Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(D) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2} - 2x - 15$ છે.
$2$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) - 15 = 4 - 4 - 15 = -15$.
અહીં $p(2) \neq 0$ હોવાથી,$2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.
$5$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(5)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(5) = (5)^{2} - 2(5) - 15 = 25 - 10 - 15 = 0$.
અહીં $p(5) = 0$ હોવાથી,$5$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(C) કોઈ કિંમત બહુપદી $p(x) = x^{2} - 5x - 14$ નું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે તે કિંમતને બહુપદીમાં મૂકીએ છીએ અને તપાસીએ છીએ કે પરિણામ $0$ મળે છે કે નહીં.
$x = 3$ માટે:
$p(3) = (3)^{2} - 5(3) - 14$
$p(3) = 9 - 15 - 14$
$p(3) = -20$
અહીં $p(3) \neq 0$ હોવાથી,$3$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.
$x = 7$ માટે:
$p(7) = (7)^{2} - 5(7) - 14$
$p(7) = 49 - 35 - 14$
$p(7) = 49 - 49$
$p(7) = 0$
અહીં $p(7) = 0$ હોવાથી,$7$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 3x - 4$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x - 4 = 0$
બંને બાજુ $4$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$3x = 4$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{4}{3}$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $\frac{4}{3}$ છે.

(D) બહુપદી $p(t)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(t) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(t) = 7t - 21$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$7t - 21 = 0$
બંને બાજુ $21$ ઉમેરતા:
$7t = 21$
બંને બાજુ $7$ વડે ભાગતા:
$t = \frac{21}{7}$
$t = 3$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $3$ છે.

(N/A) બહુપદી $q(y)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $q(y) = 0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$\pi y + 3.14 = 0$.
બંને બાજુથી $3.14$ બાદ કરતાં,આપણને $\pi y = -3.14$ મળે છે.
બંને બાજુને $\pi$ વડે ભાગતા,આપણને $y = -\frac{3.14}{\pi}$ મળે છે.
આમ,બહુપદીનું શૂન્ય $-\frac{3.14}{\pi}$ છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$\frac{2}{3}x + \frac{5}{4} = 0$
બંને બાજુથી $\frac{5}{4}$ બાદ કરતા:
$\frac{2}{3}x = -\frac{5}{4}$
$x$ ની કિંમત શોધવા માટે બંને બાજુ $\frac{3}{2}$ વડે ગુણતા:
$x = -\frac{5}{4} \times \frac{3}{2}$
$x = -\frac{15}{8}$

(C) બહુપદી $q(m)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $q(m) = 0$ લઈએ છીએ.
$0.3m - 0.15 = 0$
$0.3m = 0.15$
$m = \frac{0.15}{0.3}$
$m = \frac{15}{30}$
$m = 0.5$
તેથી,બહુપદીનું શૂન્ય $0.5$ છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 4x + 3$ છે.
સૌ પ્રથમ,$p(2)$ ની ગણતરી કરો:
$p(2) = (2)^{2} - 4(2) + 3 = 4 - 8 + 3 = -1$.
ત્યારબાદ,$p(-1)$ ની ગણતરી કરો:
$p(-1) = (-1)^{2} - 4(-1) + 3 = 1 + 4 + 3 = 8$.
પછી,$p(1/2)$ ની ગણતરી કરો:
$p(1/2) = (1/2)^{2} - 4(1/2) + 3 = 1/4 - 2 + 3 = 1/4 + 1 = 5/4$.
અંતે,આ કિંમતોને $p(2) - p(-1) + p(1/2)$ પદાવલિમાં મૂકો:
$-1 - 8 + 5/4 = -9 + 5/4 = (-36 + 5) / 4 = -31/4$.

(N/A) $p(x)=21+10 x+x^{2}$
$\therefore p(x)=x^{2}+10 x+21$ અને $g(x)=2+x$
$\therefore g(x)=x+2$
$\therefore$ ભાગફળ $=x+8$ અને શેષ $=5$
ભાગાકારની પ્રક્રિયાના પગલાં:
પગલું $1:$ આપણે ભાજ્ય $21+10 x+x^{2}$ અને ભાજક $2+x$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ,એટલે કે,પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવ્યા પછી. તેથી,ભાજ્ય $x^{2}+10 x+21$ છે અને ભાજક $x+2$ છે.
પગલું $2:$ આપણે ભાજ્યના પ્રથમ પદને ભાજકના પ્રથમ પદ વડે ભાગીએ છીએ,એટલે કે,આપણે $x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગીએ છીએ અને $x$ મેળવીએ છીએ. આ આપણને ભાગફળનું પ્રથમ પદ આપે છે.
$\frac{x^{2}}{x}=x=$ ભાગફળનું પ્રથમ પદ.
પગલું $3:$ આપણે ભાજકને ભાગફળના પ્રથમ પદ વડે ગુણીએ છીએ અને આ ગુણાકારને ભાજ્યમાંથી બાદ કરીએ છીએ,એટલે કે,આપણે $x+2$ ને $x$ વડે ગુણીએ છીએ અને ગુણાકાર $x^{2}+2 x$ ને ભાજ્ય $x^{2}+10 x+21$ માંથી બાદ કરીએ છીએ. આ આપણને શેષ $8 x+21$ તરીકે આપે છે.
પગલું $4:$ આપણે શેષ $8 x+21$ ને નવા ભાજ્ય તરીકે ગણીએ છીએ. ભાજક સમાન રહે છે. આપણે ભાગફળનું આગલું પદ મેળવવા માટે પગલું $2$ નું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ,એટલે કે,આપણે (નવા) ભાજ્યના પ્રથમ પદ $8 x$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $x$ વડે ભાગીએ છીએ અને $8$ મેળવીએ છીએ.
આમ,$8$ એ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$\frac{8 x}{x}=8=$ ભાગફળનું બીજું પદ.
નવું ભાગફળ $=x+8$
પગલું $5:$ આપણે ભાજકને ભાગફળના બીજા પદ વડે ગુણીએ છીએ અને ગુણાકારને ભાજ્યમાંથી બાદ કરીએ છીએ. એટલે કે,આપણે $x+2$ ને $8$ વડે ગુણીએ છીએ અને ગુણાકાર $8 x+16$ ને ભાજ્ય $8 x+21$ માંથી બાદ કરીએ છીએ. આ આપણને શેષ તરીકે $5$ આપે છે.
આ પ્રક્રિયા ત્યાં સુધી ચાલુ રહે છે જ્યાં સુધી શેષ $0$ ન મળે અથવા નવા ભાજ્યની ઘાત ભાજકની ઘાત કરતા ઓછી ન થાય. આ તબક્કે,આ નવો ભાજ્ય શેષ બને છે અને ભાગફળોનો સરવાળો આપણને સંપૂર્ણ ભાગફળ આપે છે.
પગલું $6:$ આમ,સંપૂર્ણ ભાગફળ $x+8$ છે અને શેષ $5$ છે.

(N/A) $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 14x + 1$ ને $x + 3$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ ને $(x + 3)$ સાથે ગુણતા $x^{3} + 3x^{2}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $4x^{2} + 14x + 1$ મળે છે.
$3$. $4x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $4x$ મળે છે. $4x$ ને $(x + 3)$ સાથે ગુણતા $4x^{2} + 12x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા $2x + 1$ મળે છે.
$4$. $2x$ ને $x$ વડે ભાગતા $2$ મળે છે. $2$ ને $(x + 3)$ સાથે ગુણતા $2x + 6$ મળે છે. તેને બાદ કરતા $-5$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $x^{2} + 4x + 2$ છે અને શેષ $-5$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} + 7x^{2} + 17x + 25$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 4$ છે,જેને $x - (-4)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આપણે $x + 4 = 0$ લઈએ,જે આપણને $x = -4$ આપે છે.
હવે,આપણે $p(-4)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-4) = (-4)^{3} + 7(-4)^{2} + 17(-4) + 25$
$p(-4) = -64 + 7(16) - 68 + 25$
$p(-4) = -64 + 112 - 68 + 25$
$p(-4) = 137 - 132$
$p(-4) = 5$
આમ,શેષ $5$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ એ આપેલી બહુપદી છે.
$(x+2)$ એ અવયવ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે સુરેખ બહુપદી $x+2$ નું શૂન્ય શોધીએ છીએ,$x+2 = 0$ લેતા $x = -2$ મળે છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-2) = 0$ હોય,તો $(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ માં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = 60 - 60 = 0$
અહીં $p(-2) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x+2)$ એ $x^{3} + 9x^{2} + 26x + 24$ નો અવયવ છે.

(A) બહુપદી $p(x)$ એ $x + 2$ નો ગુણક ત્યારે જ કહેવાય જો $x + 2$ વડે $p(x)$ ને ભાગતા શેષ $0$ મળે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$x + 2 = 0$ લેતા,આપણને $x = -2$ મળે છે.
હવે,આપણે $p(-2)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-2) = (-2)^{3} + 9(-2)^{2} + 26(-2) + 24$
$p(-2) = -8 + 9(4) - 52 + 24$
$p(-2) = -8 + 36 - 52 + 24$
$p(-2) = (-8 - 52) + (36 + 24)$
$p(-2) = -60 + 60$
$p(-2) = 0$
અહીં શેષ $0$ હોવાથી,$(x + 2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
તેથી,$p(x)$ એ $x + 2$ નો ગુણક છે.

(N/A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $2x^2 - 7x - 15$ નો $x + 1$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / x = 2x$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(x + 1)$ ને $2x$ વડે ગુણો: $2x(x + 1) = 2x^2 + 2x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + 2x) = -9x - 15$.
$4$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-9x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગો: $-9x / x = -9$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$5$. ભાજક $(x + 1)$ ને $-9$ વડે ગુણો: $-9(x + 1) = -9x - 9$.
$6$. આને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો: $(-9x - 15) - (-9x - 9) = -9x - 15 + 9x + 9 = -6$.
આમ,ભાગફળ $2x - 9$ છે અને શેષ $-6$ છે.

(N/A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(2x+1)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(2x+1) = 2x^2 + x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + x) = -8x - 15$.
$4$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-8x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $-8x / 2x = -4$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$5$. ભાજક $(2x+1)$ ને $-4$ વડે ગુણો: $-4(2x+1) = -8x - 4$.
$6$. આને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો: $(-8x - 15) - (-8x - 4) = -8x - 15 + 8x + 4 = -11$.
તેથી,ભાગફળ $x-4$ છે અને શેષ $-11$ છે.

(N/A) $2x^2 - 7x - 15$ ને $2x + 3$ વડે ભાગવા માટે,આપણે બહુપદીના ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(2x + 3)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(2x + 3) = 2x^2 + 3x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 + 3x) = -10x - 15$.
$4$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-10x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $-10x / 2x = -5$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$5$. ભાજક $(2x + 3)$ ને $-5$ વડે ગુણો: $-5(2x + 3) = -10x - 15$.
$6$. આને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો: $(-10x - 15) - (-10x - 15) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x - 5$ છે અને શેષ $0$ છે.

(A) $2x^2 - 7x - 15$ ને $2x - 3$ વડે ભાગવા માટે,આપણે લાંબી ભાગાકારની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $2x^2 / 2x = x$. આ ભાગફળનું પ્રથમ પદ છે.
$2$. ભાજક $(2x - 3)$ ને $x$ વડે ગુણો: $x(2x - 3) = 2x^2 - 3x$.
$3$. આને ભાજ્યમાંથી બાદ કરો: $(2x^2 - 7x - 15) - (2x^2 - 3x) = -4x - 15$.
$4$. નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-4x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(2x)$ વડે ભાગો: $-4x / 2x = -2$. આ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
$5$. ભાજક $(2x - 3)$ ને $-2$ વડે ગુણો: $-2(2x - 3) = -4x + 6$.
$6$. આને વર્તમાન પદાવલિમાંથી બાદ કરો: $(-4x - 15) - (-4x + 6) = -4x - 15 + 4x - 6 = -21$.
આમ,ભાગફળ $x - 2$ છે અને શેષ $-21$ છે.

(N/A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $2x^2 - 7x - 15$ નો $x - 2$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(2x^2)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $2x$ મળે છે.
પગલું $2$: $2x$ નો $(x - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $2x^2 - 4x$ મળે છે.
પગલું $3$: $(2x^2 - 7x)$ માંથી $(2x^2 - 4x)$ બાદ કરતા $-3x$ મળે છે.
પગલું $4$: બાકી રહેલું પદ $-15$ નીચે ઉતારતા $-3x - 15$ મળે છે.
પગલું $5$: નવી પદાવલિના પ્રથમ પદ $(-3x)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $-3$ મળે છે.
પગલું $6$: $-3$ નો $(x - 2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-3x + 6$ મળે છે.
પગલું $7$: $(-3x - 15)$ માંથી $(-3x + 6)$ બાદ કરતા $-15 - 6 = -21$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $= 2x - 3$ અને શેષ $= -21$ છે.

(A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ નો $(x-1)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું.
પગલું $1$: ભાજ્યના પ્રથમ પદ $x^3$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $x$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
પગલું $2$: $x^2$ નો $(x-1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $(x^3-x^2)$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3-x^2) = 2x^2-10x+8$.
પગલું $3$: નવી બહુપદીના પ્રથમ પદ $2x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $2x$ મળે છે.
પગલું $4$: $2x$ નો $(x-1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $(2x^2-2x)$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(2x^2-10x+8) - (2x^2-2x) = -8x+8$.
પગલું $5$: પ્રથમ પદ $-8x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-8$ મળે છે.
પગલું $6$: $-8$ નો $(x-1)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $(-8x+8)$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-8x+8) - (-8x+8) = 0$.
આમ,ભાગફળ $x^{2}+2x-8$ છે અને શેષ $0$ છે.

(A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ નો $(x-2)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^{3})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^{2}$ મળે છે.
$2$. $x^{2}$ નો $(x-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^{3}-2x^{2}$ મળે છે.
$3$. $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ માંથી $(x^{3}-2x^{2})$ બાદ કરતા $3x^{2}-10x+8$ મળે છે.
$4$. $3x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $3x$ મળે છે. $3x$ નો $(x-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $3x^{2}-6x$ મળે છે.
$5$. $(3x^{2}-10x+8)$ માંથી $(3x^{2}-6x)$ બાદ કરતા $-4x+8$ મળે છે.
$6$. $-4x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4$ મળે છે. $-4$ નો $(x-2)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-4x+8$ મળે છે.
$7$. $(-4x+8)$ માંથી $(-4x+8)$ બાદ કરતા $0$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $= x^{2}+3x-4$ અને શેષ $= 0$ છે.

(N/A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ ને $(x+3)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ નો $(x+3)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $x^3+3x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+3x^2) = -2x^2-10x+8$ મળે છે.
$3$. નવા પ્રથમ પદ $(-2x^2)$ ને $x$ વડે ભાગતા $-2x$ મળે છે.
$4$. $-2x$ નો $(x+3)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-2x^2-6x$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-2x^2-10x+8) - (-2x^2-6x) = -4x+8$ મળે છે.
$5$. નવા પ્રથમ પદ $(-4x)$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4$ મળે છે.
$6$. $-4$ નો $(x+3)$ સાથે ગુણાકાર કરતા $-4x-12$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(-4x+8) - (-4x-12) = 20$ મળે છે.
આમ,ભાગફળ $= x^{2}-2x-4$ અને શેષ $= 20$ છે.

(A) ભાગફળ અને શેષ શોધવા માટે,આપણે $(x^{3}+x^{2}-10x+8)$ નો $(x+4)$ વડે બહુપદીનો ભાગાકાર કરીશું:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(x^3)$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $x^2$ મળે છે.
$2$. $x^2$ ને $(x+4)$ સાથે ગુણતા $x^3+4x^2$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા: $(x^3+x^{2}-10x+8) - (x^3+4x^2) = -3x^2-10x+8$.
$3$. નવા પ્રથમ પદ $(-3x^2)$ ને $x$ વડે ભાગતા $-3x$ મળે છે.
$4$. $-3x$ ને $(x+4)$ સાથે ગુણતા $-3x^2-12x$ મળે છે. તેને વર્તમાન શેષમાંથી બાદ કરતા: $(-3x^2-10x+8) - (-3x^2-12x) = 2x+8$.
$5$. નવા પ્રથમ પદ $(2x)$ ને $x$ વડે ભાગતા $2$ મળે છે.
$6$. $2$ ને $(x+4)$ સાથે ગુણતા $2x+8$ મળે છે. તેને બાદ કરતા: $(2x+8) - (2x+8) = 0$.
આમ,ભાગફળ $= x^{2}-3x+2$ અને શેષ $= 0$ છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 1$ છે,જેને $x - (-1)$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,આપણે $p(-1)$ શોધવાની જરૂર છે.
આપેલ છે કે $p(x) = x^3 + x^2 - 26x + 24$.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - 26(-1) + 24$
$p(-1) = -1 + 1 + 26 + 24$
$p(-1) = 0 + 50$
$p(-1) = 50$.
આમ,શેષ $50$ છે.

(D) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ અને ભાજક $(x - 1)$ છે,તેથી $a = 1$ થશે.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(1)$ ની કિંમત શોધીશું:
$p(1) = (1)^{3} + (1)^{2} - 26(1) + 24$
$p(1) = 1 + 1 - 26 + 24$
$p(1) = 2 - 26 + 24$
$p(1) = -24 + 24 = 0$.
તેથી,શેષ $0$ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 4$ છે,જેને $x - (-4)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$a = -4$.
હવે,બહુપદી $p(x) = x^3 + x^2 - 26x + 24$ માં $x = -4$ મૂકતા:
$p(-4) = (-4)^3 + (-4)^2 - 26(-4) + 24$
$p(-4) = -64 + 16 + 104 + 24$
$p(-4) = -64 + 144$
$p(-4) = 80$.
આમ,શેષ $80$ છે.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ અને ભાજક $x - 4$ છે,તેથી $a = 4$ લેતા.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(4)$ ની ગણતરી કરીશું:
$p(4) = (4)^{3} + (4)^{2} - 26(4) + 24$
$p(4) = 64 + 16 - 104 + 24$
$p(4) = 80 - 104 + 24$
$p(4) = -24 + 24 = 0$.
તેથી,શેષ $0$ મળે છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 6$ છે,જેને $x - (-6)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આપણે $p(-6)$ ની કિંમત શોધવી પડશે.
આપેલ છે કે $p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$.
બહુપદીમાં $x = -6$ મૂકતા:
$p(-6) = (-6)^{3} + (-6)^{2} - 26(-6) + 24$
$p(-6) = -216 + 36 + 156 + 24$
$p(-6) = -216 + 216$
$p(-6) = 0$.
આમ,શેષ $0$ મળે છે.

(D) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + x^{2} - 26x + 24$ અને ભાજક $x - 6$ છે,તેથી $a = 6$ થશે.
હવે,બહુપદીમાં $x = 6$ મૂકતા:
$p(6) = (6)^{3} + (6)^{2} - 26(6) + 24$
$p(6) = 216 + 36 - 156 + 24$
$p(6) = 252 - 156 + 24$
$p(6) = 96 + 24$
$p(6) = 120$
તેથી,શેષ $120$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 13x^{2} + ax + 35$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $x+5$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-5) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -5$ મૂકતા:
$(-5)^{3} + 13(-5)^{2} + a(-5) + 35 = 0$
$-125 + 13(25) - 5a + 35 = 0$
$-125 + 325 - 5a + 35 = 0$
$235 - 5a = 0$
$5a = 235$
$a = 47$.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} + ax^{2} - x + 30$ છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(-2) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = -2$ મૂકતા:
$p(-2) = (-2)^{3} + a(-2)^{2} - (-2) + 30 = 0$
$-8 + 4a + 2 + 30 = 0$
$4a + 24 = 0$
$4a = -24$
$a = -6$.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{3} + ax^{2} + 19x + 20$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે $p(x)$ ને $(x + 3)$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $p(-3)$ મળે છે.
આપેલ છે કે શેષ $a$ છે,તેથી $p(-3) = a$.
બહુપદીમાં $x = -3$ મૂકતા:
$(-3)^{3} + a(-3)^{2} + 19(-3) + 20 = a$
$-27 + 9a - 57 + 20 = a$
$9a - 64 = a$
$8a = 64$
$a = 8$.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(-1)$ મળે.
આપેલ છે કે $p(-1) = 16$,તેથી:
$2(-1)^3 - 3(-1)^2 + a(-1) - 3a + 9 = 16$
$-2 - 3 - a - 3a + 9 = 16$
$4 - 4a = 16$
$-4a = 12$
$a = -3$.
હવે,$a = -3$ ને $p(x)$ માં મૂકતા:
$p(x) = 2x^3 - 3x^2 - 3x - 3(-3) + 9 = 2x^3 - 3x^2 - 3x + 18$.
$p(x)$ ને $(x + 2)$ વડે ભાગતા મળતી શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(-2)$ ની ગણતરી કરીશું:
$p(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 3(-2) + 18$
$p(-2) = 2(-8) - 3(4) + 6 + 18$
$p(-2) = -16 - 12 + 6 + 18 = -4$.
આમ,$a = -3$ અને શેષ $-4$ છે.

(A) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $f(x)$ ને $(x - c)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $f(c)$ મળે છે.
$p(x) = x^{3} + 2x^{2} - 5ax - 7$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગતા,$R_{1} = p(-1) = (-1)^{3} + 2(-1)^{2} - 5a(-1) - 7 = -1 + 2 + 5a - 7 = 5a - 6$.
$q(x) = x^{3} + ax^{2} - 12x + 6$ ને $(x - 2)$ વડે ભાગતા,$R_{2} = q(2) = (2)^{3} + a(2)^{2} - 12(2) + 6 = 8 + 4a - 24 + 6 = 4a - 10$.
આપેલ છે કે $2R_{1} + R_{2} = 6$,તેથી $R_{1}$ અને $R_{2}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$2(5a - 6) + (4a - 10) = 6$
$10a - 12 + 4a - 10 = 6$
$14a - 22 = 6$
$14a = 28$
$a = 2$.

(A) ધારો કે $p(x) = 2x^3 + 21x^2 + 67x + 60$.
$2x + 3$ અવયવ છે કે નહીં તે તપાસવા માટે,આપણે તેનું શૂન્ય શોધીએ,$2x + 3 = 0$ લેતા $x = -\frac{3}{2}$ મળે છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-\frac{3}{2}) = 0$ થાય,તો $2x + 3$ એ અવયવ છે.
$p(-\frac{3}{2}) = 2(-\frac{3}{2})^3 + 21(-\frac{3}{2})^2 + 67(-\frac{3}{2}) + 60$
$= 2(-\frac{27}{8}) + 21(\frac{9}{4}) - \frac{201}{2} + 60$
$= -\frac{27}{4} + \frac{189}{4} - \frac{402}{4} + \frac{240}{4}$
$= \frac{-27 + 189 - 402 + 240}{4}$
$= \frac{429 - 429}{4} = 0$.
અહીં $p(-\frac{3}{2}) = 0$ હોવાથી,$2x + 3$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{2}-7x+12$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
આપણે અચળ પદ $12$ ના અવયવો શોધીએ છીએ. શક્ય અવયવો $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 6, \pm 12$ છે.
$x = 3$ માટે ચકાસણી કરતા:
$p(3) = (3)^{2} - 7(3) + 12 = 9 - 21 + 12 = 0$.
તેથી $p(3) = 0$ હોવાથી,$(x-3)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$x = 4$ માટે ચકાસણી કરતા:
$p(4) = (4)^{2} - 7(4) + 12 = 16 - 28 + 12 = 0$.
તેથી $p(4) = 0$ હોવાથી,$(x-4)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
આમ,$x^{2}-7x+12$ ના અવયવો $(x-3)(x-4)$ છે.

(A) મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને $10 x^{2}-x-24$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $p+q = -1$ ($x$ નો સહગુણક) અને $p \times q = 10 \times (-24) = -240$ ($x^{2}$ નો સહગુણક અને અચળ પદનો ગુણાકાર) થાય.
આપણે $-240$ ના એવા અવયવો શોધીએ જેનો સરવાળો $-1$ થાય. આ સંખ્યાઓ $15$ અને $-16$ છે,કારણ કે $15 + (-16) = -1$ અને $15 \times (-16) = -240$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-x$ ને $15x - 16x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$10 x^{2} - x - 24 = 10 x^{2} + 15 x - 16 x - 24$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$= (10 x^{2} + 15 x) - (16 x + 24)$
$= 5 x(2 x + 3) - 8(2 x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x + 3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (2 x + 3)(5 x - 8)$

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+x^{2}-26 x+24$.
બહુપદીના તમામ સહગુણકોનો સરવાળો $1+1-26+24 = 0$ છે.
જેથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,બહુપદીને અવયવ પાડવા માટે ફરીથી લખીએ:
$x^{3}+x^{2}-26 x+24 = x^{3}-x^{2}+2x^{2}-2x-24x+24$
$= x^{2}(x-1)+2x(x-1)-24(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}+2x-24)$
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $(x^{2}+2x-24)$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડીએ:
$x^{2}+6x-4x-24 = x(x+6)-4(x+6) = (x-4)(x+6)$
તેથી,અવયવો $(x-1)(x-4)(x+6)$ છે.

(D) ધારો કે $p(x) = x^{3}-x^{2}-17 x-15$.
અવયવ શોધવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને કિંમતો ચકાસીએ. ચાલો $x = -1$ માટે ચકાસીએ:
$p(-1) = (-1)^{3} - (-1)^{2} - 17(-1) - 15 = -1 - 1 + 17 - 15 = 0$.
કારણ કે $p(-1) = 0$ છે,તેથી $(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,આપણે $p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગીએ અથવા પદોને વિભાજિત કરીએ:
$x^{3}-x^{2}-17 x-15 = x^{3}+x^{2}-2x^{2}-2x-15x-15$
$= x^{2}(x+1) - 2x(x+1) - 15(x+1)$
$= (x+1)(x^{2}-2x-15)$
હવે,મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત પદાવલિ $(x^{2}-2x-15)$ ના અવયવ પાડો:
$x^{2}-5x+3x-15 = x(x-5)+3(x-5) = (x-5)(x+3)$.
આમ,અવયવો $(x+1)(x-5)(x+3)$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(1) = 0$ હોય તો $(x-1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} - 7(1)^{2} + 14(1) - 8$
$p(1) = 1 - 7 + 14 - 8$
$p(1) = 15 - 15 = 0$
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{3}+4x^{2}+x-6$ નો અવયવ $(x-1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$a = 1$ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} + 4(1)^{2} + (1) - 6$
$p(1) = 1 + 4(1) + 1 - 6$
$p(1) = 1 + 4 + 1 - 6$
$p(1) = 6 - 6 = 0$
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = x^{3}+6x^{2}-9x-14$ નો અવયવ $(x-1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(c) = 0$ હોય,તો $(x-c)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$c = 1$ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} + 6(1)^{2} - 9(1) - 14$
$p(1) = 1 + 6 - 9 - 14$
$p(1) = 7 - 23$
$p(1) = -16$
અહીં $p(1) \neq 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ નથી.

(A) બહુપદી $p(x) = 2x^3 + 5x^2 - x - 6$ નો અવયવ $(x-1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x-a)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,$a = 1$ છે.
બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 2(1)^3 + 5(1)^2 - (1) - 6$
$p(1) = 2(1) + 5(1) - 1 - 6$
$p(1) = 2 + 5 - 1 - 6$
$p(1) = 7 - 7 = 0$.
અહીં $p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{3} + 10x^{2} + 23x + 14$ નો અવયવ $(x+1)$ છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,આપણે અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-1) = 0$ હોય,તો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} + 10(-1)^{2} + 23(-1) + 14$
$p(-1) = -1 + 10(1) - 23 + 14$
$p(-1) = -1 + 10 - 23 + 14$
$p(-1) = 9 - 23 + 14$
$p(-1) = -14 + 14 = 0$
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(A) અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને તપાસીએ કે $(x+1)$ એ $p(x) = x^{3} - 5x^{2} + 2x + 8$ નો અવયવ છે કે નહીં.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-1) = 0$ હોય,તો $(x+1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 5(-1)^{2} + 2(-1) + 8$
$p(-1) = -1 - 5(1) - 2 + 8$
$p(-1) = -1 - 5 - 2 + 8$
$p(-1) = -8 + 8 = 0$
અહીં $p(-1) = 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલ બહુપદીનો અવયવ છે.

(B) જો $(x+1)$ એ $p(x) = x^{3} - 2x^{2} - 5x + 6$ નો અવયવ હોય,તો અવયવ પ્રમેય મુજબ $p(-1) = 0$ થવું જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{3} - 2(-1)^{2} - 5(-1) + 6$
$p(-1) = -1 - 2(1) + 5 + 6$
$p(-1) = -1 - 2 + 5 + 6$
$p(-1) = 8$
અહીં $p(-1) \neq 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(A) અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને આપણે ચકાસી શકીએ કે $(x+1)$ એ $P(x) = 6x^3 + 11x^2 - 5x - 12$ નો અવયવ છે કે નહીં.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $P(-1) = 0$ થાય,તો જ $(x+1)$ એ $P(x)$ નો અવયવ કહેવાય.
બહુપદીમાં $x = -1$ મૂકતા:
$P(-1) = 6(-1)^3 + 11(-1)^2 - 5(-1) - 12$
$P(-1) = 6(-1) + 11(1) + 5 - 12$
$P(-1) = -6 + 11 + 5 - 12$
$P(-1) = 5 + 5 - 12$
$P(-1) = 10 - 12$
$P(-1) = -2$
અહીં $P(-1) \neq 0$ હોવાથી,$(x+1)$ એ આપેલી બહુપદીનો અવયવ નથી.

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+10x+16$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો સરવાળો $10$ ($x$ નો સહગુણક) થાય અને જેનો ગુણાકાર $16$ (અચળ પદ) થાય.
$1$. $16$ ના અવયવો શોધો: $(1, 16), (2, 8), (4, 4)$.
$2$. આમાંથી,$(2, 8)$ જોડીનો સરવાળો $10$ થાય છે.
$3$. મધ્યમ પદ $10x$ ને $2x + 8x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$x^{2} + 2x + 8x + 16$
$4$. પદોના જૂથ બનાવો અને સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x + 2) + 8(x + 2)$
$5$. સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 2)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(x + 2)(x + 8)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-12x+20$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $20$ થાય અને જેનો સરવાળો $-12$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-2$ અને $-10$ છે,કારણ કે $(-2) \times (-10) = 20$ અને $(-2) + (-10) = -12$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-12x$ ને $-2x - 10x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} - 2x - 10x + 20$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(x^{2} - 2x) - (10x - 20)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$x(x - 2) - 10(x - 2)$
છેલ્લે,સામાન્ય દ્વિપદી $(x - 2)$ ને સામાન્ય કાઢો:
$(x - 2)(x - 10)$

(A) $6x^2 + 19x + 10$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $6 \times 10 = 60$ થાય અને જેનો સરવાળો $19$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $15$ અને $4$ છે,કારણ કે $15 \times 4 = 60$ અને $15 + 4 = 19$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $19x$ ને $15x + 4x$ તરીકે લખો:
$6x^2 + 15x + 4x + 10$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોના જૂથ બનાવો:
$(6x^2 + 15x) + (4x + 10)$
$3x(2x + 5) + 2(2x + 5)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2x + 5)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(2x + 5)(3x + 2)$

(N/A) મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+14x+33$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો સરવાળો $14$ થાય અને ગુણાકાર $33$ થાય.
$1$. સહગુણકો ઓળખો: $a=1, b=14, c=33$.
$2$. એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધો કે જેથી $p+q=14$ અને $p \times q=33$ થાય.
$3$. $33$ ના અવયવો $(1, 33)$ અને $(3, 11)$ છે.
$4$. કારણ કે $3+11=14$ થાય છે,તેથી તે સંખ્યાઓ $3$ અને $11$ છે.
$5$. મધ્યમ પદને ફરીથી લખો: $x^{2}+3x+11x+33$.
$6$. જૂથ બનાવીને અવયવ પાડો: $x(x+3)+11(x+3)$.
$7$. અંતિમ અવયવ સ્વરૂપ: $(x+3)(x+11)$.