B) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos 2\theta$ होती है।
अतः,$\sin^2 \frac{x}{2} - \cos^2 \frac{x}{2} = -(\cos^2 \frac{x}{2} - \sin^2 \frac{x}{2}) = -\cos(2 \cdot \frac{x}{2}) = -\cos x$ होगा।
अब,समाकलन $I = \int_0^{\pi} -\cos x \, dx$ हो जाता है।
$-\cos x$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,हमें $-\sin x$ प्राप्त होता है।
$0$ से $\pi$ तक की सीमाएं लागू करने पर,$I = [-\sin x]_0^{\pi}$ प्राप्त होता है।
$I = -(\sin \pi - \sin 0)$।
चूंकि $\sin \pi = 0$ और $\sin 0 = 0$ है,इसलिए $I = -(0 - 0) = 0$ प्राप्त होता है।

(D) समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{9-8x-4x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम हर में दिए गए द्विघात व्यंजक को पूर्ण वर्ग के रूप में लिखते हैं।
$9 - 8x - 4x^2 = 9 - (4x^2 + 8x) = 9 - 4(x^2 + 2x)$.
कोष्ठक के अंदर $1$ जोड़ने और घटाने पर: $9 - 4(x^2 + 2x + 1 - 1) = 9 - 4(x+1)^2 + 4 = 13 - (2x+2)^2$.
अतः,समाकलन $I = \int \frac{dx}{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - (2x+2)^2}}$ हो जाता है।
मानक सूत्र $\int \frac{du}{\sqrt{a^2 - u^2}} = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $u = 2x+2$ और $du = 2dx$ (इसलिए $dx = \frac{du}{2}$):
$I = \frac{1}{2} \int \frac{du}{\sqrt{(\sqrt{13})^2 - u^2}} = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{u}{\sqrt{13}}) + C$.
$u = 2x+2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $I = \frac{1}{2} \sin^{-1}(\frac{2x+2}{\sqrt{13}}) + C$ प्राप्त होता है।

(A) हमारे पास समाकलन $I = \int \sec^2 x \csc^2 x \, dx$ है।
सर्वसमिकाओं $\sec^2 x = \frac{1}{\cos^2 x}$ और $\csc^2 x = \frac{1}{\sin^2 x}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int \frac{1}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx$.
चूंकि $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$,हम लिख सकते हैं:
$I = \int \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \, dx$.
$I = \int \left( \frac{\sin^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} + \frac{\cos^2 x}{\cos^2 x \sin^2 x} \right) \, dx$.
$I = \int (\sec^2 x + \csc^2 x) \, dx$.
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \tan x - \cot x + C$.

(A) वह अंतराल ज्ञात करने के लिए जहाँ फलन $y = x^2 e^{-x}$ ह्रासमान (decreasing) है,हम इसका अवकलज $\frac{dy}{dx}$ निकालते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x}) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x e^{-x} (2 - x)$.
एक फलन ह्रासमान होता है जब $\frac{dy}{dx} < 0$ हो।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ है,इसलिए असमिका $\frac{dy}{dx} < 0$ सरल होकर $x(2 - x) < 0$ हो जाती है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका का चिह्न बदल जाता है: $x(x - 2) > 0$.
यह असमिका $x < 0$ या $x > 2$ के लिए सत्य है।
अतः,फलन $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ अंतराल में ह्रासमान है।

(C) हम जानते हैं कि मापांक फलन $|x+1|$ हमेशा गैर-ऋणात्मक होता है,जिसका अर्थ है कि सभी $x \in R$ के लिए $|x+1| \ge 0$ है।
$-1$ से गुणा करने पर असमिका बदल जाती है: $-|x+1| \le 0$।
दोनों पक्षों में $3$ जोड़ने पर: $-|x+1| + 3 \le 0 + 3$,जो सरल होकर $f(x) \le 3$ हो जाता है।
अधिकतम मान तब प्राप्त होता है जब पद $-|x+1| = 0$ हो,जो $x = -1$ पर होता है।
अतः,फलन का अधिकतम मान $3$ है।

(D) सीमांत राजस्व $(MR)$ को कुल राजस्व फलन $R(x)$ के $x$ के सापेक्ष अवकलज के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$MR = \frac{dR}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 + 36x + 5)$
अवकलन के घात नियम का उपयोग करने पर:
$MR = 6x + 36$
अब,$MR$ के व्यंजक में $x = 15$ प्रतिस्थापित करने पर:
$MR = 6(15) + 36$
$MR = 90 + 36 = 126$
अतः,जब $x = 15$ है,तो सीमांत राजस्व $126$ है।

(B) माना $C = AB - BA$ है।
$C$ का परिवर्त आव्यूह लेने पर,$C^T = (AB - BA)^T$ प्राप्त होता है।
$(X - Y)^T = X^T - Y^T$ और $(XY)^T = Y^T X^T$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$C^T = (AB)^T - (BA)^T = B^T A^T - A^T B^T$ प्राप्त होता है।
चूँकि $A$ और $B$ विषम-सममित हैं,इसलिए $A^T = -A$ और $B^T = -B$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$C^T = (-B)(-A) - (-A)(-B) = BA - AB$ प्राप्त होता है।
ऋण चिह्न को बाहर निकालने पर,$C^T = -(AB - BA) = -C$ प्राप्त होता है।
चूँकि $C^T = -C$ है,इसलिए आव्यूह $AB - BA$ एक विषम-सममित आव्यूह है।

(C) दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$।
हम $A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a & b \\ c & -a \end{bmatrix}$ की गणना करते हैं।
मैट्रिक्स गुणन करने पर: $A^2 = \begin{bmatrix} a^2 + bc & ab - ab \\ ac - ac & bc + a^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix}$।
यह दिया गया है कि $A^2 = I$,जहाँ $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$,इसलिए हम मैट्रिसेस की तुलना करते हैं:
$\begin{bmatrix} a^2 + bc & 0 \\ 0 & a^2 + bc \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$।
अवयवों की तुलना करने पर,हमें $a^2 + bc = 1$ प्राप्त होता है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $1 - a^2 - bc = 0$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(\frac{1}{2}) = \frac{\pi}{6}$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \sin^{-1}(\frac{1}{2}) = 2(\frac{\pi}{6}) = \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अब,व्यंजक $\tan^{-1} [2 \cos(\frac{\pi}{3})]$ हो जाता है।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2}$ होता है,इसलिए $\tan^{-1} [2 \times \frac{1}{2}] = \tan^{-1}(1)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan(\frac{\pi}{4}) = 1$ होता है,इसलिए अंतिम मान $\frac{\pi}{4}$ है।

(A) $\sin^{-1} x$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ है।
चूंकि $\frac{3\pi}{5} > \frac{\pi}{2}$,इसलिए हमें सर्वसमिका $\sin(\pi - \theta) = \sin(\theta)$ का उपयोग करके $\sin(\frac{3\pi}{5})$ को फिर से लिखना होगा।
अतः,$\sin(\frac{3\pi}{5}) = \sin(\pi - \frac{3\pi}{5}) = \sin(\frac{2\pi}{5})$।
चूंकि $\frac{2\pi}{5}$ अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में स्थित है,इसलिए $\sin^{-1}(\sin \frac{2\pi}{5}) = \frac{2\pi}{5}$ होगा।

(B) प्रतिलोम कोसाइन फलन $\cos^{-1}(x)$ की मुख्य मान शाखा को $[0, \pi]$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,यदि $y = \cos^{-1}(x)$ है,तो $y$ को अंतराल $[0, \pi]$ में स्थित होना चाहिए।

(C) एकैकी के लिए परीक्षण: $f(1) = \frac{1+1}{2} = 1$ और $f(2) = \frac{2}{2} = 1$ है। चूंकि $1 \neq 2$ के लिए $f(1) = f(2)$ है,इसलिए फलन एकैकी नहीं है (यह बहु-एक है)।
आच्छादक के लिए परीक्षण: किसी भी $y \in N$ के लिए,यदि $y$ विषम है,तो हम $n = 2y-1$ ले सकते हैं,तब $f(2y-1) = \frac{(2y-1)+1}{2} = y$ होगा। यदि $y$ सम है,तो हम $n = 2y$ ले सकते हैं,तब $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$ होगा। इस प्रकार,सह-प्रांत के प्रत्येक अवयव के लिए प्रांत में एक पूर्व-प्रतिबिंब मौजूद है। इसलिए,फलन आच्छादक है।

(A) दिया गया समीकरण $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$ है।
दोनों पक्षों से $P(A)$ घटाने पर,हमें $P(B) - P(A \cap B) = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $P(B) = P(A \cap B)$।
यह समानता दर्शाती है कि $B \subseteq A$,अर्थात घटना $B$ के सभी परिणाम घटना $A$ के भीतर निहित हैं।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
चूंकि $P(A \cap B) = P(B)$ है,इसलिए सूत्र में मान रखने पर:
$P(A|B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ (यह मानते हुए कि $P(B) \neq 0$)।

(C) कुल पत्तों की संख्या $52$ है। एक गड्डी में $4$ राजा और $4$ इक्के होते हैं।
चरण $1$: पहला पत्ता राजा होने की प्रायिकता = $4/52 = 1/13$.
चरण $2$: दूसरा पत्ता राजा होने की प्रायिकता (बिना प्रतिस्थापन के) = $3/51 = 1/17$.
चरण $3$: तीसरा पत्ता इक्का होने की प्रायिकता (बिना प्रतिस्थापन के) = $4/50 = 2/25$.
कुल प्रायिकता = $(4/52) \times (3/51) \times (4/50) = (1/13) \times (1/17) \times (2/25) = 2 / 5525$.

(C) माना $u = \log_{2025} x = \frac{\log x}{\log 2025}$ है।
तब $y = \log_{2026} u = \frac{\log u}{\log 2026}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) लागू करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{1}{u \log 2026} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{\log x}{\log 2025}\right)$.
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{u \log 2026} \cdot \frac{1}{x \log 2025}$.
$u = \frac{\log x}{\log 2025}$ का मान रखने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(\frac{\log x}{\log 2025}) \log 2026 \cdot x \log 2025} = \frac{1}{x \log x \log 2026}$.

(A) दिया गया है $x = at^2$ और $y = 2at$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 2a$ ज्ञात करें।
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/dt}{dx/dt} = \frac{2a}{2at} = \frac{1}{t}$।
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(\frac{1}{t}) = \frac{d}{dt}(\frac{1}{t}) \cdot \frac{dt}{dx} = (-\frac{1}{t^2}) \cdot \frac{1}{2at} = -\frac{1}{2at^3}$।
हम जानते हैं कि $x = at^2$,इसलिए $t^2 = \frac{x}{a}$ और $y = 2at$,इसलिए $t = \frac{y}{2a}$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -\frac{1}{2a(t^2)(t)} = -\frac{1}{2a(\frac{x}{a})(\frac{y}{2a})} = -\frac{1}{\frac{xy}{a}} = -\frac{a}{xy}$।

(C) किसी फलन $f(x)$ के बिंदु $x = a$ पर संतत होने के लिए,बाएँ पक्ष की सीमा $(LHL)$,दाएँ पक्ष की सीमा $(RHL)$ और उस बिंदु पर फलन का मान बराबर होना चाहिए।
यहाँ,$a = \pi$ है।
$LHL$: $\lim_{x \to \pi^-} f(x) = \lim_{x \to \pi^-} (kx + 1) = k\pi + 1$.
$RHL$: $\lim_{x \to \pi^+} f(x) = \lim_{x \to \pi^+} (\cos x) = \cos(\pi) = -1$.
चूँकि फलन $x = \pi$ पर संतत है,इसलिए $LHL$ = $RHL$ होगा।
अतः,$k\pi + 1 = -1$.
$k\pi = -2$.
$k = -\frac{2}{\pi}$.

(B) एक आव्यूह $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$ का व्युत्क्रम $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -4 \end{bmatrix}$,सारणिक $|A| = (2)(-4) - (3)(1) = -8 - 3 = -11$ है।
अतः,$A^{-1} = \frac{1}{-11} \begin{bmatrix} -4 & -3 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/11 & 3/11 \\ 1/11 & -2/11 \end{bmatrix}$ है।
इसे दिए गए $A^{-1} = \begin{bmatrix} a & 3/11 \\ 1/11 & b \end{bmatrix}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $a = 4/11$ और $b = -2/11$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$a+b = 4/11 + (-2/11) = 2/11$।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}$,अतः $A^2 = \begin{bmatrix} 2^2 & 0 & 0 \\ 0 & 3^2 & 0 \\ 0 & 0 & 4^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ 0 & 9 & 0 \\ 0 & 0 & 16 \end{bmatrix}$.
दिया गया है $B = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -3 \end{bmatrix}$,अतः $B^2 = \begin{bmatrix} 1^2 & 0 & 0 \\ 0 & (-2)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (-3)^2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 9 \end{bmatrix}$.
इसलिए,$A^2 + B^2 = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 9+4 & 0 \\ 0 & 0 & 16+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 13 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix}$.

(D) शीर्षों $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$,और $(x_3, y_3)$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)| = 35$.
दिए गए शीर्षों $(2, -6)$,$(5, 4)$,और $(k, 4)$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |2(4-4) + 5(4 - (-6)) + k(-6-4)| = 35$
$\frac{1}{2} |2(0) + 5(10) + k(-10)| = 35$
$|50 - 10k| = 70$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $50 - 10k = 70 \implies -10k = 20 \implies k = -2$.
स्थिति $2$: $50 - 10k = -70 \implies -10k = -120 \implies k = 12$.
अतः,$k$ के संभावित मान $12$ और $-2$ हैं।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$।
सबसे पहले,$A$ का ट्रेस (trace) ज्ञात करें: $\text{tr}(A) = 3 + 2 = 5$।
इसके बाद,$A$ का सारणिक (determinant) ज्ञात करें: $|A| = (3)(2) - (-2)(4) = 6 + 8 = 14$।
केली-हैमिल्टन प्रमेय के अनुसार,प्रत्येक वर्ग आव्यूह अपने स्वयं के अभिलक्षणिक समीकरण को संतुष्ट करता है: $A^2 - \text{tr}(A)A + |A|I = 0$।
मान रखने पर,हमें $A^2 - 5A + 14I = 0$ प्राप्त होता है।
$A^2$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $A^2 = 5A - 14I$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int e^x \left( \frac{1-x}{1+x^2} \right)^2 dx$ है।
अंश का विस्तार करने पर,हमें $I = \int e^x \frac{1-2x+x^2}{(1+x^2)^2} dx$ प्राप्त होता है।
इसे $I = \int e^x \left[ \frac{1+x^2}{(1+x^2)^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
$I = \int e^x \left[ \frac{1}{1+x^2} - \frac{2x}{(1+x^2)^2} \right] dx$।
हम मानक समाकलन सूत्र $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + C$ जानते हैं।
यहाँ,मान लीजिए $f(x) = \frac{1}{1+x^2}$।
अतः,$f'(x) = \frac{d}{dx} (1+x^2)^{-1} = -1(1+x^2)^{-2} \cdot (2x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2}$।
चूंकि समाकल्य $e^x [f(x) + f'(x)]$ के रूप में है,इसलिए हल $e^x f(x) + C = \frac{e^x}{1+x^2} + C$ है।

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{e^{2025+x} - e^{2025-x}}{e^{2026+x} + e^{2026-x}} dx$ है।
अंश से $e^{2025}$ और हर से $e^{2026}$ को उभयनिष्ठ लेने पर:
$I = \int \frac{e^{2025}(e^x - e^{-x})}{e^{2026}(e^x + e^{-x})} dx = \frac{1}{e} \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$.
माना $u = e^x + e^{-x}$ है।
तब,अवकलन $du = (e^x - e^{-x}) dx$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \frac{1}{e} \int \frac{1}{u} du = \frac{1}{e} \ln |u| + C$.
$u = e^x + e^{-x}$ का मान वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \frac{1}{e} \ln |e^x + e^{-x}| + C$.

(D) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 144$ है।
दोनों पक्षों को $144$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{4x^2}{144} + \frac{9y^2}{144} = 1$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{x^2}{36} + \frac{y^2}{16} = 1$ हो जाता है।
यह दीर्घवृत्त का मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ है,जहाँ $a^2 = 36$ (अर्थात $a = 6$) और $b^2 = 16$ (अर्थात $b = 4$) है।
दीर्घवृत्त का कुल क्षेत्रफल $A = \pi ab$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,कुल क्षेत्रफल $A = \pi \times 6 \times 4 = 24\pi$ है।
चूँकि दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है,प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
अतः,अभीष्ट क्षेत्रफल = $\frac{1}{4} \times 24\pi = 6\pi$ है।

(C) फलन $y = x|x|$ को $x \ge 0$ के लिए $y = x^2$ और $x < 0$ के लिए $y = -x^2$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
क्षेत्रफल की गणना करने के लिए,हम फलन का निरपेक्ष मान लेते हैं: $\int_{-1}^1 |x|x|| dx$.
इसे दो अंतरालों में विभाजित किया जा सकता है: $\int_{-1}^0 |-x^2| dx + \int_{0}^1 |x^2| dx$.
चूंकि $|-x^2| = x^2$ और $|x^2| = x^2$,समाकलन $\int_{-1}^0 x^2 dx + \int_{0}^1 x^2 dx$ हो जाता है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $[\frac{x^3}{3}]_{-1}^0 + [\frac{x^3}{3}]_{0}^1$.
$= (0 - (-1/3)) + (1/3 - 0) = 1/3 + 1/3 = 2/3$.

(D) कोटि और घात ज्ञात करने के लिए,हमें पहले दोनों पक्षों की घात $6$ (जो $2$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) लेकर करणी को हटाना होगा।
दिया गया समीकरण: $(1 + (y'')^2)^{1/2} = (x + (y')^3)^{1/3}$.
दोनों पक्षों की घात $6$ लेने पर:
$((1 + (y'')^2)^{1/2})^6 = ((x + (y')^3)^{1/3})^6$
$(1 + (y'')^2)^3 = (x + (y')^3)^2$.
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $1 + 3(y'')^2 + 3(y'')^4 + (y'')^6 = (x + (y')^3)^2$.
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $y'' = \frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $2$ है।
समीकरण को परिमेय बनाने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज का घातांक $6$ है। अतः,घात $6$ है।

(D) $n$ कोटि के अवकल समीकरण के व्यापक हल में $n$ स्वेच्छ अचर होते हैं।
विशिष्ट हल इन स्वेच्छ अचरों को विशिष्ट मान देकर प्राप्त किया जाता है।
अतः,एक विशिष्ट हल में $0$ स्वेच्छ अचर होते हैं।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x+y} = e^x \cdot e^y$ है।
चरों को पृथक करने पर,हमें $e^{-y} \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^{-y} \, dy = \int e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
इसका परिणाम $-e^{-y} = e^x + C'$ है,जहाँ $C'$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $e^x + e^{-y} = -C'$ प्राप्त होता है।
यदि $C = -C'$ मान लिया जाए,तो व्यापक हल $e^x + e^{-y} = C$ होगा।

(B) दो सदिशों के अंतर का परिमाण ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार है: $|\vec{a} - \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$.
दिए गए मानों $|\vec{a}| = 2$,$|\vec{b}| = 3$ और $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = (2)^2 + (3)^2 - 2(4)$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 4 + 9 - 8$
$|\vec{a} - \vec{b}|^2 = 5$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\vec{a} - \vec{b}| = \sqrt{5}$ प्राप्त होता है।

(D) ,$B$ और $C$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ है।
सबसे पहले,हम सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करते हैं:
$\vec{AB} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$.
$\vec{AC} = (1-1)\hat{i} + (5-1)\hat{j} + (5-2)\hat{k} = 0\hat{i} + 4\hat{j} + 3\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करते हैं:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 4 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(6-12) - \hat{j}(3-0) + \hat{k}(4-0) = -6\hat{i} - 3\hat{j} + 4\hat{k}$.
अब,सदिश गुणनफल का परिमाण ज्ञात करते हैं:
$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-3)^2 + 4^2} = \sqrt{36 + 9 + 16} = \sqrt{61}$.
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \sqrt{61} = \frac{\sqrt{61}}{2}$ वर्ग इकाई है।

(D) हम जानते हैं कि इकाई सदिशों (unit vectors) का क्रॉस गुणनफल $\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$,और $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\hat{i} \cdot \hat{i} + \hat{j} \cdot \hat{j} + \hat{k} \cdot \hat{k}$ प्राप्त होता है।
चूंकि एक इकाई सदिश का स्वयं के साथ डॉट गुणनफल $1$ होता है (अर्थात $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,$\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$),इसलिए व्यंजक का मान $1 + 1 + 1 = 3$ हो जाता है।

(B) दोनों रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ और $\vec{b_2} = 3\hat{i} + 2\hat{j} + 6\hat{k}$ हैं।
सबसे पहले,दिशा सदिशों के परिमाण (magnitudes) की गणना करें:
$|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
इसके बाद,दिशा सदिशों का अदिश गुणनफल (dot product) ज्ञात करें:
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने का सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ है।
मान रखने पर,हमें $\cos \theta = \frac{19}{3 \cdot 7} = \frac{19}{21}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{19}{21})$।

(D) सबसे पहले,रेखाओं को मानक रूप $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ में लिखें।
पहली रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3} = \frac{y-2}{2p/7} = \frac{z-3}{-2}$. दिशा सदिश $\vec{a} = (-3, \frac{2p}{7}, -2)$ है।
दूसरी रेखा के लिए: $\frac{x-1}{-3p/7} = \frac{y-5}{1} = \frac{z-6}{-5}$. दिशा सदिश $\vec{b} = (-\frac{3p}{7}, 1, -5)$ है।
चूंकि रेखाएँ परस्पर लंब हैं,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.
$(-3)(-\frac{3p}{7}) + (\frac{2p}{7})(1) + (-2)(-5) = 0$.
$\frac{9p}{7} + \frac{2p}{7} + 10 = 0$.
$\frac{11p}{7} = -10$.
$p = -\frac{70}{11}$.

(C) दी गई दो रेखाओं के दिशा सदिश $\vec{v_1} = 3\hat{i} - 16\hat{j} + 7\hat{k}$ और $\vec{v_2} = 3\hat{i} + 8\hat{j} - 5\hat{k}$ हैं।
चूंकि अभीष्ट रेखा दोनों रेखाओं पर लंब है,इसलिए इसका दिशा सदिश $\vec{v}$,सदिश गुणनफल $\vec{v_1} \times \vec{v_2}$ के समांतर होना चाहिए।
$\vec{v} = \vec{v_1} \times \vec{v_2} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 3 & -16 & 7 \\ 3 & 8 & -5 \end{vmatrix} = \hat{i}(80 - 56) - \hat{j}(-15 - 21) + \hat{k}(24 + 48) = 24\hat{i} + 36\hat{j} + 72\hat{k}$.
सामान्य गुणनखंड $12$ से विभाजित करने पर,हमें दिशा सदिश $2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ प्राप्त होता है।
रेखा बिंदु $(1, 2, -4)$ से गुजरती है,इसलिए इसका स्थिति सदिश $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k}$ है।
रेखा का सदिश समीकरण $\vec{r} = \vec{a} + \lambda\vec{v} = \hat{i} + 2\hat{j} - 4\hat{k} + \lambda(2\hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k})$ है।

(D) उद्देश्य फलन $z = 3x + 9y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$.
$2$. $(5, 5)$ पर: $z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$.
$3$. $(15, 15)$ पर: $z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$.
$4$. $(0, 20)$ पर: $z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$.
इन मानों $(90, 60, 180, 180)$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $60$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया उद्देश्य फलन $z = px + qy$ है।
कोणीय बिंदु $(0, 10)$ पर,$z = p(0) + q(10) = 90$ है।
इसे सरल करने पर $10q = 90$ प्राप्त होता है,जिससे $q = 9$ मिलता है।
कोणीय बिंदु $(5, 5)$ पर,$z = p(5) + q(5) = 60$ है।
इसे सरल करने पर $5p + 5q = 60$ प्राप्त होता है,जो $p + q = 12$ में बदल जाता है।
समीकरण $p + q = 12$ में $q = 9$ का मान रखने पर,$p + 9 = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $p = 3$ है।
अब,$p = 3$ और $q = 9$ की तुलना करने पर,हम देखते हैं कि $9 = 3 \times 3$,जिसका अर्थ है $q = 3p$।

(B) हम सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा का उपयोग करते हैं: $P(A'|B') = \frac{P(A' \cap B')}{P(B')}$.
डी मॉर्गन के नियम के अनुसार,$A' \cap B' = (A \cup B)'$.
इसलिए,$P(A' \cap B') = P((A \cup B)') = 1 - P(A \cup B)$.
दिया गया है कि $P(A \cup B) = \frac{3}{11}$,इसलिए $P(A' \cap B') = 1 - \frac{3}{11} = \frac{8}{11}$.
साथ ही,$P(B') = 1 - P(B) = 1 - \frac{2}{11} = \frac{9}{11}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$P(A'|B') = \frac{8/11}{9/11} = \frac{8}{9}$.