GUJCET 2019 Mathematics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(D) वक्र पर किसी भी बिंदु $(x, y)$ पर सबनॉर्मल की लंबाई का सूत्र $L = |y \frac{dy}{dx}|$ है।
यह दिया गया है कि सबनॉर्मल की लंबाई स्थिर है,मान लीजिए $L = k$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
अतः,$|y \frac{dy}{dx}| = k$।
मान लीजिए $y > 0$,तो $y \frac{dy}{dx} = k$।
दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष समाकलन करने पर: $\int y \, dy = \int k \, dx$।
इससे $\frac{y^2}{2} = kx + C$ प्राप्त होता है।
सरलता के लिए,$C = 0$ लेने पर,$y^2 = 2kx$ प्राप्त होता है।
यह एक परवलय (parabola) का समीकरण है।
परवलय की उत्केंद्रता $e = 1$ होती है।

(B) किसी फलन $f: N \rightarrow N$ का प्रतिलोम $f^{-1}$ होने के लिए,फलन का एकैकी और आच्छादक (bijection) होना आवश्यक है।
यहाँ $f(x) = x + 3$ दिया गया है,जहाँ $N$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है।
फलन के आच्छादक होने के लिए,इसका परिसर इसके सह-प्रांत के बराबर होना चाहिए।
$x \in N$ के लिए $f(x) = x + 3$ का परिसर $\{4, 5, 6, \dots \}$ है।
सह-प्रांत $N = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, \dots \}$ है।
चूँकि परिसर $\{4, 5, 6, \dots \} \neq N$ है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,$f^{-1}(x)$ का अस्तित्व नहीं है।

(C) यह निर्धारित करने के लिए कि फलन $f(x) = x^2 + 3x + 4$ एकैकी (one-one) है या आच्छादक (onto),हम इसके गुणों का विश्लेषण करते हैं:
$1$. एकैकी जाँच: $f(x_1) = f(x_2) \implies x_1^2 + 3x_1 + 4 = x_2^2 + 3x_2 + 4$। यह सरल होकर $(x_1 - x_2)(x_1 + x_2 + 3) = 0$ बन जाता है। चूँकि $x_1 = - (x_2 + 3)$ संभव है,इसलिए फलन बहु-एक (many-one) है।
$2$. आच्छादक जाँच: द्विघात फलन $f(x) = x^2 + 3x + 4$ का परिसर (range) $[-\frac{D}{4a}, \infty)$ है। यहाँ $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7$ है। अतः,परिसर $[-\frac{-7}{4}, \infty) = [1.75, \infty)$ है। चूँकि परिसर सह-प्रांत (codomain) $R$ के बराबर नहीं है,इसलिए फलन आच्छादक नहीं है।
अतः,फलन बहु-एक है लेकिन आच्छादक नहीं है।

(D) माना $\Delta = \left|\begin{array}{ccc}1+x & 1 & 1 \\ 1+y & 1+2 y & 1 \\ 1+z & 1+z & 1+3 z\end{array}\right|$.
$C_1 \to C_1 - C_3$ और $C_2 \to C_2 - C_3$ लागू करने पर:
$\Delta = \left|\begin{array}{ccc}x & 0 & 1 \\ y & 2y & 1 \\ -2z & -2z & 1+3z\end{array}\right|$.
सारणिक का विस्तार करने पर:
$\Delta = x[2y(1+3z) - (-2z)] - 0 + 1[-2yz - (-4yz)]$
$\Delta = x(2y + 6yz + 2z) + 2yz = 2xy + 6xyz + 2xz + 2yz$.
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$k=1$ प्राप्त होता है।

(A) माना कि दिया गया सारणिक $D$ है।
सर्वसमिका $(p+q)^2 - (p-q)^2 = 4pq$ का उपयोग करते हुए,हम स्तंभ संक्रिया $C_1 \to C_1 - C_2$ लागू करते हैं:
$D = \left|\begin{array}{lll} (a^x+a^{-x})^2 - (a^x-a^{-x})^2 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ (b^x+b^{-x})^2 - (b^x-b^{-x})^2 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ (c^x+c^{-x})^2 - (c^x-c^{-x})^2 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
$D = \left|\begin{array}{lll} 4(a^x)(a^{-x}) & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4(b^x)(b^{-x}) & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4(c^x)(c^{-x}) & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right| = \left|\begin{array}{lll} 4 & (a^x-a^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (b^x-b^{-x})^2 & 1 \\ 4 & (c^x-c^{-x})^2 & 1 \end{array}\right|$
चूंकि दो स्तंभ ($C_1$ और $C_3$) समानुपाती हैं,इसलिए सारणिक का मान $D = 0$ है।
दिया गया है कि $D = 2y + 6$,इसलिए $0 = 2y + 6$।
$2y = -6 \implies y = -3$।

(A) माना $D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 2 & 3 & 4 \\ 3 & 4 & 5\end{array}\right|$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_2$ को लागू करने पर:
$D = \left|\begin{array}{lll}1 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1\end{array}\right|$.
चूंकि दो पंक्तियाँ ($R_2$ और $R_3$) समान हैं,इसलिए सारणिक का मान $0$ है।
दिया गया है कि $D = 2016 k$,अतः $0 = 2016 k$ है।
इसलिए,$k = 0$।

(B) सारणिक $\left|\begin{array}{cc}\sin ^2 \theta & \cos ^2 \theta \\ -\cos ^2 \theta & \sin ^2 \theta\end{array}\right|$ का मान ज्ञात करने के लिए,हम $2 \times 2$ सारणिक के सूत्र का उपयोग करते हैं: $\left|\begin{array}{cc}a & b \\ c & d\end{array}\right| = ad - bc$.
इसे लागू करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(\sin^2 \theta)(\sin^2 \theta) - (\cos^2 \theta)(-\cos^2 \theta)$
$= \sin^4 \theta + \cos^4 \theta$.
सर्वसमिका $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं:
$\sin^4 \theta + \cos^4 \theta = (\sin^2 \theta + \cos^2 \theta)^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta$.
चूंकि $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,यह बन जाता है:
$1^2 - 2 \sin^2 \theta \cos^2 \theta = 1 - \frac{1}{2}(4 \sin^2 \theta \cos^2 \theta) = 1 - \frac{1}{2}(2 \sin \theta \cos \theta)^2$.
द्विगुणित कोण सर्वसमिका $\sin 2 \theta = 2 \sin \theta \cos \theta$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2 \theta$.

(B) दिया गया आव्यूह $A_r = \begin{bmatrix} r & r-1 \\ r-1 & r \end{bmatrix}$ है।
सारणिक $|A_r|$ की गणना करने पर:
$|A_r| = (r)(r) - (r-1)(r-1) = r^2 - (r^2 - 2r + 1) = 2r - 1$.
हमें योग $\sum_{r=1}^{109} |A_r| = \sum_{r=1}^{109} (2r - 1)$ ज्ञात करना है।
यह प्रथम $109$ विषम संख्याओं का योग है,जो सूत्र $n^2$ द्वारा दिया जाता है जहाँ $n = 109$.
अतः,$\sum_{r=1}^{109} (2r - 1) = 109^2$.
यदि प्रश्न में योग की सीमा $100$ होती,तो $100^2 = 10^4 = (\sqrt{10})^8$ या $100^2 = 10000 = 10^4$ प्राप्त होता,जिससे $k=4$ सही उत्तर होता।

(C) हम जानते हैं कि $A \times A^{-1} = I$,जहाँ $I$ एक $3 \times 3$ कोटि का तत्समक आव्यूह है।
दिया गया है $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ और $A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{bmatrix} -3 & 2 & 2 \\ 2 & -3 & \alpha \\ 2 & 2 & -3 \end{bmatrix}$।
आव्यूह $A$ की दूसरी पंक्ति और $A^{-1}$ के तीसरे स्तंभ का गुणनफल तत्समक आव्यूह के $(2, 3)$ स्थान पर स्थित अवयव के बराबर यानी $0$ होना चाहिए।
अतः,$\frac{1}{5} [ (2 \times 2) + (1 \times \alpha) + (2 \times -3) ] = 0$.
$4 + \alpha - 6 = 0$.
$\alpha - 2 = 0$.
$\alpha = 2$.

(B) दिया गया फलन $f(x) = 1 + x + x^2 + \ldots + x^{1000}$ है।
यह $1001$ पदों वाली एक गुणोत्तर श्रेणी है,जहाँ प्रथम पद $a = 1$ और सार्व अनुपात $r = x$ है।
श्रेणी का योग $f(x) = \frac{x^{1001} - 1}{x - 1}$ है,जहाँ $x \neq 1$ है।
$f^{\prime}(x)$ ज्ञात करने के लिए,हम भागफल नियम का उपयोग करते हैं: $\left( \frac{u}{v} \right)^{\prime} = \frac{u^{\prime}v - uv^{\prime}}{v^2}$.
यहाँ $u = x^{1001} - 1$ और $v = x - 1$ है,इसलिए $u^{\prime} = 1001x^{1000}$ और $v^{\prime} = 1$ है।
$f^{\prime}(x) = \frac{(1001x^{1000})(x - 1) - (x^{1001} - 1)(1)}{(x - 1)^2}$.
अब,$x = -1$ रखने पर:
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001(-1)^{1000})(-1 - 1) - ((-1)^{1001} - 1)}{(-1 - 1)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{(1001 \times 1)(-2) - (-1 - 1)}{(-2)^2}$.
$f^{\prime}(-1) = \frac{-2002 - (-2)}{4} = \frac{-2002 + 2}{4} = \frac{-2000}{4} = -500$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(3\theta) = 4\cos^3(\theta) - 3\cos(\theta)$ होती है।
दी गई अभिव्यक्ति $E = 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)-4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)$ है।
इसे $E = - (4 \cos ^3\left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right) - 3 \cos \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right))$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$E = - \cos \left(3 \left(\frac{\pi}{6}+x^{\circ}\right)\right) = - \cos \left(\frac{\pi}{2} + 3x^{\circ}\right)$।
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2} + \theta) = -\sin(\theta)$,इसलिए $E = -(-\sin(3x^{\circ})) = \sin(3x^{\circ})$।
अब,हमें $E$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करना है।
सबसे पहले,$x^{\circ}$ को रेडियन में बदलें: $x^{\circ} = x \times \frac{\pi}{180}$ रेडियन।
अतः,$E = \sin\left(3 \times \frac{\pi x}{180}\right) = \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right)$।
अब,$\frac{d}{dx} \sin\left(\frac{\pi x}{60}\right) = \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right) \times \frac{d}{dx} \left(\frac{\pi x}{60}\right) = \frac{\pi}{60} \cos\left(\frac{\pi x}{60}\right)$।
वापस डिग्री में बदलने पर,$\frac{\pi x}{60} = 3x^{\circ}$।
इस प्रकार,अवकलज $\frac{\pi}{60} \cos(3x^{\circ})$ है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(D) दिया गया फलन $f(x) = \frac{x}{\log_x e}$ है।
गुणधर्म $\log_x e = \frac{1}{\ln x}$ का उपयोग करते हुए,फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$f(x) = x \cdot \ln x$.
यह निर्धारित करने के लिए कि फलन किस अंतराल पर वर्धमान है,हम अवकलज $f'(x)$ ज्ञात करते हैं:
$f'(x) = \frac{d}{dx}(x \ln x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} = \ln x + 1$.
फलन के वर्धमान होने के लिए,$f'(x) > 0$ होना चाहिए:
$\ln x + 1 > 0$
$\ln x > -1$
$x > e^{-1}$
$x > \frac{1}{e}$.
चूंकि फलन का प्रांत $x \in \mathbb{R}^+ - \{1\}$ है,इसलिए फलन अंतराल $(\frac{1}{e}, 1) \cup (1, \infty)$ पर वर्धमान है। दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही विकल्प $D$ है।

(C) हमें समाकल $ I = \int_{1}^{3} \left(\frac{x^{2}+1}{4x}\right)^{-1} dx $ दिया गया है।
समाकल्य को सरल करने पर,हमें $ I = \int_{1}^{3} \frac{4x}{x^{2}+1} dx $ प्राप्त होता है।
माना $ u = x^{2}+1 $,तब $ du = 2x dx $,जिसका अर्थ है $ 2 du = 4x dx $।
जब $ x = 1 $,तो $ u = 1^{2}+1 = 2 $।
जब $ x = 3 $,तो $ u = 3^{2}+1 = 10 $।
इन मानों को समाकल में प्रतिस्थापित करने पर,$ I = \int_{2}^{10} \frac{2}{u} du $ प्राप्त होता है।
$ I = 2 [\ln |u|]_{2}^{10} $।
$ I = 2 (\ln 10 - \ln 2) $।
$ I = 2 \ln \left(\frac{10}{2}\right) = 2 \ln 5 $।
गुणधर्म $ n \ln a = \ln(a^{n}) $ का उपयोग करने पर,$ I = \ln(5^{2}) = \ln 25 $ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $ C $ है।

(A) समाकलन $I = \int \frac{\sin x}{\sin (x-\alpha)} dx$ को हल करने के लिए,हम $u = x - \alpha$ प्रतिस्थापित करते हैं,जिससे $x = u + \alpha$ और $dx = du$ प्राप्त होता है।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int \frac{\sin (u + \alpha)}{\sin u} du$
सर्वसमिका $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$I = \int \frac{\sin u \cos \alpha + \cos u \sin \alpha}{\sin u} du$
$I = \int (\cos \alpha + \cot u \sin \alpha) du$
$I = \cos \alpha \int du + \sin \alpha \int \cot u du$
$I = u \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin u| + c$
$u = x - \alpha$ वापस रखने पर:
$I = (x - \alpha) \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x - \alpha)| + c$
$I = x \cos \alpha - \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \log |\sin (x - \alpha)| + c$
इसे दिए गए रूप $px - q \log |\sin (x - \alpha)| + c$ के साथ तुलना करने पर:
$p = \cos \alpha$
$-q = \sin \alpha \implies q = -\sin \alpha$
अतः,$pq = (\cos \alpha)(-\sin \alpha) = -\sin \alpha \cos \alpha = -\frac{1}{2} (2 \sin \alpha \cos \alpha) = -\frac{1}{2} \sin 2\alpha$.

(A) समाकलन $I = \int e^{\sqrt{x}} \, dx$ को हल करने के लिए,हम प्रतिस्थापन विधि का उपयोग करते हैं।
माना $\sqrt{x} = t$. तब $x = t^2$,जिसका अर्थ है $dx = 2t \, dt$।
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$I = \int e^t (2t) \, dt = 2 \int t e^t \, dt$।
खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,जहाँ $\int u \, dv = uv - \int v \, du$:
माना $u = t$ और $dv = e^t \, dt$। तब $du = dt$ और $v = e^t$।
$I = 2 [t e^t - \int e^t \, dt] = 2 [t e^t - e^t] + c = 2 e^t (t - 1) + c$।
$t = \sqrt{x}$ वापस रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$I = 2 e^{\sqrt{x}} (\sqrt{x} - 1) + c$।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) क्षेत्रफल $A$,$x = 0$ से $x = \pi$ तक फलन $y = \sin 2x$ के निरपेक्ष मान का समाकलन है।
$A = \int_{0}^{\pi} |\sin 2x| \, dx$
चूंकि $\sin 2x$ का मान $x = \frac{\pi}{2}$ पर चिन्ह बदलता है,इसलिए हम समाकलन को दो भागों में विभाजित करते हैं:
$A = \int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx + \int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx$
प्रथम भाग का मूल्यांकन:
$\int_{0}^{\pi/2} \sin 2x \, dx = [-\frac{\cos 2x}{2}]_{0}^{\pi/2} = -\frac{1}{2}(\cos \pi - \cos 0) = -\frac{1}{2}(-1 - 1) = 1$
द्वितीय भाग का मूल्यांकन:
$\int_{\pi/2}^{\pi} -\sin 2x \, dx = [\frac{\cos 2x}{2}]_{\pi/2}^{\pi} = \frac{1}{2}(\cos 2\pi - \cos \pi) = \frac{1}{2}(1 - (-1)) = 1$
कुल क्षेत्रफल $A = 1 + 1 = 2$ वर्ग इकाई।

(B) दीर्घवृत्त का समीकरण $2x^2 + 3y^2 = 1$ है।
इसे मानक रूप $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ में इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$\frac{x^2}{1/2} + \frac{y^2}{1/3} = 1$.
यहाँ,$a^2 = \frac{1}{2}$ और $b^2 = \frac{1}{3}$ है,इसलिए $a = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $b = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र $A = \pi ab$ है।
मान रखने पर,हमें $A = \pi \times \frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\pi}{\sqrt{6}}$ वर्ग इकाई प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) दिया गया व्यापक हल $y = a_1(a_2 + a_3) \cdot \cos(x + a_4) - a_5 e^{x + a_6}$ है।
मान लीजिए $C_1 = a_1(a_2 + a_3)$,$C_2 = a_4$,$C_3 = a_5$,और $C_4 = a_6$ है।
अतः समीकरण को $y = C_1 \cos(x + C_2) - C_3 e^{x + C_4}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(x + C_2) = \cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2$ का उपयोग करने पर:
$y = C_1(\cos x \cos C_2 - \sin x \sin C_2) - C_3 e^{x + C_4}$.
$y = (C_1 \cos C_2) \cos x - (C_1 \sin C_2) \sin x - (C_3 e^{C_4}) e^x$.
मान लीजिए $A = C_1 \cos C_2$,$B = -C_1 \sin C_2$,और $D = -C_3 e^{C_4}$ है।
इस प्रकार,समीकरण $y = A \cos x + B \sin x + D e^x$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $3$ स्वतंत्र स्वेच्छ अचर $(A, B, D)$ हैं।
अवकल समीकरण की कोटि उसके व्यापक हल में मौजूद स्वतंत्र स्वेच्छ अचरों की संख्या के बराबर होती है।
इसलिए,अवकल समीकरण की कोटि $3$ है।

(C) दिया गया अवकल समीकरण: $\frac{dy}{dx}(1+x) - xy = 1-x$ है।
इस समीकरण को मानक रैखिक रूप $\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)$ में लिखने के लिए $(1+x)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{dy}{dx} - \frac{x}{1+x}y = \frac{1-x}{1+x}$ प्राप्त होता है।
यहाँ,$P(x) = -\frac{x}{1+x}$ है।
समाकलन गुणक $(IF)$ का सूत्र $e^{\int P(x) dx}$ होता है:
$IF = e^{\int -\frac{x}{1+x} dx} = e^{-\int \frac{x+1-1}{1+x} dx} = e^{-\int (1 - \frac{1}{1+x}) dx}$।
$IF = e^{-(x - \ln|1+x|)} = e^{-x + \ln|1+x|} = e^{-x} \cdot e^{\ln|1+x|}$।
चूंकि $e^{\ln|1+x|} = 1+x$,इसलिए $IF = (1+x)e^{-x}$ प्राप्त होता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(B) दिया गया है कि $|\vec{x}| = 1$,$|\vec{y}| = 1$,और $|\vec{x} + \vec{y}| = 1$ है।
समीकरण $|\vec{x} + \vec{y}| = 1$ का वर्ग करने पर,हमें $|\vec{x} + \vec{y}|^2 = 1^2$ प्राप्त होता है।
गुणधर्म $|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + |\vec{b}|^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$ का उपयोग करने पर,$1^2 + 1^2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$ प्राप्त होता है।
$2 + 2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = 1$,जिसका अर्थ है कि $2(\vec{x} \cdot \vec{y}) = -1$,अतः $\vec{x} \cdot \vec{y} = -\frac{1}{2}$।
अब,हमें $|\vec{x} - \vec{y}|$ ज्ञात करना है।
$|\vec{x} - \vec{y}|^2 = |\vec{x}|^2 + |\vec{y}|^2 - 2(\vec{x} \cdot \vec{y})$।
ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $|\vec{x} - \vec{y}|^2 = 1^2 + 1^2 - 2(-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$।
अतः,$|\vec{x} - \vec{y}| = \sqrt{3}$।

(D) सबसे पहले,दी गई दिशाओं में इकाई सदिश ज्ञात कीजिए:
माना $\vec{a} = (2, -2, 1)$ है। इसका परिमाण $|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4+4+1} = 3$ है।
इकाई सदिश $\hat{a} = \frac{1}{3}(2, -2, 1)$ है।
चूंकि $\vec{x}$ का परिमाण $6$ है,$\vec{x} = 6 \hat{a} = 2(2, -2, 1) = (4, -4, 2)$ है।
माना $\vec{b} = (1, 1, -1)$ है। इसका परिमाण $|\vec{b}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{3}$ है।
इकाई सदिश $\hat{b} = \frac{1}{\sqrt{3}}(1, 1, -1)$ है।
चूंकि $\vec{y}$ का परिमाण $\sqrt{3}$ है,$\vec{y} = \sqrt{3} \hat{b} = (1, 1, -1)$ है।
अब,$\vec{x} + 2\vec{y}$ की गणना कीजिए:
$\vec{x} + 2\vec{y} = (4, -4, 2) + 2(1, 1, -1) = (4+2, -4+2, 2-2) = (6, -2, 0)$ है।
अंत में,परिमाण $|\vec{x} + 2\vec{y}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + 0^2} = \sqrt{36 + 4 + 0} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$ प्राप्त होता है।

(A) आसन्न भुजाओं $\vec{a}$ और $\vec{b}$ वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र: $\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin(\theta)$ है।
सबसे पहले,सदिश $\vec{a} = (2, -2, 1)$ का परिमाण ज्ञात करें:
$|\vec{a}| = \sqrt{2^2 + (-2)^2 + 1^2} = \sqrt{4 + 4 + 1} = \sqrt{9} = 3$.
दिया गया है कि $\vec{b} = 2|\vec{a}|$,इसलिए $|\vec{b}| = 2 \times 3 = 6$.
भुजाओं के बीच का कोण $\theta = \frac{\pi}{6}$ है।
अब,इन मानों को क्षेत्रफल के सूत्र में रखें:
$\text{Area} = |\vec{a}| |\vec{b}| \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = 3 \times 6 \times \frac{1}{2} = 18 \times \frac{1}{2} = 9$.
अतः,समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $9$ वर्ग इकाई है।

(C) उद्देश्य फलन $Z = 60x + 10y$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान निकालते हैं:
$1$. $(10, 0)$ पर: $Z = 60(10) + 10(0) = 600 + 0 = 600$
$2$. $(2, 4)$ पर: $Z = 60(2) + 10(4) = 120 + 40 = 160$
$3$. $(1, 5)$ पर: $Z = 60(1) + 10(5) = 60 + 50 = 110$
$4$. $(0, 8)$ पर: $Z = 60(0) + 10(8) = 0 + 80 = 80$
इन मानों की तुलना करने पर,अधिकतम मान $600$ प्राप्त होता है।

(A) उद्देश्य फलन $Z = 6x + 3y$ का न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम सुसंगत क्षेत्र के प्रत्येक कोणीय बिंदु पर $Z$ का मान ज्ञात करते हैं:
$1$. बिंदु $(2, 72)$ पर: $Z = 6(2) + 3(72) = 12 + 216 = 228$
$2$. बिंदु $(15, 20)$ पर: $Z = 6(15) + 3(20) = 90 + 60 = 150$
$3$. बिंदु $(40, 15)$ पर: $Z = 6(40) + 3(15) = 240 + 45 = 285$
मानों $228$,$150$ और $285$ की तुलना करने पर,न्यूनतम मान $150$ है,जो बिंदु $(15, 20)$ पर प्राप्त होता है।

(B) द्विपद वितरण के लिए,माध्य $np = 6$ और प्रसरण $npq = 3$ द्वारा दिया जाता है।
प्रसरण को माध्य से विभाजित करने पर,हमें $q = \frac{npq}{np} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p + q = 1$,इसलिए $p = 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$ है।
$p = \frac{1}{2}$ को $np = 6$ में रखने पर,$n(\frac{1}{2}) = 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 12$।
प्रायिकता द्रव्यमान फलन $P(X = k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^k (\frac{1}{2})^{12-k} = \binom{12}{k} (\frac{1}{2})^{12}$ है।
हमें $P(X < 2) = P(X = 0) + P(X = 1)$ ज्ञात करना है।
$P(X = 0) = \binom{12}{0} (\frac{1}{2})^{12} = 1 \times \frac{1}{4096} = \frac{1}{4096}$।
$P(X = 1) = \binom{12}{1} (\frac{1}{2})^{12} = 12 \times \frac{1}{4096} = \frac{12}{4096}$।
अतः,$P(X < 2) = \frac{1}{4096} + \frac{12}{4096} = \frac{13}{4096}$।

(A) दिया गया है कि $6 P(A) = 1 \implies P(A) = \frac{1}{6}$.
दिया गया है कि $8 P(B) = 1 \implies P(B) = \frac{1}{8}$.
दिया गया है कि $14 P(A \cap B) = 1 \implies P(A \cap B) = \frac{1}{14}$.
हमें $P(A' \mid B)$ ज्ञात करना है।
प्रतिबंधात्मक प्रायिकता के सूत्र का उपयोग करते हुए,$P(A' \mid B) = \frac{P(A' \cap B)}{P(B)}$.
हम जानते हैं कि $P(A' \cap B) = P(B) - P(A \cap B)$.
मान रखने पर: $P(A' \cap B) = \frac{1}{8} - \frac{1}{14} = \frac{7 - 4}{56} = \frac{3}{56}$.
अब,$P(A' \mid B) = \frac{3/56}{1/8} = \frac{3}{56} \times 8 = \frac{3}{7}$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।