AIPMT 2015 Physics Question Paper with Answer and Solution in Hindi

(A) पृथ्वी द्वारा उपग्रह पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर कार्य करता है। न्यूटन के दूसरे नियम $F = ma$ के अनुसार,उपग्रह का त्वरण हमेशा पृथ्वी के केंद्र की ओर निर्देशित होता है।
चूंकि गुरुत्वाकर्षण बल एक केंद्रीय बल है,इसलिए पृथ्वी के केंद्र के परितः उपग्रह पर कार्य करने वाला टॉर्क शून्य होता है। अतः,उपग्रह का कोणीय संवेग $L$ परिमाण और दिशा दोनों में स्थिर रहता है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,गैर-संरक्षी बलों की अनुपस्थिति में,उपग्रह की कुल यांत्रिक ऊर्जा अपनी कक्षा के दौरान स्थिर रहती है।
चूंकि दीर्घवृत्ताकार कक्षा में पृथ्वी से उपग्रह की दूरी $r$ बदलती रहती है,इसलिए कोणीय संवेग $(L = mvr \sin \theta)$ को संरक्षित रखने के लिए कक्षीय वेग $v$ को बदलना पड़ता है। परिणामस्वरूप,रैखिक संवेग $p = mv$ स्थिर नहीं रहता है।

(A) विशिष्ट ऊष्माओं का अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ के रूप में परिभाषित है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{f}{2}R$ है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = R(1 + \frac{f}{2})$ है।
अतः,अनुपात $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{R(1 + f/2)}{(f/2)R} = \frac{1 + f/2}{f/2} = \frac{2}{f} + 1 = 1 + \frac{2}{f}$ प्राप्त होता है।

(C) माना पृष्ठ तनाव $(S)$ का विमीय सूत्र $S = E^x V^y T^z$ है।
पृष्ठ तनाव की विमाएँ $[S] = [MT^{-2}]$ होती हैं।
मूल राशियों की विमाएँ इस प्रकार हैं:
$[E] = [ML^2T^{-2}]$
$[V] = [LT^{-1}]$
$[T] = [T]$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$[MT^{-2}] = [ML^2T^{-2}]^x [LT^{-1}]^y [T]^z$
$[MT^{-2}] = [M^x L^{2x+y} T^{-2x-y+z}]$
दोनों पक्षों में $M, L,$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$M$ के लिए: $x = 1$
$L$ के लिए: $2x + y = 0 \Rightarrow 2(1) + y = 0 \Rightarrow y = -2$
$T$ के लिए: $-2x - y + z = -2 \Rightarrow -2(1) - (-2) + z = -2 \Rightarrow -2 + 2 + z = -2 \Rightarrow z = -2$
अतः,पृष्ठ तनाव का विमीय सूत्र $[EV^{-2}T^{-2}]$ होगा।

(B) दिया गया विमीय संबंध: $[v_c] = [\eta^x \rho^y r^z]$ $(i)$
भौतिक राशियों की विमाएँ लिखने पर:
$[v_c] = [M^0 L T^{-1}]$
$[\eta] = [M L^{-1} T^{-1}]$
$[\rho] = [M L^{-3} T^0]$
$[r] = [M^0 L T^0]$
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$[M^0 L T^{-1}] = [M L^{-1} T^{-1}]^x [M L^{-3} T^0]^y [M^0 L T^0]^z$
$[M^0 L T^{-1}] = [M^{x+y} L^{-x-3y+z} T^{-x}]$
विमाओं की समांगता के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,दोनों पक्षों में $M, L$ और $T$ की घातों की तुलना करने पर:
$x + y = 0$ $(ii)$
$-x - 3y + z = 1$ $(iii)$
$-x = -1$ $(iv)$
समीकरण $(iv)$ से,हमें $x = 1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ को समीकरण $(ii)$ में रखने पर,$1 + y = 0$,अतः $y = -1$ प्राप्त होता है।
$x = 1$ और $y = -1$ को समीकरण $(iii)$ में रखने पर,$-1 - 3(-1) + z = 1 \implies -1 + 3 + z = 1 \implies 2 + z = 1 \implies z = -1$ प्राप्त होता है।
अतः,$x = 1, y = -1, z = -1$ है।

(B) कण का वेग $v(x) = \beta x^{-2n}$ के रूप में दिया गया है।
त्वरण $a$ ज्ञात करने के लिए,हम संबंध $a = v \frac{dv}{dx}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$v$ का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx} (\beta x^{-2n}) = \beta (-2n) x^{-2n-1} = -2n \beta x^{-2n-1}$.
अब,त्वरण के सूत्र में $v$ और $\frac{dv}{dx}$ का मान रखने पर:
$a = (\beta x^{-2n}) \times (-2n \beta x^{-2n-1})$.
$a = -2n \beta^2 x^{-2n + (-2n) - 1}$.
$a = -2n \beta^2 x^{-4n-1}$.

(B) मान लीजिए जहाज $A$ की प्रारंभिक स्थिति मूल बिंदु $(0, 0)$ पर है और यह ऋणात्मक $x$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है। समय $t$ पर इसकी स्थिति $\vec{r}_A = (-10t, 0)$ है।
जहाज $B$ शुरू में $(0, -100)$ पर है और धनात्मक $y$-अक्ष के अनुदिश गति कर रहा है। समय $t$ पर इसकी स्थिति $\vec{r}_B = (0, -100 + 10t)$ है।
सापेक्ष स्थिति सदिश $\vec{r}_{BA} = \vec{r}_B - \vec{r}_A = (10t, -100 + 10t)$ है।
दूरी का वर्ग $D^2 = (10t)^2 + (-100 + 10t)^2 = 100t^2 + 10000 - 2000t + 100t^2 = 200t^2 - 2000t + 10000$ है।
न्यूनतम दूरी ज्ञात करने के लिए,$D^2$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें:
$\frac{d(D^2)}{dt} = 400t - 2000 = 0$.
$400t = 2000 \Rightarrow t = 5 \, hr$.
वैकल्पिक रूप से,सापेक्ष वेग का उपयोग करते हुए: $\vec{v}_{BA} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = (0, 10) - (-10, 0) = (10, 10) \, km \, h^{-1}$।
सापेक्ष वेग का परिमाण $|\vec{v}_{BA}| = \sqrt{10^2 + 10^2} = 10\sqrt{2} \, km \, h^{-1}$ है।
न्यूनतम दूरी तब होती है जब सापेक्ष स्थिति सदिश,सापेक्ष वेग सदिश के लंबवत होता है। ज्यामिति से,लगा समय $t = 5 \, hr$ है।

(D) दिया गया स्थिति सदिश: $\vec{R} = 4\sin(2\pi t)\hat{i} + 4\cos(2\pi t)\hat{j}$.
चूँकि $x = 4\sin(2\pi t)$ और $y = 4\cos(2\pi t)$,इसलिए $x^2 + y^2 = 16(\sin^2(2\pi t) + \cos^2(2\pi t)) = 16$. यह $4 \ m$ त्रिज्या का एक वृत्त दर्शाता है।
वेग $\vec{v} = \frac{d\vec{R}}{dt} = 8\pi\cos(2\pi t)\hat{i} - 8\pi\sin(2\pi t)\hat{j}$.
वेग का परिमाण $|\vec{v}| = \sqrt{(8\pi\cos(2\pi t))^2 + (-8\pi\sin(2\pi t))^2} = 8\pi \ m/s$.
त्वरण $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -16\pi^2\sin(2\pi t)\hat{i} - 16\pi^2\cos(2\pi t)\hat{j} = -4\pi^2\vec{R}$.
अतः त्वरण मूल बिंदु की ओर ($- \vec{R}$ की दिशा में) है।
एकसमान वृत्तीय गति के लिए,$a = \frac{V^2}{R}$. यहाँ $V = 8\pi$ और $R = 4$ है,इसलिए $a = \frac{(8\pi)^2}{4} = 16\pi^2$,जो त्वरण के परिमाण से मेल खाता है।
कथन $(D)$ कहता है कि वेग का परिमाण $8 \ m/s$ है,जबकि यह $8\pi \ m/s$ है। अतः,$(D)$ गलत कथन है।

(D) दो सदिश $\overrightarrow {A}$ और $\overrightarrow {B}$ एक-दूसरे के लंबवत होते हैं यदि उनका अदिश गुणनफल शून्य हो,अर्थात $\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$.
दिया गया है $\overrightarrow {A} = \cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j$ और $\overrightarrow {B} = \cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j$.
अदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = (\cos \omega t \hat i + \sin \omega t \hat j) \cdot (\cos \frac{\omega t}{2} \hat i + \sin \frac{\omega t}{2} \hat j)$
$= \cos \omega t \cos \frac{\omega t}{2} + \sin \omega t \sin \frac{\omega t}{2}$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = \cos(\omega t - \frac{\omega t}{2}) = \cos(\frac{\omega t}{2})$
चूंकि सदिश लंबवत हैं,$\overrightarrow {A} \cdot \overrightarrow {B} = 0$,इसलिए:
$\cos(\frac{\omega t}{2}) = 0$
हम जानते हैं कि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$,इसलिए:
$\frac{\omega t}{2} = \frac{\pi}{2}$
$t = \frac{\pi}{\omega}$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $M_A = 4 \, kg, M_B = 2 \, kg, M_C = 1 \, kg$ और लगाया गया बल $F = 14 \, N$.
सबसे पहले,पूरे निकाय का त्वरण $(a)$ ज्ञात करें:
$a = \frac{F}{M_A + M_B + M_C} = \frac{14}{4 + 2 + 1} = \frac{14}{7} = 2 \, m/s^2$.
$A$ और $B$ के बीच का संपर्क बल $(F_{AB})$ वह बल है जो ब्लॉक $B$ और $C$ को एक साथ त्वरित करने के लिए आवश्यक है।
$F_{AB} = (M_B + M_C) \times a$
$F_{AB} = (2 + 1) \times 2 = 3 \times 2 = 6 \, N$.
वैकल्पिक रूप से,ब्लॉक $A$ के फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करते हुए:
$F - F_{AB} = M_A \times a$
$14 - F_{AB} = 4 \times 2$
$14 - F_{AB} = 8$
$F_{AB} = 14 - 8 = 6 \, N$.

(A) ब्लॉक $B$ ($m_2$ द्रव्यमान) के लिए जो त्वरण $a$ के साथ नीचे की ओर गति कर रहा है: $m_2 g - T = m_2 a$ (समीकरण $1$)
ब्लॉक $A$ ($m_1$ द्रव्यमान) के लिए जो त्वरण $a$ के साथ क्षैतिज गति कर रहा है: $T - \mu_k m_1 g = m_1 a$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(m_2 g - T) + (T - \mu_k m_1 g) = m_2 a + m_1 a$
$m_2 g - \mu_k m_1 g = (m_1 + m_2) a$
$a = \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2}$
अब,$a$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$T = m_2 g - m_2 a = m_2 (g - a)$
$T = m_2 \left( g - \frac{(m_2 - \mu_k m_1) g}{m_1 + m_2} \right)$
$T = m_2 g \left( \frac{m_1 + m_2 - m_2 + \mu_k m_1}{m_1 + m_2} \right)$
$T = \frac{m_1 m_2 (1 + \mu_k) g}{m_1 + m_2}$

(C) मान लीजिए कि बॉक्स और तख्ते के बीच स्थैतिक और गतिज घर्षण गुणांक क्रमशः $\mu_s$ और $\mu_k$ हैं।
जब झुकाव कोण $\theta = 30^o$ तक पहुँचता है,तो ब्लॉक फिसलना शुरू कर देता है। इसलिए,$\mu_s = \tan\theta = \tan 30^o = \frac{1}{\sqrt{3}} \approx 0.577 \approx 0.6$.
यदि ब्लॉक में उत्पन्न त्वरण $a$ है,तो गति का समीकरण है:
$ma = mg\sin\theta - f_k$
$ma = mg\sin\theta - \mu_k N$
चूंकि $N = mg\cos\theta$,इसलिए:
$a = g(\sin\theta - \mu_k\cos\theta)$
दिया गया है $g = 10\, m/s^2$,$\theta = 30^o$,$s = 4.0\, m$,और $t = 4.0\, s$। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ $(u = 0)$ का उपयोग करने पर:
$4.0 = 0 + \frac{1}{2} a (4.0)^2$
$4.0 = 8a \implies a = 0.5\, m/s^2$.
इस $a$ का मान त्वरण समीकरण में रखने पर:
$0.5 = 10(\sin 30^o - \mu_k \cos 30^o)$
$0.5 = 10(0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2})$
$0.05 = 0.5 - \mu_k \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\mu_k \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.45$
$\mu_k = \frac{0.9}{\sqrt{3}} \approx 0.519 \approx 0.5$.
अतः,$\mu_s \approx 0.6$ और $\mu_k \approx 0.5$।

(B) माना भारी पत्थर की स्पर्शरेखीय गति $v$ है।
दिया गया है कि दोनों पत्थरों द्वारा अनुभव किया गया अभिकेंद्र बल समान है।
हल्के पत्थर (द्रव्यमान $m$,त्रिज्या $r$,गति $nv$) के लिए अभिकेंद्र बल है:
$F_{lighter} = \frac{m(nv)^2}{r} = \frac{mn^2v^2}{r}$
भारी पत्थर (द्रव्यमान $2m$,त्रिज्या $r/2$,गति $v$) के लिए अभिकेंद्र बल है:
$F_{heavier} = \frac{(2m)v^2}{r/2} = \frac{4mv^2}{r}$
दोनों बलों को बराबर करने पर:
$\frac{mn^2v^2}{r} = \frac{4mv^2}{r}$
$n^2 = 4$
$n = 2$

(C) स्थिति $(a)$: जब समान दूरी $x$ तक खींचा जाता है,तो किया गया कार्य $W = \frac{1}{2} K x^2$ होता है। चूँकि $K_P > K_Q$ और $x$ समान है,इसलिए $W_P = \frac{1}{2} K_P x^2$ और $W_Q = \frac{1}{2} K_Q x^2$ होगा। अतः,$W_P > W_Q$।
स्थिति $(b)$: जब समान बल $F$ द्वारा खींचा जाता है,तो किया गया कार्य $W = \frac{F^2}{2K}$ होता है। चूँकि $K_P > K_Q$ और $F$ समान है,इसलिए $W_P = \frac{F^2}{2K_P}$ और $W_Q = \frac{F^2}{2K_Q}$ होगा। चूँकि $K_P > K_Q$,इसलिए $\frac{1}{K_P} < \frac{1}{K_Q}$ होगा,अर्थात $W_P < W_Q$ या $W_Q > W_P$।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,प्रारंभिक वेग $v_i = 10 \, m/s$.
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_i^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 500 \, J$.
मंदक बल $F = -0.1 \, x \, N$ है।
मंदक बल द्वारा किया गया कार्य $W = \int_{20}^{30} (-0.1 \, x) \, dx$.
$W = -0.1 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{20}^{30} = -0.1 \times \frac{1}{2} (30^2 - 20^2) = -0.05 \times (900 - 400) = -0.05 \times 500 = -25 \, J$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = K_f - K_i$.
$K_f = W + K_i = -25 \, J + 500 \, J = 475 \, J$.

(A) कण को दी गई शक्ति $P$ स्थिर है,इसलिए $P = k$ है।
चूंकि $P = \frac{dW}{dt}$,इसलिए $dW = k dt$ है।
$0$ से $t$ तक दोनों पक्षों का समाकलन करने पर,हमें $W = kt$ प्राप्त होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2}mv^2 - 0$।
$W$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $kt = \frac{1}{2}mv^2$,जिससे $v = \sqrt{\frac{2kt}{m}}$ प्राप्त होता है।
त्वरण $a$,वेग का समय के सापेक्ष अवकलन है:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \sqrt{\frac{2k}{m}} t^{1/2} \right) = \sqrt{\frac{2k}{m}} \cdot \frac{1}{2} t^{-1/2} = \sqrt{\frac{k}{2mt}}$।
कण पर लगने वाला बल $F = ma$ है:
$F = m \cdot \sqrt{\frac{k}{2mt}} = \sqrt{\frac{m^2 k}{2mt}} = \sqrt{\frac{mk}{2t}} = \sqrt{\frac{mk}{2}} t^{-1/2}$।

(B) दो कणों की कुल प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2$ है।
टक्कर के दौरान,एक कण उत्तेजित अवस्था में जाने के लिए $\varepsilon$ ऊर्जा का अवशोषण करता है।
इसलिए,कणों की कुल अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$ प्रारंभिक गतिज ऊर्जा से $\varepsilon$ कम होनी चाहिए।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार: $K_i = K_f + \varepsilon$.
मान रखने पर: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2 + \varepsilon$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{2}m_1u_1^2 + \frac{1}{2}m_2u_2^2 - \varepsilon = \frac{1}{2}m_1v_1^2 + \frac{1}{2}m_2v_2^2$.

(A) मान लीजिए कि कण $A$ और $B$ समय $t$ पर टकराते हैं। उनके टकराने के लिए,समय $t$ पर दोनों कणों के स्थिति सदिश समान होने चाहिए,अर्थात:
$\vec{r}_1 + \vec{v}_1 t = \vec{r}_2 + \vec{v}_2 t$
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) t$ ... $(i)$
दोनों पक्षों का परिमाण लेने पर:
$|\vec{r}_1 - \vec{r}_2| = |\vec{v}_2 - \vec{v}_1| t$
$t = \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
$t$ के इस मान को समीकरण $(i)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\vec{r}_1 - \vec{r}_2 = (\vec{v}_2 - \vec{v}_1) \frac{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\vec{r}_1 - \vec{r}_2}{|\vec{r}_1 - \vec{r}_2|} = \frac{\vec{v}_2 - \vec{v}_1}{|\vec{v}_2 - \vec{v}_1|}$

(D) मान लीजिए गेंद का द्रव्यमान $m$ है,ऊँचाई $h = 20 \, m$ है,और जमीन से टकराने से ठीक पहले का वेग $v$ है।
नीचे की गति के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{1}{2}mv_0^2 + mgh$
$v^2 = v_0^2 + 2gh \quad ... (i)$
जब गेंद जमीन से टकराती है,तो वह अपनी गतिज ऊर्जा का $50\%$ खो देती है। शेष गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} \times (\frac{1}{2}mv^2) = \frac{1}{4}mv^2$ है।
यह शेष ऊर्जा गेंद को उसी ऊँचाई $h$ तक वापस उछलने में सक्षम बनाती है:
$\frac{1}{4}mv^2 = mgh$
$v^2 = 4gh$
$v^2 = 4gh$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$4gh = v_0^2 + 2gh$
$v_0^2 = 2gh$
$v_0 = \sqrt{2gh}$
यहाँ $g = 10 \, m/s^2$ और $h = 20 \, m$ दिया गया है:
$v_0 = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.

(A) टक्कर प्रत्यास्थ है,जिसका अर्थ है कि रैखिक संवेग और गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
मान लीजिए टक्कर के बाद दूसरे ब्लॉक की चाल $v'$ है।
गतिज ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार:
$\frac{1}{2}M V^2 + 0 = \frac{1}{2}M \left( \frac{V}{3} \right)^2 + \frac{1}{2}M (v')^2$
दोनों पक्षों को $\frac{1}{2}M$ से विभाजित करने पर:
$V^2 = \frac{V^2}{9} + (v')^2$
$(v')^2 = V^2 - \frac{V^2}{9}$
$(v')^2 = \frac{8V^2}{9}$
$v' = \sqrt{\frac{8V^2}{9}} = \frac{2\sqrt{2}}{3}V$

(D) दिया गया है:
पंप किए गए रक्त का आयतन, $V = 5 \, \text{litres} = 5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$.
समय, $t = 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}$.
दाब, $P = 150 \, \text{mm of Hg} = 0.15 \, \text{m of Hg}$.
पारे का घनत्व, $\rho = 13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$.
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \, \text{m/s}^2$.
सबसे पहले, $P = h \rho g$ का उपयोग करके दाब $\text{N/m}^2$ में ज्ञात करें:
$P = (0.15 \, \text{m}) \times (13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3) \times (10 \, \text{m/s}^2)$
$P = 20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2$.
अब, $Power = \frac{P \times V}{t}$ का उपयोग करके शक्ति ज्ञात करें:
$Power = \frac{(20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2) \times (5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3)}{60 \, \text{s}}$
$Power = \frac{20.4 \times 5}{60} \, \text{W}$
$Power = \frac{102}{60} \, \text{W} = 1.7 \, \text{W}$.

(A) $Wien$ के विस्थापन नियम के अनुसार, अधिकतम तीव्रता के संगत तरंगदैर्ध्य $(\lambda_m)$ और निरपेक्ष तापमान $(T)$ का गुणनफल स्थिर होता है:
$\lambda_m T = \text{constant} \implies T \propto \frac{1}{\lambda_m}$
तारे $P$ के लिए, बैंगनी रंग की तीव्रता अधिकतम है। चूंकि बैंगनी रंग की तरंगदैर्ध्य तीनों में सबसे कम होती है $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$, इसलिए तारे $P$ का तापमान सबसे अधिक होगा।
तारे $R$ के लिए, हरे रंग की तीव्रता अधिकतम है। हरे रंग की तरंगदैर्ध्य बैंगनी और लाल के बीच होती है $(\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R)$.
तारे $Q$ के लिए, लाल रंग की तीव्रता अधिकतम है। चूंकि लाल रंग की तरंगदैर्ध्य तीनों में सबसे अधिक होती है, इसलिए तारे $Q$ का तापमान सबसे कम होगा।
तरंगदैर्ध्य की तुलना करने पर: $\lambda_V < \lambda_G < \lambda_R$.
अतः, तापमान का क्रम विपरीत होगा: $T_P > T_R > T_Q$.

(D) धातु की छड़ से ऊष्मा प्रवाह की दर $(H)$ का सूत्र $H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_2 - T_1)}{L}$ है,जहाँ $k$ ऊष्मीय चालकता है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$L$ लंबाई है,और $(T_2 - T_1)$ तापमान का अंतर है।
पहले मामले में,तापमान का अंतर $\Delta T_1 = 110 ^\circ C - 100 ^\circ C = 10 ^\circ C$ है।
ऊष्मा प्रवाह की दर $H_1 = 4.0 \ J/s$ है।
दूसरे मामले में,तापमान का अंतर $\Delta T_2 = 210 ^\circ C - 200 ^\circ C = 10 ^\circ C$ है।
चूंकि ऊष्मा प्रवाह की दर तापमान के अंतर के सीधे आनुपातिक होती है $(H \propto \Delta T)$,और दोनों स्थितियों में तापमान का अंतर समान $(10 ^\circ C)$ है,इसलिए ऊष्मा प्रवाह की दर अपरिवर्तित रहेगी।
अतः,$H_2 = H_1 = 4.0 \ J/s$ होगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,एक आदर्श गैस का आणविक भार $M$ इस प्रकार दिया जाता है:
$M = \frac{\rho R T}{P}$
जहाँ $P$ दबाव है,$T$ तापमान है,$\rho$ घनत्व है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
गैसों $A$ और $B$ के लिए:
$M_A = \frac{\rho_A R T_A}{P_A}$ और $M_B = \frac{\rho_B R T_B}{P_B}$
उनके आणविक भार का अनुपात है:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right) \left( \frac{T_A}{T_B} \right) \left( \frac{P_B}{P_A} \right)$
दिया गया है:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 1.5 = \frac{3}{2}$
$T_A = T_B \implies \frac{T_A}{T_B} = 1$
$P_A = 2 P_B \implies \frac{P_B}{P_A} = \frac{1}{2}$
इन मानों को रखने पर:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \times (1) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$

(C) चूंकि तनाव बल वृत्त के केंद्र की ओर कार्य करता है,इसलिए केंद्र के परितः टॉर्क शून्य है। अतः,द्रव्यमान $m$ का कोणीय संवेग संरक्षित रहता है।
प्रारंभिक कोणीय संवेग $L_i = m v_0 R_0$ है।
अंतिम कोणीय संवेग $L_f = m v R$ है,जहाँ $R = \frac{R_0}{2}$ है।
कोणीय संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,$L_i = L_f$:
$m v_0 R_0 = m v \left( \frac{R_0}{2} \right)$
$v = 2 v_0$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v_0^2$ है।
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_f = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m (2 v_0)^2 = \frac{1}{2} m (4 v_0^2) = 2 m v_0^2$ होगी।

(A) मान लीजिए $A$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N_1$ है और $B$ पर अभिलंब प्रतिक्रिया $N_2$ है।
ऊर्ध्वाधर संतुलन के लिए,ऊपर की ओर लगने वाले बलों का योग नीचे की ओर लगने वाले बल के बराबर होना चाहिए:
$N_1 + N_2 = W$ --- $(i)$
घूर्णी संतुलन के लिए,हम छड़ के द्रव्यमान केंद्र (जहाँ भार $W$ कार्य करता है) के परितः टॉर्क लेते हैं। $W$ के कारण टॉर्क शून्य है।
द्रव्यमान केंद्र के परितः टॉर्क का योग = $0$
$N_1 \cdot x = N_2 \cdot (d - x)$ --- $(ii)$
समीकरण $(i)$ से,$N_2 = W - N_1$.
इस मान को समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$N_1 x = (W - N_1)(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1(d - x)$
$N_1 x = W(d - x) - N_1 d + N_1 x$
$N_1 d = W(d - x)$
$N_1 = \frac{W(d - x)}{d}$

(A) $m_1$ से $x$ दूरी पर स्थित बिंदु $P$ से गुजरने वाली अक्ष के परितः निकाय का जड़त्व आघूर्ण $I$ इस प्रकार है:
$I = m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2$
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,छड़ को $\omega_0$ कोणीय वेग से घुमाने के लिए किया गया कार्य $W$ उसकी घूर्णन गतिज ऊर्जा के बराबर होता है:
$W = \frac{1}{2} I \omega_0^2 = \frac{1}{2} [m_1 x^2 + m_2 (L - x)^2] \omega_0^2$
कार्य $W$ को न्यूनतम करने के लिए,हम $x$ के सापेक्ष इसका अवकलन शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dW}{dx} = \frac{1}{2} \omega_0^2 [2 m_1 x + 2 m_2 (L - x)(-1)] = 0$
$m_1 x - m_2 (L - x) = 0$
$m_1 x - m_2 L + m_2 x = 0$
$(m_1 + m_2) x = m_2 L$
$x = \frac{m_2 L}{m_1 + m_2}$

(B) मूल बिंदु के परितः कोणीय संवेग के संरक्षण के लिए,कण पर कार्य करने वाला कुल बल आघूर्ण (टॉर्क) $\overrightarrow{\tau}$ शून्य होना चाहिए।
परिभाषा के अनुसार,$\overrightarrow{\tau} = \overrightarrow{R} \times \overrightarrow{F}$।
यहाँ $\overrightarrow{R} = 2\hat{i} - 6\hat{j} - 12\hat{k}$ और $\overrightarrow{F} = \alpha \hat{i} + 3\hat{j} + 6\hat{k}$ दिया गया है।
सदिश गुणनफल की गणना करने पर:
$\overrightarrow{\tau} = \begin{vmatrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} \\ 2 & -6 & -12 \\ \alpha & 3 & 6 \end{vmatrix}$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(-36 - (-36)) - \hat{j}(12 - (-12\alpha)) + \hat{k}(6 - (-6\alpha))$
$\overrightarrow{\tau} = \hat{i}(0) - \hat{j}(12 + 12\alpha) + \hat{k}(6 + 6\alpha)$
$\overrightarrow{\tau} = 0$ होने के लिए,$\hat{j}$ और $\hat{k}$ दोनों घटकों को शून्य होना चाहिए:
$12 + 12\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
$6 + 6\alpha = 0 \implies \alpha = -1$
अतः,$\alpha$ का मान $-1$ है।

(B) दिया गया है:
वाहन की गति,$v = 54 \,km h^{-1} = 54 \times \frac{5}{18} \,m s^{-1} = 15 \,m s^{-1}$।
पहिये की त्रिज्या,$R = 0.45 \,m$।
पहिये का जड़त्व आघूर्ण,$I = 3 \,kg m^2$।
वाहन को रोकने में लगा समय,$t = 15 \,s$।
पहिये की प्रारंभिक कोणीय गति $\omega_i = \frac{v}{R} = \frac{15 \,m s^{-1}}{0.45 \,m} = \frac{1500}{45} \,rad s^{-1} = \frac{100}{3} \,rad s^{-1}$ है।
अंतिम कोणीय गति $\omega_f = 0$ है (क्योंकि वाहन विराम अवस्था में आ जाता है)।
पहिये का कोणीय मंदन $\alpha = \frac{\omega_f - \omega_i}{t} = \frac{0 - \frac{100}{3}}{15} = -\frac{100}{45} \,rad s^{-2}$ है।
औसत बल आघूर्ण का परिमाण $\tau = I |\alpha| = 3 \,kg m^2 \times \frac{100}{45} \,rad s^{-2} = \frac{300}{45} \,N m = \frac{20}{3} \,N m \approx 6.66 \,kg m^2 s^{-2}$ है।

(D) $m$ द्रव्यमान और $r$ त्रिज्या वाले एक पतले गोलीय कोश का उसके व्यास के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{diam} = \frac{2}{3} mr^2$ होता है।
तीसरे कोश के लिए,$XX'$ अक्ष उसके व्यास से होकर गुजरती है। इसलिए,इसका जड़त्व आघूर्ण $I_3 = \frac{2}{3} mr^2$ है।
अन्य दो कोशों के लिए,$XX'$ अक्ष उनकी स्पर्शरेखा है। समांतर अक्ष प्रमेय के अनुसार,स्पर्शरेखा के परितः जड़त्व आघूर्ण $I_{tangent} = I_{cm} + md^2$ होता है,जहाँ $d = r$ है। अतः,$I_1 = I_2 = \frac{2}{3} mr^2 + mr^2 = \frac{5}{3} mr^2$ है।
$XX'$ अक्ष के परितः प्रणाली का कुल जड़त्व आघूर्ण $I = I_1 + I_2 + I_3 = \frac{5}{3} mr^2 + \frac{5}{3} mr^2 + \frac{2}{3} mr^2 = \frac{12}{3} mr^2 = 4 mr^2$ है।

(B) उपग्रह की कक्षीय गति का सूत्र $v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R+h}}$ है।
हम जानते हैं कि $g = \frac{GM}{R^2}$,इसलिए $GM = gR^2$.
इस मान को सूत्र में रखने पर,$v_0 = \sqrt{\frac{gR^2}{R+h}} = R \sqrt{\frac{g}{R+h}}$.
दिए गए मान: $R = 6.38 \times 10^6 \, m$,$h = 0.25 \times 10^6 \, m$,और $g = 9.8 \, m s^{-2}$.
कुल कक्षीय त्रिज्या $r = R + h = (6.38 + 0.25) \times 10^6 \, m = 6.63 \times 10^6 \, m$.
अब,$v_0 = \sqrt{\frac{9.8 \times (6.38 \times 10^6)^2}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{\frac{9.8 \times 40.7044 \times 10^{12}}{6.63 \times 10^6}} = \sqrt{60.16 \times 10^6} \approx 7.756 \times 10^3 \, m s^{-1}$.
अतः,$v_0 \approx 7.76 \, km s^{-1}$.

(B) सूर्य और ग्रह के बीच गुरुत्वाकर्षण आकर्षण बल ग्रह की कक्षा के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है।
$\therefore \frac{GMm}{r^2} = \frac{mv^2}{r} \implies v^2 = \frac{GM}{r} \quad \dots(i)$
ग्रह का आवर्तकाल $(T)$,$T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{v^2}$।
समीकरण $(i)$ से $v^2$ का मान रखने पर:
$T^2 = \frac{4\pi^2 r^2}{(\frac{GM}{r})} = \frac{4\pi^2 r^3}{GM} \quad \dots(ii)$
प्रश्न के अनुसार,केप्लर का तीसरा नियम इस प्रकार दिया गया है:
$T^2 = Kr^3 \quad \dots(iii)$
समीकरण $(ii)$ और $(iii)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$K = \frac{4\pi^2}{GM} \implies GMK = 4\pi^2$.

(C) केंद्रों के बीच की प्रारंभिक दूरी $12R$ है। टक्कर तब होती है जब केंद्रों के बीच की दूरी उनकी त्रिज्याओं के योग के बराबर होती है,जो $R + 2R = 3R$ है।
इसलिए,टक्कर से पहले दोनों पिंडों द्वारा तय की गई कुल दूरी $12R - 3R = 9R$ है।
मान लीजिए कि $M$ और $5M$ द्रव्यमान वाले पिंडों द्वारा तय की गई दूरियाँ क्रमशः $x_1$ और $x_2$ हैं। चूंकि कोई बाहरी बल नहीं है,इसलिए निकाय का द्रव्यमान केंद्र स्थिर रहता है। अतः,$M x_1 = 5M x_2$,जिससे $x_1 = 5x_2$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $x_1 + x_2 = 9R$,इसलिए $5x_2 + x_2 = 9R$ रखने पर $6x_2 = 9R$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $x_2 = 1.5R$।
तब,$x_1 = 5(1.5R) = 7.5R$।
छोटे पिंड ($M$ द्रव्यमान) द्वारा तय की गई दूरी $7.5R$ है।

(A) मान लीजिए कि $L$ और $A$ प्रत्येक तार की लंबाई और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल हैं।
तारों के निचले सिरों को एक ही स्तर पर रखने के लिए,दोनों तारों में उत्पन्न विस्तार समान होना चाहिए।
मान लीजिए कि स्टील और पीतल के तारों पर लटकाए गए भार क्रमशः $W_s$ और $W_b$ हैं।
यंग मापांक की परिभाषा $Y = \frac{W/A}{\Delta L/L}$ के अनुसार,स्टील के तार में उत्पन्न विस्तार $\Delta L_s = \frac{W_s L}{Y_s A}$ है।
पीतल के तार में उत्पन्न विस्तार $\Delta L_b = \frac{W_b L}{Y_b A}$ है।
चूंकि $\Delta L_s = \Delta L_b$,इसलिए $\frac{W_s L}{Y_s A} = \frac{W_b L}{Y_b A}$ होगा।
इसे सरल करने पर $\frac{W_s}{W_b} = \frac{Y_s}{Y_b}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि स्टील का यंग मापांक पीतल का दोगुना है,अर्थात $Y_s = 2 Y_b$,इसलिए $\frac{Y_s}{Y_b} = 2$ है।
अतः,$\frac{W_s}{W_b} = 2$,जिसका अर्थ है कि अनुपात $2:1$ है।

(C) मान लीजिए कि $\rho_0$ और $\rho_T$ क्रमशः प्रारंभिक और अंतिम तापमान पर ग्लिसरीन का घनत्व हैं।
घनत्व और तापमान के बीच का संबंध $\rho_T = \rho_0(1 - \gamma \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma$ आयतन प्रसार गुणांक है और $\Delta T$ तापमान में परिवर्तन है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{\rho_T}{\rho_0} = 1 - \gamma \Delta T$ प्राप्त होता है।
घनत्व में भिन्नात्मक परिवर्तन को $\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
समीकरण से,$\frac{\rho_0 - \rho_T}{\rho_0} = \gamma \Delta T$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\gamma = 5 \times 10^{-4} \ K^{-1}$ और $\Delta T = 40 \ K$ दिया गया है।
मान रखने पर,घनत्व में भिन्नात्मक परिवर्तन = $(5 \times 10^{-4} \ K^{-1}) \times (40 \ K) = 200 \times 10^{-4} = 0.02$।

(C) सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) के अनुसार,नली में द्रव का आयतन प्रवाह दर (volume flow rate) स्थिर रहता है।
बेलनाकार नली के अंदर आयतन प्रवाह दर $A_1 v_1 = \pi R^2 v$ द्वारा दी जाती है।
$n$ सूक्ष्म छिद्रों से कुल आयतन प्रवाह दर $A_2 v_2 = n (\pi r^2) v_{ejection}$ द्वारा दी जाती है।
दोनों प्रवाह दरों को बराबर करने पर:
$\pi R^2 v = n \pi r^2 v_{ejection}$.
बाहर निकलने वाले द्रव की चाल $(v_{ejection})$ के लिए हल करने पर:
$v_{ejection} = \frac{\pi R^2 v}{n \pi r^2} = \frac{v R^2}{n r^2}$.

(C) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
यदि नली की वास्तविक लंबाई $L$ संतुलन ऊँचाई $h$ से कम है,तो पानी नली के ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा।
ऊपरी सिरे पर,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R$ इस प्रकार समायोजित हो जाएगी कि $h' = \frac{2T \cos \theta'}{R \rho g} = L$ हो,जहाँ $h' < h$ है।
चूंकि ऊपरी सिरे पर दबाव पृष्ठ तनाव द्वारा संतुलित रहता है,इसलिए पानी बाहर नहीं बहेगा बल्कि वक्रता त्रिज्या में बदलाव के साथ नली के ऊपरी सिरे पर स्थिर रहेगा।

(C) दिया गया है:
महासागर की गहराई,$d = 2700 \, m$
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$
पानी की संपीड़यता,$K = 45.4 \times 10^{-11} \, Pa^{-1}$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \, m/s^2$
महासागर के तल पर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \rho gd$ द्वारा दिया जाता है।
$\Delta P = 10^3 \times 10 \times 2700 = 27 \times 10^6 \, Pa$.
संपीडयता $K$ को बल्क मापांक (Bulk Modulus) $B$ के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है,अर्थात $K = \frac{1}{B}$।
चूंकि $B = \frac{\Delta P}{(\Delta V/V)}$,इसलिए $\frac{\Delta V}{V} = K \times \Delta P$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{\Delta V}{V} = (45.4 \times 10^{-11} \, Pa^{-1}) \times (27 \times 10^6 \, Pa)$
$\frac{\Delta V}{V} = 1225.8 \times 10^{-5} = 1.2258 \times 10^{-2} \approx 1.2 \times 10^{-2}$.

(C) छत के ठीक ऊपर और ठीक नीचे बर्नौली के प्रमेय को लागू करने पर:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_0 + 0$
यहाँ,$P$ छत के ठीक ऊपर का दबाव है,$P_0$ घर के अंदर का वायुमंडलीय दबाव है,और $v = 40 \ m/s$ हवा की गति है।
दबाव का अंतर $\Delta P = P_0 - P = \frac{1}{2}\rho v^2$ है।
छत पर लगाया गया बल $F = \Delta P \cdot A = \frac{1}{2}\rho A v^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \ kg/m^3 \times 250 \ m^2 \times (40 \ m/s)^2$
$F = 0.6 \times 250 \times 1600 = 2.4 \times 10^5 \ N$.
चूंकि घर के अंदर का दबाव $(P_0)$ छत के ठीक ऊपर के दबाव $(P)$ से अधिक है,इसलिए शुद्ध बल ऊपर की दिशा में कार्य करेगा।

(C) चूंकि आंतरिक ऊर्जा एक अवस्था फलन है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन केवल प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं पर निर्भर करता है। अतः,$\Delta U_{ABC} = \Delta U_{AC}$।
प्रक्रिया $AB$ के लिए (समआयतनिक,$\Delta V = 0$):
$\Delta W_{AB} = 0$
$\Delta Q_{AB} = \Delta U_{AB} = 400 \, J$।
प्रक्रिया $BC$ के लिए (समदाबीय,$P = 6 \times 10^4 \, Pa$):
$\Delta W_{BC} = P \Delta V = 6 \times 10^4 \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = 6 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 120 \, J$।
$\Delta Q_{BC} = \Delta U_{BC} + \Delta W_{BC} \implies 100 = \Delta U_{BC} + 120 \implies \Delta U_{BC} = -20 \, J$।
पथ $ABC$ के लिए आंतरिक ऊर्जा में कुल परिवर्तन:
$\Delta U_{AC} = \Delta U_{AB} + \Delta U_{BC} = 400 - 20 = 380 \, J$।
प्रक्रिया $AC$ के लिए,किया गया कार्य $\Delta W_{AC}$,$PV$ आरेख में रेखा $AC$ के नीचे का क्षेत्रफल है,जो एक समलंब चतुर्भुज है:
$\Delta W_{AC} = \text{Area} = \frac{1}{2} \times (P_A + P_C) \times (V_C - V_A) = \frac{1}{2} \times (2 \times 10^4 + 6 \times 10^4) \times (4 \times 10^{-3} - 2 \times 10^{-3}) = \frac{1}{2} \times 8 \times 10^4 \times 2 \times 10^{-3} = 80 \, J$।
प्रक्रिया $AC$ के लिए ऊष्मागतिकी के प्रथम नियम का उपयोग करते हुए:
$\Delta Q_{AC} = \Delta U_{AC} + \Delta W_{AC} = 380 + 80 = 460 \, J$।

(B) हम जानते हैं कि एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5R}{2}$ होती है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $\Delta U = n \left( \frac{5R}{2} \right) (T_B - T_A)$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम $T = \frac{PV}{nR}$ लिख सकते हैं,इसलिए $\Delta U = \frac{5}{2} (P_B V_B - P_A V_A)$।
दिए गए ग्राफ से,बिंदु $A$ पर: $P_A = 5 \times 10^3 \, Pa$ और $V_A = 4 \, m^3$ है।
बिंदु $B$ पर: $P_B = 2 \times 10^3 \, Pa$ और $V_B = 6 \, m^3$ है।
इन मानों को रखने पर:
$\Delta U = \frac{5}{2} [(2 \times 10^3 \times 6) - (5 \times 10^3 \times 4)]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [12 \times 10^3 - 20 \times 10^3]$
$\Delta U = \frac{5}{2} [-8 \times 10^3]$
$\Delta U = -20 \times 10^3 \, J = -20 \, kJ$।

(C) चित्र में एक आदर्श गैस को उसके प्रारंभिक आयतन $V_0$ से $\frac{V_0}{2}$ तक कई प्रक्रियाओं द्वारा संपीड़ित करने का $P-V$ आरेख दर्शाया गया है।
गैस पर किया गया कार्य $P-V$ वक्र के नीचे के क्षेत्रफल के बराबर होता है।
चूंकि $P-V$ वक्र के नीचे का क्षेत्रफल रुद्धोष्म (adiabatic) प्रक्रिया के लिए अधिकतम है,इसलिए गैस पर किया गया कार्य रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए अधिकतम होता है।

(B) रेफ्रिजरेटर का निष्पादन गुणांक $(COP)$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\alpha = \frac{T_2}{T_1 - T_2}$
जहाँ $T_1$ गर्म जलाशय (परिवेश) का तापमान है और $T_2$ ठंडा जलाशय (फ्रीजर) का तापमान केल्विन में है।
दिया गया है: $\alpha = 5$,$T_2 = -20^{\circ}C = (-20 + 273) K = 253 K$.
सूत्र में मान रखने पर:
$5 = \frac{253}{T_1 - 253}$
$5(T_1 - 253) = 253$
$5T_1 - 1265 = 253$
$5T_1 = 1518$
$T_1 = \frac{1518}{5} = 303.6 K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T_1 = 303.6 - 273 = 30.6^{\circ}C \approx 31^{\circ}C$.

(A) मान लीजिए $A$ आयाम है और $\omega$ सरल आवर्त गति की कोणीय आवृत्ति है।
अधिकतम त्वरण $\alpha = \omega^2 A$ द्वारा दिया जाता है $(i)$।
अधिकतम वेग $\beta = \omega A$ द्वारा दिया जाता है $(ii)$।
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\alpha}{\beta} = \frac{\omega^2 A}{\omega A} = \omega$.
अतः,दोलन का आवर्तकाल $T$ इस प्रकार होगा:
$T = \frac{2\pi}{\omega} = \frac{2\pi}{(\alpha / \beta)} = \frac{2\pi \beta}{\alpha}$.

(C) दिए गए दो विस्थापन:
$y_1 = a \sin(\omega t)$
$y_2 = b \cos(\omega t) = b \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$
परिणामी विस्थापन $y = y_1 + y_2$ इस प्रकार है:
$y = a \sin(\omega t) + b \cos(\omega t)$
आयाम ज्ञात करने के लिए,हम इसे $y = A \sin(\omega t + \phi)$ के रूप में लिख सकते हैं,जहाँ परिणामी आयाम $A$ है:
$A = \sqrt{a^2 + b^2 + 2ab \cos(\frac{\pi}{2})}$
चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ है,इसलिए आयाम है:
$A = \sqrt{a^2 + b^2}$
अतः,परिणामी गति $\sqrt{a^2 + b^2}$ आयाम वाली एक सरल आवर्त गति है।

(B) $SHM$ में,माध्य स्थिति से $x$ दूरी पर कण का वेग $V = \omega \sqrt{a^2 - x^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $a$ आयाम है और $\omega$ कोणीय आवृत्ति है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें मिलता है $V^2 = \omega^2(a^2 - x^2)$।
$x_1$ और $x_2$ दूरियों के लिए,हमारे पास है:
$V_1^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2) \dots (i)$
$V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_2^2) \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(a^2 - x_1^2 - a^2 + x_2^2)$
$V_1^2 - V_2^2 = \omega^2(x_2^2 - x_1^2)$
$\omega^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
चूंकि आवर्तकाल $T = \frac{2\pi}{\omega}$ है,इसलिए $\omega = \frac{2\pi}{T}$ होगा।
इस मान को $\omega^2$ के समीकरण में रखने पर:
$\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2 = \frac{V_1^2 - V_2^2}{x_2^2 - x_1^2}$
$T^2 = 4\pi^2 \left(\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}\right)$
$T = 2\pi \sqrt{\frac{x_2^2 - x_1^2}{V_1^2 - V_2^2}}$

(A) दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति,$f_{0} = 100 \, Hz$
स्रोत का वेग,$v_{s} = 19.4 \, m s^{-1}$
हवा में ध्वनि का वेग,$v = 330 \, m s^{-1}$
स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत के वेग का घटक $v_{s} \cos 60^{\circ}$ है। चूंकि स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है,इसलिए आभासी आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f_{0} \left( \frac{v}{v + v_{s} \cos 60^{\circ}} \right)$
मान रखने पर:
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times \cos 60^{\circ}} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times 0.5} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 9.7} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{339.7} \right) \approx 97.14 \, Hz$
निकटतम पूर्णांक में,आभासी आवृत्ति $97 \, Hz$ है।

(A) दोनों सिरों पर बंधी हुई डोरी के लिए,अनुनादी आवृत्तियाँ $v_n = n \cdot v_0$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $v_0$ मूल आवृत्ति (सबसे कम अनुनादी आवृत्ति) है और $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
किन्हीं भी दो क्रमागत अनुनादी आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta v = v_{n+1} - v_n = (n+1)v_0 - nv_0 = v_0$ होता है।
यह दिया गया है कि $420\, Hz$ और $315\, Hz$ अनुनादी आवृत्तियाँ हैं और इनके बीच कोई अन्य अनुनादी आवृत्ति नहीं है,इसलिए ये क्रमागत हार्मोनिक्स होने चाहिए।
अतः,मूल आवृत्ति $v_0$ इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$v_0 = 420\, Hz - 315\, Hz = 105\, Hz$.

(B) चूंकि $4.0 \, g$ गैस $NTP$ पर $22.4 \, L$ आयतन घेरती है,इसलिए गैस का आणविक द्रव्यमान $M = 4.0 \, g \, mol^{-1} = 4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$ है।
गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है।
$\gamma$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\gamma = \frac{M v^2}{R T}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $v = 952 \, m s^{-1}$,$R = 8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}$ और $T = 273 \, K$ ($NTP$ पर) है:
$\gamma = \frac{(4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}) \times (952 \, m s^{-1})^2}{(8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}) \times (273 \, K)} \approx 1.6$.
हम जानते हैं कि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इसलिए $C_p = \gamma C_v$.
$C_v = 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ दिया गया है,अतः $C_p = 1.6 \times 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1} = 8.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) कार्नोट इंजन की दक्षता $(\eta)$ और रेफ्रिजरेटर के निष्पादन गुणांक (coefficient of performance) $(\beta)$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$\beta = \frac{1 - \eta}{\eta}$
यहाँ $\eta = 1/10$ दिया गया है,इसलिए निष्पादन गुणांक:
$\beta = \frac{1 - 1/10}{1/10} = \frac{9/10}{1/10} = 9$
निष्पादन गुणांक $(\beta)$ को ठंडे रिज़र्वोयर से अवशोषित ऊष्मा $(Q_2)$ और सिस्टम पर किए गए कार्य $(W)$ के अनुपात के रूप में भी परिभाषित किया जाता है:
$\beta = \frac{Q_2}{W}$
यहाँ $W = 10 \ J$ और $\beta = 9$ दिया गया है,इसलिए:
$9 = \frac{Q_2}{10 \ J}$
$Q_2 = 9 \times 10 \ J = 90 \ J$
अतः,कम तापमान वाले रिज़र्वोयर से अवशोषित ऊर्जा $90 \ J$ है।

(B) बंद ऑर्गन पाइप की मूल आवृत्ति $f_c = \frac{v}{4\ell_c}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\ell_c = 20\; cm$ है।
खुली ऑर्गन पाइप की आवृत्तियाँ $f_n = \frac{nv}{2\ell_o}$ द्वारा दी जाती हैं,जहाँ $n = 1, 2, 3, \dots$ है।
पहला ओवरटोन $n=2$ है,और दूसरा ओवरटोन $n=3$ है।
अतः,खुली ऑर्गन पाइप की दूसरे ओवरटोन की आवृत्ति $f_{o,2} = \frac{3v}{2\ell_o}$ है।
प्रश्न के अनुसार,बंद पाइप की मूल आवृत्ति खुली पाइप के दूसरे ओवरटोन के बराबर है:
$\frac{v}{4\ell_c} = \frac{3v}{2\ell_o}$
दोनों पक्षों से $v$ को हटाने पर:
$\frac{1}{4\ell_c} = \frac{3}{2\ell_o}$
$\ell_o$ के लिए हल करने पर:
$\ell_o = \frac{3 \times 4\ell_c}{2} = 6\ell_c$
$\ell_c = 20\; cm$ रखने पर:
$\ell_o = 6 \times 20\; cm = 120\; cm$.

(C) दिया गया विभव फलन: $V = 6xy - y + 2yz$.
विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और विभव $V$ के बीच संबंध: $\vec{E} = -\nabla V = -\left( \frac{\partial V}{\partial x} \hat{i} + \frac{\partial V}{\partial y} \hat{j} + \frac{\partial V}{\partial z} \hat{k} \right)$.
आंशिक अवकलन करने पर:
$\frac{\partial V}{\partial x} = 6y$
$\frac{\partial V}{\partial y} = 6x - 1 + 2z$
$\frac{\partial V}{\partial z} = 2y$
अतः,$\vec{E} = -[ (6y)\hat{i} + (6x - 1 + 2z)\hat{j} + (2y)\hat{k} ]$.
बिंदु $(1, 1, 0)$ पर मान रखने पर:
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -[ (6 \times 1)\hat{i} + (6 \times 1 - 1 + 2 \times 0)\hat{j} + (2 \times 1)\hat{k} ]$
$\vec{E}_{(1, 1, 0)} = -(6\hat{i} + 5\hat{j} + 2\hat{k}) \ N/C$.

(D) प्रारंभ में,संधारित्र $q = CV$ तक आवेशित होता है। जब सेल को हटा दिया जाता है,तो प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर रहता है।
परावैद्युत स्लैब डालने के बाद,नई धारिता $C' = KC$ हो जाती है।
प्लेटों के बीच नया विभवांतर $V' = \frac{q}{C'} = \frac{CV}{KC} = \frac{V}{K}$ हो जाता है। इस प्रकार,विभवांतर $K$ गुना कम हो जाता है।
प्रारंभिक संचित ऊर्जा $U_1 = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2$ है।
अंतिम संचित ऊर्जा $U_2 = \frac{q^2}{2C'} = \frac{q^2}{2KC} = \frac{U_1}{K}$ है। इस प्रकार,ऊर्जा $K$ गुना कम हो जाती है।
ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_2 - U_1 = \frac{q^2}{2KC} - \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2}CV^2\left(\frac{1}{K} - 1\right)$ है।
चूंकि संधारित्र को सेल से अलग कर दिया गया है,इसलिए प्लेटों पर आवेश $q$ स्थिर (संरक्षित) रहता है। अतः,यह कथन कि आवेश संरक्षित नहीं है,गलत है।

(C) समांतर प्लेट संधारित्र की प्लेटों के बीच आकर्षण बल $F$ का सूत्र है:
$F = \frac{Q^2}{2 \varepsilon_0 A}$
जहाँ $Q$ संधारित्र पर आवेश है,$\varepsilon_0$ मुक्त स्थान की विद्युतशीलता है और $A$ प्रत्येक प्लेट का क्षेत्रफल है।
हम जानते हैं कि आवेश $Q$,धारिता $C$ और विभवांतर $V$ से इस प्रकार संबंधित है:
$Q = CV$
साथ ही,समांतर प्लेट संधारित्र की धारिता होती है:
$C = \frac{\varepsilon_0 A}{d} \implies \varepsilon_0 A = Cd$
इन व्यंजकों को बल के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{(CV)^2}{2(Cd)}$
$F = \frac{C^2 V^2}{2Cd}$
$F = \frac{CV^2}{2d}$

(C) गॉस के नियम के अनुसार,किसी बंद सतह से गुजरने वाला कुल विद्युत फ्लक्स $\phi = \oint E \cdot dA = \frac{q_{en}}{\varepsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया विद्युत क्षेत्र $E = Ar$ त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर है,इसलिए $a$ त्रिज्या वाले गोलाकार सतह पर विद्युत क्षेत्र $E = Aa$ होगा।
गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $S = 4\pi a^2$ है।
चूंकि गोले की सतह पर क्षेत्र एकसमान है और त्रिज्यीय दिशा में है,इसलिए फ्लक्स $\phi = E \times S = (Aa) \times (4\pi a^2) = 4\pi A a^3$ होगा।
गॉस के नियम के साथ तुलना करने पर: $4\pi A a^3 = \frac{q}{\varepsilon_0}$।
अतः,निहित आवेश $q = 4\pi \varepsilon_0 A a^3$ होगा।

(B) चूंकि दोनों धातु के तार समान विमाओं के हैं,इसलिए उनकी लंबाई और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान होगा। मान लीजिए वे क्रमशः $l$ और $A$ हैं।
पहले तार का प्रतिरोध $R_1 = \frac{l}{\sigma_1 A}$ ...$(i)$
दूसरे तार का प्रतिरोध $R_2 = \frac{l}{\sigma_2 A}$ ...$(ii)$
चूंकि वे श्रेणीक्रम में जुड़े हैं,इसलिए उनका प्रभावी प्रतिरोध $R_s = R_1 + R_2$ होगा।
$R_s = \frac{l}{\sigma_1 A} + \frac{l}{\sigma_2 A} = \frac{l}{A} \left( \frac{1}{\sigma_1} + \frac{1}{\sigma_2} \right)$ ...$(iii)$
यदि $\sigma_{eff}$ संयोजन की प्रभावी चालकता है,तो कुल लंबाई $2l$ होगी और कुल प्रतिरोध $R_s = \frac{2l}{\sigma_{eff} A}$ होगा ...$(iv)$
समीकरण $(iii)$ और $(iv)$ की तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{2l}{\sigma_{eff} A} = \frac{l}{A} \left( \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2} \right)$
$\frac{2}{\sigma_{eff}} = \frac{\sigma_1 + \sigma_2}{\sigma_1 \sigma_2}$
$\sigma_{eff} = \frac{2 \sigma_1 \sigma_2}{\sigma_1 + \sigma_2}$

(C) पोटेंशियोमीटर तार से प्रवाहित होने वाली धारा $I$ का मान प्राथमिक परिपथ के कुल विद्युत वाहक बल को कुल प्रतिरोध से विभाजित करने पर प्राप्त होता है:
$I = \frac{E_0}{r + r_1}$
पोटेंशियोमीटर तार की पूरी लंबाई $L$ पर विभवांतर $V$ है:
$V = I r = \frac{E_0 r}{r + r_1}$
तार पर विभव प्रवणता $k$ प्रति इकाई लंबाई विभवांतर है:
$k = \frac{V}{L} = \frac{E_0 r}{(r + r_1) L}$
चूंकि अज्ञात विद्युत वाहक बल $E$ को $l$ लंबाई पर संतुलित किया गया है,इसलिए $l$ लंबाई पर विभव पतन $E$ के बराबर होना चाहिए:
$E = k l = \left( \frac{E_0 r}{(r + r_1) L} \right) l = \frac{E_0 r l}{(r + r_1) L}$

(C) परिपथ चित्र में दर्शाया गया है।
सबसे पहले,एमीटर का प्रभावी प्रतिरोध $(R_A)$ ज्ञात करें। चूंकि कुंडली का प्रतिरोध $(480\,\Omega)$ और शंट का प्रतिरोध $(20\,\Omega)$ समांतर क्रम में हैं,इसलिए तुल्य प्रतिरोध होगा:
$R_A = \frac{480 \times 20}{480 + 20} = \frac{9600}{500} = 19.2\,\Omega$
चूंकि एमीटर $40.8\,\Omega$ के प्रतिरोध के साथ श्रेणीक्रम में जुड़ा है,इसलिए परिपथ का कुल प्रतिरोध $(R_{total})$:
$R_{total} = 40.8\,\Omega + 19.2\,\Omega = 60\,\Omega$
ओम के नियम $(I = V/R)$ का उपयोग करते हुए,परिपथ में प्रवाहित कुल धारा होगी:
$I = \frac{30\,V}{60\,\Omega} = 0.5\,A$
अतः,एमीटर में पाठ्यांक $0.5\,A$ होगा।

(A) आवश्यक विभव प्रवणता $k = 1\, mV/cm = 10^{-3}\, V / 10^{-2}\, m = 0.1\, V/m$.
विभवमापी तार की लंबाई $L = 4\, m$.
तार के सिरों के बीच विभवांतर $V_w = k \times L = 0.1 \times 4 = 0.4\, V$.
परिपथ में $E = 2\, V$ का संचायक,प्रतिरोध $R$ और $R_w = 8\, \Omega$ का विभवमापी तार श्रेणीक्रम में जुड़े हैं।
परिपथ में धारा $I = \frac{E}{R + R_w} = \frac{2}{R + 8}$ है।
तार के सिरों के बीच विभवांतर $V_w = I \times R_w$ है।
मान रखने पर: $0.4 = \left( \frac{2}{R + 8} \right) \times 8$.
$0.4 = \frac{16}{R + 8}$.
$R + 8 = \frac{16}{0.4} = 40$.
$R = 40 - 8 = 32\, \Omega$.

(A) मान लीजिए कि परिपथ से बहने वाली कुल धारा $I$ है। यह धारा $I$ वोल्टमीटर $A$ से होकर गुजरती है।
जंक्शन पर,धारा $I$ दो समानांतर शाखाओं में विभाजित हो जाती है जिनमें वोल्टमीटर $B$ और $C$ लगे हैं। मान लीजिए $B$ और $C$ से बहने वाली धाराएं क्रमशः $I_B$ और $I_C$ हैं।
चूंकि $B$ और $C$ समानांतर में हैं,उनके सिरों पर विभवांतर समान होगा:
$V_B = V_C \implies I_B \times (1.5R) = I_C \times (3R) \implies I_B = 2I_C$.
साथ ही,$I_B + I_C = I$. $I_B = 2I_C$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $3I_C = I$ प्राप्त होता है,इसलिए $I_C = I/3$ और $I_B = 2I/3$.
वोल्टमीटर के पाठ्यांक हैं:
$V_A = I \times R = IR$
$V_B = I_B \times 1.5R = (2I/3) \times (3R/2) = IR$
$V_C = I_C \times 3R = (I/3) \times 3R = IR$
अतः,$V_A = V_B = V_C$.

(B) एक धात्विक चालक के लिए, आवेश संरक्षण के सिद्धांत (स्थिर अवस्था प्रवाह) के कारण किसी भी अनुप्रस्थ काट से प्रवाहित होने वाली कुल विद्युत धारा $I$ समान होनी चाहिए।
चूंकि $I = nAev_d$ और $J = I/A = nev_d$, यदि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ बदलता है, तो धारा घनत्व $J$ और अनुगमन वेग $v_d$ को भी बदलना होगा ताकि $I$ स्थिर रहे।
विद्युत क्षेत्र $E = J/\sigma$ भी अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल के साथ बदलता है।
इसलिए, विद्युत धारा $I$ ही एकमात्र ऐसी राशि है जो चालक के अनुदिश स्थिर रहती है।

(C) दी गई स्थिति चित्र में दिखाई गई है। तार तीन भागों से बना है: $X$-अक्ष के समानांतर दो अर्ध-अनंत सीधे तार और $Y-Z$ तल में एक अर्धवृत्ताकार चाप।
$1$. दो अर्ध-अनंत सीधे तारों ($1$ और $3$) के लिए: अर्ध-अनंत तार के कारण $O$ पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 \pi R}$ होता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,दोनों तार बिंदु $O$ पर $-\hat{k}$ दिशा में चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करते हैं। अतः,$\vec{B}_{1} = \vec{B}_{3} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k}$.
$2$. अर्धवृत्ताकार चाप $(2)$ के लिए: $R$ त्रिज्या के अर्धवृत्ताकार चाप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{4 R}$ होता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करते हुए,क्षेत्र $-\hat{i}$ दिशा में निर्देशित है। अतः,$\vec{B}_{2} = -\frac{\mu_{0} I}{4 R} \hat{i}$.
$3$. बिंदु $O$ पर कुल चुंबकीय क्षेत्र सदिश योग है: $\vec{B} = \vec{B}_{1} + \vec{B}_{2} + \vec{B}_{3}$.
मान रखने पर: $\vec{B} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k} - \frac{\mu_{0} I}{4 R} \hat{i} - \frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} \hat{k}$.
$-\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R}$ को कॉमन लेने पर: $\vec{B} = -\frac{\mu_{0} I}{4 \pi R} (\pi \hat{i} + 2 \hat{k})$.

(D) मान लीजिए कि वर्गाकार फ्रेम के केंद्र की तार से दूरी $x$ है। फ्रेम की बाईं भुजा तार से $(x - a/2)$ दूरी पर है और दाईं भुजा $(x + a/2)$ दूरी पर है।
लंबे तार के कारण $r$ दूरी पर चुंबकीय क्षेत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$ होता है।
बाईं भुजा (लंबाई $a$) में प्रेरित गतिक $emf$ $\varepsilon_1 = B_1 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x - a/2)} a V$ है।
दाईं भुजा (लंबाई $a$) में प्रेरित गतिक $emf$ $\varepsilon_2 = B_2 a V = \frac{\mu_0 I}{2\pi (x + a/2)} a V$ है।
फ्रेम में प्रेरित कुल $emf$ $\varepsilon = \varepsilon_1 - \varepsilon_2$ है।
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{1}{x - a/2} - \frac{1}{x + a/2} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{2\pi} \left[ \frac{2}{2x - a} - \frac{2}{2x + a} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{(2x + a) - (2x - a)}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
$\varepsilon = \frac{\mu_0 I a V}{\pi} \left[ \frac{2a}{(2x - a)(2x + a)} \right]$
अतः,$\varepsilon \propto \frac{1}{(2x - a)(2x + a)}$.

(A) समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेशित कण के लिए वृत्ताकार कक्षा की त्रिज्या $R = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $K$ गतिज ऊर्जा है।
गतिज ऊर्जा $K$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $K = \frac{q^2 B^2 R^2}{2m}$ प्राप्त होता है।
प्रोटॉन $(p)$ और अल्फा कण $(\alpha)$ के लिए, चूंकि $B$ और $R$ समान हैं, उनकी गतिज ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = \left(\frac{q_{\alpha}}{q_{p}}\right)^2 \left(\frac{m_{p}}{m_{\alpha}}\right)$.
चूंकि $q_{\alpha} = 2q_{p}$ और $m_{\alpha} = 4m_{p}$ दिया गया है, हमारे पास है:
$\frac{K_{\alpha}}{K_{p}} = (2)^2 \times \left(\frac{1}{4}\right) = 4 \times \frac{1}{4} = 1$.
अतः, $K_{\alpha} = K_{p} = 1 \, MeV$।

(D) $e$ आवेश वाला एक इलेक्ट्रॉन जो $n$ आवृत्ति (प्रति सेकंड चक्कर) के साथ वृत्ताकार कक्षा में घूम रहा है,उसके द्वारा उत्पन्न धारा $I = q \times f = e \times n$ द्वारा दी जाती है।
$r$ त्रिज्या वाले वृत्ताकार धारावाही लूप के केंद्र पर चुंबकीय क्षेत्र $B$ का सूत्र $B = \frac{\mu_0 I}{2r}$ होता है।
धारा $I = ne$ का मान चुंबकीय क्षेत्र के सूत्र में रखने पर:
$B = \frac{\mu_0 (ne)}{2r} = \frac{\mu_0 ne}{2r}$.

(C) चुंबकीय क्षेत्र में धारावाही कुंडली पर लगने वाला टॉर्क $\tau = N I A B \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\theta$ कुंडली के तल के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र की दिशा के बीच का कोण है।
दिया गया है: $N = 50$,$I = 2\, A$,$B = 0.2\, Wb/m^2$,और क्षेत्रफल $A = 0.12\, m \times 0.1\, m = 0.012\, m^2$.
कुंडली का तल चुंबकीय क्षेत्र के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर है,इसलिए कुंडली के अभिलंब और चुंबकीय क्षेत्र के बीच का कोण $\theta = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$ होगा।
मान रखने पर: $\tau = 50 \times 2 \times 0.012 \times 0.2 \times \sin 60^{\circ}$.
$\tau = 100 \times 0.0024 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 0.24 \times 0.866 = 0.2078\, Nm \approx 0.20\, Nm$.

(A) चूंकि प्रकाश का पुंज समकोण प्रिज्म $ABC$ के फलक $AB$ पर लंबवत आपतित होता है,इसलिए फलक $AB$ पर कोई अपवर्तन नहीं होता है। प्रकाश सीधे गुजरता है और फलक $AC$ पर $i = 45^{\circ}$ के आपतन कोण पर टकराता है।
फलक $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन होने के लिए,शर्त $i > i_c$ है,जहाँ $i_c$ क्रांतिक कोण है।
हम जानते हैं कि $\sin i_c = \frac{1}{\mu}$। इसलिए,पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए शर्त $\sin i > \frac{1}{\mu}$ या $\mu > \frac{1}{\sin i}$ है।
यहाँ $i = 45^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0.707$। अतः,शर्त $\mu > \sqrt{2} \approx 1.414$ हो जाती है।
अपवर्तनांकों की तुलना करने पर:
लाल के लिए: $\mu_{\text{red}} = 1.39 < 1.414$।
हरे के लिए: $\mu_{\text{green}} = 1.44 > 1.414$।
नीले के लिए: $\mu_{\text{blue}} = 1.47 > 1.414$।
चूंकि $\mu_{\text{red}} < 1.414$ है,इसलिए लाल प्रकाश फलक $AC$ से अपवर्तित होकर बाहर निकल जाएगा। चूंकि $\mu_{\text{green}}$ और $\mu_{\text{blue}}$ दोनों $1.414$ से अधिक हैं,इसलिए हरा और नीला दोनों प्रकाश फलक $AC$ पर पूर्ण आंतरिक परावर्तन का अनुभव करेंगे।
अतः,प्रिज्म लाल रंग को हरे और नीले रंगों से अलग कर देगा।

(C) लेंस मेकर सूत्र का उपयोग करते हुए: $\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
दो समान समतल-उत्तल लेंसों ($f_1$ और $f_2$) के लिए:
$\frac{1}{f_1} = (1.5 - 1) \left( \frac{1}{20} - \frac{1}{\infty} \right) = 0.5 \times \frac{1}{20} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
इसी प्रकार,$\frac{1}{f_2} = \frac{1}{40} \, cm^{-1}$.
बीच में बना तेल का लेंस एक अवतल लेंस है जिसकी वक्रता त्रिज्या $R_1 = -20 \, cm$ और $R_2 = 20 \, cm$ है।
तेल के लेंस $(f_3)$ के लिए:
$\frac{1}{f_3} = (1.7 - 1) \left( \frac{1}{-20} - \frac{1}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{2}{20} \right) = 0.7 \times \left( -\frac{1}{10} \right) = -\frac{0.7}{10} = -\frac{7}{100} \, cm^{-1}$.
संयोजन की फोकस दूरी $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2} + \frac{1}{f_3}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{1}{f} = \frac{1}{40} + \frac{1}{40} - \frac{7}{100} = \frac{2}{40} - \frac{7}{100} = \frac{1}{20} - \frac{7}{100}$.
$\frac{1}{f} = \frac{5 - 7}{100} = -\frac{2}{100} = -\frac{1}{50}$.
अतः,$f = -50 \, cm$.

(B) प्रिज्म के अपवर्तक कोण $A$ और न्यूनतम विचलन कोण $\delta$ के पदों में अपवर्तनांक $\mu$ का सूत्र है:
$\mu = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
यहाँ $\mu = \cot(A/2) = \frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)}$ दिया गया है,अतः:
$\frac{\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin((A+\delta)/2)}{\sin(A/2)}$
दोनों पक्षों से $\sin(A/2)$ को हटाने पर:
$\cos(A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\cos(\theta) = \sin(90^o - \theta)$ का उपयोग करने पर:
$\sin(90^o - A/2) = \sin((A+\delta)/2)$
कोणों की तुलना करने पर:
$90^o - A/2 = (A+\delta)/2$
$180^o - A = A + \delta$
$\delta = 180^o - 2A$

(D) आइंस्टीन के प्रकाश-विद्युत समीकरण के अनुसार,उत्सर्जित इलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ है,जहाँ $\lambda$ आपतित प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है और $\phi_0$ कार्य फलन है।
दिया गया है: $\lambda = 500\, nm$,$hc = 1240\, eV\, nm$,और $\phi_0 = 2.28\, eV$.
$K_{\max} = \frac{1240\, eV\, nm}{500\, nm} - 2.28\, eV = 2.48\, eV - 2.28\, eV = 0.2\, eV$.
डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda_e$ और गतिज ऊर्जा $K$ के बीच संबंध $\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2mK}}$ है। चूँकि $K \le K_{\max}$,न्यूनतम तरंगदैर्ध्य अधिकतम गतिज ऊर्जा के अनुरूप होती है: $\lambda_{\min} = \frac{h}{\sqrt{2mK_{\max}}}$.
$h = 6.6 \times 10^{-34}\, J\, s$,$m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$,और $K_{\max} = 0.2 \times 1.6 \times 10^{-19}\, J$ का उपयोग करने पर:
$\lambda_{\min} = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{\sqrt{2 \times 9.1 \times 10^{-31} \times 0.32 \times 10^{-19}}} \approx 2.8 \times 10^{-9}\, m$.
चूँकि $K \le K_{\max}$,इसलिए $\lambda_e \ge \lambda_{\min}$। अतः,$\lambda_e \ge 2.8 \times 10^{-9}\, m$।

(B) मान लीजिए कि सामग्री की सतह का कार्य फलन $\phi_{0}$ है। आइंस्टीन के फोटोइलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,पहले मामले में उत्सर्जित फोटोइलेक्ट्रॉन की अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max 1} = \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0}$ है।
दूसरे मामले में,तरंगदैर्ध्य $\lambda/2$ है,इसलिए अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{\max 2} = \frac{hc}{\lambda/2} - \phi_{0} = \frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0}$ है।
दिया गया है कि $K_{\max 2} = 3 K_{\max 1}$,इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = 3 \left( \frac{hc}{\lambda} - \phi_{0} \right)$.
समीकरण का विस्तार करने पर: $\frac{2hc}{\lambda} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - 3\phi_{0}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $3\phi_{0} - \phi_{0} = \frac{3hc}{\lambda} - \frac{2hc}{\lambda}$.
$2\phi_{0} = \frac{hc}{\lambda}$.
अतः,कार्य फलन $\phi_{0} = \frac{hc}{2\lambda}$ है।

(B) आइंस्टीन के फोटो-इलेक्ट्रिक समीकरण के अनुसार,अधिकतम गतिज ऊर्जा $K_{max} = eV_s = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$,जहाँ $\phi_0$ कार्य फलन है।
स्थिति $(i)$: $\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए,निरोधी विभव $3V_0$ है:
$3eV_0 = \frac{hc}{\lambda} - \phi_0$ ......... $(1)$
स्थिति $(ii)$: $2\lambda$ तरंगदैर्ध्य के लिए,निरोधी विभव $V_0$ है:
$eV_0 = \frac{hc}{2\lambda} - \phi_0$ ......... $(2)$
समीकरण $(2)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$3eV_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$ ......... $(3)$
समीकरण $(1)$ और $(3)$ की तुलना करने पर:
$\frac{hc}{\lambda} - \phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - 3\phi_0$
$2\phi_0 = \frac{3hc}{2\lambda} - \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda}$
$\phi_0 = \frac{hc}{4\lambda}$
चूंकि देहली तरंगदैर्ध्य $\lambda_0 = \frac{hc}{\phi_0}$ है,$\phi_0$ का मान रखने पर:
$\lambda_0 = \frac{hc}{hc / 4\lambda} = 4\lambda$.

(D) डी-ब्रोग्ली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ कण के संवेग $p$ से समीकरण $\lambda = \frac{h}{p}$ द्वारा संबंधित है, जहाँ $h$ प्लांक नियतांक है।
इस समीकरण को $p \lambda = h$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूँकि $h$ एक नियतांक है, इसलिए $p$ और $\lambda$ का गुणनफल स्थिर रहता है $(p \lambda = \text{constant})$।
यह संबंध $p-\lambda$ तल में एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है, जहाँ $\lambda$ के बढ़ने पर $p$ घटता है।
अतः, चित्र $D$ में दिखाया गया ग्राफ इस व्युत्क्रमानुपाती संबंध को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) जैसे ही इलेक्ट्रॉन $X$ से $Y$ की ओर गति करता है,यह एक चुंबकीय क्षेत्र बनाता है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार,चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं कुंडली $abcd$ से कुंडली के तल के लंबवत (पृष्ठ के अंदर की ओर) गुजरती हैं।
जैसे ही इलेक्ट्रॉन कुंडली के करीब आता है,कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स बढ़ता है। लेंज के नियम के अनुसार,प्रेरित धारा इस वृद्धि का विरोध करेगी और विपरीत दिशा (पृष्ठ के बाहर की ओर) में चुंबकीय क्षेत्र बनाकर,जो वामावर्त दिशा $(adcb)$ के अनुरूप है।
जैसे ही इलेक्ट्रॉन कुंडली से दूर जाता है,कुंडली से जुड़ा चुंबकीय फ्लक्स घटता है। प्रेरित धारा अब इस कमी का विरोध करेगी और मूल क्षेत्र की दिशा (पृष्ठ के अंदर की ओर) में चुंबकीय क्षेत्र बनाकर,जो दक्षिणावर्त दिशा $(abcd)$ के अनुरूप है।
इसलिए,जैसे ही इलेक्ट्रॉन कुंडली से आगे बढ़ेगा,धारा अपनी दिशा बदल लेगी।

(C) श्रेणी $R-C$ परिपथ में धारा $i$ इस प्रकार दी जाती है:
$i = \frac{V_0}{Z} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + X_C^2}} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}}$
संधारित्र के सिरों पर वोल्टेज $V = i X_C = i \cdot \frac{1}{\omega C}$ है।
$i$ का व्यंजक रखने पर:
$V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 + (1/\omega C)^2}} \cdot \frac{1}{\omega C} = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$
जब संधारित्र को अभ्रक (परावैद्युत स्थिरांक $K > 1$) से भरा जाता है,तो इसकी धारिता बढ़ जाती है,इसलिए $C_b > C_a$।
$1$. धारा के लिए: जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,$X_C = 1/\omega C$ घटता है,इसलिए प्रतिबाधा $Z = \sqrt{R^2 + X_C^2}$ घटती है। अतः,$i_b > i_a$।
$2$. संधारित्र पर वोल्टेज के लिए: $V = \frac{V_0}{\sqrt{R^2 \omega^2 C^2 + 1}}$ से,जैसे-जैसे $C$ बढ़ता है,हर (denominator) बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि $V$ घटता है। इसलिए,$V_b < V_a$,या $V_a > V_b$।

(A) स्थिति $I$: शुद्ध प्रतिरोधक परिपथ द्वारा उपभोग की गई शक्ति $P = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{R}$,इसलिए $P = \frac{V_{\text{rms}}^2}{R}$,जिसका अर्थ है $V_{\text{rms}}^2 = P R$ ... $(i)$.
स्थिति $II$: जब एक प्रेरकत्व $L$ को प्रतिरोध $R$ के साथ श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो परिपथ एक $LR$ परिपथ बन जाता है जिसकी प्रतिबाधा $Z$ है।
$AC$ परिपथ में उपभोग की गई शक्ति $P' = V_{\text{rms}} I_{\text{rms}} \cos \phi$ द्वारा दी जाती है,जहां $\cos \phi = \frac{R}{Z}$ शक्ति गुणांक है।
यहाँ,$I_{\text{rms}} = \frac{V_{\text{rms}}}{Z}$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P' = V_{\text{rms}} \times \left( \frac{V_{\text{rms}}}{Z} \right) \times \left( \frac{R}{Z} \right) = V_{\text{rms}}^2 \frac{R}{Z^2}$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए,$V_{\text{rms}}^2 = P R$,इसलिए $P' = (P R) \frac{R}{Z^2} = P \left( \frac{R}{Z} \right)^2$।

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E = pc$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ फोटॉन का संवेग है और $C$ प्रकाश की गति है।
इसलिए,सतह पर आपतित विकिरण का प्रारंभिक संवेग $p_i = E/C$ है।
चूंकि सतह पूर्णतः परावर्तक है,विकिरण समान संवेग परिमाण के साथ लेकिन विपरीत दिशा में परावर्तित होता है।
अतः,विकिरण का अंतिम संवेग $p_f = -E/C$ है।
सतह को स्थानांतरित संवेग विकिरण के संवेग में परिवर्तन है,जो $\Delta p = p_i - p_f$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta p = E/C - (-E/C) = E/C + E/C = 2E/C$.

(B) फोटॉन की ऊर्जा $E$ और उसकी तरंगदैर्ध्य $\lambda$ के बीच का संबंध $\lambda = \frac{hc}{E}$ है।
यहाँ,$E = 15\, keV = 15 \times 10^3\, eV$ दिया गया है।
$hc$ का मान लगभग $1240\, eV\, nm$ होता है।
इन मानों को रखने पर,$\lambda = \frac{1240\, eV\, nm}{15 \times 10^3\, eV} \approx 0.083\, nm$ प्राप्त होता है।
$X$-किरणों की तरंगदैर्ध्य सीमा आमतौर पर $1\, nm$ से $10^{-3}\, nm$ तक होती है।
चूंकि $0.083\, nm$ इस सीमा के भीतर आता है,इसलिए ये विद्युतचुंबकीय तरंगें $X$-किरण स्पेक्ट्रम का हिस्सा हैं।

(A) दिया गया है:
स्लिट्स के बीच की दूरी $d = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
पर्दे की दूरी $D = 1\, m$
तरंगदैर्ध्य $\lambda = 500\, nm = 500 \times 10^{-9}\, m$
एकल-स्लिट विवर्तन पैटर्न में केंद्रीय उच्चिष्ठ की चौड़ाई $w = \frac{2\lambda D}{a}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $a$ स्लिट की चौड़ाई है।
द्वि-स्लिट व्यतिकरण पैटर्न में एक फ्रिंज की चौड़ाई $\beta = \frac{\lambda D}{d}$ है।
प्रश्न के अनुसार,एकल-स्लिट पैटर्न के केंद्रीय उच्चिष्ठ में द्वि-स्लिट पैटर्न के $10$ उच्चिष्ठ समाहित हैं।
अतः,$\frac{2\lambda D}{a} = 10 \times \frac{\lambda D}{d}$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{2}{a} = \frac{10}{d}$.
$a = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$.
$d = 1\, mm$ रखने पर:
$a = \frac{1\, mm}{5} = 0.2\, mm$.

(B) प्रकाश की तीव्रता $I$,स्लिट की चौड़ाई $W$ के सीधे आनुपातिक होती है,और तरंग के आयाम $A$ के वर्ग के भी आनुपातिक होती है।
$\therefore \frac{I_1}{I_2} = \frac{W_1}{W_2} = \frac{A_1^2}{A_2^2}$
दी गई चौड़ाई का अनुपात $\frac{W_1}{W_2} = \frac{1}{25}$ है,इसलिए:
$\frac{A_1^2}{A_2^2} = \frac{1}{25} \implies \frac{A_1}{A_2} = \sqrt{\frac{1}{25}} = \frac{1}{5}$
अधिकतम तीव्रता और न्यूनतम तीव्रता का अनुपात इस प्रकार है:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2} = \left( \frac{\frac{A_1}{A_2} + 1}{\frac{A_1}{A_2} - 1} \right)^2$
$\frac{A_1}{A_2} = \frac{1}{5}$ का मान रखने पर:
$\frac{I_{max}}{I_{min}} = \left( \frac{\frac{1}{5} + 1}{\frac{1}{5} - 1} \right)^2 = \left( \frac{\frac{6}{5}}{-\frac{4}{5}} \right)^2 = \left( -\frac{6}{4} \right)^2 = \left( -\frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4}$

(A) एकल स्लिट विवर्तन में,केंद्रीय उच्चिष्ठ के दोनों ओर प्रथम निम्निष्ठ के लिए शर्त $a \sin \theta = \pm \lambda$ द्वारा दी जाती है।
छोटे कोणों के लिए,$\sin \theta \approx \theta = \frac{\lambda}{a}$ होता है।
पर्दे के केंद्र से प्रथम निम्निष्ठ की दूरी $y = D \tan \theta \approx D \theta = \frac{D \lambda}{a}$ है।
केंद्रीय उच्चिष्ठ दोनों ओर के प्रथम निम्निष्ठ के बीच स्थित होता है,इसलिए इसकी कुल चौड़ाई $2y = \frac{2D \lambda}{a}$ होगी।

(D) यह स्थिति चित्र में दिखाई गई है। चित्र में,$A$ और $B$ चौड़ाई $a$ की स्लिट $AB$ के किनारों को दर्शाते हैं और $C$ स्लिट का मध्य बिंदु है। $P$ पर पहले निम्निष्ठ के लिए,शर्त इस प्रकार है:
$a \sin \theta = \lambda$ ...... $(i)$
जहाँ $\lambda$ प्रकाश की तरंगदैर्ध्य है।
किनारे $A$ और मध्य बिंदु $C$ से आने वाली तरंगिकाओं के बीच का पथांतर $\Delta x$ है:
$\Delta x = \frac{a}{2} \sin \theta = \frac{1}{2}(a \sin \theta) = \frac{\lambda}{2}$ (समीकरण $(i)$ का उपयोग करते हुए)।
संगत कलांतर $\Delta \phi$ इस प्रकार है:
$\Delta \phi = \frac{2 \pi}{\lambda} \Delta x = \frac{2 \pi}{\lambda} \times \frac{\lambda}{2} = \pi \text{ rad}$.

(A) लायमन श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 2, 3, 4, \dots$ है।
लायमन श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए,हम $n = 2$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L} = \frac{4}{3R}$।
बामर श्रेणी में स्पेक्ट्रल रेखा की तरंगदैर्ध्य $\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3, 4, 5, \dots$ है।
बामर श्रेणी में सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य के लिए,हम $n = 3$ लेते हैं:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R\left(\frac{9-4}{36}\right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B} = \frac{36}{5R}$।
लायमन श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य और बामर श्रेणी की सबसे लंबी तरंगदैर्ध्य का अनुपात है:
$\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{5}{27}$।

(B) बोर के सिद्धांत के अनुसार,हाइड्रोजन जैसे परमाणु की $n^{th}$ कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v_n = v_0 \times \frac{Z}{n}$
जहाँ $v_0 = 2.18 \times 10^6 \; m/s$ हाइड्रोजन परमाणु की पहली कक्षा में इलेक्ट्रॉन का वेग है।
$He^{+}$ के लिए,$Z = 2$ और $3^{rd}$ कक्षा के लिए,$n = 3$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v_3 = (2.18 \times 10^6) \times \frac{2}{3} \; m/s$
$v_3 = 2.18 \times 10^6 \times 0.666... \; m/s$
$v_3 \approx 1.453 \times 10^6 \; m/s \approx 1.46 \times 10^6 \; m/s$.

(D) यदि $\vec{p}_{Th}$ और $\vec{p}_{He}$ क्रमशः थोरियम और हीलियम नाभिकों के संवेग हैं,तो रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार:
$0 = \vec{p}_{Th} + \vec{p}_{He}$ या $\vec{p}_{Th} = -\vec{p}_{He}$।
ऋणात्मक चिह्न दर्शाता है कि दोनों विपरीत दिशाओं में गति कर रहे हैं। लेकिन परिमाण में,$p_{Th} = p_{He}$।
यदि $m_{Th}$ और $m_{He}$ क्रमशः थोरियम और हीलियम नाभिकों के द्रव्यमान हैं,तो थोरियम नाभिक की गतिज ऊर्जा $K_{Th} = \frac{p_{Th}^2}{2m_{Th}}$ और हीलियम नाभिक की गतिज ऊर्जा $K_{He} = \frac{p_{He}^2}{2m_{He}}$ है।
अतः,$\frac{K_{Th}}{K_{He}} = \left(\frac{p_{Th}}{p_{He}}\right)^2 \left(\frac{m_{He}}{m_{Th}}\right)$।
चूंकि $p_{Th} = p_{He}$ और $m_{He} < m_{Th}$,इसलिए $K_{Th} < K_{He}$ या $K_{He} > K_{Th}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,हीलियम नाभिक की गतिज ऊर्जा थोरियम नाभिक से अधिक होती है।

(B) नाभिक की त्रिज्या का सूत्र $R = R_0 A^{1/3}$ है,जहाँ $A$ द्रव्यमान संख्या है और $R_0$ एक स्थिरांक है।
$^{27}_{13}Al$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान संख्या $A_{Al} = 27$ है। अतः,$R_{Al} = R_0 (27)^{1/3} = 3 R_0$.
$^{125}_{53}Te$ नाभिक के लिए,द्रव्यमान संख्या $A_{Te} = 125$ है। अतः,$R_{Te} = R_0 (125)^{1/3} = 5 R_0$.
दोनों त्रिज्याओं का अनुपात लेने पर:
$\frac{R_{Te}}{R_{Al}} = \frac{5 R_0}{3 R_0} = \frac{5}{3}$.
इसलिए,$R_{Te} = \frac{5}{3} R_{Al}$.

(A) यहाँ, इनपुट सिग्नल $V_{i} = 2 \cos(15t + \frac{\pi}{3})$ और वोल्टेज गेन $A_{v} = 150$ है।
वोल्टेज गेन को $A_{v} = \frac{V_{o}}{V_{i}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, इसलिए आउटपुट सिग्नल का परिमाण $V_{o} = A_{v} \times V_{i}$ होगा।
एक कॉमन एमिटर $(CE)$ एम्पलीफायर इनपुट और आउटपुट सिग्नल के बीच $\pi$ $(180^{\circ})$ का फेज शिफ्ट (कलांतर) उत्पन्न करता है।
इसलिए, आउटपुट सिग्नल $V_{o} = 150 \times 2 \cos(15t + \frac{\pi}{3} + \pi)$ होगा।
फेज को सरल करने पर, $\frac{\pi}{3} + \pi = \frac{4\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
अतः, $V_{o} = 300 \cos(15t + \frac{4\pi}{3}) \text{ V}$ होगा।

(B) प्रतिरोध $R$ के सिरों पर विभवांतर,परिपथ के कुल $e.m.f.$ में से डायोड के अवरोध विभव को घटाकर प्राप्त किया जाता है:
$V_R = E - V_{\text{barrier}} = 3.5 \,V - 0.5 \,V = 3.0 \,V$
ओम के नियम के अनुसार,परिपथ में धारा $I$ है:
$I = \frac{V_R}{R} = \frac{3.0 \,V}{100 \,\Omega} = 0.03 \,A$
धारा को मिलीएम्पियर $(mA)$ में बदलने पर:
$I = 0.03 \,A \times 1000 \,mA/A = 30 \,mA$
अतः,परिपथ में धारा $30 \,mA$ है।

(A) सामान्य समायोजन में,अभिदृश्यक लेंस और नेत्रिका के बीच की दूरी $f_0 + f_e$ होती है।
चूंकि $L$ लंबाई की रेखा अभिदृश्यक लेंस पर है,यह नेत्रिका के लिए एक वस्तु के रूप में कार्य करती है।
नेत्रिका से इस वस्तु की दूरी $u = -(f_0 + f_e)$ है।
नेत्रिका का आवर्धन $m_e = f_e / (f_e + u)$ द्वारा दिया जाता है।
$u$ का मान रखने पर:
$m_e = f_e / (f_e - (f_0 + f_e)) = f_e / (-f_0) = -f_e / f_0$.
आवर्धन का परिमाण $|m_e| = l / L = f_e / f_0$ है।
चूंकि दूरबीन का आवर्धन $M = f_0 / f_e$ होता है,इसलिए हमें $M = L / l$ प्राप्त होता है।

(C) $NOR$ गेट के इनपुट $\bar{A}$ और $\bar{B}$ हैं क्योंकि वे $NOT$ गेट से होकर गुजरते हैं। $NOR$ गेट का आउटपुट $Y$ बूलियन व्यंजक द्वारा दिया जाता है: $Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$.
डी मॉर्गन के प्रमेय के अनुसार,$\overline{\bar{A} + \bar{B}} = \overline{\bar{A}} \cdot \overline{\bar{B}} = A \cdot B$.
यह $AND$ गेट के लिए बूलियन व्यंजक है।
सत्यता सारणी:

$A$	$B$	$\bar{A}$	$\bar{B}$	$\bar{A} + \bar{B}$	$Y = \overline{\bar{A} + \bar{B}}$
$0$	$0$	$1$	$1$	$1$	$0$
$0$	$1$	$1$	$0$	$1$	$0$
$1$	$0$	$0$	$1$	$1$	$0$
$1$	$1$	$0$	$0$	$0$	$1$

अतः,यह संयोजन $AND$ गेट के समतुल्य है।

(A) यह परिपथ एक $p-n$ जंक्शन डायोड और एक लोड प्रतिरोध $R_L$ के श्रेणीक्रम संयोजन से बना है।
जब इनपुट वोल्टेज $+5\, V$ होता है,तो डायोड अग्र-अभिनत (forward-biased) होता है। एक आदर्श डायोड मानते हुए,यह एक शॉर्ट सर्किट की तरह कार्य करता है,और $+5\, V$ का पूरा इनपुट वोल्टेज लोड प्रतिरोध $R_L$ पर प्राप्त होता है।
जब इनपुट वोल्टेज $-5\, V$ होता है,तो डायोड पश्च-अभिनत (reverse-biased) होता है। यह एक ओपन सर्किट की तरह कार्य करता है,इसलिए प्रतिरोध $R_L$ से कोई धारा प्रवाहित नहीं होती है। परिणामस्वरूप,$R_L$ पर आउटपुट वोल्टेज $0\, V$ होता है।
अतः,आउटपुट सिग्नल एक वर्गाकार तरंग है जो $+5\, V$ और $0\, V$ के बीच बदलती है।