Textbook - Polynomials Questions in Gujarati

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $x^{5}-x^{4}+3$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $5$,$4$ અને $0$ છે (કારણ કે $3 = 3x^{0}$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $5$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $5$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $2 - y^{2} - y^{3} + 2y^{8}$ માં,ચલ $y$ ની ઘાત $0, 2, 3$ અને $8$ છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $8$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $8$ છે.

(C) આપેલ બહુપદી એ અચળ બહુપદી $2$ છે.
કોઈપણ શૂન્યતર અચળ બહુપદીને $a x^{0}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $a$ એ શૂન્યતર અચળ સંખ્યા છે.
આમ,$2$ ને $2 x^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
તેથી,અચળ બહુપદી $2$ ની ઘાત $0$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $4 x^{2}-3 x+7$ છે.
આ પદાવલિમાં,ચલ $x$ છે.
પદ $4 x^{2}$,$-3 x^{1}$ અને $7 x^{0}$ માં $x$ ના ઘાતાંકો અનુક્રમે $2, 1$ અને $0$ છે.
ચલ $x$ ના તમામ ઘાતાંકો અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યાઓ) હોવાથી,પદાવલિ $4 x^{2}-3 x+7$ એ એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(A) $(i)$ પદાવલિ $2+x^2+x$ માં,$x^2$ વાળું પદ $1x^2$ છે.
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $1$ છે.
$(ii)$ પદાવલિ $2-x^2+x^3$ માં,$x^2$ વાળું પદ $-1x^2$ છે.
તેથી,$x^2$ નો સહગુણક $-1$ છે.

(N/A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની મહત્તમ ઘાત.
દ્વિપદી એટલે એવી બહુપદી જેમાં બે પદ હોય છે. તેથી,$35$ ઘાતવાળી દ્વિપદીને $x^{35} + 1$ તરીકે લખી શકાય.
એકપદી એટલે એવી બહુપદી જેમાં માત્ર એક જ પદ હોય છે. તેથી,$100$ ઘાતવાળી એકપદીને $x^{100}$ તરીકે લખી શકાય.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
$(i)$ બહુપદી $5x^3 + 4x^2 + 7x$ માટે:
અહીં ચલ $x$ છે. $x$ ની ઘાત $3, 2$ અને $1$ છે. સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે. તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $3$ છે.
$(ii)$ બહુપદી $4 - y^2$ માટે:
અહીં ચલ $y$ છે. $y$ ની ઘાત $2$ છે. તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $2$ છે.

(N/A) $(i)$ $x^{2}+x$
કારણ કે $x^{2}+x$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.
$(ii)$ $x-x^{3}$
કારણ કે $x-x^{3}$ ની ઘાત $3$ છે,તેથી તે ત્રિઘાત બહુપદી છે.
$(iii)$ $y+y^{2}+4$
કારણ કે $y+y^{2}+4$ ની ઘાત $2$ છે,તેથી તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(9) આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x^2 - 3x + 7$ છે.
$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું:
$p(1) = 5(1)^2 - 3(1) + 7$
$p(1) = 5(1) - 3 + 7$
$p(1) = 5 - 3 + 7$
$p(1) = 2 + 7$
$p(1) = 9$
આમ,$x = 1$ આગળ બહુપદીની કિંમત $9$ છે.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x + 2$ છે.
$x = a$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(a)$ ની કિંમત શોધીએ છીએ. જો $p(a) = 0$ હોય,તો $a$ એ શૂન્ય છે.
$x = 2$ માટે:
$p(2) = 2 + 2 = 4$.
અહીં $p(2) \neq 0$ હોવાથી,$2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.
$x = -2$ માટે:
$p(-2) = -2 + 2 = 0$.
અહીં $p(-2) = 0$ હોવાથી,$-2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,$-2$ એ બહુપદી $x + 2$ નું શૂન્ય છે,પરંતુ $2$ નથી.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવીએ છીએ:
$p(x) = 0$
$2x + 1 = 0$
બંને બાજુથી $1$ બાદ કરતા:
$2x = -1$
બંને બાજુને $2$ વડે ભાગતા:
$x = -\frac{1}{2}$
તેથી,$-\frac{1}{2}$ એ બહુપદી $p(x) = 2x + 1$ નું શૂન્ય છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{2} - 2x$.
$2$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(2)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(2) = (2)^{2} - 2(2) = 4 - 4 = 0$.
કારણ કે $p(2) = 0$ છે,તેથી $2$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
$0$ એ શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $p(0)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(0) = (0)^{2} - 2(0) = 0 - 0 = 0$.
કારણ કે $p(0) = 0$ છે,તેથી $0$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
આમ,$2$ અને $0$ બંને બહુપદી $x^{2} - 2x$ ના શૂન્યો છે.

(A) ધારો કે બહુપદી $p(x) = 5x - 4x^2 + 3$ છે.
$x = 0$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $0$ મૂકીશું.
$p(0) = 5(0) - 4(0)^2 + 3$
$p(0) = 0 - 4(0) + 3$
$p(0) = 0 - 0 + 3$
$p(0) = 3$
તેથી,$x = 0$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $3$ છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(y) = y^{2} - y + 1$.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $y = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0)^{2} - (0) + 1 = 0 - 0 + 1 = 1$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $y = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{2} - (1) + 1 = 1 - 1 + 1 = 1$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $y = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{2} - (2) + 1 = 4 - 2 + 1 = 3$.

(N/A) આપેલ બહુપદી: $p(t) = 2 + t + 2t^2 - t^3$.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $t = 0$ મૂકતા:
$p(0) = 2 + (0) + 2(0)^2 - (0)^3 = 2 + 0 + 0 - 0 = 2$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $t = 1$ મૂકતા:
$p(1) = 2 + (1) + 2(1)^2 - (1)^3 = 2 + 1 + 2(1) - 1 = 2 + 1 + 2 - 1 = 4$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $t = 2$ મૂકતા:
$p(2) = 2 + (2) + 2(2)^2 - (2)^3 = 2 + 2 + 2(4) - 8 = 2 + 2 + 8 - 8 = 4$.

આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{3}$ છે.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0)^{3} = 0$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1)^{3} = 1$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2)^{3} = 2 \times 2 \times 2 = 8$.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(x) = (x - 1)(x + 1)$ છે.
$p(0)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1$.
$p(1)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 1$ મૂકતા:
$p(1) = (1 - 1)(1 + 1) = (0)(2) = 0$.
$p(2)$ શોધવા માટે,બહુપદીમાં $x = 2$ મૂકતા:
$p(2) = (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3$.

(A) $x = -\frac{1}{3}$ એ બહુપદી $p(x) = 3x + 1$ નું શૂન્ય છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x = -\frac{1}{3}$ ને બહુપદીમાં મૂકીશું.
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = -1 + 1$
$p\left(-\frac{1}{3}\right) = 0$
અહીં $x = -\frac{1}{3}$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $0$ મળે છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $x = -\frac{1}{3}$ એ આપેલી બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(B) જો $x = \frac{4}{5}$ એ બહુપદી $p(x) = 5x - \pi$ નું શૂન્ય હોય,તો $p\left(\frac{4}{5}\right)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
અહીં,$p\left(\frac{4}{5}\right) = 5\left(\frac{4}{5}\right) - \pi$
$p\left(\frac{4}{5}\right) = 4 - \pi$
અહીં $4 - \pi \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{4}{5}$ આગળ બહુપદીની કિંમત શૂન્ય નથી.
તેથી,$x = \frac{4}{5}$ એ આપેલ બહુપદી $p(x) = 5x - \pi$ નું શૂન્ય નથી.

(A) જો $x = 1$ અને $x = -1$ એ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 1$ ના શૂન્યો હોય,તો $p(1)$ અને $p(-1)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
$x = 1$ માટે:
$p(1) = (1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
$x = -1$ માટે:
$p(-1) = (-1)^{2} - 1 = 1 - 1 = 0$
અહીં $p(1) = 0$ અને $p(-1) = 0$ હોવાથી,$x = 1$ અને $x = -1$ એ આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} - 1$ ના શૂન્યો છે.

(N/A) જો $x = -1$ અને $x = 2$ એ બહુપદી $p(x) = (x + 1)(x - 2)$ ના શૂન્યો હોય,તો $p(-1)$ અને $p(2)$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
પ્રથમ,$x = -1$ ને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(-1) = (-1 + 1)(-1 - 2) = (0)(-3) = 0$.
ત્યારબાદ,$x = 2$ ને બહુપદીમાં મૂકતા:
$p(2) = (2 + 1)(2 - 2) = (3)(0) = 0$.
અહીં $p(-1) = 0$ અને $p(2) = 0$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $x = -1$ અને $x = 2$ એ આપેલ બહુપદીના શૂન્યો છે.

(A) જો $x = 0$ એ બહુપદી $p(x) = x^{2}$ નું શૂન્ય હોય,તો $p(0)$ ની કિંમત શૂન્ય થવી જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = 0$ મૂકતા:
$p(0) = (0)^{2} = 0$.
અહીં $p(0) = 0$ હોવાથી,$x = 0$ એ આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{2}$ નું શૂન્ય છે.

(A) જો $x = -\frac{m}{l}$ એ બહુપદી $p(x) = lx + m$ નું શૂન્ય હોય,તો બહુપદીની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
અહીં,$p\left(-\frac{m}{l}\right) = l\left(-\frac{m}{l}\right) + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = -m + m$
$p\left(-\frac{m}{l}\right) = 0$
આમ,બહુપદીની કિંમત $x = -\frac{m}{l}$ માટે $0$ મળે છે,તેથી સાબિત થાય છે કે $x = -\frac{m}{l}$ એ આપેલ બહુપદીનું શૂન્ય છે.

(N/A) આપેલ કિંમતો બહુપદી $p(x) = 3x^2 - 1$ ના શૂન્યો છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $x$ ની કિંમતો બહુપદીમાં મૂકીશું. જો પરિણામ $0$ મળે,તો તે કિંમત બહુપદીનું શૂન્ય છે.
પગલું $1$: $x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ માટે ચકાસણી:
$p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{1}{3}\right) - 1$
$= 1 - 1 = 0$
અહીં $p\left(-\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = 0$ હોવાથી,$x = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ એ બહુપદીનું શૂન્ય છે.
પગલું $2$: $x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ માટે ચકાસણી:
$p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) = 3\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2 - 1$
$= 3\left(\frac{4}{3}\right) - 1$
$= 4 - 1 = 3$
અહીં $p\left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right) \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{2}{\sqrt{3}}$ એ બહુપદીનું શૂન્ય નથી.

(B) જો $x = \frac{1}{2}$ એ બહુપદી $p(x) = 2x + 1$ નું શૂન્ય હોય,તો $p(\frac{1}{2})$ ની કિંમત $0$ થવી જોઈએ.
બહુપદીમાં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$p(\frac{1}{2}) = 2(\frac{1}{2}) + 1$
$p(\frac{1}{2}) = 1 + 1 = 2$
અહીં $p(\frac{1}{2}) = 2 \neq 0$ હોવાથી,$x = \frac{1}{2}$ એ આપેલી બહુપદીનું શૂન્ય નથી.

(B) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = x + 5$.
$p(x) = 0$ લેતા,આપણને $x + 5 = 0$ મળે છે.
$x$ માટે ઉકેલતા,બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા: $x = -5$.
તેથી,બહુપદી $p(x) = x + 5$ નું શૂન્ય $-5$ છે.

(C) બહુપદી $p(x) = x - 5$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને શૂન્યની બરાબર લઈએ છીએ.
$p(x) = 0$
$x - 5 = 0$
બંને બાજુ $5$ ઉમેરતા,આપણને મળે છે:
$x = 5$
આમ,બહુપદી $p(x) = x - 5$ નું શૂન્ય $5$ છે.

(D) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = 2x + 5$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા:
$2x + 5 = 0$
બંને બાજુથી $5$ બાદ કરતા:
$2x = -5$
બંને બાજુને $2$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{-5}{2}$
આમ,બહુપદી $p(x) = 2x + 5$ નું શૂન્ય $\frac{-5}{2}$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = 3x - 2$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x - 2 = 0$
બંને બાજુ $2$ ઉમેરતા,આપણને $3x = 2$ મળે છે.
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને $x = \frac{2}{3}$ મળે છે.
આમ,બહુપદી $p(x) = 3x - 2$ નું શૂન્ય $\frac{2}{3}$ છે.

(B) બહુપદી $p(x) = 3x$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$3x = 0$
બંને બાજુ $3$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{0}{3}$
$x = 0$
આમ,બહુપદી $p(x) = 3x$ નું શૂન્ય $0$ છે.

(C) બહુપદી $p(x)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
આપેલ છે કે $p(x) = ax$ અને $a \neq 0$.
બહુપદીને શૂન્ય સાથે સરખાવતા: $ax = 0$.
અહીં $a \neq 0$ હોવાથી,આપણે બંને બાજુ $a$ વડે ભાગી શકીએ: $x = 0/a$.
તેથી,$x = 0$.
આમ,બહુપદી $p(x) = ax$ નું શૂન્ય $0$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = cx + d$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x) = 0$ લઈએ છીએ.
$cx + d = 0$
બંને બાજુથી $d$ બાદ કરતા:
$cx = -d$
બંને બાજુને $c$ વડે ભાગતા (કારણ કે $c \neq 0$):
$x = -\frac{d}{c}$
આમ,બહુપદી $p(x) = cx + d$ નું શૂન્ય $-\frac{d}{c}$ છે.

(N/A) આપણે ભાગાકારની પ્રક્રિયા નીચેના સોપાન દ્વારા કરીશું:
સોપાન $1$: આપણે ભાજ્ય $x + 3x^2 - 1$ અને ભાજક $1 + x$ ને પ્રમાણિત સ્વરૂપમાં લખીએ છીએ,એટલે કે પદોને તેમની ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવીએ છીએ. તેથી,ભાજ્ય $3x^2 + x - 1$ છે અને ભાજક $x + 1$ છે.
સોપાન $2$: આપણે ભાજ્યના પ્રથમ પદને ભાજકના પ્રથમ પદ વડે ભાગીએ છીએ,એટલે કે $3x^2$ ને $x$ વડે ભાગતા $3x$ મળે છે. આ આપણને ભાગફળનું પ્રથમ પદ આપે છે.
સોપાન $3$: આપણે ભાજકને ભાગફળના પ્રથમ પદ વડે ગુણીએ છીએ અને આ ગુણાકારને ભાજ્યમાંથી બાદ કરીએ છીએ,એટલે કે $x + 1$ ને $3x$ વડે ગુણીએ છીએ અને $3x^2 + 3x$ ને ભાજ્ય $3x^2 + x - 1$ માંથી બાદ કરીએ છીએ. આનાથી આપણને શેષ $-2x - 1$ મળે છે.
સોપાન $4$: આપણે શેષ $-2x - 1$ ને નવા ભાજ્ય તરીકે લઈએ છીએ. ભાજક સમાન રહે છે. આપણે ભાગફળનું બીજું પદ મેળવવા માટે સોપાન $2$ નું પુનરાવર્તન કરીએ છીએ,એટલે કે નવા ભાજ્યના પ્રથમ પદ $-2x$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $x$ વડે ભાગતા $-2$ મળે છે. આમ,$-2$ એ ભાગફળનું બીજું પદ છે.
સોપાન $5$: આપણે ભાજકને ભાગફળના બીજા પદ વડે ગુણીએ છીએ અને ગુણાકારને ભાજ્યમાંથી બાદ કરીએ છીએ. એટલે કે,$x + 1$ ને $-2$ વડે ગુણીએ છીએ અને ગુણાકાર $-2x - 2$ ને ભાજ્ય $-2x - 1$ માંથી બાદ કરીએ છીએ. આનાથી આપણને શેષ $1$ મળે છે.
સોપાન $6$: આમ,ભાગફળ $3x - 2$ છે અને શેષ $1$ છે.
ચકાસણી: $3x^2 + x - 1 = (x + 1)(3x - 2) + 1$.

(D) બહુપદી $p(x) = 3x^{4} - 4x^{3} - 3x - 1$ ને $x - 1$ વડે ભાગવા માટે,આપણે ભાગાકારની લાંબી રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. ભાજ્યના પ્રથમ પદ $(3x^{4})$ ને ભાજકના પ્રથમ પદ $(x)$ વડે ભાગતા $3x^{3}$ મળે છે.
$2$. $3x^{3}$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $3x^{4} - 3x^{3}$ મળે છે. તેને ભાજ્યમાંથી બાદ કરતા $-x^{3} - 3x - 1$ મળે છે.
$3$. $-x^{3}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-x^{2}$ મળે છે. $-x^{2}$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $-x^{3} + x^{2}$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-x^{2} - 3x - 1$ મળે છે.
$4$. $-x^{2}$ ને $x$ વડે ભાગતા $-x$ મળે છે. $-x$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $-x^{2} + x$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-4x - 1$ મળે છે.
$5$. $-4x$ ને $x$ વડે ભાગતા $-4$ મળે છે. $-4$ ને $(x - 1)$ વડે ગુણતા $-4x + 4$ મળે છે. બાદબાકી કરતા $-5$ મળે છે.
ભાગફળ $3x^{3} - x^{2} - x - 4$ છે અને શેષ $-5$ છે.
વૈકલ્પિક રીતે,શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$x - 1$ નું શૂન્ય $1$ છે. $p(x)$ માં $x = 1$ મુકતા:
$p(1) = 3(1)^{4} - 4(1)^{3} - 3(1) - 1$
$p(1) = 3 - 4 - 3 - 1 = -5$.
આમ,શેષ $-5$ છે.

(A) જ્યારે $p(x) = x^3 + 1$ ને $x + 1$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે,આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 1$ છે,જેને $x - (-1)$ તરીકે લખી શકાય છે. તેથી,$a = -1$ છે.
હવે,આપણે $p(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-1) = (-1)^3 + 1$
$p(-1) = -1 + 1$
$p(-1) = 0$
તેથી,મળતી શેષ $0$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^4+x^3-2x^2+x+1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x-a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x-1$ છે,તેથી $a = 1$.
હવે,$p(1)$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(1) = (1)^4 + (1)^3 - 2(1)^2 + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2(1) + 1 + 1$
$p(1) = 1 + 1 - 2 + 1 + 1$
$p(1) = 2$.
તેથી,શેષ $2$ મળે છે.

(A) જો $q(t)$ એ $2t + 1$ નો ગુણક હોય,તો $2t + 1$ એ $q(t)$ નો અવયવ હોવો જોઈએ.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $q(-\frac{1}{2}) = 0$ થાય,તો $2t + 1$ એ $q(t)$ નો અવયવ છે.
$2t + 1 = 0$ લેતા,આપણને $t = -\frac{1}{2}$ મળે છે.
હવે,બહુપદી $q(t)$ માં $t = -\frac{1}{2}$ મૂકતા:
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{2})^3 + 4(-\frac{1}{2})^2 - (-\frac{1}{2}) - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = 4(-\frac{1}{8}) + 4(\frac{1}{4}) + \frac{1}{2} - 1$
$q(-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{2} + 1 + \frac{1}{2} - 1 = 0$.
અહીં શેષ $0$ મળે છે,તેથી $2t + 1$ એ $q(t)$ નો અવયવ છે.
આમ,$q(t)$ એ $2t + 1$ નો ગુણક છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x + 1$ છે,જેને $x - (-1)$ તરીકે લખી શકાય. તેથી,$a = -1$.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(-1)$ ની ગણતરી કરીશું:
$p(-1) = (-1)^{3} + 3(-1)^{2} + 3(-1) + 1$
$p(-1) = -1 + 3(1) - 3 + 1$
$p(-1) = -1 + 3 - 3 + 1$
$p(-1) = 0$.
તેથી,માંગેલી શેષ $0$ છે.

(B) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,$p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$ અને ભાજક $x - \frac{1}{2}$ છે.
ભાજકને શૂન્ય સાથે સરખાવતા,$x - \frac{1}{2} = 0$,જેનો અર્થ છે કે $x = \frac{1}{2}$.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p\left(\frac{1}{2}\right)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p\left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}\right)^{3} + 3\left(\frac{1}{2}\right)^{2} + 3\left(\frac{1}{2}\right) + 1$
$= \frac{1}{8} + 3\left(\frac{1}{4}\right) + \frac{3}{2} + 1$
$= \frac{1}{8} + \frac{3}{4} + \frac{3}{2} + 1$
લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $8$ લેતા:
$= \frac{1 + 6 + 12 + 8}{8} = \frac{27}{8}$.
આમ,જરૂરી શેષ $\frac{27}{8}$ છે.

(C) ધારો કે $p(x) = x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,આપણે $x$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ,જે $(x - 0)$ ને સમાન છે. તેથી,$a = 0$.
શેષ શોધવા માટે,આપણે $p(0)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(0) = (0)^{3} + 3(0)^{2} + 3(0) + 1$
$p(0) = 0 + 0 + 0 + 1 = 1$.
તેથી,મળતી શેષ $1$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $p(x)$ ને $(x-a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
અહીં,ભાજક $x+\pi$ છે,જેને $x-(-\pi)$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,આપણે $p(-\pi)$ શોધવાની જરૂર છે.
$p(x)$ માં $x = -\pi$ મૂકતા:
$p(-\pi) = (-\pi)^{3} + 3(-\pi)^{2} + 3(-\pi) + 1$
$p(-\pi) = -\pi^{3} + 3\pi^{2} - 3\pi + 1$
આમ,જરૂરી શેષ $-\pi^{3}+3\pi^{2}-3\pi+1$ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = x^{3}+3x^{2}+3x+1$.
જ્યારે $p(x)$ ને $5+2x$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ શોધવા માટે આપણે શેષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીશું.
પ્રથમ,ભાજક $5+2x$ નું શૂન્ય શોધો:
$5+2x = 0 \implies 2x = -5 \implies x = -\frac{5}{2}$.
હવે,$p(-\frac{5}{2})$ ની કિંમત શોધો:
$p(-\frac{5}{2}) = (-\frac{5}{2})^{3} + 3(-\frac{5}{2})^{2} + 3(-\frac{5}{2}) + 1$
$= -\frac{125}{8} + 3(\frac{25}{4}) - \frac{15}{2} + 1$
$= -\frac{125}{8} + \frac{75}{4} - \frac{15}{2} + 1$
$= \frac{-125 + 150 - 60 + 8}{8}$
$= \frac{-27}{8}$.
આમ,જરૂરી શેષ $-\frac{27}{8}$ છે.

(C) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{3} - ax^{2} + 6x - a$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે બહુપદી $p(x)$ ને $(x - a)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $p(a)$ મળે છે.
ભાજક $(x - a)$ નું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $x - a = 0$ લઈએ,જેથી $x = a$ મળે.
હવે,બહુપદી $p(x)$ માં $x = a$ મૂકતા:
$p(a) = (a)^{3} - a(a)^{2} + 6(a) - a$
$p(a) = a^{3} - a^{3} + 6a - a$
$p(a) = 0 + 5a$
$p(a) = 5a$
તેથી,મળતી શેષ $5a$ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = 3x^3 + 7x$.
$(7+3x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે કે નહીં તે ચકાસવા માટે,આપણે $(7+3x)$ નું શૂન્ય શોધીએ:
$7 + 3x = 0 \implies 3x = -7 \implies x = -\frac{7}{3}$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(7+3x)$ એ $p(x)$ નો અવયવ ત્યારે જ કહેવાય જો $p(-\frac{7}{3}) = 0$ થાય.
હવે,$p(-\frac{7}{3})$ ની કિંમત શોધીએ:
$p(-\frac{7}{3}) = 3(-\frac{7}{3})^3 + 7(-\frac{7}{3})$
$= 3(-\frac{343}{27}) + (-\frac{49}{3})$
$= -\frac{343}{9} - \frac{49}{3}$
$= \frac{-343 - 147}{9} = -\frac{490}{9}$.
અહીં $p(-\frac{7}{3}) = -\frac{490}{9} \neq 0$ હોવાથી,શેષ $0$ મળતી નથી.
તેથી,$(7+3x)$ એ $3x^3+7x$ નો અવયવ નથી.

(N/A) $x+2$ નું શૂન્ય $-2$ છે. ધારો કે $p(x) = x^{3}+3x^{2}+5x+6$ અને $s(x) = 2x+4$.
$p(x)$ માટે:
$p(-2) = (-2)^{3} + 3(-2)^{2} + 5(-2) + 6$
$p(-2) = -8 + 3(4) - 10 + 6$
$p(-2) = -8 + 12 - 10 + 6 = 0$.
અહીં $p(-2) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$x+2$ એ $x^{3}+3x^{2}+5x+6$ નો અવયવ છે.
$s(x)$ માટે:
$s(-2) = 2(-2) + 4$
$s(-2) = -4 + 4 = 0$.
અહીં $s(-2) = 0$ હોવાથી,$x+2$ એ $2x+4$ નો અવયવ છે. વૈકલ્પિક રીતે,$2x+4 = 2(x+2)$ હોવાથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $x+2$ તેનો અવયવ છે.

(B) ધારો કે $p(x) = 4x^{3} + 3x^{2} - 4x + k$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(1) = 0$ થાય.
બહુપદીમાં $x = 1$ મુકતા:
$p(1) = 4(1)^{3} + 3(1)^{2} - 4(1) + k = 0$
$4(1) + 3(1) - 4 + k = 0$
$4 + 3 - 4 + k = 0$
$3 + k = 0$
તેથી,$k = -3$.

(N/A) ઉકેલ $1:$ (મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીત)
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ $p$ અને $q$ શોધવાની જરૂર છે કે જેથી $p + q = 17$ અને $pq = 6 \times 5 = 30$ થાય.
$30$ ના અવયવો $(1, 30), (2, 15), (3, 10), (5, 6)$ છે.
આમાંથી,$2 + 15 = 17$ થાય છે.
તેથી,$6x^2 + 17x + 5 = 6x^2 + 2x + 15x + 5$
$= 2x(3x + 1) + 5(3x + 1)$
$= (3x + 1)(2x + 5)$.
ઉકેલ $2:$ (અવયવ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરીને)
ધારો કે $p(x) = 6x^2 + 17x + 5 = 6(x^2 + \frac{17}{6}x + \frac{5}{6})$.
ધારો કે $a$ અને $b$ એ દ્વિઘાત પદાવલિના શૂન્યો છે. તો $ab = \frac{5}{6}$.
શક્ય સંમેય બીજ $\pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{3}, \pm \frac{5}{3}, \pm \frac{5}{2}, \pm 1$ છે.
$p(-\frac{1}{3}) = 6(-\frac{1}{3})^2 + 17(-\frac{1}{3}) + 5 = 6(\frac{1}{9}) - \frac{17}{3} + 5 = \frac{2}{3} - \frac{17}{3} + \frac{15}{3} = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x + \frac{1}{3})$ એક અવયવ છે.
$p(-\frac{5}{2}) = 6(-\frac{5}{2})^2 + 17(-\frac{5}{2}) + 5 = 6(\frac{25}{4}) - \frac{85}{2} + 5 = \frac{75}{2} - \frac{85}{2} + \frac{10}{2} = 0$ મળે છે.
તેથી,$(x + \frac{5}{2})$ એક અવયવ છે.
તેથી,$6x^2 + 17x + 5 = 6(x + \frac{1}{3})(x + \frac{5}{2}) = 6(\frac{3x+1}{3})(\frac{2x+5}{2}) = (3x + 1)(2x + 5)$.

(N/A) ધારો કે $p(y) = y^2 - 5y + 6$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(y - a)$ એ $p(y)$ નો અવયવ હોય,તો $p(a) = 0$ થાય.
આપણે અચળ પદ $6$ ના અવયવો શોધીએ,જે $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ છે.
$y = 2$ માટે ચકાસતા: $p(2) = (2)^2 - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0$.
તેથી,$(y - 2)$ એ $p(y)$ નો અવયવ છે.
$y = 3$ માટે ચકાસતા: $p(3) = (3)^2 - 5(3) + 6 = 9 - 15 + 6 = 0$.
તેથી,$(y - 3)$ એ $p(y)$ નો અવયવ છે.
આમ,$y^2 - 5y + 6$ નું અવયવીકરણ $(y - 2)(y - 3)$ થાય છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-23 x^{2}+142 x-120$.
અચળ પદ $-120$ ના અવયવો શોધીએ. તેમાંથી કેટલાક $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 4, \pm 5, \pm 6, \pm 8, \pm 10, \pm 12, \pm 15, \pm 20, \pm 24, \pm 30, \pm 60$ છે.
પ્રયત્ન કરતા,આપણને મળે છે કે $p(1) = 1^{3} - 23(1)^{2} + 142(1) - 120 = 1 - 23 + 142 - 120 = 0$. તેથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,બહુપદીને ફરીથી લખતા:
$x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = x^{3}-x^{2}-22 x^{2}+22 x+120 x-120$
$= x^{2}(x-1) - 22x(x-1) + 120(x-1)$
$= (x-1)(x^{2}-22x+120)$.
આગળ,દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-22x+120$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડીએ:
$x^{2}-22x+120 = x^{2}-12x-10x+120$
$= x(x-12) - 10(x-12)$
$= (x-12)(x-10)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $x^{3}-23 x^{2}+142 x-120 = (x-1)(x-10)(x-12)$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(a) = 0$ હોય,તો $(x - a)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ છે.
અહીં,ભાજક $(x + 1)$ છે,જેને $(x - (-1))$ તરીકે લખી શકાય છે. તેથી,આપણે $a = -1$ લઈએ છીએ.
ધારો કે $p(x) = x^{3} + x^{2} + x + 1$.
હવે,$p(-1)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(-1) = (-1)^{3} + (-1)^{2} + (-1) + 1$
$p(-1) = -1 + 1 - 1 + 1$
$p(-1) = 0$
અહીં શેષ $p(-1) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$(x + 1)$ એ બહુપદી $x^{3} + x^{2} + x + 1$ નો અવયવ છે.