GUJCET 2025 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) माना त्रिभुज के शीर्ष $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
भुजाओं के मध्य-बिंदु $M_1(2, 7)$,$M_2(1, 1)$ और $M_3(10, 8)$ दिए गए हैं।
त्रिभुज की भुजाओं के मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल मूल त्रिभुज के क्षेत्रफल का $\frac{1}{4}$ होता है।
सबसे पहले,मध्य-बिंदुओं से बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल सूत्र: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ का उपयोग करके ज्ञात करें।
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(1 - 8) + 1(8 - 7) + 10(7 - 1)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |2(-7) + 1(1) + 10(6)|$.
$\text{Area}_{\text{mid}} = \frac{1}{2} |-14 + 1 + 60| = \frac{1}{2} |47| = 23.5$.
चूंकि $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times \text{Area}_{\text{mid}}$,इसलिए $\text{Area}_{\text{original}} = 4 \times 23.5 = 94$.

(A) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और सदिश $\vec{v} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}$ के समांतर रेखा का कार्तीय समीकरण इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$।
यहाँ दिया गया बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (5, -2, 4)$ है और दिशा सदिश के घटक $(a, b, c) = (3, -2, 8)$ हैं।
इन मानों को सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{x-5}{3} = \frac{y-(-2)}{-2} = \frac{z-4}{8}$।
इस समीकरण को सरल करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{x-5}{3} = \frac{y+2}{-2} = \frac{z-4}{8}$।

(B) दो समांतर रेखाओं $\vec{r} = \vec{a_1} + \lambda \vec{b}$ और $\vec{r} = \vec{a_2} + \mu \vec{b}$ के बीच की न्यूनतम दूरी $d = \frac{|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}|}{|\vec{b}|}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,रेखाएँ समांतर हैं क्योंकि उनके दिशा सदिश समान हैं,$\vec{b} = (2, 3, 6)$.
रेखाओं पर स्थित बिंदु $\vec{a_1} = (1, 2, -4)$ और $\vec{a_2} = (3, 3, -5)$ हैं।
अतः,$\vec{a_2} - \vec{a_1} = (3-1, 3-2, -5-(-4)) = (2, 1, -1)$.
अब,क्रॉस प्रोडक्ट $(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}$ की गणना करें:
$(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 1 & -1 \\ 2 & 3 & 6 \end{vmatrix} = \hat{i}(6 - (-3)) - \hat{j}(12 - (-2)) + \hat{k}(6 - 2) = 9\hat{i} - 14\hat{j} + 4\hat{k}$.
क्रॉस प्रोडक्ट का परिमाण $|(\vec{a_2} - \vec{a_1}) \times \vec{b}| = \sqrt{9^2 + (-14)^2 + 4^2} = \sqrt{81 + 196 + 16} = \sqrt{293}$ है।
दिशा सदिश का परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 3^2 + 6^2} = \sqrt{4 + 9 + 36} = \sqrt{49} = 7$ है।
अतः,न्यूनतम दूरी $d = \frac{\sqrt{293}}{7} = \sqrt{\frac{293}{49}}$ है।

(C) दिशा सदिशों $\vec{b_1} = 3\hat{i} + 5\hat{j} + 4\hat{k}$ और $\vec{b_2} = \hat{i} + \hat{j} + 2\hat{k}$ वाली दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ सूत्र $\cos \theta = \frac{|\vec{b_1} \cdot \vec{b_2}|}{|\vec{b_1}| |\vec{b_2}|}$ द्वारा दिया जाता है।
$\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (3)(1) + (5)(1) + (4)(2) = 3 + 5 + 8 = 16$.
$|\vec{b_1}| = \sqrt{3^2 + 5^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 25 + 16} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 1 + 4} = \sqrt{6}$.
$\cos \theta = \frac{16}{5\sqrt{2} \cdot \sqrt{6}} = \frac{16}{5\sqrt{12}} = \frac{16}{5(2\sqrt{3})} = \frac{16}{10\sqrt{3}} = \frac{8}{5\sqrt{3}}$.
हर का परिमेयकरण करने पर: $\frac{8}{5\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{5 \cdot 3} = \frac{8\sqrt{3}}{15}$.
अतः,$\theta = \cos^{-1}(\frac{8\sqrt{3}}{15})$.

(D) उद्देश्य फलन $z = 40x + 30y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 0)$ पर: $z = 40(0) + 30(0) = 0$
$2$. $(0, 40)$ पर: $z = 40(0) + 30(40) = 1200$
$3$. $(20, 40)$ पर: $z = 40(20) + 30(40) = 800 + 1200 = 2000$
$4$. $(60, 20)$ पर: $z = 40(60) + 30(20) = 2400 + 600 = 3000$
$5$. $(60, 0)$ पर: $z = 40(60) + 30(0) = 2400$
इन मानों की तुलना करने पर,उद्देश्य फलन का अधिकतम मान $3000$ है।

(B) सुसंगत क्षेत्र $3x + 5y \leq 15, x \geq 0, y \geq 0$ अवरोधों द्वारा निर्धारित होता है।
सबसे पहले,रेखा $3x + 5y = 15$ के अंतःखंड ज्ञात करें:
यदि $x = 0$ है,तो $5y = 15 \implies y = 3$। अतः,बिंदु $(0, 3)$ है।
यदि $y = 0$ है,तो $3x = 15 \implies x = 5$। अतः,बिंदु $(5, 0)$ है।
सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदु $(0, 0), (5, 0)$ और $(0, 3)$ हैं।
अब,प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $z = 5x + 3y$ का मान ज्ञात करें:
$(0, 0)$ पर: $z = 5(0) + 3(0) = 0$।
$(5, 0)$ पर: $z = 5(5) + 3(0) = 25$।
$(0, 3)$ पर: $z = 5(0) + 3(3) = 9$।
अतः,$z$ का अधिकतम मान $25$ है।

(B) चूँकि $E$ और $F$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,इसलिए एक घटना का घटित होना दूसरी घटना की प्रायिकता को प्रभावित नहीं करता है। अतः,$E'$ और $F$ स्वतंत्र हैं,और $F'$ और $E$ भी स्वतंत्र हैं।
$P(E'/F) = P(E') = 1 - P(E) = 1 - \frac{3}{5} = \frac{2}{5}$.
इसी प्रकार,$P(F'/E) = P(F') = 1 - P(F) = 1 - \frac{3}{10} = \frac{7}{10}$.
अतः,$P(E'/F) + P(F'/E) = \frac{2}{5} + \frac{7}{10} = \frac{4}{10} + \frac{7}{10} = \frac{11}{10}$.

(A) हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{4} = \frac{3}{8} + \frac{5}{8} - P(A \cap B)$.
$\frac{3}{4} = 1 - P(A \cap B) \Rightarrow P(A \cap B) = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4}$.
अब,$P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/4}{5/8} = \frac{1}{4} \times \frac{8}{5} = \frac{2}{5}$ की गणना करें।
चूंकि $P(A'|B) = 1 - P(A|B)$,इसलिए $P(A'|B) = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
अंत में,$P(A'|B) - P(A|B) = \frac{3}{5} - \frac{2}{5} = \frac{1}{5}$।

(B) माना $E$ वह घटना है कि पासे पर $6$ आता है और $E'$ वह घटना है कि पासे पर $6$ नहीं आता है।
$P(E) = 1/6$ और $P(E') = 5/6$ है।
माना $A$ वह घटना है कि व्यक्ति बताता है कि यह $6$ है।
दिया गया है कि व्यक्ति $4/5$ बार सच बोलता है,इसलिए जब $6$ आता है तो $6$ बताने की प्रायिकता $P(A|E) = 4/5$ है।
जब $6$ नहीं आता है तब $6$ बताने की प्रायिकता (अर्थात वह झूठ बोलता है) $P(A|E') = 1 - 4/5 = 1/5$ है।
बेयस प्रमेय का उपयोग करते हुए,यह प्रायिकता कि वास्तव में $6$ था,जबकि उसने $6$ बताया है:
$P(E|A) = \frac{P(A|E)P(E)}{P(A|E)P(E) + P(A|E')P(E')}$
$P(E|A) = \frac{(4/5) \times (1/6)}{(4/5) \times (1/6) + (1/5) \times (5/6)}$
$P(E|A) = \frac{4/30}{4/30 + 5/30} = \frac{4/30}{9/30} = 4/9$.

(D) पर एक संबंध $R$ सममित है यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$। चूंकि $(1, 2) \in R$,सममितता के लिए $(2, 1) \in R$ होना आवश्यक है।
$R$ के संक्रामक होने के लिए,चूंकि $(1, 2) \in R$ और $(2, 1) \in R$,इसलिए $(1, 1) \in R$ और $(2, 2) \in R$ होना चाहिए।
मान लीजिए $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$ है। यह संबंध सममित और संक्रामक है,लेकिन $A$ पर स्वतुल्य नहीं है क्योंकि $(3, 3) \notin R_1$ है।
यदि हम $(3, 3)$ को शामिल करते हैं,तो संबंध $R_2 = \{(1, 1), (2, 2), (3, 3), (1, 2), (2, 1)\}$ बन जाता है। यह संबंध सममित,संक्रामक और स्वतुल्य है।
$(1, 2)$ को समाहित करने वाला कोई भी अन्य संबंध जो सममित और संक्रामक है,उसमें $R_1$ का होना आवश्यक है। यदि इसमें $(3, 3)$ नहीं है,तो यह स्वतुल्य नहीं है। यदि इसमें $(3, 3)$ है,तो यह स्वतुल्य बन जाता है।
अतः,केवल एक ही संबंध ऐसा है जो सममित और संक्रामक है लेकिन स्वतुल्य नहीं है,जो $R_1 = \{(1, 1), (2, 2), (1, 2), (2, 1)\}$ है।
इसलिए,ऐसे संबंधों की संख्या $1$ है।

(D) यह जाँचने के लिए कि फलन एकैकी (one-one) है या नहीं: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$। तब $x_1^3 = x_2^3$,जिसका अर्थ है $x_1 = x_2$। इसलिए,फलन एकैकी है।
यह जाँचने के लिए कि फलन आच्छादक (onto) है या नहीं: किसी भी $y \in R$ के लिए,हम $x = \sqrt[3]{y}$ पा सकते हैं ताकि $f(x) = (\sqrt[3]{y})^3 = y$ हो। चूँकि सह-प्रांत $R$ के प्रत्येक $y$ के लिए,प्रांत $R$ में एक $x$ मौजूद है,इसलिए फलन आच्छादक है।
चूँकि फलन एकैकी और आच्छादक दोनों है,इसलिए यह एक बाइजेक्टिव (bijective) फलन है।

(C) हम जानते हैं कि $\sin^{-1}(1/\sqrt{2}) = \pi/4$ होता है।
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cos \left( 5 \cdot \frac{\pi}{4} \right) \right]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\cos(5\pi/4) = \cos(\pi + \pi/4) = -\cos(\pi/4) = -1/\sqrt{2}$ होता है।
इस मान को रखने पर,व्यंजक $\tan^{-1} \left[ \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \cdot \left( -\frac{1}{\sqrt{2}} \right) \right]$ बन जाता है।
इसे सरल करने पर $\tan^{-1} \left( -\frac{1}{\sqrt{3}} \right)$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\tan^{-1}(-x) = -\tan^{-1}(x)$ और $\tan^{-1}(1/\sqrt{3}) = \pi/6$ होता है,इसलिए अंतिम परिणाम $-\pi/6$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना $x = \sin\theta$ है। चूंकि $x \in [-1/2, 1/2]$,इसलिए $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$ होगा।
व्यंजक $y = 3\sin^{-1}(\sin\theta) + \sin^{-1}(\sin(3\theta))$ बन जाता है।
चूंकि $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,इसलिए $3\theta \in [-\pi/2, \pi/2]$ होगा।
अतः,$\sin^{-1}(\sin\theta) = \theta$ और $\sin^{-1}(\sin(3\theta)) = 3\theta$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$y = 3\theta + 3\theta = 6\theta$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\theta \in [-\pi/6, \pi/6]$,इसलिए $6$ से गुणा करने पर $6\theta \in [-\pi, \pi]$ प्राप्त होता है।
अतः,$y \in [-\pi, \pi]$ होगा।

(C) माना $u = \sqrt{x^2+x}$ है। प्रांत के लिए $x^2+x \ge 0$ और $0 \le x^2+x+1 \le 1$ होना आवश्यक है।
चूंकि $x^2+x+1 \le 1 \Rightarrow x^2+x \le 0$ है।
$x^2+x \ge 0$ और $x^2+x \le 0$ को मिलाने पर,हमें $x^2+x = 0$ प्राप्त होता है।
यदि $x^2+x = 0$ है,तो $u = 0$ होगा।
समीकरण $\tan^{-1}(0) + \sin^{-1}(1) = 0 + \pi/2 = \pi/2$ बन जाता है।
यह समीकरण को संतुष्ट करता है।
$x^2+x = 0 \Rightarrow x(x+1) = 0$,जिससे $x = 0$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
दोनों मान मान्य हैं।
अतः,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(B) सारणिक का मान इस प्रकार परिकलित किया जाता है:
$\begin{vmatrix} \cos^2\theta & -\sin^2\theta \\ \sin^2\theta & \cos^2\theta \end{vmatrix} = (\cos^2\theta)(\cos^2\theta) - (-\sin^2\theta)(\sin^2\theta) = \cos^4\theta + \sin^4\theta$.
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करने पर:
$\cos^4\theta + \sin^4\theta = (\cos^2\theta + \sin^2\theta)^2 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta = 1 - 2\sin^2\theta\cos^2\theta$.
चूंकि $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$,इसलिए $\sin^2 2\theta = 4\sin^2\theta\cos^2\theta$,जिसका अर्थ है $2\sin^2\theta\cos^2\theta = \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$.
अतः,व्यंजक $1 - \frac{1}{2}\sin^2 2\theta$ हो जाता है।
अब,$\sin^2 2\theta = \frac{1 - \cos 4\theta}{2}$ सर्वसमिका का उपयोग करते हुए:
$1 - \frac{1}{2}(\frac{1 - \cos 4\theta}{2}) = 1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\theta = \frac{3}{4} + \frac{1}{4}\cos 4\theta = \frac{1}{4}(3 + \cos 4\theta)$.
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(C) हम जानते हैं कि आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का मूल गुणधर्म $(\text{adj} A) \cdot A = |A|I$ है,जहाँ $I$,$3 \times 3$ क्रम का तत्समक आव्यूह (identity matrix) है।
दोनों पक्षों का सारणिक (determinant) लेने पर,हमें $|(\text{adj} A) \cdot A| = ||A|I|$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|A|$ एक अदिश (scalar) है,हम $|kA| = k^n|A|$ गुणधर्म का उपयोग करते हैं,जहाँ $n$ आव्यूह का क्रम है।
यहाँ $n = 3$ है,इसलिए $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 |I|$ होगा।
चूंकि तत्समक आव्यूह का सारणिक $|I| = 1$ होता है,इसलिए $|(\text{adj} A) \cdot A| = |A|^3 \times 1 = |A|^3$ प्राप्त होता है।

(A) एक सममित आव्यूह के लिए,$A^T = A$,जिसका अर्थ है कि सभी $i, j$ के लिए $A_{ij} = A_{ji}$।
संगत अवयवों की तुलना करने पर:
$A_{12} = A_{21} \Rightarrow x^2 + 3x = -2x - 6$
$x^2 + 5x + 6 = 0$
$(x + 2)(x + 3) = 0 \Rightarrow x = -2$ या $x = -3$।
$A_{23} = A_{32} \Rightarrow -4x - 2 = x^2 + 2$
$x^2 + 4x + 4 = 0$
$(x + 2)^2 = 0 \Rightarrow x = -2$।
चूंकि दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट होना चाहिए,इसलिए सामान्य मान $x = -2$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = I$ की गणना करें।
चूंकि $A^2 = I$,इसलिए $A^3 = A^2 \cdot A = I \cdot A = A$ होता है।
अब,$(A+I)^3 = A^3 + 3A^2I + 3AI^2 + I^3 = A + 3I + 3A + I = 4A + 4I$ का विस्तार करें।
इसके बाद,$(A-I)^3 = A^3 - 3A^2I + 3AI^2 - I^3 = A - 3I + 3A - I = 4A - 4I$ का विस्तार करें।
अंत में,दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $(4A+4I) + (4A-4I) = 8A$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,$A^2 = A \times A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (2 \times 2 + 3 \times 4) & (2 \times 3 + 3 \times 5) \\ (4 \times 2 + 5 \times 4) & (4 \times 3 + 5 \times 5) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
अब,$A^2 - 2I = \begin{bmatrix} 16 & 21 \\ 28 & 37 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix}$ की गणना करें।
हम परिणामी आव्यूह से $7$ को उभयनिष्ठ ले सकते हैं: $\begin{bmatrix} 14 & 21 \\ 28 & 35 \end{bmatrix} = 7 \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 5 \end{bmatrix} = 7A$।
इसकी तुलना $A^2 - 2I = KA$ से करने पर,हमें $K = 7$ प्राप्त होता है।

(A) माना $y = 5^{\log x}$.
गुणधर्म $a^{\log_b c} = c^{\log_b a}$ का उपयोग करते हुए,हम $y = x^{\log 5}$ लिख सकते हैं।
अब,घात नियम $\frac{d}{dx}(x^n) = nx^{n-1}$ का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = (\log 5) x^{\log 5 - 1}$.
वैकल्पिक रूप से,$y = 5^{\log x}$ के लिए श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 5^{\log x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{d}{dx}(\log x) = 5^{\log x} \cdot \ln 5 \cdot \frac{1}{x} = \frac{5^{\log x} \ln 5}{x}$.
चूंकि $\ln 5$,$\log_e 5$ के बराबर है,इसलिए सही व्यंजक $\frac{5^{\log x} \ln 5}{x}$ है।

(A) दिया गया है $x = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$।
सबसे पहले,$\theta$ के सापेक्ष अवकलन ज्ञात करें:
$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$।
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$।
अब,श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष $\frac{dy}{dx}$ का अवकलन करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \theta) = \frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$।
चूंकि $\frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) = \csc^2 \theta$ और $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{-a \sin \theta}$,इसलिए:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = (\csc^2 \theta) \cdot \left( \frac{1}{-a \sin \theta} \right) = -\frac{1}{a} \csc^3 \theta$।

(C) सबसे पहले,डिग्री माप को रेडियन में बदलें: $x^{\circ} = \frac{\pi x}{180}$.
हम सर्वसमिका $\cos(30^{\circ} + x^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - (30^{\circ} + x^{\circ})) = \sin(60^{\circ} - x^{\circ})$ का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $A = 60^{\circ} - x^{\circ}$। व्यंजक $3 \sin A - 4 \sin^3 A$ बन जाता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $3 \sin A - 4 \sin^3 A = \sin(3A)$ का उपयोग करने पर,हमें $\sin(3(60^{\circ} - x^{\circ})) = \sin(180^{\circ} - 3x^{\circ}) = \sin(3x^{\circ})$ प्राप्त होता है।
अब,इसे रेडियन के संदर्भ में व्यक्त करें: $f(x) = \sin(3 \cdot \frac{\pi x}{180}) = \sin(\frac{\pi x}{60})$.
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करके $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{d}{dx} [\sin(\frac{\pi x}{60})] = \cos(\frac{\pi x}{60}) \cdot \frac{\pi}{60} = \frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$।

(B) $f(x)$ के $x=2$ पर संतत होने के लिए,शर्त $\lim_{x \to 2} f(x) = f(2) = k$ का संतुष्ट होना आवश्यक है।
सबसे पहले,हम अंश $x^3+x^2-16x+20$ का गुणनखंड करते हैं। चूँकि $x=2$ इसका एक शून्यक है (क्योंकि $2^3+2^2-16(2)+20 = 8+4-32+20 = 0$),हम $(x-2)$ से विभाजित करते हैं:
$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)(x^2+3x-10)$.
द्विघात पद का और गुणनखंड करने पर:
$(x^2+3x-10) = (x-2)(x+5)$.
अतः,$x^3+x^2-16x+20 = (x-2)^2(x+5)$.
$x \neq 2$ के लिए,$f(x) = \frac{(x-2)^2(x+5)}{(x-2)^2} = x+5$.
अब,सीमा की गणना करते हैं: $\lim_{x \to 2} f(x) = \lim_{x \to 2} (x+5) = 2+5 = 7$.
चूँकि फलन $x=2$ पर संतत है,इसलिए $k = 7$ प्राप्त होता है।

(A) सीमांत लागत फलन $MC$,लागत फलन $C(x)$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन है।
$MC = \frac{dC}{dx} = \frac{d}{dx}(0.05x^3 - 0.2x^2 + 3x + 500)$.
घात नियम लागू करने पर,हमें $MC = 0.15x^2 - 0.4x + 3$ प्राप्त होता है।
$x = 3$ पर सीमांत लागत ज्ञात करने के लिए,हम $MC$ फलन में $x = 3$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$MC(3) = 0.15(3)^2 - 0.4(3) + 3$.
$MC(3) = 0.15(9) - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 1.35 - 1.2 + 3$.
$MC(3) = 0.15 + 3 = 3.15$.
अतः,$x = 3$ पर सीमांत लागत $3.15$ रुपये है।

(A) एक फलन $f(x)$ किसी अंतराल पर निरंतर ह्रासमान होता है यदि उसका अवकलज $f'(x) < 0$ हो।
दिया गया है $f(x) = \tan x - 4x$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $f'(x) = \sec^2 x - 4$ प्राप्त होता है।
फलन के निरंतर ह्रासमान होने के लिए,हमें $f'(x) < 0$ की आवश्यकता है।
$\sec^2 x - 4 < 0$
$\sec^2 x < 4$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|\sec x| < 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $|\sec x| = 1/|\cos x|$,इसका अर्थ है $1/|\cos x| < 2$,जिसका तात्पर्य है $|\cos x| > 1/2$।
यह असमिका तब सत्य होती है जब $-\frac{\pi}{3} < x < \frac{\pi}{3}$ हो।

(A) अंतराल $[0, 9]$ पर फलन $f(x) = x^3 - 18x^2 + 96x$ का निरपेक्ष न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पहले अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
$f'(x) = 3x^2 - 36x + 96$.
क्रांतिक बिंदु (critical points) ज्ञात करने के लिए $f'(x) = 0$ रखते हैं:
$3(x^2 - 12x + 32) = 0$
$3(x - 4)(x - 8) = 0$
अतः,क्रांतिक बिंदु $x = 4$ और $x = 8$ हैं।
अब,हम क्रांतिक बिंदुओं और अंतराल $[0, 9]$ के अंतिम बिंदुओं पर फलन $f(x)$ का मान ज्ञात करते हैं:
$f(0) = 0^3 - 18(0)^2 + 96(0) = 0$
$f(4) = 4^3 - 18(4)^2 + 96(4) = 64 - 288 + 384 = 160$
$f(8) = 8^3 - 18(8)^2 + 96(8) = 512 - 1152 + 768 = 128$
$f(9) = 9^3 - 18(9)^2 + 96(9) = 729 - 1458 + 864 = 135$
इन मानों $(0, 160, 128, 135)$ की तुलना करने पर,निरपेक्ष न्यूनतम मान $0$ है।

(D) माना $I = \int \frac{3e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx$ है।
अंश को $A(4e^x - 5e^{-x}) + B(4e^x + 5e^{-x})$ के रूप में व्यक्त करते हैं,जहाँ $4e^x - 5e^{-x}$ हर $4e^x + 5e^{-x}$ का अवकलन है।
$e^x$ और $e^{-x}$ के गुणांकों की तुलना करने पर:
$4A + 4B = 3$
$-5A + 5B = -5$
दूसरे समीकरण से,$-A + B = -1$,अतः $B = A - 1$।
पहले समीकरण में मान रखने पर: $4A + 4(A - 1) = 3 \implies 8A - 4 = 3 \implies 8A = 7 \implies A = 7/8$।
तब $B = 7/8 - 1 = -1/8$।
अतः,$I = \int \frac{7/8(4e^x - 5e^{-x}) - 1/8(4e^x + 5e^{-x})}{4e^x + 5e^{-x}} dx$।
$I = 7/8 \int \frac{4e^x - 5e^{-x}}{4e^x + 5e^{-x}} dx - 1/8 \int 1 dx$।
$I = 7/8 \log |4e^x + 5e^{-x}| - 1/8 x + C$।
$px + q \log |4e^x + 5e^{-x}| + C$ से तुलना करने पर,हमें $p = -1/8$ और $q = 7/8$ प्राप्त होता है।

(C) माना $u = \tan^{-1} x$ है। तब $x = \tan u$ और $dx = \sec^2 u \, du = (1+x^2) \, du$ होगा।
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$I = \int e^u \left( \frac{1+x+x^2}{1+x^2} \right) (1+x^2) \, du = \int e^u (1+x+x^2) \, du$.
चूंकि $x = \tan u$,इसलिए $1+x^2 = \sec^2 u$ है।
अतः,$I = \int e^u (1 + \tan u + \tan^2 u) \, du = \int e^u (\sec^2 u + \tan u) \, du$.
हम जानते हैं कि $\frac{d}{du}(\tan u) = \sec^2 u$ होता है।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^u (f(u) + f'(u)) \, du = e^u f(u) + C$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $f(u) = \tan u$ और $f'(u) = \sec^2 u$ है,हमें प्राप्त होता है:
$I = e^u \tan u + C = e^{\tan^{-1} x} \cdot x + C$.

(B) हम जानते हैं कि $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ और $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ होता है।
इसलिए,$\sqrt{1+\sin 2x} = \sqrt{\sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x|$।
चूंकि $x \in [0, \pi/4]$ है,$\sin x$ और $\cos x$ दोनों गैर-ऋणात्मक हैं,इसलिए $|\sin x + \cos x| = \sin x + \cos x$ होगा।
अब,समाकलन $\int_{0}^{\pi/4} (\sin x + \cos x) dx$ बन जाता है।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $[-\cos x + \sin x]_0^{\pi/4}$ प्राप्त होता है।
सीमाओं का मान रखने पर: $(-\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4)) - (-\cos(0) + \sin(0))$।
$= (-1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2}) - (-1 + 0) = 0 - (-1) = 1$।

(B) समाकल $I = \int \frac{dx}{\sqrt{4x-9x^2}}$ का मूल्यांकन करने के लिए,सबसे पहले वर्गमूल से $9$ बाहर निकालते हैं:
$I = \int \frac{dx}{\sqrt{9(\frac{4}{9}x - x^2)}} = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{\frac{4}{9}x - x^2}}$.
अब,वर्गमूल के अंदर के द्विघात व्यंजक के लिए पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$\frac{4}{9}x - x^2 = -(x^2 - \frac{4}{9}x) = -((x - \frac{2}{9})^2 - (\frac{2}{9})^2) = (\frac{2}{9})^2 - (x - \frac{2}{9})^2$.
इस मान को समाकल में रखने पर:
$I = \frac{1}{3} \int \frac{dx}{\sqrt{(\frac{2}{9})^2 - (x - \frac{2}{9})^2}}$.
मानक समाकल सूत्र $\int \frac{dx}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \sin^{-1}(\frac{x}{a}) + C$ का उपयोग करने पर:
$I = \frac{1}{3} \sin^{-1}\left( \frac{x - 2/9}{2/9} \right) + C = \frac{1}{3} \sin^{-1}\left( \frac{9x - 2}{2} \right) + C$.

(B) खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
माना $u = \tan^{-1} x$ और $dv = dx$.
तब $du = \frac{1}{1+x^2} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है।
समाकलन $x \tan^{-1} x - \int \frac{x}{1+x^2} dx$ बन जाता है।
$\int \frac{x}{1+x^2} dx$ को हल करने के लिए,$t = 1+x^2$ लें,जिससे $dt = 2x \, dx$ प्राप्त होगा,जिसका अर्थ है $x \, dx = \frac{1}{2} dt$।
अतः,$\int \frac{x}{1+x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{t} dt = \frac{1}{2} \log(1+x^2)$।
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर,हमें $x \tan^{-1} x - \frac{1}{2} \log(1+x^2) + C$ प्राप्त होता है।
इसकी तुलना $Ax \tan^{-1} x + B \log(1+x^2) + C$ से करने पर,हमें $A = 1$ और $B = -1/2$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$A + B = 1 - 1/2 = 1/2$।

(B) क्षेत्रफल $A$ फलन के निरपेक्ष मान के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है क्योंकि क्षेत्रफल कभी ऋणात्मक नहीं हो सकता।
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin x| \, dx$.
चूंकि $|\sin x|$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं $A = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin x \, dx$.
समाकलन का मान ज्ञात करने पर: $A = 2 [-\cos x]_{0}^{\pi/2}$.
$A = 2 [-\cos(\pi/2) - (-\cos(0))]$.
$A = 2 [0 - (-1)] = 2(1) = 2$ वर्ग इकाई।

(A) वक्र $x^2 = 4y$ है, जिसका अर्थ है $x = \pm 2\sqrt{y}$।
यह क्षेत्र परवलय और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है।
क्षेत्रफल $A$ को $y = 0$ से $y = 3$ तक $y$ के सापेक्ष परवलय की चौड़ाई के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A = \int_{0}^{3} (x_{\text{right}} - x_{\text{left}}) \, dy = \int_{0}^{3} (2\sqrt{y} - (-2\sqrt{y})) \, dy = \int_{0}^{3} 4\sqrt{y} \, dy$.
$A = 4 \int_{0}^{3} y^{1/2} \, dy = 4 \left[ \frac{y^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \cdot \frac{2}{3} [y^{3/2}]_{0}^{3}$.
$A = \frac{8}{3} (3^{3/2}) = \frac{8}{3} (3\sqrt{3}) = 8\sqrt{3}$.
यदि प्रथम चतुर्थांश का क्षेत्रफल लिया जाए तो यह $4\sqrt{3}$ होगा।

(A) क्षेत्रफल $A$,फलन $y = x^3$ के निरपेक्ष मान का $x = -1$ से $x = 2$ तक का समाकलन है।
$A = \int_{-1}^{2} |x^3| dx$
चूंकि $x \in [-1, 0]$ के लिए $x^3 \le 0$ और $x \in [0, 2]$ के लिए $x^3 \ge 0$ है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{-1}^{0} (-x^3) dx + \int_{0}^{2} x^3 dx$
$A = [-\frac{x^4}{4}]_{-1}^{0} + [\frac{x^4}{4}]_{0}^{2}$
$A = (0 - (- \frac{(-1)^4}{4})) + (\frac{2^4}{4} - 0)$
$A = (0 - (-1/4)) + (16/4 - 0)$
$A = 1/4 + 4 = 17/4$.

(D) घात ज्ञात करने के लिए,हमें सबसे पहले अवकल समीकरण को उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त करना होगा।
दिया गया समीकरण: $(1 + \frac{dy}{dx})^2 = (\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3}$।
भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों की घात $3$ लेने पर: $((1 + \frac{dy}{dx})^2)^3 = ((\frac{d^3y}{dx^3})^{1/3})^3$।
इसे सरल करने पर: $(1 + \frac{dy}{dx})^6 = \frac{d^3y}{dx^3}$ प्राप्त होता है।
यहाँ उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3y}{dx^3}$ है,जिसकी कोटि (order) $3$ है।
अवकल समीकरण की घात उस उच्चतम कोटि के अवकलज की घात होती है जब समीकरण को उसके अवकलजों के बहुपद के रूप में लिखा जाता है।
यहाँ,$\frac{d^3y}{dx^3}$ की घात $1$ है। अतः,इसकी घात (degree) $1$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ है।
घातांक के नियम का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $\frac{dy}{dx} = \frac{e^x}{e^y}$।
चरों को अलग करने पर,हमें $e^y \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$।
इससे $e^y = e^x + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $e^x - e^y = -C$ प्राप्त होता है,जिसे $e^x - e^y = c$ के रूप में लिखा जा सकता है (जहाँ $c = -C$ एक स्वेच्छ अचर है)।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $x \frac{dy}{dx} + 2y = x^2$ है।
समीकरण को $x$ से विभाजित करने पर यह रैखिक अवकल समीकरण के मानक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में परिवर्तित हो जाता है:
$\frac{dy}{dx} + \frac{2}{x}y = x$.
यहाँ,$P(x) = \frac{2}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ होता है।
अतः,$IF = e^{\int \frac{2}{x} dx} = e^{2 \log |x|} = e^{\log |x^2|} = x^2$ (चूंकि $x \neq 0$ के लिए $x^2 > 0$ होता है)।

(C) हम इकाई सदिशों के क्रॉस प्रोडक्ट के गुणों को जानते हैं:
$\hat{k} \times \hat{j} = -\hat{i}$
$\hat{i} \times \hat{k} = -\hat{j}$
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\hat{i} \cdot (-\hat{i}) + \hat{j} \cdot (-\hat{j}) + \hat{k} \cdot (\hat{k})$
डॉट प्रोडक्ट के गुण $\hat{i} \cdot \hat{i} = 1$,$\hat{j} \cdot \hat{j} = 1$,और $\hat{k} \cdot \hat{k} = 1$ का उपयोग करने पर:
$= -(\hat{i} \cdot \hat{i}) - (\hat{j} \cdot \hat{j}) + (\hat{k} \cdot \hat{k})$
$= -1 - 1 + 1 = -1$.

(A) $(\vec{a} + \vec{b})$ और $(\vec{a} - \vec{b})$ दोनों के लंबवत सदिश उनके क्रॉस गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है: $(\vec{a} + \vec{b}) \times (\vec{a} - \vec{b})$.
इसका विस्तार करने पर: $\vec{a} \times \vec{a} - \vec{a} \times \vec{b} + \vec{b} \times \vec{a} - \vec{b} \times \vec{b} = 0 - (\vec{a} \times \vec{b}) - (\vec{a} \times \vec{b}) - 0 = -2(\vec{a} \times \vec{b})$.
सबसे पहले,$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = \hat{i}(3-2) - \hat{j}(3-1) + \hat{k}(2-1) = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ ज्ञात करें।
अतः,दोनों के लंबवत सदिश $-2(\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}) = -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$ है।
इकाई सदिश $\pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}} = \pm \frac{-2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}}{\sqrt{24}} = \pm \frac{-\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}}{\sqrt{6}}$ होगा।
इस प्रकार,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(C) शीर्षों के स्थिति सदिश इस प्रकार दिए गए हैं:
$\vec{A} = -\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{B} = \hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{C} = \hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
$\vec{D} = -\hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}$
भुजा $AB$ की लंबाई सदिश $\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A}$ के परिमाण द्वारा दी जाती है:
$\vec{AB} = (\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) - (-\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) = 2\hat{i}$
$|AB| = |2\hat{i}| = 2$ इकाई।
भुजा $BC$ की लंबाई सदिश $\vec{BC} = \vec{C} - \vec{B}$ के परिमाण द्वारा दी जाती है:
$\vec{BC} = (\hat{i} - 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) - (\hat{i} + 0.5\hat{j} + 4\hat{k}) = -1\hat{j}$
$|BC| = |-1\hat{j}| = 1$ इकाई।
आयत का क्षेत्रफल उसकी आसन्न भुजाओं के गुणनफल द्वारा प्राप्त होता है:
$\text{क्षेत्रफल} = |AB| \times |BC| = 2 \times 1 = 2$ वर्ग इकाई।