AIPMT 2013 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) આંતરિક ઉર્જા $(U)$ એ અવસ્થા વિધેય (state function) છે,જેનો અર્થ છે કે તેનું મૂલ્ય ફક્ત તંત્રની અવસ્થા (જે દબાણ,કદ અને તાપમાન જેવા ચલો દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે) પર આધાર રાખે છે અને તે અવસ્થા સુધી પહોંચવા માટે અનુસરવામાં આવેલા માર્ગ પર આધાર રાખતું નથી.
કારણ કે બંને પ્રક્રિયાઓ $I$ અને $II$ એક જ પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ થી શરૂ થાય છે અને એક જ અંતિમ અવસ્થા $B$ પર સમાપ્ત થાય છે,તેથી બંને પ્રક્રિયાઓ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર સમાન હોવો જોઈએ.
તેથી,$\Delta U_I = \Delta U_{II}$.

(D) ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા (સ્થાનાંતરીય + ચાકગતિ) એ મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પરની અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા જેટલી હોય છે.
પ્રારંભિક ગતિ ઉર્જા $K_i = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \omega^2$
વસ્તુ સરક્યા વિના ગબડતી હોવાથી,$\omega = v/R$,તેથી $K_i = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I (v/R)^2 = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2}$
અંતિમ સ્થિતિ ઉર્જા $U_f = M g h = M g \left( \frac{3 v^2}{4 g} \right) = \frac{3}{4} M v^2$
$K_i = U_f$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{2} M v^2 + \frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2} = \frac{3}{4} M v^2$
$\frac{1}{2} I \frac{v^2}{R^2} = \frac{3}{4} M v^2 - \frac{1}{2} M v^2 = \frac{1}{4} M v^2$
$I \frac{1}{R^2} = \frac{1}{2} M \implies I = \frac{1}{2} M R^2$
જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ એ તકતી (Disc) માટે હોય છે.

(A) આપેલ સૂત્ર $P = \frac{a^3 b^2}{cd}$ છે.
$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ શોધવા માટે,આપણે ત્રુટિઓના પ્રસરણના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \left( 3 \frac{\Delta a}{a} + 2 \frac{\Delta b}{b} + \frac{\Delta c}{c} + \frac{\Delta d}{d} \right) \times 100$
આપેલ પ્રતિશત ત્રુટિઓ મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = [3(1\%) + 2(2\%) + 3\% + 4\%]$
$= [3\% + 4\% + 3\% + 4\%]$
$= 14\%$
આમ,$P$ માં પ્રતિશત ત્રુટિ $14\%$ છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે $(u = 0)$,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પ્રથમ $5 \ s$ માં કાપેલું અંતર $(t = 5 \ s)$:
$h_1 = \frac{1}{2}g(5)^2 = \frac{25}{2}g$ ... $(i)$
$2$. પ્રથમ $10 \ s$ માં કાપેલું અંતર $(t = 10 \ s)$:
$h_1 + h_2 = \frac{1}{2}g(10)^2 = \frac{100}{2}g$ ... (ii)
$3$. પ્રથમ $15 \ s$ માં કાપેલું અંતર $(t = 15 \ s)$:
$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{1}{2}g(15)^2 = \frac{225}{2}g$ ... (iii)
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$h_2 = (h_1 + h_2) - h_1 = \frac{100}{2}g - \frac{25}{2}g = \frac{75}{2}g = 3 \left( \frac{25}{2}g \right) = 3h_1$
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા:
$h_3 = (h_1 + h_2 + h_3) - (h_1 + h_2) = \frac{225}{2}g - \frac{100}{2}g = \frac{125}{2}g = 5 \left( \frac{25}{2}g \right) = 5h_1$
આમ,$h_1 = \frac{h_2}{3} = \frac{h_3}{5}$.

(C) પ્રક્ષિપ્ત ગતિમાં,વેગનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(v_x)$ સમગ્ર ગતિ દરમિયાન અચળ રહે છે કારણ કે સમક્ષિતિજ દિશામાં કોઈ પ્રવેગ હોતો નથી.
બિંદુ $A$ આગળ,વેગ $\vec{v}_A = 2\hat i + 3\hat j \text{ m/s}$ છે.
બિંદુ $B$ આગળ,જે બિંદુ $A$ ની સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર છે,ત્યાં સમક્ષિતિજ ઘટક $2\hat i \text{ m/s}$ જ રહે છે.
વેગનો શિરોલંબ ઘટક $(v_y)$ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે બદલાય છે. સમાન સમક્ષિતિજ સપાટી પર,શિરોલંબ ઘટકનું મૂલ્ય સમાન રહે છે,પરંતુ તેની દિશા ઉલટાઈ જાય છે.
તેથી,બિંદુ $B$ આગળ શિરોલંબ ઘટક $-3\hat j \text{ m/s}$ થાય છે.
આમ,બિંદુ $B$ આગળ વેગ $\vec{v}_B = 2\hat i - 3\hat j \text{ m/s}$ છે.

(A) ન્યુટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,પદાર્થ પર લાગતું પરિણામી બળ $F_{\text{net}}$ એ $F_{\text{net}} = ma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $a$ એ પદાર્થનો પ્રવેગ છે.
આ પ્રશ્નમાં,બ્લોક્સ અચળ ઝડપ $v$ થી ઉપરની તરફ ગતિ કરી રહ્યા છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ શૂન્ય છે $(a = 0)$.
તેથી,$2m$ દળ ધરાવતા બ્લોક સહિત કોઈપણ બ્લોક પરનું પરિણામી બળ $F_{\text{net}} = (2m) \times 0 = 0$ થશે.

(C) ધારો કે બ્લોકનું દળ $m$ છે અને ઢળતા સમતલની કુલ લંબાઈ $L$ છે.
કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,બ્લોક પર થયેલું કુલ કાર્ય તેની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
બ્લોક સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને તળિયે ફરીથી સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta K = 0$ છે.
તેથી,તમામ બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને ઘર્ષણ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય શૂન્ય હોવું જોઈએ:
$W_{\text{gravity}} + W_{\text{friction}} = 0$
સમગ્ર લંબાઈ $L$ પર ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{\text{gravity}} = mg \sin\theta \cdot L$ છે.
નીચેના અડધા ભાગ $L/2$ પર ઘર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_{\text{friction}} = -f_k \cdot (L/2) = -(\mu mg \cos\theta) \cdot (L/2)$ છે.
સરવાળાને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$mg \sin\theta \cdot L - \mu mg \cos\theta \cdot \frac{L}{2} = 0$
બંને બાજુને $mgL$ વડે ભાગતા:
$\sin\theta - \frac{\mu}{2} \cos\theta = 0$
$\sin\theta = \frac{\mu}{2} \cos\theta$
$\mu = 2 \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = 2\tan\theta$.

(D) રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ખડકનું પ્રારંભિક વેગમાન શૂન્ય છે. તેથી,ત્રણેય ભાગોના વેગમાનનો સદિશ સરવાળો શૂન્ય થવો જોઈએ.
ધારો કે ત્રણેય ભાગોના વેગમાન $\vec{p}_1$,$\vec{p}_2$ અને $\vec{p}_3$ છે.
$\vec{p}_1 + \vec{p}_2 + \vec{p}_3 = 0 \implies \vec{p}_3 = -(\vec{p}_1 + \vec{p}_2)$.
પ્રથમ ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_1 = m_1 v_1 = 1 \, kg \times 12 \, m s^{-1} = 12 \, kg \, m s^{-1}$ છે.
બીજા ભાગના વેગમાનનું મૂલ્ય $p_2 = m_2 v_2 = 2 \, kg \times 8 \, m s^{-1} = 16 \, kg \, m s^{-1}$ છે.
આ બે ભાગો એકબીજાને કાટખૂણે ગતિ કરતા હોવાથી,આ બે ભાગોના પરિણામી વેગમાનનું મૂલ્ય $p_{12} = \sqrt{p_1^2 + p_2^2} = \sqrt{12^2 + 16^2} = \sqrt{144 + 256} = \sqrt{400} = 20 \, kg \, m s^{-1}$ થાય.
ત્રીજા ભાગનું વેગમાન આ પરિણામી વેગમાન જેટલું જ મૂલ્ય ધરાવતું અને વિરુદ્ધ દિશામાં હોવું જોઈએ જેથી સંરક્ષણનો નિયમ જળવાય.
તેથી,$p_3 = p_{12} = 20 \, kg \, m s^{-1}$.
ત્રીજા ભાગની ઝડપ $v_3 = 4 \, m s^{-1}$ આપેલ હોવાથી,તેનું દળ $m_3$:
$m_3 = \frac{p_3}{v_3} = \frac{20 \, kg \, m s^{-1}}{4 \, m s^{-1}} = 5 \, kg$.

(A) આપેલ બળ $\vec{F} = (3\hat{i} + \hat{j}) \text{ N}$.
પ્રારંભિક સ્થાન $\vec{r}_1 = (2\hat{i} + \hat{k}) \text{ m}$.
અંતિમ સ્થાન $\vec{r}_2 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) \text{ m}$.
સ્થાનાંતર $\vec{d} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1 = (4\hat{i} + 3\hat{j} - \hat{k}) - (2\hat{i} + \hat{k}) = (2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k}) \text{ m}$.
થયેલું કાર્ય $W = \vec{F} \cdot \vec{d} = (3\hat{i} + \hat{j}) \cdot (2\hat{i} + 3\hat{j} - 2\hat{k})$.
$W = (3 \times 2) + (1 \times 3) + (0 \times -2) = 6 + 3 = 9 \text{ J}$.

(B) $Wien$ ના સ્થાનાંતરના નિયમ મુજબ, મહત્તમ તીવ્રતાને અનુરૂપ તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ અને નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ નો ગુણાકાર અચળ હોય છે:
$\lambda_m T = \text{constant}$
$\lambda_m = \frac{\text{constant}}{T}$
જેમ જેમ લોખંડના ટુકડાનું તાપમાન $(T)$ વધે છે, તેમ મહત્તમ તીવ્રતા ધરાવતી તરંગલંબાઇ $(\lambda_m)$ ઘટે છે.
શરૂઆતમાં, નીચા તાપમાને, ઉત્સર્જિત વિકિરણ લાંબી તરંગલંબાઇના વિસ્તારમાં (લાલ) હોય છે. જેમ તાપમાન વધે છે, તેમ ઉત્સર્જન વર્ણપટની ટોચ ટૂંકી તરંગલંબાઇ (લાલ-પીળો) તરફ ખસે છે. જ્યારે તાપમાન પૂરતું ઊંચું થાય છે, ત્યારે પદાર્થ સમગ્ર દ્રશ્ય વર્ણપટમાં વિકિરણનું ઉત્સર્જન કરે છે, જેના કારણે તે સફેદ-ગરમ દેખાય છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,
$PV = nRT$
$V$ ને $T$ ના સંદર્ભમાં ગોઠવતા:
$V = \left( \frac{nR}{P} \right) T$
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી એક સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $m$ નીચે મુજબ છે:
$m = \frac{V}{T} = \frac{nR}{P}$
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto \frac{1}{P})$.
આપેલ આકૃતિ પરથી,ખૂણો $\theta_2 > \theta_1$ છે,જેનો અર્થ છે કે $P_2$ માટેની રેખાનો ઢાળ $P_1$ માટેની રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે:
$(\text{Slope})_2 > (\text{Slope})_1$
ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,વધારે ઢાળ એ ઓછા દબાણને અનુરૂપ છે:
$P_2 < P_1$

(A) અહીં વાયુનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $\Delta Q = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ $(He)$ માટે,મોલર દળ $4\, g/mol$ છે. તેથી,$1\, g$ હિલિયમમાં મોલની સંખ્યા $n = \frac{1}{4}$ થાય.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1$ આપેલ છે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta Q = n C_V \Delta T = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{3}{2} R \right) (T_2 - T_1) = \frac{3}{8} R (T_2 - T_1)$.
સંબંધ $R = N_a k_B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $N_a$ એ એવોગેડ્રો આંક અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,આપણને મળે છે:
$\Delta Q = \frac{3}{8} N_a k_B (T_2 - T_1)$.

(D) જ્યારે દોરી કાપવામાં આવે છે,ત્યારે સળિયો તેના વજન દ્વારા ઉત્પન્ન થતા ટોર્કને કારણે $P$ બિંદુની આસપાસ ફરશે.
ધારો કે $\alpha$ એ સળિયાનો પ્રારંભિક કોણીય પ્રવેગ છે.
$P$ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = I\alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ સળિયાની એક છેડાની સાપેક્ષે જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
$I = \frac{ML^2}{3} \quad ...(i)$
વળી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે ટોર્ક ($P$ થી $L/2$ અંતરે):
$\tau = Mg \times \frac{L}{2} \quad ...(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{ML^2}{3} \alpha = Mg \frac{L}{2}$
$\alpha = \frac{MgL}{2} \times \frac{3}{ML^2}$
$\alpha = \frac{3g}{2L}$

(C) બિંદુવત દળ $m$ થી $r$ અંતરે આવેલા બિંદુએ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V = -\frac{Gm}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બહુવિધ દળોના તંત્ર માટે,કુલ સ્થિતિમાન એ દરેક દળને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે.
અહીં,દરેક પદાર્થનું દળ $m = 2 \, kg$ છે અને તેઓ ઉગમબિંદુથી $r_1 = 1 \, m, r_2 = 2 \, m, r_3 = 4 \, m, r_4 = 8 \, m, \dots$ અંતરે આવેલા છે.
ઉગમબિંદુ પર કુલ ગુરુત્વીય સ્થિતિમાન $V$ નીચે મુજબ છે:
$V = -\frac{G(2)}{1} - \frac{G(2)}{2} - \frac{G(2)}{4} - \frac{G(2)}{8} - \dots$
$V = -2G \left( 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \dots \right)$
કૌંસમાં રહેલી શ્રેણી એ અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = 1$ અને સામાન્ય ગુણોત્તર $r = \frac{1}{2}$ છે.
અનંત સમગુણોત્તર શ્રેણીનો સરવાળો $S = \frac{a}{1 - r}$ છે.
$S = \frac{1}{1 - 1/2} = \frac{1}{1/2} = 2$.
તેથી,$V = -2G(2) = -4G$.

(A) યંગ મોડ્યુલસનું સૂત્ર $Y = \frac{FL}{A \Delta L} = \frac{4FL}{\pi D^2 \Delta L}$ છે.
વિસ્તરણ માટે સૂત્રને ગોઠવતા,$\Delta L = \frac{4FL}{\pi D^2 Y}$ મળે છે.
તમામ તાર એક જ દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી અને સમાન તણાવ $F$ લાગુ કરવામાં આવતો હોવાથી,$Y$ અને $F$ અચળ છે.
તેથી,$\Delta L \propto \frac{L}{D^2}$.
દરેક કિસ્સા માટે $\frac{L}{D^2}$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા:
$(a)$ $\frac{50}{(0.5)^2} = \frac{50}{0.25} = 200 \; cm^{-1}$
$(b)$ $\frac{100}{(1)^2} = 100 \; cm^{-1}$
$(c)$ $\frac{200}{(2)^2} = \frac{200}{4} = 50 \; cm^{-1}$
$(d)$ $\frac{300}{(3)^2} = \frac{300}{9} \approx 33.3 \; cm^{-1}$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,વિકલ્પ $(a)$ માટે ગુણોત્તર સૌથી મોટો છે.

(C) પ્રવાહી દ્વારા સપાટીની ભીનાશ (wettability) પ્રવાહી અને ઘન સપાટી વચ્ચેના સંપર્કકોણ $\theta$ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
જો સંપર્કકોણ $\theta$ લઘુકોણ $(\theta < 90^{\circ})$ હોય,તો પ્રવાહી સપાટીને ભીની કરે છે.
જો સંપર્કકોણ $\theta$ ગુરુકોણ $(\theta > 90^{\circ})$ હોય,તો પ્રવાહી સપાટીને ભીની કરતું નથી.
તેથી,ભીનાશ નક્કી કરતું મુખ્ય પરિબળ સંપર્કકોણ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{P})$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{V})$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે:
$C_{P} - C_{V} = R$
આપેલ છે કે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે:
$\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$
આના પરથી,આપણે $C_{P}$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$C_{P} = \gamma C_{V}$
$C_{P}$ માટેના આ પદને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા:
$\gamma C_{V} - C_{V} = R$
$C_{V}$ ને સામાન્ય લેતા:
$C_{V}(\gamma - 1) = R$
$C_{V}$ માટે ઉકેલતા:
$C_{V} = \frac{R}{\gamma - 1}$

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,તેથી ગુણોત્તર $1.5$ છે.

(A) $P-V$ આલેખમાં,ચક્રીય પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલું કુલ કાર્ય ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
ચક્ર $A \to B \to C \to A$ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં હોવાથી,થયેલું કાર્ય ધન છે.
ત્રિકોણ $ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ મળે છે:
$\text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
પાયો $= V_C - V_A = (7 - 2) \times 10^{-3} \ m^3 = 5 \times 10^{-3} \ m^3$
વેધ $= P_B - P_C = (6 - 2) \times 10^5 \ Pa = 4 \times 10^5 \ Pa$
$\text{થયેલું કાર્ય} = \frac{1}{2} \times (5 \times 10^{-3}) \times (4 \times 10^5) = \frac{1}{2} \times 20 \times 10^2 = 1000 \ J$.

(C) બંને છેડે ખુલ્લી પાઇપમાં,ખુલ્લા છેડા હંમેશા સ્થાનાંતરના એન્ટિનોડ (પ્રસ્પંદ) હોય છે. દબાણમાં ફેરફાર એ સ્થાનાંતરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,ખુલ્લા છેડા પર દબાણમાં ફેરફાર ન્યૂનતમ (શૂન્ય) હોય છે. તેથી,'બંને છેડે દબાણમાં ફેરફાર મહત્તમ હશે' તે વિધાન ખોટું છે.

(D) ધારો કે અજ્ઞાત સ્ત્રોતની આવૃત્તિ $v$ છે.
તે $250\, \text{Hz}$ ના સ્ત્રોત સાથે $4\, \text{beats/s}$ ઉત્પન્ન કરે છે, તેથી શક્ય આવૃત્તિઓ $v = 250 \pm 4$ છે, જે $v = 246\, \text{Hz}$ અથવા $v = 254\, \text{Hz}$ આપે છે.
અજ્ઞાત સ્ત્રોતનો બીજો હાર્મોનિક $2v$ છે. જો $v = 246\, \text{Hz}$ હોય, તો $2v = 492\, \text{Hz}$ થાય. $513\, \text{Hz}$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $|513 - 492| = 21\, \text{beats/s}$ મળે, જે આપેલ $5\, \text{beats/s}$ સાથે મેળ ખાતી નથી.
જો $v = 254\, \text{Hz}$ હોય, તો $2v = 508\, \text{Hz}$ થાય. $513\, \text{Hz}$ સાથેની બીટ આવૃત્તિ $|513 - 508| = 5\, \text{beats/s}$ મળે, જે આપેલ શરત સાથે મેળ ખાય છે.
તેથી, અજ્ઞાત આવૃત્તિ $254\, \text{Hz}$ છે.

(A) $+ve$ $x$-દિશામાં ગતિ કરતા તરંગનું પ્રમાણિત સમીકરણ:
$y = A \sin(kx - \omega t)$
જ્યાં:
$A$ એ તરંગનો કંપવિસ્તાર છે.
$k$ એ કોણીય તરંગ સંખ્યા છે.
$\omega$ એ તરંગની કોણીય આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે: $A = 1\, m$,$\lambda = 2\pi\, m$,અને $f = \frac{1}{\pi}\ Hz$.
તરંગ સંખ્યા $k$ ની ગણતરી:
$k = \frac{2\pi}{\lambda} = \frac{2\pi}{2\pi} = 1\, m^{-1}$.
કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ ની ગણતરી:
$\omega = 2\pi f = 2\pi \times \frac{1}{\pi} = 2\, rad/s$.
આ કિંમતોને પ્રમાણિત સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 1 \sin(1x - 2t) = \sin(x - 2t)$.

(C) $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થની પૃથ્વીના કેન્દ્રથી $r$ અંતરે ગુરુત્વાકર્ષણીય સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GM_e m}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પૃથ્વીની સપાટી પર $(r = R_e)$ પ્રારંભિક સ્થિતિ ઊર્જા $U_i = -\frac{GM_e m}{R_e}$ છે.
$h = 2R_e$ ઊંચાઈ પર $(r = R_e + h = 3R_e)$ અંતિમ સ્થિતિ ઊર્જા $U_f = -\frac{GM_e m}{3R_e}$ છે.
સ્થિતિ ઊર્જામાં થતો વધારો $\Delta U = U_f - U_i$ છે.
$\Delta U = -\frac{GM_e m}{3R_e} - (-\frac{GM_e m}{R_e}) = \frac{GM_e m}{R_e} (1 - \frac{1}{3}) = \frac{2}{3} \frac{GM_e m}{R_e}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $g = \frac{GM_e}{R_e^2}$,તેથી $GM_e = gR_e^2$.
આ કિંમત મૂકતા: $\Delta U = \frac{2}{3} \frac{(gR_e^2)m}{R_e} = \frac{2}{3} mgR_e$.

(A) ધારો કે દરેક બોલનું દળ $m$ છે અને દરેક બોલ પરનો વિદ્યુતભાર $q$ છે. સ્થિત વિદ્યુત અપાકર્ષણ બળ $F = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_{0}} \frac{q^{2}}{r^{2}}$ છે.
સંતુલનમાં,દરેક બોલ પર લાગતા બળો તણાવ $T$,વજન $mg$ અને સ્થિત વિદ્યુત બળ $F$ છે.
$T \cos \theta = mg$ $(i)$
$T \sin \theta = F$ $(ii)$
$(ii)$ ને $(i)$ વડે ભાગતા,આપણને $\tan \theta = \frac{F}{mg} = \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2} mg}$ મળે છે.
પ્રથમ કિસ્સાની ભૂમિતિ પરથી,$\tan \theta = \frac{r/2}{y} = \frac{r}{2y}$.
આમ,$\frac{r}{2y} = \frac{q^{2}}{4 \pi \varepsilon_{0} r^{2} mg} \Rightarrow y \propto r^{3}$.
બીજા કિસ્સામાં,દોરીઓને અડધી ઊંચાઈએ બાંધવામાં આવે છે,તેથી નવી ઊભી ઊંચાઈ $y' = y/2$ છે. ધારો કે નવું અંતર $r'$ છે.
વિદ્યુતભાર $q$ અને દળ $m$ સમાન રહેતા હોવાથી,સંબંધ $y \propto r^{3}$ યથાવત રહે છે.
તેથી,$\frac{y'}{y} = \left( \frac{r'}{r} \right)^{3}$.
$y' = y/2$ મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2} = \left( \frac{r'}{r} \right)^{3}$ મળે છે.
$r'^{3} = \frac{r^{3}}{2} \Rightarrow r' = \frac{r}{\sqrt[3]{2}}$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્રની દિશામાં વિદ્યુત સ્થિતિમાન ઘટે છે.
આપેલ આકૃતિ પરથી,વિદ્યુતક્ષેત્ર $\vec{E}$ ની દિશામાં બિંદુ $B$ સૌથી ડાબી બાજુએ છે,ત્યારબાદ બિંદુ $C$ આવે છે અને છેલ્લે બિંદુ $A$ આવે છે.
તેથી,આ બિંદુઓ પરનું સ્થિતિમાન $V_B > V_C > V_A$ સંબંધ ધરાવે છે.
આમ,વિદ્યુત સ્થિતિમાન બિંદુ $B$ પાસે મહત્તમ છે.

(C) તારનો અવરોધ $R = \rho \frac{l}{A} = 4 \,\Omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે .... $(i)$
જ્યારે તારને તેની મૂળ લંબાઈ કરતા બમણી લંબાઈ સુધી ખેંચવામાં આવે,ત્યારે નવી લંબાઈ $l^{\prime} = 2l$ થાય છે.
ખેંચવાની પ્રક્રિયા દરમિયાન તારનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,$V = lA = l^{\prime}A^{\prime}$ થાય.
$l^{\prime} = 2l$ મૂકતા,$lA = (2l)A^{\prime}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $A^{\prime} = \frac{A}{2}$.
નવો અવરોધ $R^{\prime} = \rho \frac{l^{\prime}}{A^{\prime}}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$R^{\prime} = \rho \frac{2l}{A/2} = 4 \left( \rho \frac{l}{A} \right)$.
સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા,$R^{\prime} = 4 \times 4 \,\Omega = 16 \,\Omega$.

(A) કોષનું $EMF$ $\varepsilon$ અને આંતરિક અવરોધ $r$ ધરાવતા પરિપથમાં,જ્યારે તેને બાહ્ય અવરોધ $R$ સાથે જોડવામાં આવે ત્યારે વહેતા વિદ્યુતપ્રવાહ $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{\varepsilon}{R + r}$
આંતરિક અવરોધ $r$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$I(R + r) = \varepsilon$
$IR + Ir = \varepsilon$
$Ir = \varepsilon - IR$
$r = \frac{\varepsilon - IR}{I}$
આપેલ કિંમતો:
$EMF$ $\varepsilon = 2.1\, V$
બાહ્ય અવરોધ $R = 10\,\Omega$
વિદ્યુતપ્રવાહ $I = 0.2\, A$
કિંમતો મૂકતા:
$r = \frac{2.1 - (0.2 \times 10)}{0.2}$
$r = \frac{2.1 - 2}{0.2}$
$r = \frac{0.1}{0.2}$
$r = 0.5\,\Omega$

(A) સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે, શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{S}$ છે。
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{10 \, \Omega}{30 \, \Omega} = \frac{30 \, \Omega}{90 \, \Omega}$, જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$ થાય છે。
બ્રિજ સંતુલિત હોવાથી, ગેલ્વેનોમીટરની શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી। તેથી, $50 \, \Omega$ નો ગેલ્વેનોમીટર અવરોધ નિષ્ક્રિય બને છે。
પરિપથ બે સમાંતર શાખાઓમાં સરળ બને છે: $(P+Q)$ અને $(R+S)$ સમાંતરમાં, જે આંતરિક અવરોધ $r = 5 \, \Omega$ સાથે શ્રેણીમાં જોડાયેલ છે。
સમાંતર ભાગનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p = \frac{(P+Q)(R+S)}{(P+Q)+(R+S)} = \frac{(10+30)(30+90)}{(10+30)+(30+90)} = \frac{40 \times 120}{40+120} = \frac{4800}{160} = 30 \, \Omega$ છે。
પરિપથનો કુલ સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq} = r + R_p = 5 \, \Omega + 30 \, \Omega = 35 \, \Omega$ છે。
કોષમાંથી ખેંચાતો પ્રવાહ $I = \frac{E}{R_{eq}} = \frac{7 \, V}{35 \, \Omega} = 0.2 \, A$ છે।

(B) $1$. જ્યારે પ્રોટોન સ્થિર હોય છે,ત્યારે તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ વિદ્યુત બળ $F_E = qE = eE$ છે. આપેલ છે કે પ્રવેગ પશ્ચિમ દિશામાં $a_0$ છે,તેથી $ma_0 = eE$,જેનો અર્થ છે કે $E = \frac{ma_0}{e}$ પશ્ચિમ દિશામાં છે.
$2$. જ્યારે પ્રોટોનને $v_0$ ઝડપ સાથે ઉત્તર દિશામાં ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ બળ એ વિદ્યુત બળ અને ચુંબકીય બળનો સદિશ સરવાળો છે: $F_{net} = F_E + F_B = ma_{net}$.
$3$. કુલ પ્રવેગ પશ્ચિમ દિશામાં $3a_0$ છે. કારણ કે $F_E$ પશ્ચિમ દિશામાં $ma_0$ છે,તેથી ચુંબકીય બળ $F_B$ પશ્ચિમ દિશામાં $2ma_0$ હોવું જોઈએ જેથી કુલ બળ પશ્ચિમ દિશામાં $3a_0$ મળે $(F_B = F_{net} - F_E = 3ma_0 - ma_0 = 2ma_0)$.
$4$. ચુંબકીય બળ $F_B = q(v \times B) = ev_0B \sin(\theta)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. બળ પશ્ચિમ દિશામાં અને વેગ ઉત્તર દિશામાં હોવાથી,ફ્લેમિંગના ડાબા હાથના નિયમ મુજબ ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ નીચેની દિશામાં હોવું જોઈએ.
$5$. મૂલ્યોને સરખાવતા: $ev_0B = 2ma_0$,જે આપે છે $B = \frac{2ma_0}{ev_0}$ નીચેની દિશામાં.

(D) જ્યારે પ્રવાહધારિત લૂપને ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે $\vec{\tau} = \vec{M} \times \vec{B}$ મુજબ ટોર્ક અનુભવે છે,જ્યાં $\vec{M}$ એ ચુંબકીય મોમેન્ટ છે અને $\vec{B}$ એ ચુંબકીય ક્ષેત્ર છે.
ટોર્કનું મૂલ્ય $\tau = MB \sin \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ એ $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
જ્યારે ટોર્ક શૂન્ય હોય ત્યારે સંતુલન સ્થિતિ પ્રાપ્ત થાય છે,જે $\sin \theta = 0$ એટલે કે $\theta = 0^{\circ}$ અથવા $\theta = 180^{\circ}$ પર થાય છે.
$1$. જ્યારે $\theta = 0^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ સમાંતર હોય છે. આ સ્થિતિ લઘુત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U = -MB)$ ધરાવે છે,જે સ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
$2$. જ્યારે $\theta = 180^{\circ}$ હોય,ત્યારે $\vec{M}$ અને $\vec{B}$ પ્રતિ-સમાંતર હોય છે. આ સ્થિતિ મહત્તમ સ્થિતિ ઊર્જા $(U = +MB)$ ધરાવે છે,જે અસ્થાયી સંતુલન દર્શાવે છે.
આમ,લૂપ બે દિશાઓમાં સંતુલનમાં હોઈ શકે છે,એક સ્થાયી અને બીજી અસ્થાયી.

(B) ધારો કે $l$ લંબાઈના ગજિયા ચુંબકના દરેક ધ્રુવની ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ છે. તો,પ્રારંભિક ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ નીચે મુજબ છે:
$M = m \times l$ ......... $(i)$
જ્યારે ગજિયા ચુંબકને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી ચાપમાં વાળવામાં આવે છે જે કેન્દ્ર પર $\theta = 60^{\circ} = \frac{\pi}{3} \text{ રેડિયન}$ નો ખૂણો આંતરે છે,ત્યારે ચાપની લંબાઈ $l$ છે:
$l = r \theta = r \times \frac{\pi}{3}$
$r = \frac{3l}{\pi}$
નવી ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ $M^{\prime}$ એ ધ્રુવ પ્રબળતા $m$ અને બે ધ્રુવો વચ્ચેના સીધા અંતર (જીવાની લંબાઈ) નો ગુણાકાર છે.
જીવાની લંબાઈ $d = 2r \sin(\frac{\theta}{2}) = 2r \sin(30^{\circ}) = 2r \times \frac{1}{2} = r$.
તેથી,$M^{\prime} = m \times d = m \times r$.
$r = \frac{3l}{\pi}$ મૂકતા:
$M^{\prime} = m \times \frac{3l}{\pi} = \frac{3}{\pi} (m \times l) = \frac{3}{\pi} M$ (સમીકરણ $(i)$ નો ઉપયોગ કરતા).

(C) બે લેન્સ $1$ અને $2$ નું સંયોજન આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ છે.
સંપર્કમાં રહેલા પાતળા લેન્સના સંયોજન માટે,સમતુલ્ય કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $\frac{1}{f} = \frac{1}{f_1} + \frac{1}{f_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લેન્સ મેકરના સૂત્ર મુજબ,$\frac{1}{f} = (\mu - 1) \left( \frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2} \right)$.
પ્લેનો-કોન્વેક્સ લેન્સ (લેન્સ $1$) માટે: $R_1 = \infty$,$R_2 = -R$. તેથી,$\frac{1}{f_1} = (\mu_1 - 1) \left( \frac{1}{\infty} - \frac{1}{-R} \right) = \frac{\mu_1 - 1}{R}$.
પ્લેનો-કોન્કેવ લેન્સ (લેન્સ $2$) માટે: $R_1 = -R$,$R_2 = \infty$. તેથી,$\frac{1}{f_2} = (\mu_2 - 1) \left( \frac{1}{-R} - \frac{1}{\infty} \right) = -\frac{\mu_2 - 1}{R}$.
આ કિંમતોને સંયોજનના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{1}{f} = \frac{\mu_1 - 1}{R} - \frac{\mu_2 - 1}{R} = \frac{\mu_1 - 1 - \mu_2 + 1}{R} = \frac{\mu_1 - \mu_2}{R}$.
તેથી,$f = \frac{R}{\mu_1 - \mu_2}$.

(C) આંખની કુલ કન્વર્જિંગ પાવર એ કોર્નિયા અને આંખના લેન્સની પાવરનો સરવાળો છે.
કુલ પાવર $P = P_{c} + P_{e} = 40\, D + 20\, D = 60\, D$.
સામાન્ય આંખ માટે,અનંત અંતરે રહેલી વસ્તુનું પ્રતિબિંબ રેટિના પર રચાય છે.
આંખની સિસ્ટમની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ એ $f = \frac{1}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = \frac{1}{60}\, m = \frac{100}{60}\, cm = \frac{5}{3}\, cm$.
$f \approx 1.67\, cm$.
પ્રતિબિંબ રેટિના પર રચાતું હોવાથી,રેટિના અને કોર્નિયા-આઈ લેન્સ વચ્ચેનું અંતર એ આંખની સિસ્ટમની કેન્દ્રલંબાઈ જેટલું હોય છે,જે $1.67\, cm$ છે.

(C) ધાતુનું વર્ક ફંક્શન $\phi = h\nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\nu$ એ કટ-ઓફ (થ્રેશોલ્ડ) આવૃત્તિ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઈલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{\max} = E - \phi$ છે.
અહીં,આપાત આવૃત્તિ $2\nu$ છે,તેથી આપાત ઊર્જા $E = h(2\nu) = 2h\nu$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $K_{\max} = 2h\nu - h\nu = h\nu$ મળે છે.
કારણ કે $K_{\max} = \frac{1}{2}mv_{\max}^2$,તેથી $\frac{1}{2}mv_{\max}^2 = h\nu$ થાય.
$v_{\max}$ માટે ઉકેલતા,$v_{\max}^2 = \frac{2h\nu}{m}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $v_{\max} = \sqrt{\frac{2h\nu}{m}}$.

(A) $E$ જેટલી ગતિઊર્જા ધરાવતા ઇલેક્ટ્રોનની ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ:
$\lambda_e = \frac{h}{\sqrt{2 m_e E}}$ .... $(i)$
$E$ જેટલી ઊર્જા ધરાવતા ફોટોનની તરંગલંબાઈ:
$\lambda_p = \frac{hc}{E}$ અથવા $E = \frac{hc}{\lambda_p}$ .... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ નો બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$\lambda_e^2 = \frac{h^2}{2 m_e E}$ અથવા $E = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$ .... $(iii)$
સમીકરણ $(ii)$ અને $(iii)$ માંથી $E$ ને સરખાવતા:
$\frac{hc}{\lambda_p} = \frac{h^2}{2 m_e \lambda_e^2}$
$\lambda_p$ ને કર્તા બનાવતા:
$\lambda_p = \left( \frac{2 m_e c}{h} \right) \lambda_e^2$
અહીં $\frac{2 m_e c}{h}$ એ અચળાંક હોવાથી:
$\lambda_p \propto \lambda_e^2$

(A) ભ્રમણ કરતી લૂપમાં પ્રેરિત $e.m.f.$ નું સૂત્ર $\varepsilon = N B A \omega \sin(\omega t)$ છે.
જ્યારે લૂપ એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે,ત્યારે $\sin(\omega t)$ નું મૂલ્ય $180^{\circ}$ પર ધનમાંથી ઋણ અને $360^{\circ}$ પર ઋણમાંથી ધન થાય છે.
તેથી,પ્રેરિત $e.m.f.$ ની દિશા દરેક પરિભ્રમણ દીઠ બે વાર બદલાય છે.

(C) પરિપથમાં એક ઇન્ડક્ટર $L$ અને એક બલ્બ $B$ શ્રેણીમાં $AC$ સોર્સ સાથે જોડાયેલા છે. પરિપથનો ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ છે,જ્યાં $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે અને $X_L = \omega L$ એ ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ છે.
જ્યારે ગૂંચળામાં લોખંડનો સળિયો દાખલ કરવામાં આવે છે,ત્યારે કોરની પરમીએબિલિટી વધે છે,જેનાથી ગૂંચળાનું સેલ્ફ-ઇન્ડક્ટન્સ $L$ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
$X_L = \omega L$ હોવાથી,$L$ માં વધારો થવાથી ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ $X_L$ માં વધારો થાય છે.
જેમ કુલ ઇમ્પીડન્સ $Z = \sqrt{R^2 + X_L^2}$ વધે છે,તેમ પરિપથમાં વહેતો કુલ પ્રવાહ $I = \frac{V}{Z}$ ઘટે છે.
બલ્બની તેજસ્વિતા તેના દ્વારા વપરાતા પાવર $P = I^2 R$ પર આધાર રાખે છે. પ્રવાહ $I$ ઘટતો હોવાથી,બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર ઘટે છે અને તેથી બલ્બની તેજસ્વિતા ઘટે છે.

(D) માઇક્રોવેવ ઓવનમાં,માઇક્રોવેવની આવૃત્તિને પાણીના અણુઓની અનુનાદિત આવૃત્તિ સાથે મેળવવામાં આવે છે.
જ્યારે આ આવૃત્તિઓ સમાન હોય છે,ત્યારે પાણીના અણુઓ અનુનાદની પ્રક્રિયા દ્વારા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગોમાંથી ઉર્જાનું શોષણ કરે છે.
આ ઉર્જાનું શોષણ પાણીના અણુઓની પરિભ્રમણીય ગતિ ઉર્જામાં વધારો કરે છે,જે તાપમાનમાં વધારા તરીકે દેખાય છે,જેનાથી ખોરાક કાર્યક્ષમ રીતે ગરમ થાય છે.

(A) ધારો કે $\lambda_1$ ની $n_1$-મી પ્રકાશિત શલાકા એ $\lambda_2$ ની $n_2$-મી પ્રકાશિત શલાકા સાથે સંપાત થાય છે.
પ્રકાશિત શલાકા માટે,સ્થાન $x = \frac{n\lambda D}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાન સમાન હોવાથી,$\frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{n_2 \lambda_2 D}{d}$,જેનો અર્થ છે કે $n_1 \lambda_1 = n_2 \lambda_2$.
તેથી,$\frac{n_1}{n_2} = \frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{10000}{12000} = \frac{5}{6}$.
આમ,લઘુત્તમ પૂર્ણાંક મૂલ્યો $n_1 = 5$ અને $n_2 = 6$ છે.
હવે,$n_1 = 5$ નો ઉપયોગ કરીને અંતર $x$ ની ગણતરી કરીએ:
$x = \frac{n_1 \lambda_1 D}{d} = \frac{5 \times 12000 \times 10^{-10} \times 2}{2 \times 10^{-3}}$.
$x = \frac{5 \times 12 \times 10^{-7} \times 2}{2 \times 10^{-3}} = 60 \times 10^{-4} = 6 \times 10^{-3}\, m$.
$x = 6\, mm$.

(B) દ બ્રોગ્લીના અધિતર્ક મુજબ,$v$ વેગથી ગતિ કરતા ઇલેક્ટ્રોનની તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $m$ એ ઇલેક્ટ્રોનનું દળ છે.
એક સ્લિટની વિવર્તન ભાતમાં મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\omega = \frac{2\lambda}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ સ્લિટની પહોળાઈ છે.
$\lambda$ નું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\omega = \frac{2h}{mdv}$ મળે છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ છે કે $\omega \propto \frac{1}{v}$.
તેથી,જો ઇલેક્ટ્રોનની ઝડપ $v$ વધારવામાં આવે,તો મધ્યસ્થ અધિકતમની કોણીય પહોળાઈ $\omega$ ઘટશે.

(A) લાયમન શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(\frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 2, 3, 4, \dots$ છે.
લાયમન શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,આપણે $n = 2$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{L}} = R\left(1 - \frac{1}{4}\right) = \frac{3R}{4} \implies \lambda_{L} = \frac{4}{3R}$.
બામર શ્રેણીમાં વર્ણપટ રેખાની તરંગલંબાઇ $\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{2^{2}} - \frac{1}{n^{2}}\right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 3, 4, 5, \dots$ છે.
બામર શ્રેણીમાં સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ માટે,આપણે $n = 3$ લઈએ છીએ:
$\frac{1}{\lambda_{B}} = R\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{9}\right) = R\left(\frac{9-4}{36}\right) = \frac{5R}{36} \implies \lambda_{B} = \frac{36}{5R}$.
લાયમન શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ અને બામર શ્રેણીની સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{L}}{\lambda_{B}} = \frac{4/3R}{36/5R} = \frac{4}{3R} \times \frac{5R}{36} = \frac{5}{27}$.

(B) ફ્યુઝન પ્રક્રિયા $4_{1}^{1} H \rightarrow _{2}^{4} He + 2e^{+} + 2\nu + Q$ છે.
ચાર હાઇડ્રોજન ન્યુક્લિયસમાંથી એક હિલિયમ ન્યુક્લિયસ $(_{2}^{4} He)$ બનાવવા માટેની કુલ દળ ક્ષતિ $\Delta M = 0.02866 \, u$ છે.
આ ફ્યુઝન પ્રક્રિયામાં મુક્ત થતી કુલ ઉર્જા $E = \Delta M \times 931 \, MeV$ છે.
$E = 0.02866 \times 931 \approx 26.7 \, MeV$.
હિલિયમ ન્યુક્લિયસનો દળ ક્રમાંક $4$ હોવાથી,પ્રતિ $u$ મુક્ત થતી ઉર્જા શોધવા માટે કુલ ઉર્જાને હિલિયમ ન્યુક્લિયસના દળ ક્રમાંક વડે ભાગવામાં આવે છે.
પ્રતિ $u$ ઉર્જા = $\frac{26.7 \, MeV}{4} = 6.675 \, MeV$.

(A) ધારો કે $X$ ના શરૂઆતના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0$ છે.
$t$ સમય પછી,$X$ ના બાકી રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $N$ છે અને બનેલા $Y$ ના પરમાણુઓની સંખ્યા $N_0 - N$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$X$ અને $Y$ નો ગુણોત્તર $\frac{N}{N_0 - N} = \frac{1}{7}$ છે.
આથી $7N = N_0 - N$,જેનું સાદું રૂપ $8N = N_0$ અથવા $\frac{N}{N_0} = \frac{1}{8}$ થાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{N}{N_0} = (\frac{1}{2})^n$,જ્યાં $n$ એ અર્ધ-આયુષ્યની સંખ્યા છે.
તેથી,$(\frac{1}{2})^3 = (\frac{1}{2})^n$,જે દર્શાવે છે કે $n = 3$.
ખડકની ઉંમર $t = n \times T_{1/2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $T_{1/2} = 20$ વર્ષ આપેલ છે,તેથી $t = 3 \times 20 = 60$ વર્ષ.
આમ,ખડકની ઉંમર $60$ વર્ષ છે.

(B) $n-$ પ્રકારના સેમિકન્ડક્ટરમાં,આંતરિક સેમિકન્ડક્ટર ($Si$ અથવા $Ge$ જેવા) ને પેન્ટાવેલેન્ટ અશુદ્ધિ પરમાણુઓ ($P, As, Sb$ જેવા) સાથે ડોપ કરવામાં આવે છે.
આ પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ કન્ડક્શન બેન્ડમાં વધારાના ઇલેક્ટ્રોન પૂરા પાડે છે.
તેથી,ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ બને છે,જ્યારે હોલ માઇનોરિટી ચાર્જ કેરિયર્સ હોય છે.
આમ,સાચું વિધાન એ છે કે ઇલેક્ટ્રોન મેજોરિટી કેરિયર્સ છે અને પેન્ટાવેલેન્ટ પરમાણુઓ ડોપન્ટ્સ છે.

(D) વોલ્ટેજ ગેઈન એ કરંટ ગેઈન અને રેઝિસ્ટન્સ ગેઈનનો ગુણાકાર છે.
$A_{v} = \beta \times \frac{R_{\text{out}}}{R_{\text{in}}}$
ટ્રાન્સકન્ડક્ટન્સ $g_{m} = \frac{\beta}{R_{\text{in}}}$ હોવાથી,આપણે $R_{\text{in}} = \frac{\beta}{g_{m}}$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને વોલ્ટેજ ગેઈનના સૂત્રમાં મૂકતા: $A_{v} = \beta \times \frac{R_{\text{out}}}{\beta / g_{m}} = g_{m} R_{\text{out}}$.
પ્રથમ ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે: $G = 0.03 \times R_{\text{out}}$ (સમીકરણ $i$).
બીજા ટ્રાન્ઝિસ્ટર માટે: $G' = 0.02 \times R_{\text{out}}$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ ને સમીકરણ $i$ વડે ભાગતા: $\frac{G'}{G} = \frac{0.02}{0.03} = \frac{2}{3}$.
તેથી,નવો વોલ્ટેજ ગેઈન $G' = \frac{2}{3} G$ થશે.

(C) પ્રથમ ગેટ એ $A$ અને $B$ ઇનપુટ ધરાવતો $NAND$ ગેટ છે. તેનું આઉટપુટ $\overline{A.B}$ છે.
આ આઉટપુટને $NOT$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે (જ્યારે $NAND$ ગેટના બંને ઇનપુટને એકસાથે જોડવામાં આવે ત્યારે તે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે).
જો $NOT$ ગેટનું ઇનપુટ $Y$ હોય,તો આઉટપુટ $\overline{Y}$ મળે છે.
અહીં,$Y = \overline{A.B}$ છે,તેથી અંતિમ આઉટપુટ $X = \overline{\overline{A.B}}$ થશે.
બુલિયન બીજગણિતના ગુણધર્મ $\overline{\overline{Z}} = Z$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $X = A.B$ મળે છે.