AIPMT 2007 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) ઓમના નિયમ મુજબ,$V = RI$,જેનો અર્થ છે કે $R = \frac{V}{I}$.
સ્થિતિમાનનો તફાવત $V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $V = \frac{W}{q}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $W$ એ કાર્ય છે અને $q$ એ વિદ્યુતભાર છે.
કાર્ય $W$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $[ML^2T^{-2}]$ અને વિદ્યુતભાર $q$ નું $[IT]$ છે.
તેથી,$V$ નું પારિમાણિક સૂત્ર $= \frac{[ML^2T^{-2}]}{[IT]} = [ML^2T^{-3}I^{-1}]$.
હવે,અવરોધના સૂત્રમાં આ કિંમત મૂકતા: $R = \frac{[ML^2T^{-3}I^{-1}]}{[I]} = [ML^2T^{-3}I^{-2}]$.

(A) આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ: $x = 9t^2 - t^3$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 - t^3) = 18t - 3t^2$.
ઝડપ મહત્તમ હોય તે સમય શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન કરીએ અને તેને શૂન્ય લઈએ: $\frac{dv}{dt} = 18 - 6t = 0$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = 3 \ s$ મળે છે.
હવે,તે ક્ષણે સ્થાન શોધવા માટે $t = 3 \ s$ ને સ્થાનના સમીકરણમાં મૂકતા: $x = 9(3)^2 - (3)^3 = 9(9) - 27 = 81 - 27 = 54 \ m$.

(C) સરેરાશ ઝડપ એટલે કુલ કાપેલું અંતર અને કુલ સમયનો ગુણોત્તર.
ધારો કે $X$ અને $Y$ વચ્ચેનું અંતર $d$ છે.
$X$ થી $Y$ સુધી જવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \frac{d}{v_1}$ છે.
$Y$ થી $X$ સુધી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \frac{d}{v_2}$ છે.
કુલ અંતર $= d + d = 2d$.
કુલ સમય $= t_1 + t_2 = \frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}$.
સરેરાશ ઝડપ $\bar v = \frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{2d}{\frac{d}{v_1} + \frac{d}{v_2}}$.
અંશ અને છેદમાંથી $d$ ને દૂર કરતા,આપણને $\bar v = \frac{2}{\frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}}$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા $\frac{2}{\bar v} = \frac{1}{v_1} + \frac{1}{v_2}$ મળે છે.

(C) આપેલ છે: $t = 0$ સમયે,વેગ $v = 0$.
પ્રવેગ $f = f_0(1 - t/T)$.
જ્યારે $f = 0$ થાય ત્યારે,$0 = f_0(1 - t/T)$. $f_0$ અચળ હોવાથી,$1 - t/T = 0$,જેનો અર્થ છે કે $t = T$.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $f = \frac{dv}{dt}$,તેથી $dv = f dt$.
બંને બાજુ $t = 0$ થી $t = T$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{v_x} dv = \int_{0}^{T} f_0(1 - t/T) dt$
$v_x = f_0 \left[ t - \frac{t^2}{2T} \right]_{0}^{T}$
$v_x = f_0 \left( T - \frac{T^2}{2T} \right) = f_0 \left( T - \frac{T}{2} \right) = \frac{1}{2} f_0 T$.

(B) ધારો કે $\theta$ એ ખૂણો છે જે કણનો પથ $x$-અક્ષ સાથે બનાવે છે.
આપેલ યામ $(x, y) = (\sqrt{3}, 3)$ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\tan \theta = \frac{y}{x}$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\tan \theta = \frac{3}{\sqrt{3}}$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$\tan \theta = \sqrt{3}$ મળે છે.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^o$.

(A) આપેલ સમીકરણ: $|\vec A \times \vec B| = \sqrt{3}(\vec A \cdot \vec B)$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સદિશ ગુણાકારનું મૂલ્ય $|\vec A \times \vec B| = AB \sin \theta$ છે અને અદિશ ગુણાકાર $\vec A \cdot \vec B = AB \cos \theta$ છે.
આ કિંમતોને આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા:
$AB \sin \theta = \sqrt{3} AB \cos \theta$.
બંને બાજુને $AB \cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \sqrt{3}$.
$\tan \theta = \sqrt{3}$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(\sqrt{3}) = 60^\circ$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = V$,અંતિમ વેગ $v = 0$.
બ્લોક પર લાગતું ગતિક ઘર્ષણ બળ $f = \mu R = \mu mg$ છે,જ્યાં $m$ એ બ્લોકનું દળ છે અને $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આ ઘર્ષણને કારણે ઉત્પન્ન થતો પ્રતિપ્રવેગ $a$ છે:
$a = \frac{f}{m} = \frac{\mu mg}{m} = \mu g$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u - at$ (જ્યાં $a$ એ પ્રતિપ્રવેગ છે):
$0 = V - (\mu g)t$
$V = \mu gt$
$t = \frac{V}{\mu g}$.

(A) કાર્ય-ઊર્જા પ્રમેય મુજબ,તંત્ર પર થયેલું કુલ કાર્ય દડાની ગતિઊર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલું હોય છે.
ધારો કે દડાની પ્રારંભિક સ્થિતિ સ્પ્રિંગથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. અંતિમ સ્થિતિ ત્યારે છે જ્યારે સ્પ્રિંગ $d$ અંતર જેટલી દબાય છે.
દડાનું કુલ શિરોલંબ સ્થાનાંતર $(h + d)$ છે.
દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ (નીચેની તરફ) અને સ્પ્રિંગ બળ (ઉપરની તરફ) છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_g = mg(h + d)$ છે.
સ્પ્રિંગ બળ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W_s = -\int_0^d kx \, dx = -\frac{1}{2}kd^2$ છે.
દડા પર થયેલું કુલ કાર્ય $W_{net} = W_g + W_s = mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ છે.
દડો સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને મહત્તમ સંકોચન $d$ પર ક્ષણિક સ્થિર થાય છે,તેથી ગતિઊર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે,જે સૂચવે છે કે સમગ્ર પ્રક્રિયા માટે $W_{net} = 0$ છે. જોકે,પ્રશ્નમાં સ્થાનાંતર $d$ દરમિયાન બાહ્ય બળો (ગુરુત્વાકર્ષણ અને સ્પ્રિંગ) દ્વારા થયેલું કુલ કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે,જે $mg(h + d) - \frac{1}{2}kd^2$ છે.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેનનો નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત ઉર્જાનો દર $(E)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન ($T$,કેલ્વિનમાં) ની ચતુર્થ ઘાતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સૂત્ર $E \propto T^4$ છે.
અહીં તાપમાન સેલ્સિયસમાં $727^\circ C$ આપેલું છે,તેથી તેને કેલ્વિનમાં ફેરવતા:
$T = 727 + 273 = 1000 \ K$.
આ કિંમતને સમપ્રમાણતાના સંબંધમાં મૂકતા:
$E \propto (1000)^4$.
તેથી,ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર $(1000)^4$ ના પ્રમાણમાં છે.

(C) સૂર્ય દ્વારા ઉત્સર્જિત કુલ પાવર $P$,જે $r$ ત્રિજ્યા અને $T = (t + 273) \ K$ નિરપેક્ષ તાપમાન ધરાવતા કૃષ્ણ પદાર્થ તરીકે વર્તે છે,તે સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $P = \sigma A T^4 = \sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4$.
સૂર્યના કેન્દ્રથી $R$ અંતરે,આ પાવર $4\pi R^2$ જેટલી ગોળાકાર સપાટી પર ફેલાય છે.
આપાત કિરણોને લંબ સપાટી દ્વારા એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ પ્રાપ્ત થતો પાવર (તીવ્રતા $S$) નીચે મુજબ છે: $S = \frac{P}{4\pi R^2}$.
$P$ ની કિંમત મૂકતા: $S = \frac{\sigma (4\pi r^2) (t + 273)^4}{4\pi R^2} = \frac{r^2 \sigma (t + 273)^4}{R^2}$.

(C) બિંદુ $A$ ની આસપાસ ટોર્ક $\tau$ એ સળિયાના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર પર લાગતા ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે છે,જે $A$ થી $l/2$ અંતરે છે.
$\tau = mg \times \frac{l}{2} = \frac{mgl}{2}$
ટોર્ક અને કોણીય પ્રવેગ વચ્ચેના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$\tau = I\alpha$,જ્યાં $I$ એ $A$ ની આસપાસ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આપેલ છે કે $I = \frac{ml^2}{3}$,તેથી:
$\alpha = \frac{\tau}{I} = \frac{mgl/2}{ml^2/3} = \frac{mgl}{2} \times \frac{3}{ml^2} = \frac{3g}{2l}$

(A) ઉગમબિંદુ $O$ ની સાપેક્ષે કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ સૂત્ર $L = r \times p = r \times (mv)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ કણનો સ્થાન સદિશ છે અને $p$ એ તેનું રેખીય વેગમાન છે.
આને $L = m v d$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $d$ એ ઉગમબિંદુ $O$ થી કણની ગતિની રેખા સુધીનું લંબ અંતર છે.
કણ સીધી રેખા $AB$ પર ગતિ કરતો હોવાથી,ઉગમબિંદુ $O$ થી આ રેખા સુધીનું લંબ અંતર $d$ રેખા પરના તમામ બિંદુઓ માટે અચળ રહે છે.
તેથી,રેખા $AB$ પરના તમામ બિંદુઓ માટે કોણીય વેગમાન $L$ અચળ રહે છે.
આમ,$L_A = L_B$.

(D) કાર્નોટ એન્જિનની કાર્યક્ષમતા $\eta = 1 - \frac{T_2}{T_1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_1$ એ સ્ત્રોતનું તાપમાન અને $T_2$ એ સિંકનું તાપમાન કેલ્વિનમાં છે.
આપેલ છે કે $\eta_1 = 1/6$,તેથી $1/6 = 1 - \frac{T_2}{T_1}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{T_2}{T_1} = 5/6$ અથવા $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ $...(i)$.
જ્યારે સિંકનું તાપમાન $62^{\circ}C$ (જે $62 \ K$ ના ફેરફારને સમકક્ષ છે) ઘટાડવામાં આવે છે,ત્યારે નવી કાર્યક્ષમતા $\eta_2 = 2 \times \eta_1 = 2 \times (1/6) = 1/3$ થાય છે.
નવું સિંક તાપમાન $T_2' = T_2 - 62$ છે.
કાર્યક્ષમતાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $1/3 = 1 - \frac{T_2 - 62}{T_1}$.
પુનઃગોઠવણ કરતા $\frac{T_2 - 62}{T_1} = 1 - 1/3 = 2/3$ મળે છે.
સમીકરણ $(i)$ માંથી $T_2 = \frac{5}{6}T_1$ મૂકતા:
$\frac{\frac{5}{6}T_1 - 62}{T_1} = 2/3$.
$\frac{5}{6} - \frac{62}{T_1} = 2/3$.
$\frac{62}{T_1} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = 1/6$.
$T_1 = 62 \times 6 = 372 \ K$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતરિત કરતા: $T(^{\circ}C) = 372 - 273 = 99^{\circ}C$.

(A) સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $K = K_0 \cos^2(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\cos^2(\omega t)$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $1$ હોવાથી,મહત્તમ ગતિઊર્જા $K_{max} = K_0$ થાય.
સરળ આવર્ત ગતિમાં,કુલ ઊર્જા $E$ અચળ રહે છે અને તે મહત્તમ ગતિઊર્જા અથવા મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા જેટલી હોય છે.
તેથી,$E = K_{max} = K_0$.
કુલ ઊર્જા $E = K + U$ હોવાથી,જ્યાં $U$ એ સ્થિતિઊર્જા છે,આપણને મળે છે $U = E - K = K_0 - K_0 \cos^2(\omega t) = K_0 \sin^2(\omega t)$.
સ્થિતિઊર્જાનું મહત્તમ મૂલ્ય $U_{max} = K_0$ છે.
તેથી,મહત્તમ સ્થિતિઊર્જા $K_0$ અને કુલ ઊર્જા $K_0$ છે.

(C) ધારો કે સરળ આવર્ત ગતિ કરતા કણનું સ્થાનાંતર $y = A \sin(\omega t)$ છે.
તાત્ક્ષણિક વેગ $v$ એ સ્થાનાંતરનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$v = \frac{dy}{dt} = A\omega \cos(\omega t) = A\omega \sin(\omega t + \frac{\pi}{2})$.
તાત્ક્ષણિક પ્રવેગ $a$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે:
$a = \frac{dv}{dt} = -A\omega^2 \sin(\omega t) = A\omega^2 \sin(\omega t + \pi)$.
વેગની કળા $(\omega t + \frac{\pi}{2})$ છે અને પ્રવેગની કળા $(\omega t + \pi)$ છે.
તેથી,પ્રવેગ અને વેગ વચ્ચેનો કળા તફાવત $(\omega t + \pi) - (\omega t + \frac{\pi}{2}) = \frac{\pi}{2}$ અથવા $0.5\pi$ થાય છે.

(A) સ્પ્રિંગની મૂળભૂત લંબાઈ $l$ છે. જ્યારે તેના પર $m$ દળ મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે સંતુલન સ્થિતિ $O'$ સુધી પહોંચવા માટે $x_0$ જેટલી દબાય છે.
સંતુલન સ્થિતિએ,સ્પ્રિંગનું બળ પદાર્થના વજનને સંતુલિત કરે છે: $k x_0 = m g$.
$x_0 = \frac{m g}{k} = \frac{2.0 \times 10}{200} = 0.10\, m = 10\, cm$.
જ્યારે પદાર્થ $A$ કંપવિસ્તાર સાથે દોલનો કરે છે,ત્યારે પદાર્થનો મહત્તમ ઉપરની તરફનો પ્રવેગ $a_{max} = A \omega^2$ હોય છે,જ્યાં $\omega^2 = \frac{k}{m}$ છે.
જ્યારે પદાર્થ તેની ગતિના સૌથી ઉચ્ચ બિંદુએ હોય ત્યારે તેનો નીચેની તરફનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ કરતા વધી જાય,ત્યારે પદાર્થ તાસકથી અલગ થઈ જશે.
પદાર્થ તાસક સાથેનો સંપર્ક ગુમાવે તે માટેની શરત $A \omega^2 \ge g$ છે.
$\omega^2 = \frac{k}{m}$ મૂકતા,આપણને $A (\frac{k}{m}) \ge g$ મળે છે.
$A \ge \frac{m g}{k} = x_0$.
તેથી,પદાર્થને અલગ થવા માટે જરૂરી લઘુત્તમ કંપવિસ્તાર $A = 10\, cm$ છે.

(B) સંતુલન સ્થિતિથી શરૂ થતી સરળ આવર્ત ગતિ માટે કણનું સ્થાનાંતર $x(t) = a \sin(\omega t)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે સ્થાનાંતર $x(t) = a/2$ હોય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $a/2 = a \sin(\omega t)$.
આ સમીકરણ $\sin(\omega t) = 1/2$ માં પરિણમે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi/6) = 1/2$,તેથી $\omega t = \pi/6$.
$\omega = 2\pi/T$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $(2\pi/T) \cdot t = \pi/6$.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = T/12$ મળે છે.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક કોણીય ઝડપ,$\omega_0 = 2.00\, rad/s$
કોણીય પ્રવેગ,$\alpha = 3.0\, rad/s^2$
સમય,$t = 2\, s$
કોણીય સ્થાનાંતર માટેના ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\theta = \omega_0 t + \frac{1}{2} \alpha t^2$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\theta = (2.00)(2) + \frac{1}{2}(3.0)(2)^2$
$\theta = 4 + \frac{1}{2}(3.0)(4)$
$\theta = 4 + 6 = 10\, rad$
આમ,પૈડું $10\, rad$ ના ખૂણે પરિભ્રમણ કરશે.

(C) ઉપગ્રહની કક્ષીય ઝડપ $v = \sqrt{\frac{GM}{r}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $G$ એ ગુરુત્વાકર્ષણનો અચળાંક છે,$M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $r$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
બંને ઉપગ્રહો એક જ કક્ષામાં હોવાથી,બંને માટે $r$ સમાન છે.
તેથી,કક્ષીય ઝડપ $v$ એ ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.
આમ,$S_{1}$ અને $S_{2}$ સમાન ઝડપથી ગતિ કરે છે.
આવર્તકાળ $T = \frac{2\pi r}{v}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જે પણ ઉપગ્રહના દળથી સ્વતંત્ર છે.
સ્થિતિ ઊર્જા $U = -\frac{GMm}{r}$ અને ગતિ ઊર્જા $K = \frac{GMm}{2r}$ બંને ઉપગ્રહના દળ $m$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે $S_{1}$ અને $S_{2}$ માટે સમાન નથી.

(C) વિદ્યુતચુંબકીય તરંગમાં,દોલિત વિદ્યુત ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{E}$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર સદિશ $\vec{B}$ હંમેશા એકબીજાને પરસ્પર લંબ હોય છે અને તરંગના પ્રસરણની દિશાને પણ લંબ હોય છે.
વધુમાં,આ ક્ષેત્રો સમાન કળામાં હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેઓ એક જ સમયે અને એક જ અવકાશી સ્થાન પર તેમના મહત્તમ અને ન્યૂનતમ મૂલ્યો પ્રાપ્ત કરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) આકૃતિ પરથી,$AC = L$,$BC = L$. $C$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી અને $CD$ એ વ્યાસ ધરાવતું અર્ધવર્તુળ હોવાથી,અંતર $BD = L$ થાય ($C, B, D$ એક રેખસ્થ છે અને $CD$ અર્ધવર્તુળનો વ્યાસ છે,તેથી $CB = BD = L$).
$C$ આગળ સ્થિતિમાન:
$V_C = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AC} + \frac{-q}{BC} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{L} - \frac{q}{L} \right] = 0$
$D$ આગળ સ્થિતિમાન:
$AD = AB + BD = 2L + L = 3L$
$V_D = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{AD} + \frac{-q}{BD} \right] = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \left[ \frac{q}{3L} - \frac{q}{L} \right]$
$V_D = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L} \left[ \frac{1}{3} - 1 \right] = \frac{q}{4\pi\varepsilon_0 L} \left( -\frac{2}{3} \right) = -\frac{q}{6\pi\varepsilon_0 L}$
$+Q$ વિદ્યુતભારને $C$ થી $D$ સુધી ગતિ કરાવવા માટે કરવું પડતું કાર્ય:
$W = Q(V_D - V_C) = Q \left( -\frac{q}{6\pi\varepsilon_0 L} - 0 \right) = -\frac{qQ}{6\pi\varepsilon_0 L}$

(B) કેપેસિટર $V$ પોટેન્શિયલ ધરાવતી બેટરી સાથે સમાંતર જોડાણમાં જોડાયેલા છે.
સમાંતર જોડાણનું સમતુલ્ય કેપેસીટન્સ $C_{eq} = C + \frac{C}{2} = \frac{3}{2} C$ થાય છે.
કેપેસિટરને ચાર્જ કરવા માટે કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ એ કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા જેટલું હોય છે,જે $W = \frac{1}{2} C_{eq} V^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_{eq}$ ની કિંમત મૂકતા:
$W = \frac{1}{2} \times \left( \frac{3}{2} C \right) V^2 = \frac{3}{4} C V^2$.

(D) ધારો કે $\phi_A, \phi_B,$ અને $\phi_C$ એ અનુક્રમે સપાટી $A, B,$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ વિદ્યુત ફ્લક્સ છે.
ગૌસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \phi_A + \phi_B + \phi_C = \frac{q}{\varepsilon_0}$ થાય.
નળાકારની સંમિતિને કારણે,બે સમતલ સપાટીઓ $A$ અને $C$ સાથે સંકળાયેલ ફ્લક્સ સમાન હોય છે,તેથી $\phi_A = \phi_C$.
આ કિંમત ગૌસના નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $2\phi_A + \phi_B = \frac{q}{\varepsilon_0}$ મળે છે.
આપેલ છે કે વક્ર સપાટી $B$ માંથી પસાર થતું ફ્લક્સ $\phi_B = \phi$ છે,તેથી $2\phi_A + \phi = \frac{q}{\varepsilon_0}$.
$\phi_A$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$2\phi_A = \frac{q}{\varepsilon_0} - \phi$.
તેથી,$\phi_A = \frac{1}{2}\left(\frac{q}{\varepsilon_0} - \phi\right)$.

(B) આપેલ સર્કિટમાં,$6 \,\Omega$ અને $3 \,\Omega$ ના અવરોધો સમાંતર જોડાણમાં છે. તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $R_p$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{R_p} = \frac{1}{6} + \frac{1}{3} = \frac{1+2}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \implies R_p = 2 \,\Omega$.
સમતુલ્ય સર્કિટમાં આ $R_p = 2 \,\Omega$ અવરોધ,$4 \,\Omega$ ના અવરોધ સાથે શ્રેણીમાં અને $18 \,V$ ની બેટરી સાથે જોડાયેલ છે.
સર્કિટનો કુલ અવરોધ $R_{eq} = R_p + 4 \,\Omega = 2 \,\Omega + 4 \,\Omega = 6 \,\Omega$ છે.
ઓહ્મના નિયમ મુજબ સર્કિટમાંથી વહેતો કુલ પ્રવાહ $I$:
$I = \frac{V}{R_{eq}} = \frac{18 \,V}{6 \,\Omega} = 3 \,A$.
સર્કિટમાં વ્યય થતો કુલ પાવર $P = I^2 R_{eq}$ અથવા $P = VI_{total}$ દ્વારા મળે છે.
$P = VI_{total} = 18 \,V \times 3 \,A = 54 \,W$.

(A) ધારો કે $S$ અને $6 \,\Omega$ સમાંતરમાં જોડાયેલા હોય ત્યારે તેમનો સમતુલ્ય અવરોધ $X$ છે.
સમાંતર જોડાણ માટે,સમતુલ્ય અવરોધ $X$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\frac{1}{X} = \frac{1}{S} + \frac{1}{6} \quad \dots(i)$
સંતુલિત વ્હીટસ્ટોન બ્રિજ માટે,શરત $\frac{P}{Q} = \frac{R}{X}$ છે.
આપેલ છે કે $P = Q = R = 2 \,\Omega$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{2}{2} = \frac{2}{X} \implies 1 = \frac{2}{X} \implies X = 2 \,\Omega$.
હવે,સમીકરણ $(i)$ માં $X = 2 \,\Omega$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} = \frac{1}{S} + \frac{1}{6}$
$\frac{1}{S} = \frac{1}{2} - \frac{1}{6}$
$\frac{1}{S} = \frac{3 - 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
તેથી,$S = 3 \,\Omega$.

(A) ધારો કે શંટ અવરોધ $S$ છે.
આપેલ છે:
માપવા માટેનો કુલ પ્રવાહ,$I = 750\, A$
એમીટરનો ફૂલ-સ્કેલ ડિફ્લેક્શન પ્રવાહ,$I_g = 100\, A$
એમીટરનો અવરોધ,$R_G = 13\, \Omega$
જ્યારે એમીટર સાથે સમાંતરમાં શંટ $S$ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે એમીટર અને શંટ વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત સમાન હોવો જોઈએ:
$I_g R_G = (I - I_g) S$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$100 \times 13 = (750 - 100) \times S$
$1300 = 650 \times S$
$S$ માટે ઉકેલતા:
$S = \frac{1300}{650} = 2\, \Omega$
આમ,શંટ અવરોધનું મૂલ્ય $2\, \Omega$ છે.

(D) પ્રવાહ ગાળાની ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu$ નું સૂત્ર $\mu = I A$ છે.
અહીં,ગતિ કરતા વીજભાર $q$ દ્વારા ઉત્પન્ન થતો પ્રવાહ $I = \frac{q}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
$R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા કણ માટે સમયગાળો $T = \frac{2 \pi R}{v}$ થાય છે.
$I$ ના સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $I = \frac{q}{2 \pi R / v} = \frac{qv}{2 \pi R}$ મળે છે.
વર્તુળાકાર પથનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2$ છે.
તેથી,ચુંબકીય મોમેન્ટ $\mu = I A = \left( \frac{qv}{2 \pi R} \right) (\pi R^2) = \frac{qvR}{2}$ થાય છે.

(B) વક્રીભવનાંક $\mu$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ $(c)$ અને માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $(v)$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\mu = \frac{c}{v}$.
માધ્યમમાં પ્રકાશની ઝડપ $v = f \lambda$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ આવૃત્તિ છે અને $\lambda$ એ તરંગલંબાઈ છે.
આપેલ છે: $f = 2 \times 10^{14} \ Hz$ અને $\lambda = 5000 \ \mathring{A} = 5000 \times 10^{-10} \ m = 5 \times 10^{-7} \ m$.
માધ્યમમાં વેગની ગણતરી: $v = (2 \times 10^{14}) \times (5 \times 10^{-7}) = 10 \times 10^{7} = 10^{8} \ m/s$.
$c = 3 \times 10^{8} \ m/s$ નો ઉપયોગ કરતા,વક્રીભવનાંક: $\mu = \frac{3 \times 10^{8}}{10^{8}} = 3$.

(D) આકૃતિ પરથી,પ્રકાશનું કિરણ સિક્કાથી સપાટી સુધી ક્રાંતિકોણ $C$ પર મુસાફરી કરે છે. રચાયેલા ત્રિકોણનો પાયો $3 \, cm$ છે અને ઊંચાઈ $4 \, cm$ છે. કર્ણ $\sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \, cm$ છે.
ક્રાંતિકોણની વ્યાખ્યા મુજબ,$\sin C = \frac{\text{સામેની બાજુ}}{\text{કર્ણ}} = \frac{3}{5}$.
વળી,હવાના સાપેક્ષમાં પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{1}{\sin C} = \frac{1}{3/5} = \frac{5}{3}$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\mu = \frac{c}{v}$,જ્યાં $c = 3 \times 10^8 \, m/s$ એ હવામાં પ્રકાશની ઝડપ છે અને $v$ એ પ્રવાહીમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
તેથી,$v = \frac{c}{\mu} = \frac{3 \times 10^8}{5/3} = \frac{9 \times 10^8}{5} = 1.8 \times 10^8 \, m/s$.

(D) એકવર્ણી પ્રકાશ કિરણનો પાવર $P = N h \nu$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા છે,$h$ એ પ્લાન્કનો અચળાંક છે અને $\nu$ એ આવૃત્તિ છે.
આપેલ છે:
પાવર $P = 2 \times 10^{-3} \text{ W}$
આવૃત્તિ $\nu = 6.0 \times 10^{14} \text{ Hz}$
પ્લાન્કનો અચળાંક $h \approx 6.63 \times 10^{-34} \text{ J s}$
એક ફોટોનની ઉર્જા $E = h \nu = (6.63 \times 10^{-34}) \times (6.0 \times 10^{14}) \text{ J} \approx 3.978 \times 10^{-19} \text{ J}$.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા $N = P / E$:
$N = \frac{2 \times 10^{-3}}{3.978 \times 10^{-19}} \approx 0.5027 \times 10^{16} \approx 5 \times 10^{15}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આપેલ છે: આઉટપુટ પાવર $P_{out} = 100\,W$.
પ્રાથમિક વોલ્ટેજ $V_{p} = 220\,V$.
પ્રાથમિક પ્રવાહ $I_{p} = 0.5\,A$.
ઇનપુટ પાવરની ગણતરી $P_{in} = V_{p} \times I_{p} = 220\,V \times 0.5\,A = 110\,W$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
કાર્યક્ષમતા $\eta$ એ આઉટપુટ પાવર અને ઇનપુટ પાવરનો ગુણોત્તર છે: $\eta = (P_{out} / P_{in}) \times 100$.
કિંમતો મૂકતા: $\eta = (100 / 110) \times 100 \approx 90.9\%$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, કાર્યક્ષમતા આશરે $90\%$ છે।

(A) આપેલ છે: પ્રાયમરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા $N_p = 50$. સેકન્ડરી ગૂંચળામાં આંટાની સંખ્યા $N_s = 1500$. પ્રાયમરી ગૂંચળા સાથે સંકળાયેલ ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = \phi_0 + 4t$ છે.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વોલ્ટેજ $(EMF)$ $V = \frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રાયમરી ગૂંચળા પરનો વોલ્ટેજ $V_p = \frac{d}{dt}(\phi_0 + 4t) = 4\, V$ થશે.
ટ્રાન્સફોર્મરના ગુણોત્તરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$\frac{V_s}{V_p} = \frac{N_s}{N_p}$.
કિંમતો મૂકતા,$V_s = V_p \times \frac{N_s}{N_p} = 4 \times \frac{1500}{50} = 4 \times 30 = 120\, V$.

(C) શ્રેણી $LCR$ સર્કિટમાં,અનુનાદ (resonance) સમયે પ્રવાહ મહત્તમ હોય છે.
અનુનાદ સમયે,ઇન્ડક્ટિવ રિએક્ટન્સ એ કેપેસિટીવ રિએક્ટન્સ જેટલું હોય છે,એટલે કે $\omega L = \frac{1}{\omega C}$.
તેથી,અનુનાદ આવૃત્તિ $\omega = \frac{1}{\sqrt{LC}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,આપણને $\omega^2 = \frac{1}{LC}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $L = \frac{1}{\omega^2 C}$.
આપેલ મૂલ્યો: $\omega = 1000 \, rad/sec$ અને $C = 10 \, \mu F = 10 \times 10^{-6} \, F = 10^{-5} \, F$.
આ મૂલ્યોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$L = \frac{1}{(1000)^2 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^6 \times 10^{-5}} = \frac{1}{10^1} = 0.1 \, H$.
$mH$ માં રૂપાંતર કરતા:
$0.1 \, H = 0.1 \times 1000 \, mH = 100 \, mH$.

(D) હાઇડ્રોજન પરમાણુની $n$ મી કક્ષામાં ઇલેક્ટ્રોનની કુલ ઉર્જા $E_n = \frac{-13.6}{n^2} \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધરા અવસ્થા માટે,$n = 1$,તેથી $E_1 = -13.6 \text{ eV}$.
પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા માટે,$n = 2$.
તેથી,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં કુલ ઉર્જા $E_2 = \frac{-13.6}{2^2} = \frac{-13.6}{4} = -3.4 \text{ eV}$ થાય.
કોઈપણ કક્ષામાં,ગતિ ઉર્જા $K$ એ કુલ ઉર્જા $E$ ના ઋણ મૂલ્ય જેટલી હોય છે,એટલે કે $K = -E$.
આમ,પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થામાં ઇલેક્ટ્રોનની ગતિ ઉર્જા $K = -(-3.4 \text{ eV}) = 3.4 \text{ eV}$ છે.

(C) બીટા માઈનસ ક્ષય $(\beta^{-})$ માં, એક ન્યુટ્રોન પ્રોટોનમાં રૂપાંતરિત થાય છે અને કેન્દ્રમાંથી એક ઇલેક્ટ્રોન એન્ટિન્યુટ્રિનો સાથે ઉત્સર્જિત થાય છે.
આ પ્રક્રિયા સમીકરણ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે: $n \rightarrow p + e^{-} + \bar{\nu}$
જ્યાં $n$ એ ન્યુટ્રોન છે, $p$ એ પ્રોટોન છે, $e^{-}$ એ ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોન ($\beta$-કણ) છે, અને $\bar{\nu}$ એ એન્ટિન્યુટ્રિનો છે.

(D) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ એ સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $A$ એ દળ ક્રમાંક છે અને $R_0$ એ અચળાંક છે.
આપેલ ન્યુક્લિયસ માટે:
${}_{13}^{27}Al$ માટે,$A_1 = 27$ અને $R_1 = 3.6 \, fm$.
${}_{52}^{125}Te$ માટે,$A_2 = 125$ અને આપણે $R_2$ શોધવાનું છે.
ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R_2}{3.6} = \left( \frac{125}{27} \right)^{1/3}$
$\frac{R_2}{3.6} = \frac{5}{3}$
$R_2 = \frac{5}{3} \times 3.6 = 5 \times 1.2 = 6 \, fm$.
આમ,${}_{52}^{125}Te$ ની ત્રિજ્યા $6 \, fm$ છે.

(A) ન્યુક્લિયસની બંધન ઉર્જા $(B.E.)$ એ દળ ક્ષતિ $(\Delta m)$ ના સમતુલ્ય ઉર્જા છે.
દળ ક્ષતિ એ વ્યક્તિગત ન્યુક્લિયોન્સ (પ્રોટોન અને ન્યુટ્રોન) ના દળના સરવાળા અને ન્યુક્લિયસના વાસ્તવિક દળ વચ્ચેનો તફાવત છે.
પ્રોટોનની સંખ્યા = $Z$
ન્યુટ્રોનની સંખ્યા = $A - Z$
દળ ક્ષતિ $\Delta m = [Z M_p + (A - Z) M_n - M(A, Z)]$
આઈન્સ્ટાઈનના દળ-ઉર્જા સમતુલ્યતાના સિદ્ધાંત મુજબ, $B.E. = \Delta m c^2$.
તેથી, $B.E. = [Z M_p + (A - Z) M_n - M(A, Z)] c^2$.

(C) આપેલ છે: ક્ષય અચળાંક $\lambda_{A} = 5\lambda$ અને $\lambda_{B} = \lambda$.
$t=0$ સમયે,પ્રારંભિક ન્યુક્લિયસની સંખ્યા સમાન છે,એટલે કે $(N_{0})_{A} = (N_{0})_{B}$.
આપણને ગુણોત્તર $\frac{N_{A}}{N_{B}} = (\frac{1}{e})^{2} = e^{-2}$ આપેલ છે.
રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N = N_{0}e^{-\lambda t}$.
પદાર્થ $A$ માટે,$N_{A} = (N_{0})_{A} e^{-5\lambda t}$.
પદાર્થ $B$ માટે,$N_{B} = (N_{0})_{B} e^{-\lambda t}$.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા:
$\frac{N_{A}}{N_{B}} = \frac{(N_{0})_{A} e^{-5\lambda t}}{(N_{0})_{B} e^{-\lambda t}} = e^{-(5\lambda - \lambda)t} = e^{-4\lambda t}$.
ગુણોત્તરને સરખાવતા:
$e^{-4\lambda t} = e^{-2}$.
ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$4\lambda t = 2$.
$t$ માટે ઉકેલતા:
$t = \frac{2}{4\lambda} = \frac{1}{2\lambda}$.

(C) આ પરિપથમાં એક $NOR$ ગેટ છે અને તેની પાછળ બીજો $NOR$ ગેટ છે જે $NOT$ ગેટ તરીકે કાર્ય કરે છે (કારણ કે બંને ઇનપુટ એકસાથે જોડાયેલા છે).
ધારો કે પ્રથમ $NOR$ ગેટનું આઉટપુટ $Y^{\prime} = \overline{A + B}$ છે.
બીજો ગેટ એ $NOR$ ગેટ છે જેના બંને ઇનપુટ $Y^{\prime}$ છે,તેથી તેનું આઉટપુટ $Y = \overline{Y^{\prime} + Y^{\prime}} = \overline{Y^{\prime}} = \overline{\overline{A + B}} = A + B$ થશે.
આ $OR$ ગેટ માટેનું બુલિયન સમીકરણ છે.
$Y = A + B$ માટેનું ટ્રુથ ટેબલ નીચે મુજબ છે:

$A$	$B$	$Y$
$0$	$0$	$0$
$0$	$1$	$1$
$1$	$0$	$1$
$1$	$1$	$1$

આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_v)$ એ કરંટ ગેઈન $(\beta)$ અને આઉટપુટ ઇમ્પિડન્સ $(R_{\text{out}})$ તથા ઇનપુટ ઇમ્પિડન્સ $(R_{\text{in}})$ ના ગુણોત્તરના ગુણાકાર જેટલો હોય છે:
$A_v = \beta \times \frac{R_{\text{out}}}{R_{\text{in}}}$
અહીં $A_v = 50$,$R_{\text{in}} = 100\; \Omega$,અને $R_{\text{out}} = 200\; \Omega$ આપેલ છે,તેથી આપણે કરંટ ગેઈન $(\beta)$ શોધી શકીએ:
$50 = \beta \times \frac{200}{100}$
$50 = \beta \times 2$
$\beta = 25$
પાવર ગેઈન $(A_p)$ એ કરંટ ગેઈન $(\beta)$ અને વોલ્ટેજ ગેઈન $(A_v)$ નો ગુણાકાર છે:
$A_p = \beta \times A_v$
$A_p = 25 \times 50 = 1250$

(D) આપેલ એનર્જી બેન્ડ ડાયાગ્રામમાં,ખુલ્લા વર્તુળો વેલેન્સ બેન્ડ $(E_v)$ માં હોલ દર્શાવે છે અને ભરેલા વર્તુળો કન્ડક્શન બેન્ડ $(E_c)$ માં ઇલેક્ટ્રોન દર્શાવે છે.
આકૃતિનું અવલોકન કરતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે વેલેન્સ બેન્ડમાં હોલની સંખ્યા કન્ડક્શન બેન્ડમાં રહેલા ઇલેક્ટ્રોનની સંખ્યા કરતા ઘણી વધારે છે.
સેમિકન્ડક્ટરમાં,જો મુખ્ય ચાર્જ કેરિયર્સ હોલ હોય,તો તેને $p-$ પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આ પદાર્થ $p-$ પ્રકારનો સેમિકન્ડક્ટર છે.

(B) જ્યારે કોઈ વિદ્યુતભારિત કણ ચુંબકીય ક્ષેત્રને લંબ રૂપે વેગ સાથે પ્રવેશ કરે છે,ત્યારે તે ચુંબકીય લોરેન્ઝ બળ $F = q(v \times B)$ અનુભવે છે.
આ બળ હંમેશા વેગને લંબ હોવાથી,તે કેન્દ્રગામી બળ તરીકે કાર્ય કરે છે.
આ કેન્દ્રગામી બળને કારણે કણ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે.
તેથી,જ્યારે વિદ્યુત ક્ષેત્ર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઇલેક્ટ્રોન વર્તુળાકાર કક્ષામાં ગતિ કરશે.

(A) બિંદુવત સ્ત્રોતથી $r$ અંતરે પ્રકાશની તીવ્રતા $I = \frac{P_0}{4 \pi r^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $P_0$ એ સ્ત્રોતનો પાવર છે.
સપાટી પરથી દર સેકન્ડે મુક્ત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા એ સપાટી પર આપાત થતા ફોટોનની સંખ્યાના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે, અને ફોટોનની સંખ્યા પ્રકાશની તીવ્રતાના પ્રમાણમાં હોય છે, તેથી $N \propto I$.
તેથી, $N \propto \frac{1}{r^2}$.
અહીં $r_1 = 0.5\; m$ અને $r_2 = 1.0\; m$ આપેલ છે, તેથી ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યાનો ગુણોત્તર:
$\frac{N_2}{N_1} = \frac{r_1^2}{r_2^2} = \left( \frac{0.5}{1.0} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4}$.
આમ, મુક્ત થતા ફોટોઈલેક્ટ્રોનની સંખ્યા $4$ ના અવયવથી ઘટશે.

(B) આપેલ વિદ્યુતભાર તંત્રને આકૃતિમાં દર્શાવ્યા મુજબ $x$ અને $y$ યામ અક્ષોનો ઉપયોગ કરીને રજૂ કરી શકાય છે.
$-2q$ વિદ્યુતભાર ઉગમબિંદુ $O(0, 0, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે. એક $+q$ વિદ્યુતભાર $(a, 0, 0)$ પર અને બીજો $+q$ વિદ્યુતભાર $(0, a, 0)$ પર મૂકવામાં આવ્યો છે.
આ તંત્રને બે વિદ્યુત ડાયપોલ તરીકે જોઈ શકાય છે: એક $x$-અક્ષ પર જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_1 = q a \hat{i}$ છે અને બીજી $y$-અક્ષ પર જેની ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{p}_2 = q a \hat{j}$ છે.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટ $\vec{P}_R$ એ આ બે ડાયપોલનો સદિશ સરવાળો છે:
$\vec{P}_R = \vec{p}_1 + \vec{p}_2 = qa \hat{i} + qa \hat{j}$.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટનું મૂલ્ય:
$P_R = \sqrt{(qa)^2 + (qa)^2} = \sqrt{2} qa$.
પરિણામી ડાયપોલ મોમેન્ટની દિશા $\hat{i} + \hat{j}$ સદિશની દિશામાં છે,જે ઉગમબિંદુ $(0, 0, 0)$ અને $(a, a, 0)$ બિંદુને જોડતી રેખા છે.

(C) જ્યારે ચુંબકીય ક્ષેત્ર વીજભારિત કણની ગતિને લંબ હોય છે,ત્યારે ચુંબકીય બળ જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ પૂરું પાડે છે.
$F_{c} = F_{m}$
$\frac{m v^{2}}{R} = B q v$
આના પરથી,વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{m v}{B q}$
વર્તુળાકાર ગતિનો આવર્તકાળ $T$ એ એક સંપૂર્ણ પરિઘ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય છે:
$T = \frac{2 \pi R}{v}$
$R$ નું સૂત્ર મૂકતા:
$T = \frac{2 \pi}{v} \left( \frac{m v}{B q} \right)$
$T = \frac{2 \pi m}{B q}$
આમ,$T$ માત્ર દળ $m$,વીજભાર $q$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ પર આધાર રાખે છે,તેથી તે ત્રિજ્યા $R$ અને ઝડપ $v$ બંનેથી સ્વતંત્ર છે.

(A) નિકલ એક્સચેન્જ કપલિંગ તરીકે ઓળખાતી ક્વોન્ટમ ભૌતિક અસરને કારણે ફેરોમેગ્નેટિઝમ દર્શાવે છે,જેમાં એક પરમાણુના ઇલેક્ટ્રોન સ્પિન તેના પાડોશી પરમાણુઓના સ્પિન સાથે આંતરક્રિયા કરે છે.
આ આંતરક્રિયાને પરિણામે પરમાણુઓના ચુંબકીય ડાયપોલ મોમેન્ટ્સ એક દિશામાં ગોઠવાય છે,જે ઉષ્મીય અથડામણોની અવ્યવસ્થિત કરવાની વૃત્તિને દૂર કરે છે.
આ સ્થાયી ગોઠવણી ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થોમાં કાયમી ચુંબકત્વ માટે જવાબદાર છે.
જ્યારે ફેરોમેગ્નેટિક પદાર્થનું તાપમાન એક ચોક્કસ નિર્ણાયક મૂલ્યથી વધારવામાં આવે છે,જેને ક્યુરી તાપમાન $(T_C)$ કહેવામાં આવે છે,ત્યારે એક્સચેન્જ કપલિંગ અસરકારક રહેતું નથી.
પરિણામે,પદાર્થ ફેરોમેગ્નેટિકમાંથી પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
પેરામેગ્નેટિક અવસ્થામાં,ડાયપોલ્સ હજુ પણ બાહ્ય ચુંબકીય ક્ષેત્ર સાથે ગોઠવવાનું વલણ ધરાવે છે,પરંતુ આ ગોઠવણી ઘણી નબળી હોય છે અને ઉષ્મીય આંદોલનો તેને સરળતાથી તોડી શકે છે.