यदि फलन f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6,[1,3] में रोल | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि,$f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6$,$[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।अतः,$f(1)=f(3)$.$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a + b

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-$5$

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(A) दिया गया है कि,$f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6$,$[1,3]$ में रोले के प्रमेय को संतुष्ट करता है।अतः,$f(1)=f(3)$.$f(1) = a(1)^3 + b(1)^2 + 11(1) - 6 = a + b + 5$$f(3) = a(3)^3 + b(3)^2 + 11(3) - 6 = 27a + 9b + 33 - 6 = 27a + 9b + 27$चूंकि $f(1)=f(3)$,इसलिए $a+b+5 = 27a+9b+27$,जिसे सरल करने पर $26a+8b = -22$,या $13a+4b = -11$ प्राप्त होता है ... $(i)$.साथ ही,$f'(x) = 3ax^2 + 2bx + 11$.दिया गया है कि $f'(2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 0$.रोले के प्रमेय के अनुसार,$[1,3]$ अंतराल में $f'(x) = 0$ के मूल $x = 2 \pm \frac{1}{\sqrt{3}}$ हैं।$f'(x)=0$ के मूलों का योग लेने पर,$x_1 + x_2 = -\frac{2b}{3a}$.यहाँ,$(2 - \frac{1}{\sqrt{3}}) + (2 + \frac{1}{\sqrt{3}}) = 4 = -\frac{2b}{3a} \Rightarrow 4 = -\frac{2b}{3a} \Rightarrow b = -6a$.$b = -6a$ को $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:$13a + 4(-6a) = -11$$13a - 24a = -11$$-11a = -11 \Rightarrow a = 1$.तब $b = -6(1) = -6$.अतः,$a+b = 1 + (-6) = -5$.

यदि फलन $f(x)=a x^3+b x^2+11 x-6$,$[1,3]$ में रोले के प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट करता है और $f^{\prime}\left(2+\frac{1}{\sqrt{3}}\right)=0$ है,तो $a+b=$

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यदि रोले का प्रमेय अंतराल $[-1, 1]$ में फलन $f(x) = 2x^3 + ax^2 + bx$ के लिए बिंदु $c = \frac{1}{2}$ पर लागू होता है,तो $2a + b$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए कि $f(x)$,$[1, 6]$ पर अवकलनीय है और $f(1) = -2$ है। यदि $f(x)$ का $(1, 6)$ में केवल एक मूल (root) है,तो ऐसा $c \in (1, 6)$ मौजूद है कि:

मान लीजिए $f:[a, b] \rightarrow R$ अंतराल $[a, b]$ में सतत है,$(a, b)$ में अवकलनीय है और $f(a)=0=f(b)$ है। तो

फलन $f(x) = \sin(2 \pi x)$ के लिए अंतराल $x \in [-1, 1]$ पर रोले के प्रमेय के निष्कर्ष को संतुष्ट करने वाले $C$ के मानों की संख्या है:

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