GUJCET 2023 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(B) माना समुच्चय $A = \{\pi, \pi^2, \pi^3\}$ है।
$1$. स्वतुल्यता: $R$ के स्वतुल्य होने के लिए,प्रत्येक $a \in A$ के लिए $(a, a) \in R$ होना चाहिए। यहाँ,$(\pi, \pi) \in R$,$(\pi^2, \pi^2) \in R$,और $(\pi^3, \pi^3) \in R$ है। अतः,$R$ स्वतुल्य है।
$2$. सममितता: $R$ के सममित होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ है,तो $(b, a) \in R$ होना चाहिए। हमारे पास $(\pi, \pi^2) \in R$ है,लेकिन $(\pi^2, \pi) \notin R$ है। अतः,$R$ सममित नहीं है।
$3$. संक्रामकता: $R$ के संक्रामक होने के लिए,यदि $(a, b) \in R$ और $(b, c) \in R$ है,तो $(a, c) \in R$ होना चाहिए। हमारे पास $(\pi, \pi^2) \in R$ और $(\pi^2, \pi^3) \in R$ है। संक्रामकता के लिए,$(\pi, \pi^3)$ का $R$ में होना आवश्यक है। हालाँकि,$(\pi, \pi^3) \notin R$ है। अतः,$R$ संक्रामक नहीं है।
निष्कर्ष: $R$ स्वतुल्य है लेकिन न तो सममित है और न ही संक्रामक।

(B) दिया गया समीकरण: $\cos \left(\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x\right)=1$
दोनों पक्षों में $\cos ^{-1}$ लेने पर:
$\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2}+\sin ^{-1} x = \cos ^{-1}(1)$
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1}(1) = 0$ और $\cos ^{-1} \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{6}$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\pi}{6} + \sin ^{-1} x = 0$
$\sin ^{-1} x = -\frac{\pi}{6}$
$x = \sin \left(-\frac{\pi}{6}\right)$
चूंकि $\sin(-\theta) = -\sin(\theta)$,इसलिए:
$x = -\sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$
अतः,$x$ का मान $-\frac{1}{2}$ है।

(C) हम जानते हैं कि $\sec^{-1}(2) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\sec(\frac{\pi}{3}) = 2$ है।
हम जानते हैं कि $\cot^{-1}(\sqrt{3}) = \frac{\pi}{6}$ क्योंकि $\cot(\frac{\pi}{6}) = \sqrt{3}$ है।
हम जानते हैं कि $\operatorname{cosec}^{-1}(\frac{2}{\sqrt{3}}) = \frac{\pi}{3}$ क्योंकि $\operatorname{cosec}(\frac{\pi}{3}) = \frac{2}{\sqrt{3}}$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\cos(\frac{\pi}{3}) + \tan(\frac{\pi}{6}) + \sin(\frac{\pi}{3}) = \frac{1}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{3}}{2}$।
पदों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1+\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}(1+\sqrt{3}) + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3} + 3 + 2}{2\sqrt{3}} = \frac{5+\sqrt{3}}{2\sqrt{3}}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) हमें योग $S = \sum_{i=1}^3 \cot ^{-1} i = \cot ^{-1} 1 + \cot ^{-1} 2 + \cot ^{-1} 3$ का मूल्यांकन करना है।
$x > 0$ के लिए सर्वसमिका $\cot ^{-1} x = \tan ^{-1} \frac{1}{x}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $S = \tan ^{-1} 1 + \tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3}$ है।
चूंकि $\tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$,हम $\tan ^{-1} \frac{1}{2} + \tan ^{-1} \frac{1}{3} = \tan ^{-1} \left( \frac{1/2 + 1/3}{1 - (1/2)(1/3)} \right) = \tan ^{-1} \left( \frac{5/6}{5/6} \right) = \tan ^{-1} 1 = \frac{\pi}{4}$ की गणना करते हैं।
अतः,$S = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$.
अब,हम इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: $\cos ^{-1} \{ \cot (S) \} = \cos ^{-1} \{ \cot (\frac{\pi}{2}) \}$.
चूंकि $\cot (\frac{\pi}{2}) = 0$,व्यंजक $\cos ^{-1} (0)$ हो जाता है।
हम जानते हैं कि $\cos ^{-1} (0) = \frac{\pi}{2}$.
इसलिए,सही विकल्प $D$ है।

(A) दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
हमें $A^2 = A \times A$ की गणना करनी है।
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -5 \\ 0 & -5 & 0 \\ -5 & 0 & 0 \end{bmatrix}$.
आव्यूह गुणन करने पर:
पंक्ति $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-5)(-5) = 25$,$(0)(0) + (0)(-5) + (-5)(0) = 0$,$(0)(-5) + (0)(0) + (-5)(0) = 0$.
पंक्ति $2$: $(0)(0) + (-5)(0) + (0)(-5) = 0$,$(0)(0) + (-5)(-5) + (0)(0) = 25$,$(0)(-5) + (-5)(0) + (0)(0) = 0$.
पंक्ति $3$: $(-5)(0) + (0)(0) + (0)(-5) = 0$,$(-5)(0) + (0)(-5) + (0)(0) = 0$,$(-5)(-5) + (0)(0) + (0)(0) = 25$.
अतः,$A^2 = \begin{bmatrix} 25 & 0 & 0 \\ 0 & 25 & 0 \\ 0 & 0 & 25 \end{bmatrix} = 25 \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = 25 I$.
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया है $A = [2]$ और $B = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
सबसे पहले,गुणनफल $BA$ की गणना करें:
$BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [2] = \begin{bmatrix} 3 \times 2 \\ 4 \times 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ 8 \end{bmatrix}$.
अब,परिवर्त आव्यूह $(BA)'$ ज्ञात करें:
$(BA)' = \begin{bmatrix} 6 & 8 \end{bmatrix}$.
नोट: दिए गए विकल्पों के आधार पर,मूल प्रश्न में आव्यूह $A$ में त्रुटि प्रतीत होती है। यदि $A = [1 \quad 2]$ माना जाए,तो $BA = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} [1 \quad 2] = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 4 & 8 \end{bmatrix}$.
अतः $(BA)' = \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 6 & 8 \end{bmatrix}$,जो विकल्प $D$ से मेल खाता है।

(D) $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ शीर्षों वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल इस सूत्र द्वारा दिया जाता है:
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
दिए गए शीर्ष $A(k, 1)$,$B(2, 4)$ और $C(1, 1)$ हैं और क्षेत्रफल $6$ वर्ग इकाई है।
मान रखने पर:
$6 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$.
$12 = |3k + 0 - 3|$.
$12 = |3k - 3|$.
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $3k - 3 = 12 \implies 3k = 15 \implies k = 5$.
स्थिति $2$: $3k - 3 = -12 \implies 3k = -9 \implies k = -3$.
अतः,$k$ के मान $5$ और $-3$ हैं।

(C) दिया गया सारणिक $D = \sin \frac{11 \pi}{36} \cos \frac{2 \pi}{9} - \cos \frac{11 \pi}{36} \sin \frac{2 \pi}{9}$ है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$ का उपयोग करते हुए,$A = \frac{11 \pi}{36}$ और $B = \frac{2 \pi}{9}$ रखें।
सबसे पहले,$B$ को समान हर में बदलें: $B = \frac{2 \pi}{9} = \frac{8 \pi}{36}$।
अब,$D = \sin \left( \frac{11 \pi}{36} - \frac{8 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{3 \pi}{36} \right) = \sin \left( \frac{\pi}{12} \right)$।
चूंकि $\sin \theta = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)$,इसलिए $\sin \left( \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{12} \right) = \cos \left( \frac{6 \pi - \pi}{12} \right) = \cos \frac{5 \pi}{12}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $y = \sqrt{\sin^{-1} x + y}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें प्राप्त होता है: $y^2 = \sin^{-1} x + y$
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d}{dx}(y^2) = \frac{d}{dx}(\sin^{-1} x + y)$
$2y \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx}$ को अलग करने के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2y \frac{dy}{dx} - \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
$(2y - 1) \frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$
अतः,$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{(2y - 1) \sqrt{1 - x^2}}$
इस प्रकार,सही विकल्प $B$ है।

(A) दिया गया है $x = a \cos \theta$ और $y = a \sin \theta$।
सबसे पहले,$\frac{dx}{d\theta} = -a \sin \theta$ और $\frac{dy}{d\theta} = a \cos \theta$ ज्ञात करें।
तब,$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a \cos \theta}{-a \sin \theta} = -\cot \theta$।
अब,$\frac{dy}{dx}$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{d^2 y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(-\cot \theta) = \frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) \cdot \frac{d\theta}{dx}$।
चूंकि $\frac{d}{d\theta}(-\cot \theta) = \operatorname{cosec}^2 \theta$ और $\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta} = \frac{1}{-a \sin \theta}$।
अतः,$\frac{d^2 y}{dx^2} = \operatorname{cosec}^2 \theta \cdot \left( -\frac{1}{a \sin \theta} \right) = -\frac{1}{a} \operatorname{cosec}^3 \theta$।

(C) माना $f(x) = x^x + x^{x+1} + x^{x+2}$ है।
हम जानते हैं कि $\frac{d}{dx}(x^x) = x^x(1 + \ln x)$ होता है।
$x^{x+1}$ के लिए,माना $y = x^{x+1}$,तो $\ln y = (x+1)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+1}{x} = \ln x + 1 + \frac{1}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+1}) = x^{x+1}(\ln x + 1 + \frac{1}{x})$।
$x^{x+2}$ के लिए,माना $y = x^{x+2}$,तो $\ln y = (x+2)\ln x$। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \ln x + \frac{x+2}{x} = \ln x + 1 + \frac{2}{x}$। अतः,$\frac{d}{dx}(x^{x+2}) = x^{x+2}(\ln x + 1 + \frac{2}{x})$।
अब,$x=e$ पर मान ज्ञात करने पर:
$\frac{d}{dx}(x^x)|_{x=e} = e^e(1 + \ln e) = e^e(1+1) = 2e^e$।
$\frac{d}{dx}(x^{x+1})|_{x=e} = e^{e+1}(\ln e + 1 + \frac{1}{e}) = e^{e+1}(2 + \frac{1}{e}) = 2e^{e+1} + e^e = e^e(2e+1)$।
$\frac{d}{dx}(x^{x+2})|_{x=e} = e^{e+2}(\ln e + 1 + \frac{2}{e}) = e^{e+2}(2 + \frac{2}{e}) = 2e^{e+2} + 2e^{e+1} = e^e(2e^2+2e)$।
इनका योग करने पर: $e^e(2 + 2e + 1 + 2e^2 + 2e) = e^e(2e^2 + 4e + 3)$।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि अंतराल $I = \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ में कौन सा फलन ह्रासमान है,हम प्रत्येक फलन का अवकलज (derivative) ज्ञात करते हैं:
$A) f(x) = \tan 4x \implies f'(x) = 4 \sec^2 4x$. चूँकि $x \in I$ के लिए $\sec^2 4x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान (increasing) है।
$B) f(x) = \sin x \implies f'(x) = \cos x$. चूँकि $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ के लिए $\cos x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान है।
$C) f(x) = \cos 4x \implies f'(x) = -4 \sin 4x$. $x \in \left(0, \frac{\pi}{8}\right)$ के लिए,$4x \in (0, \frac{\pi}{2})$ होता है। इस अंतराल में,$\sin 4x > 0$ है,इसलिए $f'(x) = -4 \sin 4x < 0$ होता है। अतः,फलन ह्रासमान है।
$D) f(x) = -\cos x \implies f'(x) = \sin x$. चूँकि $x \in I$ के लिए $\sin x > 0$ है,इसलिए $f'(x) > 0$,अतः फलन वर्धमान है।
इसलिए,सही विकल्प $C$ है।

(D) माना गोले की त्रिज्या $r$ है और उसका व्यास $D = 2r$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
हमें व्यास के सापेक्ष आयतन के परिवर्तन की दर ज्ञात करनी है,जो $\frac{dV}{dD}$ है।
चूंकि $D = 2r$,इसलिए $r = \frac{D}{2}$ है।
आयतन के सूत्र में $r$ का मान रखने पर: $V = \frac{4}{3} \pi (\frac{D}{2})^3 = \frac{4}{3} \pi (\frac{D^3}{8}) = \frac{1}{6} \pi D^3$.
अब,$V$ का $D$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $\frac{dV}{dD} = \frac{d}{dD} (\frac{1}{6} \pi D^3) = \frac{1}{6} \pi (3D^2) = \frac{1}{2} \pi D^2$.
$D = 2r$ का मान वापस रखने पर: $\frac{dV}{dD} = \frac{1}{2} \pi (2r)^2 = \frac{1}{2} \pi (4r^2) = 2 \pi r^2$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) हमारे पास समाकलन $I = \int_0^1 (0.001)^{\frac{x}{3}} e^x \, dx$ है।
सबसे पहले,$(0.001)^{\frac{x}{3}}$ पद को सरल करें।
चूंकि $0.001 = 10^{-3}$,हमें $(10^{-3})^{\frac{x}{3}} = 10^{-x} = \frac{1}{10^x}$ प्राप्त होता है।
अतः,समाकलन $I = \int_0^1 \frac{e^x}{10^x} \, dx = \int_0^1 \left(\frac{e}{10}\right)^x \, dx$ बन जाता है।
सूत्र $\int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln a} + C$ का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$I = \left[ \frac{(\frac{e}{10})^x}{\ln(\frac{e}{10})} \right]_0^1 = \frac{\frac{e}{10} - 1}{\ln e - \ln 10} = \frac{\frac{e-10}{10}}{1 - \ln 10}$.
इसलिए,$I = \frac{e-10}{10(1-\ln 10)}$।
यह विकल्प $C$ से मेल खाता है।

(B) माना $I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4 x} dx$.
गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a+b = \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{2}$,हमें प्राप्त होता है:
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\tan^4(\frac{\pi}{2}-x)} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1}{1+\cot^4 x} dx$.
$I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\tan^4 x}{1+\tan^4 x} dx$.
$I$ के लिए दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:
$2I = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} \frac{1+\tan^4 x}{1+\tan^4 x} dx = \int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} 1 dx$.
$2I = [x]_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$I = \frac{\pi}{12}$.

(A) समाकलन $\int x^{2019} \cdot e^{x^{2020}} \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए $u = x^{2020}$ है।
अब,दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{du}{dx} = 2020 x^{2019}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $du = 2020 x^{2019} \, dx$,या $x^{2019} \, dx = \frac{1}{2020} \, du$ है।
इन मानों को मूल समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर:
$\int e^u \cdot \frac{1}{2020} \, du = \frac{1}{2020} \int e^u \, du$ प्राप्त होता है।
$e^u$ का समाकलन $e^u$ होता है,इसलिए हमें $\frac{1}{2020} e^u + C$ प्राप्त होता है।
अंत में,$u = x^{2020}$ वापस रखने पर,हमें $\frac{1}{2020} e^{x^{2020}} + C$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना $I = \int \frac{\tan x}{\cos x(\sec x-1)(\sec x-2)} dx$.
चूँकि $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ और $\frac{1}{\cos x} = \sec x$,समाकलन इस प्रकार हो जाता है:
$I = \int \frac{\sec x \tan x}{(\sec x-1)(\sec x-2)} dx$.
माना $u = \sec x$,तो $du = \sec x \tan x dx$.
समाकलन इस प्रकार परिवर्तित होता है:
$I = \int \frac{1}{(u-1)(u-2)} du$.
आंशिक भिन्न का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{(u-1)(u-2)} = \frac{A}{u-1} + \frac{B}{u-2}$.
$1 = A(u-2) + B(u-1)$.
$u=1$ के लिए,$A = -1$. $u=2$ के लिए,$B = 1$.
अतः,$I = \int \left( \frac{1}{u-2} - \frac{1}{u-1} \right) du$.
$I = \log |u-2| - \log |u-1| + c = \log \left| \frac{u-2}{u-1} \right| + c$.
$u = \sec x$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = \log \left| \frac{\sec x - 2}{\sec x - 1} \right| + c$.

(B) माना $I = \int \left\{ \cos^{-1} x - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\} k \, dx$.
दिया गया है कि $\int \left\{ \cos^{-1} x - \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \right\} k \, dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
माना $f(x) = \cos^{-1} x$. तब $f'(x) = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$.
समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $\int k \left\{ f(x) + f'(x) \right\} dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$.
हम जानते हैं कि $\int e^x \{ f(x) + f'(x) \} dx = e^x f(x) + c$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण $\int k \{ f(x) + f'(x) \} dx = k \cdot f(x) + c$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $k$ को $x$ का ऐसा फलन होना चाहिए कि $k = e^x$ हो।
अतः,$k = e^x$।

(C) क्षेत्रफल $A$,$x = 2$ से $x = 5$ तक $|y|$ का $x$ के सापेक्ष समाकलन है।
$A = \int_{2}^{5} |3 - x| \, dx$.
चूंकि रेखा $y = 3 - x$,$x = 3$ पर $X$-अक्ष को काटती है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{2}^{3} (3 - x) \, dx + \int_{3}^{5} -(3 - x) \, dx$.
$A = \left[ 3x - \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{3} + \left[ \frac{x^2}{2} - 3x \right]_{3}^{5}$.
$A = \left( (9 - 4.5) - (6 - 2) \right) + \left( (12.5 - 15) - (4.5 - 9) \right)$.
$A = (4.5 - 4) + (-2.5 + 4.5) = 0.5 + 2 = 2.5 = \frac{5}{2}$ वर्ग इकाई।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) दीर्घवृत्त का दिया गया समीकरण $9x^2 + 4y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/2)^2} = 1$ में लिखा जा सकता है।
यहाँ,$a = \frac{1}{3}$ और $b = \frac{1}{2}$ है।
संपूर्ण दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल $A = \pi ab$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A = \pi \times \frac{1}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{\pi}{6}$।
चूँकि दीर्घवृत्त दोनों अक्षों के सापेक्ष सममित है,इसलिए प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल कुल क्षेत्रफल का एक-चौथाई होता है।
प्रथम चतुर्थांश में क्षेत्रफल $= \frac{1}{4} \times \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{24}$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} = -4xy^2$ है।
चरों को अलग करने पर,हमें $\frac{dy}{y^2} = -4x \, dx$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,$\int y^{-2} \, dy = \int -4x \, dx$।
इससे $-\frac{1}{y} = -2x^2 + C$ प्राप्त होता है,या $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$।
प्रारंभिक स्थिति $x = 0, y = 1$ का उपयोग करने पर:
$\frac{1}{1} = 2(0)^2 - C \implies 1 = -C \implies C = -1$।
$C = -1$ को समीकरण $\frac{1}{y} = 2x^2 - C$ में रखने पर,हमें $\frac{1}{y} = 2x^2 + 1$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{1}{2x^2 + 1}$।

(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप में है,जहाँ $P = \tan x$ और $Q = \sec x$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $IF = e^{\int P dx}$ होता है।
$P = \tan x$ रखने पर,हमें $IF = e^{\int \tan x dx}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\int \tan x dx = \ln|\sec x|$,इसलिए $IF = e^{\ln|\sec x|}$ होगा।
$e^{\ln f(x)} = f(x)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$IF = \sec x$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) दिया गया अवकल समीकरण: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}$ है।
भिन्नात्मक घातों को हटाने के लिए,दोनों पक्षों की घात $12$ (जो $4$ और $3$ का लघुत्तम समापवर्त्य है) करने पर:
$\left(\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{5/4}\right)^{12} = \left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{4/3}\right)^{12}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर: $\left(\frac{d^3 y}{d x^3}\right)^{15} = \left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{16}$ मिलता है।
उच्चतम कोटि का अवकलज $\frac{d^3 y}{d x^3}$ है,इसलिए कोटि $3$ है।
समीकरण को करणी और भिन्नों से मुक्त करने के बाद उच्चतम कोटि के अवकलज की घात $15$ है,इसलिए घात $15$ है।
अतः,कोटि $3$ और घात $15$ है।

(A) हमें दिया गया है कि $|\vec{a}|=3$,$|\vec{b}|=\frac{\sqrt{2}}{3}$,और $\vec{a} \times \vec{b}$ एक इकाई सदिश है,जिसका अर्थ है कि $|\vec{a} \times \vec{b}|=1$ है।
हम सदिश गुणनफल के परिमाण का सूत्र जानते हैं: $|\vec{a} \times \vec{b}| = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin \theta$,जहाँ $\theta$ सदिशों $\vec{a}$ और $\vec{b}$ के बीच का कोण है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $1 = 3 \times \frac{\sqrt{2}}{3} \times \sin \theta$।
इसे सरल करने पर $1 = \sqrt{2} \sin \theta$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
चूँकि $\sin \theta = \frac{1}{\sqrt{2}}$ है,इसलिए कोण $\theta = \frac{\pi}{4}$ होगा।

(C) दिए गए सदिश $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ और $\vec{b} = \hat{i} + 2\hat{j} + 3\hat{k}$ हैं।
हम जानते हैं कि $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = |\vec{a}|^2 - |\vec{b}|^2$ होता है।
सबसे पहले,$\vec{a}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$|\vec{a}|^2 = 1^2 + 1^2 + 1^2 = 1 + 1 + 1 = 3$.
इसके बाद,$\vec{b}$ के परिमाण का वर्ग ज्ञात करें:
$|\vec{b}|^2 = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 1 + 4 + 9 = 14$.
अब,इन मानों को सूत्र में रखें:
$(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = 3 - 14 = -11$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) माना $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$.
तब,$\vec{a} \times \hat{i} = (a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}) \times \hat{i} = -a_2\hat{k} + a_3\hat{j}$.
अतः,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 = a_2^2 + a_3^2$.
इसी प्रकार,$|\vec{a} \times \hat{j}|^2 = a_1^2 + a_3^2$ और $|\vec{a} \times \hat{k}|^2 = a_1^2 + a_2^2$.
इनका योग करने पर,$|\vec{a} \times \hat{i}|^2 + |\vec{a} \times \hat{j}|^2 + |\vec{a} \times \hat{k}|^2 = (a_2^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_3^2) + (a_1^2 + a_2^2) = 2(a_1^2 + a_2^2 + a_3^2)$.
चूँकि $|\vec{a}|^2 = a_1^2 + a_2^2 + a_3^2$,इसलिए यह व्यंजक $2|\vec{a}|^2$ के बराबर है।

(B) एक बिंदु $(x_1, y_1, z_1)$ से गुजरने वाली और सदिश $a \hat{i} + b \hat{j} + c \hat{k}$ के समानांतर रेखा का कार्तीय समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{x - x_1}{a} = \frac{y - y_1}{b} = \frac{z - z_1}{c}$
यहाँ,बिंदु $(x_1, y_1, z_1) = (5, -2, 4)$ है और दिशा सदिश $3 \hat{i} + 2 \hat{j} - 8 \hat{k}$ है,इसलिए $(a, b, c) = (3, 2, -8)$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y - (-2)}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
इसे सरल करने पर:
$\frac{x - 5}{3} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 4}{-8}$
अतः,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(D) दिए गए प्रतिबंध इस प्रकार हैं:
$1) x + y \geq 8$
$2) x + y \leq 5$
$3) x \geq 0, y \geq 0$
प्रथम दो असमिकाओं का अवलोकन करें: $x + y \geq 8$ और $x + y \leq 5$।
ये दो असमिकाएं ऐसे क्षेत्रों को दर्शाती हैं जो एक-दूसरे को प्रतिच्छेद नहीं करते हैं।
यदि $x + y$ का मान $8$ या उससे अधिक है,तो यह एक साथ $5$ या उससे कम नहीं हो सकता है।
इसलिए,ऐसे कोई बिंदु $(x, y)$ नहीं हैं जो सभी दिए गए प्रतिबंधों को एक साथ संतुष्ट करते हों।
चूंकि कोई उभयनिष्ठ क्षेत्र नहीं है,इसलिए सुसंगत क्षेत्र रिक्त है।
अतः,उद्देश्य फलन का न्यूनतमीकरण नहीं किया जा सकता क्योंकि कोई सुसंगत हल मौजूद नहीं है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 10x + 20y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. $(0, 10)$ पर: $Z = 10(0) + 20(10) = 0 + 200 = 200$
$2$. $(5, 5)$ पर: $Z = 10(5) + 20(5) = 50 + 100 = 150$
$3$. $(15, 15)$ पर: $Z = 10(15) + 20(15) = 150 + 300 = 450$
$4$. $(0, 20)$ पर: $Z = 10(0) + 20(20) = 0 + 400 = 400$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान बिंदु $(15, 15)$ पर $450$ प्राप्त होता है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(B) एक निष्पक्ष सिक्के के लिए,एक बार उछालने पर चित आने की प्रायिकता $p = \frac{1}{2}$ है और पट आने की प्रायिकता $q = 1 - p = \frac{1}{2}$ है।
चूंकि सिक्के को $n = 5$ बार उछाला जाता है,हम द्विपद वितरण सूत्र का उपयोग करते हैं: $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$.
हमें ठीक $k = 3$ चित प्राप्त करने की प्रायिकता ज्ञात करनी है।
मान रखने पर: $P(X = 3) = \binom{5}{3} (\frac{1}{2})^3 (\frac{1}{2})^{5-3}$.
द्विपद गुणांक की गणना करने पर: $\binom{5}{3} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
अतः,$P(X = 3) = 10 \times (\frac{1}{2})^3 \times (\frac{1}{2})^2 = 10 \times (\frac{1}{2})^5$.
$P(X = 3) = 10 \times \frac{1}{32} = \frac{10}{32} = \frac{5}{16}$.
इसलिए,सही विकल्प $B$ है।