AIPMT 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) પૃથ્વી દ્વારા ઉપગ્રહ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે. ન્યૂટનના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,ઉપગ્રહનો પ્રવેગ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ બળ એ કેન્દ્રીય બળ હોવાથી,પૃથ્વીના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ઉપગ્રહ પર લાગતું ટોર્ક શૂન્ય હોય છે. તેથી,ઉપગ્રહનું કોણીય વેગમાન $L$ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ રહે છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બિન-સંરક્ષી બળોની ગેરહાજરીમાં,ઉપગ્રહની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા તેની કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
લંબગોળ કક્ષામાં પૃથ્વીથી ઉપગ્રહનું અંતર $r$ બદલાતું હોવાથી,કોણીય વેગમાન $(L = mvr \sin \theta)$ જાળવી રાખવા માટે કક્ષીય વેગ $v$ બદલાવો જોઈએ. પરિણામે,રેખીય વેગમાન $p = mv$ અચળ રહેતું નથી.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = R(1 + \frac{f}{2})$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{R(1 + f/2)}{(f/2)R} = \frac{1 + f/2}{f/2} = \frac{2}{f} + 1 = 1 + \frac{2}{f}$ થાય છે.

(C) ધારો કે પૃષ્ઠતાણ $(S)$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $S = E^x V^y T^z$ છે.
પૃષ્ઠતાણના પરિમાણો $[S] = [MT^{-2}]$ છે.
મૂળભૂત રાશિઓના પરિમાણો નીચે મુજબ છે:
$[E] = [ML^2T^{-2}]$
$[V] = [LT^{-1}]$
$[T] = [T]$
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$[MT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]^x [LT^{-1}]^y [T]^z$
$[MT^{-2}] = [M^x L^{2x+y} T^{-2x-y+z}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $x = 1$
$L$ માટે: $2x + y = 0 \Rightarrow 2(1) + y = 0 \Rightarrow y = -2$
$T$ માટે: $-2x - y + z = -2 \Rightarrow -2(1) - (-2) + z = -2 \Rightarrow -2 + 2 + z = -2 \Rightarrow z = -2$
આમ,પૃષ્ઠતાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $[EV^{-2}T^{-2}]$ થશે.

(B) આપેલ પરિમાણીય સંબંધ: $[v_c] = [\eta^x \rho^y r^z]$ $(i)$
ભૌતિક રાશિઓના પરિમાણો લખતા:
$[v_c] = [M^0 L T^{-1}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[\rho] = [M L^{-3} T^0]$
$[r] = [M^0 L T^0]$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^{-1} T^{-1}]^x [M L^{-3} T^0]^y [M^0 L T^0]^z$
$[M^0 L T^{-1}] = [M^{x+y} L^{-x-3y+z} T^{-x}]$
પરિમાણોની સમાનતાના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરીને,બંને બાજુ $M, L$ અને $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$x + y = 0$ $(ii)$
$-x - 3y + z = 1$ $(iii)$
$-x = -1$ $(iv)$
સમીકરણ $(iv)$ પરથી,આપણને $x = 1$ મળે છે.
$x = 1$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,$1 + y = 0$,તેથી $y = -1$ મળે છે.
$x = 1$ અને $y = -1$ ને સમીકરણ $(iii)$ માં મૂકતા,$-1 - 3(-1) + z = 1 \implies -1 + 3 + z = 1 \implies 2 + z = 1 \implies z = -1$ મળે છે.
આમ,$x = 1, y = -1, z = -1$ છે.

(B) કણનો વેગ $v(x) = \beta x^{-2n}$ તરીકે આપવામાં આવ્યો છે.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $a = v \frac{dv}{dx}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (\beta x^{-2n}) = \beta (-2n) x^{-2n-1} = -2n \beta x^{-2n-1}$.
હવે,પ્રવેગના સૂત્રમાં $v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત મૂકતા:
$a = (\beta x^{-2n}) \times (-2n \beta x^{-2n-1})$.
$a = -2n \beta^2 x^{-2n + (-2n) - 1}$.
$a = -2n \beta^2 x^{-4n-1}$.

(B) ધારો કે જહાજ $A$ નું પ્રારંભિક સ્થાન ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છે અને તે ઋણ $x$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r}_A = (-10t, 0)$ છે.
જહાજ $B$ શરૂઆતમાં $(0, -100)$ પર છે અને તે ધન $y$-અક્ષ પર ગતિ કરે છે. $t$ સમયે તેનું સ્થાન $\vec{r}_B = (0, -100 + 10t)$ છે.
સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (10t, -100 + 10t)$ છે.
અંતરનો વર્ગ $D^2 = (10t)^2 + (-100 + 10t)^2 = 100t^2 + 10000 - 2000t + 100t^2 = 200t^2 - 2000t + 10000$.
ન્યૂનતમ અંતર શોધવા માટે,$D^2$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને તેને શૂન્ય સાથે સરખાવો:
$\frac{d(D^2)}{dt} = 400t - 2000 = 0$.
$400t = 2000 \Rightarrow t = 5 \, hr$.
વૈકલ્પિક રીતે,સાપેક્ષ વેગનો ઉપયોગ કરતા: $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (0, 10) - (-10, 0) = (10, 10) \, km \, h^{-1}$.
સાપેક્ષ વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, km \, h^{-1}$ છે.
ન્યૂનતમ અંતર ત્યારે મળે છે જ્યારે સાપેક્ષ સ્થાન સદિશ એ સાપેક્ષ વેગ સદિશને લંબ હોય. ભૂમિતિ પરથી,લાગતો સમય $t = 5 \, hr$ છે.

(D) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{R} = 4\sin(2\pi t)\hat{i} + 4\cos(2\pi t)\hat{j}$.
અહીં $x = 4\sin(2\pi t)$ અને $y = 4\cos(2\pi t)$ હોવાથી,$x^2 + y^2 = 16(\sin^2(2\pi t) + \cos^2(2\pi t)) = 16$. આ $4 \ m$ ત્રિજ્યાનું વર્તુળ દર્શાવે છે.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{R}}{dt} = 8\pi\cos(2\pi t)\hat{i} - 8\pi\sin(2\pi t)\hat{j}$.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}| = \sqrt{(8\pi\cos(2\pi t))^2 + (-8\pi\sin(2\pi t))^2} = 8\pi \ m/s$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -16\pi^2\sin(2\pi t)\hat{i} - 16\pi^2\cos(2\pi t)\hat{j} = -4\pi^2\vec{R}$.
જેથી પ્રવેગ ઉગમબિંદુ તરફ ($- \vec{R}$ ની દિશામાં) છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,$a = \frac{V^2}{R}$. અહીં $V = 8\pi$ અને $R = 4$ હોવાથી,$a = \frac{(8\pi)^2}{4} = 16\pi^2$,જે પ્રવેગના મૂલ્ય સાથે સુસંગત છે.
વિધાન $(D)$ મુજબ વેગનું મૂલ્ય $8 \ m/s$ છે,પરંતુ તે $8\pi \ m/s$ છે. તેથી,$(D)$ ખોટું વિધાન છે.

(D) બે સદિશો $\overrightarrow {A}$ અને $\overrightarrow {B}$ એકબીજાને લંબ હોય જો તેમનો અદિશ ગુણાકાર શૂન્ય હોય,એટલે કે $\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$.
આપેલ છે $\overrightarrow {A} = \cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j$ અને $\overrightarrow {B} = \cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j$.
અદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = (\cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j) \cdot (\cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j)$
$= \cos \omega t \cos \frac{\omega t}{2} + \sin \omega t \sin \frac{\omega t}{2}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = \cos(\omega t - \frac{\omega t}{2}) = \cos(\frac{\omega t}{2})$
સદિશો લંબ હોવાથી,$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$,તેથી:
$\cos(\frac{\omega t}{2}) = 0$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,તેથી:
$\frac{\omega t}{2} = \frac{\pi}{2}$
$t = \frac{\pi}{\omega}$.

(B) આપેલ છે: દળ $M_A = 4 \, kg, M_B = 2 \, kg, M_C = 1 \, kg$ અને લાગુ પાડેલ બળ $F = 14 \, N$.
સૌ પ્રથમ,સમગ્ર તંત્રનો પ્રવેગ $(a)$ શોધો:
$a = \frac{F}{M_A + M_B + M_C} = \frac{14}{4 + 2 + 1} = \frac{14}{7} = 2 \, m/s^2$.
$A$ અને $B$ વચ્ચેનું સંપર્ક બળ $(F_{AB})$ એ બ્લોક $B$ અને $C$ ને સાથે પ્રવેગિત કરવા માટે જરૂરી બળ છે.
$F_{AB} = (M_B + M_C) \times a$
$F_{AB} = (2 + 1) \times 2 = 3 \times 2 = 6 \, N$.
વૈકલ્પિક રીતે,બ્લોક $A$ ની ફ્રી બોડી ડાયાગ્રામને ધ્યાનમાં લેતા:
$F - F_{AB} = M_A \times a$
$14 - F_{AB} = 4 \times 2$
$14 - F_{AB} = 8$
$F_{AB} = 14 - 8 = 6 \, N$.

(A) બ્લોક $B$ ($m_2$ દળ) માટે જે પ્રવેગ $a$ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે: $m_2 g - T = m_2 a$ (સમીકરણ $1$)
બ્લોક $A$ ($m_1$ દળ) માટે જે પ્રવેગ $a$ સાથે સમક્ષિતિજ ગતિ કરે છે: $T - \mu_k m_1 g = m_1 a$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ અને સમીકરણ $2$ નો સરવાળો કરતા:
$(m_2 g - T) + (T - \mu_k m_1 g) = m_2 a + m_1 a$
$m_2 g - \mu_k m_1 g = (m_1 + m_2) a$
$a = \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2}$
હવે,$a$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$T = m_2 g - m_2 a = m_2 (g - a)$
$T = m_2 \left( g - \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2} \right)$
$T = m_2 g \left( \frac{m_1 + m_2 - m_2 + \mu_k m_1}{m_1 + m_2} \right)$
$T = \frac{m_1 m_2 (1 + \mu_k) g}{m_1 + m_2}$

(C) ધારો કે બોક્સ અને પાટિયા વચ્ચેના સ્થિત અને ગતિક ઘર્ષણાંક અનુક્રમે $\mu_s$ અને $\mu_k$ છે.
જ્યારે નમનકોણ $\theta = 30^o$ થાય છે,ત્યારે બ્લોક સરકવાનું શરૂ કરે છે. તેથી,$\mu_s = \tan\theta = \tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \approx 0.6$.
જો બ્લોકમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $a$ હોય,તો ગતિનું સમીકરણ:
$ma = mg\sin\theta - f_k$
$ma = mg\sin\theta - \mu_k N$
અહીં $N = mg\cos\theta$ હોવાથી:
$a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$
આપેલ છે કે $g = 10\, m/s^2$,$\theta = 30^o$,$s = 4.0\, m$,અને $t = 4.0\, s$. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ $(u = 0)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$4.0 = 0 + \frac{1}{2} a (4.0)^2$
$4.0 = 8a \implies a = 0.5\, m/s^2$.
આ $a$ ની કિંમત પ્રવેગના સમીકરણમાં મૂકતા:
$0.5 = 10(\sin 30^o - \mu_k \cos 30^o)$
$0.5 = 10(0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2})$
$0.05 = 0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.45$
$\mu_k = \frac{0.9}{\sqrt{3}} \approx 0.519 \approx 0.5$.
આમ,$\mu_s \approx 0.6$ અને $\mu_k \approx 0.5$.

(B) ધારો કે ભારે પથ્થરની સ્પર્શક ઝડપ $v$ છે.
આપેલ છે કે બંને પથ્થરો દ્વારા અનુભવાતું કેન્દ્રગામી બળ સમાન છે.
હલકા પથ્થર (દળ $m$,ત્રિજ્યા $r$,ઝડપ $nv$) માટે કેન્દ્રગામી બળ નીચે મુજબ છે:
$F_{lighter} = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$
ભારે પથ્થર (દળ $2m$,ત્રિજ્યા $r/2$,ઝડપ $v$) માટે કેન્દ્રગામી બળ નીચે મુજબ છે:
$F_{heavier} = \frac{(2m)v^2}{r/2} = \frac{4mv^2}{r}$
બંને બળોને સરખાવતા:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{4mv^2}{r}$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(C) કિસ્સો $(a)$: જ્યારે સમાન અંતર $x$ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \frac{1}{2} K x^2$ છે. કારણ કે $K_P > K_Q$ અને $x$ સમાન છે,તેથી $W_P = \frac{1}{2} K_P x^2$ અને $W_Q = \frac{1}{2} K_Q x^2$. તેથી,$W_P > W_Q$.
કિસ્સો $(b)$: જ્યારે સમાન બળ $F$ દ્વારા ખેંચવામાં આવે,ત્યારે થયેલ કાર્ય $W = \frac{F^2}{2K}$ છે. કારણ કે $K_P > K_Q$ અને $F$ સમાન છે,તેથી $W_P = \frac{F^2}{2K_P}$ અને $W_Q = \frac{F^2}{2K_Q}$. કારણ કે $K_P > K_Q$,તેથી $\frac{1}{K_P} < \frac{1}{K_Q}$ થાય,એટલે કે $W_P < W_Q$ અથવા $W_Q > W_P$.

(A) આપેલ છે: દળ $m = 10 \, kg$,પ્રારંભિક વેગ $v_i = 10 \, m/s$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500 \, J$.
પ્રતિરોધક બળ $F = -0.1 \, x \, N$ છે.
પ્રતિરોધક બળ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \int_{20}^{30} (-0.1 \, x) \, dx$.
$W = -0.1 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{20}^{30} = -0.1 \times \frac{1}{2} (30^2 - 20^2) = -0.05 \times (900 - 400) = -0.05 \times 500 = -25 \, J$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,$W = K_f - K_i$.
$K_f = W + K_i = -25 \, J + 500 \, J = 475 \, J$.

(A) કણ પર લાગતો પાવર $P$ અચળ છે,તેથી $P = k$.
પાવર $P = \frac{dW}{dt}$ હોવાથી,$dW = k dt$ થાય.
બંને બાજુ $0$ થી $t$ સુધી સંકલન કરતા,$W = kt$ મળે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,થયેલું કાર્ય ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$.
$W$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $kt = \frac{1}{2}mv^2$,જેમાંથી $v = \sqrt{\frac{2kt}{m}}$ મળે.
પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2} \right) = \sqrt{\frac{2k}{m}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{k}{2mt}}$.
કણ પર લાગતું બળ $F = ma$ છે:
$F = m \cdot \sqrt{\frac{k}{2mt}} = \sqrt{\frac{m^2 k}{2mt}} = \sqrt{\frac{mk}{2t}} = \sqrt{\frac{mk}{2}} t^{-1/2}$.

(B) બે કણોની કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$ છે.
અથડામણ દરમિયાન,એક કણ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં જવા માટે $\varepsilon$ જેટલી ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.
તેથી,કણોની કુલ અંતિમ ગતિ ઉર્જા $K_f = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$ એ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા કરતા $\varepsilon$ જેટલી ઓછી હોવી જોઈએ.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ: $K_i = K_f + \varepsilon$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 + \varepsilon$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 - \varepsilon = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$.

(A) ધારો કે કણો $A$ અને $B$ સમય $t$ પર અથડાય છે. તેમની અથડામણ માટે,સમય $t$ પર બંને કણોના સ્થાન સદિશો સમાન હોવા જોઈએ,એટલે કે:
$\vec{r}_1 + \vec{v}_1 t = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t$
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) t$ ... $(i)$
બંને બાજુનું માન લેતા:
$|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| t$
$t = \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
$t$ ની આ કિંમતને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\vec{r}_1 - \vec{r}_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$

(D) ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે,ઊંચાઈ $h = 20 \, m$ છે,અને જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાંનો વેગ $v$ છે.
નીચેની ગતિ માટે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 + 2gh \quad ... (i)$
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે તે તેની ગતિ ઉર્જાના $50\%$ ગુમાવે છે. બાકી રહેલી ગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4}mv^2$ છે.
આ બાકી રહેલી ઉર્જા દડાને તે જ ઊંચાઈ $h$ સુધી પાછા ફરવા માટે સક્ષમ બનાવે છે:
$\frac{1}{4}mv^2 = mgh$
$v^2 = 4gh$
$v^2 = 4gh$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$4gh = v_0^2 + 2gh$
$v_0^2 = 2gh$
$v_0 = \sqrt{2gh}$
અહીં $g = 10 \, m/s^2$ અને $h = 20 \, m$ આપેલ છે:
$v_0 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.

(A) અથડામણ સ્થિતિસ્થાપક છે,જેનો અર્થ છે કે રેખીય વેગમાન અને ગતિઊર્જા બંનેનું સંરક્ષણ થાય છે.
ધારો કે અથડામણ પછી બીજા બ્લોકની ઝડપ $v'$ છે.
ગતિઊર્જાના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$\frac{1}{2}M V^2 + 0 = \frac{1}{2}M \left( \frac{V}{3} \right)^2 + \frac{1}{2}M (v')^2$
બંને બાજુને $\frac{1}{2}M$ વડે ભાગતા:
$V^2 = \frac{V^2}{9} + (v')^2$
$(v')^2 = V^2 - \frac{V^2}{9}$
$(v')^2 = \frac{8V^2}{9}$
$v' = \sqrt{\frac{8V^2}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}V$

(D) આપેલ છે:
પંપ કરેલ લોહીનું કદ, $V = 5 \, \text{litres} = 5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$.
સમય, $t = 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}$.
દબાણ, $P = 150 \, \text{mm of Hg} = 0.15 \, \text{m of Hg}$.
મર્ક્યુરીની ઘનતા, $\rho = 13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$.
ગુરુત્વપ્રવેગ, $g = 10 \, \text{m/s}^2$.
પ્રથમ, $P = h \rho g$ નો ઉપયોગ કરીને દબાણ $\text{N/m}^2$ માં શોધો:
$P = (0.15 \, \text{m}) \times (13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3) \times (10 \, \text{m/s}^2)$
$P = 20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2$.
હવે, $Power = \frac{P \times V}{t}$ નો ઉપયોગ કરીને પાવર શોધો:
$Power = \frac{(20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2) \times (5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3)}{60 \, \text{s}}$
$Power = \frac{20.4 \times 5}{60} \, \text{W}$
$Power = \frac{102}{60} \, \text{W} = 1.7 \, \text{W}$.

(A) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે:
$\lambda_m T = \text{constant} \implies T \propto \frac{1}{\lambda_m}$
તારા $P$ માટે, જાંબલી રંગની તીવ્રતા મહત્તમ છે। જાંબલી રંગની તરંગલંબાઇ ત્રણેયમાં સૌથી ઓછી હોવાથી $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$, તારા $P$ નું તાપમાન સૌથી વધુ હશે.
તારા $R$ માટે, લીલા રંગની તીવ્રતા મહત્તમ છે। લીલા રંગની તરંગલંબાઇ જાંબલી અને લાલની વચ્ચે હોય છે $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$.
તારા $Q$ માટે, લાલ રંગની તીવ્રતા મહત્તમ છે। લાલ રંગની તરંગલંબાઇ ત્રણેયમાં સૌથી વધુ હોવાથી, તારા $Q$ નું તાપમાન સૌથી ઓછું હશે.
તરંગલંબાઇની સરખામણી કરતા: $\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R$.
તેથી, તાપમાનનો ક્રમ ઉલટો હશે: $T_P > T_R > T_Q$.

(D) ધાતુના સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $(H)$ સૂત્ર $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_2 - T_1)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$L$ એ લંબાઈ છે,અને $(T_2 - T_1)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_1 = 110 ^\circ C - 100 ^\circ C = 10 ^\circ C$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H_1 = 4.0 \ J/s$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,તાપમાનનો તફાવત $\Delta T_2 = 210 ^\circ C - 200 ^\circ C = 10 ^\circ C$ છે.
ઉષ્મા વહનનો દર તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(H \propto \Delta T)$,અને બંને કિસ્સામાં તાપમાનનો તફાવત સમાન $(10 ^\circ C)$ રહેતો હોવાથી,ઉષ્મા વહનનો દર બદલાશે નહીં.
તેથી,$H_2 = H_1 = 4.0 \ J/s$ થશે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,આદર્શ વાયુનું આણ્વીય દળ $M$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$M = \frac{\rho R T}{P}$
જ્યાં $P$ દબાણ છે,$T$ તાપમાન છે,$\rho$ ઘનતા છે અને $R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
વાયુઓ $A$ અને $B$ માટે:
$M_A = \frac{\rho_A R T_A}{P_A}$ અને $M_B = \frac{\rho_B R T_B}{P_B}$
તેમના આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right) \left( \frac{T_A}{T_B} \right) \left( \frac{P_B}{P_A} \right)$
આપેલ છે:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 1.5 = \frac{3}{2}$
$T_A = T_B \implies \frac{T_A}{T_B} = 1$
$P_A = 2 P_B \implies \frac{P_B}{P_A} = \frac{1}{2}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \times (1) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$

(C) તણાવ બળ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગતું હોવાથી,કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,દળ $m$ નું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = m v_0 R_0$.
અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f = m v R$,જ્યાં $R = \frac{R_0}{2}$.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_i = L_f$:
$m v_0 R_0 = m v \left( \frac{R_0}{2} \right)$
$v = 2 v_0$.
પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ છે.
અંતિમ ગતિઊર્જા $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 = \frac{1}{2} m (4 v_0^2) = 2 m v_0^2$ થાય.

(A) ધારો કે $A$ પર લાગતું લંબબળ $N_1$ છે અને $B$ પર લાગતું લંબબળ $N_2$ છે.
શિરોલંબ સંતુલન માટે,ઉપરની તરફ લાગતા બળોનો સરવાળો નીચેની તરફ લાગતા બળ જેટલો હોવો જોઈએ:
$N_1 + N_2 = W$ --- $(i)$
ભ્રમણીય સંતુલન માટે,આપણે સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (જ્યાં વજન $W$ લાગે છે) ની આસપાસ ટોર્ક લઈએ છીએ. $W$ ને કારણે ટોર્ક શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્કનો સરવાળો = $0$
$N_1 \cdot x = N_2 \cdot (d - x)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,$N_2 = W - N_1$.
આ કિંમતને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$N_1 x = (W - N_1)(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1 d + N_1 x$
$N_1 d = W(d - x)$
$N_1 = \frac{W(d - x)}{d}$

(A) બિંદુ $m_1$ થી $x$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2$
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,સળિયાને $\omega_0$ કોણીય વેગ સાથે ભ્રમણ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ એ તેની ચાકગતિ ઉર્જા જેટલું હોય છે:
$W = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{2} [m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2] \omega_0^2$
કાર્ય $W$ ન્યૂનતમ થાય તે માટે,આપણે $x$ ની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શૂન્ય લઈએ છીએ:
$\frac{dW}{dx} = \frac{1}{2} \omega_0^2 [2 m_1 x + 2 m_2 (L - x)(-1)] = 0$
$m_1 x - m_2 (L - x) = 0$
$m_1 x - m_2 L + m_2 x = 0$
$(m_1 + m_2) x = m_2 L$
$x = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2}$

(B) ઉગમબિંદુની સાપેક્ષ કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણ માટે,કણ પર લાગતું પરિણામી ટોર્ક $\overrightarrow{\tau}$ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
વ્યાખ્યા મુજબ,$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{R} \times \overrightarrow{F}$.
અહીં $\overrightarrow{R} = 2\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$ અને $\overrightarrow{F} = \alpha \hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ આપેલ છે.
સદિશ ગુણાકારની ગણતરી કરતા:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ \alpha & 3 & 6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-36 - (-36)) - \hat{j}(12 - (-12\alpha)) + \hat{k}(6 - (-6\alpha))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(0) - \hat{j}(12 + 12\alpha) + \hat{k}(6 + 6\alpha)$
$\overrightarrow{\tau} = 0$ હોવા માટે,$\hat{j}$ અને $\hat{k}$ બંને ઘટકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$12 + 12\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
$6 + 6\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
આમ,$\alpha$ નું મૂલ્ય $-1$ છે.

(B) આપેલ છે:
વાહનની ઝડપ,$v = 54 \,km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m s^{-1} = 15 \,m s^{-1}$.
પૈડાંની ત્રિજ્યા,$R = 0.45 \,m$.
પૈડાંની જડત્વની ચાકમાત્રા,$I = 3 \,kg m^2$.
વાહનને સ્થિર થવા માટે લાગતો સમય,$t = 15 \,s$.
પૈડાંની પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ $\omega_i = \frac{v}{R} = \frac{15 \,m s^{-1}}{0.45 \,m} = \frac{1500}{45} \,rad s^{-1} = \frac{100}{3} \,rad s^{-1}$ છે.
અંતિમ કોણીય ઝડપ $\omega_f = 0$ છે (કારણ કે વાહન સ્થિર થાય છે).
પૈડાંનો કોણીય પ્રતિપ્રવેગ $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - \frac{100}{3}}{15} = -\frac{100}{45} \,rad s^{-2}$ છે.
સરેરાશ ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = I |\alpha| = 3 \,kg m^2 \times \frac{100}{45} \,rad s^{-2} = \frac{300}{45} \,N m = \frac{20}{3} \,N m \approx 6.66 \,kg m^2 s^{-2}$ થાય.

(D) $m$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diam} = \frac{2}{3} mr^2$ છે.
ત્રીજા કવચ માટે,$XX'$ અક્ષ તેના વ્યાસમાંથી પસાર થાય છે. તેથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_3 = \frac{2}{3} mr^2$ છે.
બાકીના બે કવચ માટે,$XX'$ અક્ષ તેમને સ્પર્શક છે. સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,સ્પર્શકને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{tangent} = I_{cm} + md^2$ છે,જ્યાં $d = r$. તેથી,$I_1 = I_2 = \frac{2}{3} mr^2 + mr^2 = \frac{5}{3} mr^2$.
$XX'$ અક્ષને અનુલક્ષીને સિસ્ટમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{5}{3} mr^2 + \frac{5}{3} mr^2 + \frac{2}{3} mr^2 = \frac{12}{3} mr^2 = 4 mr^2$ થાય.

(B) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપનું સૂત્ર $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM}{R^2}$,તેથી $GM = gR^2$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}} = R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$.
આપેલ કિંમતો: $R = 6.38 \times 10^6 \, m$,$h = 0.25 \times 10^6 \, m$,અને $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
કુલ કક્ષીય ત્રિજ્યા $r = R + h = (6.38 + 0.25) \times 10^6 \, m = 6.63 \times 10^6 \, m$.
હવે,$v_0 = \sqrt{\frac{9.8 \times (6.38 \times 10^6)^2}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{9.8 \times 40.7044 \times 10^{12}}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{60.16 \times 10^6} \approx 7.756 \times 10^3 \, m s^{-1}$.
તેથી,$v_0 \approx 7.76 \, km s^{-1}$.

(B) સૂર્ય અને ગ્રહ વચ્ચેનું ગુરુત્વાકર્ષણ આકર્ષણ બળ ગ્રહની ભ્રમણકક્ષા માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$\therefore \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = \frac{GM}{r} \quad \dots(i)$
ગ્રહનો સમયગાળો $(T)$ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે છે $T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2}$.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $v^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{(\frac{GM}{r})} = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \quad \dots(ii)$
પ્રશ્ન મુજબ,કેપ્લરનો ત્રીજો નિયમ આ રીતે આપવામાં આવ્યો છે:
$T^2 = Kr^3 \quad \dots(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને મળે છે:
$K = \frac{4\pi^2}{GM} \implies GMK = 4\pi^2$.

(C) કેન્દ્રો વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $12R$ છે. અથડામણ ત્યારે થાય છે જ્યારે કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર તેમની ત્રિજ્યાઓના સરવાળા જેટલું હોય,જે $R + 2R = 3R$ છે.
તેથી,અથડામણ પહેલાં બંને પદાર્થો દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $12R - 3R = 9R$ છે.
ધારો કે $M$ અને $5M$ દળ ધરાવતા પદાર્થો દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર અનુક્રમે $x_1$ અને $x_2$ છે. કોઈ બાહ્ય બળ ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે. તેથી,$M x_1 = 5M x_2$,જે આપણને $x_1 = 5x_2$ આપે છે.
આપેલ છે કે $x_1 + x_2 = 9R$,તેથી $5x_2 + x_2 = 9R$ મૂકતા $6x_2 = 9R$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $x_2 = 1.5R$.
ત્યારબાદ,$x_1 = 5(1.5R) = 7.5R$.
નાના પદાર્થ ($M$ દળ) દ્વારા કાપવામાં આવેલું અંતર $7.5R$ છે.

(A) ધારો કે $L$ અને $A$ એ દરેક તારની લંબાઈ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
તારના નીચેના છેડા સમાન સ્તરે રહે તે માટે,બંને તારમાં ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ સમાન હોવું જોઈએ.
ધારો કે સ્ટીલ અને પિત્તળના તાર પર લટકાવેલા વજન અનુક્રમે $W_s$ અને $W_b$ છે.
યંગ મોડ્યુલસની વ્યાખ્યા $Y = \frac{W/A}{\Delta L/L}$ મુજબ,સ્ટીલના તારમાં ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ $\Delta L_s = \frac{W_s L}{Y_s A}$ છે.
પિત્તળના તારમાં ઉત્પન્ન થતું વિસ્તરણ $\Delta L_b = \frac{W_b L}{Y_b A}$ છે.
કારણ કે $\Delta L_s = \Delta L_b$,તેથી $\frac{W_s L}{Y_s A} = \frac{W_b L}{Y_b A}$.
આ સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{W_s}{W_b} = \frac{Y_s}{Y_b}$ મળે છે.
આપેલ છે કે સ્ટીલનો યંગ મોડ્યુલસ પિત્તળ કરતા બમણો છે,એટલે કે $Y_s = 2 Y_b$,તેથી $\frac{Y_s}{Y_b} = 2$.
તેથી,$\frac{W_s}{W_b} = 2$,જેનો અર્થ છે કે ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(C) ધારો કે $\rho_0$ અને $\rho_T$ એ અનુક્રમે પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાને ગ્લિસરીનની ઘનતા છે.
ઘનતા અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $\rho_T = \rho_0(1 - \gamma \Delta T)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ કદ પ્રસરણાંક છે અને $\Delta T$ એ તાપમાનમાં થતો ફેરફાર છે.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{\rho_T}{\rho_0} = 1 - \gamma \Delta T$ મળે છે.
ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
સમીકરણ પરથી,$\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0} = \gamma \Delta T$ મળે છે.
અહીં $\gamma = 5 \times 10^{-4} \ K^{-1}$ અને $\Delta T = 40 \ K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા,ઘનતામાં થતો આંશિક ફેરફાર = $(5 \times 10^{-4} \ K^{-1}) \times (40 \ K) = 200 \times 10^{-4} = 0.02$.

(C) સાતત્યના સમીકરણ (Equation of continuity) મુજબ,ટ્યુબમાં પ્રવાહીનો કદ પ્રવાહ દર (volume flow rate) અચળ રહે છે.
નળાકાર ટ્યુબની અંદર કદ પ્રવાહ દર $A_1 v_1 = \pi R^2 v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ ઝીણા છિદ્રોમાંથી કુલ કદ પ્રવાહ દર $A_2 v_2 = n (\pi r^2) v_{ejection}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પ્રવાહ દરને સરખાવતા:
$\pi R^2 v = n \pi r^2 v_{ejection}$.
બહાર નીકળતા પ્રવાહીની ઝડપ $(v_{ejection})$ માટે ઉકેલતા:
$v_{ejection} = \frac{\pi R^2 v}{n \pi r^2} = \frac{v R^2}{n r^2}$.

(C) કેશનળીમાં પાણી જે ઊંચાઈ સુધી ચઢે છે તે $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો નળીની વાસ્તવિક લંબાઈ $L$ એ સંતુલન ઊંચાઈ $h$ કરતા ઓછી હોય,તો પાણી નળીના ઉપરના છેડા સુધી ચઢશે.
ઉપરના છેડે,મેનિસ્કસની વક્રતા ત્રિજ્યા $R$ એવી રીતે ગોઠવાશે કે જેથી $h' = \frac{2T \cos \theta'}{R \rho g} = L$ થાય,જ્યાં $h' < h$ છે.
કેમ કે ઉપરના ભાગે દબાણ પૃષ્ઠતાણ દ્વારા સંતુલિત રહે છે,તેથી પાણી બહાર વહેશે નહીં પરંતુ વક્રતા ત્રિજ્યામાં ફેરફાર સાથે નળીના ઉપરના ભાગે સ્થિર રહેશે.

(C) આપેલ છે:
મહાસાગરની ઊંડાઈ,$d = 2700 \, m$
પાણીની ઘનતા,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$
પાણીની સંકોચનક્ષમતા,$K = 45.4 \times 10^{-11} \, Pa^{-1}$
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$
મહાસાગરના તળિયે વધારાનું દબાણ $\Delta P = \rho gd$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta P = 10^3 \times 10 \times 2700 = 27 \times 10^6 \, Pa$.
સંકોચનક્ષમતા $K$ એ બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે,એટલે કે $K = \frac{1}{B}$.
કારણ કે $B = \frac{\Delta P}{(\Delta V/V)}$,તેથી $\frac{\Delta V}{V} = K \times \Delta P$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} = (45.4 \times 10^{-11} \, Pa^{-1}) \times (27 \times 10^6 \, Pa)$
$\frac{\Delta V}{V} = 1225.8 \times 10^{-5} = 1.2258 \times 10^{-2} \approx 1.2 \times 10^{-2}$.

(C) બર્નુલીના પ્રમેયનો ઉપયોગ છાપરાની બરાબર ઉપર અને નીચે કરતા:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_0 + 0$
અહીં,$P$ એ છાપરાની ઉપરનું દબાણ છે,$P_0$ એ ઘરની અંદરનું વાતાવરણીય દબાણ છે,અને $v = 40 \ m/s$ એ પવનની ઝડપ છે.
દબાણનો તફાવત $\Delta P = P_0 - P = \frac{1}{2}\rho v^2$ છે.
છાપરા પર લાગતું બળ $F = \Delta P \cdot A = \frac{1}{2}\rho A v^2$ છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \ kg/m^3 \times 250 \ m^2 \times (40 \ m/s)^2$
$F = 0.6 \times 250 \times 1600 = 2.4 \times 10^5 \ N$.
કારણ કે ઘરની અંદરનું દબાણ $(P_0)$ એ છાપરાની ઉપરના દબાણ $(P)$ કરતા વધારે છે,તેથી ચોખ્ખું બળ ઉપરની દિશામાં લાગશે.

(C) આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે. તેથી,$\Delta U_{ABC} = \Delta U_{AC}$.
પ્રક્રિયા $AB$ માટે (સમકદ,$\Delta V = 0$):
$\Delta W_{AB} = 0$
$\Delta Q_{AB} = \Delta U_{AB} = 400 \, J$.
પ્રક્રિયા $BC$ માટે (સમદાબ,$P = 6 \times 10^4 \, Pa$):
$\Delta W_{BC} = P \Delta V = 6 \times 10^4 \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = 6 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 120 \, J$.
$\Delta Q_{BC} = \Delta U_{BC} + \Delta W_{BC} \implies 100 = \Delta U_{BC} + 120 \implies \Delta U_{BC} = -20 \, J$.
માર્ગ $ABC$ માટે આંતરિક ઉર્જામાં કુલ ફેરફાર:
$\Delta U_{AC} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} = 400 - 20 = 380 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ માટે,કાર્ય $\Delta W_{AC}$ એ $PV$ આલેખમાં રેખા $AC$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ છે,જે એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે:
$\Delta W_{AC} = \text{Area} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_C) \times (V_C - V_A) = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^4 + 6 \times 10^4) \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = \frac{1}{2} \times 8 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 80 \, J$.
પ્રક્રિયા $AC$ માટે ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + \Delta W_{AC} = 380 + 80 = 460 \, J$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5R}{2}$ છે.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta U = n \left( \frac{5R}{2} \right) (T_B - T_A)$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે $T = \frac{PV}{nR}$ લખી શકીએ,તેથી $\Delta U = \frac{5}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$.
આપેલ આલેખ પરથી,બિંદુ $A$ પર: $P_A = 5 \times 10^3 \, Pa$ અને $V_A = 4 \, m^3$.
બિંદુ $B$ પર: $P_B = 2 \times 10^3 \, Pa$ અને $V_B = 6 \, m^3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = \frac{5}{2} [(2 \times 10^3 \times 6) - (5 \times 10^3 \times 4)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [12 \times 10^3 - 20 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [-8 \times 10^3]$
$\Delta U = -20 \times 10^3 \, J = -20 \, kJ$.

(C) આકૃતિમાં એક આદર્શ વાયુને તેના પ્રારંભિક કદ $V_0$ થી $\frac{V_0}{2}$ સુધી વિવિધ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સંકોચવા માટેનો $P-V$ આલેખ દર્શાવેલ છે.
વાયુ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય એ $P-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
જેમ કે $P-V$ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે મહત્તમ છે,તેથી વાયુ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે મહત્તમ હોય છે.

(B) રેફ્રિજરેટરનો પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(COP)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\alpha = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$
જ્યાં $T_1$ એ ગરમ સંગ્રાહક (પર્યાવરણ) નું તાપમાન છે અને $T_2$ એ ઠંડા સંગ્રાહક (ફ્રીઝર) નું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે: $\alpha = 5$,$T_2 = -20^{\circ}C = (-20 + 273) K = 253 K$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$5 = \frac{253}{T_1 - 253}$
$5(T_1 - 253) = 253$
$5T_1 - 1265 = 253$
$5T_1 = 1518$
$T_1 = \frac{1518}{5} = 303.6 K$
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર કરતા:
$T_1 = 303.6 - 273 = 30.6^{\circ}C \approx 31^{\circ}C$.

(A) ધારો કે $A$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ સરળ આવર્ત ગતિની કોણીય આવૃત્તિ છે.
મહત્તમ પ્રવેગ $\alpha = \omega^2 A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે $(i)$.
મહત્તમ વેગ $\beta = \omega A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
તેથી,દોલનનો આવર્તકાળ $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{(\alpha / \beta)} = \frac{2\pi \beta}{\alpha}$.

(C) આપેલ બે સ્થાનાંતરો:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t) = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
પરિણામી સ્થાનાંતર $y = y_1 + y_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$
કંપવિસ્તાર શોધવા માટે,આપણે તેને $y = A \sin(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં લખી શકીએ,જ્યાં પરિણામી કંપવિસ્તાર $A$ છે:
$A = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\frac{\pi}{2})}$
કારણ કે $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ છે,તેથી કંપવિસ્તાર:
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$
આમ,પરિણામી ગતિ $\sqrt{a^2 + b^2}$ કંપવિસ્તાર ધરાવતી સરળ આવર્ત ગતિ છે.

(B) $SHM$ માં,મધ્યમાન સ્થાનથી $x$ અંતરે કણનો વેગ $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ કંપવિસ્તાર છે અને $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને મળે $V^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$.
$x_1$ અને $x_2$ અંતર માટે,આપણી પાસે છે:
$V_1^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2) \dots (i)$
$V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_2^2) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $(ii)$ બાદ કરતા:
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2 - a^2 + x_2^2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2)$
$\omega^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ હોવાથી,$\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
આ કિંમત $\omega^2$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
$T^2 = 4\pi^2 \left(\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}\right)$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(A) આપેલ છે:
સ્ત્રોતની આવૃત્તિ,$f_{0} = 100 \, Hz$
સ્ત્રોતનો વેગ,$v_{s} = 19.4 \, m s^{-1}$
હવામાં ધ્વનિનો વેગ,$v = 330 \, m s^{-1}$
સ્ત્રોત અને અવલોકનકારને જોડતી રેખા પર સ્ત્રોતના વેગનો ઘટક $v_{s} \cos 60^{\circ}$ છે. કારણ કે સ્ત્રોત અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યો છે,તેથી આભાસી આવૃત્તિ $f'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$f' = f_{0} \left( \frac{v}{v + v_{s} \cos 60^{\circ}} \right)$
કિંમતો મૂકતા:
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times \cos 60^{\circ}} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times 0.5} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 9.7} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{339.7} \right) \approx 97.14 \, Hz$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,આભાસી આવૃત્તિ $97 \, Hz$ છે.

(A) બંને છેડે જડેલી દોરી માટે,અનુનાદિત આવૃત્તિઓ $v_n = n \cdot v_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_0$ એ મૂળભૂત આવૃત્તિ (સૌથી ઓછી અનુનાદિત આવૃત્તિ) છે અને $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
કોઈપણ બે ક્રમિક અનુનાદિત આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત $\Delta v = v_{n+1} - v_n = (n+1)v_0 - nv_0 = v_0$ છે.
આપેલ છે કે $420\, Hz$ અને $315\, Hz$ એ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ છે અને તેમની વચ્ચે અન્ય કોઈ અનુનાદિત આવૃત્તિઓ નથી,તેથી તેઓ ક્રમિક હાર્મોનિક્સ હોવા જોઈએ.
તેથી,મૂળભૂત આવૃત્તિ $v_0$ એ આ બે આવૃત્તિઓ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$v_0 = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.

(B) ચૂંક $4.0 \, g$ વાયુ $NTP$ પર $22.4 \, L$ કદ રોકે છે,તેથી વાયુનું આણ્વીય દળ $M = 4.0 \, g \, mol^{-1} = 4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$ છે.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ છે.
$\gamma$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$\gamma = \frac{M v^2}{R T}$ મળે.
અહીં $v = 952 \, m s^{-1}$,$R = 8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}$ અને $T = 273 \, K$ ($NTP$ પર) છે:
$\gamma = \frac{(4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}) \times (952 \, m s^{-1})^2}{(8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}) \times (273 \, K)} \approx 1.6$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,તેથી $C_p = \gamma C_v$.
$C_v = 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ આપેલ હોવાથી,$C_p = 1.6 \times 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1} = 8.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ મળે.

(C) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $(\eta)$ અને રેફ્રિજરેટરના પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\beta)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\beta = \frac{1 - \eta}{\eta}$
અહીં $\eta = 1/10$ આપેલ છે,તેથી પરફોર્મન્સ ગુણાંક:
$\beta = \frac{1 - 1/10}{1/10} = \frac{9/10}{1/10} = 9$
પરફોર્મન્સ ગુણાંક $(\beta)$ ને ઠંડા રિઝર્વોયરમાંથી શોષાયેલી ઉષ્મા $(Q_2)$ અને સિસ્ટમ પર થયેલા કાર્ય $(W)$ ના ગુણોત્તર તરીકે પણ વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\beta = \frac{Q_2}{W}$
અહીં $W = 10 \ J$ અને $\beta = 9$ આપેલ છે,તેથી:
$9 = \frac{Q_2}{10 \ J}$
$Q_2 = 9 \times 10 \ J = 90 \ J$
આમ,નીચા તાપમાને રહેલા રિઝર્વોયરમાંથી શોષાયેલી ઉર્જા $90 \ J$ છે.

(B) બંધ ઓર્ગન પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $f_c = \frac{v}{4\ell_c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\ell_c = 20\; cm$ છે.
ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપની આવૃત્તિઓ $f_n = \frac{nv}{2\ell_o}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$ છે.
પ્રથમ ઓવરટોન $n=2$ છે,અને બીજો ઓવરટોન $n=3$ છે.
તેથી,ખુલ્લી ઓર્ગન પાઈપનો બીજો ઓવરટોન $f_{o,2} = \frac{3v}{2\ell_o}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંધ પાઈપની મૂળભૂત આવૃત્તિ એ ખુલ્લી પાઈપના બીજા ઓવરટોન જેટલી છે:
$\frac{v}{4\ell_c} = \frac{3v}{2\ell_o}$
બંને બાજુથી $v$ ને દૂર કરતા:
$\frac{1}{4\ell_c} = \frac{3}{2\ell_o}$
$\ell_o$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\ell_o = \frac{3 \times 4\ell_c}{2} = 6\ell_c$
$\ell_c = 20\; cm$ મૂકતા:
$\ell_o = 6 \times 20\; cm = 120\; cm$.

(C) આપેલ સ્થિતિમાન વિધેય: $V = 6xy - y + 2yz$.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6y$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 6x - 1 + 2z$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 2y$
તેથી,$\vec{E} = -[ (6y)\hat{i} + (6x - 1 + 2z)\hat{j} + (2y)\hat{k} ]$.
બિંદુ $(1, 1, 0)$ પર કિંમત મૂકતા:
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -[ (6 \times 1)\hat{i} + (6 \times 1 - 1 + 2 \times 0)\hat{j} + (2 \times 1)\hat{k} ]$
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -(6\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) \ N/C$.

(D) શરૂઆતમાં,કેપેસિટર $q = CV$ જેટલો ચાર્જ થાય છે. જ્યારે સેલને દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ રહે છે.
ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ દાખલ કર્યા પછી,નવું કેપેસિટન્સ $C' = KC$ થાય છે.
પ્લેટો વચ્ચેનો નવો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V' = \frac{q}{C'} = \frac{CV}{KC} = \frac{V}{K}$ થાય છે. આમ,વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $K$ ગણો ઘટે છે.
શરૂઆતની સંગ્રહિત ઉર્જા $U_1 = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2$ છે.
અંતિમ સંગ્રહિત ઉર્જા $U_2 = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2KC} = \frac{U_1}{K}$ છે. આમ,ઉર્જા $K$ ગણી ઘટે છે.
ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{q^2}{2KC} - \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2\left(\frac{1}{K} - 1\right)$ છે.
કેપેસિટરને સેલથી દૂર કરવામાં આવ્યું હોવાથી,પ્લેટો પરનો વિદ્યુતભાર $q$ અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે. તેથી,વિદ્યુતભાર સંરક્ષિત નથી તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચે લાગતું આકર્ષણ બળ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$F = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$
જ્યાં $Q$ એ કેપેસિટર પરનો વિદ્યુતભાર છે,$\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે અને $A$ એ દરેક પ્લેટનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે વિદ્યુતભાર $Q$,કેપેસિટન્સ $C$ અને વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$Q = CV$
વળી,સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \implies \varepsilon_0 A = Cd$
આ કિંમતોને બળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$F = \frac{(CV)^2}{2(Cd)}$
$F = \frac{C^2 V^2}{2Cd}$
$F = \frac{CV^2}{2d}$

(C) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{en}}{\varepsilon_0}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = Ar$ ત્રિજ્યાવર્તી રીતે બહારની તરફ છે,તેથી $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ગોળાકાર સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = Aa$ થશે.
ગોળાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $S = 4\pi a^2$ છે.
ગોળાની સપાટી પર વિદ્યુતક્ષેત્ર સમાન હોવાથી અને તે ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં હોવાથી,ફ્લક્સ $\phi = E \times S = (Aa) \times (4\pi a^2) = 4\pi A a^3$ થશે.
ગોસના નિયમ સાથે સરખાવતા: $4\pi A a^3 = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
તેથી,સમાયેલ વિદ્યુતભાર $q = 4\pi \varepsilon_0 A a^3$ થશે.

(B) બંને ધાતુના તાર સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,તેમની લંબાઈ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ સમાન હશે. ધારો કે તે અનુક્રમે $l$ અને $A$ છે.
પ્રથમ તારનો અવરોધ $R_1 = \frac{l}{\sigma_1 A}$ ...$(i)$
બીજા તારનો અવરોધ $R_2 = \frac{l}{\sigma_2 A}$ ...$(ii)$
તેઓ શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોવાથી,તેમનો અસરકારક અવરોધ $R_s = R_1 + R_2$ થાય.
$R_s = \frac{l}{\sigma_1 A} + \frac{l}{\sigma_2 A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} \right)$ ...$(iii)$
જો $\sigma_{eff}$ એ સંયોજનની અસરકારક વાહકતા હોય,તો કુલ લંબાઈ $2l$ થાય અને કુલ અવરોધ $R_s = \frac{2l}{\sigma_{eff} A}$ થાય ...$(iv)$
સમીકરણ $(iii)$ અને $(iv)$ ને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{2l}{\sigma_{eff} A} = \frac{l}{A} \left( \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2} \right)$
$\frac{2}{\sigma_{eff}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$
$\sigma_{eff} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$

(C) પોટેન્શિયોમીટરના તારમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ પ્રાથમિક પરિપથના કુલ ઈ.એમ.એફ. ને કુલ અવરોધ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$I = \frac{E_0}{r + r_1}$
પોટેન્શિયોમીટરના તારની કુલ લંબાઈ $L$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ છે:
$V = I r = \frac{E_0 r}{r + r_1}$
તાર પરનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k$ એ એકમ લંબાઈ દીઠ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત છે:
$k = \frac{V}{L} = \frac{E_0 r}{(r + r_1) L}$
અજ્ઞાત ઈ.એમ.એફ. $E$ ને $l$ લંબાઈ પર સંતુલિત કરવામાં આવે છે,તેથી $l$ લંબાઈ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઘટાડો $E$ જેટલો હોવો જોઈએ:
$E = k l = \left( \frac{E_0 r}{(r + r_1) L} \right) l = \frac{E_0 r l}{(r + r_1) L}$

(C) સર્કિટ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે.
પ્રથમ,એમીટરનો અસરકારક અવરોધ $(R_A)$ ગણો. કારણ કે કોઈલનો અવરોધ $(480\,\Omega)$ અને શંટનો અવરોધ $(20\,\Omega)$ સમાંતર જોડાણમાં છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ:
$R_A = \frac{480 \times 20}{480 + 20} = \frac{9600}{500} = 19.2\,\Omega$
એમીટર $40.8\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ હોવાથી,સર્કિટનો કુલ અવરોધ $(R_{total})$:
$R_{total} = 40.8\,\Omega + 19.2\,\Omega = 60\,\Omega$
ઓહ્મના નિયમ $(I = V/R)$ નો ઉપયોગ કરતા,સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ:
$I = \frac{30\,V}{60\,\Omega} = 0.5\,A$
આમ,એમીટરનું રીડિંગ $0.5\,A$ હશે.

(A) જરૂરી પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ $k = 1\, mV/cm = 10^{-3}\, V / 10^{-2}\, m = 0.1\, V/m$.
પોટેન્શિયોમીટરના તારની લંબાઈ $L = 4\, m$.
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_w = k \times L = 0.1 \times 4 = 0.4\, V$.
પરિપથમાં $E = 2\, V$ ની બેટરી,અવરોધ $R$ અને $R_w = 8\, \Omega$ નો પોટેન્શિયોમીટરનો તાર શ્રેણીમાં જોડાયેલા છે.
પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R + R_w} = \frac{2}{R + 8}$.
તારના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_w = I \times R_w$.
કિંમતો મૂકતા: $0.4 = \left( \frac{2}{R + 8} \right) \times 8$.
$0.4 = \frac{16}{R + 8}$.
$R + 8 = \frac{16}{0.4} = 40$.
$R = 40 - 8 = 32\, \Omega$.

(A) ધારો કે પરિપથમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$ છે. આ પ્રવાહ $I$ વોલ્ટમીટર $A$ માંથી પસાર થાય છે.
જંકશન પર,પ્રવાહ $I$ બે સમાંતર શાખાઓમાં વિભાજિત થાય છે જેમાં વોલ્ટમીટર $B$ અને $C$ છે. ધારો કે $B$ અને $C$ માંથી વહેતો પ્રવાહ અનુક્રમે $I_B$ અને $I_C$ છે.
$B$ અને $C$ સમાંતરમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$V_B = V_C \implies I_B \times (1.5R) = I_C \times (3R) \implies I_B = 2I_C$.
વળી,$I_B + I_C = I$. $I_B = 2I_C$ મૂકતા,આપણને $3I_C = I$ મળે છે,તેથી $I_C = I/3$ અને $I_B = 2I/3$.
વોલ્ટમીટરના અવલોકનો નીચે મુજબ છે:
$V_A = I \times R = IR$
$V_B = I_B \times 1.5R = (2I/3) \times (3R/2) = IR$
$V_C = I_C \times 3R = (I/3) \times 3R = IR$
આમ,$V_A = V_B = V_C$.

(B) ધાતુના વાહક માટે, વિદ્યુતભારના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત (સ્થાયી પ્રવાહ) મુજબ કોઈપણ આડછેદમાંથી વહેતો કુલ વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ સમાન હોવો જોઈએ.
કારણ કે $I = nAev_d$ અને $J = I/A = nev_d$, જો આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ બદલાય, તો પ્રવાહ ઘનતા $J$ અને ડ્રિફ્ટ વેગ $v_d$ પણ બદલાવા જોઈએ જેથી $I$ અચળ રહે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = J/\sigma$ પણ આડછેદના ક્ષેત્રફળ સાથે બદલાય છે.
તેથી, વિદ્યુત પ્રવાહ $I$ એ એકમાત્ર રાશિ છે જે વાહક પર અચળ રહે છે.

(C) આપેલ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. તાર ત્રણ ભાગોનો બનેલો છે: $X$-અક્ષને સમાંતર બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર અને $Y-Z$ સમતલમાં એક અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ.
$1$. બે અર્ધ-અનંત સીધા તાર ($1$ અને $3$) માટે: અર્ધ-અનંત તારને કારણે $O$ પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,બંને તાર બિંદુ $O$ પર $-\hat{k}$ દિશામાં ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. તેથી,$\vec{B}_{1} = \vec{B}_{3} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k}$.
$2$. અર્ધવર્તુળાકાર ચાપ $(2)$ માટે: $R$ ત્રિજ્યાના અર્ધવર્તુળાકાર ચાપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ છે. જમણા હાથના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ક્ષેત્ર $-\hat{i}$ દિશામાં છે. તેથી,$\vec{B}_{2} = -\frac{\mu_{0} I}{4 R} \hat{i}$.
$3$. બિંદુ $O$ પર કુલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ સરવાળો છે: $\vec{B} = \vec{B}_{1} + \vec{B}_{2} + \vec{B}_{3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{B} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k} - \frac{\mu_{0} I}{4 R} \hat{i} - \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k}$.
$-\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$ સામાન્ય લેતા: $\vec{B} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\pi \hat{i} + 2 \hat{k})$.

(D) ધારો કે ચોરસ ફ્રેમના કેન્દ્રનું તારથી અંતર $x$ છે. ફ્રેમની ડાબી બાજુ તારથી $(x - a/2)$ અંતરે છે અને જમણી બાજુ $(x + a/2)$ અંતરે છે.
લાંબા તારને કારણે $r$ અંતરે ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ છે.
ડાબી બાજુ (લંબાઈ $a$) માં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ $\varepsilon_1 = B_1 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x - a/2)} a V$ છે.
જમણી બાજુ (લંબાઈ $a$) માં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ $\varepsilon_2 = B_2 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + a/2)} a V$ છે.
ફ્રેમમાં પ્રેરિત કુલ $emf$ $\varepsilon = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ છે.
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{1}{x - a/2} - \frac{1}{x + a/2} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{2}{2x - a} - \frac{2}{2x + a} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{(2x + a) - (2x - a)}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{2a}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
આમ,$\varepsilon \propto \frac{1}{(2x - a)(2x + a)}$.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણ માટે વર્તુળાકાર કક્ષાની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $K$ એ ગતિ ઊર્જા છે.
ગતિ ઊર્જા $K$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને $K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$ મળે છે.
પ્રોટોન $(p)$ અને આલ્ફા કણ $(\alpha)$ માટે, કારણ કે $B$ અને $R$ સમાન છે, તેમની ગતિ ઊર્જાનો ગુણોત્તર:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \left(\frac{q_{\alpha}}{q_{p}}\right)^2 \left(\frac{m_{p}}{m_{\alpha}}\right)$.
અહીં $q_{\alpha} = 2q_{p}$ અને $m_{\alpha} = 4m_{p}$ આપેલ છે, તેથી:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = (2)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
તેથી, $K_{\alpha} = K_{p} = 1 \, MeV$.

(D) $e$ વિદ્યુતભાર ધરાવતો ઇલેક્ટ્રોન $n$ આવૃત્તિ (પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણ) સાથે વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરે ત્યારે ઉદ્ભવતો પ્રવાહ $I = q \times f = e \times n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર પ્રવાહધારિત લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ છે.
પ્રવાહ $I = ne$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા:
$B = \frac{\mu_0 (ne)}{2r} = \frac{\mu_0 ne}{2r}$.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલી વિદ્યુતપ્રવાહધારિત કોઈલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = N I A B \sin \theta$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ કોઈલના સમતલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રની દિશા વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે: $N = 50$,$I = 2\, A$,$B = 0.2\, Wb/m^2$,અને ક્ષેત્રફળ $A = 0.12\, m \times 0.1\, m = 0.012\, m^2$.
કોઈલનું સમતલ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે $30^{\circ}$ ના ખૂણે છે,તેથી કોઈલના લંબ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\tau = 50 \times 2 \times 0.012 \times 0.2 \times \sin 60^{\circ}$.
$\tau = 100 \times 0.0024 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.24 \times 0.866 = 0.2078\, Nm \approx 0.20\, Nm$.

(A) જ્યારે પ્રકાશનો કિરણપુંજ કાટકોણ પ્રિઝમ $ABC$ ની સપાટી $AB$ પર લંબરૂપે આપાત થાય છે,ત્યારે સપાટી $AB$ પર કોઈ વક્રીભવન થતું નથી. પ્રકાશ સીધો પસાર થાય છે અને સપાટી $AC$ પર $i = 45^{\circ}$ ના આપાતકોણે અથડાય છે.
સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન થવા માટે,શરત $i > i_c$ છે,જ્યાં $i_c$ એ ક્રાંતિકોણ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin i_c = \frac{1}{\mu}$. તેથી,પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન માટેની શરત $\sin i > \frac{1}{\mu}$ અથવા $\mu > \frac{1}{\sin i}$ છે.
અહીં $i = 45^{\circ}$ આપેલ છે,તેથી $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$. આમ,શરત $\mu > \sqrt{2} \approx 1.414$ બને છે.
વક્રીભવનાંકની સરખામણી કરતા:
લાલ માટે: $\mu_{\text{red}} = 1.39 < 1.414$.
લીલા માટે: $\mu_{\text{green}} = 1.44 > 1.414$.
વાદળી માટે: $\mu_{\text{blue}} = 1.47 > 1.414$.
કારણ કે $\mu_{\text{red}} < 1.414$ છે,લાલ પ્રકાશ સપાટી $AC$ માંથી વક્રીભવન પામીને બહાર આવશે. કારણ કે $\mu_{\text{green}}$ અને $\mu_{\text{blue}}$ બંને $1.414$ કરતા વધારે છે,તેથી લીલો અને વાદળી બંને પ્રકાશ સપાટી $AC$ પર પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તન અનુભવશે.
તેથી,પ્રિઝમ લાલ રંગને લીલા અને વાદળી રંગોથી અલગ કરશે.

(C) લેન્સ મેકરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
બે સમાન સમતલ-બહિર્ગોળ લેન્સ ($f_1$ અને $f_2$) માટે:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
તે જ રીતે,$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
વચ્ચે બનેલો તેલનો લેન્સ એ અંતર્ગોળ લેન્સ છે જેની વક્રતા ત્રિજ્યા $R_1 = -20 \, cm$ અને $R_2 = 20 \, cm$ છે.
તેલના લેન્સ $(f_3)$ માટે:
$\frac{1}{f_3} = (1.7 - 1) \left( \frac{1}{-20} - \frac{1}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{1}{10} \right) = -\frac{0.7}{10} = -\frac{7}{100} \, cm^{-1}$.
સંયોજનની કેન્દ્રલંબાઈ $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\frac{1}{f} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} - \frac{7}{100} = \frac{2}{40} - \frac{7}{100} = \frac{1}{20} - \frac{7}{100}$.
$\frac{1}{f} = \frac{5 - 7}{100} = -\frac{2}{100} = -\frac{1}{50}$.
તેથી,$f = -50 \, cm$.

(B) પ્રિઝમના વક્રીભવન કોણ $A$ અને લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta$ ના સંદર્ભમાં વક્રીભવનાંક $\mu$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\mu = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
અહીં $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$ આપેલ છે,તેથી:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
બંને બાજુથી $\sin(A/2)$ દૂર કરતા:
$\cos(A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(90^o - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(90^o - A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
ખૂણાઓની સરખામણી કરતા:
$90^o - A/2 = (A+\delta)/2$
$180^o - A = A + \delta$
$\delta = 180^o - 2A$

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ છે,જ્યાં $\lambda$ એ આપાત પ્રકાશની તરંગલંબાઈ છે અને $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
આપેલ છે: $\lambda = 500\, nm$,$hc = 1240\, eV\, nm$,અને $\phi_0 = 2.28\, eV$.
$K_{\max} = \frac{1240\, eV\, nm}{500\, nm} - 2.28\, eV = 2.48\, eV - 2.28\, eV = 0.2\, eV$.
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda_e$ અને ગતિઊર્જા $K$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ છે. કારણ કે $K \le K_{\max}$,ન્યૂનતમ તરંગલંબાઈ મહત્તમ ગતિઊર્જાને અનુરૂપ છે: $\lambda_{\min} = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$.
$h = 6.6 \times 10^{-34}\, J\, s$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,અને $K_{\max} = 0.2 \times 1.6 \times 10^{-19}\, J$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_{\min} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.32 \times 10^{-19}}} \approx 2.8 \times 10^{-9}\, m$.
કારણ કે $K \le K_{\max}$,તેથી $\lambda_e \ge \lambda_{\min}$. આમ,$\lambda_e \ge 2.8 \times 10^{-9}\, m$.

(B) ધારો કે પદાર્થની સપાટીનું વર્ક ફંક્શન $\phi_{0}$ છે. આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,પ્રથમ કિસ્સામાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max 1} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,તરંગલંબાઈ $\lambda/2$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max 2} = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi_{0} = \frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0}$ છે.
આપેલ છે કે $K_{\max 2} = 3 K_{\max 1}$,તેથી કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = 3 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0} \right)$.
સમીકરણનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - 3\phi_{0}$.
પદોને ગોઠવતા: $3\phi_{0} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda}$.
$2\phi_{0} = \frac{hc}{\lambda}$.
તેથી,વર્ક ફંક્શન $\phi_{0} = \frac{hc}{2\lambda}$ મળે છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટો-ઇલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$,જ્યાં $\phi_0$ એ વર્ક ફંક્શન છે.
કિસ્સો $(i)$: $\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $3V_0$ છે:
$3eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ......... $(1)$
કિસ્સો $(ii)$: $2\lambda$ તરંગલંબાઈ માટે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_0$ છે:
$eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi_0$ ......... $(2)$
સમીકરણ $(2)$ ને $3$ વડે ગુણતા:
$3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$ ......... $(3)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(3)$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$
$2\phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઈ $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi_0}$ હોવાથી,$\phi_0$ ની કિંમત મૂકતા:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ કણના વેગમાન $p$ સાથે સમીકરણ $\lambda = \frac{h}{p}$ દ્વારા સંબંધિત છે, જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણને $p \lambda = h$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
જેহেতু $h$ અચળ છે, તેથી $p$ અને $\lambda$ નો ગુણાકાર અચળ રહે છે $(p \lambda = \text{constant})$.
આ સંબંધ $p-\lambda$ સમતલમાં લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે, જેમાં જેમ $\lambda$ વધે છે તેમ $p$ ઘટે છે.
તેથી, આકૃતિ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખ આ વ્યસ્ત સંબંધને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(D) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $X$ થી $Y$ તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓ કોઈલ $abcd$ માંથી કોઈલના સમતલને લંબ રૂપે (પાનાની અંદરની તરફ) પસાર થાય છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન કોઈલની નજીક આવે છે,તેમ કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ વધે છે. લેન્ઝના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત પ્રવાહ આ વધારાનો વિરોધ કરશે અને વિરુદ્ધ દિશામાં (પાનાની બહારની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જે વિષમઘડી દિશા $(adcb)$ ને અનુરૂપ છે.
જેમ ઇલેક્ટ્રોન કોઈલથી દૂર જાય છે,તેમ કોઈલ સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ ઘટે છે. પ્રેરિત પ્રવાહ હવે આ ઘટાડાનો વિરોધ કરશે અને મૂળ ક્ષેત્રની દિશામાં (પાનાની અંદરની તરફ) ચુંબકીય ક્ષેત્ર ઉત્પન્ન કરશે,જે સમઘડી દિશા $(abcd)$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,જેમ ઇલેક્ટ્રોન કોઈલની આગળ નીકળી જશે તેમ પ્રવાહ તેની દિશા બદલશે.

(C) શ્રેણી $R-C$ પરિપથમાં પ્રવાહ $i$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$i = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}$
કેપેસિટર પરનો વોલ્ટેજ $V = i X_C = i \cdot \frac{1}{\omega C}$ છે.
$i$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$
જ્યારે કેપેસિટર માઈકા (ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $K > 1$) થી ભરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું કેપેસિટન્સ વધે છે,તેથી $C_b > C_a$.
$1$. પ્રવાહ માટે: જેમ $C$ વધે છે,તેમ $X_C = 1/\omega C$ ઘટે છે,તેથી ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ ઘટે છે. આમ,$i_b > i_a$.
$2$. કેપેસિટર પરના વોલ્ટેજ માટે: $V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$ પરથી,જેમ $C$ વધે છે,તેમ છેદ વધે છે,જેનો અર્થ છે કે $V$ ઘટે છે. તેથી,$V_b < V_a$,અથવા $V_a > V_b$.

(A) કિસ્સો $I$: શુદ્ધ અવરોધક પરિપથ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{R}$,તેથી $P = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R}$,જેનો અર્થ છે કે $V_{\text{rms}}^2 = P R$ ... $(i)$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે ઇન્ડક્ટન્સ $L$ ને અવરોધ $R$ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પરિપથ $LR$ પરિપથ બને છે જેનો ઇમ્પિડન્સ $Z$ છે.
$AC$ પરિપથમાં વપરાતો પાવર $P' = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ એ પાવર ફેક્ટર છે.
અહીં,$I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $P' = V_{\text{rms}} \times \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) \times \left( \frac{R}{Z} \right) = V_{\text{rms}}^2 \frac{R}{Z^2}$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$V_{\text{rms}}^2 = P R$,તેથી $P' = (P R) \frac{R}{Z^2} = P \left( \frac{R}{Z} \right)^2$.

(B) ફોટોનની ઉર્જા $E = pc$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $p$ એ ફોટોનનું વેગમાન છે અને $C$ એ પ્રકાશની ગતિ છે.
તેથી,સપાટી પર આપાત થતા વિકિરણનું પ્રારંભિક વેગમાન $p_i = E/C$ છે.
સપાટી સંપૂર્ણ પરાવર્તક હોવાથી,વિકિરણ સમાન વેગમાનના મૂલ્ય સાથે પરંતુ વિરુદ્ધ દિશામાં પરાવર્તિત થાય છે.
આમ,વિકિરણનું અંતિમ વેગમાન $p_f = -E/C$ છે.
સપાટીને સ્થાનાંતરિત થતું વેગમાન એ વિકિરણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર છે,જે $\Delta p = p_i - p_f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta p = E/C - (-E/C) = E/C + E/C = 2E/C$.

(B) ફોટોનની ઊર્જા $E$ અને તેની તરંગલંબાઈ $\lambda$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{hc}{E}$ છે.
અહીં,$E = 15\, keV = 15 \times 10^3\, eV$ આપેલ છે.
$hc$ નું મૂલ્ય આશરે $1240\, eV\, nm$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,$\lambda = \frac{1240\, eV\, nm}{15 \times 10^3\, eV} \approx 0.083\, nm$ મળે છે.
$X$-કિરણોની તરંગલંબાઈનો વિસ્તાર સામાન્ય રીતે $1\, nm$ થી $10^{-3}\, nm$ સુધીનો હોય છે.
આમ,$0.083\, nm$ આ વિસ્તારમાં આવતું હોવાથી,આ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગો $X$-કિરણોના વર્ણપટનો ભાગ છે.

(A) આપેલ છે:
સ્લિટો વચ્ચેનું અંતર $d = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
પડદાનું અંતર $D = 1\, m$
તરંગલંબાઇ $\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$
સિંગલ સ્લિટ વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ $w = \frac{2\lambda D}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $a$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
દ્વિ-સ્લિટ વ્યતિકરણ ભાતમાં એક શલાકાની પહોળાઈ $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સિંગલ સ્લિટ ભાતના મધ્યસ્થ અધિકતમમાં દ્વિ-સ્લિટ ભાતના $10$ અધિકતમ સમાયેલા છે.
તેથી,$\frac{2\lambda D}{a} = 10 \times \frac{\lambda D}{d}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{2}{a} = \frac{10}{d}$.
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$.
$d = 1\, mm$ મૂકતા:
$a = \frac{1\, mm}{5} = 0.2\, mm$.

(B) પ્રકાશની તીવ્રતા $I$ એ સ્લિટની પહોળાઈ $W$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,અને તરંગના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના પણ સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$\therefore \frac{I_1}{I_2} = \frac{W_1}{W_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2}$
આપેલ પહોળાઈનો ગુણોત્તર $\frac{W_1}{W_2} = \frac{1}{25}$ હોવાથી:
$\frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{1}{25} \implies \frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{5}$ કિંમત મૂકતા:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\frac{1}{5} + 1}{\frac{1}{5} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{5}} \right)^2 = \left( -\frac{6}{4} \right)^2 = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$

(A) એક સ્લિટના વિવર્તનમાં,મધ્યસ્થ અધિકતમની બંને બાજુએ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટેની શરત $a \sin \theta = \pm \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$ થાય.
પડદાના કેન્દ્રથી પ્રથમ ન્યૂનતમનું અંતર $y = D \tan \theta \approx D \theta = \frac{D \lambda}{a}$ છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમ બંને બાજુના પ્રથમ ન્યૂનતમની વચ્ચે આવેલું હોય છે,તેથી તેની કુલ પહોળાઈ $2y = \frac{2D \lambda}{a}$ થાય.

(D) આ પરિસ્થિતિ આકૃતિમાં દર્શાવેલ છે. આકૃતિમાં,$A$ અને $B$ એ $a$ પહોળાઈ ધરાવતી સ્લિટ $AB$ ની ધાર દર્શાવે છે અને $C$ એ સ્લિટનું મધ્યબિંદુ દર્શાવે છે. $P$ આગળ પ્રથમ ન્યૂનતમ માટે,શરત નીચે મુજબ છે:
$a \sin \theta = \lambda$ ...... $(i)$
જ્યાં $\lambda$ એ પ્રકાશની તરંગલંબાઇ છે.
ધાર $A$ અને મધ્યબિંદુ $C$ માંથી આવતા તરંગો વચ્ચેનો પથ તફાવત $\Delta x$ નીચે મુજબ છે:
$\Delta x = \frac{a}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}(a \sin \theta) = \frac{\lambda}{2}$ (સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા).
તેને અનુરૂપ કળા તફાવત $\Delta \phi$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi \text{ rad}$.

(A) લાયમન શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$ છે.
લાયમન શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,આપણે $n = 2$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
બામર શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,આપણે $n = 3$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R\left(\frac{9-4}{36}\right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B} = \frac{36}{5R}$.
લાયમન શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને બામર શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{5}{27}$.

(B) બોહરના સિદ્ધાંત મુજબ,હાઇડ્રોજન જેવા પરમાણુની $n^{th}$ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_n = v_0 \times \frac{Z}{n}$
જ્યાં $v_0 = 2.18 \times 10^6 \; m/s$ એ હાઇડ્રોજન પરમાણુની પ્રથમ કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ છે.
$He^{+}$ માટે,$Z = 2$ અને $3^{rd}$ કક્ષા માટે,$n = 3$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$v_3 = (2.18 \times 10^6) \times \frac{2}{3} \; m/s$
$v_3 = 2.18 \times 10^6 \times 0.666... \; m/s$
$v_3 \approx 1.453 \times 10^6 \; m/s \approx 1.46 \times 10^6 \; m/s$.

(D) જો $\vec{p}_{Th}$ અને $\vec{p}_{He}$ એ અનુક્રમે થોરિયમ અને હિલિયમ ન્યુક્લિયસના વેગમાન હોય,તો રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$0 = \vec{p}_{Th} + \vec{p}_{He}$ અથવા $\vec{p}_{Th} = -\vec{p}_{He}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બંને વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે. પરંતુ મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,$p_{Th} = p_{He}$.
જો $m_{Th}$ અને $m_{He}$ એ અનુક્રમે થોરિયમ અને હિલિયમ ન્યુક્લિયસના દળ હોય,તો થોરિયમ ન્યુક્લિયસની ગતિઊર્જા $K_{Th} = \frac{p_{Th}^2}{2m_{Th}}$ અને હિલિયમ ન્યુક્લિયસની ગતિઊર્જા $K_{He} = \frac{p_{He}^2}{2m_{He}}$ થાય.
તેથી,$\frac{K_{Th}}{K_{He}} = \left(\frac{p_{Th}}{p_{He}}\right)^2 \left(\frac{m_{He}}{m_{Th}}\right)$.
કારણ કે $p_{Th} = p_{He}$ અને $m_{He} < m_{Th}$,તેથી $K_{Th} < K_{He}$ અથવા $K_{He} > K_{Th}$ મળે.
આમ,હિલિયમ ન્યુક્લિયસની ગતિઊર્જા થોરિયમ ન્યુક્લિયસ કરતા વધારે હોય છે.

(B) ન્યુક્લિયસની ત્રિજ્યાનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_0$ એ અચળાંક છે.
$^{27}_{13}Al$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ ક્રમાંક $A_{Al} = 27$ છે. તેથી,$R_{Al} = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$.
$^{125}_{53}Te$ ન્યુક્લિયસ માટે,દળ ક્રમાંક $A_{Te} = 125$ છે. તેથી,$R_{Te} = R_0 (125)^{1/3} = 5 R_0$.
બંને ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_{Te}}{R_{Al}} = \frac{5 R_0}{3 R_0} = \frac{5}{3}$.
તેથી,$R_{Te} = \frac{5}{3} R_{Al}$.

(A) અહીં, ઇનપુટ સિગ્નલ $V_{i} = 2 \cos(15t + \frac{\pi}{3})$ અને વોલ્ટેજ ગેઈન $A_{v} = 150$ છે.
વોલ્ટેજ ગેઈન $A_{v} = \frac{V_{o}}{V_{i}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે, તેથી આઉટપુટ સિગ્નલનું મૂલ્ય $V_{o} = A_{v} \times V_{i}$ થશે.
કોમન એમિટર $(CE)$ એમ્પ્લીફાયર ઇનપુટ અને આઉટપુટ સિગ્નલ વચ્ચે $\pi$ $(180^{\circ})$ નો ફેઝ શિફ્ટ (કળા તફાવત) ઉત્પન્ન કરે છે.
તેથી, આઉટપુટ સિગ્નલ $V_{o} = 150 \times 2 \cos(15t + \frac{\pi}{3} + \pi)$ થશે.
ફેઝનું સાદું રૂપ આપતા, $\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$ મળે.
આમ, $V_{o} = 300 \cos(15t + \frac{4\pi}{3}) \text{ V}$ મળે છે.

(B) અવરોધ $R$ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ પરિપથના કુલ $e.m.f.$ માંથી ડાયોડના બેરિયર પોટેન્શિયલને બાદ કરીને મળે છે:
$V_R = E - V_{\text{barrier}} = 3.5 \,V - 0.5 \,V = 3.0 \,V$
ઓમના નિયમ મુજબ,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V_R}{R} = \frac{3.0 \,V}{100 \,\Omega} = 0.03 \,A$
પ્રવાહને મિલિએમ્પિયર $(mA)$ માં ફેરવતા:
$I = 0.03 \,A \times 1000 \,mA/A = 30 \,mA$
તેથી,પરિપથમાં વહેતો પ્રવાહ $30 \,mA$ છે.

(A) સામાન્ય ગોઠવણમાં,ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ અને આઈપીસ વચ્ચેનું અંતર $f_0 + f_e$ હોય છે.
કારણ કે $L$ લંબાઈની રેખા ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સ પર છે,તે આઈપીસ માટે વસ્તુ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આઈપીસથી આ વસ્તુનું અંતર $u = -(f_0 + f_e)$ છે.
આઈપીસની મોટવણી $m_e = f_e / (f_e + u)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા:
$m_e = f_e / (f_e - (f_0 + f_e)) = f_e / (-f_0) = -f_e / f_0$.
મોટવણીનું મૂલ્ય $|m_e| = l / L = f_e / f_0$ થાય છે.
ટેલિસ્કોપની મોટવણી $M = f_0 / f_e$ હોવાથી,આપણને $M = L / l$ મળે છે.

(C) $NOR$ ગેટના ઇનપુટ $\bar{A}$ અને $\bar{B}$ છે કારણ કે તેઓ $NOT$ ગેટમાંથી પસાર થાય છે. $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y$ બુલિયન સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$.
ડી મોર્ગનના પ્રમેય મુજબ,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
આ $AND$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
સત્યતા કોષ્ટક:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$\bar{B}$	$\bar{A} + \bar{B}$	$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

આમ,આ સંયોજન $AND$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(A) આ સર્કિટમાં એક $p-n$ જંકશન ડાયોડ લોડ અવરોધ $R_L$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $+5\, V$ હોય,ત્યારે ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં હોય છે. આદર્શ ડાયોડ ધારીએ તો,તે શોર્ટ સર્કિટ તરીકે વર્તે છે અને $+5\, V$ નો સંપૂર્ણ ઇનપુટ વોલ્ટેજ લોડ અવરોધ $R_L$ પર મળે છે.
જ્યારે ઇનપુટ વોલ્ટેજ $-5\, V$ હોય,ત્યારે ડાયોડ રિવર્સ બાયસમાં હોય છે. તે ઓપન સર્કિટ તરીકે વર્તે છે,તેથી અવરોધ $R_L$ માંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી. પરિણામે,$R_L$ પર આઉટપુટ વોલ્ટેજ $0\, V$ મળે છે.
આમ,આઉટપુટ સિગ્નલ એ એક ચોરસ તરંગ છે જે $+5\, V$ અને $0\, V$ ની વચ્ચે બદલાય છે.