GUJCET 2021 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(C) दीर्घवृत्त $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A = \pi ab$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि क्षेत्रफल $\frac{\pi}{6}$ दिया गया है,हमारे पास $\pi ab = \frac{\pi}{6}$ है,जिसका अर्थ है $ab = \frac{1}{6}$।
आइए विकल्पों की जाँच करें:
विकल्प $C$ के लिए,समीकरण $4x^2 + 9y^2 = 1$ है,जिसे $\frac{x^2}{1/4} + \frac{y^2}{1/9} = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a^2 = \frac{1}{4} \implies a = \frac{1}{2}$ और $b^2 = \frac{1}{9} \implies b = \frac{1}{3}$ है।
क्षेत्रफल $\pi ab = \pi \times \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{\pi}{6}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) चूँकि $A$ और $B$ परस्पर अपवर्जी घटनाएँ हैं,इसलिए $P(A \cap B) = 0$।
हम जानते हैं कि $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{3}{5} = \frac{1}{2} + P(B) - 0$।
अतः,$P(B) = \frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{6 - 5}{10} = \frac{1}{10}$।
हमें $P(B') = p$ दिया गया है।
चूँकि $P(B') = 1 - P(B)$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{10} = \frac{9}{10}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है $f(x) = \frac{1+x}{1-x}$.
हमें $f(x) \cdot f(y) = \left(\frac{1+x}{1-x}\right) \cdot \left(\frac{1+y}{1-y}\right)$ का मान ज्ञात करना है।
$= \frac{1+y+x+xy}{1-y-x+xy} = \frac{1+xy + (x+y)}{1+xy - (x+y)}$.
अंश और हर को $(1+xy)$ से विभाजित करने पर:
$= \frac{1 + \frac{x+y}{1+xy}}{1 - \frac{x+y}{1+xy}}$.
इसे $f(z) = \frac{1+z}{1-z}$ के रूप से तुलना करने पर,हमें $z = \frac{x+y}{1+xy}$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) \cdot f(y) = f\left(\frac{x+y}{1+xy}\right)$.

(A) यह निर्धारित करने के लिए कि $f(x) = x^3$ एकैकी (one-one) और आच्छादक (onto) है या नहीं:
$1$. एकैकी के लिए: मान लीजिए $f(x_1) = f(x_2)$,तो $x_1^3 = x_2^3$। दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,हमें $x_1 = x_2$ प्राप्त होता है। अतः,फलन एकैकी है।
$2$. आच्छादक के लिए: किसी भी $y \in R$ (सह-प्रांत) के लिए,हमें $x \in R$ (प्रांत) खोजना होगा ताकि $f(x) = y$ हो। चूँकि $x^3 = y$,इसलिए $x = y^{1/3}$ है। चूँकि प्रत्येक वास्तविक संख्या $y$ के लिए $y^{1/3}$ परिभाषित है,इसलिए प्रत्येक $y \in R$ के लिए $x = y^{1/3} \in R$ मौजूद है। अतः,फलन आच्छादक है।
इसलिए,$f$ एकैकी और आच्छादक है।

(D) समुच्चय $A = \{1, 2, 3\}$ है।
यदि समुच्चय $A$ के प्रत्येक $a$ के लिए $(a, a) \in R$ है,तो संबंध $R$ स्वतुल्य कहलाता है। यहाँ,$(1,1), (2,2), (3,3) \in R$ है,इसलिए $R$ स्वतुल्य है।
यदि $(a, b) \in R \implies (b, a) \in R$ है,तो संबंध $R$ सममित कहलाता है। यहाँ,सभी युग्म $(a, a)$ के रूप में हैं,इसलिए यह शर्त पूरी होती है। अतः,$R$ सममित है।
यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R \implies (a, c) \in R$ है,तो संबंध $R$ संक्रामक कहलाता है। यहाँ,यह शर्त पूरी होती है। अतः,$R$ संक्रामक है।
चूंकि $R$ स्वतुल्य,सममित और संक्रामक है,इसलिए यह एक तुल्यता संबंध है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) आव्यूहों के गुणनफल के परिवर्त (transpose) का गुणधर्म यह है कि $(AB)^T = B^T A^T$ होता है।
अतः,कथन $(AB)^T = A^T B^T$ सामान्यतः गलत है,जब तक कि $A$ और $B$ क्रमविनिमेय न हों।
विकल्प $(B)$ परिवर्त का एक मानक गुणधर्म है: $(A+B)^T = A^T + B^T$।
विकल्प $(C)$ आव्यूह के सहखंडज (adjoint) का एक मूलभूत गुणधर्म है: $A \operatorname{adj} A = |A| I$।
विकल्प $(D)$ गुणनफल के प्रतिलोम (inverse) का एक मानक गुणधर्म है: $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$।
इस प्रकार,गलत कथन $(A)$ है।

(C) दिया गया है कि $AB = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix}$ और $11B^{-1} = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
हम जानते हैं कि $A = (AB)B^{-1}$ होता है।
दूसरे समीकरण से,$B^{-1} = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ है।
इन मानों को $A$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$A = \begin{bmatrix} -6 & 26 \\ -1 & 19 \end{bmatrix} \times \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} (-6)(5) + (26)(2) & (-6)(-3) + (26)(1) \\ (-1)(5) + (19)(2) & (-1)(-3) + (19)(1) \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} -30 + 52 & 18 + 26 \\ -5 + 38 & 3 + 19 \end{bmatrix}$
$A = \frac{1}{11} \begin{bmatrix} 22 & 44 \\ 33 & 22 \end{bmatrix}$
$A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) सबसे पहले,आव्यूहों $A$ और $B$ का योग ज्ञात कीजिए:
$A+B = \begin{bmatrix} 4+1 & 0 & 0 \\ 0 & 3+2 & 0 \\ 0 & 0 & 2+3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & 5 \end{bmatrix} = 5I_3$.
अब,प्राप्त आव्यूह का व्युत्क्रम (inverse) ज्ञात कीजिए:
$(A+B)^{-1} = (5I_3)^{-1}$.
गुणधर्म $(kA)^{-1} = \frac{1}{k} A^{-1}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(A+B)^{-1} = \frac{1}{5} I_3^{-1} = \frac{1}{5} I_3$.

(A) माना सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}2 & 3 & 5 \\ 1 & 0 & 7 \\ -1 & -2 & 4\end{array}\right|$ है।
अवयव $7$ दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ में स्थित है,अर्थात $a_{23} = 7$ है।
उपसारणिक $M_{23}$ दूसरी पंक्ति और तीसरे स्तंभ को हटाने पर प्राप्त होता है:
$M_{23} = \left|\begin{array}{cc}2 & 3 \\ -1 & -2\end{array}\right| = (2 \times -2) - (3 \times -1) = -4 + 3 = -1$.
सहखंड $C_{23}$ का मान $(-1)^{2+3} M_{23} = (-1)^5 (-1) = (-1) \times (-1) = 1$ है।
उपसारणिक और सहखंड का योग $M_{23} + C_{23} = -1 + 1 = 0$ है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ होने पर उसका क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
यहाँ दिए गए शीर्ष $A(1, 3)$,$B(0, 0)$ और $C(k, 0)$ हैं और क्षेत्रफल $3$ वर्ग इकाई है।
सूत्र में मान रखने पर:
$3 = \frac{1}{2} |1(0 - 0) + 0(0 - 3) + k(3 - 0)|$
$3 = \frac{1}{2} |0 + 0 + 3k|$
$3 = \frac{1}{2} |3k|$
$6 = |3k|$
$|k| = 2$
अतः,$k = \pm 2$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया सारणिक समीकरण:
$2[\sin(A+B)\sin(A-B) - \cos(A+B)\cos(A-B)] + \sqrt{3} = 0$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$ का उपयोग करते हुए,कोष्ठक के अंदर के व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$-(\cos(A+B)\cos(A-B) - \sin(A+B)\sin(A-B)) = -\cos((A+B) + (A-B)) = -\cos(2A)$
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2[-\cos(2A)] + \sqrt{3} = 0$
$-2\cos(2A) = -\sqrt{3}$
$\cos(2A) = \frac{\sqrt{3}}{2}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{\sqrt{3}}{2}$,इसलिए:
$2A = \frac{\pi}{6}$
$A = \frac{\pi}{12}$

(B) माना कि सारणिक $\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11 & 12 & 13 \\ 12 & 13 & 14\end{array}\right|$ है।
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करें:
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 11-10 & 12-11 & 13-12 \\ 12-11 & 13-12 & 14-13\end{array}\right|$
$\Delta = \left|\begin{array}{lll}10 & 11 & 12 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
चूंकि पंक्ति $R_2$ और पंक्ति $R_3$ समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।

(C) सबसे पहले,हम सारणिक $D$ का पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करते हैं:
$D = 1(1 - (-\cos^2 \theta)) - (-\cos \theta)(\cos \theta - (- \cos \theta)) - 1(\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1(1 + \cos^2 \theta) + \cos \theta(2 \cos \theta) - (\cos^2 \theta - 1)$
$D = 1 + \cos^2 \theta + 2 \cos^2 \theta - \cos^2 \theta + 1$
$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$
चूंकि $\cos \theta$ का परिसर $[-1, 1]$ है,इसलिए $\cos^2 \theta$ का परिसर $[0, 1]$ है।
अतः,$D = 2 + 2 \cos^2 \theta$ का परिसर $[2 + 2(0), 2 + 2(1)] = [2, 4]$ है।
इस प्रकार,अधिकतम मान $p = 4$ और न्यूनतम मान $q = 2$ है।
अंत में,हम $2p + 3q = 2(4) + 3(2) = 8 + 6 = 14$ की गणना करते हैं।

(B) दिया गया है कि $x+1 = e^{-y}$।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,हमें $\ln(x+1) = -y$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = -\ln(x+1)$।
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$ प्राप्त होता है।
पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{d^2 y}{d x^2} = -(-1)(x+1)^{-2} = \frac{1}{(x+1)^2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{d y}{d x} = -\frac{1}{x+1}$,इसलिए $\left(\frac{d y}{d x}\right)^2 = \left(-\frac{1}{x+1}\right)^2 = \frac{1}{(x+1)^2}$ होता है।
अतः,$\frac{d^2 y}{d x^2} = \left(\frac{d y}{d x}\right)^2$।

(C) माना $y = \operatorname{cosec}^{-1}(e^x)$ है।
श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करते हुए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{d y}{d x} = \frac{d}{d x}(\operatorname{cosec}^{-1}(e^x))$
हम जानते हैं कि $\frac{d}{d u}(\operatorname{cosec}^{-1} u) = \frac{-1}{|u| \sqrt{u^2 - 1}}$ होता है।
यहाँ,$u = e^x$,इसलिए $\frac{d u}{d x} = e^x$ है।
श्रृंखला नियम लागू करने पर:
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{|e^x| \sqrt{(e^x)^2 - 1}} \cdot \frac{d}{d x}(e^x)$
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^x > 0$ होता है,इसलिए $|e^x| = e^x$ होगा।
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{e^x \sqrt{e^{2 x} - 1}} \cdot e^x$
$\frac{d y}{d x} = \frac{-1}{\sqrt{e^{2 x} - 1}}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) माना $f(x) = \log \left(\frac{1}{x}\right) + \log \left(\frac{1}{x^2}\right) + \log \left(\frac{1}{x^3}\right)$ है।
$\log(a^b) = b \log(a)$ और $\log(\frac{1}{x}) = -\log(x)$ गुणधर्म का उपयोग करके,हम व्यंजक को सरल बना सकते हैं:
$f(x) = -\log(x) - 2\log(x) - 3\log(x)$
$f(x) = -6\log(x)$.
अब,$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx} f(x) = \frac{d}{dx} (-6\log(x))$
$= -6 \times \frac{1}{x} = -\frac{6}{x}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = 4x^3 + 3x^2 + 3x + 4$.
सबसे पहले,$f\left(\frac{1}{x}\right)$ ज्ञात करें:
$f\left(\frac{1}{x}\right) = 4\left(\frac{1}{x}\right)^3 + 3\left(\frac{1}{x}\right)^2 + 3\left(\frac{1}{x}\right) + 4 = \frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4$.
अब,इसे $x^3$ से गुणा करें:
$x^3 \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = x^3 \left(\frac{4}{x^3} + \frac{3}{x^2} + \frac{3}{x} + 4\right) = 4 + 3x + 3x^2 + 4x^3$.
अंत में,$x$ के सापेक्ष अवकलन करें:
$\frac{d}{dx}(4 + 3x + 3x^2 + 4x^3) = 0 + 3 + 6x + 12x^2 = 12x^2 + 6x + 3$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) माना $I = \int_0^1 \frac{dx}{(3x+2)+\sqrt{3x+2}}$.
$u = \sqrt{3x+2}$ प्रतिस्थापन करने पर,$u^2 = 3x+2$ प्राप्त होता है,अतः $2u du = 3 dx$ जिसका अर्थ है $dx = \frac{2}{3} u du$.
जब $x=0$ है,तब $u = \sqrt{2}$ और जब $x=1$ है,तब $u = \sqrt{5}$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{\frac{2}{3} u du}{u^2+u} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{u du}{u(u+1)} = \frac{2}{3} \int_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}} \frac{du}{u+1}$.
समाकलन करने पर,$I = \frac{2}{3} [\log |u+1|]_{\sqrt{2}}^{\sqrt{5}}$ प्राप्त होता है।
$I = \frac{2}{3} (\log |\sqrt{5}+1| - \log |\sqrt{2}+1|) = \frac{2}{3} \log \left|\frac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{2}+1}\right|$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{\cos 3x}{\sin x} dx$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos 3x = \cos(2x + x) = \cos 2x \cos x - \sin 2x \sin x$ का उपयोग करते हुए,
$\cos 3x = (1 - 2 \sin^2 x) \cos x - (2 \sin x \cos x) \sin x = \cos x - 2 \sin^2 x \cos x - 2 \sin^2 x \cos x = \cos x - 4 \sin^2 x \cos x$.
अतः,$\frac{\cos 3x}{\sin x} = \frac{\cos x - 4 \sin^2 x \cos x}{\sin x} = \cot x - 4 \sin x \cos x = \cot x - 2 \sin 2x$.
अब,समाकलन करने पर: $\int (\cot x - 2 \sin 2x) dx = \int \cot x dx - 2 \int \sin 2x dx$.
$= \log |\sin x| - 2 (-\frac{\cos 2x}{2}) + C = \log |\sin x| + \cos 2x + C$.
इसकी तुलना $p \cos 2x + q \log |\sin x| + C$ से करने पर,हमें $p = 1$ और $q = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$p + q = 1 + 1 = 2$.

(C) हम जानते हैं कि $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ होता है।
इस मान को समाकलन में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\int e^x(2021 + \tan x + \tan^2 x) dx = \int e^x(2020 + 1 + \tan^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \sec^2 x + \tan x) dx$
$= \int e^x(2020 + \tan x) dx + \int e^x \sec^2 x dx$.
मान लीजिए $f(x) = 2020 + \tan x$ है। तब $f'(x) = \sec^2 x$ होगा।
मानक समाकलन सूत्र $\int e^x(f(x) + f'(x)) dx = e^x f(x) + C$ का उपयोग करने पर,हमें मिलता है:
$\int e^x(2020 + \tan x + \sec^2 x) dx = e^x(2020 + \tan x) + C$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) माना $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
चूंकि $\sin x$ वर्गमूल के अंदर है,हम धनात्मक मूल $\sin x$ लेंगे।
$I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
माना $u = \cos^{\frac{3}{2}} x$. तब $du = \frac{3}{2} \cos^{\frac{1}{2}} x (-\sin x) \, dx$.
अतः,$-\frac{2}{3} du = \sqrt{\cos x} \sin x \, dx$.
समाकलन में मान रखने पर: $I = \int \sqrt{\frac{\cos x}{1 - (\cos^{\frac{3}{2}} x)^2}} \sin x \, dx$.
इसे सरल करने पर $I = \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + c$.
$u = \cos^{\frac{3}{2}} x$ वापस रखने पर,हमें $I = -\frac{2}{3} \sin^{-1}(\cos^{\frac{3}{2}} x) + c$ प्राप्त होता है।

(A) प्रथम चतुर्थांश में वक्र $y^2=x$,$X$-अक्ष और रेखाओं $x=1$ तथा $x=4$ द्वारा परिबद्ध क्षेत्र का क्षेत्रफल $A$ निम्नलिखित निश्चित समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$A = \int_{1}^{4} y \, dx$
चूंकि $y^2=x$ और हम प्रथम चतुर्थांश में हैं,इसलिए $y = \sqrt{x} = x^{1/2}$ होगा।
$A = \int_{1}^{4} x^{1/2} \, dx$
समाकलन के घात नियम $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ का उपयोग करने पर:
$A = \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{1}^{4} = \left[ \frac{2}{3} x^{3/2} \right]_{1}^{4}$
$A = \frac{2}{3} (4^{3/2} - 1^{3/2})$
$A = \frac{2}{3} (8 - 1) = \frac{2}{3} (7) = \frac{14}{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है,जिसका अर्थ है $x = \frac{y^2}{4}$.
चूंकि क्षेत्र $Y$-अक्ष $(x = 0)$,वक्र $x = \frac{y^2}{4}$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है,इसलिए क्षेत्रफल $A$ को $y = 0$ से $y = 3$ तक के समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है।
$A = \int_{0}^{3} x \, dy = \int_{0}^{3} \frac{y^2}{4} \, dy$.
$A = \frac{1}{4} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
$A = \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - 0 \right) = \frac{1}{4} \times \frac{27}{3} = \frac{9}{4}$ वर्ग इकाई.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिए गए परवलय का समीकरण $x^2 = 12y$ है। इसे $x^2 = 4ay$ से तुलना करने पर,हमें $4a = 12$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = 3$.
परवलय की नाभि $(0, a) = (0, 3)$ है।
नाभिलंब का समीकरण $y = 3$ है।
यह क्षेत्र परवलय $y = \frac{x^2}{12}$ और रेखा $y = 3$ द्वारा परिबद्ध है।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए $y = 3$ को $x^2 = 12y$ में रखने पर,$x^2 = 36$ प्राप्त होता है,अतः $x = \pm 6$.
क्षेत्रफल $A$ समाकलन $A = \int_{-6}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि फलन सम है,$A = 2 \int_{0}^{6} (3 - \frac{x^2}{12}) dx$.
$A = 2 [3x - \frac{x^3}{36}]_{0}^{6} = 2 [3(6) - \frac{216}{36}] = 2 [18 - 6] = 2(12) = 24$ वर्ग इकाई।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $e^{\frac{d^2 y}{d x^2}} = x$ है।
कोटि ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण में उपस्थित उच्चतम कोटि के अवकलज को देखते हैं,जो $\frac{d^2 y}{d x^2}$ है। अतः,कोटि $2$ है।
घात ज्ञात करने के लिए,अवकल समीकरण को अपने अवकलजों के बहुपद के रूप में होना चाहिए। चूँकि पद $\frac{d^2 y}{d x^2}$,$e$ के घातांक में है,इसलिए समीकरण को इसके अवकलजों के बहुपद के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।
अतः,इस अवकल समीकरण की घात परिभाषित नहीं है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^{\frac{3}{2}}=\frac{d^2y}{dx^2}$.
घात ज्ञात करने के लिए,हमें भिन्नात्मक घातांक को हटाने के लिए दोनों पक्षों का वर्ग करना होगा:
$\{1+(\frac{dy}{dx})^2\}^3 = (\frac{d^2y}{dx^2})^2$.
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^2y}{dx^2}$ है,इसलिए कोटि $p = 2$ है।
समीकरण को अवकलजों में बहुपद के रूप में बदलने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $2$ है,इसलिए घात $q = 2$ है।
अतः,$p+q = 2+2 = 4$.

(A) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल उनके सदिश गुणनफल के परिमाण के बराबर होता है,अर्थात $|\vec{a} \times \vec{b}|$।
सबसे पहले,सदिश गुणनफल $\vec{a} \times \vec{b}$ की गणना करें:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 1 & -1 & 3 \\ 2 & -7 & 1 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}((-1)(1) - (3)(-7)) - \hat{j}((1)(1) - (3)(2)) + \hat{k}((1)(-7) - (-1)(2))$
$= \hat{i}(-1 + 21) - \hat{j}(1 - 6) + \hat{k}(-7 + 2)$
$= 20\hat{i} + 5\hat{j} - 5\hat{k}$
अब,इस सदिश का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{20^2 + 5^2 + (-5)^2}$
$= \sqrt{400 + 25 + 25} = \sqrt{450}$
$= \sqrt{225 \times 2} = 15\sqrt{2}$
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $15\sqrt{2}$ वर्ग इकाई है।

(C) परिभाषा के अनुसार,एक इकाई सदिश (unit vector) वह सदिश है जिसका परिमाण $1$ होता है।
चूँकि $\vec{c}$ को $(\vec{a} + \vec{b})$ की दिशा में एक इकाई सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है,इसलिए परिभाषा के अनुसार इसका परिमाण $1$ होगा।
अतः,$|\vec{c}| = 1$.

(A) $Z = 2x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम बाधाओं द्वारा परिभाषित सुसंगत क्षेत्र (feasible region) की पहचान करते हैं:
$1$. $2x + 4y \leq 12 \implies x + 2y \leq 6$
$2$. $x + y \leq 3$
$3$. $x \geq 0, y \geq 0$
सुसंगत क्षेत्र के शीर्ष रेखाओं के प्रतिच्छेदन द्वारा प्राप्त होते हैं:
- $x + y = 3$ और $x = 0$ का प्रतिच्छेदन $(0, 3)$ है।
- $x + y = 3$ और $y = 0$ का प्रतिच्छेदन $(3, 0)$ है।
- मूल बिंदु $(0, 0)$ भी एक शीर्ष है।
शीर्षों पर $Z$ का मान:
- $(0, 0)$ पर: $Z = 2(0) + 3(0) = 0$
- $(3, 0)$ पर: $Z = 2(3) + 3(0) = 6$
- $(0, 3)$ पर: $Z = 2(0) + 3(3) = 9$
अतः,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(0, 0)$ पर $0$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(D) दिया गया समीकरण: $P(A) + P(B) - P(A \cap B) = P(A)$ है।
दोनों पक्षों से $P(A)$ घटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $P(B) - P(A \cap B) = 0$,जिसका अर्थ है $P(B) = P(A \cap B)$।
यह स्थिति $P(A \cap B) = P(B)$ दर्शाती है कि घटना $B$,घटना $A$ का उपसमुच्चय है (अर्थात $B \subseteq A$)।
सप्रतिबंध प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$ होता है।
सूत्र में $P(A \cap B) = P(B)$ रखने पर,हमें $P(A \mid B) = \frac{P(B)}{P(B)} = 1$ प्राप्त होता है (यह मानते हुए कि $P(B) \neq 0$)।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया है कि $A$ और $B$ स्वतंत्र घटनाएँ हैं,$P(A) = p$ और $P(B) = 2p$।
घटना $A$ या $B$ में से ठीक एक के घटित होने की प्रायिकता $P(A \cap B^c) + P(A^c \cap B)$ द्वारा दी जाती है।
चूँकि $A$ और $B$ स्वतंत्र हैं,$P(A \cap B^c) = P(A)P(B^c) = p(1 - 2p)$ और $P(A^c \cap B) = P(A^c)P(B) = (1 - p)(2p)$।
अतः,$P(\text{ठीक एक}) = p(1 - 2p) + 2p(1 - p) = \frac{5}{9}$।
इसका विस्तार करने पर,$p - 2p^2 + 2p - 2p^2 = \frac{5}{9}$ प्राप्त होता है।
यह $3p - 4p^2 = \frac{5}{9}$ या $4p^2 - 3p + \frac{5}{9} = 0$ में सरल हो जाता है।
$9$ से गुणा करने पर,$36p^2 - 27p + 5 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $36p^2 - 12p - 15p + 5 = 0 \implies 12p(3p - 1) - 5(3p - 1) = 0$।
अतः,$(12p - 5)(3p - 1) = 0$।
इससे $p = \frac{5}{12}$ या $p = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $P(B \mid A) = 1$ है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ होता है।
चूँकि $P(B \mid A) = 1$ है,इसलिए $\frac{P(A \cap B)}{P(A)} = 1$,जिसका अर्थ है कि $P(A \cap B) = P(A)$।
यह समानता तभी सत्य है जब $A \subseteq B$ हो।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) हमें दिया गया है कि $P(A) = \frac{6}{11}$,$P(B) = \frac{5}{11}$,और $P(A \cup B) = \frac{7}{11}$।
प्रायिकता के योग के नियम का उपयोग करते हुए,$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{7}{11} = \frac{6}{11} + \frac{5}{11} - P(A \cap B)$।
$\frac{7}{11} = \frac{11}{11} - P(A \cap B)$।
$P(A \cap B) = 1 - \frac{7}{11} = \frac{4}{11}$।
अब,सप्रतिबंध प्रायिकता $P(A \mid B)$ की परिभाषा के अनुसार,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$।
$P(A \mid B) = \frac{4/11}{5/11} = \frac{4}{5}$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।