AIPMT 2011 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) ધારો કે કણોનું સ્થાનાંતર $y = a \sin(\omega t + \phi_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,સ્થાનાંતર કંપવિસ્તારના અડધા જેટલું છે,તેથી $y = \frac{a}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{a}{2} = a \sin(\omega t + \phi_0)$.
આથી $\sin(\omega t + \phi_0) = \frac{1}{2}$ મળે.
ધારો કે $\phi = \omega t + \phi_0$. તો $\phi = \frac{\pi}{6}$ અથવા $\phi = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.
$\phi = \frac{\pi}{6}$ નો ભૌતિક અર્થ: કણ $P$ સ્થાન પર છે (સ્થાનાંતર $a/2$) અને તે મધ્યમાન સ્થાન $O$ થી દૂર ($B$ તરફ) જઈ રહ્યો છે.
$\phi = \frac{5\pi}{6}$ નો ભૌતિક અર્થ: કણ $P$ સ્થાન પર છે (સ્થાનાંતર $a/2$) અને તે મધ્યમાન સ્થાન $O$ તરફ જઈ રહ્યો છે.
જ્યારે કણો સમાન સ્થાનાંતરે એકબીજાને પસાર કરે છે ત્યારે તેઓ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા હોવાથી,એકની કળા $\phi_1 = \frac{\pi}{6}$ અને બીજાની $\phi_2 = \frac{5\pi}{6}$ હોવી જોઈએ.
તેથી કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1 = \frac{5\pi}{6} - \frac{\pi}{6} = \frac{4\pi}{6} = \frac{2\pi}{3}$ થાય.

(A) સંરક્ષી બળ અને સ્થિતિ ઊર્જા વચ્ચેનો સંબંધ $F_{\text{cons}} = -\frac{dU}{dx}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $F_{\text{cons}} \cdot dx = -dU$.
સંરક્ષી બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $W_{\text{cons}} = \int F_{\text{cons}} \cdot dx = -\Delta U$ છે.
તેથી,$\Delta U = -W_{\text{cons}}$.
જો તંત્ર દ્વારા સંરક્ષી બળની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવામાં આવે,તો બાહ્ય કાર્ય ધન હોય છે,જેના પરિણામે તંત્રની સ્થિતિ ઊર્જામાં વધારો થાય છે $(\Delta U > 0)$.

(C) પરિમાણીય સુસંગતતાના સિદ્ધાંત મુજબ,ભૌતિક રાશિનું મૂલ્ય એકમ પદ્ધતિ બદલાવા છતાં અચળ રહે છે,જે $n_1 u_1 = n_2 u_2$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
અહીં,ઘનતા $\rho = 4 \, g \, cm^{-3}$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં,દળનો એકમ $M_2 = 100 \, g$ અને લંબાઈનો એકમ $L_2 = 10 \, cm$ છે.
નવી પદ્ધતિમાં ઘનતા $\rho = n_2 \frac{M_2}{L_2^3}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $4 \, g \, cm^{-3} = n_2 \frac{100 \, g}{(10 \, cm)^3}$.
$4 = n_2 \frac{100}{1000}$.
$4 = n_2 \times 0.1$.
$n_2 = \frac{4}{0.1} = 40$.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = (\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$
અહીં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેના પરિમાણો વેગના પરિમાણો સમાન હોય છે.
વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,$(\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ થાય છે.

(C) ધારો કે કુલ અંતર $d$ છે. કણ પ્રથમ અડધું અંતર $(d/2)$ $v_1$ ઝડપથી અને બીજું અડધું અંતર $(d/2)$ $v_2$ ઝડપથી કાપે છે.
પ્રથમ અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_1 = \frac{d/2}{v_1} = \frac{d}{2v_1}$.
બીજા અડધા અંતર માટે લાગતો સમય,$t_2 = \frac{d/2}{v_2} = \frac{d}{2v_2}$.
સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ અંતર ભાગ્યા કુલ સમય:
$v_{av} = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{d}{t_1 + t_2}$.
$t_1$ અને $t_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$v_{av} = \frac{d}{\frac{d}{2v_1} + \frac{d}{2v_2}} = \frac{d}{\frac{d}{2} (\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2})} = \frac{1}{\frac{1}{2} (\frac{v_1 + v_2}{v_1 v_2})}$.
$v_{av} = \frac{2 v_1 v_2}{v_1 + v_2}$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ અને ઊંચાઈ $h = 20 \, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2gh$.
કિંમતો મૂકતા: $v^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 20$.
$v^2 = 400$.
વર્ગમૂળ લેતા: $v = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.
તેથી,પથ્થર જે વેગથી જમીન સાથે અથડાશે તે $20 \, m/s$ છે.

(B) આઘાત (Impulse) એટલે પદાર્થના રેખીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર.
પદાર્થનું પ્રારંભિક વેગમાન,$P_i = MV$.
પદાર્થ વિરુદ્ધ દિશામાં તેટલા જ વેગ $V$ થી પાછો ફરતો હોવાથી,અંતિમ વેગમાન $P_f = -MV$ થશે.
આઘાત $J = \Delta P = P_f - P_i$.
$J = (-MV) - (MV) = -2MV$.
આમ,પદાર્થ દ્વારા અનુભવાતા આઘાતનું મૂલ્ય $2MV$ છે.

(A) બોક્સને ગતિશીલ બેલ્ટ પર મૂકવામાં આવે છે. શરૂઆતમાં,બોક્સ જમીનની સાપેક્ષમાં સ્થિર છે,પરંતુ બેલ્ટ $v = 2\, m s^{-1}$ ની ઝડપે ગતિ કરે છે.
બેલ્ટની સાપેક્ષમાં,બોક્સનો પ્રારંભિક વેગ $u_{rel} = 2\, m s^{-1}$ છે.
બોક્સ પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f = \mu N = \mu mg$ છે.
બેલ્ટની સાપેક્ષમાં બોક્સનો પ્રવેગ $a = \frac{f}{m} = \mu g = 0.5 \times 10 = 5\, m s^{-2}$ છે.
ઘર્ષણ બળ સાપેક્ષ ગતિનો વિરોધ કરતું હોવાથી,બોક્સ બેલ્ટની સાપેક્ષમાં ત્યાં સુધી ધીમું પડશે જ્યાં સુધી તેનો બેલ્ટની સાપેક્ષ વેગ શૂન્ય ન થાય.
ગતિના સમીકરણ $v_{rel}^2 = u_{rel}^2 - 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v_{rel} = 0$:
$0^2 = 2^2 - 2(5)s$
$10s = 4$
$s = 0.4\, m$.

(C) આપેલ છે:
વ્યક્તિનું દળ,$m = 60\, kg$
લિફ્ટનું દળ,$M = 940\, kg$
લિફ્ટનો પ્રવેગ,$a = 1.0\, m/s^2$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10\, m/s^2$
ધારો કે સહાયક કેબલમાં તણાવ $T$ છે.
તંત્રનું કુલ દળ $(M + m) = 940 + 60 = 1000\, kg$ છે.
લિફ્ટ $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ગતિ કરતી હોવાથી,ગતિનું સમીકરણ:
$T - (M + m)g = (M + m)a$
$T = (M + m)(g + a)$
કિંમતો મૂકતા:
$T = (1000)(10 + 1)$
$T = 1000 \times 11 = 11000\, N$.

(B) ચલ બળ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય એ બળ-સ્થાનાંતર $(F-d)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આલેખમાં $d = 3\, m$ થી $d = 7\, m$ સુધી એક લંબચોરસ અને $d = 7\, m$ થી $d = 12\, m$ સુધી એક ત્રિકોણ બને છે.
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ = $\text{પહોળાઈ} \times \text{ઊંચાઈ} = (7 - 3) \times 2 = 4 \times 2 = 8\, J$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times (12 - 7) \times 2 = \frac{1}{2} \times 5 \times 2 = 5\, J$.
કુલ કાર્ય = $\text{લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ} + \text{ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ} = 8 + 5 = 13\, J$.

(B) પાવરને બળ અને વેગના ડોટ ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $P = \vec{F} \cdot \vec{v} = Fv \cos \theta$.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,વેગ $v = 0$ છે,તેથી પાવર $P = 0$ થાય છે.
ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}$ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ વેગ $\vec{v}$ નીચેની તરફ હોય છે,જે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $\vec{F}$ ની દિશામાં જ છે (એટલે કે,$\theta = 0^\circ$).
કારણ કે $P = Fv \cos(0^\circ) = Fv$,પાવર એ ઝડપ $v$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
પદાર્થ પૃથ્વીની સપાટી સાથે અથડાય તે પહેલાંની ક્ષણે તેની ઝડપ $v$ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા કરવામાં આવતો પાવર પદાર્થ પૃથ્વી સાથે અથડાય તે પહેલાંની ક્ષણે સૌથી વધુ હોય છે.

(B) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અથડામણ પહેલાનું કુલ વેગમાન અને અથડામણ પછીનું કુલ વેગમાન સમાન હોય છે.
ધારો કે સંયુક્ત દળનો અંતિમ વેગ $\vec{v}'$ છે.
$m$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_1 = m v \hat{i}$ છે.
$3m$ દળનું પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_2 = (3m)(2v) \hat{j} = 6mv \hat{j}$ છે.
કુલ પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_{initial} = m v \hat{i} + 6mv \hat{j}$ છે.
અથડામણ પછીનું કુલ દળ $M = m + 3m = 4m$ થાય છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_{final} = (4m) \vec{v}'$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને મળે છે:
$4m \vec{v}' = m v \hat{i} + 6mv \hat{j}$
$\vec{v}' = \frac{mv \hat{i} + 6mv \hat{j}}{4m}$
$\vec{v}' = \frac{1}{4}v \hat{i} + \frac{6}{4}v \hat{j} = \frac{1}{4}v \hat{i} + \frac{3}{2}v \hat{j}$.

(A) સ્થિતિ ઊર્જા $V(x)$ પરવલયાકાર વક્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $V(x) = \frac{1}{2}kx^2$.
આ એક સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ દર્શાવે છે જ્યાં પુનઃસ્થાપક બળ $F = -\frac{dV}{dx} = -kx$ છે.
કણ $t = 0$ સમયે $x = A$ જેટલા ધન સ્થાનાંતર પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેની ગતિનું સમીકરણ $x(t) = A \cos(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t = 0$ સમયે,$x = A$ છે,જે ધન અંતિમ સ્થાન છે.
જેમ જેમ સમય વધે છે,કણ સરેરાશ સ્થાન $(x = 0)$ તરફ અને પછી ઋણ અંતિમ સ્થાન $(x = -A)$ તરફ ગતિ કરે છે.
આ વર્તણૂક $t = 0$ સમયે મહત્તમ ધન મૂલ્યથી શરૂ થતા કોસાઇન આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(A) આપેલ છે: $\theta(t) = 2t^3 - 6t^2$.
પ્રથમ,$\theta$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને કોણીય વેગ $\omega$ શોધો: $\omega = \frac{d\theta}{dt} = 6t^2 - 12t$.
ત્યારબાદ,$\omega$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીને કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શોધો: $\alpha = \frac{d\omega}{dt} = 12t - 12$.
ટોર્ક $\tau$ એ સંબંધ $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે.
ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ શૂન્ય હોવો જોઈએ (ધારી લઈએ કે $I \neq 0$).
$\alpha = 0$ લેતા,આપણને મળે છે: $12t - 12 = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 1 \ s$ મળે છે.

(B) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ મળે છે:
$I = I_{CM} + Md^2$
જ્યાં $I_{CM}$ એ સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર (મધ્યબિંદુ) માંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,અને $d$ એ બે સમાંતર અક્ષો વચ્ચેનું લંબ અંતર છે.
અહીં,$I_{CM} = I_0$ અને કેન્દ્ર તથા છેડા વચ્ચેનું અંતર $d = L/2$ છે.
આ કિંમતો પ્રમેયમાં મૂકતા:
$I = I_0 + M(L/2)^2$
$I = I_0 + ML^2/4$

(C) કણ પૃથ્વી પર પાછો ન આવે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે, અનંત અંતરે તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા ઓછામાં ઓછી શૂન્ય હોવી જોઈએ。
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$E_{initial} = E_{final}$
$\frac{1}{2}mu^2 - \frac{GMm}{R} = 0 + 0$
$\frac{1}{2}mu^2 = \frac{GMm}{R}$
$u^2 = \frac{2GM}{R}$
$u = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$
અહીં $g = \frac{GM}{R^2}$ હોવાથી, આપણે $u = \sqrt{2gR}$ પણ લખી શકીએ છીએ।

(C) આપેલ છે:
કણનું દળ $= M$
ગોળાકાર કવચનું દળ $= M$
ગોળાકાર કવચની ત્રિજ્યા $= a$
ધારો કે $O$ એ ગોળાકાર કવચનું કેન્દ્ર છે.
કેન્દ્ર પર રહેલા કણને કારણે કેન્દ્રથી $r = a/2$ અંતરે આવેલા બિંદુ $P$ પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V_1 = -\frac{GM}{r} = -\frac{GM}{a/2} = -\frac{2GM}{a}$ છે.
ગોળાકાર કવચની અંદરના કોઈપણ બિંદુ પર ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું હોય છે,જે $V_2 = -\frac{GM}{a}$ છે.
બિંદુ $P$ પર કુલ ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાન $V = V_1 + V_2$ છે.
$V = -\frac{2GM}{a} + \left( -\frac{GM}{a} \right) = -\frac{3GM}{a}$.
ગુરુત્વાકર્ષી સ્થિતિમાનનું મૂલ્ય $|V| = \frac{3GM}{a}$ થશે.

(A) કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ગ્રહનું કોણીય વેગમાન તેની સમગ્ર કક્ષા દરમિયાન અચળ રહે છે.
સૌથી નજીકના બિંદુ (પેરીહેલિયન) પર,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $L_1 = m v_1 r_1$ થાય છે.
સૌથી દૂરના બિંદુ (એફેલિયન) પર,વેગ સદિશ પણ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે,તેથી કોણીય વેગમાન $L_2 = m v_2 r_2$ થાય છે.
$L_1 = L_2$ હોવાથી,આપણને $m v_1 r_1 = m v_2 r_2$ મળે છે.
બંને બાજુથી દળ $m$ ને દૂર કરતા,આપણને $v_1 r_1 = v_2 r_2$ મળે છે.
તેથી,વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \frac{r_2}{r_1}$ થાય છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{T^\gamma}{P^{\gamma-1}} = \text{અચળ}$
તેથી,$\left(\frac{T_i}{T_f}\right)^\gamma = \left(\frac{P_i}{P_f}\right)^{\gamma-1}$,જેનો અર્થ છે કે $P_f = P_i \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ ...$(i)$
આપેલ છે:
$T_i = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$
$T_f = 927^{\circ}C = 1200 \text{ K}$
$P_i = 2 \text{ atm}$
$\gamma = 1.4$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$P_f = 2 \times \left(\frac{1200}{300}\right)^{\frac{1.4}{1.4-1}}$
$P_f = 2 \times (4)^{\frac{1.4}{0.4}}$
$P_f = 2 \times (4)^{3.5}$
$P_f = 2 \times (2^2)^{3.5} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256 \text{ atm}$.

(B) $0^\circ C$ $(273\, K)$ તાપમાને $1\, kg$ બરફને પાણીમાં ઓગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m \cdot L$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $m = 1\, kg = 1000\, g$ અને $L = 80\, cal/g$ છે.
તેથી,$Q = 1000\, g \times 80\, cal/g = 80,000\, cal = 8 \times 10^4\, cal$.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે એન્ટ્રોપીમાં થતો ફેરફાર $\Delta S = \frac{Q}{T}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $T = 0^\circ C = 273\, K$ છે.
તેથી,$\Delta S = \frac{80,000\, cal}{273\, K} \approx 293\, cal/K$.

(D) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q + W$,જ્યાં $\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,$Q$ એ તંત્રમાં ઉમેરાતી ઉષ્મા છે,અને $W$ એ તંત્ર પર થયેલું કાર્ય છે.
આદર્શ વાયુ માટે સમતાપી પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,$\Delta U = 0$ થાય છે.
તેથી,સમીકરણ $0 = Q + W$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $Q = -W$.
આપેલ છે કે વાયુ તેના પર્યાવરણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરે છે,તેથી વાયુ પર થયેલું કાર્ય $W = -150 \, J$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $Q = -(-150 \, J) = +150 \, J$ મળે છે.
$Q$ નું ધન મૂલ્ય દર્શાવે છે કે વાયુમાં $150 \, J$ ઉષ્મા ઉમેરવામાં આવી છે.

(C) જો કોઈ વિધેયને $y = A \sin(\omega t + \phi)$ અથવા $y = A \cos(\omega t + \phi)$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,તો તે $SHM$ છે.
$(A)$ માટે: $y = \sin \omega t - \cos \omega t = \sqrt{2} \left[ \frac{1}{\sqrt{2}} \sin \omega t - \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \omega t \right] = \sqrt{2} \sin \left( \omega t - \frac{\pi}{4} \right)$. આ $SHM$ છે.
$(B)$ માટે: $y = \sin^3 \omega t = \frac{1}{4} [3 \sin \omega t - \sin 3 \omega t]$. આ બે અલગ-અલગ આવૃત્તિઓ ધરાવતી ગતિઓનું સંપાતીકરણ છે,તેથી તે આવર્ત ગતિ છે પણ $SHM$ નથી.
$(C)$ માટે: $y = 5 \cos \left( \frac{3\pi}{4} - 3\omega t \right) = 5 \cos \left( 3\omega t - \frac{3\pi}{4} \right)$. આ $3\omega$ કોણીય આવૃત્તિ ધરાવતી $SHM$ છે.
$(D)$ માટે: $y = 1 + \omega t + \omega^2 t^2$. આ સમયનું દ્વિઘાત વિધેય છે,જે અ-આવર્ત ગતિ દર્શાવે છે.
આમ,$(A)$ અને $(C)$ બંને $SHM$ દર્શાવે છે.

(C) આપેલ છે: $v_{\text{air}} = 350 \ m/s$,$v_{\text{brass}} = 3500 \ m/s$,અને આવૃત્તિ $f = 700 \ Hz$.
જ્યારે ધ્વનિ તરંગ એક માધ્યમમાંથી બીજા માધ્યમમાં ગતિ કરે છે,ત્યારે તેની આવૃત્તિ $f$ અચળ રહે છે.
સંબંધ $v = f \lambda$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\lambda = \frac{v}{f}$.
આવૃત્તિ $f$ અચળ હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda$ એ તરંગની ઝડપ $v$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(\lambda \propto v)$.
તેથી,$\frac{\lambda_{\text{brass}}}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{v_{\text{brass}}}{v_{\text{air}}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\lambda_{\text{brass}}}{\lambda_{\text{air}}} = \frac{3500}{350} = 10$.
આમ,$\lambda_{\text{brass}} = 10 \lambda_{\text{air}}$.
તરંગલંબાઈ $10$ ના અવયવથી વધે છે.

(B) ખેંચાયેલા વાયરની મૂળભૂત આવૃત્તિ $v = \frac{1}{2L} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વાયર માટે $L$ અને $\mu$ અચળ હોવાથી,$v \propto \sqrt{T}$ થાય.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને $\frac{dv}{v} = \frac{1}{2} \frac{dT}{T}$ મળે છે.
આપેલ પ્રારંભિક આવૃત્તિ $v = 600\, Hz$ અને બીટ આવૃત્તિ $\Delta v = 6\, Hz$ છે,તેથી નવી આવૃત્તિ $v' = 606\, Hz$ (અથવા $594\, Hz$) થશે.
આમ,આવૃત્તિમાં ફેરફાર $\Delta v = 6\, Hz$ છે.
તણાવમાં થતો આંશિક ફેરફાર $\frac{\Delta T}{T} = 2 \frac{\Delta v}{v}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{\Delta T}{T} = 2 \times \frac{6}{600} = 2 \times 0.01 = 0.02$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin(2\theta)}{g}$ છે.
મહત્તમ અવધિ મેળવવા માટે,પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^\circ$ હોવો જોઈએ,જેનાથી $\sin(2\theta) = \sin(90^\circ) = 1$ થાય છે.
આમ,મહત્તમ અવધિનું સૂત્ર $R_{\max} = \frac{u^2}{g}$ છે.
અહીં પ્રારંભિક વેગ $u = 20\; m/s$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\; m/s^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $R_{\max} = \frac{(20)^2}{10} = \frac{400}{10} = 40\; m$.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5 \; cm = 5 \times 10^{-2} \; m$ છે.
આવર્તકાળ $T = 0.2 \pi \; sec$ છે.
કણની ઝડપ $v = \frac{2 \pi r}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2 \pi \times 5 \times 10^{-2}}{0.2 \pi} = \frac{10 \times 10^{-2}}{0.2} = 0.5 \; m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{(0.5)^2}{5 \times 10^{-2}} = \frac{0.25}{0.05} = 5 \; m/s^2$.

(A) પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = 30 \hat{i} \; m/s$.
અંતિમ વેગ $\vec{v} = 40 \hat{j} \; m/s$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v} - \vec{u} = 40 \hat{j} - 30 \hat{i}$.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-30)^2 + (40)^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50 \; m/s$.
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{50 \; m/s}{10 \; s} = 5 \; m/s^2$.

(D) તણાવ બળ ત્રિજ્યાની દિશામાં લાગતું હોવાથી,પરિભ્રમણના કેન્દ્રની આસપાસ ટોર્ક શૂન્ય છે. તેથી,દળનું કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
ધારો કે $m$ એ દળ છે,$v_1$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,અને $r_1 = r$ એ પ્રારંભિક ત્રિજ્યા છે. ધારો કે $v_2$ એ અંતિમ વેગ છે અને $r_2 = r/2$ એ અંતિમ ત્રિજ્યા છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L_1 = L_2$:
$m v_1 r_1 = m v_2 r_2$
$v_1 r = v_2 (r / 2)$
$v_2 = 2 v_1$
પ્રારંભિક ગતિ ઊર્જા $KE_1 = \frac{1}{2} m v_1^2$ છે.
અંતિમ ગતિ ઊર્જા $KE_2 = \frac{1}{2} m v_2^2 = \frac{1}{2} m (2 v_1)^2 = 4 (\frac{1}{2} m v_1^2) = 4 KE_1$ છે.
આમ,ગતિ ઊર્જા $4$ ના અવયવથી વધશે.

(A) પ્રથમ તરંગનું સમીકરણ $y_1 = a \sin(\omega t + kx + 0.57)$ છે.
તેથી,પ્રથમ તરંગની કળા $\phi_1 = (\omega t + kx + 0.57)$ છે.
બીજા તરંગનું સમીકરણ $y_2 = a \cos(\omega t + kx)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(\theta) = \sin(\theta + \pi/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $y_2 = a \sin(\omega t + kx + \pi/2)$.
તેથી,બીજા તરંગની કળા $\phi_2 = (\omega t + kx + \pi/2)$ છે.
કળા તફાવત $\Delta \phi = \phi_2 - \phi_1$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta \phi = (\omega t + kx + \pi/2) - (\omega t + kx + 0.57)$.
$\Delta \phi = \pi/2 - 0.57$.
કારણ કે $\pi \approx 3.14$,તેથી $\pi/2 \approx 1.57$.
$\Delta \phi = 1.57 - 0.57 = 1.0 \ radian$.

(B) ધારો કે પ્રક્ષેપણ કોણ $\theta = 45^{\circ}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $P$ પર,ઊંચાઈ $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે અને પ્રક્ષેપણ બિંદુ $O$ થી સમક્ષિતિજ અંતર $R/2 = \frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
ઉત્સેધકોણ $\alpha$ એ મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $P$ દ્વારા પ્રક્ષેપણ બિંદુ $O$ પર સમક્ષિતિજ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle POM$ માં,આપણી પાસે છે:
$\tan \alpha = \frac{H}{R/2} = \frac{\frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}}{\frac{u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}} = \frac{\sin \theta}{2 \cos \theta} = \frac{1}{2} \tan \theta$.
$\theta = 45^{\circ}$ મૂકતા:
$\tan \alpha = \frac{1}{2} \tan 45^{\circ} = \frac{1}{2} (1) = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{1}{2}\right)$.

(C) ગેલ્વેનોમીટરની સંવેદનશીલતા $1\,\mu A/\text{div}$ છે. તાપમાનનો સૌથી નાનો તફાવત શોધવા માટે,આપણને $1\,\text{div}$ નું ન્યૂનતમ વિચલન જોઈએ.
તેથી,જરૂરી ન્યૂનતમ પ્રવાહ $I = 1\,\mu A$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $R = 10\,\Omega$ છે.
આ પ્રવાહ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી વોલ્ટેજ $(e.m.f.)$ $V = I \times R = 1\,\mu A \times 10\,\Omega = 10\,\mu V$ છે.
આપેલ છે કે થર્મોકપલ $40\,\mu V/^{\circ}C$ નું $e.m.f.$ ઉત્પન્ન કરે છે,તેથી $10\,\mu V$ ને અનુરૂપ તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$\Delta T = \frac{V}{\text{થર્મોકપલની સંવેદનશીલતા}} = \frac{10\,\mu V}{40\,\mu V/^{\circ}C} = 0.25^{\circ}C$.
આમ,સિસ્ટમ દ્વારા શોધી શકાતો ન્યૂનતમ તાપમાનનો તફાવત $0.25^{\circ}C$ છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $C$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$.

(D) આપેલ છે કે $AC = BC = 2a$. $D$ અને $E$ એ અનુક્રમે $BC$ અને $AC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે.
તેથી,$AE = EC = a$ અને $BD = DC = a$.
$\Delta ADC$ માં,પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$(AD)^2 = (AC)^2 - (DC)^2 = (2a)^2 - (a)^2 = 4a^2 - a^2 = 3a^2$,તેથી $AD = a\sqrt{3}$.
તે જ રીતે,$\Delta BEC$ માં,$(BE)^2 = (BC)^2 - (EC)^2 = (2a)^2 - (a)^2 = 3a^2$,તેથી $BE = a\sqrt{3}$.
$A, B,$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે બિંદુ $D$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન:
$V_D = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{BD} + \frac{q}{DC} + \frac{q}{AD} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a\sqrt{3}} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} \left[ 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right]$.
$A, B,$ અને $C$ પરના વિદ્યુતભારોને કારણે બિંદુ $E$ પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન:
$V_E = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AE} + \frac{q}{EC} + \frac{q}{BE} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{a\sqrt{3}} \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 a} \left[ 2 + \frac{1}{\sqrt{3}} \right]$.
અહીં $V_D = V_E$ હોવાથી,કરવું પડતું કાર્ય $W = Q(V_E - V_D) = 0$ થાય.

(C) ધારો કે ચોરસના ખૂણાઓ $P, Q, R, S$ છે. $P$ અને $S$ પર $+q$ વિદ્યુતભાર છે,અને $Q$ અને $R$ પર $-q$ વિદ્યુતભાર છે. બિંદુ $A$ એ બાજુ $PS$ નું મધ્યબિંદુ છે.
ચોરસની બાજુની લંબાઈ $2L$ હોવાથી,$A$ થી $P$ અને $A$ થી $S$ નું અંતર $L$ થાય.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ $A$ થી $Q$ અને $A$ થી $R$ નું અંતર: $AQ = AR = \sqrt{(2L)^2 + L^2} = \sqrt{4L^2 + L^2} = L\sqrt{5}$.
બિંદુ $A$ પર કુલ વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V_A$ એ ચારેય વિદ્યુતભારોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{q}{AP} + \frac{q}{AS} + \frac{-q}{AQ} + \frac{-q}{AR}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{q}{L} + \frac{q}{L} - \frac{q}{L\sqrt{5}} - \frac{q}{L\sqrt{5}}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} [\frac{2q}{L} - \frac{2q}{L\sqrt{5}}]$
$V_A = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{2q}{L} (1 - \frac{1}{\sqrt{5}})$

(A) વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\nabla V$ છે.
જ્યાં $\nabla = \hat{i} \frac{\partial}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial}{\partial z}$ છે.
તેથી,$\vec{E} = -\left[ \hat{i} \frac{\partial V}{\partial x} + \hat{j} \frac{\partial V}{\partial y} + \hat{k} \frac{\partial V}{\partial z} \right]$.
આપેલ છે કે $V = 4x^2$,તેથી આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 8x$,$\frac{\partial V}{\partial y} = 0$,અને $\frac{\partial V}{\partial z} = 0$.
આ કિંમતો $\vec{E}$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -(8x \hat{i} + 0 \hat{j} + 0 \hat{k}) = -8x \hat{i} \text{ V/m}$.
બિંદુ $(1, 0, 2)$ પર,$x = 1$ મૂકતા:
$\vec{E} = -8(1) \hat{i} = -8 \hat{i} \text{ V/m}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વિદ્યુત ક્ષેત્ર $8 \text{ V/m}$ ના મૂલ્ય સાથે ઋણ $X-$ અક્ષની દિશામાં છે.

(B) ધારો કે $\varepsilon$ એ બેટરીનું emf અને $r$ એ બેટરીનો આંતરિક અવરોધ છે.
સંપૂર્ણ પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતપ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R + r}$ છે,જ્યાં $R$ એ બાહ્ય અવરોધ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,$I_1 = 2\,A$ અને $R_1 = 2\,\Omega$:
$2 = \frac{\varepsilon}{2 + r} \implies \varepsilon = 2(2 + r) = 4 + 2r$ ....$(i)$
બીજા કિસ્સામાં,$I_2 = 0.5\,A$ અને $R_2 = 9\,\Omega$:
$0.5 = \frac{\varepsilon}{9 + r} \implies \varepsilon = 0.5(9 + r) = 4.5 + 0.5r$ ....$(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ પરથી $\varepsilon$ ની કિંમતો સરખાવતા:
$4 + 2r = 4.5 + 0.5r$
$2r - 0.5r = 4.5 - 4$
$1.5r = 0.5$
$r = \frac{0.5}{1.5} = \frac{1}{3}\,\Omega$

(C) $9 \,\Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = I_1^2 R_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $P = 36 \,W$ અને $R_1 = 9 \,\Omega$,તેથી $36 = I_1^2 \times 9$,જે આપણને $I_1^2 = 4$ આપે છે,એટલે કે $I_1 = 2 \,A$.
$9 \,\Omega$ અને $6 \,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે.
ધારો કે સમાંતર જોડાણ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_p$ છે. તો $V_p = I_1 R_1 = 2 \,A \times 9 \,\Omega = 18 \,V$.
$6 \,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I_2 = \frac{V_p}{R_2} = \frac{18 \,V}{6 \,\Omega} = 3 \,A$ છે.
$2 \,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = I_1 + I_2 = 2 \,A + 3 \,A = 5 \,A$ છે.
$2 \,\Omega$ ના અવરોધના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{2\Omega} = I \times 2 \,\Omega = 5 \,A \times 2 \,\Omega = 10 \,V$ થાય.

(A) બિંદુ $B$ આગળનું સ્થિતિમાન શોધવા માટે,આપણે સર્કિટમાં $A$ થી $B$ સુધીનો માર્ગ અનુસરીએ છીએ.
બિંદુ $A$ $(V_A = 0 \ V)$ થી શરૂ કરીને,આપણે $1 \ V$ ની બેટરી દ્વારા બિંદુ $C$ તરફ જઈએ છીએ.
$V_C = V_A + 1 = 0 + 1 = 1 \ V$.
બિંદુ $C$ થી $D$ સુધી,$2 \ \Omega$ નો અવરોધ છે જેમાં $D$ થી $C$ તરફ $1 \ A$ નો પ્રવાહ વહે છે.
$V_D - V_C = I \times R = 1 \times 2 = 2 \ V$.
$V_D = V_C + 2 = 1 + 2 = 3 \ V$.
હવે,$D$ થી $B$ તરફ $2 \ V$ ની બેટરી દ્વારા જતાં,પ્રવાહ $B$ થી $D$ તરફ વહે છે.
આપેલ ઉકેલ મુજબ: $V_A + 1 + 2(1) - 2 = V_B$ લેતા,$V_B = 1 \ V$ મળે છે. તેથી સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) ભ્રમણ કરતા વિદ્યુતભાર દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I$ એ વિદ્યુતભારના વહન દર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $I = q \times f$ છે.
$R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર પ્રવાહ લૂપના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું સૂત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2R}$ છે.
$I$ ની કિંમત ચુંબકીય ક્ષેત્રના સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $B = \frac{\mu_0 (qf)}{2R}$ મળે છે.

(D) ધારો કે ગેલ્વેનોમીટરનો મૂળ અવરોધ $G$ છે. જ્યારે $S$ જેટલો શંટ અવરોધ ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતર જોડવામાં આવે,ત્યારે આ સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{GS}{G+S}$ થાય છે.
પરિપથમાં મુખ્ય પ્રવાહ અપરિવર્તિત રાખવા માટે,પરિપથનો કુલ અવરોધ ગેલ્વેનોમીટરના મૂળ અવરોધ $G$ જેટલો જ રહેવો જોઈએ.
ધારો કે $R$ એ અવરોધ છે જે ગેલ્વેનોમીટર અને $S$ ના સમાંતર જોડાણ સાથે શ્રેણીમાં જોડવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ અવરોધ $R + R_p = G$ થાય.
$R_p$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R + \frac{GS}{G+S} = G$ મળે છે.
$R$ માટે ઉકેલતા,$R = G - \frac{GS}{G+S}$ મળે.
સામાન્ય છેદ લેતા,$R = \frac{G(G+S) - GS}{G+S} = \frac{G^2 + GS - GS}{G+S}$.
આમ,$R = \frac{G^2}{G+S}$.

(B) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા પ્રવાહધારિત બંધ લૂપ પરનું કુલ ચુંબકીય બળ હંમેશા શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે ભુજાઓ $AB,$ $BC,$ અને $AC$ પરના બળો અનુક્રમે $\vec{F}_{AB},$ $\vec{F}_{BC},$ અને $\vec{F}_{AC}$ છે.
સુપરપોઝિશનના સિદ્ધાંત મુજબ,$\vec{F}_{AB} + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{AC} = 0.$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર ભુજા $AB$ ની દિશામાં કાર્યરત હોવાથી,ભુજા $AB$ ના પ્રવાહ ખંડ $I\vec{dl}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો $0^\circ$ અથવા $180^\circ$ છે.
તેથી,ભુજા $AB$ પરનું ચુંબકીય બળ $\vec{F}_{AB} = I(\vec{L}_{AB} \times \vec{B}) = 0$ થાય.
આ કિંમતને કુલ બળના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 + \vec{F}_{BC} + \vec{F}_{AC} = 0.$
આપેલ છે કે $\vec{F}_{BC} = \vec{F},$ તેથી આપણને $\vec{F} + \vec{F}_{AC} = 0$ મળે છે.
આમ,$\vec{F}_{AC} = -\vec{F}$ થાય.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F}_{E} = -e\vec{E}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રને કારણે ઇલેક્ટ્રોન પર લાગતું બળ $\vec{F}_{B} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં વેગ $\vec{v}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ એક જ દિશામાં હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $0^{\circ}$ છે. તેથી,$\vec{v} \times \vec{B} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\vec{F}_{B} = 0$.
ઇલેક્ટ્રોન પરનું કુલ બળ $\vec{F} = \vec{F}_{E} + \vec{F}_{B} = -e\vec{E}$ છે.
વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વેગની દિશામાં જ કાર્યરત હોવાથી,બળ $-e\vec{E}$ એ ઇલેક્ટ્રોનના વેગની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
બળ ગતિની દિશાની વિરુદ્ધ હોવાથી,ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ ઘટશે.

(A) ધારો કે ચોરસ લૂપની બાજુની લંબાઈ $a$ છે. લાંબા સીધા વાયર દ્વારા $r$ અંતરે ઉત્પન્ન થતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi r}$ છે.
પ્રવાહ ધારિત વાયર પર લાગતું બળ $F = I \int (dl \times B)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. લૂપનો ઉપરનો ભાગ ($d$ અંતરે) $I_1$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં $I$ પ્રવાહ ધરાવે છે. જમણા હાથના નિયમ મુજબ,આ ભાગ પર લાગતું બળ વાયર તરફ આકર્ષી છે: $F_{top} = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi d} \times a$ (ઉપરની તરફ).
$2$. લૂપનો નીચેનો ભાગ ($d+a$ અંતરે) $I_1$ ની સમાન દિશામાં $I$ પ્રવાહ ધરાવે છે. આ ભાગ પર લાગતું બળ વાયરથી દૂર અપાકર્ષી છે: $F_{bottom} = \frac{\mu_0 I_1 I}{2 \pi (d+a)} \times a$ (નીચેની તરફ).
$3$. લૂપના બે ઊભા ભાગો સમાન અને વિરુદ્ધ બળો અનુભવે છે,તેથી તેઓ એકબીજાને રદ કરે છે.
$d < d+a$ હોવાથી,આકર્ષી બળ $F_{top}$ એ અપાકર્ષી બળ $F_{bottom}$ કરતા વધારે છે.
તેથી,ચોખ્ખું બળ વાહક તરફ આકર્ષી છે.

(A) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબક દ્વારા સહેજ અપાકર્ષાય છે.
પેરામેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબક દ્વારા સહેજ આકર્ષાય છે.
ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થો ચુંબક દ્વારા પ્રબળ રીતે આકર્ષાય છે.
નોન-મેગ્નેટિક પદાર્થો પર ચુંબકની કોઈ અસર થતી નથી.
અવલોકનોના આધારે:
$(i)$ $A$ સહેજ અપાકર્ષાય છે,તેથી $A$ ડાયામેગ્નેટિક છે.
$(ii)$ $B$ સહેજ આકર્ષાય છે,તેથી $B$ પેરામેગ્નેટિક છે.
$(iii)$ $C$ પ્રબળ રીતે આકર્ષાય છે,તેથી $C$ ફેરોમેગ્નેટિક છે.
$(iv)$ $D$ પર કોઈ અસર થતી નથી,તેથી $D$ નોન-મેગ્નેટિક છે.
તેથી,વિધાન '$B$ એ પેરામેગ્નેટિક પદાર્થ છે' સાચું છે.

(B) આપેલ છે: ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 0.4 \, J T^{-1}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 0.16 \, T$.
સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં રહેલા ચુંબકીય ડાયપોલની સ્થિતિ ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = -\vec{M} \cdot \vec{B} = -MB \cos \theta$ છે.
સ્થાયી સંતુલન માટે,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\vec{M}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B}$ ની દિશામાં હોવી જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે ખૂણો $\theta = 0^{\circ}$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$U = -MB \cos(0^{\circ})$
$U = -(0.4 \, J T^{-1}) \times (0.16 \, T) \times 1$
$U = -0.064 \, J$.
આમ,સ્થાયી સંતુલનમાં સ્થિતિ ઊર્જા $-0.064 \, J$ છે.

(C) વિચલન રહિત વિભાજન માટે,સંયોજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતું કુલ વિચલન શૂન્ય હોવું જોઈએ,એટલે કે $\delta_1 + \delta_2 = 0$.
પાતળા પ્રિઝમ માટે,વિચલન $\delta = (\mu - 1)A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$(\mu_1 - 1)A_1 + (\mu_2 - 1)A_2 = 0$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $(1.5 - 1) \times 15^o + (1.75 - 1) \times A_2 = 0$.
$0.5 \times 15^o + 0.75 \times A_2 = 0$.
$7.5^o + 0.75 \times A_2 = 0$.
$A_2 = -\frac{7.5^o}{0.75} = -10^o$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે બીજા પ્રિઝમને પ્રથમ પ્રિઝમની સાપેક્ષ ઉલટી દિશામાં ગોઠવવો જોઈએ. બીજા પ્રિઝમના ખૂણાનું મૂલ્ય $10^o$ છે.

(D) તળાવની આભાસી અને વાસ્તવિક ઊંડાઈ વચ્ચેનો તફાવત એ પ્રકાશના વક્રીભવનને કારણે થાય છે જ્યારે તે ઘટ્ટ માધ્યમ (પાણી) માંથી પાતળા માધ્યમ (હવા) માં જાય છે. અન્ય ત્રણ ઘટનાઓ,એટલે કે ઓપ્ટિકલ ફાઈબરનું કાર્ય,ગરમ ઉનાળાના દિવસોમાં મૃગજળની રચના અને હીરાની ચમક,આ બધી પૂર્ણ આંતરિક પરાવર્તનની અસરો છે.

(D) ધારો કે લેન્સ વગર અભિસારી કિરણપુંજનું કેન્દ્ર લેન્સથી $x$ અંતરે છે. જ્યારે લેન્સ હાજર હોય,ત્યારે પ્રતિબિંબ $v = +15\, cm$ પર રચાય છે.
જ્યારે લેન્સ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે કિરણો $5\, cm$ નજીક મળે છે,તેથી લેન્સ માટે વસ્તુ અંતર $u = 15 - 5 = +10\, cm$ થશે.
કિરણપુંજ અભિસારી હોવાથી,વસ્તુ આભાસી છે,તેથી $u$ ધન લેવામાં આવે છે.
લેન્સના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{1}{v} - \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{1}{15} - \frac{1}{10} = \frac{1}{f}$.
$\frac{2 - 3}{30} = \frac{1}{f}$.
$\frac{-1}{30} = \frac{1}{f}$.
તેથી,$f = -30\, cm$.

(C) ધારો કે લેન્સના દ્રવ્યનો વક્રીભવનાંક $\mu = 1.5$ છે અને વક્રતા ત્રિજ્યાઓ $R_1 = 20\, cm$ અને $R_2 = -20\, cm$ છે,તો લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ કેન્દ્રલંબાઈ $f$:
$\frac{1}{f} = (\mu - 1)(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) = (1.5 - 1)(\frac{1}{20} - \frac{1}{-20}) = 0.5 \times \frac{2}{20} = \frac{1}{20}$. તેથી,$f = 20\, cm$.
લેન્સના સૂત્ર $\frac{1}{f} = \frac{1}{v} - \frac{1}{u}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = -30\, cm$:
$\frac{1}{20} = \frac{1}{v} - \frac{1}{-30}$
$\frac{1}{v} = \frac{1}{20} - \frac{1}{30} = \frac{3 - 2}{60} = \frac{1}{60}$.
તેથી,$v = 60\, cm$.
મોટવણી $m = \frac{v}{u} = \frac{60}{-30} = -2$.
$m = \frac{h_i}{h_o}$ હોવાથી,$h_i = m \times h_o = -2 \times 2\, cm = -4\, cm$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પ્રતિબિંબ ઉલટું છે અને ઊંચાઈનું મૂલ્ય $4\, cm$ છે. $v$ ધન હોવાથી,પ્રતિબિંબ વાસ્તવિક છે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$e V_{0} = h \nu - h \nu_{0}$
જ્યાં,
$\nu = 8.20 \times 10^{14} \text{ Hz}$ (આપાત આવૃત્તિ)
$\nu_{0} = 3.3 \times 10^{14} \text{ Hz}$ (થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ)
$h = 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$ (પ્લાન્કનો અચળાંક)
$e = 1.6 \times 10^{-19} \text{ C}$ (ઈલેક્ટ્રોનનો વીજભાર)
$V_{0}$ એ કટ-ઓફ (સ્ટોપિંગ) પોટેન્શિયલ છે.
$V_{0}$ માટે સમીકરણને ગોઠવતા:
$V_{0} = \frac{h}{e} (\nu - \nu_{0})$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (8.20 \times 10^{14} - 3.3 \times 10^{14})$
$V_{0} = \frac{6.63 \times 10^{-34}}{1.6 \times 10^{-19}} (4.9 \times 10^{14})$
$V_{0} = \frac{6.63 \times 4.9}{1.6} \times 10^{-1}$
$V_{0} \approx 2.03 \text{ V}$
આમ,કટ-ઓફ વોલ્ટેજ આશરે $2 \text{ V}$ છે.

(C) સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{s}$ અને ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\text{max}}$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$K_{\text{max}} = e V_{s}$
અહીં આપેલ છે કે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\text{max}} = 0.5\, eV$,તેથી સમીકરણમાં કિંમત મૂકતા:
$0.5\, eV = e V_{s}$
બંને બાજુએ પ્રાથમિક વિદ્યુતભાર $e$ વડે ભાગતા:
$V_{s} = 0.5\, V$
આમ,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $0.5\, V$ છે.

(A) ડેવિસન અને જર્મરના પ્રયોગમાં,ઇલેક્ટ્રોન ગન $V$ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો ઉપયોગ કરીને ઇલેક્ટ્રોનને પ્રવેગિત કરે છે.
$e$ વિદ્યુતભાર અને $m$ દળ ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ગતિઊર્જા $K$ એ $K = eV = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા,આપણને $v = \sqrt{\frac{2eV}{m}}$ મળે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વેગ $v$ એ પ્રવેગક વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત $V$ ના વર્ગમૂળના સમપ્રમાણમાં છે.
તેથી,એનોડ અને ફિલામેન્ટ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત વધારીને ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ વધારી શકાય છે.

(B) $V$ પોટેન્શિયલ દ્વારા પ્રવેગિત ઇલેક્ટ્રોન સાથે સંકળાયેલ ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{1.227}{\sqrt{V}} \; nm$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{\sqrt{V}}$.
ધારો કે $V_1 = 25 \; kV$ પર પ્રારંભિક તરંગલંબાઇ $\lambda_1$ છે અને $V_2 = 100 \; kV$ પર અંતિમ તરંગલંબાઇ $\lambda_2$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}} = \sqrt{\frac{100 \; kV}{25 \; kV}} = \sqrt{4} = 2$.
તેથી,$\lambda_2 = \frac{\lambda_1}{2}$.
આનો અર્થ એ છે કે ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $2$ ગણી ઘટશે.

(C) અહીં,વર્ક ફંક્શન $\phi_{0} = 0.5 \; eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = E - \phi_{0}$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે.
પ્રથમ વિકિરણ માટે,$E_{1} = 1 \; eV$:
$K_{\max 1} = 1 \; eV - 0.5 \; eV = 0.5 \; eV$.
બીજા વિકિરણ માટે,$E_{2} = 2.5 \; eV$:
$K_{\max 2} = 2.5 \; eV - 0.5 \; eV = 2 \; eV$.
ગતિ ઉર્જા અને મહત્તમ ઝડપ $v_{\max}$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ છે.
તેથી,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{\max 1}}{v_{\max 2}} = \sqrt{\frac{K_{\max 1}}{K_{\max 2}}} = \sqrt{\frac{0.5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(A) કોઈલ (ગૂંચળા) માં પ્રેરિત $emf$,$e = -L \frac{di}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $0 \leq t \leq \frac{T}{4}$ માટે,$i-t$ આલેખ ધન અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = \text{અચળ} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = -L \frac{di}{dt} = \text{ઋણ અચળ}$.
$2$. $\frac{T}{4} \leq t \leq \frac{T}{2}$ માટે,પ્રવાહ $i$ અચળ છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = 0$.
$3$. $\frac{T}{2} \leq t \leq \frac{3T}{4}$ માટે,$i-t$ આલેખ ઋણ અચળ ઢાળવાળી સીધી રેખા છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = \text{અચળ} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = -L \frac{di}{dt} = \text{ધન અચળ}$.
$4$. $\frac{3T}{4} \leq t \leq T$ માટે,પ્રવાહ $i$ શૂન્ય છે. તેથી,$\frac{di}{dt} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $e = 0$.
આ વિશ્લેષણના આધારે,પ્રેરિત $emf$ વિરુદ્ધ સમયનો આલેખ પ્રથમ અંતરાલ માટે ઋણ અચળ મૂલ્ય,બીજા માટે શૂન્ય,ત્રીજા માટે ધન અચળ મૂલ્ય અને છેલ્લા અંતરાલ માટે શૂન્ય દર્શાવે છે.

(B) આપેલ છે કે,ઓલ્ટરનેટિંગ વોલ્ટેજ $e = 200 \sqrt{2} \sin(100 t) \; V$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત સમીકરણ $e = E_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,આપણને પીક વોલ્ટેજ $E_0 = 200 \sqrt{2} \; V$ અને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 100 \; rad/s$ મળે છે.
$rms$ વોલ્ટેજ $E_{\text{rms}} = \frac{E_0}{\sqrt{2}} = \frac{200 \sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 200 \; V$ થાય.
કેપેસિટન્સ $C = 1 \; \mu F = 1 \times 10^{-6} \; F$ છે.
કેપેસિટિવ રિએક્ટન્સ $X_C$ નું સૂત્ર $X_C = \frac{1}{\omega C} = \frac{1}{100 \times 10^{-6}} = \frac{1}{10^{-4}} = 10^4 \; \Omega$ છે.
$rms$ પ્રવાહ $I_{\text{rms}} = \frac{E_{\text{rms}}}{X_C} = \frac{200}{10^4} = 2 \times 10^{-2} \; A$ મળે.
મિલીએમ્પિયર $(mA)$ માં ફેરવતા,$I_{\text{rms}} = 2 \times 10^{-2} \times 10^3 \; mA = 20 \; mA$ થાય.

(B) આપેલ છે: અવરોધ $R = 3\,\Omega$ અને ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 3\,\Omega$.
$LR$ શ્રેણી પરિપથમાં,લાગુ પાડેલા વોલ્ટેજ અને પ્રવાહ વચ્ચેનો કળા તફાવત $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\tan \phi = \frac{X_L}{R}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\tan \phi = \frac{3\,\Omega}{3\,\Omega} = 1$
તેથી,કળા તફાવત:
$\phi = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}$ રેડિયન થાય.

(C) સમય $t$ ના વિધેય તરીકે આપેલ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V$:
$V = V_0$,જ્યારે $0 \leq t \leq \frac{T}{2}$
$V = 0$,જ્યારે $\frac{T}{2} \leq t \leq T$
$r.m.s.$ મૂલ્યની વ્યાખ્યા મુજબ:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \int_0^T V^2 dt}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( \int_0^{T/2} V_0^2 dt + \int_{T/2}^T 0^2 dt \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{1}{T} \left( V_0^2 [t]_0^{T/2} + 0 \right)}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{T} \cdot \frac{T}{2}}$
$V_{rms} = \sqrt{\frac{V_0^2}{2}}$
$V_{rms} = \frac{V_0}{\sqrt{2}}$

(B) આપેલ છે: અવરોધ $R = 30\,\Omega$.
$f = 50\,Hz$ આવૃત્તિએ ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L = 20\,\Omega$.
$X_L = 2\pi f L$ હોવાથી,ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ આવૃત્તિના સમપ્રમાણમાં છે $(X_L \propto f)$.
નવી આવૃત્તિ $f' = 100\,Hz$ માટે,નવો ઈન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L'$ નીચે મુજબ મળે:
$X_L' = X_L \times \left(\frac{f'}{f}\right) = 20\,\Omega \times \left(\frac{100\,Hz}{50\,Hz}\right) = 40\,\Omega$.
$RL$ સર્કિટનો ઈમ્પિડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L')^2}$ દ્વારા મળે છે.
$Z = \sqrt{30^2 + 40^2} = \sqrt{900 + 1600} = \sqrt{2500} = 50\,\Omega$.
કોઈલમાં વહેતો પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z} = \frac{200\,V}{50\,\Omega} = 4\,A$ થાય.

(A) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ એ સદિશ ગુણાકાર $\vec{E} \times \vec{B}$ ની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
આપેલ છે કે તરંગ $+z$-અક્ષની દિશામાં પ્રસરણ પામે છે,તેથી પ્રસરણની દિશા $\hat{k}$ છે.
આપણે તપાસવું પડશે કે કઈ જોડી $\hat{E} \times \hat{B} = \hat{k}$ નું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $A$ માટે: $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$. આ પ્રસરણની દિશા સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $x$-અક્ષ પર છે અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $y$-અક્ષ પર છે.

(A) આપેલ વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોની તરંગલંબાઇનો ઘટતો ક્રમ નીચે મુજબ છે:
માઇક્રોવેવ > ઇન્ફ્રારેડ > અલ્ટ્રાવાયોલેટ > ગેમા કિરણો.
તેથી,સાચો ઘટતો ક્રમ આ મુજબ છે:
$\lambda_{\text{Microwave}} > \lambda_{\text{Infrared}} > \lambda_{\text{Ultraviolet}} > \lambda_{\text{Gamma rays}}$.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુ $(Z=1)$ માટે લાયમન શ્રેણીની પ્રથમ રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda$ રીડબર્ગ સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{\lambda} = R(1)^2 \left[ \frac{1}{1^2} - \frac{1}{2^2} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{4} \right] = \frac{3R}{4}$
પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ ધરાવતા હાઇડ્રોજન જેવા આયન માટે બામર શ્રેણીની બીજી રેખાની તરંગલંબાઇ $\lambda'$ નીચે મુજબ છે:
$\frac{1}{\lambda'} = R Z^2 \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R Z^2 \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{16} \right] = R Z^2 \left[ \frac{4-1}{16} \right] = \frac{3 R Z^2}{16}$
પ્રશ્ન મુજબ,$\lambda = \lambda'$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{\lambda} = \frac{1}{\lambda'}$:
$\frac{3R}{4} = \frac{3 R Z^2}{16}$
બંને બાજુ $\frac{3R}{4}$ વડે ભાગતા:
$1 = \frac{Z^2}{4}$
$Z^2 = 4$
$Z = 2$
આમ,હાઇડ્રોજન જેવા આયનનો પરમાણુ ક્રમાંક $2$ છે.

(C) આપેલ છે,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_{0} = 10 \ V$ અને વર્ક ફંક્શન $W = 2.75 \ eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu = eV_{0} + W$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$E = 10 \ eV + 2.75 \ eV = 12.75 \ eV$ ..... $(i)$.
હાઇડ્રોજન પરમાણુ માટે,$n$ અવસ્થામાંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $h\nu = E_{n} - E_{1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $E_{n} = -\frac{13.6}{n^{2}} \ eV$,તેથી $h\nu = -\frac{13.6}{n^{2}} - (-13.6) = 13.6 \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right) \ eV$.
આને સમીકરણ $(i)$ ની ઉર્જા સાથે સરખાવતા,$13.6 \left(1 - \frac{1}{n^{2}}\right) = 12.75$.
$1 - \frac{1}{n^{2}} = \frac{12.75}{13.6} = 0.9375$.
$\frac{1}{n^{2}} = 1 - 0.9375 = 0.0625$.
$n^{2} = \frac{1}{0.0625} = 16$.
તેથી,$n = 4$.

(C) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n^{\text{મી}}$ કક્ષાની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; eV$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉર્જા સ્તરો નીચે મુજબ છે:
$E_1 = -13.6 \; eV$
$E_2 = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \; eV$
$E_3 = -\frac{13.6}{9} \approx -1.51 \; eV$
$E_4 = -\frac{13.6}{16} = -0.85 \; eV$
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા એ બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta E = E_{n_2} - E_{n_1}$.
વિકલ્પો તપાસતા:
$1$. $E_4 - E_3 = -0.85 - (-1.51) = 0.66 \; eV$ (આશરે $0.65 \; eV$). આ શક્ય છે.
$2$. $E_3 - E_2 = -1.51 - (-3.4) = 1.89 \; eV$ (આશરે $1.9 \; eV$). આ શક્ય છે.
$3$. $E_1$ એ ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ ઉર્જા છે,અને $E_1$ માં થતા સંક્રમણો $13.6 \; eV$ મુક્ત કરી શકે છે (દા.ત.,અનંતથી $n=1$ સુધી). આ શક્ય છે.
$4$. $11.1 \; eV$ ને હાઇડ્રોજન પરમાણુના કોઈપણ બે ઉર્જા સ્તરો વચ્ચેના તફાવત તરીકે દર્શાવી શકાતું નથી.
તેથી,$11.1 \; eV$ એ ઉત્સર્જિત ફોટોન માટે શક્ય ઉર્જા નથી.

(D) જ્યારે એક આલ્ફા કણ $({}_2^4He)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે અને પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે.
જ્યારે એક બીટા કણ $(\beta^-)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે અને દળ ક્રમાંક અપરિવર્તિત રહે છે.
$_n^mX$ થી શરૂઆત કરતા:
$1$. એક $\alpha$ કણના ઉત્સર્જન પછી: $_n^mX \rightarrow {}_{n-2}^{m-4}Y + {}_2^4He$.
$2$. બે $\beta$ કણોના ઉત્સર્જન પછી: ${}_{n-2}^{m-4}Y \rightarrow {}_{n-2+2}^{m-4}Z + 2_{-1}^0e = {}_n^{m-4}Z$.
આમ,પરિણામી ન્યુક્લિયસ $_n^{m-4}Z$ છે.

(C) આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઊર્જા સમતુલ્યતા સંબંધ $E = mc^2$ મુજબ,જ્યાં $m$ એ દળ ક્ષતિ છે અને $E$ એ મુક્ત થતી ઊર્જા છે.
પાવર $P$ એ ઊર્જા મુક્ત થવાનો દર છે,$P = \frac{\Delta E}{\Delta t}$.
તેથી,દળ ક્ષયનો દર $\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{P}{c^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $P = 1000 \text{ kW} = 10^6 \text{ W}$ અને $c = 3 \times 10^8 \text{ m/s}$ આપેલ છે.
પ્રતિ સેકન્ડ દળ ક્ષય = $\frac{10^6 \text{ J/s}}{(3 \times 10^8 \text{ m/s})^2} = \frac{10^6}{9 \times 10^{16}} \text{ kg/s} = \frac{1}{9} \times 10^{-10} \text{ kg/s}$.
પ્રતિ કલાક દળ ક્ષય = $\left( \frac{1}{9} \times 10^{-10} \text{ kg/s} \right) \times 3600 \text{ s} = 400 \times 10^{-10} \text{ kg} = 4 \times 10^{-8} \text{ kg}$.
$1 \text{ kg} = 10^9 \mu g$ હોવાથી,પ્રતિ કલાક દળ ક્ષય = $4 \times 10^{-8} \times 10^9 \mu g = 40 \mu g$ થાય.

(B) ધારો કે $N_0$ એ રેડિયોએક્ટિવ આઇસોટોપ $X$ નો પ્રારંભિક જથ્થો છે અને $N$ એ $t$ સમય પછી બાકી રહેલો જથ્થો છે.
$X$ અને $Y$ નો ગુણોત્તર $1:15$ આપેલ છે, તેથી કુલ જથ્થો $N_0 = N + N_Y = N + 15N = 16N$ થાય.
તેથી, બાકી રહેલા આઇસોટોપનો અંશ $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{16}$ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના સૂત્ર $\frac{N}{N_0} = \left(\frac{1}{2}\right)^n$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે:
$\frac{1}{16} = \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies \left(\frac{1}{2}\right)^4 = \left(\frac{1}{2}\right)^n \implies n = 4$.
ખડકની ઉંમર $t$ એ $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_{1/2} = 50$ વર્ષ આપેલ છે, તેથી $t = 4 \times 50 = 200$ વર્ષ.

(D) $t = 0$ સમયે,$N_P(0) = 4N_0$ અને $N_Q(0) = N_0$ છે.
$t$ સમયે ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N(0) \cdot (1/2)^{t/T_{1/2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ માટે,$N_P(t) = 4N_0 \cdot (1/2)^{t/1} = 4N_0 \cdot 2^{-t}$ છે.
$Q$ માટે,$N_Q(t) = N_0 \cdot (1/2)^{t/2} = N_0 \cdot 2^{-t/2}$ છે.
આપેલ છે કે $N_P(t) = N_Q(t),$ તેથી $4N_0 \cdot 2^{-t} = N_0 \cdot 2^{-t/2}$ થાય.
$N_0$ વડે ભાગતા,$4 = 2^t / 2^{t/2} = 2^{t/2}$ મળે.
$4 = 2^2$ હોવાથી,$t/2 = 2,$ એટલે કે $t = 4 \text{ મિનિટ}$ મળે.
$t = 4 \text{ મિનિટ}$ સમયે,
$N_P(4) = 4N_0 \cdot (1/2)^4 = 4N_0 / 16 = N_0/4$ થાય.
$N_Q(4) = N_0 \cdot (1/2)^{4/2} = N_0 / 4$ થાય.
બનેલા $R$ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા એ $P$ અને $Q$ ના ક્ષય પામેલા કુલ ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
$N_R = (N_P(0) - N_P(4)) + (N_Q(0) - N_Q(4))$
$N_R = (4N_0 - N_0/4) + (N_0 - N_0/4) = 15N_0/4 + 3N_0/4 = 18N_0/4 = 9N_0/2$ થાય.

(C) ન્યુક્લિયર ફ્યુઝનમાં બે ધન વીજભારિત ન્યુક્લિયસને ફ્યુઝ થવા માટે પૂરતા નજીક લાવવાનો સમાવેશ થાય છે. સમાન વીજભાર એકબીજાને અપાકર્ષતા હોવાથી,તેમની વચ્ચે પ્રબળ સ્થિત-વિદ્યુત (કુલંબ) અપાકર્ષણ હોય છે. અત્યંત ઊંચા તાપમાને,ન્યુક્લિયસની ગતિ ઊર્જા આ કુલંબ અપાકર્ષણને દૂર કરવા માટે પૂરતી ઊંચી થઈ જાય છે,જે તેમને પ્રબળ ન્યુક્લિયર બળના વિસ્તારમાં આવીને ફ્યુઝ થવા દે છે.

(B) ઉત્સર્જિત ફોટોનનું વેગમાન $p_{\text{photon}} = \frac{hf}{c}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,રિકોઈલ થતા ન્યુક્લિયસના વેગમાનનું મૂલ્ય ફોટોનના વેગમાન જેટલું જ હોવું જોઈએ:
$p_{\text{nucleus}} = p_{\text{photon}} = \frac{hf}{c}$.
ધારો કે $v$ એ ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ઝડપ છે. તેથી,$Mv = \frac{hf}{c}$,જે આપણને $v = \frac{hf}{Mc}$ આપે છે.
ન્યુક્લિયસની રિકોઈલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}Mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}M \left( \frac{hf}{Mc} \right)^2 = \frac{1}{2}M \left( \frac{h^2f^2}{M^2c^2} \right) = \frac{h^2f^2}{2Mc^2}$.

(C) $p-n$ જંકશન ડાયોડ ત્યારે ફોરવર્ડ બાયસમાં કહેવાય જ્યારે $p$-બાજુનું પોટેન્શિયલ $n$-બાજુના પોટેન્શિયલ કરતા વધારે હોય.
$(A)$ $p$-બાજુ $+10 \ V$ પર છે અને $n$-બાજુ $+5 \ V$ પર છે. $10 \ V > 5 \ V$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
$(B)$ $p$-બાજુ $-10 \ V$ પર છે અને $n$-બાજુ $0 \ V$ (ગ્રાઉન્ડ) પર છે. $-10 \ V < 0 \ V$ હોવાથી,તે રિવર્સ બાયસમાં છે.
$(C)$ $p$-બાજુ $-5 \ V$ પર છે અને $n$-બાજુ $-12 \ V$ પર છે. $-5 \ V > -12 \ V$ હોવાથી,તે ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.
$(D)$ $p$-બાજુ $0 \ V$ (ગ્રાઉન્ડ) પર છે અને $n$-બાજુ $+5 \ V$ પર છે. $0 \ V < 5 \ V$ હોવાથી,તે રિવર્સ બાયસમાં છે.
આમ,ડાયોડ $(A)$ અને $(C)$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે.

(D) ફોરવર્ડ બાયસિંગમાં,બેટરીનો ધન છેડો $p-n$ જંકશનની $p-$બાજુ સાથે અને ઋણ છેડો $n-$બાજુ સાથે જોડવામાં આવે છે.
આ બાહ્ય વોલ્ટેજ જંકશનના આંતરિક પોટેન્શિયલ બેરિયરનો વિરોધ કરે છે.
પરિણામે,મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ જંકશન તરફ ધકેલાય છે,જે ડેપ્લેશન વિસ્તારની પહોળાઈ ઘટાડે છે.
તેથી,ડેપ્લેશન વિસ્તાર પાતળો બને છે.

(A) કોમન એમિટર કોન્ફિગ્યુરેશનમાં,પ્રવાહ ગેઈન $\beta$ ને કલેક્ટર પ્રવાહમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ પ્રવાહમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\beta = \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B}$
આપેલ છે:
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_C = 20 \, mA - 10 \, mA = 10 \, mA = 10 \times 10^{-3} \, A$
બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_B = 300 \, \mu A - 100 \, \mu A = 200 \, \mu A = 200 \times 10^{-6} \, A$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{10 \times 10^{-3}}{200 \times 10^{-6}}$
$\beta = \frac{10}{200} \times 10^3$
$\beta = \frac{1}{20} \times 1000 = 50$
તેથી,પ્રવાહ ગેઈન $50$ છે.

(C) જ્યારે જર્મેનિયમ (ચતુઃસંયોજક) સ્ફટિકમાં એન્ટિમની (પંચસંયોજક) ની થોડી માત્રા ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે સ્ફટિક $n-$ પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર બને છે.
$n-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ (મુખ્ય વાહકો) છે અને હોલ માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ (ગૌણ વાહકો) છે.
તેથી,મુક્ત ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા હોલની સંખ્યા કરતા વધારે હોય છે.

(D) પ્રમાણિત લોજિક ગેટના ચિહ્નોના આધારે:
$(i)$ એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.
(ii) એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iii) એ $NOT$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iv) એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$AND, NAND$ અને $NOT$ ગેટ માટેનો ક્રમ અનુક્રમે $(ii), (iv)$ અને $(iii)$ છે.

(A) $1\,k\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ ઝેનર બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_Z = 15\,V$ જેટલો હોય છે.
$1\,k\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I')$ નીચે મુજબ ગણી શકાય:
$I' = \frac{V_Z}{R_L} = \frac{15\,V}{1 \times 10^3\,\Omega} = 15 \times 10^{-3}\,A = 15\,mA$.
$250\,\Omega$ ના શ્રેણી અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ એ ઇનપુટ વોલ્ટેજ અને ઝેનર વોલ્ટેજ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$V_R = 20\,V - 15\,V = 5\,V$.
$250\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $(I)$ છે:
$I = \frac{V_R}{R} = \frac{5\,V}{250\,\Omega} = 0.02\,A = 20\,mA$.
જંકશન પર કિર્ચોફના પ્રવાહના નિયમ મુજબ,ઝેનર ડાયોડમાંથી વહેતો પ્રવાહ $(I_Z)$ છે:
$I_Z = I - I' = 20\,mA - 15\,mA = 5\,mA$.

(A) જ્યારે $Si$ અથવા $Ge$ ને ઇન્ડિયમ $(In)$ જેવી ટ્રાયવેલેન્ટ અશુદ્ધિ સાથે ડોપ કરવામાં આવે ત્યારે $p$-પ્રકારનું સેમિકન્ડક્ટર મળે છે.
આપેલ છે કે,ઇન્ટ્રિન્સિક કેરિયર સાંદ્રતા $n_i = 1.5 \times 10^{16} \, m^{-3}$ અને હોલ સાંદ્રતા $n_h = 4.5 \times 10^{22} \, m^{-3}$ છે.
અહીં $n_h > n_i$ હોવાથી,આ સેમિકન્ડક્ટર $p$-પ્રકારનું છે.
માસ એક્શન લો મુજબ,$n_e \cdot n_h = n_i^2$.
તેથી,$n_e = \frac{n_i^2}{n_h} = \frac{(1.5 \times 10^{16})^2}{4.5 \times 10^{22}} = \frac{2.25 \times 10^{32}}{4.5 \times 10^{22}} = 0.5 \times 10^{10} = 5 \times 10^9 \, m^{-3}$.

(D) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ:
$K_{\max} = h\nu - h\nu_0$
ઉત્સર્જન થવા માટે મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max}$ ધન હોવી જોઈએ,તેથી:
$h\nu - h\nu_0 > 0$
$h\nu > h\nu_0$
$\nu > \nu_0$
આમ,ફોટોઈલેક્ટ્રિક ઉત્સર્જન ત્યારે જ થાય છે જ્યારે આપાત પ્રકાશની આવૃત્તિ એક ચોક્કસ લઘુત્તમ આવૃત્તિ કરતા વધારે હોય,જેને થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $(\nu_0)$ કહેવામાં આવે છે.

(C) ગાઉસના નિયમ મુજબ,કોઈપણ બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતો વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\phi = \frac{Q_{\text{enclosed}}}{\varepsilon_0}$
અહીં,$Q_{\text{enclosed}}$ એ ગાઉસિયન સપાટી દ્વારા ઘેરાયેલો કુલ વિદ્યુતભાર છે અને $\varepsilon_0$ એ શૂન્યાવકાશની પરમિટિવિટી છે.
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે વિદ્યુત ફ્લક્સ માત્ર સપાટીની અંદર રહેલા વિદ્યુતભારના મૂલ્ય પર આધાર રાખે છે.
તે ગાઉસિયન સપાટીના આકાર કે કદ (ત્રિજ્યા $R$) પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,જો ગાઉસિયન સપાટીની ત્રિજ્યા બમણી કરવામાં આવે,તો ઘેરાયેલો વિદ્યુતભાર $Q$ સમાન રહે છે,અને પરિણામે,બહારની તરફનો વિદ્યુત ફ્લક્સ તેટલો જ રહેશે.