AIPMT 2009 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$,જ્યાં $\Delta Q$ એ શોષાયેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે,અને $\Delta W$ એ સિસ્ટમ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય છે.
આપેલ છે:
શોષાયેલી ઉષ્મા,$\Delta Q = 2 \; kcal = 2 \times 10^3 \times 4.2 \; J = 8400 \; J$.
કરવામાં આવેલ કાર્ય,$\Delta W = 500 \; J$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta U = \Delta Q - \Delta W$
$\Delta U = 8400 \; J - 500 \; J = 7900 \; J$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $7900 \; J$ છે.

(B) રીંગની તેની અક્ષને અનુલક્ષીને પ્રારંભિક જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L = I\omega = Mr^2\omega$ છે.
જ્યારે $m$ દળ ધરાવતી બે વસ્તુઓને વ્યાસના વિરુદ્ધ છેડાઓ પર જોડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$ એ રીંગની જડત્વની ચાકમાત્રા અને બે બિંદુવત દળોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થાય છે: $I' = Mr^2 + m(r)^2 + m(r)^2 = (M + 2m)r^2$.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોવાથી,$L_{initial} = L_{final}$ થાય.
$Mr^2\omega = (M + 2m)r^2\omega'$
નવા કોણીય વેગ $\omega'$ માટે ઉકેલતા:
$\omega' = \frac{Mr^2\omega}{(M + 2m)r^2} = \frac{M\omega}{M + 2m}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ દરમિયાન ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઉર્જા એ કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે: $W = qE\lambda$.
અહીં આપેલી ઉર્જા $W = 2 \;eV$,વિદ્યુતભાર $q = e$,અને સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = 4 \times 10^{-8} \;m$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \;eV = e \times E \times (4 \times 10^{-8} \;m)$.
$1 \;eV$ એ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા $1 \;V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ મેળવેલી ઉર્જા હોવાથી,$2 \;e \;V = e \times E \times 4 \times 10^{-8} \;m$.
બંને બાજુ $e$ અને $4 \times 10^{-8} \;m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $E = \frac{2}{4 \times 10^{-8}} \;V/m$.
$E = 0.5 \times 10^8 \;V/m = 5 \times 10^7 \;V/m$.

(D) દબાણનું પારિમાણિક સૂત્ર $P = \frac{\text{બળ}}{\text{ક્ષેત્રફળ}} = \frac{[M^1 L^1 T^{-2}]}{[L^2]}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $[P] = [M^1 L^{-1} T^{-2}]$ મળે છે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $M^a L^b T^c$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=1, b=-1, c=-2$ મળે છે.
આમ,જ્યારે $a=1, b=-1, c=-2$ હોય ત્યારે તે ભૌતિક રાશિ દબાણ છે.

(C) આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
બળ અચળ હોવાથી,પ્રવેગ $a$ પણ અચળ રહેશે.
સમય $t$ માં કાપેલું અંતર $S$ ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ દ્વારા મળે છે.
$t = 10 \ s$ માટે,અંતર $S_1 = 0(10) + \frac{1}{2}a(10)^2 = 50a$.
$t = 20 \ s$ માટે,અંતર $S_2 = 0(20) + \frac{1}{2}a(20)^2 = 200a$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$S_2 = 200a = 4(50a) = 4S_1$.
તેથી,$S_2 = 4S_1$.

(D) ધારો કે સ્કૂટરનો વેગ $v_s$ છે.
સ્કૂટર અને બસ વચ્ચેનું પ્રારંભિક અંતર $d = 1\; km = 1000\; m$ છે.
બસનો વેગ $v_b = 10\; m/s$ છે.
ઓવરટેક કરવા માટે લાગતો સમય $t = 100\; s$ છે.
બસની સાપેક્ષમાં સ્કૂટરનો સાપેક્ષ વેગ $v_{rel} = v_s - v_b = v_s - 10$ થશે.
સાપેક્ષ ગતિના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$d = v_{rel} \times t$:
$1000 = (v_s - 10) \times 100$
$10 = v_s - 10$
$v_s = 20\; m/s$.
આમ,સ્કૂટર સવારે $20\; m/s$ ની ઝડપે બસનો પીછો કરવો જોઈએ.

(C) આપેલ બળ સદિશ $\vec F = 6\hat i - 8\hat j + 10\hat k$ છે.
બળનું મૂલ્ય $|\vec F| = \sqrt{6^2 + (-8)^2 + 10^2} = \sqrt{36 + 64 + 100} = \sqrt{200} = 10\sqrt 2 \,N$ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,$F = ma$,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પ્રવેગ છે.
આપેલ પ્રવેગ $a = 1\, m/s^2$ છે.
તેથી,$m = \frac{F}{a} = \frac{10\sqrt 2}{1} = 10\sqrt 2 \,kg$ થાય.

(B) આપેલ છે:
લિફ્ટનું દળ,$M = 2000 \, kg$
કેબલમાં તણાવ,$T = 28000 \, N$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10 \, m/s^2$
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,લિફ્ટ પર લાગતું પરિણામી બળ $T - Mg = Ma$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$28000 - (2000 \times 10) = 2000 \times a$
$28000 - 20000 = 2000 \times a$
$8000 = 2000 \times a$
$a = \frac{8000}{2000} = 4 \, m/s^2$
અહીં તણાવ બળ વજનબળ કરતા વધારે હોવાથી,પ્રવેગ ઉપરની દિશામાં હશે.

(D) ધારો કે પાણીનો વેગ $v$ છે અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $m$ છે.
એકમ સમયમાં વહેતા પાણીનું દળ (દળનો પ્રવાહ દર) એ એકમ લંબાઈ દીઠ દળ અને વેગના ગુણાકાર જેટલું હોય છે:
$\text{દળનો પ્રવાહ દર} = m \times v$
$v$ વેગથી ગતિ કરતા $M$ દળની ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} Mv^2$ છે.
ગતિઊર્જા આપવામાં આવતી હોય તે દર એટલે પાવર $P$,જે એકમ સમય દીઠ ગતિઊર્જા છે:
$P = \frac{1}{2} (\text{દળનો પ્રવાહ દર}) v^2$
$P = \frac{1}{2} (mv) v^2 = \frac{1}{2} mv^3$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ખડકનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. તેથી,ત્રણેય ભાગોના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
ધારો કે ત્રણેય ભાગોના વેગમાન $\vec{p}_1$,$\vec{p}_2$ અને $\vec{p}_3$ છે.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0 \implies \vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$.
પ્રથમ ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_1 = m_1 v_1 = 1 \, kg \times 12 \, m s^{-1} = 12 \, kg \, m s^{-1}$ છે.
બીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_2 = m_2 v_2 = 2 \, kg \times 8 \, m s^{-1} = 16 \, kg \, m s^{-1}$ છે.
આ બે ભાગો એકબીજાને કાટખૂણે ગતિ કરતા હોવાથી,આ બે ભાગોના પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, kg \, m s^{-1}$ થાય.
ત્રીજા ભાગનું વેગમાન આ પરિણામી વેગમાન જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવતું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ જેથી સંરક્ષણનો નિયમ જળવાય.
તેથી,$p_3 = p_{12} = 20 \, kg \, m s^{-1}$.
ત્રીજા ભાગની ઝડપ $v_3 = 4 \, m s^{-1}$ આપેલ હોવાથી,તેનું દળ $m_3$:
$m_3 = \frac{p_3}{v_3} = \frac{20 \, kg \, m s^{-1}}{4 \, m s^{-1}} = 5 \, kg$.

(D) પદાર્થની પ્રારંભિક ગતિઊર્જા $(K_i)$ નીચે મુજબ છે: $K_i = \frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2} \times 1 \times (20)^2 = 200\,J$.
હવાના ઘર્ષણની ગેરહાજરીમાં પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,ગતિઊર્જા સંપૂર્ણપણે સ્થિતિઊર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે: $mgh = 200\,J$.
$m = 1\,kg$ અને $g = 10\,m/s^2$ નો ઉપયોગ કરતા,સૈદ્ધાંતિક મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{200}{1 \times 10} = 20\,m$ મળે છે.
જોકે,હવાના ઘર્ષણને કારણે પદાર્થ માત્ર $h' = 18\,m$ ની ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે.
આ ઊંચાઈ પર સ્થિતિઊર્જા $U_f = mgh' = 1 \times 10 \times 18 = 180\,J$ છે.
હવાના ઘર્ષણને કારણે વ્યય થયેલી ઊર્જા એ પ્રારંભિક ગતિઊર્જા અને અંતિમ સ્થિતિઊર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે: $\Delta E = K_i - U_f = 200\,J - 180\,J = 20\,J$.

(A) ધારો કે સ્પ્રિંગમાં મહત્તમ વિસ્તરણ $x$ છે.
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,બ્લોકની ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ સ્પ્રિંગની સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં થતા વધારા જેટલો હોય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = $Mgx$.
સ્થિતિસ્થાપક સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો = $\frac{1}{2} k x^2$.
બંનેને સરખાવતા: $Mgx = \frac{1}{2} k x^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા (જ્યાં $x \neq 0$): $x = \frac{2Mg}{k}$.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયામાંથી થતા ઉષ્મા વહનનો દર એ વાહકમાં વહેતા વિદ્યુત પ્રવાહ જેવો જ છે,જ્યાં તાપમાનનો તફાવત એ વિદ્યુત સ્થિતિમાનના તફાવતને અનુરૂપ છે અને ઉષ્મીય અવરોધ એ વિદ્યુત અવરોધને અનુરૂપ છે.
ઉષ્મા વહનના દર $\frac{dQ}{dt}$ માટેનું સૂત્ર ફૂરિયરના ઉષ્મા વહનના નિયમ મુજબ નીચે મુજબ છે:
$\frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_1 - T_2)}{L}$
અહીં,$k$ એ સળિયાના દ્રવ્યની ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$L$ એ સળિયાની લંબાઈ છે,અને $(T_1 - T_2)$ એ બે છેડાઓ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ઉત્સર્જનનો દર $E$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $E \propto T^4$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 227^o C = (227 + 273) K = 500 K$.
પ્રારંભિક ઉત્સર્જન દર $E_1 = 7 \; cal/cm^2 s$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 727^o C = (727 + 273) K = 1000 K$.
ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{E_2}{E_1} = \left( \frac{T_2}{T_1} \right)^4$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{E_2}{7} = \left( \frac{1000}{500} \right)^4$
$\frac{E_2}{7} = (2)^4$
$\frac{E_2}{7} = 16$
$E_2 = 7 \times 16 = 112 \; cal/cm^2 s$.
તેથી,$727^o C$ તાપમાને ઉત્સર્જિત ઉષ્માનો દર $112 \; cal/cm^2 s$ હશે.

(D) ચોરસ ફ્રેમના એક સળિયાનો વિચાર કરો,ધારો કે સળિયો $AB$. $M$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{Ml^2}{12}$ છે.
સળિયા $AB$ ના કેન્દ્રથી ચોરસ ફ્રેમના કેન્દ્ર સુધીનું અંતર $d = \frac{l}{2}$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,એક સળિયાની ચોરસના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{rod} = I_{cm} + Md^2 = \frac{Ml^2}{12} + M\left(\frac{l}{2}\right)^2 = \frac{Ml^2}{12} + \frac{Ml^2}{4} = \frac{Ml^2 + 3Ml^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.
ચોરસ ફ્રેમ બનાવવા માટે ચાર સમાન સળિયા હોવાથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I$:
$I = 4 \times I_{rod} = 4 \times \frac{Ml^2}{3} = \frac{4}{3}Ml^2$.

(D) ટોર્ક $\vec{\tau}$ ને સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને બળ સદિશ $\vec{F}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ ગુણાકારની વ્યાખ્યા મુજબ,પરિણામી સદિશ $\vec{\tau}$ હંમેશા તેને બનાવતા બંને સદિશો $\vec{r}$ અને $\vec{F}$ ને લંબ હોય છે.
બે લંબ સદિશોનો અદિશ ગુણાકાર (dot product) હંમેશા શૂન્ય હોવાથી,આપણને $\vec{r} \cdot \vec{\tau} = 0$ અને $\vec{F} \cdot \vec{\tau} = 0$ મળે છે.

(B) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,ગ્રહ અને સૂર્યને જોડતી રેખા સમાન સમયગાળામાં સમાન ક્ષેત્રફળ કાપે છે.
આનો અર્થ એ છે કે ક્ષેત્રીય વેગ $\frac{dA}{dt}$ અચળ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળ કાપવા માટે લાગતો સમય તે કાપેલા ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આપેલ છે કે ક્ષેત્રફળ $SCD = 2 \times \text{ક્ષેત્રફળ } SAB$.
જેহেতু $t_1$ એ $SCD$ ક્ષેત્રફળ કાપવા માટેનો સમય છે અને $t_2$ એ $SAB$ ક્ષેત્રફળ કાપવા માટેનો સમય છે,તેથી આપણી પાસે છે:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{\text{ક્ષેત્રફળ } SCD}{\text{ક્ષેત્રફળ } SAB} = \frac{2 \times \text{ક્ષેત્રફળ } SAB}{\text{ક્ષેત્રફળ } SAB} = 2$.
આમ,$t_1 = 2t_2$.

(A) આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમનું કદ (volume) અચળ રાખવામાં આવે છે.
જો દબાણ અચળ રાખવામાં આવે,તો તે પ્રક્રિયાને આઈસોબેરિક (isobaric) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આઈસોકોરિક પ્રક્રિયામાં દબાણ અચળ રહે છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) સરળ આવર્ત ગતિ માટે,$x$ સ્થાને વેગ $v$ નું સૂત્ર $v = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ છે.
અહીં કંપવિસ્તાર $a$ અને આવર્તકાળ $T$ આપેલ છે,તેથી કોણીય આવૃત્તિ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
$x = \frac{a}{2}$ સ્થાને ઝડપ:
$v = \omega \sqrt{a^2 - (\frac{a}{2})^2}$
$v = \omega \sqrt{a^2 - \frac{a^2}{4}}$
$v = \omega \sqrt{\frac{3a^2}{4}}$
$v = \omega \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ કિંમત મૂકતા:
$v = \frac{2\pi}{T} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}$
$v = \frac{\pi a\sqrt{3}}{T}$

(C) સરળ આવર્ત ગતિ $(S.H.M.)$ માટેની વ્યાખ્યા મુજબ,પ્રવેગ $(a)$ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતર $(x)$ ના ઋણ મૂલ્યના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $a = -\omega^2 x$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય આવૃત્તિ છે.
વિકલ્પ $(C)$ માં,સમીકરણ $a = -k(x+a)$ છે. જો આપણે નવો યામ $x' = x+a$ લઈએ,તો સમીકરણ $a = -k x'$ બને છે.
આ $x = -a$ સંતુલન સ્થાનની આસપાસ $S.H.M.$ દર્શાવે છે.
કારણ કે પ્રવેગ એ સરેરાશ સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં છે અને તેની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી વિકલ્પ $(C)$ એ $S.H.M.$ ને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(A) આપેલ છે: કંપવિસ્તાર $A = 2\, cm = 0.02\, m$,ઝડપ $v = 128\, m/s$.
$4\, m$ લંબાઈમાં $5$ પૂર્ણ તરંગો હોવાથી,તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{4\, m}{5} = 0.8\, m$.
આવૃત્તિ $f = \frac{v}{\lambda} = \frac{128}{0.8} = 160\, Hz$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi f = 2 \times 3.14159 \times 160 \approx 1005\, rad/s$.
તરંગ સંખ્યા $k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2 \times 3.14159}{0.8} \approx 7.85\, rad/m$.
તરંગ $x-$અક્ષની ધન દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $y = 0.02 \sin(7.85x - 1005t)$.

(B) કાર ઉદગમ તરીકે અને ટેકરી અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
પ્રથમ,ટેકરી દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f_1$ ની ગણતરી કરીએ:
$f_1 = f_0 \times \frac{v}{v - v_s} = 600 \times \frac{330}{330 - 30} = 600 \times \frac{330}{300} = 660 \, Hz$.
હવે,ટેકરી આ અવાજનું પરાવર્તન કરે છે,જે ઉદગમ તરીકે કાર્ય કરે છે અને ડ્રાઈવર ઉદગમ તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે કાર્ય કરે છે.
ડ્રાઈવર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ $f_2$ છે:
$f_2 = f_1 \times \frac{v + v_o}{v} = 660 \times \frac{330 + 30}{330} = 660 \times \frac{360}{330} = 2 \times 360 = 720 \, Hz$.

(A) આપેલ છે: લંબાઈ $l_1 = 0.516 \, m$ અને $l_2 = 0.491 \, m$. તણાવ $T = 20 \, N$. એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu = 1 \, g/m = 0.001 \, kg/m$.
દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિનું સૂત્ર $v = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ છે.
તરંગની ઝડપ $v_w = \sqrt{\frac{T}{\mu}} = \sqrt{\frac{20}{0.001}} = \sqrt{20000} = 100\sqrt{2} \approx 141.42 \, m/s$.
આવૃત્તિ $v_1 = \frac{141.42}{2 \times 0.516} \approx 137.04 \, Hz$.
આવૃત્તિ $v_2 = \frac{141.42}{2 \times 0.491} \approx 144.02 \, Hz$.
બીટ્સની સંખ્યા એ આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $|v_2 - v_1| = 144.02 - 137.04 = 6.98 \approx 7 \, Hz$.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_{com} = \frac{m_1\vec{r}_1 + m_2\vec{r}_2}{m_1 + m_2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\vec{r}_{com} = \frac{1(\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k}) + 3(-3\hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k})}{1 + 3}$.
$\vec{r}_{com} = \frac{\hat{i} + 2\hat{j} + \hat{k} - 9\hat{i} - 6\hat{j} + 3\hat{k}}{4} = \frac{-8\hat{i} - 4\hat{j} + 4\hat{k}}{4} = -2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાન સદિશનું મૂલ્ય $|\vec{r}_{com}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{4 + 1 + 1} = \sqrt{6}$.
હવે,વિકલ્પ $D$ માં આપેલ સદિશનું મૂલ્ય તપાસતા: $|-2\hat{i} - \hat{j} + \hat{k}| = \sqrt{(-2)^2 + (-1)^2 + (1)^2} = \sqrt{6}$.
આમ,બંનેના મૂલ્યો સમાન છે.

(B) ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થો એવા પદાર્થો છે જે લાગુ કરેલા ચુંબકીય ક્ષેત્રની વિરુદ્ધ દિશામાં નિર્બળ ચુંબકત્વ પ્રાપ્ત કરે છે. જ્યારે કોઈ ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થને અસમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં (જેમ કે ગજિયા ચુંબકના ધ્રુવોની નજીક) મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે એક એવું બળ અનુભવે છે જે તેને ક્ષેત્રના મજબૂત ભાગથી નબળા ભાગ તરફ ધકેલે છે. ગજિયા ચુંબકના ધ્રુવો પર ચુંબકીય ક્ષેત્ર સૌથી વધુ હોવાથી,ડાયામેગ્નેટિક પદાર્થ ઉત્તર અને દક્ષિણ બંને ધ્રુવો દ્વારા અપાકર્ષાય છે.

(B) કેપેસીટન્સ ધરાવતા ત્રણ કેપેસીટર શ્રેણીમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે,સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{\text{eq}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{C_{\text{eq}}} = \frac{1}{C} + \frac{1}{C} + \frac{1}{C} = \frac{3}{C}$
તેથી,$C_{\text{eq}} = \frac{C}{3}$ થાય.
શ્રેણી જોડાણમાં,દરેક કેપેસીટર પરનો પોટેન્શિયલ તફાવત $V$ હોય છે. કેપેસીટર સમાન હોવાથી,સંયોજનનો કુલ બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $V_{\text{total}}$ એ દરેક કેપેસીટરના બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજનો સરવાળો થાય છે.
$V_{\text{total}} = V + V + V = 3V$
આમ,સંયોજનનું કેપેસીટન્સ $C/3$ અને બ્રેકડાઉન વોલ્ટેજ $3V$ થશે.

(D) કોઈપણ કવચ પરના બિંદુએ સ્થિતિમાન એ બધા કવચોને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો સરવાળો છે. $r$ ત્રિજ્યા અને $\sigma$ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા ધરાવતા કવચ પરનો વિદ્યુતભાર $q = 4\pi r^2 \sigma$ છે.
તેથી,$q_A = 4\pi a^2 \sigma$,$q_B = -4\pi b^2 \sigma$,અને $q_C = 4\pi c^2 \sigma$.
સ્થિતિમાન નીચે મુજબ છે:
$V_A = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{a} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + c]$
$V_B = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{b} + \frac{q_B}{b} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2}{b} - b + c]$
$V_C = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} [\frac{q_A}{c} + \frac{q_B}{c} + \frac{q_C}{c}] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2 - b^2}{c} + c]$
આપેલ છે કે $c = a + b$,તેથી $c - b = a$ અને $c - a = b$. વળી $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) = (a - b)c$.
$V_A$ માં $c = a + b$ મૂકતા: $V_A = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + (a + b)] = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$.
$V_C$ માં $c = a + b$ મૂકતા: $V_C = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{(a - b)c}{c} + c] = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [a - b + a + b] = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$.
આમ,$V_A = V_C = \frac{2a\sigma}{\epsilon_0}$ અને $V_B = \frac{\sigma}{\epsilon_0} [\frac{a^2}{b} + a]$,તેથી સ્પષ્ટ છે કે $V_A = V_C \neq V_B$.

(D) વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = -x^2y - xz^3 + 4$ આપેલ છે.
વિદ્યુત ક્ષેત્ર $\vec{E}$ અને સ્થિતિમાન $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $\vec{E} = -\vec{\nabla} V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x}\hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y}\hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z}\hat{k} \right)$ છે.
આંશિક વિકલન કરતા:
$\frac{\partial V}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(-x^2y - xz^3 + 4) = -2xy - z^3$
$\frac{\partial V}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(-x^2y - xz^3 + 4) = -x^2$
$\frac{\partial V}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(-x^2y - xz^3 + 4) = -3xz^2$
આ કિંમતો $\vec{E}$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{E} = -[(-2xy - z^3)\hat{i} + (-x^2)\hat{j} + (-3xz^2)\hat{k}]$
$\vec{E} = (2xy + z^3)\hat{i} + x^2\hat{j} + 3xz^2\hat{k}$.

(D) લૂપ $ABFE$ માટે કિર્ચોફના વોલ્ટેજ નિયમનો ઉપયોગ કરતા:
બિંદુ $A$ થી શરૂ કરીને $B$ તરફ જતા,અવરોધ $R$ પરનો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ $-(i_1 + i_2)R$ છે.
શાખા $F$ થી $E$ તરફ જતા,જેમાં $\varepsilon_1$ અને $r_1$ છે,આપણે પહેલા બેટરીના ઋણ ટર્મિનલનો સામનો કરીએ છીએ,તેથી આપણે $\varepsilon_1$ ઉમેરીએ છીએ,અને પછી આપણે પ્રવાહ $i_1$ ની દિશામાં અવરોધ $r_1$ માંથી પસાર થઈએ છીએ,જેના પરિણામે $-i_1 r_1$ નો પોટેન્શિયલ ડ્રોપ મળે છે.
પોટેન્શિયલ ફેરફારોનો સરવાળો શૂન્ય લેતા,આપણને મળે છે:
$-(i_1 + i_2)R + \varepsilon_1 - i_1 r_1 = 0$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\varepsilon_1 - (i_1 + i_2)R - i_1 r_1 = 0$

(D) વર્તુળનો પરિઘ $L = 2 \pi r = 2 \pi \times 0.1 \, m = 0.2 \pi \, m$ છે.
તારનો કુલ અવરોધ $R_{total} = (12 \, \Omega/m) \times (0.2 \pi \, m) = 2.4 \pi \, \Omega$ છે.
જ્યારે તારને વર્તુળમાં વાળવામાં આવે છે અને બિંદુઓ $A$ અને $B$ વ્યાસાંત હોય છે, ત્યારે તાર બે સમાન અર્ધવર્તુળાકાર ભાગોમાં વહેંચાય છે, જેમાંથી દરેકનો અવરોધ $R' = R_{total} / 2 = 1.2 \pi \, \Omega$ છે.
આ બે ભાગો બિંદુ $A$ અને $B$ વચ્ચે સમાંતર જોડાણમાં છે.
સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ માટે $\frac{1}{R_{eq}} = \frac{1}{R'} + \frac{1}{R'} = \frac{2}{R'}$ થાય.
તેથી, $R_{eq} = \frac{R'}{2} = \frac{1.2 \pi \, \Omega}{2} = 0.6 \pi \, \Omega$ થાય.

(A) કોષનો ટર્મિનલ પોટેન્શિયલ તફાવત $(V)$ નીચેના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $V = \varepsilon - Ir$.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V$ અને $x = I$ છે:
$V = (-r)I + \varepsilon$.
અહીં,ઢાળ $(m)$ એ $-r$ બરાબર છે અને $y$-અક્ષ પરનો અંતઃખંડ $(c)$ એ $\varepsilon$ બરાબર છે.
તેથી,ઢાળ $-r$ છે અને અંતઃખંડ $\varepsilon$ છે.

(C) ગેલ્વેનોમીટરને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ગેલ્વેનોમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ અવરોધ $S$ જોડવો આવશ્યક છે.
શંટ અવરોધ માટેનું સૂત્ર $i_g G = (I - i_g) S$ છે,જ્યાં $i_g$ એ પૂર્ણ સ્કેલ વિચલન પ્રવાહ છે,$G$ એ ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ છે અને $I$ એ માપવા માટેનો મહત્તમ પ્રવાહ છે.
આપેલ છે: $G = 60\,\Omega$,$i_g = 1.0\,A$,અને $I = 5.0\,A$.
કિંમતો મૂકતા: $1.0 \times 60 = (5.0 - 1.0) \times S$.
$60 = 4 \times S$.
$S = \frac{60}{4} = 15\,\Omega$.
તેથી,$15\,\Omega$ નો અવરોધ સમાંતરમાં જોડવો જોઈએ.

(D) વિદ્યુતભારિત કણ પર લાગતું ચુંબકીય બળ $\vec{F}$ લોરેન્ટ્ઝ બળના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$.
આપેલ છે:
વિદ્યુતભાર $q = -2 \times 10^{-6}\, C$
વેગ $\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6\, m/s$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $\vec{B} = 2\hat{j}\, T$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{F} = (-2 \times 10^{-6}) \times [(2\hat{i} + 3\hat{j}) \times 10^6] \times (2\hat{j})$
$\vec{F} = -2 \times 2 \times [ (2\hat{i} \times \hat{j}) + (3\hat{j} \times \hat{j}) ]$
કારણ કે $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$ અને $\hat{j} \times \hat{j} = 0$:
$\vec{F} = -4 \times (2\hat{k} + 0)$
$\vec{F} = -8\hat{k}\, N$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે બળ $-z$ દિશામાં છે.
આમ,બળ $-z$ દિશામાં $8\, N$ છે.

(C) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ચુંબકીય ડાયપોલને ફેરવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = MB(\cos \theta_1 - \cos \theta_2)$
આપેલ છે:
ચુંબકીય મોમેન્ટ $M = 2 \times 10^4 \, JT^{-1}$
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = 6 \times 10^{-4} \, T$
પ્રારંભિક ખૂણો $\theta_1 = 0^{\circ}$ (ક્ષેત્રને સમાંતર)
અંતિમ ખૂણો $\theta_2 = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$W = (2 \times 10^4) \times (6 \times 10^{-4}) \times (\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ})$
$W = 12 \times (1 - 0.5)$
$W = 12 \times 0.5 = 6 \, J$
આમ,કરવું પડતું કાર્ય $6 \, J$ છે.

(A) આપેલ છે: તરંગલંબાઈ $\lambda = 667 \, nm = 667 \times 10^{-9} \, m$. પાવર $P = 9 \, mW = 9 \times 10^{-3} \, W$.
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$.
$h = 6.63 \times 10^{-34} \, J \cdot s$ અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ લેતા:
$E = \frac{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}{667 \times 10^{-9}} \approx 2.98 \times 10^{-19} \, J$.
દર સેકન્ડે ફોટોનની સંખ્યા $n = \frac{P}{E}$.
$n = \frac{9 \times 10^{-3}}{2.98 \times 10^{-19}} \approx 3.02 \times 10^{16} \approx 3 \times 10^{16}$ ફોટોન/સેકન્ડ.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસર મુજબ,એકમ સમયમાં ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા એ એકમ સમયમાં આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રકાશની તીવ્રતા એટલે એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ અને એકમ સમયમાં આપાત થતી ઉર્જા,અને આપેલી આવૃત્તિ $\nu$ માટે,દરેક ફોટોનની ઉર્જા $E = h\nu$ (અચળ) હોય છે,તેથી તીવ્રતા એ આપાત ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આથી,જો આવૃત્તિ $\nu$ એ થ્રેશોલ્ડ આવૃત્તિ $\nu_0$ કરતા વધારે હોય,તો ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા આપાત પ્રકાશની તીવ્રતાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.

(D) લૂપમાંથી પસાર થતું ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = B \cdot A = B \cdot \pi r^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $B$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે અને $r$ એ લૂપની ત્રિજ્યા છે.
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત $emf$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ છે.
અહીં $B$ અચળ હોવાથી,$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(B \pi r^2) = -B \pi (2r) \frac{dr}{dt}$.
આપેલ છે: $B = 0.04\, T$,$r = 2\, cm = 0.02\, m$,અને $\frac{dr}{dt} = -2\, mm/s = -2 \times 10^{-3}\, m/s$ (ઋણ નિશાની કારણ કે ત્રિજ્યા ઘટી રહી છે).
કિંમતો મૂકતા:
$\varepsilon = -(0.04) \cdot \pi \cdot 2 \cdot (0.02) \cdot (-2 \times 10^{-3})$
$\varepsilon = 0.04 \cdot \pi \cdot 0.04 \cdot 2 \times 10^{-3}$
$\varepsilon = 0.0032 \times 10^{-3} \cdot \pi\, V$
$\varepsilon = 3.2 \times 10^{-6} \cdot \pi\, V = 3.2\pi\, \mu V$.

(A) પ્રેરિત ઇલેક્ટ્રોમોટિવ ફોર્સ (emf) $\varepsilon = B l v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $l$ એ વેગ સદિશને લંબ રૂપે ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતા વાહકની લંબાઈ છે.
લંબચોરસ અથવા ચોરસ લૂપ માટે,જેમ તે ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે,તેમ ચુંબકીય ક્ષેત્ર રેખાઓને કાપતી બાજુની લંબાઈ $l$ અચળ રહે છે જ્યાં સુધી આખો લૂપ ક્ષેત્રની બહાર ન નીકળે. આમ,પ્રેરિત emf અચળ રહે છે.
વર્તુળાકાર અથવા લંબગોળ લૂપ માટે,વેગ સદિશને લંબ લૂપની પહોળાઈ સતત બદલાતી રહે છે જેમ લૂપ ચુંબકીય ક્ષેત્રમાંથી બહાર નીકળે છે. કારણ કે લંબાઈ $l$ અચળ નથી,તેથી પ્રેરિત emf $\varepsilon = B l v$ અચળ રહેશે નહીં.
તેથી,વર્તુળાકાર અને લંબગોળ લૂપ માટે પ્રેરિત emf અચળ રહેશે નહીં.

(D) $LCR$ શ્રેણી પરિપથમાં વ્યય થતો સરેરાશ પાવર $P = E_{rms} I_{rms} \cos \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિપથનું ઈમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + (X_L - X_C)^2}$ છે,જ્યાં $X_L = \omega L$ અને $X_C = \frac{1}{\omega C}$ છે.
પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ છે.
રૂટ-મીન-સ્ક્વેર પ્રવાહ $I_{rms} = \frac{E_{rms}}{Z}$ છે.
આ કિંમતોને પાવરના સૂત્રમાં મૂકતા: $P = E_{rms} \cdot \frac{E_{rms}}{Z} \cdot \frac{R}{Z} = \frac{E_{rms}^2 R}{Z^2}$.
$Z^2 = R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2$ અને $E_{rms} = \varepsilon$ મૂકતા,આપણને $P = \frac{\varepsilon^2 R}{R^2 + (\omega L - \frac{1}{\omega C})^2}$ મળે છે.

(B) આપેલ વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_y = E_0 \cos(\omega t - kx)$ છે.
આપેલ સમીકરણ $E_y = 2.5 \cos[(2\pi \times 10^6)t - (\pi \times 10^{-2})x]$ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi \times 10^6 \text{ rad/s}$ અને તરંગ સદિશ $k = \pi \times 10^{-2} \text{ rad/m}$ મળે છે.
કોસાઇન પદની અંદર $(\omega t - kx)$ હોવાથી,તરંગ ધન $x$-દિશામાં પ્રસરણ પામે છે.
આવૃત્તિ $f$ એ $\omega = 2\pi f$ દ્વારા મળે છે,તેથી $f = \frac{2\pi \times 10^6}{2\pi} = 10^6 \text{ Hz}$.
તરંગલંબાઇ $\lambda$ એ $k = \frac{2\pi}{\lambda}$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\lambda = \frac{2\pi}{k} = \frac{2\pi}{\pi \times 10^{-2}} = 2 \times 10^2 = 200 \text{ m}$.
આમ,તરંગ $10^6 \text{ Hz}$ ની આવૃત્તિ અને $200 \text{ m}$ ની તરંગલંબાઇ સાથે $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.

(C) જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન ઉત્તેજિત અવસ્થા $n$ માંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે છે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $N = \frac{n(n-1)}{2}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $N = 6$ આપેલ છે,તેથી $\frac{n(n-1)}{2} = 6$,જેનો અર્થ છે કે $n^2 - n - 12 = 0$. આ દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,આપણને $(n-4)(n+3) = 0$ મળે છે,તેથી $n = 4$.
ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = E_i - E_f = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેથી $\lambda = \frac{hc}{\Delta E}$,તરંગલંબાઇ $\lambda$ ત્યારે મહત્તમ હોય છે જ્યારે ઉર્જાનો તફાવત $\Delta E$ ન્યૂનતમ હોય.
$n=4$ માંથી શક્ય સંક્રમણો છે: $(4 \to 3), (4 \to 2), (4 \to 1), (3 \to 2), (3 \to 1), (2 \to 1)$.
ઉર્જાના તફાવતોની સરખામણી કરતા,સંક્રમણ $n=4 \to n=3$ માં ઉર્જાનો તફાવત સૌથી ઓછો છે,અને તેથી તે ઉત્સર્જિત વિકિરણની મહત્તમ તરંગલંબાઇને અનુરૂપ છે.

(A) રધરફોર્ડના પ્રકીર્ણન પ્રયોગમાં,ન્યૂનતમ અંતર $(r_0)$ પર,પ્રક્ષિપ્ત કણની પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $(K)$ સંપૂર્ણપણે સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જા $(U)$ માં રૂપાંતરિત થાય છે.
સ્થિત વિદ્યુત સ્થિતિ ઉર્જાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$U = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{(Z_1 e)(Z_2 e)}{r_0}$
ન્યૂનતમ અંતરના બિંદુએ ગતિ ઉર્જા $K$ એ સ્થિતિ ઉર્જા $U$ જેટલી હોવાથી:
$K = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \frac{Z_1 Z_2 e^2}{r_0}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રક્ષિપ્ત કણની ઉર્જા એ પ્રક્ષિપ્ત કણ અને લક્ષ્ય ન્યુક્લિયસના વીજભારના ગુણાકારના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $K \propto Z_1 Z_2$.

(B) આપેલ ક્ષય શ્રેણી: ${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$ છે.
$1$. પ્રથમ તબક્કામાં,${}_Z^AX \to {}_{Z + 1}^AY$: પરમાણુ ક્રમાંક $1$ જેટલો વધે છે જ્યારે દળ ક્રમાંક સમાન રહે છે. આ $\beta^-$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$2$. બીજા તબક્કામાં,${}_{Z + 1}^AY \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: પરમાણુ ક્રમાંક $2$ જેટલો ઘટે છે અને દળ ક્રમાંક $4$ જેટલો ઘટે છે. આ $\alpha$ કણના ઉત્સર્જનને અનુરૂપ છે.
$3$. ત્રીજા તબક્કામાં,${}_{Z - 1}^{A - 4}K \to {}_{Z - 1}^{A - 4}K$: પરમાણુ ક્રમાંક કે દળ ક્રમાંકમાં કોઈ ફેરફાર થતો નથી,જે $\gamma$ કિરણના ઉત્સર્જન (ન્યુક્લિયસનું ડી-એક્સાઈટેશન) સૂચવે છે.
તેથી,ઉત્સર્જિત થતા કણોનો ક્રમ $\beta, \alpha, \gamma$ છે.

(C) ધારો કે પિતૃ ન્યુક્લિયસ ${}_Z^AX$ છે.
જ્યારે એક $\alpha$ કણ $({}_2^4He)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $2$ નો ઘટાડો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ માં $4$ નો ઘટાડો થાય છે.
જ્યારે એક $\beta^-$ કણ $({}_{-1}^0e)$ ઉત્સર્જિત થાય છે,ત્યારે પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ માં $1$ નો વધારો થાય છે અને દળ ક્રમાંક $A$ અપરિવર્તિત રહે છે.
આપેલ છે કે ઉત્સર્જિત $\beta$ કણોની સંખ્યા $\alpha$ કણોની સંખ્યા કરતા બમણી છે,ધારો કે $\alpha$ કણોની સંખ્યા $n$ છે. તો $\beta$ કણોની સંખ્યા $2n$ થશે.
પુત્રી ન્યુક્લિયસના પરમાણુ ક્રમાંક $Z'$ માં ફેરફાર: $Z' = Z - 2(n) + 1(2n) = Z - 2n + 2n = Z$.
પુત્રી ન્યુક્લિયસના દળ ક્રમાંક $A'$ માં ફેરફાર: $A' = A - 4(n) + 0(2n) = A - 4n$.
અહીં પરમાણુ ક્રમાંક $Z$ સમાન રહેતો હોવાથી,પરિણામી પુત્રી ન્યુક્લિયસ એ પિતૃ ન્યુક્લિયસનું આઈસોટોપ (સમસ્થાનિક) છે.

(A) આપેલ લોજિક ગેટના ચિહ્નોનું અવલોકન કરતા:
$(i)$ એ $NAND$ ગેટ દર્શાવે છે.
(ii) એ $NOT$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iii) એ $AND$ ગેટ દર્શાવે છે.
(iv) એ $OR$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,$OR$,$NOT$ અને $NAND$ ગેટ માટેના ચિહ્નો અનુક્રમે $(iv)$,$(ii)$ અને $(i)$ છે.

(C) બેન્ડ ગેપને પાર કરવા માટે જરૂરી ફોટોનની ઉર્જા $E_g = 2.5 \, eV$ છે.
ફોટોડાયોડ સિગ્નલ શોધી શકે તે માટે,આપાત ફોટોનની ઉર્જા $(E = \frac{hc}{\lambda})$ એ બેન્ડ ગેપ ઉર્જા $(E_g)$ કરતા વધારે અથવા તેના જેટલી હોવી જોઈએ.
તેથી,$\frac{12400 \, eV \cdot \mathring{A}}{\lambda} \geq 2.5 \, eV$.
થ્રેશોલ્ડ તરંગલંબાઇની ગણતરી કરતા,$\lambda_{max} = \frac{12400}{2.5} \, \mathring{A} = 4960 \, \mathring{A}$.
$4960 \, \mathring{A}$ કરતા ઓછી અથવા તેના જેટલી તરંગલંબાઇ ધરાવતો કોઈપણ સિગ્નલ શોધી શકાય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,$4000 \, \mathring{A}$ એ એકમાત્ર તરંગલંબાઇ છે જે $4960 \, \mathring{A}$ કરતા નાની છે.

(C) કોમન-એમિટર કોન્ફિગ્યુરેશનમાં,કરંટ ગેઇન $\beta$ ને અચળ કલેક્ટર-એમિટર વોલ્ટેજ $V_{CE}$ પર કલેક્ટર કરંટમાં થતા ફેરફાર અને બેઝ કરંટમાં થતા ફેરફારના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$\beta = \left( \frac{\Delta I_C}{\Delta I_B} \right)_{V_{CE}}$
આપેલ છે:
$\Delta I_C = 10\, mA - 5\, mA = 5\, mA = 5 \times 10^{-3}\, A$
$\Delta I_B = 200\,\mu A - 100\,\mu A = 100\,\mu A = 100 \times 10^{-6}\, A$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\beta = \frac{5 \times 10^{-3}}{100 \times 10^{-6}}$
$\beta = \frac{5 \times 10^{-3}}{10^{-4}}$
$\beta = 5 \times 10^1 = 50$
આમ,કરંટ ગેઇન $50$ છે.

(B) ફોટોઈલેક્ટ્રિક અસરમાં,સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ આપાત વિકિરણની આવૃત્તિ પર આધાર રાખે છે,જ્યારે સેચ્યુરેશન કરંટ આપાત વિકિરણની તીવ્રતા પર આધાર રાખે છે.
આલેખ પરથી,વક્રો $(a)$ અને $(b)$ સમાન સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ ધરાવે છે (જે બિંદુએ વક્ર ઋણ x-અક્ષને છેદે છે),જેનો અર્થ છે કે તેમની આવૃત્તિ સમાન છે.
જો કે,તેઓ અલગ-અલગ સેચ્યુરેશન કરંટ ધરાવે છે (ફોટો કરંટનું મહત્તમ મૂલ્ય),જેનો અર્થ છે કે તેમની તીવ્રતા અલગ-અલગ છે.
તેથી,વક્રો $(a)$ અને $(b)$ સમાન આવૃત્તિ પરંતુ અલગ-અલગ તીવ્રતા ધરાવતા આપાત વિકિરણોનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.