GUJCET 2018 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) समुच्चय $A = \{3, 4, 5\}$ पर संबंध $S$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in S$ होना चाहिए। यहाँ,$(5, 5) \notin S$ है,इसलिए यह स्वतुल्य नहीं है।
$S$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in S$ है,तो $(b, a) \in S$ होना चाहिए। यहाँ $(3, 3)$ और $(4, 4)$ $S$ में हैं,और उनके उल्टे भी $S$ में हैं। अतः,यह सममित है।
$S$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in S$ और $(b, c) \in S$ है,तो $(a, c) \in S$ होना चाहिए। $(3, 3)$ और $(3, 3)$ के लिए,$(3, 3) \in S$ है। इसी प्रकार $(4, 4)$ के लिए। अतः,यह संक्रामक है।
इसलिए,यह संबंध सममित और संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य नहीं है।

(C) यह जाँचने के लिए कि फलन $f: N \rightarrow Z$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है या नहीं,हम इसके प्रतिचित्रण का विश्लेषण करते हैं:
$1$. एकैकी की जाँच:
यदि $n$ सम है,तो $f(n) = \frac{n}{2}$। $n \in \{2, 4, 6, \dots\}$ के लिए,मान $f(2)=1, f(4)=2, f(6)=3, \dots$ प्राप्त होते हैं,जो धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय $\{1, 2, 3, \dots\}$ पर मैप होते हैं।
यदि $n$ विषम है,तो $f(n) = -\left(\frac{n-1}{2}\right)$। $n \in \{1, 3, 5, \dots\}$ के लिए,मान $f(1)=0, f(3)=-1, f(5)=-2, \dots$ प्राप्त होते हैं,जो गैर-धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय $\{0, -1, -2, \dots\}$ पर मैप होते हैं।
चूँकि प्रत्येक भिन्न इनपुट $n \in N$ के लिए $Z$ में एक भिन्न आउटपुट प्राप्त होता है,इसलिए फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक की जाँच:
किसी भी पूर्णांक $y \in Z$ के लिए,यदि $y > 0$ है,तो हम $n = 2y$ (जो सम है) चुन सकते हैं,जिससे $f(2y) = \frac{2y}{2} = y$। यदि $y \le 0$ है,तो हम $n = -2y + 1$ (जो विषम है) चुन सकते हैं,जिससे $f(-2y+1) = -\left(\frac{-2y+1-1}{2}\right) = -(-y) = y$। चूँकि प्रत्येक $y \in Z$ का $N$ में पूर्व-प्रतिबिंब (pre-image) मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
अतः,फलन एकैकी और आच्छादक है।

(B) दिया गया समीकरण $2 \cos \left(2 \tan ^{-1} x\right)=1$ है।
$2$ से भाग देने पर,हमें $\cos \left(2 \tan ^{-1} x\right) = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
हम जानते हैं कि $\cos \theta = \frac{1}{2}$ तब होता है जब $\theta = \frac{\pi}{3}$ हो।
अतः,$2 \tan ^{-1} x = \frac{\pi}{3}$।
$2$ से भाग देने पर,$\tan ^{-1} x = \frac{\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$x = \tan \left(\frac{\pi}{6}\right)$।
चूंकि $\tan \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\sin^{-1} x + \cos^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
माना $\sin^{-1} x = \theta$,तो $x = \sin \theta$। अतः,$\cos(\sin^{-1} x) = \cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta} = \sqrt{1 - x^2}$।
इसलिए,$\sin^{-1}(\cos(\sin^{-1} x)) = \sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$।
इसी प्रकार,माना $\cos^{-1} x = \phi$,तो $x = \cos \phi$। अतः,$\sin(\cos^{-1} x) = \sin \phi = \sqrt{1 - \cos^2 \phi} = \sqrt{1 - x^2}$।
इसलिए,$\cos^{-1}(\sin(\cos^{-1} x)) = \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$।
अब,व्यंजक $\sin^{-1}(\sqrt{1 - x^2}) + \cos^{-1}(\sqrt{1 - x^2})$ हो जाता है।
सर्वसमिका $\sin^{-1} A + \cos^{-1} A = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $A = \sqrt{1 - x^2}$,हमें परिणाम $\frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) माना $x = \tan \theta$,जहाँ $\theta = \tan^{-1} x$ है।
तब,$\sqrt{1+x^2} = \sqrt{1+\tan^2 \theta} = \sqrt{\sec^2 \theta} = \sec \theta$।
व्यंजक $\cot^{-1}\left(\frac{\sec \theta - 1}{\tan \theta}\right)$ बन जाता है।
$= \cot^{-1}\left(\frac{\frac{1}{\cos \theta} - 1}{\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}\right) = \cot^{-1}\left(\frac{1 - \cos \theta}{\sin \theta}\right)$।
अर्ध-कोण सूत्रों का उपयोग करते हुए,$1 - \cos \theta = 2 \sin^2 \frac{\theta}{2}$ और $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$।
$= \cot^{-1}\left(\frac{2 \sin^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}}\right) = \cot^{-1}\left(\tan \frac{\theta}{2}\right)$।
चूँकि $\cot^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \tan^{-1}(\tan \alpha) = \frac{\pi}{2} - \alpha$,इसलिए:
$= \frac{\pi}{2} - \frac{\theta}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{1}{2} \tan^{-1} x$।

(A) मान लीजिए $A = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$ और $B = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$ है।
सबसे पहले,$AB$ की गणना करें:
$AB = \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1(x) + 1(0) & 1(y) + 1(x) \\ 0(x) + 1(0) & 0(y) + 1(x) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
इसके बाद,$BA$ की गणना करें:
$BA = \begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x(1) + y(0) & x(1) + y(1) \\ 0(1) + x(0) & 0(1) + x(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x & x+y \\ 0 & x \end{bmatrix}$.
चूंकि $AB = BA$ है,इसलिए आव्यूह $B$ का रूप $\begin{bmatrix} x & y \\ 0 & x \end{bmatrix}$ होना चाहिए।
अतः,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A$ की गणना करें:
$A^2 = \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \\ 3 & 3 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \\ 9+9+9 & 9+9+9 & 9+9+9 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \\ 27 & 27 & 27 \end{bmatrix} = 9A$.
अब,$A^3 = A^2 \times A$ की गणना करें:
$A^3 = (9A) \times A = 9(A^2) = 9(9A) = 81A$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है कि $x, y, z \in \mathbb{R}$ और $x^4+y^4+z^4=0$ है।
चूंकि वास्तविक संख्याओं की सम घातों का योग शून्य है,इसलिए प्रत्येक पद को व्यक्तिगत रूप से शून्य होना चाहिए: $x^4=0, y^4=0, z^4=0$।
इसका अर्थ है कि $x=0, y=0, z=0$।
अब,सारणिक में $x=0, y=0, z=0$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1 & (0)(0) & (0)(0) \\ (0)(0) & 1 & (0)(0) \\ (0)(0) & (0)(0) & 1\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{array}\right|$।
तत्समक आव्यूह का सारणिक $1(1-0) - 0 + 0 = 1$ होता है।
अतः,मान $1$ है।

(B) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c & a & b \\ c & S+a & b \\ c & a & S+b \end{array}\right|$.
संक्रिया $C_1 \to C_1 + C_2 + C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} S+c+a+b & a & b \\ c+S+a+b & S+a & b \\ c+a+S+b & a & S+b \end{array}\right|$.
चूंकि $a+b+c = S$,इसलिए $S+c+a+b = S+S = 2S$.
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc} 2S & a & b \\ 2S & S+a & b \\ 2S & a & S+b \end{array}\right| = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 1 & S+a & b \\ 1 & a & S+b \end{array}\right|$.
$R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ लागू करने पर:
$\Delta = 2S \left|\begin{array}{ccc} 1 & a & b \\ 0 & S & 0 \\ 0 & 0 & S \end{array}\right|$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$\Delta = 2S \times [1(S \times S - 0 \times 0)] = 2S \times S^2 = 2S^3$.

(A) हम जानते हैं कि $\log _{|x|} e = \frac{1}{\log _e |x|} = \frac{1}{\ln |x|}$.
माना $y = \frac{1}{\ln |x|}$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\ln |x|)^{-1} = -1 \cdot (\ln |x|)^{-2} \cdot \frac{d}{d x}(\ln |x|)$.
चूंकि $\frac{d}{d x}(\ln |x|) = \frac{1}{x}$,इसलिए $\frac{d y}{d x} = -(\ln |x|)^{-2} \cdot \frac{1}{x} = \frac{-1}{x(\ln |x|)^2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है कि $x = at^2$ और $y = 2at$ है।
सबसे पहले,चेन नियम का उपयोग करके $\frac{dx}{dy}$ ज्ञात करें:
$\frac{dx}{dy} = \frac{dx/dt}{dy/dt}$.
चूंकि $\frac{dx}{dt} = 2at$ और $\frac{dy}{dt} = 2a$,
$\frac{dx}{dy} = \frac{2at}{2a} = t$.
अब,$\frac{dx}{dy}$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d^2 x}{dy^2} = \frac{d}{dy}(t) = \frac{d}{dt}(t) \times \frac{dt}{dy}$.
चूंकि $\frac{dt}{dy} = \frac{1}{dy/dt} = \frac{1}{2a}$,
$\frac{d^2 x}{dy^2} = 1 \times \frac{1}{2a} = \frac{1}{2a}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $y = \tan^{-1} \left( \frac{1-x}{1+x} \right)$.
हम जानते हैं कि $\tan^{-1} \left( \frac{a-b}{1+ab} \right) = \tan^{-1} a - \tan^{-1} b$.
यहाँ,$a = 1$ और $b = x$ है,इसलिए $y = \tan^{-1}(1) - \tan^{-1}(x)$.
चूँकि $\tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$,इसलिए $y = \frac{\pi}{4} - \tan^{-1}(x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx} \left( \frac{\pi}{4} \right) - \frac{d}{dx} \left( \tan^{-1} x \right)$.
$\frac{dy}{dx} = 0 - \frac{1}{1+x^2} = \frac{-1}{1+x^2}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(A) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $f(x) = x + \sqrt{1 - x}$ कहाँ घटता है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x) + \frac{d}{dx}((1 - x)^{1/2}) = 1 + \frac{1}{2}(1 - x)^{-1/2}(-1) = 1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
फलन के घटने के लिए,हम $f'(x) < 0$ रखते हैं।
$1 - \frac{1}{2\sqrt{1 - x}} < 0 \implies 1 < \frac{1}{2\sqrt{1 - x}}$.
चूँकि $0 < x < 1$,$\sqrt{1 - x}$ धनात्मक है,इसलिए हम असमिका के चिह्न को बदले बिना $2\sqrt{1 - x}$ से गुणा कर सकते हैं:
$2\sqrt{1 - x} < 1 \implies \sqrt{1 - x} < \frac{1}{2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$1 - x < \frac{1}{4} \implies 1 - \frac{1}{4} < x \implies x > \frac{3}{4}$.
डोमेन $0 < x < 1$ को देखते हुए,फलन अंतराल $\left(\frac{3}{4}, 1\right)$ में घटता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) दिया गया समीकरण $|x| + y = 1$ है,जिसे $y = 1 - |x|$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह समीकरण दो रेखाओं को दर्शाता है:
$1$) $x \ge 0$ के लिए,$y = 1 - x$.
$2$) $x < 0$ के लिए,$y = 1 - (-x) = 1 + x$.
यह क्षेत्र इन रेखाओं और $x$-अक्ष $(y = 0)$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्र के शीर्ष $(0, 1)$,$(1, 0)$ और $(-1, 0)$ हैं।
यह एक त्रिभुज बनाता है जिसका आधार $b = 1 - (-1) = 2$ और ऊँचाई $h = 1$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 2 \times 1 = 1$ वर्ग इकाई है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $2x \frac{dy}{dx} - y = 0$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $2x \frac{dy}{dx} = y$ प्राप्त होता है।
चरों को अलग करने पर,$\frac{dy}{y} = \frac{dx}{2x}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dy}{y} = \frac{1}{2} \int \frac{dx}{x}$,जिससे $\ln|y| = \frac{1}{2} \ln|x| + C$ प्राप्त होता है।
इसे $\ln|y| = \ln|x^{1/2}| + C$ के रूप में लिखा जा सकता है,अतः $y = k \sqrt{x}$,जहाँ $k = e^C$ है।
प्रतिबंध $y(1) = 2$ का उपयोग करने पर,$2 = k \sqrt{1}$ प्राप्त होता है,अतः $k = 2$ है।
हल $y = 2 \sqrt{x}$ है,जिसका अर्थ है $y^2 = 4x$।
यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।

(A) समय $t$ के सापेक्ष जनसंख्या $p$ के परिवर्तन की दर जनसंख्या के समानुपाती होती है,जिसे अवकल समीकरण $\frac{dp}{dt} = \frac{3}{100} p$ द्वारा दर्शाया जाता है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dp}{p} = \frac{3}{100} dt$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int \frac{dp}{p} = \int \frac{3}{100} dt$ प्राप्त होता है।
इससे $\ln(p) = \frac{3t}{100} + K$ प्राप्त होता है,जहाँ $K$ समाकलन स्थिरांक है।
दोनों पक्षों का घातांक लेने पर,$p = e^{\frac{3t}{100} + K} = e^K \cdot e^{\frac{3t}{100}}$ प्राप्त होता है।
$C = e^K$ रखने पर,हमें समीकरण $p = C e^{\frac{3t}{100}}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{y}{x}} = x$ है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\frac{y}{x} = \log x$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = x \log x$।
हालाँकि,प्रश्न में $y(1) = 3$ दिया गया है।
यदि अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + 1$ है,तो इसका हल $y = x \log x + Cx$ होता है।
शर्त $y(1) = 3$ का उपयोग करने पर:
$3 = 1 \cdot \log(1) + C(1) \implies 3 = 0 + C \implies C = 3$।
इसलिए,विशिष्ट हल $y = x \log x + 3x$ है।

(B) पहली रेखा $\vec{r} = (3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}) + t(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ द्वारा दी गई है। दिशा सदिश $\vec{b_1} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ है और यह $P_1(3, 1, -2)$ से गुजरती है।
दूसरी रेखा $x = 4+k, y = -k, z = -4-2k$ है,जिसे $\vec{r} = (4\hat{i} - 4\hat{k}) + k(\hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k})$ के रूप में लिखा जा सकता है। दिशा सदिश $\vec{b_2} = \hat{i} - \hat{j} - 2\hat{k}$ है और यह $P_2(4, 0, -4)$ से गुजरती है।
चूंकि $\vec{b_1} = \vec{b_2}$,रेखाएं समांतर हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे संपाती हैं,हम देखते हैं कि क्या $P_1$ दूसरी रेखा पर स्थित है। $P_1(3, 1, -2)$ को दूसरी रेखा के समीकरणों में रखने पर:
$3 = 4+k \implies k = -1$
$1 = -k \implies k = -1$
$-2 = -4-2k \implies -2 = -4-2(-1) = -4+2 = -2$
चूंकि $k = -1$ सभी समीकरणों को संतुष्ट करता है,बिंदु $P_1$ दूसरी रेखा पर स्थित है। इसलिए,रेखाएं संपाती हैं।