Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $f(x) = x^{3}-6x^{2}+11x-6$ એ આપેલ બહુપદી છે.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,આપણે અચળ પદ $-6$ ના અવયવો ચકાસીએ,જે $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$ છે.
$x = 1$ માટે,$f(1) = (1)^{3}-6(1)^{2}+11(1)-6 = 1-6+11-6 = 0$. તેથી,$(x-1)$ એક અવયવ છે.
$x = 2$ માટે,$f(2) = (2)^{3}-6(2)^{2}+11(2)-6 = 8-24+22-6 = 0$. તેથી,$(x-2)$ એક અવયવ છે.
$x = 3$ માટે,$f(3) = (3)^{3}-6(3)^{2}+11(3)-6 = 27-54+33-6 = 0$. તેથી,$(x-3)$ એક અવયવ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તેના વધુમાં વધુ $3$ સુરેખ અવયવો હોઈ શકે છે.
તેથી,$x^{3}-6x^{2}+11x-6$ ના અવયવો $(x-1)(x-2)(x-3)$ છે.

(B) ધારો કે $f(x) = x^{3} + x^{2} - 4x - 4$.
આપણે પદોને જૂથમાં વહેંચીને અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$f(x) = (x^{3} + x^{2}) - (4x + 4)$
દરેક જૂથમાંથી સામાન્ય પદો બહાર કાઢતા:
$f(x) = x^{2}(x + 1) - 4(x + 1)$
હવે,$(x + 1)$ ને સામાન્ય અવયવ તરીકે લેતા:
$f(x) = (x + 1)(x^{2} - 4)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2} - b^{2} = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $x^{2} - 4$ ના અવયવ $(x - 2)(x + 2)$ પાડી શકીએ છીએ:
$f(x) = (x + 1)(x - 2)(x + 2)$
આમ,અવયવો $(x - 2)(x + 1)(x + 2)$ છે.

(D) ધારો કે $f(x) = 3x^{3}-x^{2}-3x+1$ એ આપેલ બહુપદી છે.
આપણે પદોને જૂથ બનાવીને અવયવ પાડી શકીએ છીએ:
$f(x) = (3x^{3}-3x) - (x^{2}-1)$
$f(x) = 3x(x^{2}-1) - 1(x^{2}-1)$
$f(x) = (3x-1)(x^{2}-1)$
કારણ કે $x^{2}-1$ એ બે વર્ગોનો તફાવત છે,આપણે તેને $(x-1)(x+1)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,$f(x) = (3x-1)(x-1)(x+1)$.

(D) $103^{3}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે તેને $(100 + 3)^{3}$ તરીકે લખી શકીએ.
બીજગણિતના નિત્યસમ $(a + b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 100$ અને $b = 3$ છે:
$(100 + 3)^{3} = (100)^{3} + (3)^{3} + 3(100)(3)(100 + 3)$
$= 1000000 + 27 + 900(103)$
$= 1000000 + 27 + 92700$
$= 1092727$

(A) આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$101 \times 102 = (100 + 1)(100 + 2)$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x + a)(x + b) = x^2 + (a + b)x + ab$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = 100$,$a = 1$,અને $b = 2$ છે:
$(100 + 1)(100 + 2) = (100)^2 + (1 + 2)(100) + (1)(2)$
$= 10000 + (3)(100) + 2$
$= 10000 + 300 + 2$
$= 10302$

(B) આપણે $999$ ને $(1000 - 1)$ તરીકે દર્શાવી શકીએ છીએ.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a - b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1000$ અને $b = 1$ છે:
$(999)^{2} = (1000 - 1)^{2}$
$= (1000)^{2} - 2 \times (1000) \times (1) + (1)^{2}$
$= 1000000 - 2000 + 1$
$= 998000 + 1$
$= 998001$

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $4 x^{2}+20 x+25$ છે.
આને $a^{2}+2 a b+b^{2}$ ના સ્વરૂપમાં નીચે મુજબ લખી શકાય:
$4 x^{2}+20 x+25 = (2 x)^{2}+2(2 x)(5)+(5)^{2}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}+2 a b+b^{2}=(a+b)^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 2x$ અને $b = 5$ છે,આપણને મળે છે:
$(2 x+5)^{2}$
આમ,તેના અવયવો $(2 x+5)(2 x+5)$ છે.

(N/A) આપણી પાસે પદાવલિ $9 y^{2}-66 y z+121 z^{2}$ છે.
આને નિત્યસમ $a^{2}-2 a b+b^{2} = (a-b)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે.
$9 y^{2}-66 y z+121 z^{2} = (3 y)^{2} - 2(3 y)(11 z) + (11 z)^{2}$.
આને નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2}-2 a b+b^{2}$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $a = 3 y$ અને $b = 11 z$ છે.
તેથી,$9 y^{2}-66 y z+121 z^{2} = (3 y - 11 z)^{2}$.
આને $(3 y - 11 z)(3 y - 11 z)$ તરીકે લખી શકાય છે.

અહીં આપણે નિત્યસમ $a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)$ નો ઉપયોગ કરીશું,જ્યાં $a = \left(2x + \frac{1}{3}\right)$ અને $b = \left(x - \frac{1}{2}\right)$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$= \left[\left(2x + \frac{1}{3}\right) + \left(x - \frac{1}{2}\right)\right] \left[\left(2x + \frac{1}{3}\right) - \left(x - \frac{1}{2}\right)\right]$
કૌંસની અંદરના પદોનું સાદું રૂપ આપતા:
$= \left(2x + x + \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right) \left(2x - x + \frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)$
$= \left(3x + \frac{2-3}{6}\right) \left(x + \frac{2+3}{6}\right)$
$= \left(3x - \frac{1}{6}\right) \left(x + \frac{5}{6}\right)$

(N/A) દ્વિઘાત પદાવલિ $9 x^{2}-12 x+3$ નું અવયવીકરણ કરવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરવાની રીતનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સૌ પ્રથમ,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ છીએ જેનો ગુણાકાર $9 \times 3 = 27$ થાય અને જેનો સરવાળો $-12$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $-9$ અને $-3$ છે.
હવે,મધ્યમ પદ $-12 x$ ને $-9 x - 3 x$ તરીકે ફરીથી લખો:
$9 x^{2}-9 x-3 x+3$
પદોના જૂથ બનાવો:
$=9 x(x-1)-3(x-1)$
સામાન્ય દ્વિપદી $(x-1)$ ને સામાન્ય કાઢો:
$=(9 x-3)(x-1)$
અંતે,પ્રથમ દ્વિપદીમાંથી સામાન્ય અચળ $3$ ને સામાન્ય કાઢો:
$=3(3 x-1)(x-1)$

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $9x^{2}-12x+4$ છે.
આને $a^{2}-2ab+b^{2}$ સ્વરૂપમાં લખી શકાય છે,જ્યાં $a=3x$ અને $b=2$ છે.
$9x^{2}-12x+4 = (3x)^{2} - 2(3x)(2) + (2)^{2}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{2}-2ab+b^{2} = (a-b)^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(3x-2)^{2} = (3x-2)(3x-2)$.

(A) પદાવલિ $(4a - b + 2c)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$
અહીં,$x = 4a$,$y = -b$,અને $z = 2c$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(4a - b + 2c)^2 = (4a)^2 + (-b)^2 + (2c)^2 + 2(4a)(-b) + 2(-b)(2c) + 2(2c)(4a)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= 16a^2 + b^2 + 4c^2 - 8ab - 4bc + 16ac$

(A) $(3a - 5b - c)^2$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2yz + 2zx$
અહીં,$x = 3a$,$y = -5b$,અને $z = -c$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a - 5b - c)^2 = (3a)^2 + (-5b)^2 + (-c)^2 + 2(3a)(-5b) + 2(-5b)(-c) + 2(-c)(3a)$
દરેક પદની ગણતરી કરતા:
$= 9a^2 + 25b^2 + c^2 - 30ab + 10bc - 6ca$

(A) અમે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$.
અહીં,$a = -x$,$b = 2y$,અને $c = -3z$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(-x+2y-3z)^{2} = (-x)^{2} + (2y)^{2} + (-3z)^{2} + 2(-x)(2y) + 2(2y)(-3z) + 2(-3z)(-x)$
$= x^{2} + 4y^{2} + 9z^{2} - 4xy - 12yz + 6xz$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $9 x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2}+12 x y-16 y z-24 x z$.
આને નિત્યસમ $a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a = (a+b+c)^{2}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકાય.
અહીં,$a = 3x$,$b = 2y$,અને $c = -4z$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા:
$9 x^{2}+4 y^{2}+16 z^{2}+12 x y-16 y z-24 x z = (3 x)^{2}+(2 y)^{2}+(-4 z)^{2}+2(3 x)(2 y)+2(2 y)(-4 z)+2(-4 z)(3 x)$.
નિત્યસમ $(a+b+c)^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(3 x+2 y-4 z)^{2}$.
આમ,અવયવીકરણ સ્વરૂપ $(3 x+2 y-4 z)(3 x+2 y-4 z)$ છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $25 x^{2}+16 y^{2}+4 z^{2}-40 x y+16 y z-20 x z$ છે.
આપણે નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2ab+2bc+2ca$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિને નિત્યસમ સાથે સરખાવતા,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$=(-5 x)^{2}+(4 y)^{2}+(2 z)^{2}+2(-5 x)(4 y)+2(4 y)(2 z)+2(2 z)(-5 x)$.
અહીં,$a = -5x$,$b = 4y$,અને $c = 2z$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(-5 x+4 y+2 z)^{2}$ અથવા $(5 x-4 y-2 z)^{2}$ થાય છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $16 x^{2}+4 y^{2}+9 z^{2}-16 x y-12 y z+24 x z$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નિત્યસમ $(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2 a b+2 b c+2 c a$ નો ઉપયોગ કરીને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
અહીં,આપણે પદોનું અવલોકન કરીએ:
$16 x^{2} = (4 x)^{2}$
$4 y^{2} = (-2 y)^{2}$
$9 z^{2} = (3 z)^{2}$
હવે,મધ્યમ પદો તપાસતા:
$2(4 x)(-2 y) = -16 x y$
$2(-2 y)(3 z) = -12 y z$
$2(3 z)(4 x) = 24 x z$
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ બને છે:
$(4 x)^{2}+(-2 y)^{2}+(3 z)^{2}+2(4 x)(-2 y)+2(-2 y)(3 z)+2(3 z)(4 x)$
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(4 x-2 y+3 z)^{2}$
તેથી,અવયવીકરણ સ્વરૂપ $(4 x-2 y+3 z)(4 x-2 y+3 z)$ છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ:
$(a+b+c)^{2} = a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+bc+ca)$
અહીં આપેલ છે કે $a+b+c = 9$ અને $ab+bc+ca = 26$.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(9)^{2} = (a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 2(26)$
$81 = (a^{2}+b^{2}+c^{2}) + 52$
બંને બાજુથી $52$ બાદ કરતા:
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 81 - 52$
$a^{2}+b^{2}+c^{2} = 29$

(A) પદાવલિ $(3a - 2b)^3$ નું વિસ્તરણ કરવા માટે,આપણે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$(x - y)^3 = x^3 - y^3 - 3xy(x - y)$
અહીં,$x = 3a$ અને $y = 2b$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(3a - 2b)^3 = (3a)^3 - (2b)^3 - 3(3a)(2b)(3a - 2b)$
ઘનનું સાદું રૂપ આપતા:
$(3a)^3 = 27a^3$
$(2b)^3 = 8b^3$
હવે,પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$= 27a^3 - 8b^3 - 18ab(3a - 2b)$
$-18ab$ ને કૌંસમાં ગુણતા:
$= 27a^3 - 8b^3 - (18ab \times 3a) + (18ab \times 2b)$
$= 27a^3 - 8b^3 - 54a^2b + 36ab^2$

આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a+b)^{3} = a^{3} + b^{3} + 3ab(a+b)$.
અહીં,$a = \frac{1}{x}$ અને $b = \frac{y}{3}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(\frac{1}{x} + \frac{y}{3}\right)^{3} = \left(\frac{1}{x}\right)^{3} + \left(\frac{y}{3}\right)^{3} + 3 \left(\frac{1}{x}\right) \left(\frac{y}{3}\right) \left(\frac{1}{x} + \frac{y}{3}\right)$
$= \frac{1}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{27} + \frac{y}{x} \left(\frac{1}{x} + \frac{y}{3}\right)$
$= \frac{1}{x^{3}} + \frac{y^{3}}{27} + \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{3x}$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{1}{x^{3}} + \frac{y}{x^{2}} + \frac{y^{2}}{3x} + \frac{y^{3}}{27}$.

(D) અમે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^{3} = a^{3} - b^{3} - 3ab(a-b)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = 4$ અને $b = \frac{1}{3x}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$\left(4-\frac{1}{3 x}\right)^{3} = (4)^{3} - \left(\frac{1}{3 x}\right)^{3} - 3(4)\left(\frac{1}{3 x}\right)\left(4-\frac{1}{3 x}\right)$
$= 64 - \frac{1}{27 x^{3}} - \frac{12}{3 x}\left(4-\frac{1}{3 x}\right)$
$= 64 - \frac{1}{27 x^{3}} - \frac{4}{x}\left(4-\frac{1}{3 x}\right)$
$= 64 - \frac{1}{27 x^{3}} - \frac{16}{x} + \frac{4}{3 x^{2}}$

(A) આપેલ પદાવલિ $1-64 a^{3}-12 a+48 a^{2}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને $1^{3}-(4 a)^{3}-3(1)(4 a)(1-4 a)$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x-y)^{3} = x^{3}-y^{3}-3xy(x-y)$ સાથે બંધ બેસે છે,જ્યાં $x=1$ અને $y=4a$ છે.
તેથી,પદાવલિનું સાદું રૂપ $(1-4 a)^{3}$ થાય છે.
આમ,અવયવીકરણ સ્વરૂપ $(1-4 a)(1-4 a)(1-4 a)$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $8 p^{3}+\frac{12}{5} p^{2}+\frac{6}{25} p+\frac{1}{125}$ છે.
આપણે આ પદાવલિને નિત્યસમ $(a+b)^{3} = a^{3} + 3a^{2}b + 3ab^{2} + b^{3}$ ના સ્વરૂપમાં લખી શકીએ છીએ.
અહીં,$a = 2p$ અને $b = \frac{1}{5}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(2p)^{3} + 3(2p)^{2}(\frac{1}{5}) + 3(2p)(\frac{1}{5})^{2} + (\frac{1}{5})^{3}$
$= 8p^{3} + 3(4p^{2})(\frac{1}{5}) + 3(2p)(\frac{1}{25}) + \frac{1}{125}$
$= 8p^{3} + \frac{12}{5}p^{2} + \frac{6}{25}p + \frac{1}{125}$.
આમ,આ પદાવલિ $(2p + \frac{1}{5})^{3}$ ને સમાન છે,જેને $(2p + \frac{1}{5})(2p + \frac{1}{5})(2p + \frac{1}{5})$ તરીકે લખી શકાય છે.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $(a+b)(a^2-ab+b^2)$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a = \frac{x}{2}$ અને $b = 2y$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a^2-ab+b^2) = a^3+b^3$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{x}{2}+2 y\right)\left\{\left(\frac{x}{2}\right)^{2}-\left(\frac{x}{2}\right)(2 y)+(2 y)^{2}\right\} = \left(\frac{x}{2}\right)^{3}+(2 y)^{3}$
$= \frac{x^3}{8} + 8y^3$

$(X^6-1)$ આપણે બૈજિક નિત્યસમ $(a-b)(a^{2}+ab+b^{2}) = a^{3}-b^{3}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $(x^{2}-1)(x^{4}+x^{2}+1)$
પદાવલિને આ રીતે ફરીથી લખો: $(x^{2}-1)((x^{2})^{2} + (x^{2})(1) + (1)^{2})$
અહીં,$a = x^{2}$ અને $b = 1$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા: $(x^{2})^{3} - (1)^{3}$
$= x^{6} - 1$

(A) આપણી પાસે છે,
$1+64 x^{3} = (1)^{3} + (4 x)^{3}$
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} = (a + b)(a^{2} - ab + b^{2})$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = 1$ અને $b = 4x$ છે:
$= (1 + 4x)((1)^{2} - (1)(4x) + (4x)^{2})$
$= (1 + 4x)(1 - 4x + 16x^{2})$
$= (1 + 4x)(16x^{2} - 4x + 1)$

(A) અમે નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^{3} - b^{3} = (a - b)(a^{2} + ab + b^{2})$.
આપેલ પદાવલિ: $a^{3} - 2\sqrt{2}b^{3}$.
પદાવલિને આ રીતે લખતા: $a^{3} - (\sqrt{2}b)^{3}$.
જ્યાં $x = a$ અને $y = \sqrt{2}b$ લઈને નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= (a - \sqrt{2}b)((a)^{2} + (a)(\sqrt{2}b) + (\sqrt{2}b)^{2})$.
$= (a - \sqrt{2}b)(a^{2} + \sqrt{2}ab + 2b^{2})$.

(D) અહીં આપણે નિત્યસમ: $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) = a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $(2x - y + 3z)((2x)^{2} + (-y)^{2} + (3z)^{2} - (2x)(-y) - (-y)(3z) - (3z)(2x))$.
અહીં,$a = 2x$,$b = -y$,અને $c = 3z$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= (2x)^{3} + (-y)^{3} + (3z)^{3} - 3(2x)(-y)(3z)$
$= 8x^{3} - y^{3} + 27z^{3} - 3(2x)(-y)(3z)$
$= 8x^{3} - y^{3} + 27z^{3} + 18xyz$.

(A) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz = (x+y+z)(x^{2}+y^{2}+z^{2}-xy-yz-zx)$.
આપેલ પદાવલિ: $a^{3}-8b^{3}-64c^{3}-24abc$
આને આ રીતે લખી શકાય: $a^{3}+(-2b)^{3}+(-4c)^{3}-3(a)(-2b)(-4c)$.
અહીં,$x=a$,$y=-2b$,અને $z=-4c$ છે.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા:
$= (a-2b-4c)((a)^{2}+(-2b)^{2}+(-4c)^{2}-(a)(-2b)-(-2b)(-4c)-(-4c)(a))$
$= (a-2b-4c)(a^{2}+4b^{2}+16c^{2}+2ab-8bc+4ca)$.

(A) આપણે નિત્યસમ $x^{3} + y^{3} + z^{3} - 3xyz = (x + y + z)(x^{2} + y^{2} + z^{2} - xy - yz - zx)$ નો ઉપયોગ કરીશું.
આપેલ પદાવલિ: $2 \sqrt{2} a^{3} + 8 b^{3} - 27 c^{3} + 18 \sqrt{2} a b c$
આને આ રીતે લખી શકાય: $(\sqrt{2} a)^{3} + (2 b)^{3} + (-3 c)^{3} - 3(\sqrt{2} a)(2 b)(-3 c)$.
અહીં,$x = \sqrt{2} a$,$y = 2 b$,અને $z = -3 c$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= (\sqrt{2} a + 2 b - 3 c)((\sqrt{2} a)^{2} + (2 b)^{2} + (-3 c)^{2} - (\sqrt{2} a)(2 b) - (2 b)(-3 c) - (-3 c)(\sqrt{2} a))$
$= (\sqrt{2} a + 2 b - 3 c)(2 a^{2} + 4 b^{2} + 9 c^{2} - 2 \sqrt{2} a b + 6 b c + 3 \sqrt{2} c a)$.

(C) ધારો કે $a = \frac{1}{2}$,$b = \frac{1}{3}$,અને $c = -\frac{5}{6}$.
પ્રથમ,સરવાળો $a + b + c$ શોધો:
$a + b + c = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{5}{6} = \frac{3 + 2 - 5}{6} = \frac{0}{6} = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ મુજબ: જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ થાય.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ આપેલ પદાવલિમાં કરતા:
$\left(\frac{1}{2}\right)^{3} + \left(\frac{1}{3}\right)^{3} + \left(-\frac{5}{6}\right)^{3} = 3 \times \left(\frac{1}{2}\right) \times \left(\frac{1}{3}\right) \times \left(-\frac{5}{6}\right)$.
$= 3 \times \frac{1}{6} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = \frac{1}{2} \times \left(-\frac{5}{6}\right) = -\frac{5}{12}$.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3}$.
આને આ રીતે લખી શકાય: $(0.2)^{3} + (-0.3)^{3} + (0.1)^{3}$.
ધારો કે $a = 0.2$,$b = -0.3$ અને $c = 0.1$.
હવે,$a + b + c$ નો સરવાળો શોધો:
$a + b + c = 0.2 + (-0.3) + 0.1 = 0.3 - 0.3 = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ મુજબ: જો $a + b + c = 0$ હોય,તો $a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3abc$ થાય.
$a$,$b$ અને $c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$a^{3} + b^{3} + c^{3} = 3(0.2)(-0.3)(0.1)$.
ગુણાકાર કરતા:
$3 \times 0.2 = 0.6$
$0.6 \times (-0.3) = -0.18$
$-0.18 \times 0.1 = -0.018$.
તેથી,$(0.2)^{3} - (0.3)^{3} + (0.1)^{3} = -0.018$.

(D) ધારો કે $a = x-2y$,$b = 2y-3z$,અને $c = 3z-x$.
તેથી,$a+b+c = (x-2y) + (2y-3z) + (3z-x) = 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે જો $a+b+c = 0$ હોય,તો $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ થાય.
$a, b,$ અને $c$ ની કિંમતો નિત્યસમમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(x-2y)^3 + (2y-3z)^3 + (3z-x)^3 = 3(x-2y)(2y-3z)(3z-x)$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $x^{3}+y^{3}-12xy+64$.
આપણે જાણીએ છીએ કે નિત્યસમ: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
અહીં,ધારો કે $a=x$,$b=y$,અને $c=4$.
તેથી પદાવલિ $x^{3}+y^{3}+4^{3}-3(x)(y)(4) = x^{3}+y^{3}+64-12xy$ બને છે.
નિત્યસમમાં $a+b+c = x+y+4$ મૂકતા:
કારણ કે $x+y = -4$,તેથી $x+y+4 = -4+4 = 0$.
આમ,$x^{3}+y^{3}-12xy+64 = (0)(x^{2}+y^{2}+16-xy-4y-4x) = 0$.

(C) આપેલ પદાવલિ $x^{3}-8 y^{3}-36 x y-216$ છે.
આને આપણે $x^{3} + (-2y)^{3} + (-6)^{3} - 3(x)(-2y)(-6)$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3} + b^{3} + c^{3} - 3abc = (a+b+c)(a^{2} + b^{2} + c^{2} - ab - bc - ca)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=x$,$b=-2y$,અને $c=-6$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $(x - 2y - 6)(x^{2} + 4y^{2} + 36 + 2xy - 12y + 6x)$.
આપણને આપેલ છે કે $x = 2y + 6$,તેથી $x - 2y - 6 = 0$ થાય.
તેથી,આખી પદાવલિ $0 \times (x^{2} + 4y^{2} + 36 + 2xy - 12y + 6x) = 0$ થશે.

(A) લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ બહુપદી $4 a^{2}+4 a-3$ દ્વારા આપવામાં આવ્યું છે.
લંબાઈ અને પહોળાઈ શોધવા માટે,આપણે મધ્યમ પદને વિભાજિત કરીને દ્વિઘાત પદાવલિના અવયવો પાડીશું.
આપણે એવી બે સંખ્યાઓ જોઈએ છે જેનો સરવાળો $+4$ થાય અને જેનો ગુણાકાર $4 \times (-3) = -12$ થાય.
આ બે સંખ્યાઓ $+6$ અને $-2$ છે,કારણ કે $6 + (-2) = 4$ અને $6 \times (-2) = -12$.
મધ્યમ પદ $4 a$ ને $6 a - 2 a$ તરીકે વિભાજિત કરતા,આપણને મળે છે:
$4 a^{2} + 6 a - 2 a - 3$
પદોના જૂથ બનાવતા:
$= 2 a(2 a + 3) - 1(2 a + 3)$
સામાન્ય દ્વિપદી $(2 a + 3)$ ને સામાન્ય કાઢતા:
$= (2 a - 1)(2 a + 3)$
લંબચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\text{લંબાઈ} \times \text{પહોળાઈ}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,પરિમાણો માટેની શક્ય પદાવલિઓ નીચે મુજબ છે:
લંબાઈ $= (2 a - 1)$ અને પહોળાઈ $= (2 a + 3)$ અથવા લંબાઈ $= (2 a + 3)$ અને પહોળાઈ $= (2 a - 1)$.

(A) આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીશું: $x^{3}+y^{3} = (x+y)^{3} - 3xy(x+y)$.
અહીં $x+y = 12$ અને $xy = 27$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$x^{3}+y^{3} = (12)^{3} - 3(27)(12)$.
ગણતરી સરળ બનાવવા માટે $12$ સામાન્ય લેતા:
$x^{3}+y^{3} = 12(12^{2} - 3 \times 27)$.
$x^{3}+y^{3} = 12(144 - 81)$.
$x^{3}+y^{3} = 12(63)$.
$x^{3}+y^{3} = 756$.

(B) ધારો કે $p(z) = az^{3} + 4z^{2} + 3z - 4$ અને $q(z) = z^{3} - 4z + a$ છે.
શેષ પ્રમેય મુજબ,જ્યારે કોઈ બહુપદી $f(z)$ ને $(z - c)$ વડે ભાગવામાં આવે,ત્યારે શેષ $f(c)$ મળે છે.
અહીં બંને બહુપદીઓને $z - 3$ વડે ભાગતા સમાન શેષ મળે છે,તેથી $p(3) = q(3)$ થશે.
પ્રથમ,$p(3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$p(3) = a(3)^{3} + 4(3)^{2} + 3(3) - 4$
$p(3) = 27a + 36 + 9 - 4 = 27a + 41$.
હવે,$q(3)$ ની ગણતરી કરીએ:
$q(3) = (3)^{3} - 4(3) + a$
$q(3) = 27 - 12 + a = 15 + a$.
બંને શેષને સરખાવતા:
$27a + 41 = 15 + a$
$27a - a = 15 - 41$
$26a = -26$
$a = -1$.
આમ,$a$ ની કિંમત $-1$ છે.

(C) શેષ પ્રમેય મુજબ,જો બહુપદી $p(x)$ ને $(x - c)$ વડે ભાગવામાં આવે,તો શેષ $p(c)$ મળે છે.
આપેલ છે કે $p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - ax + 3a - 7$ ને $x + 1$ વડે ભાગતા શેષ $p(-1) = 19$ મળે છે.
$p(x)$ માં $x = -1$ મૂકતા:
$p(-1) = (-1)^{4} - 2(-1)^{3} + 3(-1)^{2} - a(-1) + 3a - 7 = 19$
$1 - 2(-1) + 3(1) + a + 3a - 7 = 19$
$1 + 2 + 3 + 4a - 7 = 19$
$4a - 1 = 19$
$4a = 20$
$a = 5$
હવે,જ્યારે $p(x)$ ને $x + 2$ વડે ભાગવામાં આવે ત્યારે શેષ $p(-2)$ મળે,જ્યાં $a = 5$ છે:
$p(x) = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 3(5) - 7 = x^{4} - 2x^{3} + 3x^{2} - 5x + 8$
$p(-2) = (-2)^{4} - 2(-2)^{3} + 3(-2)^{2} - 5(-2) + 8$
$p(-2) = 16 - 2(-8) + 3(4) + 10 + 8$
$p(-2) = 16 + 16 + 12 + 10 + 8 = 62$.

(A) ધારો કે $f(x) = p x^{2} + 5 x + r$.
કારણ કે $(x-2)$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$f(2) = 0$.
$p(2)^{2} + 5(2) + r = 0$
$4p + 10 + r = 0$
$4p + r = -10$ --- $(1)$
કારણ કે $(x - \frac{1}{2})$ એ $f(x)$ નો અવયવ છે,અવયવ પ્રમેય મુજબ,$f(\frac{1}{2}) = 0$.
$p(\frac{1}{2})^{2} + 5(\frac{1}{2}) + r = 0$
$\frac{1}{4}p + \frac{5}{2} + r = 0$
આખા સમીકરણને $4$ વડે ગુણતા:
$p + 10 + 4r = 0$
$p + 4r = -10$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ અને $(2)$ ની સરખામણી કરતા,બંને $-10$ ની બરાબર હોવાથી:
$4p + r = p + 4r$
$4p - p = 4r - r$
$3p = 3r$
$p = r$
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = 2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ અને $g(x) = x^2 - 3x + 2$.
પ્રથમ,ભાજક $g(x)$ ના અવયવો પાડો:
$g(x) = x^2 - 3x + 2 = x^2 - x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)$.
અવયવ પ્રમેય મુજબ,જો $p(x)$ એ $g(x)$ વડે વિભાજ્ય હોય,તો તે $(x - 1)$ અને $(x - 2)$ બંને વડે વિભાજ્ય હોવું જોઈએ.
$(x - 1)$ માટે ચકાસો:
$p(1) = 2(1)^4 - 5(1)^3 + 2(1)^2 - 1 + 2 = 2 - 5 + 2 - 1 + 2 = 0$.
$p(1) = 0$ હોવાથી,$(x - 1)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
$(x - 2)$ માટે ચકાસો:
$p(2) = 2(2)^4 - 5(2)^3 + 2(2)^2 - 2 + 2 = 2(16) - 5(8) + 2(4) - 2 + 2 = 32 - 40 + 8 = 0$.
$p(2) = 0$ હોવાથી,$(x - 2)$ એ $p(x)$ નો અવયવ છે.
આમ,$(x - 1)$ અને $(x - 2)$ બંને $p(x)$ ના અવયવો હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $(x - 1)(x - 2) = x^2 - 3x + 2$ પણ $p(x)$ નો અવયવ થાય.
તેથી,$2x^4 - 5x^3 + 2x^2 - x + 2$ એ $x^2 - 3x + 2$ વડે વિભાજ્ય છે.

(A) અહીં આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})$ નો ઉપયોગ કરીશું.
ધારો કે $a = (2x - 5y)$ અને $b = (2x + 5y)$.
તેથી,$a - b = (2x - 5y) - (2x + 5y) = 2x - 5y - 2x - 5y = -10y$.
હવે,$a^{2} + ab + b^{2}$ ની ગણતરી કરીએ:
$a^{2} = (2x - 5y)^{2} = 4x^{2} + 25y^{2} - 20xy$
$b^{2} = (2x + 5y)^{2} = 4x^{2} + 25y^{2} + 20xy$
$ab = (2x - 5y)(2x + 5y) = 4x^{2} - 25y^{2}$
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા: $(4x^{2} + 25y^{2} - 20xy) + (4x^{2} - 25y^{2}) + (4x^{2} + 25y^{2} + 20xy) = 12x^{2} + 25y^{2}$.
અંતે,$(a - b)$ અને $(a^{2} + ab + b^{2})$ નો ગુણાકાર કરતા:
$(-10y)(12x^{2} + 25y^{2}) = -120x^{2}y - 250y^{3}$.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $(-z+x-2 y)(x^{2}+4 y^{2}+z^{2}+2 x y+x z-2 y z)$.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $(x-2 y-z)(x^{2}+(-2 y)^{2}+(-z)^{2}-(x)(-2 y)-(-2 y)(-z)-(x)(-z))$.
આ પદાવલિ $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $a=x$,$b=-2 y$,અને $c=-z$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca) = a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$= (x)^{3} + (-2 y)^{3} + (-z)^{3} - 3(x)(-2 y)(-z)$.
$= x^{3} - 8 y^{3} - z^{3} - 6 x y z$.

(N/A) આપેલ છે કે $a, b, c$ શૂન્યતર છે અને $a+b+c=0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ: $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = (a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-bc-ca)$.
કારણ કે $a+b+c=0$,તેથી જમણી બાજુ $0$ થાય છે,એટલે કે $a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc = 0$,જેનો અર્થ છે કે $a^{3}+b^{3}+c^{3}=3abc$.
હવે,પદાવલિ $\frac{a^{2}}{bc} + \frac{b^{2}}{ca} + \frac{c^{2}}{ab}$ ને ધ્યાનમાં લો.
છેદ $bc, ca, ab$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $abc$ લેતા,આપણને મળે છે:
$\frac{a^{2}(a) + b^{2}(b) + c^{2}(c)}{abc} = \frac{a^{3}+b^{3}+c^{3}}{abc}$.
$a^{3}+b^{3}+c^{3} = 3abc$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3abc}{abc} = 3$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $3$ થાય છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે બીજગણિતીય નિત્યસમ:
$a^3+b^3+c^3-3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)$
$= (a+b+c)[a^2+b^2+c^2-(ab+bc+ca)]$
આપેલ છે કે $a+b+c=5$ અને $ab+bc+ca=10$,આ કિંમતો મૂકતા:
$= 5[a^2+b^2+c^2-10]$
હવે,નિત્યસમ $(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ નો ઉપયોગ કરીને $a^2+b^2+c^2$ શોધીએ:
$(5)^2 = a^2+b^2+c^2+2(10)$
$25 = a^2+b^2+c^2+20$
$a^2+b^2+c^2 = 25-20 = 5$
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા:
$a^3+b^3+c^3-3abc = 5(5-10) = 5(-5) = -25$.
આમ,સાબિત થાય છે.

(N/A) આપણે જાણીએ છીએ કે $(a+b+c)^3$ નું વિસ્તરણ નીચે મુજબ છે:
$(a+b+c)^3 = a^3 + b^3 + c^3 + 3(a+b)(b+c)(c+a)$
વૈકલ્પિક રીતે,આપણે તેને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ વિસ્તૃત કરી શકીએ છીએ:
$(a+b+c)^3 = [(a+b)+c]^3$
$= (a+b)^3 + 3(a+b)^2c + 3(a+b)c^2 + c^3$
$= (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) + 3(a^2 + 2ab + b^2)c + 3ac^2 + 3bc^2 + c^3$
$= a^3 + b^3 + c^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
હવે,બંને બાજુથી $(a^3 + b^3 + c^3)$ બાદ કરતા:
$(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3a^2b + 3ab^2 + 3a^2c + 6abc + 3b^2c + 3ac^2 + 3bc^2$
જમણી બાજુથી $3$ સામાન્ય લેતા:
$= 3[a^2b + ab^2 + a^2c + 2abc + b^2c + ac^2 + bc^2]$
આ પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$= 3(a+b)(b+c)(c+a)$
આમ,સાબિત થાય છે કે $(a+b+c)^3 - a^3 - b^3 - c^3 = 3(a+b)(b+c)(c+a)$.

(A) આપેલી પદાવલિ $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ છે.
$1$. બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય છે.
$2$. પદાવલિ $\pi x^{2}-\sqrt{3} x+11$ માં,ચલ $x$ ના ઘાતાંક $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $11 = 11x^{0}$).
$3$. અહીં બધા ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવાથી,આ પદાવલિ એક બહુપદી છે.
$4$. આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(D) આપેલી પદાવલિ $x^{2} + x - 3 + \frac{4}{x}$ છે.
આપણે પદ $\frac{4}{x}$ ને $4x^{-1}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આમ,પદાવલિ $x^{2} + x - 3 + 4x^{-1}$ બને છે.
બહુપદીની વ્યાખ્યા મુજબ,બહુપદી એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (non-negative integer) હોય છે.
આ પદાવલિમાં,$4x^{-1}$ પદમાં $x$ નો ઘાતાંક $-1$ છે,જે ઋણ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,આપેલી પદાવલિ બહુપદી નથી.

(D) આપેલી પદાવલિ $5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ છે.
કોઈ પદાવલિ બહુપદી છે કે નહીં તે નક્કી કરવા માટે,ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ.
આપેલી પદાવલિમાં,પદ $3 \sqrt{x}$ ને $3 x^{\frac{1}{2}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં,$x$ નો ઘાતાંક $\frac{1}{2}$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક નથી.
તેથી,$5 x^{2}-7 x+3 \sqrt{x}$ એ બહુપદી નથી.

(N/A) આપેલી પદાવલિ $x^{3}+y^{3}+z^{3}-3xyz$ એ એક બહુપદી છે કારણ કે તેના દરેક પદમાં ચલનો ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) છે.
જોકે,આ પદાવલિમાં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ $x$,$y$ અને $z$ નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,તે બહુપદી છે,પરંતુ તે એક ચલવાળી બહુપદી નથી.