GUJCET 2024 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) જ્યારે પાસાની એક જોડી ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે શક્ય પરિણામોની કુલ સંખ્યા $6 \times 6 = 36$ છે.
બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા એવી સંખ્યા છે જે બેકી અને અવિભાજ્ય બંને હોય. એકમાત્ર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા $2$ છે.
દરેક પાસા માટે,$2$ નંબર મેળવવાની સંભાવના $\frac{1}{6}$ છે.
બે પાસાઓ સ્વતંત્ર રીતે ફેંકવામાં આવતા હોવાથી,દરેક પાસા પર બેકી અવિભાજ્ય સંખ્યા મેળવવાની સંભાવના તેમની વ્યક્તિગત સંભાવનાઓનો ગુણાકાર છે:
$P = \frac{1}{6} \times \frac{1}{6} = \frac{1}{36}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના ગણ $\mathbb{Z}$ પર $f(x) = x^3 + 2$ એક-એક અને વ્યાપ્ત છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે:
$1$. એક-એક ચકાસણી: ધારો કે $f(x_1) = f(x_2)$. તો $x_1^3 + 2 = x_2^3 + 2$,જેનો અર્થ થાય છે $x_1^3 = x_2^3$. ઘન વિધેય વધતું વિધેય હોવાથી,$x_1 = x_2$ મળે. આમ,$f$ એક-એક છે.
$2$. વ્યાપ્ત ચકાસણી: $f$ વ્યાપ્ત હોય તે માટે,દરેક $y \in \mathbb{Z}$ માટે,એવો $x \in \mathbb{Z}$ મળવો જોઈએ કે જેથી $y = x^3 + 2$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે $x^3 = y - 2$,અથવા $x = \sqrt[3]{y - 2}$. $x$ પૂર્ણાંક હોય તે માટે,$y - 2$ એ પૂર્ણઘન હોવું જોઈએ. ઉદાહરણ તરીકે,જો $y = 3$ હોય,તો $x^3 = 3 - 2 = 1$,તેથી $x = 1 \in \mathbb{Z}$. જોકે,જો $y = 0$ હોય,તો $x^3 = 0 - 2 = -2$. $-2$ એ કોઈ પણ પૂર્ણાંકનો પૂર્ણઘન નથી,તેથી એવો કોઈ $x \in \mathbb{Z}$ નથી કે જેથી $f(x) = 0$ થાય. તેથી,$f$ વ્યાપ્ત નથી.
નિષ્કર્ષ: $f$ એક-એક છે પણ વ્યાપ્ત નથી.

(B) ગણ $A = \{a, b, c\}$ પરના સંબંધ $R$ ના ગુણધર્મો નક્કી કરવા માટે:
$1$. સ્વવાચકતા: સંબંધ સ્વવાચક હોવા માટે,દરેક $x \in A$ માટે $(x, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, a), (b, b), (c, c) \in R$ છે,તેથી $R$ સ્વવાચક છે.
$2$. સંમિતતા: સંબંધ સંમિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ હોય,તો $(y, x) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીં,$(a, c) \in R$ છે પરંતુ $(c, a) \notin R$ છે. તેથી,$R$ સંમિત નથી.
$3$. પરંપરિતતા: સંબંધ પરંપરિત હોવા માટે,જો $(x, y) \in R$ અને $(y, z) \in R$ હોય,તો $(x, z) \in R$ હોવું જોઈએ. અહીંની જોડીઓ $(a, a), (b, b), (c, c), (a, c)$ છે. $(a, c) \in R$ અને $(c, c) \in R$ તપાસતા,આપણને $(a, c) \in R$ મળે છે. પરંપરિતતાની તમામ શરતો સંતોષાય છે. આમ,$R$ પરંપરિત છે.
નિષ્કર્ષ: આ સંબંધ સ્વવાચક અને પરંપરિત છે પરંતુ સંમિત નથી. સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin ^{-1} x$ ની મુખ્ય કિંમતની શાખાનો વિસ્તાર $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ છે.
આપેલ પદ $\sin ^{-1}(\sin \frac{23 \pi}{6})$ છે.
સૌ પ્રથમ,ખૂણા $\frac{23 \pi}{6}$ ને સરળ બનાવો:
$\frac{23 \pi}{6} = \frac{24 \pi - \pi}{6} = 4 \pi - \frac{\pi}{6}$.
કારણ કે $\sin(4 \pi - \theta) = -\sin \theta$,તેથી:
$\sin(\frac{23 \pi}{6}) = \sin(4 \pi - \frac{\pi}{6}) = -\sin(\frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6})$.
હવે,$\sin ^{-1}(\sin(-\frac{\pi}{6})) = -\frac{\pi}{6}$,જે અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માં આવે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપણે પ્રતિ-ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની મુખ્ય કિંમતની શાખાઓ જાણીએ છીએ:
$1$. $\tan ^{-1}(-x) = -\tan ^{-1}(x)$,તેથી $\tan ^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{4}$.
$2$. $\sec ^{-1}(-x) = \pi - \sec ^{-1}(x)$,તેથી $\sec ^{-1}(-2) = \pi - \sec ^{-1}(2) = \pi - \frac{\pi}{3} = \frac{2\pi}{3}$.
$3$. $\sin ^{-1}(\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{\pi}{4}$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$-\frac{\pi}{4} + \frac{2\pi}{3} + \frac{\pi}{4} = \frac{2\pi}{3}$.

(C) વિધેય $y = \tan^{-1} x$ એ પ્રતિ-ટેન્જેન્ટ વિધેય દર્શાવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રતિ-ટેન્જેન્ટ વિધેયની મુખ્ય કિંમતની શાખા $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
તેથી,કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $x$ માટે,$y = \tan^{-1} x$ નો વિસ્તાર $-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે $A^2 = A$ (idempotent શ્રેણિક).
આપણે $(I + A)^2 - 3A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $(I + A)^2 = I^2 + IA + AI + A^2 = I + A + A + A^2 = I + 2A + A^2$.
કારણ કે $A^2 = A$,આપણે તેને પદમાં મૂકીએ: $I + 2A + A = I + 3A$.
હવે,$3A$ બાદ કરતા: $(I + 3A) - 3A = I$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) આપેલ શ્રેણિક $A = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$ છે.
પ્રથમ,આપણે $A^2 = A \times A$ ની ગણતરી કરીએ:
$A^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \\ -1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
શ્રેણિક ગુણાકાર કરતા:
હાર $1$: $(0)(0) + (0)(0) + (-1)(-1) = 1$,$(0)(0) + (0)(-1) + (-1)(0) = 0$,$(0)(-1) + (0)(0) + (-1)(0) = 0$
હાર $2$: $(0)(0) + (-1)(0) + (0)(-1) = 0$,$(0)(0) + (-1)(-1) + (0)(0) = 1$,$(0)(-1) + (-1)(0) + (0)(0) = 0$
હાર $3$: $(-1)(0) + (0)(0) + (0)(-1) = 0$,$(-1)(0) + (0)(-1) + (0)(0) = 0$,$(-1)(-1) + (0)(0) + (0)(0) = 1$
આમ,$A^2 = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} = I$.
હવે,આપણે $I + A^2 = I + I = 2I$ ની ગણતરી કરીએ.

(A) આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} \sin \alpha & -\cos \alpha \\ \cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
તેથી,પરિવર્તિત શ્રેણિક $A^{\prime} = \begin{bmatrix} \sin \alpha & \cos \alpha \\ -\cos \alpha & \sin \alpha \end{bmatrix}$.
શરત $A+A^{\prime} = I$ મુજબ,જ્યાં $I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$.
$A$ અને $A^{\prime}$ નો સરવાળો કરતા:
$A+A^{\prime} = \begin{bmatrix} 2\sin \alpha & 0 \\ 0 & 2\sin \alpha \end{bmatrix}$.
આને એકમ શ્રેણિક $I$ સાથે સરખાવતા:
$2\sin \alpha = 1$,તેથી $\sin \alpha = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$,તેથી $\cos^2 \alpha = 1 - (\frac{1}{2})^2 = \frac{3}{4}$.
આમ,$\cos \alpha = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.

(D) શ્રેણિક $A$ નો વ્યસ્ત શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ તેનો નિશ્ચાયક $|A|$ શોધીએ છીએ.
આપેલ છે કે $A = \begin{bmatrix} 2 & -4 \\ -3 & 6 \end{bmatrix}$.
$|A| = (2 \times 6) - (-4 \times -3) = 12 - 12 = 0$.
શ્રેણિક $A$ નો નિશ્ચાયક $0$ હોવાથી,તે અસામાન્ય (singular) શ્રેણિક છે.
અસામાન્ય શ્રેણિકનો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી.
તેથી,$A^{-1}$ નું અસ્તિત્વ નથી.

(B) ધારો કે આપેલ નિશ્ચાયકો $D_1$ અને $D_2$ છે.
$D_1 = \left|\begin{array}{ll}2017 & 2018 \\ 2019 & 2020\end{array}\right| = (2017 \times 2020) - (2018 \times 2019)$.
ગુણધર્મ $a(a+3) - (a+1)(a+2) = a^2 + 3a - (a^2 + 3a + 2) = -2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $D_1 = -2$ મળે છે.
તે જ રીતે,$D_2 = \left|\begin{array}{ll}2021 & 2022 \\ 2023 & 2024\end{array}\right| = (2021 \times 2024) - (2022 \times 2023)$.
તે જ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$D_2 = -2$ મળે છે.
આપેલ છે કે $D_1 + D_2 = 2k$,તેથી $-2 + (-2) = 2k$.
$-4 = 2k \implies k = -2$.
તેથી,$k^3 = (-2)^3 = -8$.

(C) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ અને $(x_3, y_3)$ હોય ત્યારે ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર:
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
અહીં $P(k, 1)$,$Q(2, 4)$ અને $R(1, 1)$ આપેલ છે અને ક્ષેત્રફળ $3$ ચોરસ એકમ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$3 = \frac{1}{2} |k(4 - 1) + 2(1 - 1) + 1(1 - 4)|$
$6 = |3k + 0 - 3|$
$6 = |3k - 3|$
આના બે કિસ્સાઓ મળે:
કિસ્સો $1$: $3k - 3 = 6 \implies 3k = 9 \implies k = 3$.
કિસ્સો $2$: $3k - 3 = -6 \implies 3k = -3 \implies k = -1$.
આમ,$k = -1$ અથવા $k = 3$.

(C) આપેલ સમીકરણ $y = 7 \sin x + 5 \cos x$ છે.
પ્રથમ,$x$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન મેળવો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(7 \sin x + 5 \cos x) = 7 \cos x - 5 \sin x$.
ત્યારબાદ,$x$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન મેળવો:
$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}(7 \cos x - 5 \sin x) = -7 \sin x - 5 \cos x$.
પદમાંથી $-1$ સામાન્ય લેતા:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -(7 \sin x + 5 \cos x)$.
કારણ કે $y = 7 \sin x + 5 \cos x$,આપણે સમીકરણમાં $y$ ની કિંમત મૂકી શકીએ:
$\frac{d^2y}{dx^2} = -y$.
ગોઠવતા આપણને $\frac{d^2y}{dx^2} + y = 0$ મળે છે.
આને આપેલ સમીકરણ $\frac{d^2y}{dx^2} - my = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણને $-m = 1$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $m = -1$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $x = a(1 - \cos \theta)$ અને $y = a(\theta + \sin \theta)$.
પ્રથમ,$x$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dx}{d\theta} = a(0 - (-\sin \theta)) = a \sin \theta$.
ત્યારબાદ,$y$ નું $\theta$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{d\theta} = a(1 + \cos \theta)$.
હવે,ચેઈન રૂલનો ઉપયોગ કરીને $\frac{dy}{dx}$ શોધો:
$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{a(1 + \cos \theta)}{a \sin \theta} = \frac{1 + \cos \theta}{\sin \theta}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 + \cos \theta = 2 \cos^2 \frac{\theta}{2}$ અને $\sin \theta = 2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{2 \cos^2 \frac{\theta}{2}}{2 \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\theta}{2}} = \frac{\cos \frac{\theta}{2}}{\sin \frac{\theta}{2}} = \cot \frac{\theta}{2}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે $y = e^{x \log x} + e^3$.
કારણ કે $e^{x \log x} = e^{\log(x^x)} = x^x$,તેથી પદાવલિ $y = x^x + e^3$ બને છે.
હવે,$x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x^x) + \frac{d}{dx}(e^3)$.
$e^3$ એ અચળ હોવાથી,તેનું વિકલન $0$ થાય છે.
$x^x$ નું વિકલન કરવા માટે,$u = x^x$ લો. તેથી $\log u = x \log x$.
બંને બાજુ $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{1}{u} \frac{du}{dx} = 1 \cdot \log x + x \cdot \frac{1}{x} = \log x + 1$.
આમ,$\frac{du}{dx} = u(1 + \log x) = x^x(1 + \log x)$.
તેથી,$\frac{dy}{dx} = x^x(1 + \log x) + 0 = x^x(1 + \log x)$.

(C) આપેલ છે કે $f(x)$ એ $x=\frac{\pi}{2}$ આગળ સતત છે,તેથી $\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} f(x) = f(\frac{\pi}{2})$ થાય.
અહીં $f(\frac{\pi}{2}) = 2024$ આપેલ છે.
હવે,$\lim_{x \to \frac{\pi}{2}} \frac{2k \cos x}{\pi-2x} = 2024$.
ધારો કે $x = \frac{\pi}{2} + h$. જ્યારે $x \to \frac{\pi}{2}$,ત્યારે $h \to 0$.
$\lim_{h \to 0} \frac{2k \cos(\frac{\pi}{2} + h)}{\pi - 2(\frac{\pi}{2} + h)} = \lim_{h \to 0} \frac{2k(-\sin h)}{\pi - \pi - 2h} = \lim_{h \to 0} \frac{-2k \sin h}{-2h} = k \lim_{h \to 0} \frac{\sin h}{h} = k(1) = k$.
લક્ષ અને વિધેયની કિંમત સરખાવતા,આપણને $k = 2024$ મળે છે.

(D) અંતરાલ $[0, \pi]$ પર $f(x) = \sin x + \cos x$ ની નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે વિકલન શૂન્ય કરીને ક્રાંતિક બિંદુઓ શોધીએ.
$f'(x) = \cos x - \sin x$.
$f'(x) = 0$ લેતા,આપણને $\cos x = \sin x$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\tan x = 1$.
$x \in [0, \pi]$ માટે,ઉકેલ $x = \pi/4$ છે.
હવે,આપણે ક્રાંતિક બિંદુ અને અંતરાલના અંતિમ બિંદુઓ પર $f(x)$ ની કિંમત શોધીએ:
$1$. $x = 0$ પર: $f(0) = \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$.
$2$. $x = \pi/4$ પર: $f(\pi/4) = \sin(\pi/4) + \cos(\pi/4) = 1/\sqrt{2} + 1/\sqrt{2} = 2/\sqrt{2} = \sqrt{2}$.
$3$. $x = \pi$ પર: $f(\pi) = \sin(\pi) + \cos(\pi) = 0 - 1 = -1$.
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,નિરપેક્ષ મહત્તમ કિંમત $\sqrt{2}$ છે.

(D) વધતા અને ઘટતા અંતરાલો નક્કી કરવા માટે,આપણે $f(x) = \sin 3x$ નું વિકલન કરીએ.
$f'(x) = \frac{d}{dx}(\sin 3x) = 3 \cos 3x$.
વિધેય વધતું હોય તે માટે $f'(x) > 0$,તેથી $3 \cos 3x > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 3x > 0$.
અહીં $x \in [0, \frac{\pi}{2}]$ હોવાથી,$3x \in [0, \frac{3\pi}{2}]$.
$\cos 3x > 0$ જ્યારે $3x \in [0, \frac{\pi}{2})$,એટલે કે $x \in [0, \frac{\pi}{6})$.
વિધેય ઘટતું હોય તે માટે $f'(x) < 0$,તેથી $3 \cos 3x < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cos 3x < 0$.
$\cos 3x < 0$ જ્યારે $3x \in (\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2}]$,એટલે કે $x \in (\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$.
આમ,વિધેય $[0, \frac{\pi}{6})$ પર વધતું અને $(\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{2}]$ પર ઘટતું છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગોળાનું પૃષ્ઠફળ $A$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $A = 4 \pi r^2$.
ત્રિજ્યાની સાપેક્ષમાં ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર શોધવા માટે, આપણે $A$ નું $r$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$\frac{dA}{dr} = \frac{d}{dr}(4 \pi r^2) = 4 \pi (2r) = 8 \pi r$.
અહીં ત્રિજ્યા $r = 6 \text{ cm}$ આપેલ છે, તેથી આ કિંમત વિકલનમાં મૂકતા:
$\frac{dA}{dr} = 8 \pi (6) = 48 \pi$.
આમ, ક્ષેત્રફળમાં થતા ફેરફારનો દર $48 \pi \text{ cm}^2/\text{cm}$ છે.

(B) સંકલન $\int_0^1 x e^x \, dx$ ની ગણતરી કરવા માટે,આપણે ખંડશઃ સંકલનની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\int u \, dv = uv - \int v \, du$.
ધારો કે $u = x$ અને $dv = e^x \, dx$.
તેથી $du = dx$ અને $v = e^x$ મળે.
સૂત્ર લાગુ પાડતા:
$\int_0^1 x e^x \, dx = [x e^x]_0^1 - \int_0^1 e^x \, dx$
$= (1 \cdot e^1 - 0 \cdot e^0) - [e^x]_0^1$
$= (e - 0) - (e^1 - e^0)$
$= e - (e - 1)$
$= e - e + 1$
$= 1$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) ધારો કે $f(x) = x^5 - x^3 \cos x + \sin^3 x - 3$.
આપણે સંકલનને અલગ કરીએ:
$I = \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^5 \, dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} x^3 \cos x \, dx + \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^3 x \, dx - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \, dx$.
અહીં $x^5$,$x^3 \cos x$,અને $\sin^3 x$ એ અયુગ્મ વિધેયો છે,તેથી સંમિત અંતરાલ $[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ પર તેમનું સંકલન $0$ થાય છે.
તેથી,$I = 0 - 0 + 0 - \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} 3 \, dx$.
$I = -3 \times [x]_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} = -3 \times (\frac{\pi}{2} - (-\frac{\pi}{2})) = -3 \times \pi = -3\pi$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c$.
આપેલ સંકલન $I = \int e^x \left( \frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} \right) dx$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $1 + \sin x = 1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}$ અને $1 + \cos x = 2 \cos^2 \frac{x}{2}$.
આ કિંમતો પદમાં મૂકતા: $\frac{1 + \sin x}{1 + \cos x} = \frac{1 + 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} + \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{2 \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} + \tan \frac{x}{2}$.
ધારો કે $f(x) = \tan \frac{x}{2}$,તો $f'(x) = \sec^2 \frac{x}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}$.
આમ,સંકલન $\int e^x [f(x) + f'(x)] dx = e^x f(x) + c = e^x \tan \frac{x}{2} + c$ થાય છે.

(B) સંકલન $I = \int \frac{1}{\sqrt{4x-x^2}} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે વર્ગમૂળની અંદરની દ્વિઘાત પદાવલિ માટે પૂર્ણવર્ગની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
$4x - x^2 = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -( (x-2)^2 - 4 ) = 4 - (x-2)^2$.
આ કિંમત સંકલનમાં મૂકતા:
$I = \int \frac{1}{\sqrt{4 - (x-2)^2}} dx$.
પ્રમાણિત સંકલન સૂત્ર $\int \frac{1}{\sqrt{a^2 - u^2}} du = \sin^{-1}(\frac{u}{a}) + c$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 2$ અને $u = x-2$ છે:
$I = \sin^{-1}\left(\frac{x-2}{2}\right) + c$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સંકલન $I = \int \frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1} dx$ ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $e^x$ વડે ભાગીને પદાવલિને ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$I = \int \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}} dx$
ધારો કે $u = e^x + e^{-x}$. તો,તેનું વિકલન $du = (e^x - e^{-x}) dx$ થાય.
આ કિંમતો સંકલનમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$I = \int \frac{1}{u} du = \log|u| + C$
$u$ ની કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $I = \log|e^x + e^{-x}| + C$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે $e^x + e^{-x} = \frac{e^{2x}+1}{e^x}$ લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$I = \log|\frac{e^{2x}+1}{e^x}| + C = \log|e^{2x}+1| - \log|e^x| + C = \log(e^{2x}+1) - x + C$.
આ પરિણામને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ક્ષેત્રફળ $A$ એ આપેલ અંતરાલ પર વિધેયના માનાંકનું સંકલન છે:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\cos x| \, dx$.
કારણ કે $x \in [-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}]$ માટે $\cos x \geq 0$ છે,તેથી:
$A = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \cos x \, dx$.
સંકલનનું મૂલ્ય શોધતા:
$A = [\sin x]_{-\pi/2}^{\pi/2} = \sin(\frac{\pi}{2}) - \sin(-\frac{\pi}{2})$.
$A = 1 - (-1) = 1 + 1 = 2$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $2$ ચોરસ એકમ છે.

(B) પરવલયનું આપેલ સમીકરણ $x^2 = 4y$ છે,જેનો અર્થ છે કે $y = \frac{x^2}{4}$.
વક્ર $y = \frac{x^2}{4}$,$X$-અક્ષ અને રેખા $x = 3$ દ્વારા ઘેરાયેલા પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $x = 0$ થી $x = 3$ સુધી વિધેયનું $x$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરીશું.
ક્ષેત્રફળ $= \int_{0}^{3} y \, dx = \int_{0}^{3} \frac{x^2}{4} \, dx$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{3}$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \left( \frac{3^3}{3} - \frac{0^3}{3} \right) = \frac{1}{4} \left( \frac{27}{3} \right) = \frac{1}{4} \times 9 = \frac{9}{4}$ ચોરસ એકમ.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ઉપવલયનું આપેલ સમીકરણ $9x^2 + 16y^2 = 1$ છે.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ $\frac{x^2}{(1/3)^2} + \frac{y^2}{(1/4)^2} = 1$ માં ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,$a = \frac{1}{3}$ અને $b = \frac{1}{4}$ છે.
ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ નું કુલ ક્ષેત્રફળ $\pi ab$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ ચરણમાં ક્ષેત્રફળ એ કુલ ક્ષેત્રફળનો $\frac{1}{4}$ ભાગ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{4} \pi ab = \frac{1}{4} \pi \left(\frac{1}{3}\right) \left(\frac{1}{4}\right) = \frac{\pi}{48}$ ચોરસ એકમ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $(\tan ^{-1} y - x) dy = (1 + y^2) dx$
પદોને $\frac{dx}{dy} + P(y)x = Q(y)$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y - x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2} - \frac{x}{1 + y^2}$
$\frac{dx}{dy} + \frac{1}{1 + y^2} x = \frac{\tan ^{-1} y}{1 + y^2}$
અહીં,$P(y) = \frac{1}{1 + y^2}$.
સંકલ્યકારક અવયવ $(IF)$ નું સૂત્ર $IF = e^{\int P(y) dy}$ છે.
$IF = e^{\int \frac{1}{1 + y^2} dy} = e^{\tan ^{-1} y}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\frac{x dy - y dx}{y} = 0$.
$y$ વડે ગુણતા ($y \neq 0$ ધારીને),આપણને મળે છે: $x dy - y dx = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $x dy = y dx$.
ચલને અલગ કરતા: $\frac{dy}{y} = \frac{dx}{x}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\int \frac{dy}{y} = \int \frac{dx}{x}$.
આનાથી મળે છે: $\ln|y| = \ln|x| + \ln|c|$.
લઘુગણકના ગુણધર્મોનો ઉપયોગ કરતા: $\ln|y| = \ln|cx|$.
બંને બાજુ ઘાતાંકીય લેતા: $y = cx$.

(A) આપેલ વિકલ સમીકરણ: $\sqrt{\frac{d^2 y}{d x^2}}=\sqrt[3]{\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2}$.
ક્રમ અને ઘાત શોધવા માટે,આપણે બંને બાજુ $6$ (જે $2$ અને $3$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી છે) ઘાત લઈને મૂળ દૂર કરીએ છીએ:
$\left(\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^{1/2}\right)^6 = \left(\left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^{1/3}\right)^6$.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\left(\frac{d^2 y}{d x^2}\right)^3 = \left(\left(\frac{d y}{d x}\right)^4+2\right)^2$.
અહીં સૌથી વધુ ક્રમનું વિકલન $\frac{d^2 y}{d x^2}$ છે,તેથી ક્રમ $2$ છે.
સમીકરણને સંમેય કર્યા પછી સૌથી વધુ ક્રમના વિકલનની ઘાત $3$ છે,તેથી ઘાત $3$ છે.
આમ,ક્રમ $2$ છે અને ઘાત $3$ છે.

(C) આપણે એકમ સદિશોના ક્રોસ પ્રોડક્ટના ગુણધર્મો જાણીએ છીએ:
$\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,$\hat{j} \times \hat{k} = \hat{i}$,$\hat{k} \times \hat{i} = \hat{j}$.
વળી,$\hat{a} \times \hat{b} = -(\hat{b} \times \hat{a})$ અને $\hat{a} \times \hat{a} = 0$.
$1$. $\hat{j} \cdot(\hat{i} \times \hat{k}) = \hat{j} \cdot(-\hat{j}) = -(\hat{j} \cdot \hat{j}) = -1$.
$2$. $\hat{i} \cdot(\hat{j} \times \hat{j}) = \hat{i} \cdot(0) = 0$.
$3$. $\hat{k} \cdot(\hat{j} \times \hat{i}) = \hat{k} \cdot(-\hat{k}) = -(\hat{k} \cdot \hat{k}) = -1$.
$4$. $\hat{i} \cdot(\hat{k} \times \hat{j}) = \hat{i} \cdot(-\hat{i}) = -(\hat{i} \cdot \hat{i}) = -1$.
આ કિંમતોનો સરવાળો: $(-1) + 0 + (-1) + (-1) = -3$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) પાસપાસેની બાજુઓ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ તેમના સદિશ ગુણાકારના માન જેટલું હોય છે,એટલે કે $|\vec{a} \times \vec{b}|$.
પ્રથમ,આપણે સદિશ ગુણાકાર $\vec{a} \times \vec{b}$ શોધીએ:
$\vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & 3 & 4 \\ 0 & -1 & -2 \end{vmatrix}$
$= \hat{i}(3(-2) - 4(-1)) - \hat{j}(2(-2) - 4(0)) + \hat{k}(2(-1) - 3(0))$
$= \hat{i}(-6 + 4) - \hat{j}(-4 - 0) + \hat{k}(-2 - 0)$
$= -2\hat{i} + 4\hat{j} - 2\hat{k}$.
હવે,આ સદિશનું માન શોધીએ:
$|\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 4^2 + (-2)^2}$
$= \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = \sqrt{4 \times 6} = 2\sqrt{6}$.
આમ,ક્ષેત્રફળ $2\sqrt{6}$ ચોરસ એકમ છે.

(B) બે સદિશો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર: $\cos \theta = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| |\vec{b}|}$ છે.
અહીં $\vec{a} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} + \hat{j} - \hat{k}$ આપેલ છે.
પ્રથમ,અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધો: $\vec{a} \cdot \vec{b} = (1)(1) + (-1)(1) + (1)(-1) = 1 - 1 - 1 = -1$.
ત્યારબાદ,સદિશોના માન (magnitudes) શોધો: $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{3}$ અને $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$.
હવે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{-1}{3}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1} \left(-\frac{1}{3}\right)$.

(D) આપેલ રેખાઓ $L_1: \frac{x-3}{-3} = \frac{y-2}{2k} = \frac{z-3}{2}$ અને $L_2: \frac{x-1}{3k} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-6}{-5}$ છે.
$L_1$ ના દિકગુણોત્તરો $\vec{a_1} = (-3, 2k, 2)$ છે.
$L_2$ ના દિકગુણોત્તરો $\vec{a_2} = (3k, 1, -5)$ છે.
રેખાઓ પરસ્પર લંબ હોવાથી,તેમના દિકગુણોત્તરોનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{a_1} \cdot \vec{a_2} = 0$
$(-3)(3k) + (2k)(1) + (2)(-5) = 0$
$-9k + 2k - 10 = 0$
$-7k = 10$
$k = -\frac{10}{7}$.

(B) પ્રથમ રેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{b_1} = (1, 2, 2)$ છે.
બીજી રેખાના દિકગુણોત્તરો $\vec{b_2} = (3, 2, 6)$ છે.
બે રેખાઓ કે જેના દિકગુણોત્તરો $(a_1, b_1, c_1)$ અને $(a_2, b_2, c_2)$ હોય,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ શોધવાનું સૂત્ર $\cos \theta = \frac{|a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2|}{\sqrt{a_1^2 + b_1^2 + c_1^2} \sqrt{a_2^2 + b_2^2 + c_2^2}}$ છે.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી: $\vec{b_1} \cdot \vec{b_2} = (1)(3) + (2)(2) + (2)(6) = 3 + 4 + 12 = 19$.
માનની ગણતરી: $|\vec{b_1}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$.
$|\vec{b_2}| = \sqrt{3^2 + 2^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 4 + 36} = \sqrt{49} = 7$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\cos \theta = \frac{19}{3 \times 7} = \frac{19}{21}$.
તેથી,$\theta = \cos^{-1}\left(\frac{19}{21}\right)$.

(B) બિંદુ $(x_1, y_1, z_1)$ માંથી પસાર થતી અને દિકગુણોત્તર $(a, b, c)$ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x-x_1}{a} = \frac{y-y_1}{b} = \frac{z-z_1}{c}$ છે.
આપેલ રેખા $\frac{x+3}{3}=\frac{y-4}{5}=\frac{z+8}{6}$ ને સમાંતર હોવાથી,માંગેલ રેખાના દિકગુણોત્તર પણ $(3, 5, 6)$ થશે.
રેખા બિંદુ $(1, -3, 5)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{x-1}{3} = \frac{y-(-3)}{5} = \frac{z-5}{6}$
જેનું સાદું રૂપ $\frac{x-1}{3} = \frac{y+3}{5} = \frac{z-5}{6}$ થાય છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ શરતો $x + y < 5$,$x + y < 10$,$x > 0$,અને $y > 0$ છે.
$x + y < 5$ એ $x + y < 10$ નો ઉપગણ હોવાથી,પ્રથમ ચરણમાં $(x > 0, y > 0)$ અસરકારક શરત $x + y < 5$ છે.
શક્ય ઉકેલનો પ્રદેશ એક ખુલ્લો ત્રિકોણાકાર પ્રદેશ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(0,0)$,$(5,0)$,અને $(0,5)$ ની નજીક છે.
પ્રદેશ ખુલ્લો હોવાથી અને સીમાબિંદુઓનો સમાવેશ થતો ન હોવાથી (કડક અસમતા $<$ ને કારણે),હેતુલક્ષી વિધેય $t = 7x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત પ્રદેશના કોઈ ચોક્કસ બિંદુ પર મેળવી શકાતી નથી.
જેમ $x$ અને $y$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે,તેમ $t$ ની કિંમત $0$ ની નજીક જાય છે,પરંતુ $x > 0$ અને $y > 0$ હોવાથી,$t$ હંમેશા $0$ કરતા મોટું રહે છે.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમતનું અસ્તિત્વ નથી.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $z = 6x + 12y$ ની મહત્તમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $z$ ની કિંમત મેળવીશું:
$1$. $(0, 6)$ પર: $z = 6(0) + 12(6) = 0 + 72 = 72$
$2$. $(3, 3)$ પર: $z = 6(3) + 12(3) = 18 + 36 = 54$
$3$. $(9, 9)$ પર: $z = 6(9) + 12(9) = 54 + 108 = 162$
$4$. $(0, 12)$ પર: $z = 6(0) + 12(12) = 0 + 144 = 144$
આ કિંમતોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ કિંમત $162$ છે જે બિંદુ $(9, 9)$ પર મળે છે.

(A) હેતુલક્ષી વિધેય $Z = 6x + 3y$ ની ન્યૂનતમ કિંમત શોધવા માટે,આપણે શક્ય ઉકેલ પ્રદેશના દરેક શિરોબિંદુ પર $Z$ ની કિંમત શોધીશું:
$1$. બિંદુ $(2, 72)$ પર: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. બિંદુ $(15, 20)$ પર: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. બિંદુ $(40, 15)$ પર: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
કિંમતો $228$,$150$ અને $285$ ની સરખામણી કરતા,ન્યૂનતમ કિંમત $150$ છે,જે બિંદુ $(15, 20)$ પર મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $P(A \mid B) = 1$.
શરતી સંભાવનાની વ્યાખ્યા મુજબ,$P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$.
અહીં $P(A \mid B) = 1$ હોવાથી,$\frac{P(A \cap B)}{P(B)} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $P(A \cap B) = P(B)$.
આ સમાનતા ત્યારે જ શક્ય છે જો $B \subset A$ હોય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ છે,તેથી $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ થાય.
આપણે સૂત્ર જાણીએ છીએ કે $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - (P \times \frac{1}{2})$.
$\frac{3}{5} = P + \frac{1}{2} - \frac{P}{2}$.
$\frac{3}{5} = \frac{P}{2} + \frac{1}{2}$.
બંને બાજુથી $\frac{1}{2}$ બાદ કરતા: $\frac{3}{5} - \frac{1}{2} = \frac{P}{2}$.
$\frac{6-5}{10} = \frac{P}{2}$.
$\frac{1}{10} = \frac{P}{2}$.
$P = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
આમ,$P$ ની કિંમત $\frac{1}{5}$ છે.