Mix Examples - Polynomials Questions in Gujarati

(D) આપેલી પદાવલિ $x^{2}+2xy+y^{2}$ છે.
$1$. બહુપદી એ એક એવી બૈજિક પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (પૂર્ણ સંખ્યા) હોય છે.
$2$. આપેલી પદાવલિમાં,$x$ અને $y$ ના ઘાતાંક $2, 1$ અને $0$ છે,જે તમામ પૂર્ણ સંખ્યાઓ છે. તેથી,તે એક બહુપદી છે.
$3$. જોકે,આ પદાવલિમાં બે અલગ-અલગ ચલ $x$ અને $y$ નો સમાવેશ થાય છે.
$4$. તેમાં એક કરતા વધારે ચલ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી નથી.

(A) આપેલી પદાવલિ $x^{2}-8x+15$ છે.
આ પદાવલિમાં ચલ $x$ છે.
પદો $x^{2}$,$-8x^{1}$ અને $15x^{0}$ માં $x$ ના ઘાતાંકો અનુક્રમે $2, 1$ અને $0$ છે.
આ તમામ ઘાતાંકો અનૃણ પૂર્ણાંક હોવાથી,આ પદાવલિ એક બહુપદી છે.
વધુમાં,આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(A) આપેલ બહુપદી $5-7 x-3 x^{2}$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતું પદ જોઈએ,જે $-3 x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $-3$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $-3$ છે.

(A) આપેલી બહુપદી $\sqrt{3} x^{2}+11$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતા પદને જોઈએ છીએ.
$\sqrt{3} x^{2}+11$ પદાવલિમાં,$x^{2}$ વાળું પદ $\sqrt{3} x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલો સંખ્યાત્મક અવયવ $\sqrt{3}$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $\sqrt{3}$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $\pi x^{2}-\frac{22}{7} x+3.14$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ વાળું પદ જોઈએ,જે $\pi x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $\pi$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $\pi$ છે.

(0) બહુપદી $7 x^{3}-11 x+24$ માં,$x^{2}$ વાળું પદ હાજર નથી.
આને $7 x^{3} + 0x^{2} - 11 x + 24$ તરીકે લખી શકાય છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(3) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $7 x^{3}-9 x^{2}+4 x-22$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $3, 2, 1$ અને $0$ (અચળ પદ માટે) છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $3$ છે.

(0) અચળ બહુપદી એ $0$ ઘાત ધરાવતી બહુપદી છે.
કારણ કે $5$ ને $5 \times x^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે,તેથી ચલ $x$ નો ઘાતાંક $0$ છે.
તેથી,અચળ બહુપદી $5$ ની ઘાત $0$ છે.

(2) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $11-2 y^{2}$ માં,ચલ $y$ છે.
પદ $11$ ને $11y^{0}$ તરીકે લખી શકાય છે,અને પદ $-2y^{2}$ માં ઘાત $2$ છે.
ઘાત $0$ અને $2$ ની સરખામણી કરતા,સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદી $11-2 y^{2}$ ની ઘાત $2$ છે.

(1) આપેલી બહુપદી $p(t) = \sqrt{11} t + 14$ છે.
બહુપદીમાં,ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાતાંક.
અહીં,ચલ $t$ છે અને તેની ઘાતાંક $1$ છે.
તેથી,બહુપદી $\sqrt{11} t + 14$ ની ઘાત $1$ છે.

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
બહુપદી $5t + 3$ માટે,ચલ $t$ છે અને તેની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
$1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$5t + 3$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે પદાવલિમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $x^{2}-9x+14$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$x^{2}-9x+14$ એ એક દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે તેમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
બહુપદી $8x^{3} - 343$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
બહુપદીની ઘાત $3$ હોવાથી,તેને ત્રિઘાત બહુપદી તરીકે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.

(A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}-15x+50$ છે.
$1$. બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય છે.
$2$. પદાવલિ $x^{2}-15x+50$ માં,ચલ $x$ છે. $x$ ના ઘાતાંક $2$ અને $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંકો છે.
$3$. તેથી,આ એક બહુપદી છે.
$4$. કારણ કે આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ છે,તેથી તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(N/A) પદાવલિ $x^{3}+3 x^{2} y+3 x y^{2}+y^{3}$ એ બહુપદી છે કારણ કે ચલ $x$ અને $y$ ના તમામ ઘાતાંકો અનૃણ પૂર્ણાંકો છે. તેમાં બે અલગ-અલગ ચલ $x$ અને $y$ હોવાથી,તે બે ચલવાળી બહુપદી છે,એક ચલવાળી બહુપદી નથી.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $x^{2}+y^{2}+z^{2}+2xy+2yz+2zx$ એ બહુપદી છે,કારણ કે તેમાં રહેલા ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક છે અને સહગુણકો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે. આ પદાવલિમાં ત્રણ અલગ-અલગ ચલ $(x, y, z)$ હોવાથી,તે ત્રણ ચલવાળી બહુપદી છે,એક ચલવાળી બહુપદી નથી.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $5x^2 + 11x - 2\sqrt{x}$ છે.
પદ $-2\sqrt{x}$ માં,$x$ નો ઘાતાંક $1/2$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક નથી.
બહુપદી માટે ચલના ઘાતાંક હંમેશા અનૃણ પૂર્ણાંક હોવા જોઈએ,તેથી આ પદાવલિ બહુપદી નથી.

(N/A) આપેલ પદાવલિ $3x^2 + 5x - 7 + \frac{8}{x}$ છે.
આને $3x^2 + 5x - 7 + 8x^{-1}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
બહુપદી એ એવી બીજગણિતીય પદાવલિ છે જેમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક (non-negative integers) હોય છે.
આ પદાવલિમાં,$8x^{-1}$ પદનો ઘાતાંક $-1$ છે,જે ઋણ પૂર્ણાંક છે.
તેથી,આ પદાવલિ બહુપદી નથી.

(A) જો પદાવલિમાં ચલના ઘાતાંક અનૃણ પૂર્ણાંક હોય,તો તે પદાવલિને બહુપદી કહેવાય છે. પદાવલિ $\sqrt{3} x^{2}+\pi x-9$ માં,ચલ $x$ છે. $x$ ના ઘાતાંક $2$ અને $1$ છે,જે અનૃણ પૂર્ણાંક છે. તેથી,તે એક બહુપદી છે. આ પદાવલિમાં માત્ર એક જ ચલ $x$ હોવાથી,તે એક ચલવાળી બહુપદી છે.

(B) આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{3} + 27$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે બહુપદીને $p(x) = 1 \cdot x^{3} + 0 \cdot x^{2} + 0 \cdot x + 27$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આને પ્રમાણિત સ્વરૂપ સાથે સરખાવતા,$x^{2}$ વાળું પદ $0 \cdot x^{2}$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $0$ છે.

(C) આપેલી બહુપદી $4+7x+3x^{2}$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ ધરાવતું પદ જોઈએ છીએ.
$4+7x+3x^{2}$ પદાવલિમાં,$x^{2}$ વાળું પદ $3x^{2}$ છે.
સહગુણક એ ચલ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $3$ છે.

(N/A) આપેલી બહુપદી $p(x) = \sqrt{5}x^{2} - 7x + 13$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક એ $x^{2}$ પદ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ છે.
આ પદાવલિમાં,$x^{2}$ ધરાવતું પદ $\sqrt{5}x^{2}$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $\sqrt{5}$ છે.

(A) આપેલ બહુપદી $3x^{3} - 8x^{2} + 14x - 5$ છે.
$x^{2}$ નો સહગુણક શોધવા માટે,આપણે $x^{2}$ વાળું પદ જોઈએ,જે $-8x^{2}$ છે.
$x^{2}$ સાથે ગુણાયેલ સંખ્યાત્મક અવયવ $-8$ છે.
તેથી,$x^{2}$ નો સહગુણક $-8$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{50} - 1$ માં,ચલ $x$ છે.
અહીં $x$ ની ઘાત $50$ (જે $x^{50}$ માં છે) અને $0$ (કારણ કે $1 = 1 \cdot x^0$) છે.
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી ઘાત $50$ છે.
તેથી,બહુપદી $x^{50} - 1$ ની ઘાત $50$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $8x^{5} + 3x^{2} - 4x + 7$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $5, 2, 1$ અને $0$ છે (કારણ કે $7 = 7x^{0}$).
આ ઘાતાંકોમાં સૌથી મોટી સંખ્યા $5$ છે.
તેથી,આ બહુપદીની ઘાત $5$ છે.

(D) આપેલી બહુપદી $p(x) = x^{3} - 3(x^{2})^{4} - 15$ છે.
સૌ પ્રથમ,ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને પદ $(x^{2})^{4}$ ને સરળ બનાવો.
$(x^{2})^{4} = x^{2 \times 4} = x^{8}$.
આ કિંમતને બહુપદીમાં મૂકતા,આપણને $p(x) = x^{3} - 3x^{8} - 15$ મળે છે.
બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
પદાવલિ $x^{3} - 3x^{8} - 15$ માં,$x$ ની ઘાત $3$,$8$ અને $0$ છે (કારણ કે $15 = 15x^{0}$).
સૌથી મોટી ઘાત $8$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $8$ છે.

(A) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $5x^{2} + 12x + 4$ માં,ચલ $x$ ની ઘાત $2$,$1$ અને $0$ છે (કારણ કે $4 = 4x^{0}$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
તેથી,બહુપદી $5x^{2} + 12x + 4$ ની ઘાત $2$ છે.

(B) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $ax^3 + bx^2 + cx + d$ માં ચલ $x$ છે.
પદોમાં $x$ ની ઘાત $3, 2, 1$ અને $0$ છે (કારણ કે $d = dx^0$).
આમાં સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
તેથી,બહુપદીની ઘાત $3$ છે.

(C) બહુપદીની ઘાત એટલે બહુપદીમાં રહેલા ચલની સૌથી મોટી ઘાત.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{8} - 6561$ માં,ચલ $x$ છે.
ચલ $x$ નો સૌથી મોટો ઘાતાંક $8$ છે.
તેથી,બહુપદી $x^{8} - 6561$ ની ઘાત $8$ છે.

(C) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેની ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3} + 5x^{2} + 12$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$x^{3} + 5x^{2} + 12$ એ ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(B) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેના ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $4x^{2} - 49$ માટે,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
$2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$4x^{2} - 49$ એ દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(A) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેના ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
$1$. આપેલી પદાવલિ $5 - 3t$ છે.
$2$. આ પદાવલિમાં ચલ $t$ છે.
$3$. ચલ $t$ ની મહત્તમ ઘાત $1$ છે.
$4$. $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$5 - 3t$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(A) બહુપદીને તેની ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $4y + 11$ માટે,ચલ $y$ છે અને તેની સૌથી મોટી ઘાત $1$ છે.
$1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,$4y + 11$ એ સુરેખ બહુપદી છે.

(C) બહુપદીનું વર્ગીકરણ તેના ઘાત (ચલની મહત્તમ ઘાત) ના આધારે કરવામાં આવે છે.
આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{3}+2x^{2}+3x+2$ માટે,ચલ $x$ ની મહત્તમ ઘાત $3$ છે.
$3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
તેથી,આપેલ પદાવલિ એક ત્રિઘાત બહુપદી છે.

(B) બહુપદીને તેની ઘાત (ચલની સૌથી મોટી ઘાત) ના આધારે વર્ગીકૃત કરવામાં આવે છે.
$1$. $1$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને સુરેખ બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$2$. $2$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને દ્વિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
$3$. $3$ ઘાત ધરાવતી બહુપદીને ત્રિઘાત બહુપદી કહેવામાં આવે છે.
આપેલ પદાવલિ $35x^{2} - 16x - 12$ માં,ચલ $x$ ની સૌથી મોટી ઘાત $2$ છે.
બહુપદીની ઘાત $2$ હોવાથી,તે દ્વિઘાત બહુપદી છે.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x) = x^{2} + 5x - 24$ છે.
$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $3$ મૂકીશું:
$p(3) = (3)^{2} + 5(3) - 24$
$= 9 + 15 - 24$
$= 24 - 24$
$= 0$
તેથી,$x = 3$ આગળ $p(x)$ ની કિંમત $0$ છે.

(N/A) $q(y) = 5y^3 - 4y^2 + 14y - \sqrt{3}$
$y$ ની જગ્યાએ $2$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$q(2) = 5(2)^3 - 4(2)^2 + 14(2) - \sqrt{3}$
$= 5(8) - 4(4) + 28 - \sqrt{3}$
$= 40 - 16 + 28 - \sqrt{3}$
$= 24 + 28 - \sqrt{3}$
$= 52 - \sqrt{3}$
તેથી,$y = 2$ આગળ $q(y)$ નું મૂલ્ય $52 - \sqrt{3}$ છે.

(N/A) આપેલ બહુપદી $p(t) = 5t^{2} - 11t + 7$ છે.
$t = a$ આગળ બહુપદીની કિંમત શોધવા માટે,આપેલ પદાવલિમાં $t$ ની જગ્યાએ $a$ મૂકો.
$p(a) = 5(a)^{2} - 11(a) + 7$
$p(a) = 5a^{2} - 11a + 7$
તેથી,$t = a$ આગળ બહુપદી $p(t)$ ની કિંમત $5a^{2} - 11a + 7$ છે.

(N/A) ધારો કે $p(x) = x^{2}-x-6$.
$x = 3$ માટે:
$p(3) = (3)^{2} - 3 - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$.
અહીં $p(3) = 0$ હોવાથી,$3$ એ બહુપદી $x^{2}-x-6$ નું શૂન્ય છે.
$x = 5$ માટે:
$p(5) = (5)^{2} - 5 - 6 = 25 - 5 - 6 = 14$.
અહીં $p(5) \neq 0$ હોવાથી,$5$ એ બહુપદી $x^{2}-x-6$ નું શૂન્ય નથી.

(B) આપેલ બહુપદી $p(x)=5 x-8$ છે.
બહુપદીનું શૂન્ય શોધવા માટે,આપણે $p(x)=0$ લઈએ છીએ.
તેથી,$5 x-8=0$.
બંને બાજુ $8$ ઉમેરતા,આપણને $5 x=8$ મળે છે.
બંને બાજુ $5$ વડે ભાગતા,આપણને $x=\frac{8}{5}$ મળે છે.
આમ,બહુપદી $p(x)=5 x-8$ નું શૂન્ય $\frac{8}{5}$ છે.

(C) $x=1$ આગળ બહુપદી $p(x) = x^{2}-7x+12$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $1$ મૂકીશું.
$p(1) = (1)^{2} - 7(1) + 12$
$p(1) = 1 - 7 + 12$
$p(1) = -6 + 12$
$p(1) = 6$
આમ,$x=1$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $6$ છે.

(D) ધારો કે બહુપદી $p(x) = x^{2}-7x+12$ છે.
$x=-2$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય શોધવા માટે,પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $-2$ મૂકો:
$p(-2) = (-2)^{2} - 7(-2) + 12$
$p(-2) = 4 + 14 + 12$
$p(-2) = 30$.
આમ,$x=-2$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $30$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 7x + 12$ ની કિંમત $x = 3$ આગળ શોધવા માટે,આપણે અભિવ્યક્તિમાં $x$ ની જગ્યાએ $3$ મૂકીશું:
$p(3) = (3)^{2} - 7(3) + 12$
$p(3) = 9 - 21 + 12$
$p(3) = 21 - 21$
$p(3) = 0$
તેથી,$x = 3$ આગળ બહુપદીની કિંમત $0$ છે.

(B) $x=4$ આગળ બહુપદી $p(x) = x^{2}-7x+12$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે પદાવલિમાં $x$ ની જગ્યાએ $4$ મૂકીશું.
$p(4) = (4)^{2} - 7(4) + 12$
$p(4) = 16 - 28 + 12$
$p(4) = 28 - 28$
$p(4) = 0$
તેથી,$x=4$ આગળ બહુપદીનું મૂલ્ય $0$ છે.

(A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 7x + 12$ માં $x = \frac{1}{2}$ મૂકતા:
$p(\frac{1}{2}) = (\frac{1}{2})^{2} - 7(\frac{1}{2}) + 12$
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{7}{2} + 12$
છેદ સમાન કરતા (લસાઅ $4$ લેતા):
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1}{4} - \frac{14}{4} + \frac{48}{4}$
$p(\frac{1}{2}) = \frac{1 - 14 + 48}{4}$
$p(\frac{1}{2}) = \frac{35}{4}$
મિશ્ર સંખ્યામાં ફેરવતા:
$\frac{35}{4} = 8 \frac{3}{4}$

કિંમતો શોધવા માટે,આપણે $x = 1$,$x = 2$ અને $x = 4$ ને બહુપદી $p(x) = x^{3} - 7x^{2} + 14x - 8$ માં મૂકીશું.
$1$. $p(1)$ માટે:
$p(1) = (1)^{3} - 7(1)^{2} + 14(1) - 8 = 1 - 7 + 14 - 8 = 0$.
$2$. $p(2)$ માટે:
$p(2) = (2)^{3} - 7(2)^{2} + 14(2) - 8 = 8 - 7(4) + 28 - 8 = 8 - 28 + 28 - 8 = 0$.
$3$. $p(4)$ માટે:
$p(4) = (4)^{3} - 7(4)^{2} + 14(4) - 8 = 64 - 7(16) + 56 - 8 = 64 - 112 + 56 - 8 = 0$.
આમ,$p(1) = 0$,$p(2) = 0$ અને $p(4) = 0$ છે.

(N/A) બહુપદી $p(y) = y^{2} - 5y + 4$ ની આપેલા બિંદુઓ પર કિંમત શોધવા માટે,આપણે $y$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકીશું:
$1$. $y = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{2} - 5(1) + 4 = 1 - 5 + 4 = 0$.
$2$. $y = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{2} - 5(2) + 4 = 4 - 10 + 4 = -2$.
$3$. $y = 4$ માટે: $p(4) = (4)^{2} - 5(4) + 4 = 16 - 20 + 4 = 0$.
આમ,કિંમતો $p(1) = 0$,$p(2) = -2$ અને $p(4) = 0$ છે.

(N/A) કિંમતો શોધવા માટે,$t$ ની આપેલી કિંમતોને બહુપદી $p(t) = t^{2} - 6t + 8$ માં મૂકો.
$t = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{2} - 6(1) + 8 = 1 - 6 + 8 = 3$.
$t = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{2} - 6(2) + 8 = 4 - 12 + 8 = 0$.
$t = 4$ માટે: $p(4) = (4)^{2} - 6(4) + 8 = 16 - 24 + 8 = 0$.

(N/A) બહુપદી $p(x) = x^{2} - 3x + 2$ ની કિંમતો $x = 1, 2, 4$ માટે શોધવા માટે,આપણે આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકીશું:
$1$. $x = 1$ માટે: $p(1) = (1)^{2} - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.
$2$. $x = 2$ માટે: $p(2) = (2)^{2} - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.
$3$. $x = 4$ માટે: $p(4) = (4)^{2} - 3(4) + 2 = 16 - 12 + 2 = 6$.
આમ,કિંમતો $p(1) = 0$,$p(2) = 0$ અને $p(4) = 6$ છે.

કિંમતો શોધવા માટે,$x$ ની આપેલી કિંમતોને બહુપદી $p(x) = x^3 + 9x^2 + 23x + 15$ માં મૂકો:
$1$. $x = 1$ માટે:
$p(1) = (1)^3 + 9(1)^2 + 23(1) + 15 = 1 + 9 + 23 + 15 = 48$.
$2$. $x = 2$ માટે:
$p(2) = (2)^3 + 9(2)^2 + 23(2) + 15 = 8 + 9(4) + 46 + 15 = 8 + 36 + 46 + 15 = 105$.
$3$. $x = 4$ માટે:
$p(4) = (4)^3 + 9(4)^2 + 23(4) + 15 = 64 + 9(16) + 92 + 15 = 64 + 144 + 92 + 15 = 315$.