GUJCET 2020 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) दिए गए प्राचलिक समीकरण $x = 4 \cos \theta$ और $y = 3 \sin \theta$ हैं।
यह $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ के रूप का एक दीर्घवृत्त दर्शाता है, जहाँ $a = 4$ और $b = 3$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
$a$ और $b$ के मान रखने पर, हमें $A = \pi \times 4 \times 3 = 12 \pi$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।
अतः, सही विकल्प $D$ है।

(C) संयुक्त फलन $(g \circ f)(x)$ को $g(f(x))$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है कि $f(x) = 2x^2 - 5$ और $g(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ है।
$g(x)$ में $f(x)$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(g \circ f)(x) = g(2x^2 - 5) = \frac{2x^2 - 5}{(2x^2 - 5)^2 + 1}$.
अब,हर (denominator) का विस्तार करने पर:
$(2x^2 - 5)^2 + 1 = (4x^4 - 20x^2 + 25) + 1 = 4x^4 - 20x^2 + 26$.
अतः,$(g \circ f)(x) = \frac{2x^2 - 5}{4x^4 - 20x^2 + 26}$.
इस प्रकार,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया फलन $f(x) = x^2 - 4x + 5$ है,जिसका प्रांत $(2, \infty)$ है।
हम पूर्ण वर्ग बनाकर फलन को फिर से लिख सकते हैं:
$f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 1 = (x - 2)^2 + 1$.
चूंकि प्रांत $x \in (2, \infty)$ है,इसलिए $x > 2$ होगा।
दोनों पक्षों से $2$ घटाने पर,$x - 2 > 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x - 2)^2 > 0$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों में $1$ जोड़ने पर,$(x - 2)^2 + 1 > 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(x) > 1$ है।
इस प्रकार,फलन $f$ का परिसर $(1, \infty)$ है।

(B) माना कि $\alpha = \sin^{-1}\left(\frac{3}{5}\right)$ और $\beta = \sin^{-1}\left(\frac{8}{17}\right)$ है।
तब $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ और $\sin \beta = \frac{8}{17}$ होगा।
सर्वसमिका $\cos \theta = \sqrt{1 - \sin^2 \theta}$ का उपयोग करते हुए,हमें $\cos \alpha = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$ और $\cos \beta = \sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = \sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{15}{17}$ प्राप्त होता है।
हम सूत्र $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करेंगे।
$\cos(\alpha - \beta) = \left(\frac{4}{5}\right)\left(\frac{15}{17}\right) + \left(\frac{3}{5}\right)\left(\frac{8}{17}\right) = \frac{60}{85} + \frac{24}{85} = \frac{84}{85}$।
अतः,$\alpha - \beta = \cos^{-1}\left(\frac{84}{85}\right)$।

(D) माना व्यंजक $E = \tan ^2(\sec ^{-1} 3) + \operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2) + \cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ है।
चरण $1$: $\tan ^2(\sec ^{-1} 3)$ को सरल करें।
माना $\sec ^{-1} 3 = \theta_1$,इसलिए $\sec \theta_1 = 3$। तब $\tan ^2 \theta_1 = \sec ^2 \theta_1 - 1 = 3^2 - 1 = 9 - 1 = 8$।
चरण $2$: $\operatorname{cosec}^2(\cot ^{-1} 2)$ को सरल करें।
माना $\cot ^{-1} 2 = \theta_2$,इसलिए $\cot \theta_2 = 2$। तब $\operatorname{cosec}^2 \theta_2 = 1 + \cot ^2 \theta_2 = 1 + 2^2 = 1 + 4 = 5$।
चरण $3$: $\cos ^2(\cos ^{-1} \frac{2}{3} + \sin ^{-1} \frac{2}{3})$ को सरल करें।
हम जानते हैं कि $x \in [-1, 1]$ के लिए $\cos ^{-1} x + \sin ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है।
अतः,$\cos ^2(\frac{\pi}{2}) = 0^2 = 0$।
चरण $4$: कुल योग की गणना करें।
$E = 8 + 5 + 0 = 13$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $A + B + C = \pi$,इसलिए $B + C = \pi - A$ और $A + C = \pi - B$ है।
इन मानों को सारणिक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$
$\tan(A + C) = \tan(\pi - B) = -\tan B$
सारणिक इस प्रकार हो जाता है:
$D = \left|\begin{array}{ccc}0 & \sin A & \tan B \\ -\sin A & 0 & \cos C \\ -\tan B & -\cos C & 0\end{array}\right|$
यह $3 \times 3$ क्रम का एक विषम-सममित (skew-symmetric) सारणिक है।
एक विषम-सममित आव्यूह $M$ के लिए $M^T = -M$ होता है।
विषम क्रम $n$ वाले विषम-सममित आव्यूह का सारणिक $\det(M) = \det(M^T) = \det(-M) = (-1)^n \det(M)$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = 3$ (विषम संख्या) है,इसलिए $\det(M) = -\det(M)$,जिसका अर्थ है कि $2 \det(M) = 0$,अतः $\det(M) = 0$ है।
इस प्रकार,सारणिक का मान $0$ है।

(D) हम जानते हैं कि $A \cdot A^{-1} = I$,जहाँ $I$ कोटि $3 \times 3$ का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है कि $A = \begin{bmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{-2} \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$ है।
मान लीजिए $B = \begin{bmatrix} -1 & 1 & -1 \\ 8 & -6 & 2 \\ -x & 3 & -1 \end{bmatrix}$ है। अतः $A^{-1} = -\frac{1}{2} B$ है।
इस प्रकार,$A \cdot (-\frac{1}{2} B) = I$,जिसका अर्थ है कि $A \cdot B = -2I = \begin{bmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 \end{bmatrix}$ है।
गुणनफल आव्यूह के $(3, 1)$ स्थान पर अवयव प्राप्त करने के लिए $A$ की तीसरी पंक्ति और $B$ के पहले स्तंभ का गुणा करें:
$(3 \times -1) + (1 \times 8) + (1 \times -x) = -2$.
$-3 + 8 - x = -2$.
$5 - x = -2$.
$x = 5 + 2 = 7$.
आइए सारणिक $|A|$ की पुनः गणना करें:
$|A| = 0(2-3) - 1(1-9) + 2(1-6) = 0 - 1(-8) + 2(-5) = 8 - 10 = -2$.
चूंकि $A^{-1} = \frac{1}{|A|} \text{adj}(A)$ है,इसलिए आव्यूह $B$ को $\text{adj}(A)$ होना चाहिए।
$\text{adj}(A)$ के $(3, 1)$ स्थान पर अवयव आव्यूह $A$ का सहखंड $C_{13}$ है।
$C_{13} = (-1)^{1+3} \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} = 1(1 - 6) = -5$.
आव्यूह $B$ के साथ तुलना करने पर,$(3, 1)$ स्थान पर अवयव $-x$ है।
अतः,$-x = -5$,जिसका अर्थ है कि $x = 5$ है।
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \cdot 2^x}{1 + (2^x)^2}\right)$.
मान लीजिए $2^x = \tan \theta$,तो $\theta = \tan^{-1}(2^x)$.
$y = \sin^{-1}\left(\frac{2 \tan \theta}{1 + \tan^2 \theta}\right) = \sin^{-1}(\sin 2\theta) = 2\theta = 2 \tan^{-1}(2^x)$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dy}{dx} = 2 \cdot \frac{1}{1 + (2^x)^2} \cdot \frac{d}{dx}(2^x) = \frac{2}{1 + 4^x} \cdot 2^x \log 2 = \frac{2^{x+1} \log 2}{1 + 4^x}$.
इसकी तुलना $\frac{dy}{dx} = \frac{2^{x+1} \log 2}{f(x)}$ से करने पर,हमें $f(x) = 1 + 4^x$ प्राप्त होता है।
अतः,$f(0) = 1 + 4^0 = 1 + 1 = 2$.

(A) किसी फलन $f(\alpha)$ के $\alpha=0$ पर संतत होने के लिए,$\alpha \to 0$ पर फलन की सीमा का मान $\alpha=0$ पर फलन के मान के बराबर होना चाहिए।
दिया गया है $f(0) = k$।
हमें $\lim_{\alpha \to 0} f(\alpha) = \lim_{\alpha \to 0} \frac{1-\cos 6 \alpha}{36 \alpha^2}$ का मूल्यांकन करना है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $1-\cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ का उपयोग करने पर,$1-\cos 6 \alpha = 2 \sin^2(3 \alpha)$ प्राप्त होता है।
इसे सीमा में प्रतिस्थापित करने पर: $\lim_{\alpha \to 0} \frac{2 \sin^2(3 \alpha)}{36 \alpha^2} = \lim_{\alpha \to 0} \frac{2}{36} \left( \frac{\sin 3 \alpha}{\alpha} \right)^2$।
मानक सीमा $\lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{x} = a$ का उपयोग करने पर,हमें $\lim_{\alpha \to 0} \frac{1}{18} (3)^2 = \frac{9}{18} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि फलन संतत है,इसलिए $k = 1/2$ है।

(A) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) d x$.
फलन $f(x) = \log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right)$ पर विचार करें।
$f(-x)$ का मान ज्ञात करके जांचें कि फलन सम है या विषम:
$f(-x) = \log \left(\frac{2019-(-x)}{2019+(-x)}\right) = \log \left(\frac{2019+x}{2019-x}\right)$.
गुणधर्म $\log \left(\frac{a}{b}\right) = -\log \left(\frac{b}{a}\right)$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$f(-x) = -\log \left(\frac{2019-x}{2019+x}\right) = -f(x)$.
चूंकि $f(-x) = -f(x)$,इसलिए फलन $f(x)$ एक विषम फलन है।
एक विषम फलन के लिए,सममित अंतराल $[-a, a]$ पर निश्चित समाकलन हमेशा $0$ होता है,अर्थात $\int_{-a}^{a} f(x) dx = 0$.
अतः,$I = 0$.

(B) हम मानक समाकलन सूत्र का उपयोग करते हैं: $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx = e^x f(x) + C$.
दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{x+100}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
हम अंश को इस प्रकार लिख सकते हैं: $x + 100 = (x + 101) - 1$.
अतः,समाकलन हो जाता है: $I = \int \frac{(x+101) - 1}{(x+101)^2} e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{x+101}{(x+101)^2} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
$I = \int \left( \frac{1}{x+101} - \frac{1}{(x+101)^2} \right) e^x \, dx$.
माना $f(x) = \frac{1}{x+101}$.
तब $f'(x) = -\frac{1}{(x+101)^2}$.
चूंकि व्यंजक $\int e^x [f(x) + f'(x)] \, dx$ के रूप में है,इसलिए परिणाम $e^x f(x) + C$ है।
अतः,$I = e^x \left( \frac{1}{x+101} \right) + C = \frac{e^x}{x+101} + C$.

(B) दिया गया अवकल समीकरण $y \frac{dy}{dx} + x = k$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $y \frac{dy}{dx} = k - x$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$\int y \, dy = \int (k - x) \, dx$.
इससे $\frac{y^2}{2} = kx - \frac{x^2}{2} + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।
$2$ से गुणा करने पर,हमें $y^2 = 2kx - x^2 + 2C$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $x^2 - 2kx + y^2 = 2C$.
$x$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर: $(x^2 - 2kx + k^2) + y^2 = 2C + k^2$.
$(x - k)^2 + y^2 = 2C + k^2$.
यह $(x - h)^2 + (y - k_0)^2 = r^2$ के रूप में एक वृत्त का समीकरण है,जहाँ केंद्र $(k, 0)$ है और त्रिज्या $\sqrt{2C + k^2}$ है।
अतः,यह हल एक वृत्त को दर्शाता है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1+y^2) dx$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1+y^2}$ प्राप्त होता है।
इसे $\frac{dx}{dy} + \frac{x}{1+y^2} = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है,जहाँ $P(y) = \frac{1}{1+y^2}$ और $Q(y) = \frac{\tan ^{-1} y}{1+y^2}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ $IF = e^{\int P(y) dy}$ द्वारा दिया जाता है।
$IF = e^{\int \frac{1}{1+y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) दिया गया है कि $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}=\vec{0}$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$ प्राप्त होता है।
इसका विस्तार करने पर $|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए परिमाणों $|\vec{a}|=3, |\vec{b}|=4, |\vec{c}|=2$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$3^2 + 4^2 + 2^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$9 + 16 + 4 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
$29 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$.
अतः,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -\frac{29}{2}$।

(A) हमें दिए गए सदिश हैं: $\vec{a} = 2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}$,और $\vec{c} = \hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k}$।
सबसे पहले,हम सदिश $\lambda \vec{b} + \vec{c}$ की गणना करते हैं:
$\lambda \vec{b} + \vec{c} = \lambda (\hat{i} + \hat{j} - 2 \hat{k}) + (\hat{i} + 3 \hat{j} - \hat{k})$
$= (\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}$।
चूंकि $\vec{a}$,$\lambda \vec{b} + \vec{c}$ पर लंब है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल (dot product) शून्य होना चाहिए:
$\vec{a} \cdot (\lambda \vec{b} + \vec{c}) = 0$
$(2 \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}) \cdot ((\lambda + 1) \hat{i} + (\lambda + 3) \hat{j} + (-2 \lambda - 1) \hat{k}) = 0$
$2(\lambda + 1) - 1(\lambda + 3) + 1(-2 \lambda - 1) = 0$
$2 \lambda + 2 - \lambda - 3 - 2 \lambda - 1 = 0$
$-\lambda - 2 = 0$
$\lambda = -2$।

(C) माना $\vec{a} = a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}$ है।
दिया गया है कि $|\vec{a}| = 3$,इसलिए $a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 = 3^2 = 9$ है।
अब,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1 \hat{i} + a_2 \hat{j} + a_3 \hat{k}) \times \hat{i} = -a_2 \hat{k} + a_3 \hat{j}$ है।
अतः,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$ है।
इसी प्रकार,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ और $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$ है।
इनका योग करने पर,हमें $|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$ प्राप्त होता है।
मान प्रतिस्थापित करने पर,$2(9) = 18$ प्राप्त होता है।

(A) $x + y \leq 4, x \geq 0, y \geq 0$ बाधाओं के अधीन $Z = 3x + 4y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के कोणीय बिंदुओं की पहचान करते हैं।
सुसंगत क्षेत्र एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $(0, 0)$,$(4, 0)$ और $(0, 4)$ हैं।
अब,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 0)$ पर: $Z = 3(0) + 4(0) = 0$
$2$. $(4, 0)$ पर: $Z = 3(4) + 4(0) = 12$
$3$. $(0, 4)$ पर: $Z = 3(0) + 4(4) = 16$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का अधिकतम मान $(0, 4)$ बिंदु पर $16$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(D) अपेक्षित मान $E(X^2)$ की गणना $E(X^2) = \sum x_i^2 P(x_i)$ सूत्र का उपयोग करके की जाती है।
दिए गए मान:
$x_1 = 1, P(x_1) = \frac{1}{10} \implies x_1^2 P(x_1) = 1^2 \times \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
$x_2 = 2, P(x_2) = \frac{1}{5} \implies x_2^2 P(x_2) = 2^2 \times \frac{1}{5} = 4 \times \frac{1}{5} = \frac{4}{5} = \frac{8}{10}$
$x_3 = 3, P(x_3) = \frac{3}{10} \implies x_3^2 P(x_3) = 3^2 \times \frac{3}{10} = 9 \times \frac{3}{10} = \frac{27}{10}$
$x_4 = 4, P(x_4) = \frac{2}{5} \implies x_4^2 P(x_4) = 4^2 \times \frac{2}{5} = 16 \times \frac{2}{5} = \frac{32}{5} = \frac{64}{10}$
इन मानों का योग करने पर:
$E(X^2) = \frac{1}{10} + \frac{8}{10} + \frac{27}{10} + \frac{64}{10} = \frac{1 + 8 + 27 + 64}{10} = \frac{100}{10} = 10$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।