AIPMT 2012 Physics Question Paper with Answer and Solution in Gujarati

(C) બરફને પીગળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m L_f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
સ્લેબમાંથી વહન પામતી ઉષ્મા $Q = \frac{K A (T_1 - T_2) t}{L}$ છે。
બંનેને સરખાવતા, $\frac{K A (T_1 - T_2) t}{L} = m L_f$。
ઉષ્મા વાહકતા $K$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $K = \frac{m L_f L}{A (T_1 - T_2) t}$。
આપેલ કિંમતો: $m = 4.8\, kg$, $L_f = 3.36 \times 10^5\, J/kg$, $L = 0.1\, m$, $A = 0.36\, m^2$, $(T_1 - T_2) = 100^{\circ} C$, અને $t = 1\, \text{કલાક} = 3600\, s$。
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{4.8 \times 3.36 \times 10^5 \times 0.1}{0.36 \times 100 \times 3600}$。
$K = \frac{4.8 \times 3.36 \times 10^4}{0.36 \times 3.6 \times 10^5} = 1.24\, J/m/s/^{\circ} C$。

(C) ડેમ્પિંગ બળ $F$ એ વેગ $v$ ના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જેને $F = kv$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $k$ એ પ્રમાણભૂતતાનો અચળાંક છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે $k$ ને $k = \frac{F}{v}$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બળ $F$ નો $SI$ એકમ ન્યૂટન $(N)$ છે,જે $kg\ m\ s^{-2}$ ની સમકક્ષ છે.
વેગ $v$ નો $SI$ એકમ $m\ s^{-1}$ છે.
આ એકમોને $k$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$k = \frac{kg\ m\ s^{-2}}{m\ s^{-1}} = kg\ s^{-1}$.
તેથી,પ્રમાણભૂતતાના અચળાંકનો એકમ $kg\ s^{-1}$ છે.

(C) શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ નીચેના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0 \varepsilon_0}} = (\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$
અહીં $c$ એ પ્રકાશની ઝડપ દર્શાવે છે,તેથી તેના પરિમાણો વેગના પરિમાણો સમાન હોય છે.
વેગનું પારિમાણિક સૂત્ર $[LT^{-1}]$ છે.
તેથી,$(\mu_0 \varepsilon_0)^{-1/2}$ ના પરિમાણો $[LT^{-1}]$ થાય છે.

(D) આપેલ સ્થાનનું સમીકરણ: $x = 8 + 12t - t^3$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(8 + 12t - t^3) = 12 - 3t^2$.
જ્યારે વેગ શૂન્ય થાય ત્યારે: $12 - 3t^2 = 0 \implies 3t^2 = 12 \implies t^2 = 4 \implies t = 2 \, s$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12 - 3t^2) = -6t$.
$t = 2 \, s$ સમયે,પ્રવેગ $a = -6(2) = -12 \, m/s^2$ થાય.
પ્રતિપ્રવેગ એ ઋણ પ્રવેગનું મૂલ્ય છે,તેથી પ્રતિપ્રવેગ = $12 \, m/s^2$.

(B) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ,$\vec{u} = 2\hat{i} + 3\hat{j}$
પ્રવેગ,$\vec{a} = 0.3\hat{i} + 0.2\hat{j}$
સમય,$t = 10\,s$
સદિશ માટે ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$\vec{v} = \vec{u} + \vec{a}t$
$\vec{v} = (2\hat{i} + 3\hat{j}) + (0.3\hat{i} + 0.2\hat{j})(10)$
$\vec{v} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{i} + 2\hat{j}$
$\vec{v} = 5\hat{i} + 5\hat{j}$
ઝડપ એ વેગ સદિશનું મૂલ્ય છે:
$|\vec{v}| = \sqrt{(5)^2 + (5)^2}$
$|\vec{v}| = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,\text{એકમ}$

(B) જ્યારે પથ્થરને $h$ ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવે છે,ત્યારે જમીન સાથે અથડાતી વખતે તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P = m\sqrt{2gh} \dots (i)$ છે.
જો ઊંચાઈમાં $100\%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ઊંચાઈ $h' = h + 100\% \text{ of } h = h + h = 2h$ થાય.
નવું વેગમાન $P'$ એ $P' = m\sqrt{2g(2h)} = m\sqrt{2gh} \times \sqrt{2} = P\sqrt{2}$ છે.
અહીં $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P' - P}{P} \times 100\% = \frac{P\sqrt{2} - P}{P} \times 100\% = (\sqrt{2} - 1) \times 100\%$.
$= (1.414 - 1) \times 100\% = 0.414 \times 100\% = 41.4\% \approx 41\%$.

(B) મહત્તમ સંકોચન સમયે,નક્કર નળાકાર ક્ષણિક રીતે અટકી જશે.
યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
નળાકારની ગતિ ઉર્જામાં ઘટાડો = સ્પ્રિંગની સ્થિતિ ઉર્જામાં વધારો.
ગબડતા નળાકારની કુલ ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$ છે.
નક્કર નળાકાર માટે,$I = \frac{1}{2}mR^2$ અને શુદ્ધ ગબડતી ગતિ માટે,$\omega = \frac{v}{R}$.
આ કિંમતો મૂકતા,$K = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)(\frac{v}{R})^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
આને સ્પ્રિંગમાં સંગ્રહિત સ્થિતિ ઉર્જા સાથે સરખાવતા,$\frac{1}{2}kx^2 = \frac{3}{4}mv^2$.
$x$ માટે ઉકેલતા: $x^2 = \frac{3mv^2}{2k}$.
આપેલ છે કે $m = 3 \, kg$,$v = 4 \, m s^{-1}$,અને $k = 200 \, N m^{-1}$.
$x^2 = \frac{3 \times 3 \times (4)^2}{2 \times 200} = \frac{9 \times 16}{400} = \frac{144}{400} = 0.36$.
તેથી,$x = \sqrt{0.36} = 0.6 \, m$.

(B) આપેલ સ્થિતિ ઉર્જા: $U(r) = \frac{A}{r^2} - \frac{B}{r}$.
સંતુલન માટે,બળ $F = -\frac{dU}{dr} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dU}{dr} = 0$.
$\frac{dU}{dr} = \frac{d}{dr}(Ar^{-2} - Br^{-1}) = -2Ar^{-3} + Br^{-2} = 0$.
$\frac{B}{r^2} = \frac{2A}{r^3} \implies r = \frac{2A}{B}$.
સ્થિર સંતુલન માટે,દ્વિતીય વિકલન ધન હોવું જોઈએ: $\frac{d^2U}{dr^2} > 0$.
$\frac{d^2U}{dr^2} = \frac{d}{dr}(-2Ar^{-3} + Br^{-2}) = 6Ar^{-4} - 2Br^{-3}$.
$r = \frac{2A}{B}$ મૂકતા:
$\frac{d^2U}{dr^2} = 6A(\frac{B}{2A})^4 - 2B(\frac{B}{2A})^3 = 6A(\frac{B^4}{16A^4}) - 2B(\frac{B^3}{8A^3}) = \frac{3B^4}{8A^3} - \frac{B^4}{4A^3} = \frac{3B^4 - 2B^4}{8A^3} = \frac{B^4}{8A^3}$.
કારણ કે $A, B > 0$,તેથી $\frac{B^4}{8A^3} > 0$. આમ,$r = \frac{2A}{B}$ પર સ્થિર સંતુલનની શરત સંતોષાય છે.

(D) ધારો કે અથડામણ પછી ગોળા $A$ નો વેગ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે $v'$ છે.
$x$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$m_2 v = m_1 v' \cos \theta + m_2(0)$
$m_1 v' \cos \theta = m_2 v \quad ... (i)$
$y$-અક્ષ પર રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ:
$0 = m_1 v' \sin \theta + m_2 \left(\frac{v}{2}\right)$
$m_1 v' \sin \theta = -\frac{m_2 v}{2} \quad ... (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{m_1 v' \sin \theta}{m_1 v' \cos \theta} = \frac{-m_2 v / 2}{m_2 v}$
$\tan \theta = -\frac{1}{2}$
$\theta = \tan^{-1}\left(-\frac{1}{2}\right)$ જે $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો છે.

(B) તાત્કાલિક પાવર $P_0$ એ $P_0 = Fv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $F = ma = m(dv/dt)$,આપણે લખી શકીએ $P_0 = mv(dv/dt)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે $P_0 dt = mv dv$.
બંને બાજુ $t=0$ થી $t$ અને $v=0$ થી $v$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_0^t P_0 dt = \int_0^v mv dv$
$P_0 t = \frac{1}{2}mv^2$.
$v$ માટે ઉકેલતા,આપણને મળે છે $v = \sqrt{\frac{2P_0 t}{m}}$.
તેથી,$v \propto \sqrt{t}$ અથવા $v \propto t^{1/2}$.

(C) સ્ટેફનના નિયમ મુજબ,કૃષ્ણ પદાર્થમાંથી ઉર્જા ઉત્સર્જનનો દર (પાવર) $Q$ એ $Q = \sigma A T^4$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$A$ એ તારાની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,જે $4\pi R^2$ છે.
સમીકરણમાં $A$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $Q = \sigma (4\pi R^2) T^4$ મળે છે.
તાપમાન $T$ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $T^4 = \frac{Q}{4\pi \sigma R^2}$ મળે છે.
બંને બાજુ ચતુર્થ મૂળ લેતા,આપણને $T = \left( \frac{Q}{4\pi \sigma R^2} \right)^{1/4}$ મળે છે.

(A) કણોની સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(X_{CM})$ નું ઉગમબિંદુથી અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$X_{CM} = \frac{m_1x_1 + m_2x_2 + m_3x_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
આપેલ છે:
$m_1 = 300 \, g, x_1 = 0 \, cm$
$m_2 = 500 \, g, x_2 = 40 \, cm$
$m_3 = 400 \, g, x_3 = 70 \, cm$
કિંમતો મૂકતા:
$X_{CM} = \frac{300 \times 0 + 500 \times 40 + 400 \times 70}{300 + 500 + 400}$
$X_{CM} = \frac{0 + 20000 + 28000}{1200}$
$X_{CM} = \frac{48000}{1200}$
$X_{CM} = 40 \, cm$

(C) ધારો કે $x$ એ સમબાજુ ત્રિકોણના કેન્દ્ર $O$ થી દરેક બાજુનું લંબ અંતર છે.
સમબાજુ ત્રિકોણ હોવાથી,કેન્દ્રથી દરેક બાજુનું અંતર સમાન હોય છે.
બળ $F$ દ્વારા બિંદુ $O$ ની આસપાસ ઉત્પન્ન થતું ટોર્ક $\tau = F \times x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ પર લાગતા બળો $\vec F_1, \vec F_2$ અને $\vec F_3$ ની દિશાઓ જોતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\vec F_1$ અને $\vec F_2$ એ $O$ ની આસપાસ સમાન પરિભ્રમણની દિશામાં (દા.ત. ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં) ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે,જ્યારે $\vec F_3$ વિરુદ્ધ દિશામાં ટોર્ક ઉત્પન્ન કરે છે.
$O$ ની આસપાસ કુલ ટોર્ક શૂન્ય થવા માટે,ટોર્કનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ:
$\tau_1 + \tau_2 - \tau_3 = 0$
$F_1 x + F_2 x - F_3 x = 0$
$x$ વડે ભાગતા (કારણ કે $x \neq 0$):
$F_1 + F_2 - F_3 = 0$
તેથી,$F_3 = F_1 + F_2$.

(D) વર્તુળાકાર ગતિ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ રસ્તા અને ટાયર વચ્ચેના સ્થિત ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
કાર લપસે નહીં તે માટેની શરત $f \leq \mu_s N$ છે.
માર્ગ સમતલ હોવાથી,લંબબળ $N = mg$ થાય.
જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે.
મહત્તમ ઘર્ષણ બળને કેન્દ્રગામી બળ સાથે સરખાવતા: $\mu_s mg = \frac{mv_{max}^2}{R}$.
$v_{max}$ માટે ઉકેલતા:
$v_{max}^2 = \mu_s Rg$
$v_{max} = \sqrt{\mu_s Rg}$.

(C) તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,પ્રારંભિક કોણીય વેગમાન $L_i = 0$ છે.
કોણીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,અંતિમ કોણીય વેગમાન $L_f$ પણ $0$ હોવું જોઈએ.
ધારો કે પ્લેટફોર્મનો કોણીય વેગ $\omega$ છે. માણસનું કોણીય વેગમાન $L_m = m v R$ અને પ્લેટફોર્મનું કોણીય વેગમાન $L_p = I \omega$ છે.
કુલ કોણીય વેગમાન શૂન્ય હોવાથી,માણસ અને પ્લેટફોર્મ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે: $m v R - I \omega = 0$.
$\omega = \frac{m v R}{I} = \frac{50 \times 1 \times 2}{200} = 0.5 \, rad/s$.
જમીનની સાપેક્ષે માણસનો કોણીય વેગ $\omega_m = \frac{v}{R} = \frac{1}{2} = 0.5 \, rad/s$ છે.
પ્લેટફોર્મની સાપેક્ષે માણસનો કોણીય વેગ $\omega_r = \omega_m + \omega = 0.5 + 0.5 = 1 \, rad/s$ છે.
એક પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $T = \frac{2\pi}{\omega_r} = \frac{2\pi}{1} = 2\pi \, s$ છે.

(A) કણનું કોણીય વેગમાન $\vec{L}$ એ તેના સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ અને તેના રેખીય વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ ના સદિશ ગુણાકાર (cross product) દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $\vec{L} = \vec{r} \times \vec{p}$ છે.
જેમ કે $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ બંને પરિભ્રમણના સમતલમાં આવેલા છે,તેથી જમણા હાથના નિયમ મુજબ તેમનો સદિશ ગુણાકાર $\vec{L}$ એ $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ બંનેને લંબ હોવો જોઈએ.
તેથી,કોણીય વેગમાન સદિશ પરિભ્રમણના સમતલને લંબ રેખાની દિશામાં હોય છે.

(C) તંત્ર હોડી અને બે વ્યક્તિઓનું બનેલું છે.
હોડી સ્થિર પાણીમાં હોવાથી અને તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય ક્ષૈતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી (વ્યક્તિની હિલચાલમાં સામેલ બળો તંત્રના આંતરિક બળો છે),તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાતું નથી.
તેથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થાનાંતરિત થશે નહીં.
આમ,સ્થાનાંતર $0\, m$ છે.

(C) આપેલ છે: દળ $m = 1000\, kg$,ત્રિજ્યા $R = 90\, m$,ઢાળનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10\, m\,s^{-2}$.
ઘર્ષણરહિત ઢળતા રસ્તા પર કાર માટે સુરક્ષિત વળાંક લેવાની શરતનું સૂત્ર: $\tan \theta = \frac{v^2}{Rg}$ છે.
વેગ $v$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $v = \sqrt{Rg \tan \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $v = \sqrt{90 \times 10 \times \tan 45^\circ}$.
કારણ કે $\tan 45^\circ = 1$,તેથી: $v = \sqrt{900 \times 1} = 30\, m\,s^{-1}$.

(C) પૃથ્વીની સપાટીથી $h$ ઊંચાઈએ ગુરુત્વપ્રવેગ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$g' = \frac{g}{(1 + \frac{h}{R})^2} \quad ... (i)$
જ્યાં $g$ એ પૃથ્વીની સપાટી પરનો ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
બંને બાજુ પદાર્થના દળ $m$ વડે ગુણતા,આપણને $h$ ઊંચાઈએ વજન $W'$ મળે છે:
$W' = mg' = \frac{mg}{(1 + \frac{h}{R})^2} = \frac{W}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
પ્રશ્ન મુજબ,$W' = \frac{1}{16}W$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{16} = \frac{1}{(1 + \frac{h}{R})^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$1 + \frac{h}{R} = 4$
$\frac{h}{R} = 3$
$h = 3R$

(D) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પાતળા ગોલીય કવચને કારણે ઉદ્ભવતું ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F$ નીચે મુજબ છે:
$1$. કવચની અંદર,એટલે કે $r < R$ માટે:
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F = 0$ થાય છે.
$2$. કવચની સપાટી પર,એટલે કે $r = R$ માટે:
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F = \frac{GM}{R^2}$ થાય છે.
$3$. કવચની બહાર,એટલે કે $r > R$ માટે:
ગુરુત્વીય ક્ષેત્ર $F = \frac{GM}{r^2}$ થાય છે.
આમ,$r < R$ માટે ક્ષેત્ર શૂન્ય છે અને $r > R$ માટે તે વ્યસ્ત-વર્ગના નિયમનું પાલન કરે છે. સાચો આલેખ તે છે જે $r < R$ માટે $F = 0$ અને $r > R$ માટે $F \propto 1/r^2$ દર્શાવે છે.

(D) પૃથ્વીની સપાટી પરથી પદાર્થનો નિષ્ક્રમણ વેગ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{R}} \quad ...(i)$
જ્યાં $M$ એ પૃથ્વીનું દળ છે અને $R$ એ પૃથ્વીની ત્રિજ્યા છે.
પૃથ્વીની સપાટીની નજીક ભ્રમણ કરતા ઉપગ્રહનો કક્ષીય વેગ નીચે મુજબ છે:
$v_0 = \sqrt{\frac{GM}{R}} \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણે $v_e$ ના સમીકરણમાં $\sqrt{\frac{GM}{R}}$ ની જગ્યાએ $v_0$ મૂકી શકીએ છીએ:
$v_e = \sqrt{2} \times \sqrt{\frac{GM}{R}}$
$v_e = \sqrt{2} v_0$

(C) કેપ્લરના ગ્રહીય ગતિના ત્રીજા નિયમ મુજબ,સમયગાળા $T$ નો વર્ગ એ ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ ના ઘન સાથે પ્રમાણસર હોય છે,એટલે કે $T^2 \propto r^3$ અથવા $T \propto r^{3/2}$.
ભ્રમણકક્ષાની ત્રિજ્યા $r$ એ પૃથ્વીના કેન્દ્રથી અંતર છે,જે $r = R + h$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $h$ એ સપાટીથી ઊંચાઈ છે.
ભૂસ્થિર ઉપગ્રહ માટે,$h_1 = 5R$,તેથી $r_1 = R + 5R = 6R$. તેનો સમયગાળો $T_1 = 24 \, hr$ છે.
બીજા ઉપગ્રહ માટે,$h_2 = 2R$,તેથી $r_2 = R + 2R = 3R$.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^{3/2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{24} = \left( \frac{3R}{6R} \right)^{3/2} = \left( \frac{1}{2} \right)^{3/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$.
તેથી,$T_2 = \frac{24}{2\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \, hr$.

(A) $M$ દળ અને $R = D/2$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ગ્રહની સપાટી નજીક $m$ દળના કણ પર લાગતું ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $F$ ન્યૂટનના ગુરુત્વાકર્ષણના નિયમ મુજબ:
$F = \frac{GMm}{R^2} = \frac{GMm}{(D/2)^2}$
કણ દ્વારા અનુભવાતો ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ એ એકમ દળ દીઠ લાગતું બળ છે:
$g = \frac{F}{m} = \frac{GM}{(D/2)^2}$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$g = \frac{GM}{D^2/4} = \frac{4GM}{D^2}$
આમ,ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $\frac{4GM}{D^2}$ છે.

(D) $1$. પ્રથમ પ્રક્રિયામાં, વાયુ કદ $V$ થી $3V$ સુધી સમતાપી વિસ્તરણ અનુભવે છે। આદર્શ વાયુ માટે, સમતાપી પ્રક્રિયા $PV = \text{અચળ}$ સમીકરણને અનુસરે છે, જે $P-V$ આલેખ પર લંબચોરસ અતિવલય (rectangular hyperbola) દર્શાવે છે। વિસ્તરણ હોવાથી, કદ વધવાની સાથે દબાણ ઘટે છે।
$2$. બીજી પ્રક્રિયામાં, અચળ દબાણે કદ $3V$ થી $V$ સુધી ઘટાડવામાં આવે છે। $P-V$ આલેખ પર, અચળ દબાણની પ્રક્રિયા આડી રેખા દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે।
$3$. આ બંનેને જોડતા, માર્ગ $A$ (કદ $V$ પર) થી શરૂ થાય છે, $3V$ સુધી અતિવલય વક્રને અનુસરે છે, અને ત્યારબાદ બિંદુ $B$ પર કદ $V$ સુધી આડી રેખાને અનુસરે છે।
$4$. આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, વિકલ્પ $D$ માં આપેલો આલેખ સમતાપી વિસ્તરણ અને ત્યારબાદ અચળ દબાણે થતા સંકોચનને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે।

(D) આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ એ અવસ્થા વિધેય છે,જેનો અર્થ છે કે તે પથ પર આધારિત નથી અને માત્ર પ્રારંભિક અને અંતિમ અવસ્થાઓ પર આધાર રાખે છે.
ત્રણેય પ્રક્રિયાઓ માટે પ્રારંભિક અવસ્થા $A$ અને અંતિમ અવસ્થા $B$ સમાન હોવાથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર ત્રણેય માટે સમાન રહેશે:
$\Delta U_1 = \Delta U_2 = \Delta U_3$
$P-V$ આલેખમાં વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $(W)$ એ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
આપેલ આલેખ પરથી,વક્ર $1$ ની નીચેનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ વક્ર $2$ અને સૌથી ઓછું ક્ષેત્રફળ વક્ર $3$ ની નીચે છે.
તેથી,$W_1 > W_2 > W_3$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$Q = \Delta U + W$.
કારણ કે $\Delta U$ બધી પ્રક્રિયાઓ માટે સમાન છે અને $W_1 > W_2 > W_3$ છે,તેથી શોષાયેલી ઉષ્મા માટે નીચે મુજબ સંબંધ મળે:
$Q_1 > Q_2 > Q_3$

(A) ચક્રીય પ્રક્રિયામાં,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોય છે,એટલે કે $\Delta U = 0$.
થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. કારણ કે $\Delta U = 0$,તેથી $\Delta Q = \Delta W$.
ચક્રીય પ્રક્રિયામાં થયેલું કાર્ય $P-V$ આલેખ પર ચક્ર દ્વારા ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
$ABCD$ ચક્ર ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anticlockwise) પૂર્ણ થાય છે,તેથી વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય ઋણ હશે.
લંબચોરસ $ABCD$ નું ક્ષેત્રફળ $= (\text{કદમાં ફેરફાર}) \times (\text{દબાણમાં ફેરફાર}) = (3V - V) \times (2P - P) = (2V) \times (P) = 2PV$.
ચક્ર વિષમઘડી હોવાથી,$\Delta W = -2PV$.
આમ,$\Delta Q = -2PV$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સિસ્ટમ દ્વારા ઉષ્મા મુક્ત થાય છે.
તેથી,વાયુ દ્વારા મુક્ત થતી ઉષ્મા $2PV$ છે.

(C) ટ્રેનની ઝડપ (સ્ત્રોત અને અવલોકનકાર) $v_T = 220\, m s^{-1}$ છે.
હવામાં અવાજની ઝડપ $v = 330\, m s^{-1}$ છે.
સ્ત્રોત (ટ્રેન) $f_0 = 1000\, Hz$ આવૃત્તિ ઉત્પન્ન કરે છે.
પ્રથમ,અવાજ સ્થિર પદાર્થ સુધી પહોંચે છે. પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_T} \right)$ છે.
ત્યારબાદ,પદાર્થ આ અવાજને ગતિ કરતી ટ્રેન તરફ પરાવર્તિત કરે છે. ટ્રેન પરાવર્તિત અવાજના સ્ત્રોત તરફ ગતિ કરતા અવલોકનકાર તરીકે વર્તે છે. ડ્રાઈવર દ્વારા અનુભવાતી આવૃત્તિ $f' = f_1 \left( \frac{v + v_T}{v} \right)$ છે.
$f'$ ના સમીકરણમાં $f_1$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_T} \right) \left( \frac{v + v_T}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_T}{v - v_T} \right)$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $f' = 1000 \left( \frac{330 + 220}{330 - 220} \right) = 1000 \left( \frac{550}{110} \right) = 1000 \times 5 = 5000\, Hz$.

(C) ખેંચાયેલી દોરીની મૂળભૂત આવૃત્તિ $n = \frac{1}{2l} \sqrt{\frac{T}{\mu}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દોરી માટે તણાવ $T$ અને એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\mu$ અચળ હોવાથી,$n \propto \frac{1}{l}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $l = \frac{k}{n}$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
જ્યારે દોરીને $l_{1}, l_{2}, l_{3}$ લંબાઈના ત્રણ ભાગોમાં વિભાજિત કરવામાં આવે છે,જેની મૂળભૂત આવૃત્તિઓ અનુક્રમે $n_{1}, n_{2}, n_{3}$ છે,ત્યારે $l_{1} = \frac{k}{n_{1}}$,$l_{2} = \frac{k}{n_{2}}$,અને $l_{3} = \frac{k}{n_{3}}$ થાય.
દોરીની કુલ લંબાઈ $l = l_{1} + l_{2} + l_{3}$ છે.
આવૃત્તિના સંદર્ભમાં લંબાઈના પદો મૂકતા,આપણને $\frac{k}{n} = \frac{k}{n_{1}} + \frac{k}{n_{2}} + \frac{k}{n_{3}}$ મળે છે.
$k$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{1}{n} = \frac{1}{n_{1}} + \frac{1}{n_{2}} + \frac{1}{n_{3}}$ સંબંધ મળે છે.

(B) આપેલ તરંગ સમીકરણ $y = 3 \sin \frac{\pi}{2}(50t - x)$ છે.
તેને વિસ્તૃત કરતા,આપણને $y = 3 \sin (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)$ મળે છે $...(i)$.
પ્રમાણિત તરંગ સમીકરણ $y = A \sin (\omega t - kx)$ છે $...(ii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 25\pi \text{ rad/s}$ અને તરંગ સંખ્યા $k = \frac{\pi}{2} \text{ m}^{-1}$ મળે છે.
તરંગ વેગ $v = \frac{\omega}{k} = \frac{25\pi}{\pi/2} = 50 \text{ m/s}$.
કણનો વેગ $v_p = \frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt} [3 \sin (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)] = 3 \times 25\pi \cos (25\pi t - \frac{\pi}{2}x) = 75\pi \cos (25\pi t - \frac{\pi}{2}x)$.
મહત્તમ કણ વેગ $(v_p)_{\max} = 75\pi \text{ m/s}$.
મહત્તમ કણ વેગ અને તરંગ વેગનો ગુણોત્તર $\frac{(v_p)_{\max}}{v} = \frac{75\pi}{50} = \frac{3\pi}{2}$ થાય છે.

(D) આપેલ સમીકરણો $y_1 = 4 \sin(600\pi t)$ અને $y_2 = 5 \sin(608\pi t)$ છે.
$y = A \sin(2\pi \nu t)$ સાથે સરખાવતા:
પ્રથમ સ્ત્રોત માટે: $A_1 = 4$ અને $2\pi \nu_1 = 600\pi \implies \nu_1 = 300 \text{ Hz}$.
બીજા સ્ત્રોત માટે: $A_2 = 5$ અને $2\pi \nu_2 = 608\pi \implies \nu_2 = 304 \text{ Hz}$.
પ્રતિ સેકન્ડ સંભળાતા બીટ્સની સંખ્યા આવૃત્તિઓનો તફાવત છે: $\text{બીટ આવૃત્તિ} = \nu_2 - \nu_1 = 304 - 300 = 4 \text{ બીટ્સ/સેકન્ડ}$.
મહત્તમ તીવ્રતા અને ન્યૂનતમ તીવ્રતાનો ગુણોત્તર $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(A_1 + A_2)^2}{(A_1 - A_2)^2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_{\max}}{I_{\min}} = \frac{(4 + 5)^2}{(4 - 5)^2} = \frac{9^2}{(-1)^2} = \frac{81}{1}$.
આમ,અવલોકનકાર $4$ બીટ્સ પ્રતિ સેકન્ડ અને $81 : 1$ ના તીવ્રતા ગુણોત્તર સાથે સાંભળશે.

(D) જ્યારે કોઈ પદાર્થને અચળ દરે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું તાપમાન તેના ઉત્કલન બિંદુ સુધી પહોંચે ત્યાં સુધી વધે છે. અવસ્થા પરિવર્તન (ઉત્કલન) દરમિયાન,તાપમાન અચળ રહે છે કારણ કે પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્માનો ઉપયોગ આંતરઆણ્વિય બળોને દૂર કરવા માટે થાય છે (બાષ્પીભવનની ગુપ્ત ઉષ્મા). પદાર્થ સંપૂર્ણપણે વાયુમાં ફેરવાઈ જાય પછી,તાપમાન ફરીથી વધે છે. તેથી,તાપમાન-સમયનો આલેખ રેખીય વધારો,ત્યારબાદ અવસ્થા પરિવર્તન દરમિયાન આડો ભાગ (પ્લેટુ) અને પછી ફરીથી રેખીય વધારો દર્શાવે છે. આ વર્તણૂક આલેખ $D$ દ્વારા યોગ્ય રીતે દર્શાવવામાં આવી છે.

(B) અવધિ $R$ નું સૂત્ર $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g} = \frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે અવધિ અને મહત્તમ ઊંચાઈ સમાન છે,તેથી $R = H$ લેતા:
$\frac{2u^2 \sin \theta \cos \theta}{g} = \frac{u^2 \sin^2 \theta}{2g}$.
બંને બાજુથી સામાન્ય પદો $u^2/g$ ને દૂર કરતા:
$2 \sin \theta \cos \theta = \frac{\sin^2 \theta}{2}$.
બંને બાજુ $\sin \theta$ વડે ભાગતા (ધારો કે $\sin \theta \neq 0$):
$2 \cos \theta = \frac{\sin \theta}{2}$.
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ માટે ગોઠવતા:
$4 = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \tan \theta$.
તેથી,$\theta = \tan^{-1}(4)$.

(B) સમાંતર અક્ષના પ્રમેય મુજબ,કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{CM} + Md^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I_{CM}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$M$ એ તકતીનું દળ છે,અને $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી અક્ષનું લંબ અંતર છે.
તકતી માટે $I_{CM}$ અને $M$ અચળ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(A)$ થી અંતર $d$ ના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $A$ થી બિંદુઓ $A, B, C,$ અને $D$ ના અંતરની સરખામણી કરતા:
- બિંદુ $A$ માટે,$d = 0$.
- બિંદુ $B$ માટે,$d = R$ (તકતીની ત્રિજ્યા).
- બિંદુ $C$ માટે,$d < R$.
- બિંદુ $D$ માટે,$d < R$.
બિંદુ $B$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી મહત્તમ અંતરે $(d = R)$ હોવાથી,બિંદુ $B$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ હશે.

(C) આપેલ સર્કિટમાં એક $OR$ ગેટ અને ત્યારબાદ એક $AND$ ગેટ છે. $OR$ ગેટનું આઉટપુટ $(A + B)$ છે. આ આઉટપુટને ઇનપુટ $C$ સાથે $AND$ ગેટમાં આપવામાં આવે છે. તેથી,આઉટપુટ $Y$ માટેનું બુલિયન સમીકરણ $Y = (A + B) \cdot C$ છે.
આઉટપુટ $Y = 1$ મેળવવા માટે,$AND$ ગેટના બંને ઇનપુટ $1$ હોવા જોઈએ. આનો અર્થ એ છે કે $(A + B) = 1$ અને $C = 1$ હોવું જોઈએ.
$(A + B) = 1$ માટે,$A$ અથવા $B$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક $1$ હોવું જોઈએ.
વિકલ્પો તપાસતા:
- વિકલ્પ $A$ માટે: $A=0, B=1, C=0 \implies Y = (0+1) \cdot 0 = 0$.
- વિકલ્પ $B$ માટે: $A=1, B=0, C=0 \implies Y = (1+0) \cdot 0 = 0$.
- વિકલ્પ $C$ માટે: $A=1, B=0, C=1 \implies Y = (1+0) \cdot 1 = 1$.
- વિકલ્પ $D$ માટે: $A=1, B=1, C=0 \implies Y = (1+1) \cdot 0 = 0$.
તેથી,સાચો ઇનપુટ $A = 1, B = 0, C = 1$ છે.

(B) હાઇડ્રોજન પરમાણુમાં ઇલેક્ટ્રોન જ્યારે પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n=2)$ માંથી ધરા અવસ્થા $(n=1)$ માં સંક્રમણ કરે ત્યારે ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઊર્જા:
$E = E_2 - E_1 = -3.4 \; eV - (-13.6 \; eV) = 10.2 \; eV$.
આઈન્સ્ટાઈનના પ્રકાશ-વિદ્યુત સમીકરણ મુજબ:
$E = \phi + K_{max}$
જ્યાં $\phi$ એ વર્ક ફંક્શન છે અને $K_{max} = eV_s$ એ મહત્તમ ગતિઊર્જા છે.
અહીં $V_s = 3.57 \; V$ આપેલ છે,તેથી $K_{max} = 3.57 \; eV$.
કિંમતો મૂકતા:
$10.2 \; eV = \phi + 3.57 \; eV$
$\phi = 10.2 - 3.57 = 6.63 \; eV$.
વર્ક ફંક્શન $\phi = h \nu_0$ દ્વારા પણ મળે છે,જ્યાં $h \approx 4.136 \times 10^{-15} \; eV \cdot s$.
$\nu_0 = \frac{\phi}{h} = \frac{6.63 \; eV}{4.136 \times 10^{-15} \; eV \cdot s} \approx 1.6 \times 10^{15} \; Hz$.

(C) સમાન વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં રહેલા સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરની પ્લેટો વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = Ed$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાંતર પ્લેટ કેપેસિટરનું કેપેસિટન્સ $C = \frac{\varepsilon_0 A}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેપેસિટરમાં સંગ્રહિત ઉર્જા $U = \frac{1}{2} CV^2$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
ઉર્જાના સૂત્રમાં $C$ અને $V$ ની કિંમતો મૂકતા:
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) (Ed)^2$
$U = \frac{1}{2} \left( \frac{\varepsilon_0 A}{d} \right) E^2 d^2$
$U = \frac{1}{2} \varepsilon_0 E^2 Ad$.

(A) ધારો કે ચોરસના કેન્દ્રથી દરેક ખૂણાનું અંતર $r$ છે. $r$ અંતરે રહેલા બિંદુવત વિદ્યુતભાર $q_i$ ને કારણે કેન્દ્ર પરનું વિદ્યુતસ્થિતિમાન $V = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \frac{q_i}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચોરસના ચારેય ખૂણાઓ માટે અંતર $r$ સમાન હોવાથી,કેન્દ્ર પરનું કુલ વિદ્યુતસ્થિતિમાન એ દરેક વિદ્યુતભારને કારણે ઉદ્ભવતા સ્થિતિમાનનો બેઝિક સરવાળો છે:
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0} \left( \frac{-Q}{r} + \frac{-q}{r} + \frac{2q}{r} + \frac{2Q}{r} \right)$
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r} (-Q - q + 2q + 2Q)$
$V_{total} = \frac{1}{4\pi\epsilon_0 r} (Q + q)$
કેન્દ્ર પર વિદ્યુતસ્થિતિમાન શૂન્ય થવા માટે,$V_{total} = 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે:
$Q + q = 0$
$Q = -q$

(C) જ્યારે બે ધાતુના ગોળાઓને વાહક તાર વડે જોડવામાં આવે છે,ત્યારે વિદ્યુતભાર ત્યાં સુધી વહે છે જ્યાં સુધી બંને ગોળાઓ સમાન સ્થિતિમાન $V$ પ્રાપ્ત ન કરે.
કુલ વિદ્યુતભાર $Q_{total} = q_1 + q_2 = -1 \times 10^{-2} + 5 \times 10^{-2} = 4 \times 10^{-2} \, C$.
કુલ કેપેસિટન્સ $C_{total} = C_1 + C_2 = 4 \pi \varepsilon_0 R_1 + 4 \pi \varepsilon_0 R_2 = 4 \pi \varepsilon_0 (R_1 + R_2)$.
સમાન સ્થિતિમાન $V = \frac{Q_{total}}{C_{total}} = \frac{4 \times 10^{-2}}{4 \pi \varepsilon_0 (1 \times 10^{-2} + 3 \times 10^{-2})} = \frac{4 \times 10^{-2}}{4 \pi \varepsilon_0 (4 \times 10^{-2})} = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0}$.
મોટા ગોળા $(R_2 = 3 \, cm)$ પરનો અંતિમ વિદ્યુતભાર $q_2' = C_2 V = (4 \pi \varepsilon_0 R_2) \times V$.
$q_2' = (4 \pi \varepsilon_0 \times 3 \times 10^{-2}) \times \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} = 3 \times 10^{-2} \, C$.

(A) બાહ્ય વિદ્યુતક્ષેત્રમાં વિદ્યુત ડાયપોલ પર લાગતું ટોર્ક $\tau = pE \sin \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta$ એ ડાયપોલ મોમેન્ટ સદિશ અને વિદ્યુતક્ષેત્ર સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો છે.
ડાયપોલની સ્થિતિ ઉર્જા $U$ ને સંદર્ભ સ્થિતિ (જ્યાં $U = 0$) થી વર્તમાન સ્થિતિ $\theta$ સુધી ડાયપોલને ફેરવવા માટે બાહ્ય બળ દ્વારા કરવામાં આવેલા કાર્ય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $\theta = 90^o$ પર $U = 0$ આપેલ હોવાથી,સ્થિતિ ઉર્જા:
$U = -\int_{90^o}^{\theta} \tau \, d\theta = -\int_{\pi/2}^{\theta} pE \sin \theta \, d\theta$
$U = -pE [-\cos \theta]_{\pi/2}^{\theta} = pE (\cos \theta - \cos 90^o)$
કારણ કે $\cos 90^o = 0$,તેથી આપણને $U = -pE \cos \theta$ મળે છે.
આમ,ટોર્ક $pE \sin \theta$ છે અને સ્થિતિ ઉર્જા $-pE \cos \theta$ છે.

(B) ગોસના નિયમ મુજબ,બંધ સપાટીમાંથી પસાર થતું કુલ વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi_{total} = \frac{q_{enclosed}}{\varepsilon_0}$ છે.
જ્યારે $q$ જેટલો બિંદુવત વિદ્યુતભાર સમઘનના એક ખૂણા પર મૂકવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિદ્યુતભારને સંપૂર્ણપણે આવરી લેવા માટે $8$ સમાન સમઘનની જરૂર પડે છે.
તેથી,એક સમઘનમાંથી પસાર થતું ફ્લક્સ એ કુલ ફ્લક્સના $\frac{1}{8}$ ભાગનું હોય છે.
આમ,આપેલા સમઘનમાંથી પસાર થતું વિદ્યુત ફ્લક્સ $\phi = \frac{1}{8} \left( \frac{q}{\varepsilon_0} \right) = \frac{q}{8\varepsilon_0}$ થાય.

(C) પરિપથમાં,ડાબી બાજુના લૂપમાં બેટરી $V_{A}$,અવરોધ $R_{1}$ અને અવરોધ $R$ શ્રેણીમાં છે.
ગેલ્વેનોમીટર $(G)$ કોઈ કોણાવર્તન દર્શાવતું ન હોવાથી,ગેલ્વેનોમીટર અને બેટરી $V_{B}$ વાળી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
તેથી,ડાબી બાજુના લૂપમાંથી વહેતો પ્રવાહ $I$ એ $R_{1}$ અને $R$ ના શ્રેણી જોડાણ દ્વારા નક્કી થાય છે:
$I = \frac{V_{A}}{R_{1} + R}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{12}{500 + 100} = \frac{12}{600} = 0.02 \; A$
હવે,અવરોધ $R$ ની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત એ સામાન્ય ઋણ ટર્મિનલની સાપેક્ષમાં જંકશન પોઈન્ટ પરનું વોલ્ટેજ છે:
$V = I \times R$
$V = 0.02 \times 100 = 2 \; V$
ગેલ્વેનોમીટરમાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો ન હોવાથી,તેની આસપાસનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત શૂન્ય હોવો જોઈએ. આમ,બેટરી $V_{B}$ નું સ્થિતિમાન અવરોધ $R$ ના સ્થિતિમાન જેટલું હોવું જોઈએ.
$V_{B} = V = 2 \; V$.

(A) સમાંતર જોડાણમાં રહેલા બે અવરોધો $R$ અને $5 \, \Omega$ નો સમતુલ્ય અવરોધ $R_{eq}$ નીચે મુજબ છે:
$R_{eq} = \frac{R \times 5}{R + 5}$
સર્કિટમાં વ્યય થતો પાવર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$P = \frac{V^2}{R_{eq}}$
અહીં $P = 30 \, W$ અને $V = 10 \, V$ આપેલ છે,તેથી આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$30 = \frac{10^2}{\left(\frac{5R}{R + 5}\right)}$
$30 = \frac{100(R + 5)}{5R}$
$30 = \frac{20(R + 5)}{R}$
$30R = 20R + 100$
$10R = 100$
$R = 10 \, \Omega$

(C) બલ્બ દ્વારા વપરાતો પાવર $P = \frac{V^2}{R}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $V$ એ વોલ્ટેજ છે અને $R$ એ બલ્બનો અવરોધ છે.
બલ્બનો અવરોધ $R$ અચળ હોવાથી,આપણે સાપેક્ષ ત્રુટિનું સૂત્ર વાપરી શકીએ: $\frac{\Delta P}{P} = 2 \frac{\Delta V}{V}$.
અહીં વોલ્ટેજમાં $2.5\%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta V}{V} = 2.5\% = 0.025$.
આ કિંમતને ત્રુટિના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{\Delta P}{P} = 2 \times 2.5\% = 5\%$.
આમ,પાવરમાં તેના રેટિંગ મૂલ્યના $5\%$ જેટલો ઘટાડો થશે.

(D) ધારો કે તારનો એકમ લંબાઈ દીઠ અવરોધ $r$ છે. કુલ અવરોધ $R_0 = r(l_1 + l_2) = 12 \,\Omega$ છે.
બે ચાપના અવરોધ $R_1 = r l_1$ અને $R_2 = r l_2$ છે.
આ બે ચાપ સમાંતરમાં હોવાથી,સમતુલ્ય અવરોધ $R$ નીચે મુજબ મળે છે:
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{(r l_1)(r l_2)}{r(l_1 + l_2)} = \frac{r l_1 l_2}{l_1 + l_2} = \frac{8}{3} \,\Omega$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r(l_1 + l_2) = 12$,તેથી $r = \frac{12}{l_1 + l_2}$.
$r$ ની કિંમત $R$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(\frac{12}{l_1 + l_2}) l_1 l_2}{l_1 + l_2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 l_1 l_2}{(l_1 + l_2)^2} = \frac{8}{3}$.
ધારો કે $y = \frac{l_1}{l_2}$. તેથી $l_1 = y l_2$. આ કિંમત મૂકતા:
$\frac{12 (y l_2) l_2}{(y l_2 + l_2)^2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 y l_2^2}{l_2^2 (y + 1)^2} = \frac{8}{3} \implies \frac{12 y}{(y + 1)^2} = \frac{8}{3}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$36 y = 8(y^2 + 2y + 1) \implies 36 y = 8y^2 + 16y + 8$.
$8y^2 - 20y + 8 = 0 \implies 2y^2 - 5y + 2 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$2y^2 - 4y - y + 2 = 0 \implies 2y(y - 2) - 1(y - 2) = 0$.
$(2y - 1)(y - 2) = 0$.
આમ,$y = \frac{1}{2}$ અથવા $y = 2$. તેથી,$\frac{l_1}{l_2} = \frac{1}{2}$ અથવા $2$.

(C) પરિપથમાં પ્રવાહ $I = \frac{\varepsilon}{R+r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાહ્ય અવરોધ $R$ ના બે છેડા વચ્ચેનો વિદ્યુતસ્થિતિમાનનો તફાવત $V = IR = \left( \frac{\varepsilon}{R+r} \right) R$ છે.
આને $V = \frac{\varepsilon}{1 + \frac{r}{R}}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
સીમાઓનું વિશ્લેષણ કરતા:
$1$. જ્યારે $R = 0$,ત્યારે $V = 0$.
$2$. જેમ $R \to \infty$,ત્યારે પદ $\frac{r}{R} \to 0$,તેથી $V \to \varepsilon$.
જેમ $R$ વધે છે,તેમ $V$ શૂન્યથી વધે છે અને અનંતે $\varepsilon$ મૂલ્યની નજીક પહોંચે છે. આ તે આલેખને અનુરૂપ છે જ્યાં વક્ર ઉગમબિંદુથી શરૂ થાય છે અને $V = \varepsilon$ પર સ્થિર થાય છે.

(A) સમાન ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં $m$ દળ,$q$ વીજભાર અને $K$ ગતિઊર્જા ધરાવતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{\sqrt{2mK}}{Bq}$
પ્રોટોન માટે: $m_p = m$,$q_p = e$,$K_p = 1\, MeV$.
$R_p = \frac{\sqrt{2m(1)}}{Be}$
$\alpha$-કણ માટે: $m_{\alpha} = 4m$,$q_{\alpha} = 2e$.
$R_{\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K_{\alpha}}}{B(2e)} = \frac{\sqrt{8mK_{\alpha}}}{2Be} = \frac{\sqrt{2mK_{\alpha}}}{Be}$
બંનેની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી $(R_p = R_{\alpha})$:
$\frac{\sqrt{2m(1)}}{Be} = \frac{\sqrt{2mK_{\alpha}}}{Be}$
$1 = K_{\alpha}$
તેથી,$\alpha$-કણની ગતિઊર્જા $1\, MeV$ છે.

(A) $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી અને $I$ પ્રવાહ વહેતી વર્તુળાકાર કોઈલના કેન્દ્ર પર ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I$ પ્રવાહ ધરાવતી પ્રથમ કોઈલ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{1} = \frac{\mu_{0} I}{2 R}$ છે.
$2I$ પ્રવાહ ધરાવતી બીજી કોઈલ માટે,ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B_{2} = \frac{\mu_{0} (2I)}{2 R} = \frac{\mu_{0} I}{R}$ છે.
આ કોઈલના સમતલો એકબીજાને કાટખૂણે હોવાથી,ચુંબકીય ક્ષેત્રો $B_{1}$ અને $B_{2}$ એકબીજાને લંબ છે.
કેન્દ્ર પર પરિણામી ચુંબકીય ક્ષેત્રની તીવ્રતા $B_{\text{net}}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$B_{\text{net}} = \sqrt{B_{1}^{2} + B_{2}^{2}}$
$B_{\text{net}} = \sqrt{\left(\frac{\mu_{0} I}{2 R}\right)^{2} + \left(\frac{\mu_{0} I}{R}\right)^{2}}$
$B_{\text{net}} = \frac{\mu_{0} I}{2 R} \sqrt{1^{2} + 2^{2}}$
$B_{\text{net}} = \frac{\sqrt{5} \mu_{0} I}{2 R}$

(C) સાયક્લોટ્રોન આવૃત્તિ $f = \frac{eB}{2\pi m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માટે ગોઠવતા,આપણને $B = \frac{2\pi mf}{e}$ મળે છે.
ડીઝ (ત્રિજ્યા $R$) ના બહાર નીકળતી વખતે પ્રોટોનનો મહત્તમ વેગ $v = \omega R = (2\pi f)R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
ગતિઊર્જાના સૂત્રમાં $v = 2\pi fR$ મૂકતા:
$K = \frac{1}{2}m(2\pi fR)^2 = \frac{1}{2}m(4\pi^2f^2R^2) = 2m\pi^2f^2R^2$.
આમ,$B = \frac{2\pi mf}{e}$ અને $K = 2m\pi^2f^2R^2$ છે.

(A) ગેલ્વેનોમીટર (અથવા મિલિવોલ્ટમીટર) ને એમીટરમાં રૂપાંતરિત કરવા માટે જરૂરી શંટ અવરોધ $S$ નું સૂત્ર: $S = \frac{V_g}{I - I_g}$ છે.
અહીં,$V_g$ એ મિલિવોલ્ટમીટરનો ફુલ-સ્કેલ વોલ્ટેજ છે,$I$ એ એમીટરની ઇચ્છિત રેન્જ છે અને $I_g$ એ મિલિવોલ્ટમીટરનો ફુલ-સ્કેલ પ્રવાહ છે.
આપેલ છે કે $V_g = 25 \, mV = 25 \times 10^{-3} \, V$ અને $I = 25 \, A$.
કારણ કે $I \gg I_g$,આપણે $I - I_g \approx I$ લઈ શકીએ છીએ.
તેથી,$S = \frac{V_g}{I} = \frac{25 \times 10^{-3} \, V}{25 \, A} = 10^{-3} \, \Omega = 0.001 \, \Omega$.

(C) ભૂ-ચુંબકીય ધ્રુવો પર,પૃથ્વીના ચુંબકીય ક્ષેત્રનો સમક્ષિતિજ ઘટક $(B_H)$ શૂન્ય હોય છે. હોકાયંત્રની સોય માત્ર સમક્ષિતિજ સમતલમાં જ ગતિ કરી શકે છે,તેથી તેને કોઈ ચોક્કસ દિશામાં ગોઠવવા માટે કોઈ સમક્ષિતિજ ટોર્ક અનુભવાતો નથી. પરિણામે,સોય તેને જે સ્થિતિમાં રાખવામાં આવે તે કોઈપણ સ્થિતિમાં રહેશે.

(B) ચુંબકીય ક્ષેત્ર $B$ માં ચુંબકીય મોમેન્ટ $M$ ધરાવતી ચુંબકીય સોયને $\theta_{1}$ થી $\theta_{2}$ ખૂણે ફેરવવા માટે કરવામાં આવતું કાર્ય:
$W = MB(\cos \theta_{1} - \cos \theta_{2})$
અહીં $\theta_{1} = 0^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 60^{\circ}$ લેતા,કાર્ય:
$W = MB(\cos 0^{\circ} - \cos 60^{\circ}) = MB(1 - 0.5) = 0.5 MB$
આપેલ છે કે $W = \sqrt{3} \, J$,તેથી $0.5 MB = \sqrt{3} \implies MB = 2\sqrt{3} \, J$.
$\theta = 60^{\circ}$ ના ખૂણે સોયને જાળવી રાખવા માટે જરૂરી ટોર્ક $\tau$:
$\tau = MB \sin \theta$
$\tau = MB \sin 60^{\circ} = (2\sqrt{3}) \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3 \, J$.

(B) પ્રિઝમનો વક્રીભવનાંક $\mu = \frac{\sin((A+\delta_m)/2)}{\sin(A/2)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે લઘુત્તમ વિચલન કોણ $\delta_m = A$,તેથી સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા:
$\mu = \frac{\sin((A+A)/2)}{\sin(A/2)} = \frac{\sin A}{\sin(A/2)}$.
નિત્યસમ $\sin A = 2\sin(A/2)\cos(A/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\mu = \frac{2\sin(A/2)\cos(A/2)}{\sin(A/2)} = 2\cos(A/2)$.
ભૌતિક પ્રિઝમ માટે,આપાતકોણ $i$ એ $0 < i < 90^o$ હોવો જોઈએ. કારણ કે $\delta_m = 2i - A$,તેથી $A = 2i - A$,એટલે કે $i = A$. આમ,$0 < A < 90^o$.
જો $A \to 0^o$,તો $\mu \to 2\cos(0^o) = 2$.
જો $A \to 90^o$,તો $\mu \to 2\cos(45^o) = 2 \times (1/\sqrt{2}) = \sqrt{2}$.
તેથી,વક્રીભવનાંક $\mu$ એ $\sqrt{2}$ અને $2$ ની વચ્ચે હોવો જોઈએ.

(C) સમાંતર કિરણો (સામાન્ય ગોઠવણ) માટે ટેલિસ્કોપની મોટવણી $m = \frac{f_o}{f_e} = 9$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f_o$ એ ઓબ્જેક્ટિવની કેન્દ્રલંબાઈ છે અને $f_e$ એ આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈ છે.
આના પરથી,આપણને $f_o = 9f_e$ મળે છે ..... $(i)$
સામાન્ય ગોઠવણમાં ટેલિસ્કોપની નળીની લંબાઈ એ ઓબ્જેક્ટિવ અને આઈપીસની કેન્દ્રલંબાઈનો સરવાળો છે: $L = f_o + f_e = 20\; cm$ ..... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$9f_e + f_e = 20\; cm$
$10f_e = 20\; cm$
$f_e = 2\; cm$
હવે,$f_e = 2\; cm$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$f_o = 9 \times 2\; cm = 18\; cm$
આમ,લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ $18\; cm$ અને $2\; cm$ છે.

(D) માધ્યમમાં લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ લેન્સ મેકરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\frac{1}{f} = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$
જ્યાં $\mu_l$ એ લેન્સનો વક્રીભવનાંક છે,$\mu_m$ એ આસપાસના માધ્યમનો વક્રીભવનાંક છે,અને $R_1, R_2$ એ વક્રતા ત્રિજ્યા છે.
જો લેન્સ કાચની સમતલ પ્લેટ તરીકે વર્તે,તો તેની કેન્દ્રલંબાઈ $f$ અનંત $(f \to \infty)$ બને છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{1}{f} = 0$.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $0 = (\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) (\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2})$.
લેન્સ બહિર્ગોળ હોવાથી,$(\frac{1}{R_1} - \frac{1}{R_2}) \neq 0$.
તેથી,$(\frac{\mu_l}{\mu_m} - 1) = 0$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{\mu_l}{\mu_m} = 1$,અથવા $\mu_l = \mu_m$.
આમ,પ્રવાહીનો વક્રીભવનાંક કાચના વક્રીભવનાંક $(1.47)$ જેટલો જ હોવો જોઈએ.

(D) અહીં,અંતર્ગોળ અરીસાની કેન્દ્રલંબાઈ $f = -10\, cm$ છે.
સળિયાના છેડા $A$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_A = -20\, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્ર $\frac{1}{v} + \frac{1}{u} = \frac{1}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_A} + \frac{1}{-20} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v_A} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{20} = -\frac{1}{20}$
$v_A = -20\, cm$.
સળિયાના છેડા $B$ માટે,વસ્તુ અંતર $u_B = -(20 + 10) = -30\, cm$ છે.
અરીસાના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{v_B} + \frac{1}{-30} = \frac{1}{-10}$
$\frac{1}{v_B} = -\frac{1}{10} + \frac{1}{30} = -\frac{2}{30} = -\frac{1}{15}$
$v_B = -15\, cm$.
પ્રતિબિંબની લંબાઈ એ બંને છેડાઓના પ્રતિબિંબના સ્થાન વચ્ચેનું અંતર છે:
$L = |v_A - v_B| = |-20 - (-15)| = |-5| = 5\, cm$.

(B) અનંત અંતરેથી આવતા પ્રકાશના કિરણો લેન્સમાંથી પસાર થયા પછી અને અરીસા પરથી પરાવર્તિત થયા પછી ફરી અનંત અંતરે જાય તે માટે,કિરણોએ અંતર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થવું જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો અરીસા પર આપાત થતા કિરણો તેના વક્રતા કેન્દ્રમાંથી આવતા હોય તેવું લાગે.
બહિર્ગોળ લેન્સ સમાંતર કિરણપુંજને તેના મુખ્ય કેન્દ્ર પર કેન્દ્રિત કરે છે,જે લેન્સથી $f_2$ અંતરે હોય છે.
કિરણો અંતર્ગોળ અરીસા પર લંબરૂપે આપાત થાય તે માટે,આ મુખ્ય કેન્દ્ર બિંદુ અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્ર સાથે સંપાત થવું જોઈએ.
અંતર્ગોળ અરીસાના વક્રતા કેન્દ્રનું અરીસાથી અંતર $2f_1$ છે.
તેથી,લેન્સ અને અરીસા વચ્ચેનું કુલ અંતર $d$ એ લેન્સની કેન્દ્રલંબાઈ અને અરીસાની વક્રતા ત્રિજ્યાનો સરવાળો છે:
$d = f_2 + 2f_1$.

(C) અહીં,વર્ક ફંક્શન $\phi_{0} = 0.5 \; eV$ છે.
આઈન્સ્ટાઈનના ફોટોઈલેક્ટ્રિક સમીકરણ મુજબ,ઉત્સર્જિત ઇલેક્ટ્રોનની મહત્તમ ગતિ ઉર્જા $K_{\max} = E - \phi_{0}$ છે,જ્યાં $E$ એ આપાત ફોટોનની ઉર્જા છે.
પ્રથમ વિકિરણ માટે,$E_{1} = 1 \; eV$:
$K_{\max 1} = 1 \; eV - 0.5 \; eV = 0.5 \; eV$.
બીજા વિકિરણ માટે,$E_{2} = 2.5 \; eV$:
$K_{\max 2} = 2.5 \; eV - 0.5 \; eV = 2 \; eV$.
ગતિ ઉર્જા અને મહત્તમ ઝડપ $v_{\max}$ વચ્ચેનો સંબંધ $K_{\max} = \frac{1}{2} m v_{\max}^2$ છે.
તેથી,મહત્તમ ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{v_{\max 1}}{v_{\max 2}} = \sqrt{\frac{K_{\max 1}}{K_{\max 2}}} = \sqrt{\frac{0.5}{2}} = \sqrt{\frac{1}{4}} = \frac{1}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(D) ચુંબકીય ક્ષેત્રમાં ગતિ કરતા વિદ્યુતભારિત કણના વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $R = \frac{mv}{Bq}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $mv = RBq$.
આપેલ કિંમતો:
$R = 0.83\, cm = 0.83 \times 10^{-2}\, m$
$B = 0.25\, Wb/m^2$
$q = 2e = 2 \times 1.6 \times 10^{-19}\, C$
વેગમાન $p = mv$ ની ગણતરી:
$mv = (0.83 \times 10^{-2}) \times (0.25) \times (2 \times 1.6 \times 10^{-19})$
$mv = 0.664 \times 10^{-21}\, kg\cdot m/s$
ડી-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda = \frac{h}{mv}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $h = 6.6 \times 10^{-34}\, J\cdot s$:
$\lambda = \frac{6.6 \times 10^{-34}}{0.664 \times 10^{-21}} \approx 0.01 \times 10^{-10}\, m = 0.01\, \mathring{A}$.

(D) દ-બ્રોગ્લી તરંગલંબાઈ $\lambda$ અને વેગમાન $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda = \frac{h}{P}$ છે.
લઘુગણકીય વિકલન લેતા,આપણને $\frac{d\lambda}{\lambda} = -\frac{dP}{P}$ મળે છે.
નાના ફેરફારો માટે,આપણે $\frac{|\Delta \lambda|}{\lambda} = \frac{\Delta P}{P}$ લખી શકીએ.
આપેલ છે કે તરંગલંબાઈમાં $0.5\%$ નો ફેરફાર થાય છે,તેથી $\frac{\Delta \lambda}{\lambda} = 0.5\% = \frac{0.5}{100} = \frac{1}{200}$.
આ કિંમત સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta P}{P} = \frac{1}{200}$ મળે છે.
તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P = 200\,\Delta P$ થશે.

(A) કોઈલમાંથી પસાર થતો કુલ વિદ્યુતભાર $q$ એ $i-t$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$q = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ}$
$q = \frac{1}{2} \times 0.1 \, s \times 4 \, A = 0.2 \, C$
ફેરાડેના નિયમ મુજબ,વિદ્યુતભાર $q$,ચુંબકીય ફ્લક્સમાં થતો ફેરફાર $\Delta \phi$ અને અવરોધ $R$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$q = \frac{\Delta \phi}{R}$
તેથી,ફ્લક્સમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય:
$\Delta \phi = q \times R$
$\Delta \phi = 0.2 \, C \times 10 \, \Omega = 2 \, Wb$

(D) ઇન્ડક્ટર પરનો ઇન્ડ્યુસ્ડ વોલ્ટેજ $(V)$ સૂત્ર $V = -L \frac{dI}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ $I-t$ આલેખ પરથી, પ્રવાહ $t = 0$ થી $t = T/2$ સુધી રેખીય રીતે વધે છે. આ અંતરાલ દરમિયાન, ઢાળ $\frac{dI}{dt}$ ધન અને અચળ છે. તેથી, $V = -L \times (\text{positive constant}) = \text{negative constant}$.
$t = T/2$ થી $t = T$ સુધી, પ્રવાહ રેખીય રીતે ઘટે છે. આ અંતરાલ દરમિયાન, ઢાળ $\frac{dI}{dt}$ ઋણ અને અચળ છે. તેથી, $V = -L \times (\text{negative constant}) = \text{positive constant}$.
આમ, વોલ્ટેજ $V$ પ્રથમ અડધા ભાગ માટે ઋણ અચળ અને બીજા અડધા ભાગ માટે ધન અચળ છે. આને આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા, સાચું નિરૂપણ એ સ્ક્વેર વેવ છે જ્યાં વોલ્ટેજ $0 < t < T/2$ માટે ઋણ અને $T/2 < t < T$ માટે ધન છે, જે વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આકારને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ છે: અવરોધ $R = 400 \,\Omega$,ચુંબકીય ફ્લક્સ $\phi = 50t^2 + 4 \,Wb$.
ફેરાડેના વિદ્યુતચુંબકીય પ્રેરણના નિયમ મુજબ,પ્રેરિત વિદ્યુતચાલક બળ $(emf)$ $\varepsilon = -\frac{d\phi}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\varepsilon = -\frac{d}{dt}(50t^2 + 4) = -100t \,V$.
$t = 2 \,s$ સમયે,પ્રેરિત $emf$ નું મૂલ્ય $|\varepsilon| = |-100(2)| = 200 \,V$ થાય.
ગૂંચળામાં પ્રેરિત પ્રવાહ $I$ ઓહ્મના નિયમ મુજબ મળે છે: $I = \frac{|\varepsilon|}{R}$.
$I = \frac{200 \,V}{400 \,\Omega} = 0.5 \,A$.

(D) આપેલ છે: $i = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(100\pi t) \text{ A}$.
$i = i_0 \sin(\omega t)$ સાથે સરખાવતા,મહત્તમ પ્રવાહ $i_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ A}$ મળે છે.
આપેલ છે: $e = \frac{1}{\sqrt{2}} \sin(100\pi t + \frac{\pi}{3}) \text{ V}$.
$e = e_0 \sin(\omega t + \phi)$ સાથે સરખાવતા,મહત્તમ વોલ્ટેજ $e_0 = \frac{1}{\sqrt{2}} \text{ V}$ અને ફેઝ તફાવત $\phi = \frac{\pi}{3}$ મળે છે.
$RMS$ મૂલ્યોની ગણતરી:
$i_{rms} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \text{ A}$.
$e_{rms} = \frac{e_0}{\sqrt{2}} = \frac{1/\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \text{ V}$.
સર્કિટમાં વપરાતો સરેરાશ પાવર $P = i_{rms} e_{rms} \cos \phi$ દ્વારા મળે છે.
$P = (\frac{1}{2}) (\frac{1}{2}) \cos(\frac{\pi}{3}) = (\frac{1}{4}) (\frac{1}{2}) = \frac{1}{8} \text{ W}$.

(B) શૂન્યાવકાશમાં પ્રસરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટે વિદ્યુત ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(E_{0})$ અને ચુંબકીય ક્ષેત્રનો કંપવિસ્તાર $(B_{0})$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$E_{0} = B_{0} c$
જ્યાં $c$ એ શૂન્યાવકાશમાં પ્રકાશની ઝડપ છે.
ચુંબકીય ક્ષેત્રના કંપવિસ્તાર અને વિદ્યુત ક્ષેત્રના કંપવિસ્તારનો ગુણોત્તર શોધવા માટે,આપણે સમીકરણને આ રીતે લખી શકીએ:
$\frac{B_{0}}{E_{0}} = \frac{1}{c}$
આમ,ગુણોત્તર $\frac{1}{c}$ જેટલો થાય છે.

(A) $z$-દિશામાં ગતિ કરતા વિદ્યુતચુંબકીય તરંગ માટેનું પ્રમાણિત સમીકરણ $\vec{E} = E_{0} \cos (kz - \omega t) \hat{i}$ છે.
આપેલ સમીકરણ $\vec{E} = \hat{i} 40 \cos (kz - 6 \times 10^{8} t)$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,આપણને કોણીય આવૃત્તિ $\omega = 6 \times 10^{8} \, rad/s$ મળે છે.
શૂન્યાવકાશમાં,તરંગ સદિશ $k$,કોણીય આવૃત્તિ $\omega$ અને પ્રકાશની ઝડપ $c$ વચ્ચેનો સંબંધ $k = \frac{\omega}{c}$ છે.
અહીં $c = 3 \times 10^{8} \, m/s$ આપેલ હોવાથી,આપણે $k = \frac{6 \times 10^{8}}{3 \times 10^{8}} = 2 \, m^{-1}$ ગણી શકીએ છીએ.

(D) સંક્રમણ દરમિયાન ઉત્સર્જિત ફોટોનની ઉર્જા $\Delta E = 13.6 Z^2 \left( \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right) \text{ eV}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અલ્ટ્રાવાયોલેટ $(UV)$ વિકિરણ ઉચ્ચ ઉર્જાના સંક્રમણો (લાયમન શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે,જ્યારે ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિકિરણ ઓછી ઉર્જાના સંક્રમણો (પાશ્ચન,બ્રેકેટ અથવા ફંડ શ્રેણી) ને અનુરૂપ છે.
ઇન્ફ્રારેડ વિકિરણ મેળવવા માટે,ઉર્જાનો તફાવત $n=3$ થી $n=1$ ના સંક્રમણ કરતા ઘણો ઓછો હોવો જોઈએ.
ચાલો સંક્રમણોનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$1. 2 \to 1$: આ લાયમન શ્રેણીનો ભાગ છે,જે $UV$ વિસ્તારમાં છે.
$2. 3 \to 1$: આ પણ લાયમન શ્રેણીનો ભાગ છે,જે $UV$ વિસ્તારમાં છે.
$3. 4 \to 2$: આ બામર શ્રેણીનો ભાગ છે,જે દ્રશ્યમાન વિસ્તારમાં છે.
$4. 4 \to 3$: આ પાશ્ચન શ્રેણીનો ભાગ છે,જે ઇન્ફ્રારેડ $(IR)$ વિસ્તારને અનુરૂપ છે.
આપેલા વિકલ્પોમાં $4 \to 3$ માટે ઉર્જાનો તફાવત સૌથી ઓછો હોવાથી,તે સૌથી લાંબી તરંગલંબાઇ ધરાવે છે,જે ઇન્ફ્રારેડ વિસ્તારમાં આવે છે.

(D) રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_f^2} - \frac{1}{n_i^2} \right]$
પ્રથમ કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન ત્રીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 4)$ માંથી બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 3)$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$\frac{1}{\lambda_1} = R \left[ \frac{1}{3^2} - \frac{1}{4^2} \right] = R \left[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} \right] = R \left[ \frac{16 - 9}{144} \right] = \frac{7}{144} R$ .... $(i)$
બીજા કિસ્સામાં,ઇલેક્ટ્રોન બીજી ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_i = 3)$ માંથી પ્રથમ ઉત્તેજિત અવસ્થા $(n_f = 2)$ માં સંક્રમણ કરે છે:
$\frac{1}{\lambda_2} = R \left[ \frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} \right] = R \left[ \frac{1}{4} - \frac{1}{9} \right] = R \left[ \frac{9 - 4}{36} \right] = \frac{5}{36} R$ .... $(ii)$
ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2}$ શોધવા માટે,આપણે $\frac{1}{\lambda_1}$ ને $\frac{1}{\lambda_2}$ વડે ભાગીશું:
$\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{\frac{5}{36} R}{\frac{7}{144} R} = \frac{5}{36} \times \frac{144}{7} = \frac{5 \times 4}{7} = \frac{20}{7}$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \frac{20}{7}$ થાય છે.

(A) રિડબર્ગના સૂત્ર મુજબ:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{n_{f}^{2}} - \frac{1}{n_{i}^{2}} \right]$
અહીં,$n_{f} = 1$ અને $n_{i} = 5$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1}{\lambda} = R \left[ \frac{1}{1^{2}} - \frac{1}{5^{2}} \right] = R \left[ 1 - \frac{1}{25} \right] = \frac{24}{25} R$
રેખીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,ઉત્સર્જિત ફોટોનનું વેગમાન એ પરમાણુ દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલા વેગમાન જેટલું હોવું જોઈએ:
$p_{\text{photon}} = p_{\text{atom}}$
$\frac{h}{\lambda} = mv$
વેગ $v$ માટે ઉકેલતા:
$v = \frac{h}{m\lambda} = \frac{h}{m} \left( \frac{24R}{25} \right) = \frac{24hR}{25m}$

(D) ધારો કે $t \, s$ પછી $A_1$ અને $A_2$ નું પ્રમાણ સમાન થાય છે.
રેડિયોએક્ટિવ પદાર્થનું $t$ સમય પછી બાકી રહેતું પ્રમાણ $N = N_0 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/T_{1/2}}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $T_{1/2}$ એ અર્ધ-આયુષ્ય છે.
$A_1$ માટે: $N_1 = 40 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/20}$.
$A_2$ માટે: $N_2 = 160 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
$N_1 = N_2$ લેતા:
$40 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/20} = 160 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
બંને બાજુ $40$ વડે ભાગતા:
$\left( \frac{1}{2} \right)^{t/20} = 4 \left( \frac{1}{2} \right)^{t/10}$.
$2^{-x} = \frac{1}{2^x}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{1}{2^{t/20}} = 4 \cdot \frac{1}{2^{t/10}}$.
પદોને ગોઠવતા:
$\frac{2^{t/10}}{2^{t/20}} = 4$.
$2^{(t/10 - t/20)} = 2^2$.
ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$\frac{t}{10} - \frac{t}{20} = 2$.
$\frac{2t - t}{20} = 2$.
$\frac{t}{20} = 2 \Rightarrow t = 40 \, s$.

(C) ન્યુક્લિયર ત્રિજ્યા $R$ માટેનું સૂત્ર $R = R_0 A^{1/3}$ છે,જ્યાં $R_0$ અચળાંક છે અને $A$ એ દળ ક્રમાંક છે.
${}_{13}^{27}Al$ માટે,$A_1 = 27$ અને $R_1 = 3.6 \, fm$ છે.
${}_{29}^{64}Cu$ માટે,$A_2 = 64$ છે.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{R_2}{R_1} = \left( \frac{A_2}{A_1} \right)^{1/3}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{R_2}{3.6} = \left( \frac{64}{27} \right)^{1/3}$.
$\frac{R_2}{3.6} = \frac{4}{3}$.
$R_2 = 3.6 \times \frac{4}{3} = 1.2 \times 4 = 4.8 \, fm$.

(B) રેડિયોએક્ટિવ ક્ષયના નિયમ મુજબ,$N = N_0 e^{-\lambda t}$,જ્યાં $N_0$ એ શરૂઆતના ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે અને $N$ એ સમય $t$ પર બાકી રહેલા ન્યુક્લિયસની સંખ્યા છે.
સમય $t_2$ પર,નમૂનાનો $2/3$ ભાગ ક્ષય પામે છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 - (2/3)N_0 = (1/3)N_0$ છે.
આમ,$(1/3)N_0 = N_0 e^{-\lambda t_2} \Rightarrow e^{-\lambda t_2} = 1/3$ ...... $(i)$
સમય $t_1$ પર,નમૂનાનો $1/3$ ભાગ ક્ષય પામે છે,તેથી બાકી રહેલો જથ્થો $N = N_0 - (1/3)N_0 = (2/3)N_0$ છે.
આમ,$(2/3)N_0 = N_0 e^{-\lambda t_1} \Rightarrow e^{-\lambda t_1} = 2/3$ ...... $(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $\frac{e^{-\lambda t_2}}{e^{-\lambda t_1}} = \frac{1/3}{2/3} = 1/2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $e^{-\lambda(t_2 - t_1)} = 1/2$,અથવા $e^{\lambda(t_2 - t_1)} = 2$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\lambda(t_2 - t_1) = \ln 2$.
કારણ કે $\lambda = \frac{\ln 2}{T_{1/2}}$,તેથી $(t_2 - t_1) = \frac{\ln 2}{\lambda} = T_{1/2}$.
આપેલ છે કે $T_{1/2} = 50$ દિવસ,તેથી સમયગાળો $(t_2 - t_1) = 50$ દિવસ છે.

(D) આપેલ છે: કલેક્ટર અવરોધ $R_{C} = 2 \, k\Omega = 2 \times 10^{3} \, \Omega$.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{o} = 2 \, V$.
બેઝ અવરોધ $R_{B} = 1 \, k\Omega = 1 \times 10^{3} \, \Omega$.
કરંટ એમ્પ્લીફિકેશન ફેક્ટર $\beta = 100$.
આઉટપુટ વોલ્ટેજ $V_{o} = I_{C} R_{C}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કલેક્ટર કરંટ $I_{C} = \frac{V_{o}}{R_{C}} = \frac{2 \, V}{2 \times 10^{3} \, \Omega} = 10^{-3} \, A = 1 \, mA$.
કારણ કે $\beta = \frac{I_{C}}{I_{B}}$,તેથી બેઝ કરંટ $I_{B} = \frac{I_{C}}{\beta} = \frac{10^{-3} \, A}{100} = 10^{-5} \, A$.
ઇનપુટ સિગ્નલ વોલ્ટેજ $V_{i} = I_{B} R_{B}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $V_{i} = (10^{-5} \, A) \times (1 \times 10^{3} \, \Omega) = 10^{-2} \, V = 10 \, mV$.

(A) આપેલ છે:
ઇનપુટ અવરોધ,$R_{i} = 100\,\Omega$
બેઝ પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_{B} = 40\,\mu A = 40 \times 10^{-6}\,A$
કલેક્ટર પ્રવાહમાં ફેરફાર,$\Delta I_{C} = 2\,mA = 2 \times 10^{-3}\,A$
લોડ અવરોધ,$R_{L} = 4\,k\Omega = 4000\,\Omega$
પ્રથમ,પ્રવાહ ગેઇન $(\beta)$ ની ગણતરી કરીએ:
$\beta = \frac{\Delta I_{C}}{\Delta I_{B}} = \frac{2 \times 10^{-3}}{40 \times 10^{-6}} = \frac{2000}{40} = 50$
કોમન એમિટર એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $(A_{V})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$A_{V} = \beta \times \frac{R_{L}}{R_{i}}$
કિંમતો મૂકતા:
$A_{V} = 50 \times \frac{4000}{100}$
$A_{V} = 50 \times 40 = 2000$
આમ,એમ્પ્લીફાયરનો વોલ્ટેજ ગેઇન $2000$ છે.

(A) લોજિક ગેટને ઓળખવા માટે,આપણે આપેલા વેવફોર્મ્સ પરથી ટ્રુથ ટેબલનું વિશ્લેષણ કરીએ છીએ:

સમયગાળો	ઇનપુટ $A$	ઇનપુટ $B$	આઉટપુટ $C$
$0$ થી $t_1$	$0$	$0$	$0$
$t_1$ થી $t_2$	$1$	$0$	$1$
$t_2$ થી $t_3$	$1$	$1$	$1$
$t_3$ થી $t_4$	$0$	$1$	$1$
$t_4$ થી $t_5$	$0$	$0$	$0$
$t_5$ થી $t_6$	$1$	$0$	$1$

આને પ્રમાણભૂત ગેટ્સના ટ્રુથ ટેબલ સાથે સરખાવતા:
- $OR$ ગેટ માટે,જો ઓછામાં ઓછું એક ઇનપુટ $1$ હોય તો આઉટપુટ $1$ મળે છે.
- અવલોકન કરેલ આઉટપુટ $C$ આ શરતનું પાલન કરે છે: જો $A=1$ અથવા $B=1$ હોય તો $C=1$,અને જો $A=0$ અને $B=0$ હોય તો $C=0$.
- આ $OR$ ગેટના ટ્રુથ ટેબલ સાથે બરાબર મેળ ખાય છે.

(B) આપેલ આલેખમાં:
વિસ્તાર $(I)$ કટ-ઓફ વિસ્તાર દર્શાવે છે,જ્યાં ટ્રાન્ઝિસ્ટર $OFF$ સ્થિતિમાં હોય છે.
વિસ્તાર $(II)$ એક્ટિવ વિસ્તાર દર્શાવે છે,જ્યાં ટ્રાન્ઝિસ્ટર એમ્પ્લીફાયર તરીકે કાર્ય કરે છે.
વિસ્તાર $(III)$ સેચ્યુરેશન (સેન્ટ્રેશન) વિસ્તાર દર્શાવે છે,જ્યાં ટ્રાન્ઝિસ્ટર $ON$ સ્થિતિમાં હોય છે.
ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો સ્વીચ તરીકે ઉપયોગ કરવા માટે,તેને કટ-ઓફ વિસ્તાર ($OFF$ સ્થિતિ) અને સેચ્યુરેશન વિસ્તાર ($ON$ સ્થિતિ) વચ્ચે ચલાવવું પડે છે.
તેથી,સ્વીચિંગ એપ્લિકેશન માટે ટ્રાન્ઝિસ્ટરનો ઉપયોગ વિસ્તાર $(I)$ અને વિસ્તાર $(III)$ બંનેમાં થાય છે.

(C) કાર્બન $(^{6}C)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^{2} 2s^{2} 2p^{2}$ છે.
સિલિકોન $(_{14}Si)$ ની ઇલેક્ટ્રોનિક રચના $1s^{2} 2s^{2} 2p^{6} 3s^{2} 3p^{2}$ છે.
$C$ માં,વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન $n=2$ કક્ષામાં હોય છે,જે ન્યુક્લિયસની નજીક હોવાથી મોટું એનર્જી બેન્ડ ગેપ $(E_{g} \approx 5.4 \ eV)$ ધરાવે છે,જે તેને અવાહક બનાવે છે.
$Si$ માં,વેલેન્સ ઇલેક્ટ્રોન $n=3$ કક્ષામાં હોય છે,જે ન્યુક્લિયસથી દૂર હોવાથી નાનું એનર્જી બેન્ડ ગેપ $(E_{g} \approx 1.1 \ eV)$ ધરાવે છે,જે તેને શુદ્ધ અર્ધવાહક તરીકે કામ કરવા દે છે.
તેથી,$C$ અને $Si$ ના ચાર બંધન ઇલેક્ટ્રોન અનુક્રમે બીજી અને ત્રીજી કક્ષામાં રહેલા છે.

(D) આપેલ પરિપથમાં,ઉપરનો ડાયોડ $D_1$ ફોરવર્ડ બાયસમાં છે કારણ કે તેનો $p$-ભાગ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
નીચેનો ડાયોડ $D_2$ રિવર્સ બાયસમાં છે કારણ કે તેનો $n$-ભાગ બેટરીના ધન ટર્મિનલ સાથે જોડાયેલ છે.
એક આદર્શ ડાયોડ ફોરવર્ડ બાયસમાં શોર્ટ સર્કિટ (શૂન્ય અવરોધ) તરીકે અને રિવર્સ બાયસમાં ઓપન સર્કિટ (અનંત અવરોધ) તરીકે કાર્ય કરે છે.
તેથી,$D_2$ ધરાવતી શાખામાંથી કોઈ પ્રવાહ વહેતો નથી.
બેટરી દ્વારા પૂરો પાડવામાં આવતો કુલ પ્રવાહ ફક્ત $D_1$ અને $10 \ \Omega$ ના અવરોધ ધરાવતી શાખામાંથી વહે છે.
ઓમના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$I = \frac{V}{R} = \frac{5 \ V}{10 \ \Omega} = 0.5 \ A$.

(A) કુલ ઇનપુટ વિદ્યુત પાવર $P_{in} = 200\, W$ છે。
આપેલ કાર્યક્ષમતા $25\%$ હોવાથી, પ્રકાશ તરીકેનો અસરકારક પાવર આઉટપુટ $P_{out} = 0.25 \times 200\, W = 50\, W$ છે。
એક ફોટોનની ઊર્જા $E = \frac{hc}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
જો $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ફોટોનની સંખ્યા હોય, તો કુલ પાવર $P_{out} = nE = n \frac{hc}{\lambda}$ થાય。
$n$ માટે સૂત્ર બનાવતા, $n = \frac{P_{out} \lambda}{hc}$ મળે。
કિંમતો મૂકતા: $n = \frac{50 \times 0.6 \times 10^{-6}}{6.63 \times 10^{-34} \times 3 \times 10^8}$.
$n = \frac{30 \times 10^{-6}}{19.89 \times 10^{-26}} \approx 1.5 \times 10^{20}$ ફોટોન પ્રતિ સેકન્ડ。

(D) પ્રિઝમ માટે,પ્રિઝમનો ખૂણો $A = r_1 + r_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિરણ સામેની સપાટીમાંથી લંબરૂપે બહાર નીકળતું હોવાથી,નિર્ગમન કોણ $e = 0$ છે,જેનો અર્થ છે કે બીજી સપાટી પર વક્રીભવન કોણ $r_2 = 0$ છે.
પ્રિઝમના સમીકરણમાં $r_2 = 0$ મૂકતા,આપણને $r_1 = A$ મળે છે.
પ્રથમ સપાટી પર સ્નેલનો નિયમ લાગુ પાડતા: $\sin i = \mu \sin r_1$.
નાના ખૂણાઓ માટે,$\sin i \approx i$ અને $\sin r_1 \approx r_1$.
તેથી,$i = \mu r_1$.
$r_1 = A$ મૂકતા,આપણને $i = \mu A$ મળે છે.

(D) શ્રેણીબદ્ધ $LCR$ સર્કિટમાં,કળા તફાવત $\phi$ એ $\tan \phi = \frac{|X_L - X_C|}{R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે $L$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RC$ સર્કિટ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_C}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ છે.
જ્યારે $C$ દૂર કરવામાં આવે છે,ત્યારે સર્કિટ $RL$ સર્કિટ બને છે. કળા તફાવત $\tan \phi = \frac{X_L}{R} = \tan(\frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$ છે.
બંનેને સરખાવતા,આપણને $\frac{X_C}{R} = \frac{X_L}{R}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $X_L = X_C$.
કારણ કે $X_L = X_C$,સર્કિટ અનુનાદ (resonance) સ્થિતિમાં છે.
અનુનાદ સમયે,ઈમ્પીડન્સ $Z = R$ થાય છે.
તેથી,પાવર ફેક્ટર $\cos \phi = \frac{R}{Z} = \frac{R}{R} = 1.0$ છે.