AIPMT 2014 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(D) $P-V$ આલેખ પર ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા કુલ ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આકૃતિમાં,ચક્ર બે ત્રિકોણ ધરાવે છે: $\triangle AOD$ અને $\triangle BOC$.
પ્રક્રિયા $A \rightarrow O \rightarrow D$ માટે,કદ વધે છે,તેથી કાર્ય ધન છે. $\triangle AOD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2V_0 - V_0) \times (2P_0 - P_0) = \frac{1}{2} \times V_0 \times P_0 = \frac{P_0V_0}{2}$.
પ્રક્રિયા $B \rightarrow O \rightarrow C$ માટે,કદ ઘટે છે,તેથી કાર્ય ઋણ છે. $\triangle BOC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times (2V_0 - V_0) \times (3P_0 - 2P_0) = \frac{1}{2} \times V_0 \times P_0 = \frac{P_0V_0}{2}$.
કુલ કાર્ય $W = W_{AOD} + W_{BOC} = \frac{P_0V_0}{2} + (-\frac{P_0V_0}{2}) = 0$.

(D) ધારો કે દળ $m \propto F^a V^b T^c$.
તેથી $m = k F^a V^b T^c$,જ્યાં $k$ એ પરિમાણરહિત અચળાંક છે.
બંને બાજુ પરિમાણો લખતા:
$[M L^0 T^0] = [M L T^{-2}]^a [L T^{-1}]^b [T]^c$
$[M L^0 T^0] = [M^a L^{a+b} T^{-2a-b+c}]$
બંને બાજુ $M, L,$ અને $T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$M$ માટે: $a = 1$
$L$ માટે: $a + b = 0 \implies 1 + b = 0 \implies b = -1$
$T$ માટે: $-2a - b + c = 0 \implies -2(1) - (-1) + c = 0 \implies -2 + 1 + c = 0 \implies c = 1$
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$[m] = [F^1 V^{-1} T^1] = [F V^{-1} T]$.

(A) પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થના ગતિપથનું સમીકરણ આ મુજબ છે: $y = x \tan \theta - \frac{g x^2}{2 u^2 \cos^2 \theta}$.
બે ગતિપથ સમાન હોવા માટે અને પ્રક્ષેપણનો ખૂણો $\theta$ સમાન હોવા માટે,પદ $\frac{g}{u^2}$ અચળ હોવું જોઈએ.
તેથી,$\frac{g_{earth}}{u_{earth}^2} = \frac{g_{planet}}{u_{planet}^2}$.
આપેલ છે કે $g_{earth} = 9.8 \, m s^{-2}$,$u_{earth} = 5 \, m s^{-1}$,અને $u_{planet} = 3 \, m s^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{9.8}{5^2} = \frac{g_{planet}}{3^2}$.
$\frac{9.8}{25} = \frac{g_{planet}}{9}$.
$g_{planet} = \frac{9.8 \times 9}{25} = \frac{88.2}{25} = 3.528 \, m s^{-2}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $3.5 \, m s^{-2}$ છે.

(D) સમય $t_1 = 0 \, s$ પર,કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_1 = 2\hat{i} + 3\hat{j}$ છે.
સમય $t_2 = 5 \, s$ પર,કણનો સ્થાન સદિશ $\vec{r}_2 = 13\hat{i} + 14\hat{j}$ છે.
$t = 0$ થી $t = 5 \, s$ સુધીનું સ્થાનાંતર $\Delta \vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta \vec{r} = (13\hat{i} + 14\hat{j}) - (2\hat{i} + 3\hat{j}) = 11\hat{i} + 11\hat{j}$.
સરેરાશ વેગ $\vec{v}_{av}$ એ કુલ સ્થાનાંતરને કુલ સમયગાળા $\Delta t = t_2 - t_1 = 5 - 0 = 5 \, s$ વડે ભાગવાથી મળે છે.
$\vec{v}_{av} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{11\hat{i} + 11\hat{j}}{5} = \frac{11}{5}(\hat{i} + \hat{j}) \, m/s$.

(C) સિસ્ટમ માટે ગતિ આપતું બળ એ દળ $m_1$ નું વજન છે,જે $m_1g$ છે.
વિરોધ કરતું બળ એ દળ $m_2$ અને $m_3$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ છે.
$m_2$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_2 = \mu m_2g$ છે.
$m_3$ પર લાગતું ઘર્ષણ બળ $f_3 = \mu m_3g$ છે.
સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ચોખ્ખું બળ $F_{net} = m_1g - \mu m_2g - \mu m_3g$ છે.
સિસ્ટમનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 + m_3$ છે.
પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે: $a = \frac{F_{net}}{M} = \frac{m_1g - \mu m_2g - \mu m_3g}{m_1 + m_2 + m_3}$.
આપેલ છે કે $m_1 = m_2 = m_3 = m$,તેથી આ કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{mg - \mu mg - \mu mg}{m + m + m} = \frac{mg - 2\mu mg}{3m} = \frac{g(1 - 2\mu)}{3}$.

(C) કણના વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ આઘાત (impulse) જેટલો હોય છે,જે બળ-સમય $(F-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો છે.
વેગમાનમાં ફેરફાર = $F-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ
$= \text{ત્રિકોણ } ABC \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \text{લંબચોરસ } CDEF \text{ નું ક્ષેત્રફળ} + \text{લંબચોરસ } FGHI \text{ નું ક્ષેત્રફળ}$
$= (\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}) + (\text{પહોળાઈ} \times \text{લંબાઈ}) + (\text{પહોળાઈ} \times \text{લંબાઈ})$
$= (\frac{1}{2} \times 2 \times 6) + (2 \times -3) + (4 \times 3)$
$= 6 - 6 + 12$
$= 12 \, N-s$.

(A) ધારો કે $F$ એ હવા દ્વારા લાગતું ઉપરની તરફનું બળ (upthrust) છે. જેમ કે ફુગ્ગો $a$ પ્રવેગ સાથે નીચે તરફ ગતિ કરે છે:
$mg - F = ma$ ... $(i)$
ધારો કે ફુગ્ગામાંથી $m_0$ દળ દૂર કરવામાં આવે છે જેથી તે $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપર તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે. તો:
$F - (m - m_0)g = (m - m_0)a$
$F - mg + m_0g = ma - m_0a$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ નો સરવાળો કરતા,આપણને મળે છે:
$m_0g = 2ma - m_0a$
$m_0(g + a) = 2ma$
$m_0 = \frac{2ma}{g + a}$

(B) ધારો કે $2m$ દળ ધરાવતા ત્રીજા ટુકડાનો વેગ $\vec{v}'$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન,$\vec{P}_i = 0$ (કારણ કે પદાર્થ સ્થિર છે).
અંતિમ વેગમાન,$\vec{P}_f = m v \hat{i} + m v \hat{j} + 2m \vec{v}'$.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$\vec{P}_i = \vec{P}_f$.
$0 = m v \hat{i} + m v \hat{j} + 2m \vec{v}'$.
$\vec{v}' = -\frac{v}{2} \hat{i} - \frac{v}{2} \hat{j}$.
$v'$ નું મૂલ્ય $v' = \sqrt{(-\frac{v}{2})^2 + (-\frac{v}{2})^2} = \frac{v}{\sqrt{2}}$ છે.
વિસ્ફોટને કારણે ઉત્પન્ન થતી કુલ ગતિઊર્જા એ ત્રણેય ટુકડાઓની ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે:
$K.E. = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} (2m) (v')^2$.
$K.E. = m v^2 + m (\frac{v}{\sqrt{2}})^2$.
$K.E. = m v^2 + m (\frac{v^2}{2}) = \frac{3}{2} m v^2 = 1.5 m v^2$.

(A) ધારો કે આસપાસનું તાપમાન $T_s$ છે.
$Newton$ ના શીતળતાના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર નીચે મુજબ છે:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
પ્રથમ $5$ મિનિટ માટે:
$T_1 = 70^\circ C, T_2 = 60^\circ C, t = 5$ મિનિટ.
$\frac{70 - 60}{5} = K \left( \frac{70 + 60}{2} - T_s \right)$
$2 = K(65 - T_s)$ --- $(i)$
પછીની $5$ મિનિટ માટે:
$T_1 = 60^\circ C, T_2 = 54^\circ C, t = 5$ મિનિટ.
$\frac{60 - 54}{5} = K \left( \frac{60 + 54}{2} - T_s \right)$
$1.2 = K(57 - T_s)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{1.2} = \frac{65 - T_s}{57 - T_s}$
$\frac{5}{3} = \frac{65 - T_s}{57 - T_s}$
$5(57 - T_s) = 3(65 - T_s)$
$285 - 5T_s = 195 - 3T_s$
$2T_s = 90$
$T_s = 45^\circ C$

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$
જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
અણુની ત્રિજ્યા $r$ હોવાથી,વ્યાસ $d = 2r$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi (2r)^2} = \frac{1}{4\sqrt{2} n \pi r^2}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{r^2}$.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથ $r^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(D) આપેલ છે: નળાકારનું દળ, $M = 50\, kg$. નળાકારની ત્રિજ્યા, $R = 0.5\, m$. કોણીય પ્રવેગ, $\alpha = 2\, \text{rev } s^{-2}$.
કોણીય પ્રવેગને $SI$ એકમોમાં ફેરવતા: $\alpha = 2 \times 2\pi\, \text{rad } s^{-2} = 4\pi\, \text{rad } s^{-2}$.
દોરીમાં રહેલા તણાવ $T$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = T \times R$ છે.
નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
સંબંધ $\tau = I\alpha$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે $TR = (\frac{1}{2}MR^2)\alpha$.
તણાવ $T$ માટે ઉકેલતા: $T = \frac{1}{2}MR\alpha$.
કિંમતો મૂકતા: $T = \frac{1}{2} \times 50 \times 0.5 \times 4\pi = 50\pi$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા, $T = 50 \times 3.14 = 157\, N$.

(A) ઢળતા સમતલ પર ગબડ્યા વિના સરકતા ઘન ગોળાનો પ્રવેગ:
${a_{slipping}} = g \sin \theta \,\,\,\,\,\,\,(i)$
ઢળતા સમતલ પર સરક્યા વિના ગબડતા ઘન ગોળાનો પ્રવેગ:
${a_{rolling}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{k^2}{R^2}} = \frac{g \sin \theta}{1 + \frac{2}{5}}$
(ઘન ગોળા માટે,$\frac{k^2}{R^2} = \frac{2}{5}$)
$= \frac{5}{7} g \sin \theta \,\,\,\,\,(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે:
$\frac{a_{rolling}}{a_{slipping}} = \frac{5}{7}$

(C) કોઈપણ પદાર્થ બ્લેક હોલ બને તે માટે તેનો નિષ્ક્રમણ વેગ પ્રકાશની ગતિ $(c)$ જેટલો હોવો જોઈએ.
નિષ્ક્રમણ વેગનું સૂત્ર $v_{esc} = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$ છે.
$v_{esc} = c$ લેતા,$c = \sqrt{\frac{2GM}{R}}$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{2GM}{c^2}$.
અહીં $G = 6.67 \times 10^{-11} \, N \cdot m^2/kg^2$,$M = 5.98 \times 10^{24} \, kg$,અને $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે:
$R = \frac{2 \times 6.67 \times 10^{-11} \times 5.98 \times 10^{24}}{(3 \times 10^8)^2}$
$R = \frac{79.77 \times 10^{13}}{9 \times 10^{16}}$
$R \approx 8.86 \times 10^{-3} \, m \approx 10^{-2} \, m$.

(A) પૃથ્વીની અંદરના બિંદુ માટે,એટલે કે $r < R$:
$E = -\frac{GM}{R^3}r$
જ્યાં $M$ અને $R$ એ અનુક્રમે પૃથ્વીનું દળ અને ત્રિજ્યા છે. ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ક્ષેત્ર કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત છે.
કેન્દ્ર પર,$r = 0$,તેથી $E = 0$.
પૃથ્વીની બહારના બિંદુ માટે,એટલે કે $r > R$:
$E = -\frac{GM}{r^2}$
પૃથ્વીની સપાટી પર,એટલે કે $r = R$:
$E = -\frac{GM}{R^2}$
ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રનું મૂલ્ય પૃથ્વીની અંદર અંતર $r$ સાથે રેખીય રીતે વધે છે અને પૃથ્વીની બહાર અંતર $r$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં ઘટે છે. આ ફેરફાર દર્શાવતો આલેખ ઉકેલની છબીમાં દર્શાવેલ છે.

(B) આપેલ છે કે તાંબાના તારનું કદ $V$ અચળ છે,તેથી $V = A \cdot l$,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $l$ એ તારની લંબાઈ છે.
આના પરથી,આપણે ક્ષેત્રફળને $A = \frac{V}{l}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
હૂકના નિયમ મુજબ,યંગ મોડ્યુલસ $Y$ ને $Y = \frac{\text{Stress}}{\text{Strain}} = \frac{F/A}{\Delta l/l} = \frac{F \cdot l}{A \cdot \Delta l}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વિસ્તરણ $\Delta l$ માટે આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot A}$ મળે છે.
સમીકરણમાં $A = \frac{V}{l}$ મૂકતા,આપણને $\Delta l = \frac{F \cdot l}{Y \cdot (V/l)} = \frac{F \cdot l^2}{Y \cdot V}$ મળે છે.
અહીં $F$,$Y$ અને $V$ અચળ હોવાથી,$\Delta l \propto l^2$ થાય છે.
તેથી,$\Delta l$ અને $l^2$ વચ્ચેનો આલેખ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા હશે.

(C) ધારો કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા $n$ ટીપાં જોડાઈને $R$ ત્રિજ્યાનું મોટું ટીપું બનાવે છે.
$n$ ટીપાંનું કદ = મોટા ટીપાંનું કદ
$n \times \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi R^3 \Rightarrow n = \frac{R^3}{r^3}$ $(i)$
મોટા ટીપાંનું કદ,$V = \frac{4}{3}\pi R^3$ $(ii)$
$n$ ટીપાંનું પ્રારંભિક પૃષ્ઠફળ,$A_i = n \times 4\pi r^2 = \frac{R^3}{r^3} \times 4\pi r^2 = \frac{4\pi R^3}{r} = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \frac{3}{r} = \frac{3V}{r}$ $(i \text{ અને } ii \text{ નો ઉપયોગ કરતા})$
મોટા ટીપાંનું અંતિમ પૃષ્ઠફળ,$A_f = 4\pi R^2 = \left( \frac{4}{3}\pi R^3 \right) \frac{3}{R} = \frac{3V}{R}$ $(ii \text{ નો ઉપયોગ કરતા})$
પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો,$\Delta A = A_i - A_f = \frac{3V}{r} - \frac{3V}{R} = 3V \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$
મુક્ત થતી ઉર્જા = પૃષ્ઠતાણ $\times$ પૃષ્ઠફળમાં ઘટાડો
મુક્ત થતી ઉર્જા $= T \times \Delta A = 3VT \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.

(C) પગલું $1$: સમતાપી વિસ્તરણ.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, $PV = \text{અચળ}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $(P, V)$.
સમતાપી વિસ્તરણ પછીની અંતિમ સ્થિતિ: $(P', 2V)$.
$PV = P'(2V) \implies P' = \frac{P}{2}$.
પગલું $2$: એડિબેટિક વિસ્તરણ.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, $PV^\gamma = \text{અચળ}$.
આ પ્રક્રિયા માટે પ્રારંભિક સ્થિતિ: $(P', 2V) = (P/2, 2V)$.
અંતિમ સ્થિતિ: $(P_f, 16V)$.
$P'(2V)^\gamma = P_f(16V)^\gamma$.
$P' = P/2$ અને $\gamma = 5/3$ મૂકતા:
$\frac{P}{2} (2V)^{5/3} = P_f (16V)^{5/3}$.
$P_f = \frac{P}{2} \left( \frac{2V}{16V} \right)^{5/3} = \frac{P}{2} \left( \frac{1}{8} \right)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$, તેથી $\left( \frac{1}{2^3} \right)^{5/3} = \frac{1}{2^5} = \frac{1}{32}$.
$P_f = \frac{P}{2} \times \frac{1}{32} = \frac{P}{64}$.

(C) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = A \cos \omega t$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(A \cos \omega t) = -A \omega \sin \omega t$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-A \omega \sin \omega t) = -A \omega^2 \cos \omega t$.
આને મૂળ સ્થાનાંતર સમીકરણ $x = A \cos \omega t$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $a = -\omega^2 x$. $t = 0$ સમયે,$x = A$ છે,તેથી $a = -A \omega^2$ થાય. આનો અર્થ એ છે કે પ્રવેગ ઋણ મહત્તમ મૂલ્યથી શરૂ થાય છે અને ઋણ કોસાઇન વક્રને અનુસરે છે. આલેખ $C$ આ ફેરફારને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી માટે તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{k}{n}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
જ્યારે દોરીને $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ લંબાઈના ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,જેની મૂળભૂત આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ છે,ત્યારે $l_{1} = \frac{k}{n_{1}}$,$l_{2} = \frac{k}{n_{2}}$,અને $l_{3} = \frac{k}{n_{3}}$ થાય.
દોરીની કુલ લંબાઈ $l = l_{1} + l_{2} + l_{3}$ છે.
આવૃત્તિના સંદર્ભમાં લંબાઈના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_{1}} + \frac{k}{n_{2}} + \frac{k}{n_{3}}$ મળે છે.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}}$ સંબંધ મળે છે.

(C) મોટરસાઇકલ સવાર (અવલોકનકાર) ની ઝડપ $v_o = 36\, km\, h^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} = 10\, m s^{-1}$ છે.
મોટરસાઇકલ સવાર ઉદગમ (કાર) તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી,અવલોકનકારનો વેગ ધન લેવામાં આવે છે.
કાર (ઉદગમ) ની ઝડપ $v_s = 18\, km\, h^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m s^{-1}$ છે.
ઉદગમ અવલોકનકારથી દૂર જઈ રહ્યું હોવાથી,ઉદગમનો વેગ ધન લેવામાં આવે છે.
ધ્વનિની ઝડપ $v = 343\, m s^{-1}$ છે.
ઉદગમની આવૃત્તિ $f_0 = 1392\, Hz$ છે.
અવલોકનકાર દ્વારા સંભળાતી આવૃત્તિ માટે ડોપ્લર અસરનું સૂત્ર વાપરતા,$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v + v_s} \right)$,
$f' = 1392 \left( \frac{343 + 10}{343 + 5} \right)$,
$f' = 1392 \left( \frac{353}{348} \right)$,
$f' = 4 \times 353 = 1412\, Hz$.

(C) એક છેડે બંધ પાઇપની મૂળભૂત આવૃત્તિ $(f_1)$ નું સૂત્ર $f_1 = \frac{v}{4L}$ છે.
આપેલ છે: $v = 340 \, m s^{-1}$ અને $L = 85 \, cm = 0.85 \, m$.
કિંમતો મૂકતા: $f_1 = \frac{340}{4 \times 0.85} = \frac{340}{3.4} = 100 \, Hz$.
બંધ પાઇપની પ્રાકૃતિક આવૃત્તિઓ મૂળભૂત આવૃત્તિના એકી ગુણકો હોય છે: $f_n = (2n - 1)f_1$,જ્યાં $n = 1, 2, 3, \dots$.
આવૃત્તિઓ નીચે મુજબ છે: $100 \, Hz, 300 \, Hz, 500 \, Hz, 700 \, Hz, 900 \, Hz, 1100 \, Hz, 1300 \, Hz, \dots$.
આપણે $1250 \, Hz$ થી ઓછી આવૃત્તિઓની સંખ્યા શોધવાની છે.
આ આવૃત્તિઓ $100, 300, 500, 700, 900, 1100$ છે.
આમ,કુલ $6$ શક્ય પ્રાકૃતિક દોલનો મળે છે.

(D) ધારો કે વરાળનું દળ જે પાણીમાં રૂપાંતરિત થાય છે તે $m$ છે.
ગુમાવેલી ઉષ્મા $=$ મેળવેલી ઉષ્મા.
વરાળ દ્વારા ગુમાવેલી ઉષ્મા બે ભાગમાં હોય છે: સંઘનનની ગુપ્ત ઉષ્મા અને સંઘનિત પાણીનું $100\,^{\circ}C$ થી $80\,^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થવું.
ગુમાવેલી ઉષ્મા $= m \times L_v + m \times s_w \times \Delta T_1 = m \times 540 + m \times 1 \times (100 - 80) = 540m + 20m = 560m$.
$20\,g$ પાણી દ્વારા $10\,^{\circ}C$ થી $80\,^{\circ}C$ સુધી પહોંચવા માટે મેળવેલી ઉષ્મા:
મેળવેલી ઉષ્મા $= m_w \times s_w \times \Delta T_2 = 20 \times 1 \times (80 - 10) = 20 \times 70 = 1400\,cal$.
ગુમાવેલી અને મેળવેલી ઉષ્માને સરખાવતા: $560m = 1400$.
$m = \frac{1400}{560} = 2.5\,g$.
પાણીનું કુલ દળ એ પ્રારંભિક દળ અને સંઘનિત વરાળના દળનો સરવાળો છે:
કુલ દળ $= 20\,g + 2.5\,g = 22.5\,g$.

(A) પ્રકાશનું કિરણ તેના મૂળ માર્ગે પાછું ફરે તે માટે,તેણે ચાંદીવાળી સપાટી પર લંબરૂપે ($90^{\circ}$ ના ખૂણે) આપાત થવું પડે.
પ્રિઝમની અંદર બનતા ત્રિકોણમાં,ચાંદીવાળી સપાટી પાસેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે અને શિરોબિંદુ પાસેનો ખૂણો $A$ છે. તેથી,પ્રથમ સપાટી પર વક્રીભવનકોણ $r = 90^{\circ} - A$ થશે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલના નિયમ મુજબ: $\mu = \frac{\sin i}{\sin r}$.
અહીં $i = 2A$ અને $r = 90^{\circ} - A$ આપેલ છે,તેથી:
$\mu = \frac{\sin(2A)}{\sin(90^{\circ} - A)}$
$\mu = \frac{2 \sin A \cos A}{\cos A}$
$\mu = 2 \sin A$.

(D) વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ એ વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V$ ના ઋણ પ્રચલન (gradient) દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
આપેલ છે $V(x, y, z) = 6x - 8xy - 8y + 6yz$.
આંશિક વિકલન કરતા:
$E_x = -\frac{\partial V}{\partial x} = -(6 - 8y) = -6 + 8y$.
$E_y = -\frac{\partial V}{\partial y} = -(-8x - 8 + 6z) = 8x + 8 - 6z$.
$E_z = -\frac{\partial V}{\partial z} = -(6y) = -6y$.
બિંદુ $(1, 1, 1)$ પર:
$E_x = -6 + 8(1) = 2 \ V/m$.
$E_y = 8(1) + 8 - 6(1) = 10 \ V/m$.
$E_z = -6(1) = -6 \ V/m$.
આમ,$\vec{E} = 2\hat{i} + 10\hat{j} - 6\hat{k} \ V/m$.
વિદ્યુતક્ષેત્રનું મૂલ્ય $|\vec{E}| = \sqrt{2^2 + 10^2 + (-6)^2} = \sqrt{4 + 100 + 36} = \sqrt{140} = 2\sqrt{35} \ V/m$.
વિદ્યુત બળ $\vec{F} = q\vec{E}$. આપેલ છે $q = 2 \ C$,તેથી બળનું મૂલ્ય $F = q|\vec{E}| = 2 \times 2\sqrt{35} = 4\sqrt{35} \ N$.

(B) સુવાહક ગોળા માટે,વિદ્યુતભાર $Q$ સંપૂર્ણપણે તેની બહારની સપાટી પર રહે છે.
સુવાહક ગોળાની અંદર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E$ શૂન્ય હોય છે કારણ કે વિદ્યુતભારો સપાટી પર એવી રીતે વહેંચાયેલા હોય છે કે તેઓ અંદરના દરેક બિંદુએ એકબીજાના ક્ષેત્રને નાબૂદ કરે છે.
સુવાહક ગોળાની અંદર વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V$ અચળ હોય છે અને તે તેની સપાટી પરના સ્થિતિમાન જેટલું જ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્ર પર સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \frac{Q}{R}$ છે.
કેન્દ્ર પર વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = 0$ છે.

(D) સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $E = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\sigma$ એ પૃષ્ઠ વિદ્યુતભાર ઘનતા છે અને $K$ એ માધ્યમનો ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક છે.
જે વિસ્તારમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક ગેરહાજર છે (હવા/શૂન્યાવકાશ),ત્યાં $K = 1$ હોવાથી વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0}$ થાય છે.
જે વિસ્તારમાં ડાયઇલેક્ટ્રિક સ્લેબ હાજર છે,ત્યાં વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_1 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K_1}$ અને $E_2 = \frac{\sigma}{\varepsilon_0 K_2}$ થાય છે.
અહીં $K_1 < K_2$ હોવાથી,$\frac{1}{K_1} > \frac{1}{K_2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $E_1 > E_2$.
વળી,$E_1$ અને $E_2$ બંને હવાના ગાળામાં રહેલા વિદ્યુતક્ષેત્ર $E_0$ કરતા ઓછા છે ($E_1 < E_0$ અને $E_2 < E_0$).
તેથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર હવાના ગાળામાં સૌથી વધુ હોય છે,અને ડાયઇલેક્ટ્રિક વિસ્તારોમાં,નાના ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક $(K_1)$ વાળી સ્લેબમાં ક્ષેત્ર વધુ હોય છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખામણી કરતા,જે આલેખ હવાના ગાળામાં સૌથી વધુ ક્ષેત્ર અને $K_2$ વિસ્તારની સરખામણીમાં $K_1$ વિસ્તારમાં વધુ ક્ષેત્ર દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $(D)$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(B) બે શહેરો વચ્ચેનું અંતર $d = 150\, km$ છે.
તાંબાના તારનો કુલ અવરોધ $R = (0.5\, \Omega/km) \times (150\, km) = 75\, \Omega$ છે.
તાર પરનો કુલ વોલ્ટેજ ડ્રોપ $V = (8\, V/km) \times (150\, km) = 1200\, V$ છે.
તારમાં થતો પાવર વ્યય $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$P = \frac{(1200\, V)^2}{75\, \Omega} = \frac{1440000}{75}\, W = 19200\, W$.
કિલોવોટમાં રૂપાંતર કરતા,$P = 19.2\, kW$ મળે છે.

(A) પોટેન્શિયોમીટરનો ઉપયોગ કરીને કોષનો આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$r = \left( \frac{l_1}{l_2} - 1 \right) R$
જ્યાં $l_1$ એ ઓપન સર્કિટમાં (એટલે કે $R = \infty$) સંતુલન લંબાઈ છે અને $l_2$ એ જ્યારે બાહ્ય અવરોધ $R$ કોષ સાથે જોડાયેલ હોય ત્યારે સંતુલન લંબાઈ છે.
આપેલ છે:
$l_1 = 3\,m$
$l_2 = 2.85\,m$
$R = 9.5\,\Omega$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$r = \left( \frac{3}{2.85} - 1 \right) \times 9.5\,\Omega$
$r = \left( \frac{3 - 2.85}{2.85} \right) \times 9.5\,\Omega$
$r = \left( \frac{0.15}{2.85} \right) \times 9.5\,\Omega$
$r = \frac{15}{285} \times 9.5\,\Omega$
$r = \frac{1}{19} \times 9.5\,\Omega = 0.5\,\Omega$
આમ,કોષનો આંતરિક અવરોધ $0.5\,\Omega$ છે.

(B) પ્રથમ કિસ્સામાં,સંતુલન બિંદુએ:
$\frac{5}{R} = \frac{l_1}{100 - l_1}$ $....(i)$
બીજા કિસ્સામાં,અવરોધ $R$ ને સમાન અવરોધ $R$ સાથે શંટ કરવામાં આવે છે,તેથી સમતુલ્ય અવરોધ $R' = \frac{R \times R}{R + R} = \frac{R}{2}$ થાય છે.
નવું સંતુલન બિંદુ $1.6\,l_1$ પર છે. તેથી,સંતુલન બિંદુએ:
$\frac{5}{R/2} = \frac{1.6\,l_1}{100 - 1.6\,l_1}$ $....(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{5/R}{5/(R/2)} = \frac{l_1 / (100 - l_1)}{1.6\,l_1 / (100 - 1.6\,l_1)}$
$\frac{1}{2} = \frac{l_1}{100 - l_1} \times \frac{100 - 1.6\,l_1}{1.6\,l_1}$
$\frac{1}{2} = \frac{100 - 1.6\,l_1}{1.6(100 - l_1)}$
$0.8(100 - l_1) = 100 - 1.6\,l_1$
$80 - 0.8\,l_1 = 100 - 1.6\,l_1$
$0.8\,l_1 = 20$
$l_1 = 25\,cm$
$l_1 = 25\,cm$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$\frac{5}{R} = \frac{25}{100 - 25} = \frac{25}{75} = \frac{1}{3}$
$R = 15\,\Omega$.

(C) ધારો કે કુલ પ્રવાહ $I$ છે અને ગેલ્વેનોમીટરનો અવરોધ $G$ છે.
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_G = 0.2\% \text{ of } I = \frac{0.2}{100} I = \frac{1}{500} I$ છે.
શંટ અવરોધ $S$ માંથી પસાર થતો પ્રવાહ $I_S = I - I_G = I - \frac{1}{500} I = \frac{499}{500} I$ છે.
ગેલ્વેનોમીટર અને શંટ સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી, તેમની વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોય છે:
$I_G G = I_S S$
$\left( \frac{1}{500} I \right) G = \left( \frac{499}{500} I \right) S$
$S = \frac{G}{499}$.
એમીટરનો અવરોધ $R_A$ એ $G$ અને $S$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ છે:
$\frac{1}{R_A} = \frac{1}{G} + \frac{1}{S} = \frac{1}{G} + \frac{499}{G} = \frac{500}{G}$.
તેથી, $R_A = \frac{G}{500}$.

(C) ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા ચુંબકના દક્ષિણ ધ્રુવથી ઉત્તર ધ્રુવ તરફ હોય છે.
ગોઠવણી $(1)$ માં,બે ચુંબકીય મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 90^{\circ}} = \sqrt{2m^2} = m\sqrt{2} \approx 1.414m$ છે.
ગોઠવણી $(2)$ માં,ચુંબકીય મોમેન્ટ વિરુદ્ધ દિશામાં છે,તેથી ખૂણો $180^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = m - m = 0$ છે.
ગોઠવણી $(3)$ માં,બે ચુંબકીય મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $30^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 30^{\circ}} = \sqrt{2m^2 + 2m^2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = m\sqrt{2 + \sqrt{3}} \approx m\sqrt{3.732} \approx 1.932m$ છે.
ગોઠવણી $(4)$ માં,બે ચુંબકીય મોમેન્ટ વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ છે. ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $m_{\text{net}} = \sqrt{m^2 + m^2 + 2m^2 \cos 60^{\circ}} = \sqrt{2m^2 + 2m^2(\frac{1}{2})} = m\sqrt{3} \approx 1.732m$ છે.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,ગોઠવણી $(3)$ માં સૌથી વધુ ચોખ્ખો ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ છે.

(D) સંયુક્ત માઈક્રોસ્કોપની મોટવણીનું સૂત્ર $m = \left(\frac{L}{f_o}\right) \left(\frac{D}{f_e}\right)$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે,$f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે,$L$ એ ટ્યુબની લંબાઈ છે અને $D$ એ સ્પષ્ટ દ્રષ્ટિનું લઘુત્તમ અંતર છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $m \propto \frac{1}{f_o}$. તેથી,જો $f_o$ વધે,તો માઈક્રોસ્કોપની મોટવણી ઘટશે.
ખગોળીય ટેલિસ્કોપની મોટવણીનું સૂત્ર $m = \frac{f_o}{f_e}$ છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $m \propto f_o$. તેથી,જો $f_o$ વધે,તો ટેલિસ્કોપની મોટવણી વધશે.

(B) આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોઈલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = E - \phi_0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $E$ એ આપાત વિકિરણની ઉર્જા છે અને $\phi_0$ એ ધાતુનું કાર્ય વિધેય છે.
શરૂઆતમાં,આપાત વિકિરણની ઉર્જા $E$ છે. આપેલ છે કે $K_1 = 0.5\, eV$,તેથી:
$0.5 = E - \phi_0$ ..... $(i)$
જ્યારે આપાત વિકિરણની ઉર્જામાં $20\%$ નો વધારો થાય છે,ત્યારે નવી ઉર્જા $E' = E + 0.2E = 1.2E$ થાય છે. નવી ગતિ ઉર્જા $K_2 = 0.8\, eV$ છે. તેથી:
$0.8 = 1.2E - \phi_0$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણને $E = 0.5 + \phi_0$ મળે છે. આ કિંમતને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$0.8 = 1.2(0.5 + \phi_0) - \phi_0$
$0.8 = 0.6 + 1.2\phi_0 - \phi_0$
$0.8 - 0.6 = 0.2\phi_0$
$0.2 = 0.2\phi_0$
$\phi_0 = 1.0\, eV$.

(D) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ ...... $(i)$
જ્યાં $m$ એ કણનું દળ છે અને $K$ એ કણની ગતિઊર્જા છે.
જ્યારે કણની ગતિઊર્જા તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $16$ ગણી કરવામાં આવે,ત્યારે નવી ગતિઊર્જા $K' = 16K$ થાય છે.
નવી ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇ $\lambda'$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda' = \frac{h}{\sqrt{2m(16K)}} = \frac{h}{4\sqrt{2mK}} = \frac{\lambda}{4}$ (સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા).
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઇમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર:
$\text{ટકાવારી ફેરફાર} = \frac{\lambda - \lambda'}{\lambda} \times 100$
$= \left(1 - \frac{\lambda'}{\lambda}\right) \times 100$
$= \left(1 - \frac{1}{4}\right) \times 100 = \frac{3}{4} \times 100 = 75\%$.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વક્ર વાહકમાં પ્રેરિત ગતિકીય $emf$ એ વક્રના બે છેડાઓને જોડતા સીધા વાહકમાં પ્રેરિત $emf$ જેટલું હોય છે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ $PQR$ ની અસરકારક લંબાઈ તેના છેડાઓ $P$ અને $R$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે વ્યાસ $l = 2r$ છે.
પ્રેરિત $emf$ નું સૂત્ર $\varepsilon = Bvl = Bv(2r) = 2rBv$ છે.
ફ્લેમિંગના જમણા હાથના નિયમ મુજબ,નીચેની તરફના વેગ $v$ અને અંદરની તરફના ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે,ધન વિદ્યુતભારો પર લાગતું બળ $R$ તરફ હોય છે. તેથી,$R$ એ $P$ કરતા ઉચ્ચ સ્થિતિમાન પર છે.

(B) અહીં,ઉર્જા ફ્લક્સ (તીવ્રતા) $I = 25 \times 10^4 \, W/m^2$ છે.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 15 \, cm^2 = 15 \times 10^{-4} \, m^2$ છે.
પ્રકાશની ઝડપ $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ છે.
સંપૂર્ણ પરાવર્તક સપાટી માટે,સપાટી પર લાગતું સરેરાશ બળ $F = \frac{2IA}{c}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$F = \frac{2 \times (25 \times 10^4) \times (15 \times 10^{-4})}{3 \times 10^8}$
$F = \frac{2 \times 25 \times 15 \times 10^0}{3 \times 10^8}$
$F = \frac{750}{3} \times 10^{-8} \, N$
$F = 250 \times 10^{-8} \, N = 2.50 \times 10^{-6} \, N$.

(B) પડદા પરના કોઈપણ બિંદુએ તીવ્રતા $I = 4I_0 \cos^2(\phi/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_0$ એ દરેક તરંગની તીવ્રતા છે અને $\phi$ એ કળા તફાવત છે.
કળા તફાવત $\phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ $\phi = (2\pi / \lambda) \times \Delta x$ છે.
કિસ્સો $1$: જ્યારે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda$ હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = (2\pi / \lambda) \times \lambda = 2\pi$ થાય.
તીવ્રતાના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $I = 4I_0 \cos^2(2\pi / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi) = 4I_0(1)^2 = 4I_0$. આપેલ છે કે આ તીવ્રતા $K$ છે,તેથી $K = 4I_0$.
કિસ્સો $2$: જ્યારે પથ તફાવત $\Delta x = \lambda / 4$ હોય,ત્યારે કળા તફાવત $\phi = (2\pi / \lambda) \times (\lambda / 4) = \pi / 2$ થાય.
તીવ્રતાના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $I' = 4I_0 \cos^2((\pi / 2) / 2) = 4I_0 \cos^2(\pi / 4) = 4I_0 (1 / \sqrt{2})^2 = 4I_0 (1 / 2) = 2I_0$.
કારણ કે $K = 4I_0$,તેથી $2I_0 = K / 2$. આમ,તીવ્રતા $K / 2$ થશે.

(D) આપેલ છે: $\lambda = 600 \, nm = 600 \times 10^{-9} \, m$,સ્લિટની પહોળાઈ $a = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,અને અંતર $D = 2 \, m$.
મધ્યસ્થ પ્રકાશિત શલાકાની બંને બાજુએ આવેલી પ્રથમ અપ્રકાશિત શલાકાઓ વચ્ચેનું અંતર એ મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈ જેટલું હોય છે.
મધ્યસ્થ અધિકતમની પહોળાઈનું સૂત્ર $w = \frac{2 \lambda D}{a}$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$w = \frac{2 \times (600 \times 10^{-9} \, m) \times 2 \, m}{10^{-3} \, m}$
$w = \frac{2400 \times 10^{-9}}{10^{-3}} \, m$
$w = 2400 \times 10^{-6} \, m = 2.4 \times 10^{-3} \, m = 2.4 \, mm$.

(C) આપાત ફોટોનની ઉર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$hc \approx 12400 \; \text{eV} \cdot \mathring{A}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = \frac{12400}{975} \approx 12.75 \; \text{eV}$ મળે છે.
હાઇડ્રોજન પરમાણુના ઉર્જા સ્તરો $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \; \text{eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટ $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \; \text{eV}$ છે.
ફોટોનનું શોષણ કર્યા પછી,નવું ઉર્જા સ્તર $E_n = E_1 + E = -13.6 + 12.75 = -0.85 \; \text{eV}$ છે.
કારણ કે $E_n = -\frac{13.6}{n^2} = -0.85 \; \text{eV}$,તેથી $n^2 = \frac{13.6}{0.85} = 16$,એટલે કે $n = 4$.
ઇલેક્ટ્રોન $n = 4$ સ્તરમાં ઉત્તેજિત થાય છે.
જ્યારે ઇલેક્ટ્રોન $n$ સ્તરમાંથી ગ્રાઉન્ડ સ્ટેટમાં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{n(n-1)}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 4$ માટે,વર્ણપટ રેખાઓની સંખ્યા $\frac{4(4-1)}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ છે.

(C) આપેલ છે કે રેડિયોઆઈસોટોપ $X$ અને સ્થાયી આઈસોટોપ $Y$ ના જથ્થાનો ગુણોત્તર $\frac{X}{Y} = \frac{1}{7}$ છે.
શરૂઆતના નમૂનાનો કુલ જથ્થો $X + Y$ છે. બાકી રહેલા રેડિયોઆઈસોટોપ $X$ નો અંશ $\frac{X}{X+Y} = \frac{1}{1+7} = \frac{1}{8}$ દ્વારા મળે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $n$ અર્ધ-આયુષ્ય પછી બાકી રહેતો અંશ $\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,$\left(\frac{1}{2}\right)^{n} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$.
આમ,વીતી ગયેલા અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા $n = 3$ છે.
ખડકની ઉંમર $t$ એ $t = n \times T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
$t = 3 \times 1.4 \times 10^{9} \text{ years} = 4.2 \times 10^{9} \text{ years}$.

(D) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $BE = (\text{ન્યુક્લિયોનની સંખ્યા}) \times (\text{ન્યુક્લિયોન દીઠ બંધન ઉર્જા})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}_3^7Li$ માટે: $BE_1 = 7 \times 5.60\,MeV = 39.2\,MeV$.
${}_1^1H$ માટે: તેની બંધન ઉર્જા $0\,MeV$ છે કારણ કે તે એક પ્રોટોન છે.
$2{}_2^4He$ માટે: $BE_2 = 2 \times (4 \times 7.06\,MeV) = 2 \times 28.24\,MeV = 56.48\,MeV$.
મુક્ત થતી ઉર્જા $Q$ એ નીપજો અને પ્રક્રિયકોની કુલ બંધન ઉર્જા વચ્ચેનો તફાવત છે:
$Q = BE_{\text{products}} - BE_{\text{reactants}}$
$Q = 56.48\,MeV - (39.2\,MeV + 0\,MeV)$
$Q = 17.28\,MeV \approx 17.3\,MeV$.

(D) $p-n$ જંકશનનો બેરિયર પોટેન્શિયલ $(V_b)$ નીચેના પરિબળો દ્વારા નક્કી થાય છે:
$1$. સેમિકન્ડક્ટર મટીરીયલનો પ્રકાર: અલગ-અલગ મટીરીયલ માટે બેન્ડ ગેપ ઉર્જા અલગ હોય છે. $Si$ માટે $V_b \approx 0.7 \ V$ અને $Ge$ માટે $V_b \approx 0.3 \ V$ હોય છે.
$2$. ડોપિંગનું પ્રમાણ: અશુદ્ધિના પરમાણુઓની સાંદ્રતા ડેપ્લેશન રિજનની પહોળાઈ અને તેની આરપારના પોટેન્શિયલ તફાવતને અસર કરે છે.
$3$. તાપમાન: તાપમાન વધવાથી બેરિયર પોટેન્શિયલ ઘટે છે કારણ કે ઇન્ટ્રિન્સિક કેરિયર સાંદ્રતા વધે છે,જે ફર્મી લેવલ અને બિલ્ટ-ઇન પોટેન્શિયલને અસર કરે છે.
તેથી,ત્રણેય પરિબળો $(1, 2, 3)$ બેરિયર પોટેન્શિયલને અસર કરે છે.

(A) આલેખમાં દર્શાવેલ $V-I$ લાક્ષણિકતા વક્ર સોલર સેલની લાક્ષણિકતા છે.
આ આલેખમાં,$V$-અક્ષ વોલ્ટેજ દર્શાવે છે અને $I$-અક્ષ કરંટ દર્શાવે છે.
બિંદુ $A$ એ $V$-અક્ષ પર આવેલું છે જ્યાં કરંટ $I = 0$ છે,જે ઓપન સર્કિટ વોલ્ટેજ $(V_{OC})$ ને અનુરૂપ છે.
બિંદુ $B$ એ $I$-અક્ષ પર આવેલું છે જ્યાં વોલ્ટેજ $V = 0$ છે,જે શોર્ટ સર્કિટ કરંટ $(I_{SC})$ ને અનુરૂપ છે.
તેથી,આ આલેખ સોલર સેલની $V-I$ લાક્ષણિકતા દર્શાવે છે જ્યાં $A$ એ ઓપન સર્કિટ વોલ્ટેજ છે અને $B$ એ શોર્ટ સર્કિટ કરંટ છે.

(C) લાંબા સીધા વિદ્યુત પ્રવાહ ધારિત તાર વડે $d$ અંતરે ઉદ્ભવતું ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર $AOB$ અને $COD$ એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,બિંદુ $P$ (જે $O$ થી $d$ અંતરે સમતલને લંબ દિશામાં છે) પર તેમના દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_1$ અને $B_2$ પણ એકબીજાને લંબ હશે.
આમ,પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નું મૂલ્ય $B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d}$ અને $B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d}$.
તેથી,$B = \sqrt{\left( \frac{\mu_0 I_1}{2 \pi d} \right)^2 + \left( \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi d} \right)^2}$.
$B = \frac{\mu_0}{2 \pi d} \sqrt{I_1^2 + I_2^2} = \frac{\mu_0}{2 \pi d} (I_1^2 + I_2^2)^{1/2}$.

(D) આપેલ છે: કાર્યક્ષમતા $\eta = 90 \% = 0.9$,પ્રાથમિક વોલ્ટેજ $V_P = 200 \ V$,પ્રાથમિક પાવર $P_P = 3 \ kW = 3000 \ W$,ગૌણ પ્રવાહ $I_S = 6 \ A$.
પ્રથમ,$P_P = V_P \times I_P$ નો ઉપયોગ કરીને પ્રાથમિક પ્રવાહ $I_P$ શોધો:
$I_P = \frac{P_P}{V_P} = \frac{3000 \ W}{200 \ V} = 15 \ A$.
ત્યારબાદ,કાર્યક્ષમતાનો ઉપયોગ કરીને આઉટપુટ પાવર (ગૌણ પાવર) $P_S$ શોધો: $P_S = \eta \times P_P = 0.9 \times 3000 \ W = 2700 \ W$.
છેલ્લે,$P_S = V_S \times I_S$ નો ઉપયોગ કરીને ગૌણ વોલ્ટેજ $V_S$ શોધો:
$V_S = \frac{P_S}{I_S} = \frac{2700 \ W}{6 \ A} = 450 \ V$.
આમ,ગૌણ વોલ્ટેજ $450 \ V$ અને પ્રાથમિક પ્રવાહ $15 \ A$ છે.