ઉપવલય $\frac{x^2}{36}+\frac{y^2}{27}=1$ ના બિંદુ $\left(3, \frac{9}{2}\right)$ આગળના સ્પર્શક પર બિંદુઓ $(3,0)$ અને $(-3,0)$ માંથી દોરેલા લંબ અંતરોનો ગુણાકાર કેટલો થાય?

ધારો કે ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ $(a > b)$ પરના બિંદુ $\left(\sqrt{3}, \frac{1}{2}\right)$ ના નાભિ અંતરોનો ગુણાકાર $\frac{7}{4}$ છે. તો આવા બે ઉપવલયોની ઉત્કેન્દ્રતાનો તફાવત (absolute difference) કેટલો થાય?

જો ઉપવલય $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (જ્યાં $a > b$) ના સહાયક વર્તુળનું ક્ષેત્રફળ ઉપવલયના ક્ષેત્રફળ કરતાં બમણું હોય,તો ઉપવલયની ઉત્કેન્દ્રતા શોધો.

વિધાન $-1$: જો એક બિંદુમાંથી ઉપવલય (ellipse) પર બે સ્પર્શકો દોરવામાં આવે અને જો તેઓ એકબીજાને લંબ હોય,તો તે બિંદુનો બિંદુપથ હંમેશા એક વર્તુળ હોય છે.
વિધાન $-2$: ઉપવલય $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ માટે,જે બિંદુમાંથી બે લંબ સ્પર્શકો દોરવામાં આવે છે તેનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = a^2 + b^2$ છે.

ઉપવલય $\frac{x^{2}}{32}+\frac{y^{2}}{18}=1$ ને $-\frac{3}{4}$ ઢાળ ધરાવતો સ્પર્શક યામ અક્ષોને $A$ અને $B$ માં મળે છે. $\Delta AOB$ નું ક્ષેત્રફળ શોધો,જ્યાં $O$ ઉગમબિંદુ છે.

વક્ર $9x^{2} + 25y^{2} = 225$ ની નાભિ ત્રિજ્યાઓનો સરવાળો કેટલો થાય?