यदि f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x सभी x in | vedclass

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Question

(B) दिया गया है,$f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x$.चूंकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए मोनोटोनिकली वर्धमान है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।

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(B) दिया गया है,$f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x$.चूंकि $f(x)$ सभी $x \in R$ के लिए मोनोटोनिकली वर्धमान है,इसलिए इसका अवकलज $f'(x) \geq 0$ होना चाहिए।$f'(x) = (2k+1) + k e^{-x} + 2 e^x \geq 0$.$e^x$ से गुणा करने पर (जो हमेशा धनात्मक होता है):$(2k+1)e^x + k + 2e^{2x} \geq 0$.पदों को व्यवस्थित करने पर:$2e^{2x} + (2k+1)e^x + k \geq 0$.$e^x$ के संदर्भ में द्विघात व्यंजक के गुणनखंड करने पर:$2e^{2x} + 2ke^x + e^x + k \geq 0$.$2e^x(e^x + k) + 1(e^x + k) \geq 0$.$(2e^x + 1)(e^x + k) \geq 0$.चूंकि $2e^x + 1 > 0$ सभी $x \in R$ के लिए,इसलिए $e^x + k \geq 0$ होना चाहिए।इसका अर्थ है $k \geq -e^x$ सभी $x \in R$ के लिए।जैसे-जैसे $x 	o -\infty$,$e^x 	o 0$,इसलिए $k \geq 0$.अतः,$k$ का न्यूनतम मान $0$ है।

यदि $f(x)=(2 k+1) x-3-k e^{-x}+2 e^x$ सभी $x \in R$ के लिए मोनोटोनिकली वर्धमान फलन है,तो $k$ का न्यूनतम मान ज्ञात कीजिए।

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