AIPMT 2008 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(A) ઉર્જા ઘનતાનું પારિમાણિક સૂત્ર: $\text{ઉર્જા ઘનતા} = \frac{\text{ઉર્જા}}{\text{કદ}} = \frac{[ML^2T^{-2}]}{[L^3]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
યંગ મોડ્યુલસ $(Y)$ ની વ્યાખ્યા: $Y = \frac{\text{સ્ટ્રેસ}}{\text{સ્ટ્રેન}} = \frac{\text{બળ/ક્ષેત્રફળ}}{\text{લંબાઈમાં ફેરફાર/મૂળ લંબાઈ}}$.
સ્ટ્રેન પરિમાણરહિત હોવાથી,યંગ મોડ્યુલસના પરિમાણો સ્ટ્રેસ જેટલા જ હોય છે: $[Y] = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^2]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
વક્રીભવનાંક અને ડાયઇલેક્ટ્રિક અચળાંક પરિમાણરહિત રાશિઓ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના પરિમાણો $[MT^{-2}A^{-1}]$ છે.
આમ,ઉર્જા ઘનતા અને યંગ મોડ્યુલસના પરિમાણો સમાન છે.

(C) ત્રિજ્યામાં પ્રતિશત ત્રુટિ $\frac{\Delta r}{r} \times 100 = 2\%$ આપેલ છે.
ગોળાના કદનું સૂત્ર $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
ઘાત માટે ત્રુટિના પ્રસરણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,કદમાં સાપેક્ષ ત્રુટિ $\frac{\Delta V}{V} = 3 \times \frac{\Delta r}{r}$ થાય.
પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times (\frac{\Delta r}{r} \times 100)$.
આપેલ કિંમત મૂકતા:
$\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 3 \times 2\% = 6\%$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$,અંતિમ વેગ $v = 20 \, m/s$,અને અંતર $s = 135 \, m$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(20)^2 - (10)^2 = 2 \times a \times 135$
$400 - 100 = 270a$
$300 = 270a$
$a = \frac{300}{270} = \frac{10}{9} \, m/s^2$.
હવે,$t$ શોધવા માટે $v = u + at$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$20 = 10 + (\frac{10}{9})t$
$10 = (\frac{10}{9})t$
$t = 9 \, s$.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કણ દ્વારા કાપેલું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$,પ્રવેગ $a = \frac{4}{3} \ m/s^2$,અને સમય $n = 3 \ s$ આપેલ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$S_3 = 0 + \frac{4/3}{2}(2(3) - 1)$
$S_3 = \frac{4}{6}(6 - 1)$
$S_3 = \frac{2}{3}(5)$
$S_3 = \frac{10}{3} \ m$.
તેથી,ત્રીજી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $\frac{10}{3} \ m$ છે.

(A) કણનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{u} = v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j}$ છે.
જ્યારે કણ જમીન પર પાછો આવે ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ $\vec{v}_f = v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j}$ છે.
પ્રારંભિક વેગમાન $\vec{p}_i = m(v \cos \theta \hat{i} + v \sin \theta \hat{j})$ છે.
અંતિમ વેગમાન $\vec{p}_f = m(v \cos \theta \hat{i} - v \sin \theta \hat{j})$ છે.
વેગમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = -2mv \sin \theta \hat{j}$ છે.
વેગમાનમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{p}| = 2mv \sin \theta$ છે.
અહીં $\theta = 45^\circ$ આપેલ હોવાથી,$\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,$|\Delta \vec{p}| = 2mv \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}mv$.

(D) કણનો તત્કાલીન વેગ અંતર-સમયના આલેખના ઢાળ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે $v = \frac{ds}{dt}$ છે.
અંતર-સમયના આલેખમાં,ઢાળ એ કોઈપણ બિંદુએ વક્રના ચઢાણ (steepness) દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
આકૃતિનું અવલોકન કરતા,બિંદુ $C$ પર વક્ર સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવે છે,જેનો અર્થ છે કે આ બિંદુએ ઢાળ મહત્તમ છે.
તેથી,બિંદુ $C$ ની આસપાસ તત્કાલીન વેગ મહત્તમ છે.

(C) કન્વેયર બેલ્ટની ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ $F$ એ વેગમાનમાં થતા ફેરફારના દર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ અચળ હોવાથી,બળ $F = \frac{dp}{dt} = \frac{d}{dt}(mv)$ દ્વારા મળે છે.
ગુણાકારના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$F = v \frac{dm}{dt} + m \frac{dv}{dt}$.
અહીં વેગ $v$ અચળ હોવાથી,$\frac{dv}{dt} = 0$ થાય.
આપેલ છે કે દળ જમા થવાનો દર $\frac{dm}{dt} = M \ kg/s$ છે,તેથી આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$F = v \cdot M + m \cdot 0 = Mv$.
તેથી,કન્વેયર બેલ્ટને $v \ m/s$ ના અચળ વેગથી ગતિશીલ રાખવા માટે જરૂરી બળ $Mv \ N$ છે.

(C) પરિણામી બળ માત્ર $y-$ દિશામાં જ રહે તે માટે,$x-$ દિશામાં લાગતું કુલ બળ શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે વધારાનું બળ $\vec{F}_{add} = F_x \hat{i} + F_y \hat{j}$ છે.
આપેલ બળોના $x-$ ઘટકો નીચે મુજબ છે:
$F_{1x} = 1 \cos(60^{\circ}) = 1 \times 0.5 = 0.5 \ N$
$F_{2x} = 2 \cos(60^{\circ}) = 2 \times 0.5 = 1.0 \ N$
$F_{4x} = -4 \sin(30^{\circ}) = -4 \times 0.5 = -2.0 \ N$
$x-$ ઘટકોનો સરવાળો = $0.5 + 1.0 - 2.0 = -0.5 \ N$.
કુલ $x-$ ઘટક શૂન્ય કરવા માટે,આપણે વધારાના બળ $F_x$ ની જરૂર છે જેથી $-0.5 + F_x = 0$ થાય,જે $F_x = 0.5 \ N$ આપે છે.
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ વધારાના બળનું મૂલ્ય $0.5 \ N$ છે.

(C) ટેકરીની ટોચ પર, સવાર પર લાગતા બળો નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $(mg)$ અને ઉપરની તરફ લંબ પ્રતિક્રિયા બળ $(N)$ છે.
વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કેન્દ્ર તરફના ચોખ્ખા બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે: $mg - N = \frac{mv^2}{R}$.
"ભારહીનતા" ની સ્થિતિ માટે, લંબ પ્રતિક્રિયા $N$ શૂન્ય હોવી જોઈએ.
તેથી, $mg = \frac{mv^2}{R}$.
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા: $v = \sqrt{Rg}$.
અહીં $R = 20\, m$ અને $g = 10\, m/s^2$ લેતા, આપણને મળે છે:
$v = \sqrt{20 \times 10} = \sqrt{200} \approx 14.14\, m/s$.
આમ, ઝડપ $14\, m/s$ અને $15\, m/s$ ની વચ્ચે છે.

(C) પાણીના પ્રવાહનો દર $\frac{dm}{dt} = 15\, kg/s$ છે.
ઊંચાઈ $h = 60\, m$ છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g = 10\, m/s^2$ છે.
દર સેકન્ડે ઉપલબ્ધ કુલ સ્થિતિ ઊર્જા (ઇનપુટ પાવર) $P_{in} = \frac{dm}{dt} \cdot g \cdot h = 15 \times 10 \times 60 = 9000\, W$ છે.
ઘર્ષણને કારણે થતું નુકસાન $10\%$ છે,તેથી ટર્બાઇનની કાર્યક્ષમતા $90\%$ છે.
ટર્બાઇન દ્વારા ઉત્પન્ન થતી પાવર $P_{out} = P_{in} \times 0.90 = 9000 \times 0.90 = 8100\, W$ છે.
કિલોવોટમાં રૂપાંતરિત કરતા,$P_{out} = 8.1\, kW$ મળે છે.

(C) ધારો કે ગોળાનું દળ $m = 0.2\, kg$ અને બંદૂકનું દળ $M = 4\, kg$ છે. ધારો કે ગોળાનો વેગ $v$ છે અને બંદૂકનો રિકોઇલ વેગ $V$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$mv = MV$,તેથી $V = (m/M)v$.
વિસ્ફોટ દ્વારા ઉત્પન્ન થતી કુલ ઉર્જા એ ગોળા અને બંદૂકની ગતિ ઉર્જાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}MV^2$
$V = (m/M)v$ મૂકતા:
$E = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}M(\frac{m}{M}v)^2 = \frac{1}{2}mv^2 (1 + \frac{m}{M})$
અહીં $E = 1.05\, kJ = 1050\, J$,$m = 0.2\, kg$,અને $M = 4\, kg$ આપેલ છે:
$1050 = \frac{1}{2} \times 0.2 \times v^2 \times (1 + \frac{0.2}{4})$
$1050 = 0.1 \times v^2 \times (1 + 0.05)$
$1050 = 0.1 \times 1.05 \times v^2$
$1050 = 0.105 \times v^2$
$v^2 = \frac{1050}{0.105} = 10000$
$v = 100\, m/s$.

(B) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
ઘનતા અને દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{\rho}{P} = \frac{M}{RT}$ થાય.
અહીં $M$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$\frac{\rho}{P} \propto \frac{1}{T}$ મળે.
ધારો કે $T_1 = 10^{\circ} C = 283 \ K$ તાપમાને ગુણોત્તર $x_1 = x$ છે.
ધારો કે $T_2 = 110^{\circ} C = 383 \ K$ તાપમાને ગુણોત્તર $x_2$ છે.
$x \cdot T = \text{અચળ}$ હોવાથી,$x_1 T_1 = x_2 T_2$ થાય.
$x \cdot 283 = x_2 \cdot 383$.
તેથી,$x_2 = \left( \frac{283}{383} \right)x$.

(D) સળિયાને તેના મધ્યબિંદુએથી બે ભાગમાં વાળવામાં આવે છે,જેમાં દરેકની લંબાઈ $l = L/2$ અને દળ $m = M/2$ છે.
દરેક અડધો ભાગ $L/2$ લંબાઈ અને $M/2$ દળ ધરાવતા પાતળા સળિયા તરીકે વર્તે છે,જે તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ફરે છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ml^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = M/2$ અને $l = L/2$ છે.
તેથી,વળેલા બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને એક અડધા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{half} = \frac{1}{3} \times (M/2) \times (L/2)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{M}{2} \times \frac{L^2}{4} = \frac{ML^2}{24}$ થાય.
કારણ કે બંને અડધા ભાગ સમાન છે અને $O$ માંથી પસાર થતી સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને ફરે છે,તેથી કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_{half} + I_{half} = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ થાય.

(A) વર્તુળાકાર તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I_{disc} = \frac{1}{2}MR^2$ છે. ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(k)$ $I = Mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તેથી,$k_{disc} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
વર્તુળાકાર રીંગની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I_{ring} = MR^2$ છે. તેથી,$k_{ring} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{R^2} = R$.
તકતી અને રીંગની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{disc}}{k_{ring}} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(D) બે રેખીય તાપમાનના સ્કેલ વચ્ચેનો સંબંધ આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{T_W - \text{Freezing point}_W}{\text{Boiling point}_W - \text{Freezing point}_W} = \frac{T_C - \text{Freezing point}_C}{\text{Boiling point}_C - \text{Freezing point}_C}$.
$W$ સ્કેલ માટે આપેલ છે: ઠારબિંદુ = $39\,^{\circ}W$,ઉત્કલનબિંદુ = $239\,^{\circ}W$.
સેલ્સિયસ સ્કેલ માટે આપેલ છે: ઠારબિંદુ = $0\,^{\circ}C$,ઉત્કલનબિંદુ = $100\,^{\circ}C$.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{T_W - 39}{239 - 39} = \frac{39 - 0}{100 - 0}$
$\frac{T_W - 39}{200} = \frac{39}{100}$
$T_W - 39 = \frac{39}{100} \times 200$
$T_W - 39 = 39 \times 2 = 78$
$T_W = 78 + 39 = 117\,^{\circ}W$.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$,જ્યાં $Q$ એ ઉમેરવામાં આવેલી ઉષ્મા છે,$\Delta U$ એ આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર છે અને $W$ એ થયેલ કાર્ય છે.
આંતરિક ઉર્જા એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે માત્ર સિસ્ટમની પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
બંધ ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,ચક્ર પૂર્ણ કર્યા પછી સિસ્ટમ તેની પ્રારંભિક અવસ્થામાં પાછી આવે છે.
પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ (અહીં $E$ તરીકે દર્શાવેલ) શૂન્ય હોવો જોઈએ.
તેથી,$E = 0$.

(D) કોણીય આવૃત્તિઓ $\omega_{1} = 100 \, rad \, s^{-1}$ અને $\omega_{2} = 1000 \, rad \, s^{-1}$ આપેલ છે.
ધારો કે સમાન સ્થાનાંતર કંપવિસ્તાર $A$ છે.
સરળ આવર્ત ગતિ માટે મહત્તમ પ્રવેગ $a_{max}$ નું સૂત્ર $a_{max} = \omega^2 A$ છે.
પ્રથમ ગતિ માટે,$a_{max1} = \omega_{1}^2 A = (100)^2 A$.
બીજી ગતિ માટે,$a_{max2} = \omega_{2}^2 A = (1000)^2 A$.
તેમના મહત્તમ પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{\omega_{1}^2 A}{\omega_{2}^2 A} = \frac{\omega_{1}^2}{\omega_{2}^2}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{a_{max1}}{a_{max2}} = \frac{(100)^2}{(1000)^2} = \frac{10000}{1000000} = \frac{1}{100}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:10^2$ છે.

(A) આપેલ તરંગનું સમીકરણ $y = 0.25 \sin(10\pi x - 2\pi t)$ છે.
આ સમીકરણને પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin(kx - \omega t)$ સાથે સરખાવતા:
$1$. કંપવિસ્તાર $A = 0.25 \text{ m}$ છે.
$2$. તરંગ સંખ્યા $k = 10\pi$. આપણે જાણીએ છીએ કે $k = \frac{2\pi}{\lambda}$,તેથી $\frac{2\pi}{\lambda} = 10\pi$,જે આપણને $\lambda = 0.2 \text{ m}$ આપે છે.
$3$. કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 2\pi$. આપણે જાણીએ છીએ કે $\omega = 2\pi f$,તેથી $2\pi f = 2\pi$,જે આપણને $f = 1 \text{ Hz}$ આપે છે.
$4$. $kx$ અને $\omega t$ પદોની વચ્ચે ઋણ ચિહ્ન હોવાથી,તરંગ ધન $x$-દિશામાં ગતિ કરે છે.
તેથી,તરંગ $+ve$ $x$-દિશામાં $1 \text{ Hz}$ આવૃત્તિ અને $\lambda = 0.2 \text{ m}$ તરંગલંબાઈ સાથે ગતિ કરે છે.

(B) તરંગની તીવ્રતા $I$ તેના કંપવિસ્તાર $A$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $I = kA^2$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે. તેથી,$A = \sqrt{I/k}$.
જ્યારે બે તરંગોનું સંપાતીકરણ થાય છે,ત્યારે મહત્તમ અને ન્યૂનતમ કંપવિસ્તાર $A_{\max} = A_1 + A_2$ અને $A_{\min} = |A_1 - A_2|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ તીવ્રતા $I_{\max} = k(A_1 + A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 + 2A_1A_2) = I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}$ છે.
ન્યૂનતમ તીવ્રતા $I_{\min} = k(A_1 - A_2)^2 = k(A_1^2 + A_2^2 - 2A_1A_2) = I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}$ છે.
મહત્તમ અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો સરવાળો કરતા:
$I_{\max} + I_{\min} = (I_1 + I_2 + 2\sqrt{I_1I_2}) + (I_1 + I_2 - 2\sqrt{I_1I_2}) = 2(I_1 + I_2)$.

(B) ગતિનું સમીકરણ $x = A \sin(\omega t + \frac{\pi}{6})$ છે.
વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6})$.
મહત્તમ વેગ $v_{max} = A\omega$ છે.
આપણને આપેલ છે કે વેગ તેના મહત્તમ વેગના અડધા જેટલો છે: $v = \frac{v_{max}}{2}$.
કિંમતો મુકતા: $A\omega \cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{A\omega}{2}$.
આથી $\cos(\omega t + \frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(60^{\circ}) = \frac{1}{2}$,તેથી $\omega t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$\omega = \frac{2\pi}{T}$ લેતા,$\frac{2\pi}{T} t + \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{3}$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $\frac{2\pi}{T} t = \frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{6} = \frac{\pi}{6}$.
તેથી,$t = \frac{\pi}{6} \times \frac{T}{2\pi} = \frac{T}{12}$.

(D) આપેલ છે:
પ્રથમ બિંદુનું અંતર,$x_1 = 10\;m$
બીજા બિંદુનું અંતર,$x_2 = 15\;m$
દોલનનો આવર્તકાળ,$T = 0.05\;s$
તરંગનો વેગ,$v = 300\;m/s$
બે બિંદુઓ વચ્ચેનો પથ તફાવત:
$\Delta x = x_2 - x_1 = 15 - 10 = 5\;m$
સૌ પ્રથમ,$v = f \lambda$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને તરંગલંબાઈ $\lambda$ શોધો,જ્યાં $f = \frac{1}{T}$:
$f = \frac{1}{0.05} = 20\;Hz$
$\lambda = \frac{v}{f} = \frac{300}{20} = 15\;m$
કળા તફાવત $\Delta \phi$ અને પથ તફાવત $\Delta x$ વચ્ચેનો સંબંધ:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{\lambda} \times \Delta x$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta \phi = \frac{2\pi}{15} \times 5 = \frac{2\pi}{3}$

(B) ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ એ ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોનો લાક્ષણિક ગુણધર્મ છે.
$T_C$ થી નીચેના તાપમાને,ચુંબકીય ડોમેન્સના ગોઠવણીને કારણે પદાર્થ ફેરોમેગ્નેટિક ગુણધર્મો દર્શાવે છે.
જેમ જેમ તાપમાન વધે છે અને $T_C$ સુધી પહોંચે છે,તેમ ઉષ્મીય આંદોલન એટલું પ્રબળ બની જાય છે કે તે ડોમેન્સની ગોઠવણી જાળવી રાખતા એક્સચેન્જ કપલિંગને દૂર કરી શકે છે.
પરિણામે,ક્યુરી તાપમાનથી ઉપર,પદાર્થ તેનું સ્વયંભૂ ચુંબકત્વ ગુમાવે છે અને પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(B)$ છે.

(C) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $B$ એ દળ ક્ષતિ $\Delta m$ ના ઉર્જા સમતુલ્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
દળ ક્ષતિ $\Delta m = (Z M_p + N M_n) - M(N, Z)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતા સંબંધ મુજબ,$B = \Delta m c^2$.
$\Delta m$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $B = [Z M_p + N M_n - M(N, Z)] c^2$ મળે છે.
$M(N, Z)$ માટે પદોને ગોઠવતા:
$B / c^2 = Z M_p + N M_n - M(N, Z)$
$M(N, Z) = Z M_p + N M_n - B / c^2$.

(D) જ્યારે $f_1$ અને $f_2$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા બે પાતળા લેન્સને સંપર્કમાં રાખવામાં આવે છે,ત્યારે સંયોજનની સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $F$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$
સામાન્ય છેદ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1}{F} = \frac{f_2 + f_1}{f_1 f_2}$
લેન્સનો પાવર $P$ એ તેની મીટરમાં કેન્દ્રલંબાઈના વ્યસ્ત તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,એટલે કે $P = \frac{1}{F}$.
તેથી,સંયોજનનો પાવર $P = \frac{f_1 + f_2}{f_1 f_2}$ થાય છે.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $C$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$.

(C) $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $Q$ ને કારણે વિદ્યુત સ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $V = Q \times 10^{11} \, V$,તેથી $\frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} = Q \times 10^{11}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{r} = 4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11}$ મળે છે.
તે બિંદુએ વિદ્યુત ક્ષેત્ર $E = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r^2} = \left( \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \cdot \frac{Q}{r} \right) \cdot \frac{1}{r}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$E = (Q \times 10^{11}) \times (4 \pi \varepsilon_0 \times 10^{11})$.
તેથી,$E = 4 \pi \varepsilon_0 Q \times 10^{22} \, V/m$.

(D) સમાન રીતે વિદ્યુતભારીત રીંગના કેન્દ્ર $O$ પરનું કુલ વિદ્યુતક્ષેત્ર શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે રીંગને ચાર સમાન ભાગોમાં વહેંચવામાં આવે છે: $AK$,$KB$,$BD$,અને $DC$. દરેક ભાગ પર $+Q/4$ વિદ્યુતભાર છે.
$AKB$ ભાગને કારણે કેન્દ્ર $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર એ $AK$ અને $KB$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્રોનો સદિશ સરવાળો છે. ધારો કે આ પરિણામી ક્ષેત્ર $E$ છે જે $KO$ ની દિશામાં છે.
$ACDB$ ભાગમાં $AC$,$CD$,અને $DB$ વિભાગોનો સમાવેશ થાય છે.
સંમિતિને કારણે,$AC$ ભાગ પરના વિદ્યુતભારને કારણે $O$ પરનું વિદ્યુતક્ષેત્ર $BD$ ભાગ પરના વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોય છે. આમ,તેઓ એકબીજાની અસર નાબૂદ કરે છે.
તેથી,$ACDB$ ભાગને કારણે $O$ પરનું ચોખ્ખું વિદ્યુતક્ષેત્ર ફક્ત $CD$ ભાગને કારણે ઉદ્ભવતા વિદ્યુતક્ષેત્ર જેટલું જ હોય છે.
આખી રીંગનું કુલ ક્ષેત્ર શૂન્ય હોવાથી,$AKB$ ને કારણે ઉદ્ભવતું ક્ષેત્ર $ACDB$ ને કારણે ઉદ્ભવતા ક્ષેત્ર જેટલું જ અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ.
જો $AKB$ ને કારણે ક્ષેત્ર $KO$ ની દિશામાં $E$ હોય,તો $ACDB$ ને કારણે ક્ષેત્ર $OK$ ની દિશામાં $E$ હોવું જોઈએ જેથી સદિશ સરવાળો શૂન્ય થાય.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક લંબાઈ $l$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ છે. પ્રારંભિક અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A}$ છે.
જ્યારે તારને $10\%$ ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l' = l + 0.1l = 1.1l$ થાય છે.
કદ $V = Al$ અચળ રહેતું હોવાથી,$A'l' = Al \Rightarrow A' = \frac{Al}{1.1l} = \frac{A}{1.1}$ થાય.
નવો અવરોધ $R' = \rho \frac{l'}{A'} = \rho \frac{1.1l}{A/1.1} = (1.1)^2 \rho \frac{l}{A} = 1.21 R$ થાય.
વિશિષ્ટ અવરોધ (અવરોધકતા) $\rho$ એ દ્રવ્યનો ગુણધર્મ છે અને તે માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તારના પરિમાણો પર નહીં.
તેથી,નવો અવરોધ મૂળ અવરોધ કરતા $1.21$ ગણો થાય છે અને વિશિષ્ટ અવરોધ સમાન રહે છે.

(C) પાવર $P = V \times I = 220\, V \times 4\, A = 880\, W = 880\, J/s$.
$1\, kg$ $(1000\, g)$ પાણીનું તાપમાન $20\, ^oC$ થી $100\, ^oC$ સુધી વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા:
$Q = mc\Delta T$
$Q = 1000\, g \times 4.2\, J/g\, ^oC \times (100\, ^oC - 20\, ^oC)$
$Q = 1000 \times 4.2 \times 80 = 336,000\, J$.
લાગતો સમય $t = \frac{Q}{P} = \frac{336,000\, J}{880\, J/s} \approx 381.8\, s$.
મિનિટમાં રૂપાંતર: $t = \frac{381.8}{60} \approx 6.36\, min \approx 6.3\, min$.

(C) ધારો કે $\varepsilon$ એ કોષનું $EMF$ છે અને $r$ તેનો આંતરિક અવરોધ છે. ધારો કે $V/L$ એ પોટેન્શિયોમીટરના તારનો પોટેન્શિયલ ગ્રેડિયન્ટ છે.
જ્યારે કોષ શોર્ટ-સર્કિટ થયેલ ન હોય,ત્યારે બેલેન્સિંગ લંબાઈ $l_1 = 110 \, cm$ છે. $EMF$ નીચે મુજબ બેલેન્સ થાય છે:
$\varepsilon = (V/L) \times 110$ ....$(i)$
જ્યારે કોષને $R = 10 \, \Omega$ ના બાહ્ય અવરોધ દ્વારા શોર્ટ-સર્કિટ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_t$ એ $l_2 = 100 \, cm$ પર બેલેન્સ થાય છે. ટર્મિનલ વોલ્ટેજ $V_t = \frac{\varepsilon R}{R + r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$V_t = (V/L) \times 100$ ....$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{\varepsilon}{V_t} = \frac{110}{100}$
$\frac{\varepsilon}{\varepsilon R / (R + r)} = \frac{11}{10}$
$\frac{R + r}{R} = 1.1$
$1 + \frac{r}{R} = 1.1$
$\frac{r}{R} = 0.1$
$r = 0.1 \times R = 0.1 \times 10 \, \Omega = 1 \, \Omega$.

(B) શરૂઆતનો કુલ અવરોધ $R_{total,1} = R_G + R_1 = 50\, \Omega + 2950\, \Omega = 3000\, \Omega$ છે.
પૂર્ણ સ્કેલ આવર્તન ($30$ કાપા) માટે પ્રવાહ $I_1 = \frac{V}{R_{total,1}} = \frac{3\, V}{3000\, \Omega} = 1 \times 10^{-3}\, A = 1\, mA$ છે.
આવર્તનને $20$ કાપા સુધી ઘટાડવા માટે,નવો પ્રવાહ $I_2$ એ કાપાના પ્રમાણમાં હોવો જોઈએ: $I_2 = I_1 \times \frac{20}{30} = 1\, mA \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}\, mA$.
નવા પરિપથ માટે ઓહ્મના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$V = I_2 \times R_{total,2}$,જ્યાં $R_{total,2} = R_G + R_2$.
$3\, V = (\frac{2}{3} \times 10^{-3}\, A) \times R_{total,2}$.
$R_{total,2} = \frac{3 \times 3}{2} \times 10^3\, \Omega = 4500\, \Omega$.
કારણ કે $R_{total,2} = R_G + R_2$,જરૂરી શ્રેણી અવરોધ $R_2 = 4500\, \Omega - 50\, \Omega = 4450\, \Omega$ છે.

(A) જ્યારે કોઈ વીજભારિત કણ તેના વેગને લંબરૂપે રહેલા સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં દાખલ થાય છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $\vec{F} = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ અનુભવે છે.
આ બળ હંમેશા કણના વેગને લંબ હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્ર દ્વારા કણ પર થતું કાર્ય શૂન્ય હોય છે $(W = \int \vec{F} \cdot d\vec{r} = 0)$.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર એ પરિણામી બળ દ્વારા થયેલા કાર્ય જેટલો હોય છે.
કારણ કે કાર્ય શૂન્ય છે,તેથી ગતિ દરમિયાન કણની ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,$3$ $seconds$ પછી પણ ગતિઊર્જા $K$ જ રહેશે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં પ્રવાહ ધરાવતા બંધ લૂપ પરનું કુલ ચુંબકીય બળ શૂન્ય હોય છે.
ધારો કે વિભાગ $QP$ પરનું બળ $F_4$ છે.
આ બળોની અસર હેઠળ લૂપ સંતુલનમાં હોવાથી,તમામ બળોનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ:
$\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3} + \vec{F_4} = 0$
$\vec{F_4} = -(\vec{F_1} + \vec{F_2} + \vec{F_3})$
બળોને આડા અને ઊભા ઘટકોમાં વિભાજિત કરતા:
ધારો કે આડી દિશા $x$-અક્ષ (જમણી તરફ ધન) અને ઊભી દિશા $y$-અક્ષ (ઉપરની તરફ ધન) છે.
$F_{4x} = -(F_{3x} + F_{2x} + F_{1x}) = -(F_3 + 0 - F_1) = F_1 - F_3$
$F_{4y} = -(F_{3y} + F_{2y} + F_{1y}) = -(0 - F_2 + 0) = F_2$
બળ $F_4$ નું મૂલ્ય નીચે મુજબ મળે છે:
$F_4 = \sqrt{F_{4x}^2 + F_{4y}^2} = \sqrt{(F_1 - F_3)^2 + F_2^2} = \sqrt{(F_3 - F_1)^2 + F_2^2}$

(C) પૃથ્વી પરથી જોતા સૂર્યનો કોણીય વ્યાસ $\alpha = \frac{\text{સૂર્યનો વ્યાસ}}{\text{સૂર્યનું અંતર}} = \frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}} \approx 9.26 \times 10^{-3}\, \text{રેડિયન}$ છે.
જ્યારે સૂર્યપ્રકાશને $f = 10\, cm = 0.1\, m$ કેન્દ્રલંબાઈ ધરાવતા લેન્સ દ્વારા કેન્દ્રિત કરવામાં આવે છે,ત્યારે સૂર્યનું પ્રતિબિંબ મુખ્ય કેન્દ્ર પર રચાય છે.
પ્રતિબિંબનો વ્યાસ $d$ એ $d = f \times \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $d = 0.1\, m \times (\frac{1.39 \times 10^9}{1.5 \times 10^{11}})$.
$d = 0.1 \times 0.926 \times 10^{-2} = 0.0926 \times 10^{-2} = 9.26 \times 10^{-4}\, m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $9.2 \times 10^{-4}\, m$ છે.

(C) કાર્ય વિધેય $\Phi = 6.2\, eV$ આપેલ છે.
સ્ટોપિંગ પોટેન્શિયલ $V_s = 5\, V$ છે,તેથી મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = e V_s = 5\, eV$ થાય.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ,આપાત ફોટોનની ઊર્જા $E = \Phi + K_{\max} = 6.2\, eV + 5\, eV = 11.2\, eV$ છે.
તરંગલંબાઇ $\lambda = \frac{hc}{E}$ દ્વારા મળે છે. $hc \approx 12400\, eV\cdot\mathring{A}$ લેતા,$\lambda = \frac{12400}{11.2} \approx 1107\, \mathring{A}$ મળે.
આ તરંગલંબાઇ $1107\, \mathring{A}$ એ $100\, \mathring{A}$ થી $4000\, \mathring{A}$ ની વચ્ચે હોવાથી,તે અલ્ટ્રાવાયોલેટ વિસ્તારમાં આવે છે.

(C) ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈનું સૂત્ર $\lambda = \frac{h}{mv}$ છે.
બંનેની તરંગલંબાઈ સમાન હોવાથી,$\frac{h}{m_p v_p} = \frac{h}{m_e v_e}$ થાય.
તેથી,$m_p v_p = m_e v_e$ મળે.
આપેલ છે: કણનું દળ $m_p = 1 \, mg = 10^{-6} \, kg$,ઇલેક્ટ્રોનનું દળ $m_e = 9.1 \times 10^{-31} \, kg$,અને ઇલેક્ટ્રોનનો વેગ $v_e = 3 \times 10^6 \, m/s$.
કિંમતો મૂકતા: $10^{-6} \, kg \times v_p = 9.1 \times 10^{-31} \, kg \times 3 \times 10^6 \, m/s$.
$v_p = \frac{27.3 \times 10^{-25}}{10^{-6}} \, m/s = 27.3 \times 10^{-19} \, m/s = 2.73 \times 10^{-18} \, m/s$.
આમ,કણનો વેગ $2.7 \times 10^{-18} \, m/s$ છે.

(A) સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $L$ એ સંબંધ $\Phi_{total} = L \cdot I$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $\Phi_{total}$ એ સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
સોલેનોઈડ સાથે સંકળાયેલ કુલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\Phi_{total} = N \cdot \phi$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ આંટાની સંખ્યા છે અને $\phi$ એ દરેક આંટા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ છે.
આપેલ છે:
આંટાની સંખ્યા $N = 500$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 2 \, A$
દરેક આંટા દીઠ ફ્લક્સ $\phi = 4 \times 10^{-3} \, Wb$
કુલ ફ્લક્સ $\Phi_{total} = 500 \times 4 \times 10^{-3} \, Wb = 2 \, Wb$.
સૂત્ર $L = \frac{\Phi_{total}}{I}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$L = \frac{2 \, Wb}{2 \, A} = 1 \, H$.
તેથી,સોલેનોઈડનું આત્મ-પ્રેરકત્વ $1 \, H$ છે.

(C) ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi$ નું સૂત્ર $\phi = \vec{B} \cdot \vec{A} = BA \cos \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ અને ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ (જે સપાટીને લંબ હોય છે) વચ્ચેનો ખૂણો છે.
આપેલ છે કે,ત્રિજ્યા $R = 0.2 \; m$,તેથી ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04\pi \; m^2$.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B = \frac{1}{\pi} \; Wb/m^2$.
ડિસ્કની અક્ષ $\vec{B}$ સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. ક્ષેત્રફળ સદિશ $\vec{A}$ ડિસ્કની અક્ષની દિશામાં હોવાથી,$\vec{B}$ અને $\vec{A}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ થશે.
તેથી,$\phi = B A \cos 60^{\circ} = \left(\frac{1}{\pi}\right) \times (0.04\pi) \times \cos 60^{\circ}$.
$\phi = 0.04 \times \frac{1}{2} = 0.02 \; Wb$.

(B) $A.C.$ પરિપથમાં તત્કાલિન પાવર $p$ એ તત્કાલિન $e.m.f.$ અને તત્કાલિન પ્રવાહનો ગુણાકાર છે:
$p = E \cdot i = (E_o \sin \omega t) \cdot (I_o \sin(\omega t - \phi))$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin A \sin B = \frac{1}{2} [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$ નો ઉપયોગ કરતા:
$p = \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)]$
એક સંપૂર્ણ ચક્ર $T$ પર સરેરાશ પાવર $P_{av}$ એ તત્કાલિન પાવરની સરેરાશ છે:
$P_{av} = \frac{1}{T} \int_0^T p \, dt = \frac{1}{T} \int_0^T \frac{E_o I_o}{2} [\cos \phi - \cos(2\omega t - \phi)] \, dt$
સંપૂર્ણ ચક્ર પર $\cos(2\omega t - \phi)$ ની સરેરાશ $0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P_{av} = \frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$
આમ,સરેરાશ પાવર $\frac{E_o I_o}{2} \cos \phi$ છે.

(A) માધ્યમમાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો વેગ $v$ એ $v = \frac{1}{\sqrt{\mu \varepsilon}}$ સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\mu$ એ માધ્યમની પરમીબિલિટી છે અને $\varepsilon$ એ માધ્યમની પરમિટિવિટી છે.
શૂન્યાવકાશ (અથવા મુક્ત અવકાશ) માટે,પરમીબિલિટી $\mu_0$ છે અને પરમિટિવિટી $\varepsilon_0$ છે.
તેથી,શૂન્યાવકાશમાં વિદ્યુતચુંબકીય વિકિરણનો વેગ $c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}}$ થાય છે.

(A) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$-મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની ઉર્જા $E_n = -\frac{13.6}{n^2} \, eV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માટે,$E_1 = -13.6 \, eV$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માટે,$E_2 = -\frac{13.6}{2^2} = -\frac{13.6}{4} = -3.4 \, eV$.
ઇલેક્ટ્રોનને ધરા અવસ્થામાંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં લઈ જવા માટે જરૂરી ઉત્તેજન ઉર્જા $\Delta E = E_2 - E_1$ છે.
$\Delta E = -3.4 \, eV - (-13.6 \, eV) = 10.2 \, eV$.

(A) ધારો કે બંને પદાર્થો માટે શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N_0$ છે.
સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા $N(t) = N_0 e^{-\lambda t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ $X_1$ માટે: $N_1(t) = N_0 e^{-(5\lambda)t}$.
પદાર્થ $X_2$ માટે: $N_2(t) = N_0 e^{-\lambda t}$.
ગુણોત્તર $\frac{N_1(t)}{N_2(t)} = \frac{1}{e} = e^{-1}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{N_0 e^{-5\lambda t}}{N_0 e^{-\lambda t}} = e^{-1}$.
$e^{-5\lambda t + \lambda t} = e^{-1}$.
$e^{-4\lambda t} = e^{-1}$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા: $-4\lambda t = -1$.
તેથી,$t = \frac{1}{4\lambda}$.

(A) ધારો કે ઇનપુટ $A$ અને $B$ છે.
$1$. પ્રથમ ગેટ $NOR$ ગેટ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $X = \overline{A+B}$ છે.
$2$. બીજો ગેટ $NAND$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે. જ્યારે $NAND$ ગેટના ઇનપુટ ટૂંકા (tied) હોય,ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે. તેથી,$NAND$ ગેટનું આઉટપુટ $Z = \overline{X \cdot X} = \overline{X}$ છે.
$3$. $Z$ માં $X = \overline{A+B}$ મૂકતા,આપણને $Z = \overline{\overline{A+B}} = A+B$ મળે છે.
$4$. ત્રીજો ગેટ $NOT$ ગેટ છે,તેથી તેનું અંતિમ આઉટપુટ $Y = \overline{Z} = \overline{A+B}$ છે.
$5$. પદાવલિ $\overline{A+B}$ એ $NOR$ ગેટ દર્શાવે છે.
તેથી,આ સર્કિટ $NOR$ ગેટને સમતુલ્ય છે.

(D) બેન્ડ ગેપમાંથી ઇલેક્ટ્રોનને ઉત્તેજિત કરવા માટે જરૂરી ફોટોનની ઊર્જા $E = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લઘુત્તમ આવૃત્તિ $\nu$ માટે,ફોટોનની ઊર્જા બેન્ડ ગેપ ઊર્જા $E_g$ જેટલી હોવી જોઈએ.
આપેલ છે કે $E_g = 2.0\, eV$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1\, eV = 1.6 \times 10^{-19}\, J$,તેથી $E_g = 2.0 \times 1.6 \times 10^{-19} = 3.2 \times 10^{-19}\, J$.
$E = h\nu$ સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\nu = \frac{E_g}{h}$.
$h = 6.63 \times 10^{-34}\, J\cdot s$ કિંમત મૂકતા:
$\nu = \frac{3.2 \times 10^{-19}}{6.63 \times 10^{-34}} \approx 0.482 \times 10^{15}\, Hz$.
$\nu \approx 4.82 \times 10^{14}\, Hz$.
આ કિંમતને રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\nu \approx 5 \times 10^{14}\, Hz$ મળે છે.

(B) $2 \, \Omega$,$4 \, \Omega$ અને $(1 \, \Omega + 5 \, \Omega)$ ના શ્રેણી જોડાણ સમાંતરમાં જોડાયેલા છે,તેથી તેમના પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન છે.
$2 \, \Omega$ ના અવરોધ પરનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = I \times R = 3 \, A \times 2 \, \Omega = 6 \, V$ છે.
સમાંતર જોડાણમાં હોવાથી,$1 \, \Omega$ અને $5 \, \Omega$ ના શ્રેણી જોડાણ વાળી શાખા પર પણ $V = 6 \, V$ જેટલો જ વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત લાગુ પડે છે.
આ શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{branch} = 1 \, \Omega + 5 \, \Omega = 6 \, \Omega$ છે.
આ શાખામાંથી વહેતો વિદ્યુતપ્રવાહ $i_3 = \frac{V}{R_{branch}} = \frac{6 \, V}{6 \, \Omega} = 1 \, A$ છે.
$5 \, \Omega$ ના અવરોધમાં વ્યય થતો પાવર $P = i_3^2 \times R = (1 \, A)^2 \times 5 \, \Omega = 5 \, W$ છે.

(B) $4\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. સમાંતર શાખાઓમાં વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવાથી,$3\,\Omega$ ના અવરોધમાંથી વહેતો પ્રવાહ $i_1$ એ $4\,\Omega \times 1\,A = 3\,\Omega \times i_1$ દ્વારા મળે છે,જે $i_1 = \frac{4}{3}\,A$ આપે છે.
ઉપરની શાખામાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I_{upper} = 1\,A + \frac{4}{3}\,A = \frac{7}{3}\,A$ છે.
$4\,\Omega$ અને $3\,\Omega$ ના સમાંતર જોડાણનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = \frac{4 \times 3}{4 + 3} = \frac{12}{7}\,\Omega$ છે.
બિંદુઓ $P$ અને $M$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V_{PM} = I_{upper} \times R_{eq} = \frac{7}{3}\,A \times \frac{12}{7}\,\Omega = 4\,V$ છે.
નીચેની શાખામાં બે $0.5\,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતરમાં છે,જેનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{lower1} = \frac{0.5 \times 0.5}{0.5 + 0.5} = 0.25\,\Omega$ થાય. આ $1\,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં છે. નીચેની શાખાનો કુલ અવરોધ $R_{lower} = 0.25\,\Omega + 1\,\Omega = 1.25\,\Omega$ છે.
નીચેની શાખામાં વહેતો પ્રવાહ $I_{lower} = \frac{V_{PM}}{R_{lower}} = \frac{4\,V}{1.25\,\Omega} = 3.2\,A$ છે.
બિંદુઓ $M$ અને $N$ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ $1\,\Omega$ ના અવરોધ પરનો વોલ્ટેજ ડ્રોપ છે: $V_{MN} = I_{lower} \times 1\,\Omega = 3.2\,A \times 1\,\Omega = 3.2\,V$.

(D) ન્યુક્લિયર ઘનતા $\rho$ એ ન્યુક્લિયસના દળ અને તેના કદનો ગુણોત્તર છે.
ન્યુક્લિયસનું દળ આશરે $M = A \cdot m_p$ (જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $m_p$ એ ન્યુક્લિયોનનું દળ છે) અને કદ $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ છે,જ્યાં $R = R_0 A^{1/3}$.
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $V = \frac{4}{3} \pi (R_0 A^{1/3})^3 = \frac{4}{3} \pi R_0^3 A$ મળે છે.
આમ,$\rho = \frac{A \cdot m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3 A} = \frac{m_p}{\frac{4}{3} \pi R_0^3}$.
આ સમીકરણ દર્શાવે છે કે ન્યુક્લિયર ઘનતા એ દળ ક્રમાંક $A$ થી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,કોઈપણ બે ન્યુક્લિયસની ન્યુક્લિયર ઘનતાનો ગુણોત્તર હંમેશા $1: 1$ હોય છે.