Mix Examples - Number Systems Questions in Gujarati

(A) જો કોઈ સંખ્યાને $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ હોય અને $q \neq 0$ હોય,તો તેને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
અહીં $\frac{22}{7}$ એ બે પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $22$ અને $7$ નો ગુણોત્તર છે,જ્યાં $7 \neq 0$,તેથી તે સંમેય સંખ્યાની વ્યાખ્યાનું પાલન કરે છે.
આથી,$\frac{22}{7}$ એ એક સંમેય સંખ્યા છે.

(D) પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એ $1$ થી શરૂ થતી ગણતરીની સંખ્યાઓનો સમૂહ છે, એટલે કે $N = \{1, 2, 3, ...\}.$
પૂર્ણ સંખ્યાઓ એ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો સમૂહ છે જેમાં શૂન્યનો સમાવેશ થાય છે, એટલે કે $W = \{0, 1, 2, 3, ...\}.$
બંને સમૂહોની સરખામણી કરતા, સંખ્યા $0$ એ પૂર્ણ સંખ્યાઓના સમૂહમાં છે પરંતુ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સમૂહમાં તેનો સમાવેશ થતો નથી.
તેથી, સાચો જવાબ $0$ છે.

(A) ધારો કે $x = 3.\overline{5} = 3.555...$ (સમીકરણ $1$).
બંને બાજુ $10$ વડે ગુણતા:
$10x = 35.555...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$10x - x = 35.555... - 3.555...$
$9x = 32$.
તેથી, $x = \frac{32}{9}$.

(B) ધારો કે $x = 0.272727...$ (સમીકરણ $1$)
અહીં બે અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેથી બંને બાજુ $100$ વડે ગુણતા:
$100x = 27.272727...$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$100x - x = 27.272727... - 0.272727...$
$99x = 27$
$x = \frac{27}{99}$
અંશ અને છેદને $9$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{3}{11}$

(B) $\frac{1}{7}$ ની દશાંશ અભિવ્યક્તિ નક્કી કરવા માટે,આપણે $1$ ને $7$ વડે ભાગાકાર કરીએ છીએ.
$1$ ને $7$ વડે ભાગતા $0.142857142857...$ મળે છે.
અહીં શેષ ક્યારેય $0$ થતી નથી અને અંકોની શ્રેણી $142857$ અનંત સુધી પુનરાવર્તિત થાય છે,તેથી આ દશાંશ અભિવ્યક્તિ અનંત આવૃત છે.

(A) આ પદાવલિને સાબિત કરવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમોનો ઉપયોગ કરીને ડાબી બાજુ $(LHS)$ ને સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સરળ બનાવીશું:
$1$. પ્રથમ અપૂર્ણાંકના અંશ અને છેદને સરળ બનાવો: $\frac{x^{ab-ac}}{x^{ba-bc}}$.
$2$. કૌંસની અંદરના પદને સરળ બનાવો: $\left(\frac{x^b}{x^a}\right)^c = (x^{b-a})^c = x^{bc-ac}$.
$3$. હવે,પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $\frac{x^{ab-ac}}{x^{ab-bc}} \div x^{bc-ac}$.
$4$. ભાગાકારના નિયમ $x^m / x^n = x^{m-n}$ નો ઉપયોગ કરતા,પ્રથમ ભાગ: $x^{(ab-ac) - (ab-bc)} = x^{ab-ac-ab+bc} = x^{bc-ac}$.
$5$. અંતે,બીજા પદ વડે ભાગાકાર કરતા: $x^{bc-ac} \div x^{bc-ac} = x^{(bc-ac) - (bc-ac)} = x^0 = 1$.
આમ,$LHS = RHS = 1$.

(A) જો કોઈ સંખ્યાને $p/q$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાય,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$,તો તે સંખ્યાને સંમેય સંખ્યા કહેવાય છે.
કોઈપણ પુનરાવર્તિત દશાંશ સંખ્યા એ સંમેય સંખ્યા હોય છે.
ધારો કે $x = 0.3\overline{7} = 0.3777...$
$10$ વડે ગુણતા: $10x = 3.777...$
$100$ વડે ગુણતા: $100x = 37.777...$
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $100x - 10x = 37.777... - 3.777...$
$90x = 34$
$x = 34/90 = 17/45$.
આમ,$0.3\overline{7}$ ને $17/45$ તરીકે દર્શાવી શકાતી હોવાથી,તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(A) $\sqrt{8^{2}+15^{2}}$ એ સંમેય સંખ્યા છે કે અસંમેય સંખ્યા તે નક્કી કરવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ વર્ગમૂળની અંદરની અભિવ્યક્તિનું સાદું રૂપ આપીશું.
પગલું $1$: સંખ્યાઓના વર્ગની ગણતરી કરો.
$8^{2} = 64$
$15^{2} = 225$
પગલું $2$: પરિણામોનો સરવાળો કરો.
$64 + 225 = 289$
પગલું $3$: સરવાળાનું વર્ગમૂળ શોધો.
$\sqrt{289} = 17$
કારણ કે $17$ ને $\frac{17}{1}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે,જે $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં છે જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$ છે,તેથી તે એક સંમેય સંખ્યા છે.

(B) સૌ પ્રથમ,વર્ગમૂળની અંદરની પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $8 + 15 = 23$.
તેથી,પદાવલિ $\sqrt{23}$ બને છે.
અહીં $23$ એ પૂર્ણ વર્ગ સંખ્યા નથી,તેથી તેનું વર્ગમૂળ $\frac{p}{q}$ સ્વરૂપમાં દર્શાવી શકાતું નથી,જ્યાં $p$ અને $q$ પૂર્ણાંક છે અને $q \neq 0$.
આમ,$\sqrt{23}$ એ અસંમેય સંખ્યા છે.

(N/A) આપેલી સંખ્યા $3.8232323 \ldots$ છે.
અહીં,દશાંશ ચિહ્ન પછી $23$ અંકનું પુનરાવર્તન થાય છે.
તેથી,આપણે આ પુનરાવર્તિત દશાંશને પુનરાવર્તિત અંકો પર બાર $( \overline{ } )$ મૂકીને દર્શાવી શકીએ છીએ.
આમ,તેનું ટૂંકું સ્વરૂપ $3.8 \overline{23}$ છે.