Mix Examples - Number Systems Questions in Gujarati

(A) $625^{\frac{3}{4}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $625$ ને $5$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
કારણ કે $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 625$,તેથી આપણે $625 = 5^{4}$ લખી શકીએ.
હવે,આને પદાવલિમાં મૂકતા: $625^{\frac{3}{4}} = (5^{4})^{\frac{3}{4}}$.
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $5^{4 \times \frac{3}{4}}$ મળે છે.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$4 \times \frac{3}{4} = 3$.
તેથી,પદાવલિ $5^{3}$ બને છે.
$5^{3} = 5 \times 5 \times 5 = 125$ ની ગણતરી કરતા જવાબ $125$ મળે છે.

(B) $64^{\frac{5}{6}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,સૌ પ્રથમ $64$ ને $2$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{6}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$64^{\frac{5}{6}} = (2^{6})^{\frac{5}{6}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઘાતાંકોનો ગુણાકાર કરીએ છીએ:
$2^{6 \times \frac{5}{6}} = 2^{5}$.
અંતે,$2^{5}$ ની ગણતરી કરતા:
$2^{5} = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32$.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\left(\frac{125}{64}\right)^{-\frac{2}{3}}$
સૌ પ્રથમ,ઋણ ઘાતાંક દૂર કરવા માટે $(a/b)^{-n} = (b/a)^n$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ:
$\left(\frac{64}{125}\right)^{\frac{2}{3}}$
ત્યારબાદ,$64$ ને $4^3$ અને $125$ ને $5^3$ તરીકે દર્શાવીએ:
$\left(\frac{4^3}{5^3}\right)^{\frac{2}{3}} = \left(\left(\frac{4}{5}\right)^3\right)^{\frac{2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(x^a)^b = x^{a \cdot b}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\left(\frac{4}{5}\right)^{3 \cdot \frac{2}{3}} = \left(\frac{4}{5}\right)^2$
અંતે,વર્ગની ગણતરી કરતા:
$\frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

(A) આપેલ પદ: $(343)^{-\frac{2}{3}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $343 = 7^3$.
આ કિંમત પદમાં મૂકતા: $(7^3)^{-\frac{2}{3}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $7^{3 \times (-\frac{2}{3})}$
$= 7^{-2}$
$= \frac{1}{7^2}$
$= \frac{1}{49}$

(A) આપેલ પદાવલિ: $(625)^{-\frac{3}{4}}$
આપણે જાણીએ છીએ કે $625 = 5^4$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $(5^4)^{-\frac{3}{4}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $5^{4 \times (-\frac{3}{4})}$
$= 5^{-3}$
$= \frac{1}{5^3}$
$= \frac{1}{125}$

(A) આપેલ પદાવલિ $\sqrt[5]{(243)^{-3}}$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $243 = 3^5$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt[5]{(3^5)^{-3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(3^5)^{-3} = 3^{-15}$ મળે છે.
હવે,પદાવલિ $\sqrt[5]{3^{-15}}$ બને છે.
કરણીના નિયમ $\sqrt[n]{x} = x^{1/n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(3^{-15})^{1/5} = 3^{-15 \times 1/5} = 3^{-3}$ મળે છે.
$3^{-3} = \frac{1}{3^3} = \frac{1}{27}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{(25)^{\frac{3}{2}} \times (243)^{\frac{3}{5}}}{(16)^{\frac{5}{4}} \times (8)^{\frac{4}{3}}}$
પગલું $1$: દરેક આધારને તેના અવિભાજ્ય અવયવોના ઘાત તરીકે દર્શાવો.
$25 = 5^2$,$243 = 3^5$,$16 = 2^4$,$8 = 2^3$.
પગલું $2$: આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$= \frac{(5^2)^{\frac{3}{2}} \times (3^5)^{\frac{3}{5}}}{(2^4)^{\frac{5}{4}} \times (2^3)^{\frac{4}{3}}}$
પગલું $3$: ઘાતનો નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ લાગુ કરો:
$= \frac{5^{2 \times \frac{3}{2}} \times 3^{5 \times \frac{3}{5}}}{2^{4 \times \frac{5}{4}} \times 2^{3 \times \frac{4}{3}}}$
$= \frac{5^3 \times 3^3}{2^5 \times 2^4}$
પગલું $4$: ઘાતનું સાદું રૂપ આપો:
$= \frac{125 \times 27}{2^{5+4}}$
$= \frac{3375}{2^9}$
$= \frac{3375}{512}$

(D) પગલું $1$: દરેક પદનું અલગ-અલગ સાદું રૂપ આપો.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8} = 0.125$
પગલું $2$: $(0.01)^{-\frac{1}{2}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
$(0.01)^{-\frac{1}{2}} = (\frac{1}{100})^{-\frac{1}{2}} = (100)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{100} = 10$
પગલું $3$: $(27)^{\frac{2}{3}}$ નું સાદું રૂપ આપો.
$(27)^{\frac{2}{3}} = (3^3)^{\frac{2}{3}} = 3^{3 \times \frac{2}{3}} = 3^2 = 9$
પગલું $4$: પરિણામોને ભેગા કરો.
$0.125 + 10 - 9 = 0.125 + 1 = 1.125$
આમ,સાદું રૂપ આપતા મળતી કિંમત $1.125$ છે.

(C) આપેલ સમીકરણ: $125^{x} = \frac{25}{5^{x}}$
બધા પદોને આધાર $5$ માં દર્શાવો:
$(5^{3})^{x} = \frac{5^{2}}{5^{x}}$
ઘાતનો ઘાતનો નિયમ $(a^{m})^{n} = a^{mn}$ વાપરતા:
$5^{3x} = 5^{2} \cdot 5^{-x}$
ગુણાકારનો નિયમ $a^{m} \cdot a^{n} = a^{m+n}$ વાપરતા:
$5^{3x} = 5^{2-x}$
આધાર સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$3x = 2 - x$
$3x + x = 2$
$4x = 2$
$x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

(A) આપેલ છે કે $a = \frac{\sqrt{5}}{8}$.
આપણને સમીકરણ $\frac{8}{a} = b \sqrt{5}$ આપેલ છે.
સમીકરણમાં $a$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{8}{\frac{\sqrt{5}}{8}} = b \sqrt{5}$
$8 \times \frac{8}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$\frac{64}{\sqrt{5}} = b \sqrt{5}$
$b$ શોધવા માટે,બંને બાજુ $\frac{1}{\sqrt{5}}$ વડે ગુણતા:
$b = \frac{64}{\sqrt{5} \times \sqrt{5}}$
$b = \frac{64}{5}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 36$
આપણે જાણીએ છીએ કે $36 = 6^2 = (2 \cdot 3)^2 = 2^2 \cdot 3^2$.
તેથી,સમીકરણ આ મુજબ થશે: $2^{x-2} \cdot 3^{2x-6} = 2^2 \cdot 3^2$.
બંને બાજુ $2$ અને $3$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$2$ ના આધાર માટે: $x - 2 = 2 \implies x = 4$.
$3$ ના આધાર માટે: $2x - 6 = 2 \implies 2x = 8 \implies x = 4$.
બંને શરતો માટે $x = 4$ મળે છે,તેથી $x$ ની કિંમત $4$ છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $(\frac{2}{5})^{5} \times (\frac{25}{4})^{3} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
સૌ પ્રથમ,બધા પાયાને $(\frac{5}{2})$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવો:
$(\frac{2}{5})^{5} = (\frac{5}{2})^{-5}$
$(\frac{25}{4})^{3} = ((\frac{5}{2})^{2})^{3} = (\frac{5}{2})^{6}$
હવે આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકો:
$(\frac{5}{2})^{-5} \times (\frac{5}{2})^{6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
ઘાતાંકના નિયમ $a^m \times a^n = a^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{5}{2})^{-5+6} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
$(\frac{5}{2})^{1} = (\frac{5}{2})^{3x-2}$
પાયા સમાન હોવાથી,ઘાતાંકોને સરખાવતા:
$1 = 3x - 2$
$3x = 3$
$x = 1$

(B) સંખ્યાઓ $\sqrt{3}, \sqrt[3]{4}, \sqrt[4]{10}$ ની સરખામણી કરવા માટે,આપણે તેમને સમાન ઘાતાંક (common index) વાળી ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
$1$. ઘાતાંક $2, 3, 4$ છે. $2, 3, 4$ નો લઘુત્તમ સામાન્ય અવયવી $(LCM)$ $12$ છે.
$2$. દરેક સંખ્યાને $12$ મા મૂળમાં ફેરવો:
$\sqrt{3} = 3^{1/2} = 3^{6/12} = \sqrt[12]{3^6} = \sqrt[12]{729}$
$\sqrt[3]{4} = 4^{1/3} = 4^{4/12} = \sqrt[12]{4^4} = \sqrt[12]{256}$
$\sqrt[4]{10} = 10^{1/4} = 10^{3/12} = \sqrt[12]{10^3} = \sqrt[12]{1000}$
$3$. $12$ મા મૂળની અંદરની કિંમતોની સરખામણી કરતા: $256 < 729 < 1000$.
$4$. તેથી,ચડતો ક્રમ $\sqrt[12]{256} < \sqrt[12]{729} < \sqrt[12]{1000}$ છે,જે $\sqrt[3]{4} < \sqrt{3} < \sqrt[4]{10}$ ને અનુરૂપ છે.

(N/A) ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને,ખાસ કરીને $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$ અને $(x^m)^n = x^{m \times n}$:
પગલું $1$: દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો.
$\left(\frac{x^a}{x^b}\right)^{a+b} = (x^{a-b})^{a+b} = x^{(a-b)(a+b)} = x^{a^2-b^2}$.
$\left(\frac{x^b}{x^c}\right)^{b+c} = (x^{b-c})^{b+c} = x^{(b-c)(b+c)} = x^{b^2-c^2}$.
$\left(\frac{x^c}{x^a}\right)^{c+a} = (x^{c-a})^{c+a} = x^{(c-a)(c+a)} = x^{c^2-a^2}$.
પગલું $2$: $x^m \times x^n = x^{m+n}$ નો ઉપયોગ કરીને સાદું રૂપ આપેલા પદોનો ગુણાકાર કરો.
$x^{a^2-b^2} \times x^{b^2-c^2} \times x^{c^2-a^2} = x^{(a^2-b^2) + (b^2-c^2) + (c^2-a^2)}$.
પગલું $3$: ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપો.
$a^2 - b^2 + b^2 - c^2 + c^2 - a^2 = 0$.
તેથી,$x^0 = 1$. આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $1$ થાય છે.

(N/A) પગલું $1$: ડાબી બાજુ $(LHS)$ પર કૌંસની અંદરનો સરવાળો ગણો:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} + 5^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 + 125 = 225$.
પગલું $2$: $LHS$ ની કિંમત શોધો:
$(225)^{\frac{1}{2}} = \sqrt{225} = 15$.
પગલું $3$: જમણી બાજુ $(RHS)$ પર પ્રથમ કૌંસની અંદરનો સરવાળો ગણો:
$1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + 4^{3} = 1 + 8 + 27 + 64 = 100$.
પગલું $4$: $RHS$ ની કિંમત શોધો:
$(100)^{\frac{1}{2}} + (5^{3})^{\frac{1}{3}} = \sqrt{100} + 5^{(3 \times \frac{1}{3})} = 10 + 5^{1} = 10 + 5 = 15$.
પગલું $5$: કારણ કે $LHS = 15$ અને $RHS = 15$,તેથી સમીકરણ સાબિત થાય છે.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\left(\frac{1}{27}\right)^{-\frac{2}{3}}$
પ્રથમ,$27$ ને $3$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવો: $27 = 3^3$.
તેથી,$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = 3^{-3}$.
આ કિંમતને પદાવલિમાં મૂકતા: $(3^{-3})^{-\frac{2}{3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે: $3^{-3 \times -\frac{2}{3}}$.
ઘાતાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $-3 \times -\frac{2}{3} = 2$.
તેથી,પદાવલિ $3^2 = 9$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $64^{-\frac{1}{3}}\left(64^{\frac{1}{3}}-64^{\frac{2}{3}}\right)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 4^3$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (4^3)^{-\frac{1}{3}} \left((4^3)^{\frac{1}{3}} - (4^3)^{\frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{3 \times -\frac{1}{3}} \left(4^{3 \times \frac{1}{3}} - 4^{3 \times \frac{2}{3}}\right)$
$= 4^{-1} \left(4^1 - 4^2\right)$
$= \frac{1}{4} \left(4 - 16\right)$
$= \frac{1}{4} \left(-12\right)$
$= -3$

(B) $\frac{8^{1/3} \times 16^{1/3}}{32^{-1/3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,દરેક આધારને $2$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ:
$8 = 2^3$,$16 = 2^4$,અને $32 = 2^5$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(2^3)^{1/3} \times (2^4)^{1/3}}{(2^5)^{-1/3}} = \frac{2^{3 \times 1/3} \times 2^{4 \times 1/3}}{2^{5 \times -1/3}} = \frac{2^1 \times 2^{4/3}}{2^{-5/3}}$.
ઘાતાંકના નિયમો $a^m \times a^n = a^{m+n}$ અને $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2^{1 + 4/3 - (-5/3)} = 2^{1 + 4/3 + 5/3} = 2^{1 + 9/3} = 2^{1 + 3} = 2^4$.
$2^4 = 16$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} + \frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} + \frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}}$
પગલું $1$: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ અથવા $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને દરેક પદનું સાદું રૂપ આપો.
પ્રથમ પદ: $\frac{4}{(216)^{-\frac{2}{3}}} = 4 \times (216)^{\frac{2}{3}} = 4 \times ((6^3)^{\frac{2}{3}}) = 4 \times 6^2 = 4 \times 36 = 144$.
બીજું પદ: $\frac{1}{(256)^{-\frac{3}{4}}} = 1 \times (256)^{\frac{3}{4}} = (4^4)^{\frac{3}{4}} = 4^3 = 64$.
ત્રીજું પદ: $\frac{2}{(243)^{-\frac{1}{5}}} = 2 \times (243)^{\frac{1}{5}} = 2 \times ((3^5)^{\frac{1}{5}}) = 2 \times 3^1 = 6$.
પગલું $2$: પરિણામોનો સરવાળો કરો:
$144 + 64 + 6 = 214$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(FALSE) આ વિધાન ખોટું છે.
પૂર્ણ સંખ્યાઓનો સમૂહ ${0, 1, 2, 3, ...}$ છે.
પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો સમૂહ ${..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}$ છે.
કારણ કે ઋણ સંખ્યાઓ (જેમ કે $-1, -2, -3$) એ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ છે પરંતુ તે પૂર્ણ સંખ્યાઓ નથી,તેથી 'દરેક પૂર્ણાંક સંખ્યા એ પૂર્ણ સંખ્યા છે' તે વિધાન ખોટું છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
ગણતરી: $(-5)^{2} = (-5) \times (-5) = 25$.
અહીં $25 \neq -25$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(A) આ વિધાન સત્ય છે.
જ્યારે કોઈ ઋણ સંખ્યાનો ઘાત એકી સંખ્યા હોય,ત્યારે પરિણામ ઋણ મળે છે.
અહીં $11$ એ એકી સંખ્યા હોવાથી,$(-1)^{11} = -1 \times -1 \times ... \times -1$ ($11$ વખત) $= -1$ થાય છે.

(B) આ વિધાન અસત્ય છે.
કરણીના નિયમો મુજબ,કોઈપણ ધન વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $a$ અને $b$ માટે,$\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{a \times b}$ થાય છે.
આ નિયમ લાગુ પાડતા: $\sqrt{3} \times \sqrt{5} = \sqrt{3 \times 5} = \sqrt{15}$.
અહીં $\sqrt{15} \neq \sqrt{8}$ હોવાથી,આપેલ વિધાન અસત્ય છે.

(B) આ વિધાન ખોટું છે.
સમજૂતી:
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sqrt{49} = 7$ થાય છે.
કારણ કે $7$ ને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે (દા.ત.,$\frac{7}{1}$),તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.
આથી,$\sqrt{49}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(A) ધારો કે $x = 0.\overline{3} = 0.333\dots$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 3.333\dots$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$10x - x = 3.333\dots - 0.333\dots$
$9x = 3$
$x = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
આમ,$0.\overline{3} = \frac{1}{3}$ થાય.

(B) ધારો કે $x = 4.185185185...$ (સમીકરણ $1$)
અહીં $3$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી $1000$ વડે ગુણતા:
$1000x = 4185.185185...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1000x - x = 4185.185185... - 4.185185...$
$999x = 4181$
$x = \frac{4181}{999}$
આને મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવતા:
$x = 4 + \frac{185}{999}$
અપૂર્ણાંક $\frac{185}{999}$ ને $37$ વડે ભાગતા:
$185 \div 37 = 5$
$999 \div 37 = 27$
તેથી,$x = 4 \frac{5}{27}$.

(C) પદાવલિ $(\sqrt{5}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{3})$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$a = \sqrt{5}$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 5 - 3 = 2$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) સંખ્યા $\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}}$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે પદાવલિનું સાદું રૂપ આપીએ:
$\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{98}} = \sqrt{\frac{50}{98}}$
અંશ અને છેદ બંનેને $2$ વડે ભાગતા:
$\sqrt{\frac{50 \div 2}{98 \div 2}} = \sqrt{\frac{25}{49}}$
કારણ કે $\sqrt{25} = 5$ અને $\sqrt{49} = 7$ છે,તેથી પદાવલિનું સાદું રૂપ $\frac{5}{7}$ મળે છે.
જે સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક હોય અને $q \neq 0$ હોય,તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
આથી,$\frac{5}{7}$ એ સંમેય સંખ્યા છે.

(A) ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$(a^{m})^{n} = a^{m \times n}$.
આપેલ પદાવલિ પર આ નિયમ લાગુ પાડતા: $(5^{-2})^{3} = 5^{-2 \times 3} = 5^{-6}$.
કારણ કે $a^{-n} = \frac{1}{a^{n}}$,તેથી $5^{-6} = \frac{1}{5^{6}}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $a - \sqrt{b}$ સ્વરૂપની પદાવલિનો સંમેયીકરણ અવયવ શોધવા માટે,આપણે તેને તેના અનુબદ્ધ પદ $a + \sqrt{b}$ વડે ગુણીએ છીએ જેથી વર્ગમૂળ દૂર થાય.
અહીં,આપેલી પદાવલિ $4 - \sqrt{5}$ છે.
$4 - \sqrt{5}$ ને $4 + \sqrt{5}$ વડે ગુણતા $(4)^2 - (\sqrt{5})^2 = 16 - 5 = 11$ મળે છે,જે એક સંમેય સંખ્યા છે.
તેથી,$4 - \sqrt{5}$ નો સંમેયીકરણ અવયવ $4 + \sqrt{5}$ છે.

(C) ધારો કે $x = 0.3\overline{6} = 0.3666...$ (સમીકરણ $1$)
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા: $10x = 3.666...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $1$ ને $100$ વડે ગુણતા: $100x = 36.666...$ (સમીકરણ $3$)
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $2$ બાદ કરતા:
$100x - 10x = 36.666... - 3.666...$
$90x = 33$
$x = \frac{33}{90}$
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{11}{30}$

(D) $\sqrt{5^{2}+12^{2}}$ સંખ્યાનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની કિંમતની ગણતરી કરીએ.
પગલું $1$: વર્ગની ગણતરી કરો: $5^{2} = 25$ અને $12^{2} = 144$.
પગલું $2$: કિંમતોનો સરવાળો કરો: $25 + 144 = 169$.
પગલું $3$: વર્ગમૂળ શોધો: $\sqrt{169} = 13$.
કારણ કે $13$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,તે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણમાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sqrt{5} + \sqrt{5} = 2\sqrt{5}$.
અહીં $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે અને શૂન્યતર સંમેય સંખ્યા $(2)$ તથા અસંમેય સંખ્યા $(\sqrt{5})$ નો ગુણાકાર હંમેશા અસંમેય સંખ્યા જ હોય છે,તેથી $2\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(B) સંખ્યા $(\sqrt{5}+3)^{2}$ નો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે તેને બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)^{2} = a^{2} + 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીને વિસ્તરણ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{5}$ અને $b = 3$ છે.
$(\sqrt{5}+3)^{2} = (\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2}$
$= 5 + 6\sqrt{5} + 9$
$= 14 + 6\sqrt{5}$.
કારણ કે $\sqrt{5}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે,તેથી $6\sqrt{5}$ પણ અસંમેય સંખ્યા છે. સંમેય સંખ્યા $(14)$ અને અસંમેય સંખ્યા $(6\sqrt{5})$ નો સરવાળો હંમેશા અસંમેય સંખ્યા જ હોય છે.
તેથી,$(\sqrt{5}+3)^{2}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(C) આપેલ પદાવલિ $\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ છે.
વર્ગમૂળના ગુણધર્મ મુજબ,કોઈપણ $a \ge 0$ માટે $\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5$ મળે.
સંખ્યા $5$ એ ધન પૂર્ણાંક છે,જે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના ગણ $\{1, 2, 3, \dots\}$ માં આવે છે.
આમ,$\sqrt{5} \times \sqrt{5}$ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યા છે.

(D) $7$ અને $8$ ની વચ્ચેની સંમેય સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે દરેક વિકલ્પની કિંમત ચકાસીએ:
$A) \frac{33}{5} = 6.6$ (આ $7$ કરતા નાની છે)
$B) \frac{51}{6} = 8.5$ (આ $8$ કરતા મોટી છે)
$C) \frac{60}{7} \approx 8.57$ (આ $8$ કરતા મોટી છે)
$D) \frac{61}{8} = 7.625$ (કારણ કે $7 < 7.625 < 8$,તેથી આ $7$ અને $8$ ની વચ્ચેની સાચી સંમેય સંખ્યા છે).

(A) આપેલ પદાવલિ: $(\sqrt{5}+3)^{2} = a+b\sqrt{5}$.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $(x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x = \sqrt{5}$ અને $y = 3$ છે:
$(\sqrt{5})^{2} + 2(\sqrt{5})(3) + (3)^{2} = a+b\sqrt{5}$.
$5 + 6\sqrt{5} + 9 = a+b\sqrt{5}$.
$14 + 6\sqrt{5} = a+b\sqrt{5}$.
બંને બાજુના સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a = 14$ અને $b = 6$ મળે છે.

(B) સંમેય સંખ્યા $-\frac{11}{4}$ નું દશાંશ નિરૂપણ નક્કી કરવા માટે,આપણે ભાગાકાર કરીએ છીએ:
$11 \div 4 = 2.75$.
ભાગાકાર કરવાથી દશાંશ ચિહ્ન પછી અંકોની સંખ્યા મર્યાદિત હોવાથી,આ દશાંશ નિરૂપણ સાંત છે.
તેથી,$-\frac{11}{4} = -2.75$,જે એક સાંત દશાંશ છે.

(C) ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$(5^{\frac{3}{4}})^{\frac{4}{3}} = 5^{\frac{3}{4} \times \frac{4}{3}}$
$= 5^{\frac{12}{12}}$
$= 5^1$
$= 5$

(IRRATIONAL) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં ન લખી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તો તેને અસંમેય સંખ્યા કહેવામાં આવે છે. $7$ એ પૂર્ણવર્ગ સંખ્યા ન હોવાથી,તેનું વર્ગમૂળ $\sqrt{7}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $x$ નું વર્ગમૂળ એ એવી કિંમત $y$ છે કે જેથી $y^2 = x$ થાય.
અહીં $7^2 = 7 \times 7 = 49$ હોવાથી,$49$ નું મુખ્ય વર્ગમૂળ $7$ છે.
તેથી,$\sqrt{49} = 7$.

(N/A) કોઈ સંખ્યા $x$ નું વર્ગમૂળ એવી કિંમત છે કે જેનો પોતાની સાથે ગુણાકાર કરવાથી $x$ મળે.
કારણ કે $11 \times 11 = 121$ અને $(-11) \times (-11) = 121$ થાય છે,તેથી $121$ નું વર્ગમૂળ $11$ અથવા $-11$ છે.

(1 1/12) સૌ પ્રથમ,મિશ્ર અપૂર્ણાંકને અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$1 \frac{25}{144} = \frac{1 \times 144 + 25}{144} = \frac{144 + 25}{144} = \frac{169}{144}$
હવે,આ અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકનું વર્ગમૂળ શોધો:
$\sqrt{\frac{169}{144}} = \frac{\sqrt{169}}{\sqrt{144}} = \frac{13}{12}$
અંતે,અશુદ્ધ અપૂર્ણાંકને ફરીથી મિશ્ર અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો:
$\frac{13}{12} = 1 \frac{1}{12}$

(1/2) $(64)^{-\frac{1}{6}}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ $64$ ને $2$ ની ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $64 = 2^6$.
આ કિંમતને પદમાં મૂકતા,આપણને મળે છે:
$(2^6)^{-\frac{1}{6}}$
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે ઘાતાંકોનો ગુણાકાર કરીએ:
$2^{6 \times (-\frac{1}{6})} = 2^{-1}$
કારણ કે $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$,તેથી:
$2^{-1} = \frac{1}{2^1} = \frac{1}{2}$

(B) $\frac{2}{3}$ નું દશાંશ નિરૂપણ શોધવા માટે, આપણે $2$ ને $3$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
જ્યારે આપણે $2$ ને $3$ વડે ભાગીએ છીએ, ત્યારે આપણને $0.666...$ મળે છે, જેને $0.\overline{6}$ તરીકે લખી શકાય છે.
અહીં શેષ ક્યારેય $0$ થતી નથી અને અંક $6$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે, તેથી આ દશાંશ નિરૂપણ અનંત આવૃત પ્રકારનું છે.

(B) $1$ નું $n$-મું મૂળ એ સંખ્યા $x$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે કે જેથી $x^n = 1$ થાય.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $n$ માટે,$1^n = 1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ થાય છે.
તેથી,$\sqrt[11]{1} = 1$ થાય.

(C) $(729)^{\frac{1}{3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે $729$ ના અવિભાજ્ય અવયવો પાડીશું.
$729 = 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$.
વૈકલ્પિક રીતે,$729 = 9 \times 9 \times 9 = 9^3$.
તેથી,$(729)^{\frac{1}{3}} = (9^3)^{\frac{1}{3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $9^{3 \times \frac{1}{3}} = 9^1 = 9$ મળે છે.

(TERMINATING) $\frac{47}{50}$ ના દશાંશ નિરૂપણનો પ્રકાર નક્કી કરવા માટે,આપણે પહેલા અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપીએ અથવા છેદ તપાસીએ.
આપેલ અપૂર્ણાંક: $\frac{47}{50}$.
છેદ $50 = 2^1 \times 5^2$ છે.
જેহেতু છેદ $2^n \times 5^m$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $n$ અને $m$ અનૃણ પૂર્ણાંકો છે,તેથી દશાંશ નિરૂપણ શાંત (terminating) છે.
ગણતરી: $\frac{47}{50} = \frac{47 \times 2}{50 \times 2} = \frac{94}{100} = 0.94$.
તેથી,દશાંશ નિરૂપણ શાંત છે.

(A) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} \cdot \sqrt{6}$ પદાવલિને ઉકેલવા માટે,આપણે કરણીના ગુણધર્મ $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરના પદોનો ગુણાકાર કરો: $\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = \sqrt{2 \cdot 3} = \sqrt{6}$.
હવે,આ કિંમતને મૂળ પદાવલિમાં મૂકો: $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6}$.
$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = a$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sqrt{6} \cdot \sqrt{6} = 6$ મળે છે.
તેથી,સાચો જવાબ $6$ છે.

(B) સંખ્યા $\pi$ ને વર્તુળના પરિઘ અને તેના વ્યાસના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. તેનું દશાંશ નિરૂપણ અનંત અને અનાવૃત છે. તેથી,$\pi$ એક અસંમેય સંખ્યા છે.