GUJCET 2022 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) एक फलन $f: A \to A$ एकैकी (one-one) होता है यदि प्रांत (domain) के प्रत्येक अवयव का सह-प्रांत (codomain) में एक अद्वितीय प्रतिबिंब हो।
चूंकि समुच्चय $A$ में $n = 4$ अवयव हैं,इसलिए $A$ से $A$ तक एकैकी फलनों की संख्या $n$ अवयवों के क्रमचय (permutations) के बराबर होती है,जो $n!$ है।
यहाँ $n = 4$ है,इसलिए एकैकी फलनों की संख्या $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$ होगी।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) माना $h(x) = (f+g)(x) = \sin x + \cos x = \sqrt{2} \sin(x + \frac{\pi}{4})$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$x + \frac{\pi}{4} \in [\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}]$ है।
इस अंतराल में,साइन फलन एकदिष्ट (monotonic) नहीं है (यह पहले बढ़ता है और फिर घटता है),इसलिए $f+g$ एकैकी नहीं है।
माना $k(x) = (fg)(x) = \sin x \cos x = \frac{1}{2} \sin(2x)$.
$x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ के लिए,$2x \in [0, \pi]$ है।
इस अंतराल में,साइन फलन एकदिष्ट नहीं है (यह पहले बढ़ता है और फिर घटता है),इसलिए $fg$ एकैकी नहीं है।
अतः,$f+g$ और $fg$ दोनों एकैकी नहीं हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos \left(\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x\right)=0$.
हम जानते हैं कि $\cos \theta = 0$ का अर्थ है $\theta = \frac{\pi}{2}$ (मुख्य मान शाखा को ध्यान में रखते हुए)।
इसलिए,$\sin ^{-1} \frac{1}{5}+\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\cos ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin ^{-1} y + \cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos ^{-1} y = \frac{\pi}{2} - \sin ^{-1} y$ है।
अतः,$\cos ^{-1} x = \cos ^{-1} \frac{1}{5}$.
दोनों पक्षों की तुलना करने पर,हमें $x = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।

(C) हम जानते हैं कि $2 \sin^{-1} x = \sin^{-1}(2x \sqrt{1-x^2})$ तब सत्य होता है जब $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो।
माना $x = \sin \theta$,जहाँ $\theta \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$.
तब $2 \sin^{-1}(\sin \theta) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \sqrt{1-\sin^2 \theta}) = \sin^{-1}(2 \sin \theta \cos \theta) = \sin^{-1}(\sin 2\theta)$.
$2\theta = 2 \sin^{-1} x$ मान्य होने के लिए,$2\theta$ को $\sin^{-1}$ की मुख्य मान शाखा $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ में होना चाहिए।
अतः,$-\frac{\pi}{2} \le 2\theta \le \frac{\pi}{2} \implies -\frac{\pi}{4} \le \theta \le \frac{\pi}{4}$.
दोनों पक्षों में साइन लेने पर,$\sin(-\frac{\pi}{4}) \le \sin \theta \le \sin(\frac{\pi}{4})$,जिससे $-\frac{1}{\sqrt{2}} \le x \le \frac{1}{\sqrt{2}}$ प्राप्त होता है।
अतः,$x \in [-\frac{1}{\sqrt{2}}, \frac{1}{\sqrt{2}}]$।

(C) दिया गया है कि $\sin ^{-1} a = \alpha + \beta$ और $\sin ^{-1} b = \alpha - \beta$ है।
इसका अर्थ है कि $a = \sin(\alpha + \beta)$ और $b = \sin(\alpha - \beta)$ है।
साइन के लिए गुणन-से-योग सूत्र का उपयोग करने पर:
$a b = \sin(\alpha + \beta) \sin(\alpha - \beta) = \sin^2 \alpha - \sin^2 \beta$।
हमें $\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta$ का मान ज्ञात करना है।
चूँकि $\cos^2 \beta = 1 - \sin^2 \beta$ होता है,हम इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\sin^2 \alpha + \cos^2 \beta = \sin^2 \alpha + (1 - \sin^2 \beta) = 1 + (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta)$।
गुणन सूत्र से $ab$ का मान रखने पर:
$1 + (\sin^2 \alpha - \sin^2 \beta) = 1 + a b$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया विकर्ण आव्यूह $A = \begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ है।
चूंकि $A$ एक विकर्ण आव्यूह है,इसका व्युत्क्रम $A^{-1}$ भी एक विकर्ण आव्यूह होगा जिसके विकर्ण के अवयव $A$ के विकर्ण के अवयवों के व्युत्क्रम हैं।
अतः,$A^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0 \\ 0 & \frac{1}{1} & 0 \\ 0 & 0 & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$ होगा।
$A^{-1}$ के सभी अवयवों का योग $\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{3}$ है।
इनका योग करने के लिए,लघुत्तम समापवर्त्य $6$ लें।
योग $= \frac{3}{6} + \frac{6}{6} + \frac{2}{6} = \frac{11}{6}$.

(A) एक आव्यूह $A$ का परिवर्त (transpose),जिसे $A'$ द्वारा दर्शाया जाता है,उसकी पंक्तियों और स्तंभों को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
$A'$ ज्ञात करने के लिए,हम पहली पंक्ति के तत्वों को पहले स्तंभ के साथ और दूसरी पंक्ति के तत्वों को दूसरे स्तंभ के साथ बदलते हैं।
अतः,$A' = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix}$.
इस परिणाम की तुलना दिए गए विकल्पों से करने पर,विकल्प $A$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया सारणिक $\Delta = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $a(cb - a^2) - b(b^2 - ac) + c(ba - c^2) = 0$.
यह सरल होकर $3abc - (a^3 + b^3 + c^3) = 0$ हो जाता है।
अतः $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = 0$.
सर्वसमिका $a^3 + b^3 + c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca) = 0$ का उपयोग करने पर।
चूंकि $a, b, c$ त्रिभुज की भुजाएँ हैं,इसलिए $a+b+c \neq 0$.
अतः $a^2 + b^2 + c^2 - ab - bc - ca = 0$,जिसका अर्थ है कि $\frac{1}{2}((a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2) = 0$.
यह तभी संभव है जब $a = b = c$ हो।
चूंकि $a = b = c$,त्रिभुज समबाहु है,इसलिए $A = B = C = 60^\circ$.
अतः,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ + \sin^2 60^\circ = \frac{3}{4} + \frac{3}{4} + \frac{3}{4} = \frac{9}{4}$.

(B) दिए गए सारणिक समीकरण:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1+x^3 \\ y & y^2 & 1+y^3 \\ z & z^2 & 1+z^3\end{array}\right|=0$
तीसरे स्तंभ को विभाजित करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + \left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & x^3 \\ y & y^2 & y^3 \\ z & z^2 & z^3\end{array}\right|=0$
दूसरे सारणिक में,क्रमशः पंक्ति $1, 2, 3$ से $x, y, z$ उभयनिष्ठ लेने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| + xyz \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|=0$
पहले सारणिक के लिए,स्तंभ $3$ को स्तंभ $2$ के साथ,और फिर स्तंभ $2$ को स्तंभ $1$ के साथ बदलने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}x & x^2 & 1 \\ y & y^2 & 1 \\ z & z^2 & 1\end{array}\right| = -\left|\begin{array}{ccc}x & 1 & x^2 \\ y & 1 & y^2 \\ z & 1 & z^2\end{array}\right| = \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right|$
इसे वापस प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 + xyz) \left|\begin{array}{ccc}1 & x & x^2 \\ 1 & y & y^2 \\ 1 & z & z^2\end{array}\right| = 0$
चूंकि दूसरा सारणिक शून्य नहीं है,इसलिए $1 + xyz = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $xyz = -1$.

(C) दिया गया है कि $B = A^{-1}$,इसलिए $AB = I$,जहाँ $I$ तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $10B = \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$,इसलिए $B = \frac{1}{10} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix}$।
चूँकि $AB = I$,इसलिए $A(10B) = 10I$ होगा।
$\begin{bmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & -3 \\ 1 & 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & 2 & 2 \\ -5 & 0 & \alpha \\ 1 & -2 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 10 & 0 & 0 \\ 0 & 10 & 0 \\ 0 & 0 & 10 \end{bmatrix}$।
हमें $\alpha$ का मान ज्ञात करना है। आव्यूह $A$ की दूसरी पंक्ति और $10B$ के तीसरे स्तंभ का गुणा करने पर:
$(2)(2) + (1)(\alpha) + (-3)(3) = 0$।
$4 + \alpha - 9 = 0$।
$\alpha - 5 = 0$।
$\alpha = 5$।

(C) दिया गया है कि $x = \sqrt{10^{\sin^{-1} t}}$ और $y = \sqrt{10^{\cos^{-1} t}}$.
$x$ और $y$ का गुणा करने पर:
$xy = \sqrt{10^{\sin^{-1} t} \cdot 10^{\cos^{-1} t}} = \sqrt{10^{\sin^{-1} t + \cos^{-1} t}}$.
चूंकि $\sin^{-1} t + \cos^{-1} t = \frac{\pi}{2}$,इसलिए:
$xy = \sqrt{10^{\pi/2}}$.
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$x \frac{dy}{dx} + y(1) = 0$.
$x \frac{dy}{dx} = -y$.
अतः,$\frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x}$.

(A) $x \in [1.2, 1.9]$ के लिए,महत्तम पूर्णांक फलन $[x]$ अचर है क्योंकि $1 \le x < 2$ है।
विशेष रूप से,अंतराल $[1.2, 1.9]$ में किसी भी $x$ के लिए,$[x] = 1$ होता है।
चूंकि $f(x) = 1$ अंतराल $[1.2, 1.9]$ पर एक अचर फलन है,इसलिए यह अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर सतत और अवकलनीय है।
एक अचर फलन का अवकलज शून्य होता है,इसलिए सभी $x \in [1.2, 1.9]$ के लिए $f'(x) = 0$ होता है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(D) दिया गया समीकरण $y = 100 e^{2x} + 200 e^{-2x}$ है।
सबसे पहले,प्रथम अवकलज $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात करें:
$\frac{dy}{dx} = 100 \cdot 2 e^{2x} + 200 \cdot (-2) e^{-2x} = 200 e^{2x} - 400 e^{-2x}$.
इसके बाद,द्वितीय अवकलज $\frac{d^2 y}{dx^2}$ ज्ञात करें:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 200 \cdot 2 e^{2x} - 400 \cdot (-2) e^{-2x} = 400 e^{2x} + 800 e^{-2x}$.
इस व्यंजक से $4$ कॉमन लेने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 4(100 e^{2x} + 200 e^{-2x})$.
चूंकि $y = 100 e^{2x} + 200 e^{-2x}$,हम समीकरण में $y$ प्रतिस्थापित कर सकते हैं:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = 4y$.
इसकी तुलना $\frac{d^2 y}{dx^2} = ay$ से करने पर,हमें $a = 4$ प्राप्त होता है।

(D) यह ज्ञात करने के लिए कि फलन $y = f(x) = x^2 e^{-x}$ किस अंतराल पर वर्धमान है,हम इसका अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं।
गुणन नियम का उपयोग करते हुए,$f'(x) = \frac{d}{dx}(x^2) \cdot e^{-x} + x^2 \cdot \frac{d}{dx}(e^{-x})$.
$f'(x) = 2x e^{-x} - x^2 e^{-x} = x(2 - x) e^{-x}$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,हमें $f'(x) > 0$ की आवश्यकता है।
चूँकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $e^{-x} > 0$ होता है,इसलिए $f'(x)$ का चिह्न $x(2 - x)$ पर निर्भर करता है।
$x(2 - x) > 0$ का अर्थ है $x(x - 2) < 0$.
यह असमिका तब सत्य होती है जब $x$ का मान $0$ और $2$ के बीच हो।
अतः,फलन अंतराल $(0, 2)$ पर वर्धमान है।

(C) माना $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^{13} + x \cos x + \tan^{15} x + 1) \, dx$.
गुणधर्म $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 0$ यदि $f(x)$ एक विषम फलन है,और $\int_{-a}^{a} f(x) \, dx = 2 \int_{0}^{a} f(x) \, dx$ यदि $f(x)$ एक सम फलन है,का उपयोग करते हुए।
माना $f(x) = x^{13} + x \cos x + \tan^{15} x + 1$.
हम समाकलन को $I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} (x^{13} + x \cos x + \tan^{15} x) \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx$ के रूप में विभाजित कर सकते हैं।
चूंकि $x^{13}$,$x \cos x$,और $\tan^{15} x$ सभी विषम फलन हैं,इसलिए सममित अंतराल $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।
अतः,$I = 0 + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 1 \, dx = [x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = \frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2}) = \pi$.

(B) चूंकि $f(x) = \sin^2 x$ एक सम फलन है,हम लिख सकते हैं:
$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x \, dx = 2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x \, dx$
सर्वसमिका $\sin^2 x = \frac{1 - \cos(2x)}{2}$ का उपयोग करते हुए:
$2 \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1 - \cos(2x)}{2} \, dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} (1 - \cos(2x)) \, dx$
पद-दर-पद समाकलन करने पर:
$[x - \frac{\sin(2x)}{2}]_{0}^{\frac{\pi}{4}}$
सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{\pi}{4} - \frac{\sin(\frac{\pi}{2})}{2}) - (0 - \frac{\sin(0)}{2})$
$= \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2} - 0 = \frac{\pi}{4} - \frac{1}{2}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) समाकलन $\int \frac{x}{(x-1)(x-2)} dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम आंशिक भिन्न अपघटन का उपयोग करते हैं।
माना $\frac{x}{(x-1)(x-2)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x-2}$.
दोनों पक्षों को $(x-1)(x-2)$ से गुणा करने पर,हमें $x = A(x-2) + B(x-1)$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ रखने पर,$1 = A(1-2) \implies A = -1$.
$x = 2$ रखने पर,$2 = B(2-1) \implies B = 2$.
अतः,$\int \frac{x}{(x-1)(x-2)} dx = \int \left( \frac{-1}{x-1} + \frac{2}{x-2} \right) dx$.
$= -\log |x-1| + 2 \log |x-2| + C$.
$= \log |x-2|^2 - \log |x-1| + C$.
$= \log \left| \frac{(x-2)^2}{x-1} \right| + C$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।

(A) माना $I = \int (x+1)(x+3)(x+2)^7 \, dx$ है।
$u = x+2$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = dx$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$x+1 = u-1$ और $x+3 = u+1$ है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int (u-1)(u+1)u^7 \, du$
$I = \int (u^2-1)u^7 \, du$
$I = \int (u^9 - u^7) \, du$
$u$ के सापेक्ष समाकलन करने पर:
$I = \frac{u^{10}}{10} - \frac{u^8}{8} + C$
$u = x+2$ वापस रखने पर:
$I = \frac{(x+2)^{10}}{10} - \frac{(x+2)^8}{8} + C$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) माना $I = \int \sqrt{\frac{\cos x(1 - \cos^2 x)}{1 - \cos^3 x}} \, dx = \int \sqrt{\frac{\cos x \sin^2 x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
चूँकि $\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x}$,इसलिए $I = \int \sin x \sqrt{\frac{\cos x}{1 - \cos^3 x}} \, dx$.
माना $u = \cos^{3/2} x$. तब $du = \frac{3}{2} \cos^{1/2} x (-\sin x) \, dx$,जिसका अर्थ है कि $\sin x \sqrt{\cos x} \, dx = -\frac{2}{3} du$.
साथ ही,$u^2 = \cos^3 x$.
इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \sqrt{\frac{1}{1 - u^2}} \left(-\frac{2}{3} du\right) = -\frac{2}{3} \int \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \, du$.
इसका मान $-\frac{2}{3} \sin^{-1}(u) + C$ होता है।
चूँकि $\sin^{-1}(u) + \cos^{-1}(u) = \frac{\pi}{2}$,इसलिए $-\frac{2}{3} (\frac{\pi}{2} - \cos^{-1}(u)) = \frac{2}{3} \cos^{-1}(u) - \frac{\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अचर $-\frac{\pi}{3}$ को $C$ में समाहित करने पर,उत्तर $\frac{2}{3} \cos^{-1}(\cos^{3/2} x) + C$ प्राप्त होता है।

(A) माना $I = \int e^{\sin x} \sin 2x \, dx$.
सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करने पर:
$I = \int e^{\sin x} (2 \sin x \cos x) \, dx$.
माना $t = \sin x$,तब $dt = \cos x \, dx$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt$.
खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करने पर,$\int u \, dv = uv - \int v \, du$,जहाँ $u = t$ और $dv = e^t \, dt$:
$I = 2 [t e^t - \int e^t \, dt] = 2 [t e^t - e^t] + c$.
$I = 2 e^t (t - 1) + c$.
$t = \sin x$ वापस रखने पर:
$I = 2 e^{\sin x} (\sin x - 1) + c$.
अतः,सही विकल्प $A$ है.

(C) हम जानते हैं कि $x^5 + 1 = (x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)$.
अतः,समाकलन $\int \frac{(x+1)(x^4 - x^3 + x^2 - x + 1)}{x+1} \, dx = \int (x^4 - x^3 + x^2 - x + 1) \, dx$ हो जाता है।
प्रत्येक पद का समाकलन करने पर,हमें $\frac{x^5}{5} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x + c$ प्राप्त होता है।
इसे योग संकेतन में $\sum_{n=1}^5 (-1)^{n+1} \cdot \frac{x^n}{n} + c$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए विकल्पों से तुलना करने पर,सही विकल्प $C$ है।

(C) दिया गया वक्र $y^2 = 4x$ है और रेखा $x = 3$ है।
चूंकि वक्र $x$-अक्ष के परितः सममित है,इसलिए कुल क्षेत्रफल $A = 2 \times \int_{0}^{3} y \, dx$ द्वारा दिया जाता है।
$y^2 = 4x$ से,हमें $y = \sqrt{4x} = 2\sqrt{x}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 2 \int_{0}^{3} 2\sqrt{x} \, dx = 4 \int_{0}^{3} x^{1/2} \, dx$ है।
समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $A = 4 \left[ \frac{x^{3/2}}{3/2} \right]_{0}^{3} = 4 \times \frac{2}{3} \times [x^{3/2}]_{0}^{3}$।
$A = \frac{8}{3} \times (3)^{3/2} = \frac{8}{3} \times 3\sqrt{3} = 8\sqrt{3}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = e^{x-y}$ है।
हम इसे $\frac{dy}{dx} = e^x \cdot e^{-y}$ के रूप में लिख सकते हैं।
चरों को पृथक करने पर,हमें $e^y \, dy = e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $\int e^y \, dy = \int e^x \, dx$ प्राप्त होता है।
अतः,$e^y = e^x + C$ प्राप्त होता है,जहाँ $C$ समाकलन स्थिरांक है।

(B) समाकलन गुणक ज्ञात करने के लिए,हम सबसे पहले अवकल समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखते हैं।
दिए गए समीकरण $x \frac{dy}{dx} - y = x^2$ को $x$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x}y = x$.
यहाँ,$P(x) = -\frac{1}{x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P(x) dx}$ है।
$IF = e^{\int -\frac{1}{x} dx} = e^{-\ln|x|} = e^{\ln|x^{-1}|} = x^{-1} = \frac{1}{x}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) किसी वक्र पर किसी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई $|y \frac{dy}{dx}| = k$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
इसे $y \frac{dy}{dx} = \pm k$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर,$\int y \, dy = \pm \int k \, dx$ प्राप्त होता है।
इससे $\frac{y^2}{2} = \pm kx + C$ प्राप्त होता है।
यदि वक्र मूल बिंदु से होकर गुजरता है,तो $C = 0$,अतः $y^2 = \pm 2kx$ प्राप्त होता है।
यह समीकरण एक परवलय को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) शीर्षों $A$,$B$ और $C$ वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल $\text{Area} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए शीर्ष $A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ और $C(2, 3, 1)$ हैं।
सबसे पहले,सदिश $\vec{AB}$ और $\vec{AC}$ ज्ञात करें:
$\vec{AB} = (1-1)\hat{i} + (2-1)\hat{j} + (3-1)\hat{k} = 0\hat{i} + 1\hat{j} + 2\hat{k} = \hat{j} + 2\hat{k}$.
$\vec{AC} = (2-1)\hat{i} + (3-1)\hat{j} + (1-1)\hat{k} = 1\hat{i} + 2\hat{j} + 0\hat{k} = \hat{i} + 2\hat{j}$.
अब,सदिश गुणनफल $\vec{AB} \times \vec{AC}$ की गणना करें:
$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 0 \end{vmatrix} = \hat{i}(0 - 4) - \hat{j}(0 - 2) + \hat{k}(0 - 1) = -4\hat{i} + 2\hat{j} - 1\hat{k}$.
सदिश गुणनफल का परिमाण $|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{(-4)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{16 + 4 + 1} = \sqrt{21}$ है।
अतः,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \sqrt{21}$ वर्ग इकाई है।

(C) दिया गया है कि $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ इकाई सदिश हैं,इसलिए $|\vec{a}| = |\vec{b}| = |\vec{c}| = 1$ है।
हमें समीकरण $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = \vec{0}$ दिया गया है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) \cdot (\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}) = \vec{0} \cdot \vec{0}$ प्राप्त होता है।
डॉट गुणन का विस्तार करने पर,$|\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + |\vec{c}|^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
परिमाणों का मान रखने पर,$1^2 + 1^2 + 1^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ प्राप्त होता है।
यह $3 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = 0$ में सरल हो जाता है।
अतः,$2(\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a}) = -3$ है।
इस प्रकार,$\vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{b} \cdot \vec{c} + \vec{c} \cdot \vec{a} = -3/2$ है।

(C) उद्देश्य फलन $Z = 3x + 9y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 3(0) + 9(10) = 0 + 90 = 90$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 3(5) + 9(5) = 15 + 45 = 60$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 3(15) + 9(15) = 45 + 135 = 180$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 3(0) + 9(20) = 0 + 180 = 180$
इन मानों की तुलना करने पर,$Z$ का न्यूनतम मान बिंदु $(5, 5)$ पर $60$ प्राप्त होता है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(A) द्विपद वितरण $B(n, p)$ के लिए,प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 10$ और $p = \frac{1}{2}$ है,इसलिए $1-p = \frac{1}{2}$ होगा।
अतः,$P(X = k) = \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^k \left( \frac{1}{2} \right)^{10-k} = \binom{10}{k} \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
हमें $P(X \leq 2) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)$ ज्ञात करना है।
$P(X=0) = \binom{10}{0} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 1 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
$P(X=1) = \binom{10}{1} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 10 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
$P(X=2) = \binom{10}{2} \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = \frac{10 \times 9}{2} \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 45 \times \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
इन प्रायिकताओं को जोड़ने पर: $P(X \leq 2) = (1 + 10 + 45) \left( \frac{1}{2} \right)^{10} = 56 \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$।
इसकी तुलना $m \left( \frac{1}{2} \right)^{10}$ से करने पर,हमें $m = 56$ प्राप्त होता है।