Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $9 x^{2}-21 x y+10 y^{2}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $9 \times 10 = 90$ થાય અને જેનો સરવાળો $-21$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-15$ અને $-6$ છે,કારણ કે $(-15) \times (-6) = 90$ અને $(-15) + (-6) = -21$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-21 x y$ ને $-15 x y - 6 x y$ તરીકે ફરીથી લખો:
$9 x^{2} - 15 x y - 6 x y + 10 y^{2}$
પદોના જૂથ બનાવો:
$(9 x^{2} - 15 x y) - (6 x y - 10 y^{2})$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢો:
$3 x(3 x - 5 y) - 2 y(3 x - 5 y)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(3 x - 5 y)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$(3 x - 5 y)(3 x - 2 y)$

(A) દ્વિઘાત પદાવલિ $49 x^{2}-35 x+6$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધવાની જરૂર છે જેનો ગુણાકાર $49 \times 6 = 294$ થાય અને જેનો સરવાળો $-35$ થાય.
આવી બે સંખ્યાઓ $-21$ અને $-14$ છે,કારણ કે $(-21) \times (-14) = 294$ અને $(-21) + (-14) = -35$ થાય છે.
હવે,મધ્યમ પદને ફરીથી લખતા:
$49 x^{2}-21 x-14 x+6$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$(49 x^{2}-21 x) - (14 x-6)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$7 x(7 x-3) - 2(7 x-3)$
અંતે,સામાન્ય દ્વિપદી $(7 x-3)$ ને સામાન્ય લેતા:
$(7 x-3)(7 x-2)$

(C) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $103 \times 105$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,આપણે $103 = (100 + 3)$ અને $105 = (100 + 5)$ લખી શકીએ છીએ.
આને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 100$,$a = 3$,અને $b = 5$ મળે છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(100 + 3)(100 + 5) = (100)^2 + (3 + 5)(100) + (3 \times 5)$
$= 10000 + (8 \times 100) + 15$
$= 10000 + 800 + 15$
$= 10815$.

(D) $84 \times 79$ ની કિંમત સીધા ગુણાકાર વગર શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને દ્વિપદી તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
આપણે $84$ ને $(80 + 4)$ અને $79$ ને $(80 - 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 80$,$a = 4$,અને $b = -1$ છે:
$(80 + 4)(80 - 1) = 80^2 + (4 - 1)80 + (4 \times -1)$
$= 6400 + (3 \times 80) - 4$
$= 6400 + 240 - 4$
$= 6640 - 4$
$= 6636$.

(A) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $76 \times 82$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને $(79 - 3)$ અને $(79 + 3)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 79$ અને $b = 3$ છે:
$76 \times 82 = (79 - 3)(79 + 3)$
$= 79^2 - 3^2$
$= 6241 - 9$
$= 6232$.

(B) સીધા ગુણાકાર કર્યા વગર $88 \times 86$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે સંખ્યાઓને $(90 - 2) \times (90 - 4)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 90$,$a = -2$,અને $b = -4$ છે:
$(90 - 2)(90 - 4) = 90^2 + (-2 - 4) \times 90 + (-2 \times -4)$
$= 8100 + (-6 \times 90) + 8$
$= 8100 - 540 + 8$
$= 7560 + 8$
$= 7568$.

(A) $(3x + 5)^2$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 5$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(5) + (5)^2$
$= 9x^2 + 30x + 25$.

(B) $(6x - 7)^2$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 6x$ અને $b = 7$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(6x - 7)^2 = (6x)^2 - 2(6x)(7) + (7)^2$
$= 36x^2 - 84x + 49$.
આમ,વિસ્તરણ સ્વરૂપ $36x^2 - 84x + 49$ છે.

(B) $(2a + 3b)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$x = 2a$ અને $y = 3b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2a + 3b)^2 = (2a)^2 + 2(2a)(3b) + (3b)^2$
$= 4a^2 + 12ab + 9b^2$.

(A) પદાવલિ $\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \frac{x}{2}$ અને $b = \frac{2}{5}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2}{5}\right)^{2} = \left(\frac{x}{2}\right)^{2} - 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2}{5}\right) + \left(\frac{2}{5}\right)^{2}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{4x}{10} + \frac{4}{25}$
$= \frac{x^{2}}{4} - \frac{2x}{5} + \frac{4}{25}$.

(A) $\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \frac{2x}{3}$ અને $b = \frac{3y}{4}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\frac{2x}{3} + \frac{3y}{4}\right)^{2} = \left(\frac{2x}{3}\right)^{2} + 2\left(\frac{2x}{3}\right)\left(\frac{3y}{4}\right) + \left(\frac{3y}{4}\right)^{2}$
$= \frac{4x^{2}}{9} + 2\left(\frac{6xy}{12}\right) + \frac{9y^{2}}{16}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + 2\left(\frac{xy}{2}\right) + \frac{9}{16}y^{2}$
$= \frac{4}{9}x^{2} + xy + \frac{9}{16}y^{2}$.

(A) $(x - \frac{1}{2})^{2}$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$ અને $b = \frac{1}{2}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x - \frac{1}{2})^{2} = (x)^{2} - 2(x)(\frac{1}{2}) + (\frac{1}{2})^{2}$.
પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= x^{2} - x + \frac{1}{4}$.

(B) આપેલ પદાવલિ $16 x^{2}-40 x y+25 y^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $(4 x)^{2}-2(4 x)(5 y)+(5 y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $a^{2}-2 a b+b^{2}=(a-b)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=4 x$ અને $b=5 y$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(4 x-5 y)^{2}$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $9x^{2} + 42x + 49$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે તે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ ને અનુસરે છે.
આપણે પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખી શકીએ છીએ:
$9x^{2} + 42x + 49 = (3x)^{2} + 2(3x)(7) + (7)^{2}$.
અહીં,$a = 3x$ અને $b = 7$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(3x + 7)^{2}$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{4x^2}{9} - \frac{x}{3} + \frac{1}{16}$ છે.
આને $a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
અહીં,$a^2 = \frac{4x^2}{9} \implies a = \frac{2x}{3}$.
અને $b^2 = \frac{1}{16} \implies b = \frac{1}{4}$.
વચ્ચેનું પદ તપાસતા: $-2ab = -2 \times \left(\frac{2x}{3}\right) \times \left(\frac{1}{4}\right) = -\frac{4x}{12} = -\frac{x}{3}$.
વચ્ચેનું પદ સમાન હોવાથી,પદાવલિ $\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{4}\right)^2$ થશે.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{x^{2}}{4}+\frac{3 x y}{5}+\frac{9 y^{2}}{25}$ છે.
આને $a^{2} + 2ab + b^{2} = (a + b)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
અહીં,$a^{2} = \frac{x^{2}}{4} \implies a = \frac{x}{2}$.
અને $b^{2} = \frac{9 y^{2}}{25} \implies b = \frac{3 y}{5}$.
હવે,મધ્યમ પદ $2ab = 2 \times \left(\frac{x}{2}\right) \times \left(\frac{3 y}{5}\right) = \frac{3 x y}{5}$ તપાસો.
મધ્યમ પદ સમાન હોવાથી,પદાવલિ $\left(\frac{x}{2}+\frac{3 y}{5}\right)^{2}$ થશે.

(A) $(65)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
અહીં,આપણે $65$ ને $(60 + 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$(65)^{2} = (60 + 5)^{2}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $(60)^{2} + 2(60)(5) + (5)^{2}$.
$= 3600 + 600 + 25$.
$= 4225$.
વૈકલ્પિક રીતે,$5$ માં અંત પામતી કોઈપણ સંખ્યા માટે,તેનો વર્ગ $(n5)^{2} = [n(n+1)] \times 100 + 25$ તરીકે ગણવામાં આવે છે.
$65$ માટે,$n = 6$,તેથી $[6(6+1)] \times 100 + 25 = (6 \times 7) \times 100 + 25 = 4200 + 25 = 4225$.

(B) $(101)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $101$ ને $(100 + 1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 1$ છે:
$(100 + 1)^{2} = (100)^{2} + 2(100)(1) + (1)^{2}$
$= 10000 + 200 + 1$
$= 10201$.

(C) $(1002)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $1002$ ને $(1000 + 2)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1000$ અને $b = 2$ છે:
$(1000 + 2)^{2} = (1000)^{2} + 2(1000)(2) + (2)^{2}$
$= 1000000 + 4000 + 4$
$= 1004004$.

(D) $(98)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $98$ ને $(100 - 2)$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 2$ છે:
$(100 - 2)^{2} = (100)^{2} - 2(100)(2) + (2)^{2}$
$= 10000 - 400 + 4$
$= 9600 + 4$
$= 9604$.

(A) $(x+5y)(x-5y)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બેજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = x$ અને $b = 5y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(x+5y)(x-5y) = (x)^2 - (5y)^2$
$= x^2 - 25y^2$.

(B) આપેલ પદાવલિ $(a + b)(a - b)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = \frac{2x}{3}$ અને $b = \frac{4y}{5}$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{2x}{3}\right)^2 - \left(\frac{4y}{5}\right)^2$
$= \frac{4x^2}{9} - \frac{16y^2}{25}$
$= \frac{4}{9}x^2 - \frac{16}{25}y^2$.

(N/A) $(3x + 7)(-3x + 7)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે પદોને ફરીથી ગોઠવીને બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,પદાવલિને $(7 + 3x)(7 - 3x)$ તરીકે ફરીથી લખો.
અહીં,$a = 7$ અને $b = 3x$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા: $(7)^2 - (3x)^2 = 49 - 9x^2$.

(A) $(11 x+18)(11 x-18)$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 11 x$ અને $b = 18$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(11 x)^{2} - (18)^{2}$
$= 121 x^{2} - 324$.

(A) પદાવલિ $144 x^{2}-289 y^{2}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,આપેલા પદોને પૂર્ણવર્ગ તરીકે દર્શાવો:
$144 x^{2} = (12 x)^{2}$
$289 y^{2} = (17 y)^{2}$
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$144 x^{2}-289 y^{2} = (12 x)^{2}-(17 y)^{2}$
નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=12 x$ અને $b=17 y$ છે,આપણને મળે છે:
$(12 x-17 y)(12 x+17 y)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25}$ છે.
આને $a^2 - b^2$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય,જ્યાં $a^2 = \frac{4x^2}{9}$ અને $b^2 = \frac{1}{25}$ છે.
વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $a = \frac{2x}{3}$ અને $b = \frac{1}{5}$ મળે છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકીએ છીએ.
તેથી,$\frac{4x^2}{9} - \frac{1}{25} = \left(\frac{2x}{3} + \frac{1}{5}\right)\left(\frac{2x}{3} - \frac{1}{5}\right)$.

(A) આપેલ પદાવલિ $169 x^{2}-625$ છે.
આપણે તેને $(13 x)^{2}-(25)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-b^{2} = (a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 13 x$ અને $b = 25$ છે,આપણને મળે છે:
$(13 x)^{2}-(25)^{2} = (13 x+25)(13 x-25)$.

(A) $16 x^{4}-y^{4}$ ના અવયવ પાડવા માટે,આપણે તફાવતની નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
સૌ પ્રથમ,પદાવલિને $(4 x^{2})^{2}-(y^{2})^{2}$ તરીકે લખો.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને $(4 x^{2}-y^{2})(4 x^{2}+y^{2})$ મળે છે.
હવે,$(4 x^{2}-y^{2})$ પદને $(2 x)^{2}-(y)^{2}$ તરીકે લખીને વધુ અવયવ પાડો.
ફરીથી નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,$(4 x^{2}-y^{2}) = (2 x-y)(2 x+y)$ મળે છે.
આ બંનેને જોડતા,અંતિમ અવયવ સ્વરૂપ $(2 x-y)(2 x+y)(4 x^{2}+y^{2})$ છે.

(A) $103 \times 97$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $103$ ને $(100 + 3)$ અને $97$ ને $(100 - 3)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$103 \times 97 = (100 + 3)(100 - 3)$
$= 100^2 - 3^2$
$= 10000 - 9$
$= 9991$.

(B) $205 \times 195$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $205$ ને $(200 + 5)$ અને $195$ ને $(200 - 5)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$205 \times 195 = (200 + 5)(200 - 5)$.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને $200^2 - 5^2$ મળે છે.
$200^2 = 40000$ અને $5^2 = 25$.
તેથી,$40000 - 25 = 39975$.

(C) $77 \times 83$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $77$ ને $(80 - 3)$ તરીકે અને $83$ ને $(80 + 3)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$77 \times 83 = (80 - 3)(80 + 3)$
$= 80^2 - 3^2$
$= 6400 - 9$
$= 6391$.

(D) $153 \times 147$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે સંખ્યાઓને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$153 = 150 + 3$
$147 = 150 - 3$
હવે,આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(150 + 3)(150 - 3) = 150^2 - 3^2$
વર્ગોની ગણતરી કરતા:
$150^2 = 22500$
$3^2 = 9$
કિંમતોની બાદબાકી કરતા:
$22500 - 9 = 22491$
તેથી,$153 \times 147 = 22491$.

(N/A) $(2x + 3y + 5)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
અહીં,$a = 2x$,$b = 3y$,અને $c = 5$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x + 3y + 5)^2 = (2x)^2 + (3y)^2 + (5)^2 + 2(2x)(3y) + 2(3y)(5) + 2(5)(2x)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(2x)^2 = 4x^2$
$(3y)^2 = 9y^2$
$(5)^2 = 25$
$2(2x)(3y) = 12xy$
$2(3y)(5) = 30y$
$2(5)(2x) = 20x$
આ પરિણામોને જોડતા,આપણને મળે છે: $4x^2 + 9y^2 + 25 + 12xy + 30y + 20x$.

પદાવલિ $\left(\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}-\frac{3 z}{4}\right)^{2}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \frac{x}{2}$,$b = \frac{2y}{3}$,અને $c = -\frac{3z}{4}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= \left(\frac{x}{2}\right)^{2} + \left(\frac{2y}{3}\right)^{2} + \left(-\frac{3z}{4}\right)^{2} + 2\left(\frac{x}{2}\right)\left(\frac{2y}{3}\right) + 2\left(\frac{2y}{3}\right)\left(-\frac{3z}{4}\right) + 2\left(-\frac{3z}{4}\right)\left(\frac{x}{2}\right)$
$= \frac{x^{2}}{4} + \frac{4y^{2}}{9} + \frac{9z^{2}}{16} + \frac{2xy}{3} - yz - \frac{3zx}{4}$

(A) $(5x - 7y - z)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b + c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = 5x$,$b = -7y$,અને $c = -z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(5x - 7y - z)^2 = (5x)^2 + (-7y)^2 + (-z)^2 + 2(5x)(-7y) + 2(-7y)(-z) + 2(-z)(5x)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$(5x)^2 = 25x^2$
$(-7y)^2 = 49y^2$
$(-z)^2 = z^2$
$2(5x)(-7y) = -70xy$
$2(-7y)(-z) = 14yz$
$2(-z)(5x) = -10zx$
આ બધાને ભેગા કરતા,આપણને મળે છે: $25x^2 + 49y^2 + z^2 - 70xy + 14yz - 10zx$.

(A) $(a - 2b + 7c)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = a$,$y = -2b$,અને $z = 7c$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(a - 2b + 7c)^2 = (a)^2 + (-2b)^2 + (7c)^2 + 2(a)(-2b) + 2(-2b)(7c) + 2(7c)(a)$.
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= a^2 + 4b^2 + 49c^2 - 4ab - 28bc + 14ca$.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+4 y^{2}+25 z^{2}+4 x y-20 y z-10 z x$ છે.
આપણે તેને નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a = x$,$b = 2y$,અને $c = -5z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$x^{2} + (2y)^{2} + (-5z)^{2} + 2(x)(2y) + 2(2y)(-5z) + 2(-5z)(x)$
$= x^{2} + 4y^{2} + 25z^{2} + 4xy - 20yz - 10zx$.
આમ,આ પદાવલિ $(x+2y-5z)^{2}$ ને સમાન છે.
તેથી,તેના અવયવો $(x+2y-5z)(x+2y-5z)$ છે.

(A) આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a+b+c)^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$.
આપેલ પદાવલિ: $4x^2 + 9y^2 + 49z^2 - 12xy + 42yz - 28zx$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(2x)^2 + (-3y)^2 + (-7z)^2 + 2(2x)(-3y) + 2(-3y)(-7z) + 2(-7z)(2x)$.
અહીં,$a = 2x$,$b = -3y$,અને $c = -7z$ છે.
તેથી,આ પદાવલિ $(2x - 3y - 7z)^2$ ને સમાન છે,જે $(2x - 3y - 7z)(2x - 3y - 7z)$ થાય છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $25 x^{2}+9 y^{2}+64+30 x y-48 y-80 x$ છે.
આને $(5 x)^{2}+(3 y)^{2}+(-8)^{2}+2(5 x)(3 y)+2(3 y)(-8)+2(5 x)(-8)$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a = (a+b+c)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
અહીં,$a = 5 x$,$b = 3 y$,અને $c = -8$ છે.
તેથી,પદાવલિ $(5 x+3 y-8)^{2}$ બને છે,જે $(5 x+3 y-8)(5 x+3 y-8)$ છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $a^{2} + b^{2} + c^{2} + 2ab + 2bc + 2ca = (a + b + c)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે.
આપેલ પદાવલિ $x^{2} + (\frac{y}{2})^{2} + (\frac{z}{4})^{2} + 2(x)(\frac{y}{2}) + 2(\frac{y}{2})(\frac{z}{4}) + 2(\frac{z}{4})(x)$ ને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા:
અહીં,$a = x$,$b = \frac{y}{2}$,અને $c = \frac{z}{4}$ છે.
આમ,પદાવલિને $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})^{2}$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,તેના અવયવો $(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})(x + \frac{y}{2} + \frac{z}{4})$ થાય.

(A) $(153)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $153$ ને $(150 + 3)$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$(153)^{2} = (150 + 3)^{2}$.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(150)^{2} + 2(150)(3) + (3)^{2}$
$= 22500 + 900 + 9$
$= 23409$.
તેથી,સાચી કિંમત $23409$ છે.

(B) $(215)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $215$ ને $(200 + 15)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$(200 + 15)^{2} = (200)^{2} + 2(200)(15) + (15)^{2}$.
$= 40000 + 6000 + 225$.
$= 46225$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) $(421)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $421$ ને $(400 + 21)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
નિત્યસમ લાગુ કરતા: $(400 + 21)^{2} = (400)^{2} + 2(400)(21) + (21)^{2}$.
$(400)^{2} = 160000$.
$2 \times 400 \times 21 = 800 \times 21 = 16800$.
$(21)^{2} = 441$.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા: $160000 + 16800 + 441 = 177241$.
તેથી,$(421)^{2} = 177241$.

(A) $(555)^{2}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a + b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપણે $555$ ને $(500 + 55)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$(555)^{2} = (500 + 55)^{2}$
$= (500)^{2} + 2(500)(55) + (55)^{2}$
$= 250000 + 55000 + 3025$
$= 305000 + 3025$
$= 308025$.

(N/A) $(3a + 5b)^3$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(x + y)^3 = x^3 + y^3 + 3xy(x + y)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$x = 3a$ અને $y = 5b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a + 5b)^3 = (3a)^3 + (5b)^3 + 3(3a)(5b)(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 45ab(3a + 5b)$
$= 27a^3 + 125b^3 + 135a^2b + 225ab^2$.

$(2x + 7)^3$ પદાવલિનું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમ $(a + b)^3 = a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 2x$ અને $b = 7$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2x + 7)^3 = (2x)^3 + (7)^3 + 3(2x)^2(7) + 3(2x)(7)^2$
$= 8x^3 + 343 + 3(4x^2)(7) + 3(2x)(49)$
$= 8x^3 + 343 + 84x^2 + 294x$
પદોને ઘાતના ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવતા:
$= 8x^3 + 84x^2 + 294x + 343$.

(N/A) $(4x - 3y)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નીચેના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a - b) = a^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2} - b^{3}$
અહીં,$a = 4x$ અને $b = 3y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(4x - 3y)^{3} = (4x)^{3} - 3(4x)^{2}(3y) + 3(4x)(3y)^{2} - (3y)^{3}$
$= 64x^{3} - 3(16x^{2})(3y) + 3(4x)(9y^{2}) - 27y^{3}$
$= 64x^{3} - 144x^{2}y + 108xy^{2} - 27y^{3}$

(N/A) $(7x - 4y)^{3}$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$.
અહીં,$a = 7x$ અને $b = 4y$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(7x - 4y)^{3} = (7x)^{3} - (4y)^{3} - 3(7x)^{2}(4y) + 3(7x)(4y)^{2}$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 3(49x^{2})(4y) + 3(7x)(16y^{2})$
$= 343x^{3} - 64y^{3} - 588x^{2}y + 336xy^{2}$.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $8x^3 + 343y^3 + 84x^2y + 294xy^2$ છે.
આપણે તેને $(2x)^3 + (7y)^3 + 3(2x)^2(7y) + 3(2x)(7y)^2$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $a^3 + b^3 + 3a^2b + 3ab^2 = (a + b)^3$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = 2x$ અને $b = 7y$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $(2x + 7y)^3$ મળે છે.
આમ,અવયવ સ્વરૂપ $(2x + 7y)(2x + 7y)(2x + 7y)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{3} - 125y^{3} - 15x^{2}y + 75xy^{2}$ છે.
આપણે તેને $x^{3} - (5y)^{3} - 3(x^{2})(5y) + 3(x)(5y)^{2}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ પદાવલિ નિત્યસમ $(a - b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3a^{2}b + 3ab^{2}$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = x$ અને $b = 5y$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(x - 5y)^{3}$ થાય,જેને $(x - 5y)(x - 5y)(x - 5y)$ તરીકે લખી શકાય છે.