Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-3x-40$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $-40$ થાય અને જેનો સરવાળો $-3$ થાય.
$1$. $-40$ ના અવયવો $(1, -40), (-1, 40), (2, -20), (-2, 20), (4, -10), (-4, 10), (5, -8), (-5, 8)$ છે.
$2$. આ જોડીઓમાંથી,$(5, -8)$ જોડી શરત સંતોષે છે: $5 + (-8) = -3$.
$3$. હવે,મધ્યમ પદ $-3x$ ને $5x - 8x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} + 5x - 8x - 40$
$4$. પદોને જૂથમાં વહેંચો અને સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x + 5) - 8(x + 5)$
$5$. સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 5)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(x + 5)(x - 8)$

(A) $6 x^{2}+7 x-20$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $6 \times (-20) = -120$ થાય અને જેનો સરવાળો $7$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $15$ અને $-8$ છે,કારણ કે $15 \times (-8) = -120$ અને $15 + (-8) = 7$.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $15x - 8x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$6 x^{2} + 15 x - 8 x - 20$
સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢવા માટે પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$(6 x^{2} + 15 x) - (8 x + 20)$
$3 x(2 x + 5) - 4(2 x + 5)$
$(2 x + 5)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$(2 x + 5)(3 x - 4)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $15x^2 + 7x - 2$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $15 \times (-2) = -30$ થાય અને જેનો સરવાળો $7$ થાય.
આ શરતોને સંતોષતી બે સંખ્યાઓ $10$ અને $-3$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $7x$ ને $10x - 3x$ તરીકે લખો:
$15x^2 + 10x - 3x - 2$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(15x^2 + 10x) - (3x + 2)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$5x(3x + 2) - 1(3x + 2)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3x + 2)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(3x + 2)(5x - 1)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-4x-77$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $-77$ થાય અને જેનો સરવાળો $-4$ થાય.
$1$. $-77$ ના અવયવો $(1, -77), (-1, 77), (7, -11), (-7, 11)$ છે.
$2$. આમાંથી,$(7, -11)$ ની જોડી શરત $7 + (-11) = -4$ નું પાલન કરે છે.
$3$. હવે,મધ્યમ પદ $-4x$ ને $7x - 11x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} + 7x - 11x - 77$
$4$. પદોના જૂથ બનાવો અને સામાન્ય અવયવો બહાર કાઢો:
$x(x + 7) - 11(x + 7)$
$5$. સામાન્ય દ્વિપદી $(x + 7)$ ને બહાર કાઢતા:
$(x + 7)(x - 11)$

(A) દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}+2x-143$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $-143$ થાય અને જેનો સરવાળો $2$ થાય.
ધારો કે તે બે સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ છે.
આપણને મળે છે $a \times b = -143$ અને $a + b = 2$.
$143$ ના અવયવો $1, 11, 13, 143$ છે.
ચિહ્નોને ધ્યાનમાં લેતા,આપણે $13$ અને $-11$ લઈએ છીએ કારણ કે $13 \times (-11) = -143$ અને $13 + (-11) = 2$.
હવે,મધ્યમ પદ $2x$ ને $13x - 11x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$x^{2} + 13x - 11x - 143$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(x^{2} + 13x) - (11x + 143)$
સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$x(x + 13) - 11(x + 13)$
અંતે,$(x + 13)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(x + 13)(x - 11)$

(N/A) $12x^2 + 23x + 5$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવી પડશે જેનો ગુણાકાર $12 \times 5 = 60$ થાય અને જેનો સરવાળો $23$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $20$ અને $3$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $23x$ ને $20x + 3x$ તરીકે લખો:
$12x^2 + 20x + 3x + 5$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(12x^2 + 20x) + (3x + 5)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$4x(3x + 5) + 1(3x + 5)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3x + 5)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(4x + 1)(3x + 5)$

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+8x^{2}+9x-18$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. જો $x=1$ લઈએ,તો $p(1) = 1^{3} + 8(1)^{2} + 9(1) - 18 = 1 + 8 + 9 - 18 = 0$.
તેથી,$p(1) = 0$ હોવાથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$x^{3}+8x^{2}+9x-18$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+8x^{2}+9x-18 = (x-1)(x^{2}+9x+18)$.
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+9x+18$ ના અવયવ પાડતા:
$x^{2}+6x+3x+18 = x(x+6) + 3(x+6) = (x+3)(x+6)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x-1)(x+3)(x+6)$ થાય છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+12 x^{2}+39 x+28$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x+a)$ એ અવયવ હોય,તો $p(-a) = 0$ થાય.
$x = -1$ લેતા: $p(-1) = (-1)^{3} + 12(-1)^{2} + 39(-1) + 28 = -1 + 12 - 39 + 28 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$p(x)$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+12 x^{2}+39 x+28 = (x+1)(x^{2}+11 x+28)$.
દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+11 x+28$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડતા:
$x^{2} + 7x + 4x + 28 = x(x+7) + 4(x+7) = (x+4)(x+7)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x+1)(x+4)(x+7)$ મળે છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{3}+2x^{2}-13x+10$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે અચળ પદ $10$ ના અવયવો $(\pm 1, \pm 2, \pm 5, \pm 10)$ ચકાસીએ.
$x = 1$ માટે,$p(1) = (1)^{3} + 2(1)^{2} - 13(1) + 10 = 1 + 2 - 13 + 10 = 0$.
તેથી,$(x-1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
$p(x)$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને $x^{2}(x-1) + 3x(x-1) - 10(x-1) = (x-1)(x^{2}+3x-10)$ મળે છે.
હવે,દ્વિઘાત પદાવલિ $x^{2}+3x-10$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$x^{2} + 5x - 2x - 10 = x(x+5) - 2(x+5) = (x-2)(x+5)$.
આમ,અવયવો $(x-1)(x-2)(x+5)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = (-1)^{3} - 11(-1)^{2} + 20(-1) + 32 = -1 - 11 - 20 + 32 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ $p(x)$ નો એક અવયવ છે.
હવે,$x^{3}-11 x^{2}+20 x+32$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$x^{3}+x^{2} - 12x^{2}-12x + 32x+32 = x^{2}(x+1) - 12x(x+1) + 32(x+1) = (x+1)(x^{2}-12x+32)$.
દ્વિઘાત બહુપદી $x^{2}-12x+32$ ના અવયવ પાડતા:
$x^{2}-8x-4x+32 = x(x-8)-4(x-8) = (x-4)(x-8)$.
આમ,અવયવો $(x+1)(x-4)(x-8)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 6x^{3}-23x^{2}+29x-12$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ.
$x = 1$ માટે,$p(1) = 6(1)^{3}-23(1)^{2}+29(1)-12 = 6-23+29-12 = 0$.
તેથી,$(x-1)$ એ એક અવયવ છે.
$6x^{3}-23x^{2}+29x-12$ ને $(x-1)$ વડે ભાગતા,આપણને ભાગફળ $6x^{2}-17x+12$ મળે છે.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $6x^{2}-17x+12$ ના અવયવ પાડો:
$6x^{2}-9x-8x+12 = 3x(2x-3)-4(2x-3) = (3x-4)(2x-3)$.
આમ,અવયવો $(x-1)(2x-3)(3x-4)$ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે $x$ ની કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = 6(-1)^{3} + 7(-1)^{2} - 14(-1) - 15 = -6 + 7 + 14 - 15 = 0$.
તેથી,$(x + 1)$ એ એક અવયવ છે.
હવે,$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15$ ને $(x + 1)$ વડે ભાગતા:
$6x^{3} + 7x^{2} - 14x - 15 = (x + 1)(6x^{2} + x - 15)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $6x^{2} + x - 15$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$6x^{2} + 10x - 9x - 15 = 2x(3x + 5) - 3(3x + 5) = (2x - 3)(3x + 5)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x + 1)(3x + 5)(2x - 3)$ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = 1$:
$p(1) = 8(1)^{3} - 26(1)^{2} + 13(1) + 5 = 8 - 26 + 13 + 5 = 0$.
તેથી,$(x - 1)$ એ એક અવયવ છે.
હવે,$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5$ ને $(x - 1)$ વડે ભાગતા:
$8x^{3} - 26x^{2} + 13x + 5 = (x - 1)(8x^{2} - 18x - 5)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $8x^{2} - 18x - 5$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$8x^{2} - 20x + 2x - 5 = 4x(2x - 5) + 1(2x - 5) = (4x + 1)(2x - 5)$.
આમ,અવયવો $(x - 1)(4x + 1)(2x - 5)$ છે.

(A) ધારો કે $p(x) = 12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે શૂન્ય શોધવા માટે કિંમતો ચકાસીએ. ધારો કે $x = -1$:
$p(-1) = 12(-1)^3 + 17(-1)^2 + 3(-1) - 2 = -12 + 17 - 3 - 2 = 0$.
તેથી,$(x+1)$ એ બહુપદીનો એક અવયવ છે.
હવે,$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2$ ને $(x+1)$ વડે ભાગતા:
$12x^3 + 17x^2 + 3x - 2 = (x+1)(12x^2 + 5x - 2)$.
હવે,દ્વિઘાત બહુપદી $12x^2 + 5x - 2$ ના મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને અવયવ પાડો:
$12x^2 + 8x - 3x - 2 = 4x(3x + 2) - 1(3x + 2) = (4x - 1)(3x + 2)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x+1)(4x-1)(3x+2)$ છે.

(A) અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $(x-c)$ એ બહુપદી $p(x)$ નો અવયવ હોય,તો $p(c) = 0$ થાય.
અહીં,$p(x) = x^{3} + 7x^{2} + ax - 3$ અને અવયવ $(x-1)$ છે,તેથી $c = 1$.
$p(1) = 0$ લેતા:
$(1)^{3} + 7(1)^{2} + a(1) - 3 = 0$
$1 + 7 + a - 3 = 0$
$8 + a - 3 = 0$
$5 + a = 0$
$a = -5$

(A) ધારો કે $p(x) = 6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$. અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(-2) = 0$ હોય તો $(x+2)$ એ અવયવ છે.
$p(-2) = 6(-2)^3 + 19(-2)^2 + 16(-2) + 4 = 6(-8) + 19(4) - 32 + 4 = -48 + 76 - 32 + 4 = 0$.
$p(-2) = 0$ હોવાથી,$(x+2)$ એ અવયવ છે.
હવે,$6x^3 + 19x^2 + 16x + 4$ ને $(x+2)$ વડે ભાગતા આપણને દ્વિઘાત બહુપદી $6x^2 + 7x + 2$ મળે છે.
$6x^2 + 7x + 2$ ના અવયવ પાડતા: $6x^2 + 4x + 3x + 2 = 2x(3x+2) + 1(3x+2) = (2x+1)(3x+2)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x+2)(2x+1)(3x+2)$ છે.

(A) પગલું $1$: $(x-3)$ અવયવ છે તે દર્શાવવા માટે,આપણે $p(3)$ ની કિંમત શોધીએ.
$p(3) = 12(3)^3 - 31(3)^2 - 18(3) + 9$
$p(3) = 12(27) - 31(9) - 54 + 9$
$p(3) = 324 - 279 - 54 + 9 = 0$.
અહીં $p(3) = 0$ હોવાથી,અવયવ પ્રમેય મુજબ $(x-3)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
પગલું $2$: $p(x)$ ને $(x-3)$ વડે ભાગતા દ્વિઘાત બહુપદી મળે.
$12x^3 - 31x^2 - 18x + 9 = (x-3)(12x^2 + 5x - 3)$.
પગલું $3$: દ્વિઘાત બહુપદી $12x^2 + 5x - 3$ ના અવયવ પાડો.
$12x^2 + 9x - 4x - 3 = 3x(4x + 3) - 1(4x + 3) = (3x - 1)(4x + 3)$.
આમ,સંપૂર્ણ અવયવીકરણ $(x-3)(3x-1)(4x+3)$ છે.

(A) $(x+3)(x+8)$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 3$ અને $b = 8$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+3)(x+8) = x^2 + (3+8)x + (3)(8)$
$= x^2 + 11x + 24$.

(A) પદાવલિ $(2 x-3)(2 x+5)$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,ધારો કે $X = 2x$,$a = -3$,અને $b = 5$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x - 3)(2x + 5) = (2x)^2 + (-3 + 5)(2x) + (-3)(5)$
$= 4x^2 + (2)(2x) - 15$
$= 4x^2 + 4x - 15$.

(D) પદાવલિ $(3x - 2)(3x - 6)$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મ અથવા બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $(3x - 2)(3x - 6)$
ધારો કે $u = 3x$. તો પદાવલિ $(u - 2)(u - 6)$ બનશે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $u^2 + (-2 - 6)u + (-2)(-6)$
$= u^2 - 8u + 12$
હવે,$u = 3x$ ની કિંમત ફરીથી પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (3x)^2 - 8(3x) + 12$
$= 9x^2 - 24x + 12$

(A) $(x+2t)(x-5t)$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x+a)(x+b) = x^2 + (a+b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 2t$ અને $b = -5t$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+2t)(x-5t) = x^2 + (2t - 5t)x + (2t)(-5t)$
$= x^2 + (-3t)x - 10t^2$
$= x^2 - 3xt - 10t^2$.

(B) દ્વિઘાત પદાવલિ $4 x^{2}+4 x y-3 y^{2}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $(4) \times (-3) = -12$ થાય અને જેનો સરવાળો $4$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $6$ અને $-2$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $4xy$ ને $6xy - 2xy$ તરીકે લખો:
$4 x^{2}+6 x y-2 x y-3 y^{2}$
પદોના જૂથ બનાવો:
$= (4 x^{2}+6 x y) - (2 x y+3 y^{2})$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$= 2 x(2 x+3 y)-y(2 x+3 y)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(2 x+3 y)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (2 x+3 y)(2 x-y)$

(A) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $93 \times 95$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે સંખ્યાઓને આ રીતે લખી શકીએ:
$93 = 90 + 3$
$95 = 90 + 5$
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા,જ્યાં $x = 90$,$a = 3$,અને $b = 5$ છે:
$(90 + 3)(90 + 5) = (90)^2 + (3 + 5)(90) + (3 \times 5)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(90)^2 = 8100$
$(3 + 5)(90) = 8 \times 90 = 720$
$(3 \times 5) = 15$
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા:
$8100 + 720 + 15 = 8835$
તેથી,$93 \times 95 = 8835$.

(B) બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $78 \times 84$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને આ રીતે લખી શકીએ:
$78 = (80 - 2)$
$84 = (80 + 4)$
નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 80$,$a = -2$,અને $b = 4$ છે:
$(80 - 2)(80 + 4) = (80)^2 + (-2 + 4)(80) + (-2)(4)$
$= 6400 + (2)(80) - 8$
$= 6400 + 160 - 8$
$= 6560 - 8$
$= 6552$

(A) $(2 x+5 y)^{2}$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2}+2 a b+b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 2 x$ અને $b = 5 y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2 x+5 y)^{2} = (2 x)^{2} + 2(2 x)(5 y) + (5 y)^{2}$
$= 4 x^{2} + 20 x y + 25 y^{2}$.

(A) પદાવલિ $(3a - 4)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x - y)^2 = x^2 - 2xy + y^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = 3a$ અને $y = 4$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a - 4)^2 = (3a)^2 - 2(3a)(4) + (4)^2$
$= 9a^2 - 24a + 16$.

(A) આપેલ પદાવલિ $16 x^{2}+40 x y+25 y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2}+2ab+b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a^{2} = 16 x^{2} = (4 x)^{2}$,તેથી $a = 4 x$.
અને $b^{2} = 25 y^{2} = (5 y)^{2}$,તેથી $b = 5 y$.
હવે,મધ્યમ પદ તપાસો: $2ab = 2(4 x)(5 y) = 40 x y$.
આ પદાવલિ નિત્યસમ સાથે બંધ બેસતી હોવાથી,આપણે તેને $(4 x+5 y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,તેના અવયવો $(4 x+5 y)(4 x+5 y)$ છે.

(B) પદાવલિ $49 x^{2}-42 x+9$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે નિત્યસમ $a^{2}-2ab+b^{2} = (a-b)^{2}$ ને અનુસરે છે.
અહીં,$a^{2} = 49 x^{2} = (7 x)^{2}$,તેથી $a = 7 x$.
અને $b^{2} = 9 = (3)^{2}$,તેથી $b = 3$.
હવે,મધ્યમ પદ ચકાસો: $-2ab = -2(7 x)(3) = -42 x$.
આમ,પદાવલિ નિત્યસમ સાથે બંધબેસતી હોવાથી:
$49 x^{2}-42 x+9 = (7 x)^{2}-2(7 x)(3)+(3)^{2} = (7 x-3)^{2}$.
તેથી,અવયવો $(7 x-3)(7 x-3)$ છે.

(C) $(107)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $107$ ને $(100 + 7)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 7$ છે:
$(100 + 7)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(7) + (7)^{2}$
$= 10000 + 1400 + 49$
$= 11449$

(A) આપેલ પદાવલિ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 7y$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(3x + 7y)(3x - 7y) = (3x)^2 - (7y)^2$
$= 9x^2 - 49y^2$

(A) આપેલ પદાવલિ $121 x^{2}-289 y^{2}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $121 = 11^{2}$ અને $289 = 17^{2}$ થાય.
તેથી,આ પદાવલિને $(11 x)^{2}-(17 y)^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=11x$ અને $b=17y$ છે:
$(11 x)^{2}-(17 y)^{2}=(11 x-17 y)(11 x+17 y)$.

(A) સીધો ગુણાકાર કર્યા વગર $66 \times 74$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને $(70 - 4)$ અને $(70 + 4)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 70$ અને $b = 4$ છે:
$66 \times 74 = (70 - 4)(70 + 4)$
$= (70)^2 - (4)^2$
$= 4900 - 16$
$= 4884$

(A) $(x+3y-5z)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$,$b = 3y$,અને $c = -5z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+3y-5z)^{2} = (x)^{2} + (3y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 9y^{2} + 25z^{2} + 6xy - 30yz - 10zx$.

(A) $(2x - y - 5)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 2x$,$b = -y$,અને $c = -5$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x - y - 5)^2 = (2x)^2 + (-y)^2 + (-5)^2 + 2(2x)(-y) + 2(-y)(-5) + 2(-5)(2x)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= 4x^2 + y^2 + 25 - 4xy + 10y - 20x$.

(A) અહીં આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $x^{2}+9 y^{2}+4+6 x y+12 y+4 x$.
આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$= (x)^{2} + (3y)^{2} + (2)^{2} + 2(x)(3y) + 2(3y)(2) + 2(2)(x)$.
આને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $a=x$,$b=3y$ અને $c=2$ છે,આપણને મળે છે:
$= (x+3y+2)^{2}$.
આમ,અવયવો $(x+3y+2)(x+3y+2)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-4 x y-12 y z+6 z x$ છે.
આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$x^{2}+(-2 y)^{2}+(3 z)^{2}+2(x)(-2 y)+2(-2 y)(3 z)+2(3 z)(x)$.
અહીં,$a = x$,$b = -2y$,અને $c = 3z$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(x-2y+3z)^{2}$ થાય છે.
આમ,તેના અવયવો $(x-2y+3z)(x-2y+3z)$ છે.

(C) બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીને $(132)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $132$ ને $(130 + 2)$ તરીકે લખી શકીએ.
નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 130$ અને $b = 2$ છે:
$(130 + 2)^{2} = (130)^{2} + 2(130)(2) + (2)^{2}$
$= 16900 + 520 + 4$
$= 17424$.

$(3x + 2y)^3$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 2y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3x + 2y)^3 = (3x)^3 + (2y)^3 + 3(3x)(2y)(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 18xy(3x + 2y)$
$= 27x^3 + 8y^3 + 54x^2y + 36xy^2$

(N/A) $(2a - 5b)^3$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નીચેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું:
$(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
અહીં,$x = 2a$ અને $y = 5b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= (2a)^3 - (5b)^3 - 3(2a)(5b)(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 30ab(2a - 5b)$
$= 8a^3 - 125b^3 - 60a^2b + 150ab^2$

(N/A) આપેલ પદાવલિ $8 x^{3}+27 y^{3}+36 x^{2} y+54 x y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
અહીં,ધારો કે $a = 2x$ અને $b = 3y$ છે.
તેથી,$a^{3} = (2x)^{3} = 8x^{3}$ અને $b^{3} = (3y)^{3} = 27y^{3}$ થાય.
વચ્ચેના પદો $3a^{2}b = 3(2x)^{2}(3y) = 3(4x^{2})(3y) = 36x^{2}y$ અને $3ab^{2} = 3(2x)(3y)^{2} = 3(2x)(9y^{2}) = 54xy^{2}$ છે.
આમ,પદાવલિ $(2x)^{3} + (3y)^{3} + 3(2x)^{2}(3y) + 3(2x)(3y)^{2}$ સ્વરૂપમાં છે.
આનું સાદું રૂપ $(2x + 3y)^{3}$ થાય છે.
તેથી,અવયવ સ્વરૂપ $(2x + 3y)(2x + 3y)(2x + 3y)$ છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $a^{3} + b^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} = (a + b)^{3}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = -4$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$27 x^{3}-64-108 x^{2}+144 x = (3x)^{3} + (-4)^{3} + 3(3x)^{2}(-4) + 3(3x)(-4)^{2}$.
આનું સાદું રૂપ $(3x - 4)^{3}$ થાય છે.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(3x - 4)(3x - 4)(3x - 4)$ છે.

(D) $(998)^{3}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $998$ ને $(1000 - 2)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1000$ અને $b = 2$ છે:
$(1000 - 2)^{3} = (1000)^{3} - (2)^{3} - 3(1000)(2)(1000 - 2)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 6000(998)$
$= 1,000,000,000 - 8 - 5,988,000$
$= 994,011,992$

(D) આપેલ પદાવલિ $8 x^{3}+y^{3}-27 z^{3}+18 x y z$ છે.
આપણે નિત્યસમ $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3 a b c = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-a b-b c-c a)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
પદાવલિને આ રીતે લખતા: $(2 x)^{3}+(y)^{3}+(-3 z)^{3}-3(2 x)(y)(-3 z)$.
અહીં,$a = 2 x$,$b = y$,અને $c = -3 z$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= (2 x+y-3 z)((2 x)^{2}+(y)^{2}+(-3 z)^{2}-(2 x)(y)-(y)(-3 z)-(-3 z)(2 x))$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= (2 x+y-3 z)(4 x^{2}+y^{2}+9 z^{2}-2 x y+3 y z+6 z x)$.

(B) ધારો કે $a = 21$,$b = 15$,અને $c = -36$ છે.
પ્રથમ,$a, b,$ અને $c$ નો સરવાળો શોધો:
$a + b + c = 21 + 15 + (-36) = 36 - 36 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $a + b + c = 0$ હોય,તો નિત્યસમ મુજબ $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ થાય.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(21)^{3} + (15)^{3} + (-36)^{3} = 3 \times (21) \times (15) \times (-36)$.
ગુણાકાર કરતા:
$3 \times 21 = 63$
$15 \times (-36) = -540$
$63 \times (-540) = -34020$.
તેથી,તેની કિંમત $-34020$ છે.

(B) $(x+4)(x+9)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(x+4)(x+9) = x(x+9) + 4(x+9)$
$= x^{2} + 9x + 4x + 36$
$= x^{2} + 13x + 36$

(A) $(3x - 1)(3x + 4)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(3x - 1)(3x + 4) = (3x)(3x) + (3x)(4) + (-1)(3x) + (-1)(4)$
$= 9x^2 + 12x - 3x - 4$
$= 9x^2 + 9x - 4$

(A) $(2x - 7)(2x - 5)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મ ($FOIL$ પદ્ધતિ) નો ઉપયોગ કરીશું:
$1$. પ્રથમ પદોનો ગુણાકાર: $(2x) \times (2x) = 4x^2$.
$2$. બહારના પદોનો ગુણાકાર: $(2x) \times (-5) = -10x$.
$3$. અંદરના પદોનો ગુણાકાર: $(-7) \times (2x) = -14x$.
$4$. છેલ્લા પદોનો ગુણાકાર: $(-7) \times (-5) = 35$.
આ પરિણામોને જોડતા: $4x^2 - 10x - 14x + 35 = 4x^2 - 24x + 35$.

(N/A) $(2a + 3b)(2a - 5b)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. પ્રથમ પદોનો ગુણાકાર: $(2a) \times (2a) = 4a^2$.
$2$. બહારના પદોનો ગુણાકાર: $(2a) \times (-5b) = -10ab$.
$3$. અંદરના પદોનો ગુણાકાર: $(3b) \times (2a) = 6ab$.
$4$. છેલ્લા પદોનો ગુણાકાર: $(3b) \times (-5b) = -15b^2$.
આ પરિણામોને જોડતા: $4a^2 - 10ab + 6ab - 15b^2$.
છેલ્લે,વચ્ચેના પદોનું સાદું રૂપ આપતા: $-10ab + 6ab = -4ab$.
આમ,વિસ્તરણ સ્વરૂપ $4a^2 - 4ab - 15b^2$ છે.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $16 x^{2}-16 x-21$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $16 \times (-21) = -336$ થાય અને જેનો સરવાળો $-16$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-28$ અને $12$ છે,કારણ કે $(-28) \times 12 = -336$ અને $(-28) + 12 = -16$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-16 x$ ને $-28 x + 12 x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$16 x^{2} - 28 x + 12 x - 21$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(16 x^{2} - 28 x) + (12 x - 21)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદ બહાર કાઢો:
$4 x(4 x - 7) + 3(4 x - 7)$
છેલ્લે,સામાન્ય દ્વિપદી $(4 x - 7)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(4 x - 7)(4 x + 3)$.

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $25 x^{2}+25 x+6$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $25 \times 6 = 150$ થાય અને જેનો સરવાળો $25$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $15$ અને $10$ છે,કારણ કે $15 \times 10 = 150$ અને $15 + 10 = 25$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $25 x$ ને $15 x + 10 x$ તરીકે વિભાજિત કરો:
$25 x^{2} + 15 x + 10 x + 6$
પદોને જૂથમાં ગોઠવો:
$(25 x^{2} + 15 x) + (10 x + 6)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$5 x(5 x + 3) + 2(5 x + 3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(5 x + 3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(5 x + 3)(5 x + 2)$.