Mix Examples - Number Systems Questions in Gujarati

(N/A) $0. \overline{3}$ અને $0.4 \overline{7}$ નો સરવાળો કરવા માટે,પહેલા તેમને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
$0. \overline{3} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$
$0.4 \overline{7} = \frac{47 - 4}{90} = \frac{43}{90}$
હવે,બંને અપૂર્ણાંકોનો સરવાળો કરો:
$\frac{1}{3} + \frac{43}{90} = \frac{30}{90} + \frac{43}{90} = \frac{73}{90}$
$\frac{73}{90}$ ને દશાંશ સ્વરૂપમાં ફેરવતા:
$73 \div 90 = 0.8111... = 0.8 \overline{1}$

(N/A) પગલું $1$: $0.\overline{52}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
ધારો કે $x = 0.525252...$ $(i)$
$100x = 52.525252...$ (ii)
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા: $99x = 52$,તેથી $x = \frac{52}{99}$.
પગલું $2$: $0.4\overline{6}$ ને અપૂર્ણાંકમાં ફેરવો.
ધારો કે $y = 0.4666...$ (iii)
$10y = 4.666...$ (iv)
$100y = 46.666...$ $(v)$
$(v)$ માંથી (iv) બાદ કરતા: $90y = 42$,તેથી $y = \frac{42}{90} = \frac{7}{15}$.
પગલું $3$: અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરો.
$\frac{52}{99} - \frac{7}{15} = \frac{52 \times 5 - 7 \times 33}{495} = \frac{260 - 231}{495} = \frac{29}{495}$.
પગલું $4$: દશાંશમાં ફેરવો.
$\frac{29}{495} = 0.0585858... = 0.0\overline{58}$.

(N/A) ધારો કે $x = 0.1\overline{6}$. આને $x = 0.1666...$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$).
દશાંશ ચિહ્નને ખસેડવા માટે બંને બાજુ $10$ વડે ગુણો:
$10x = 1.6666...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરો:
$10x - x = (1.6666...) - (0.1666...)$
$9x = 1.5$
$x = \frac{1.5}{9}$
દશાંશ દૂર કરવા માટે,અંશ અને છેદને $10$ વડે ગુણો:
$x = \frac{15}{90}$
અંશ અને છેદને $15$ વડે ભાગીને અપૂર્ણાંકનું અતિસંક્ષિપ્ત રૂપ આપો:
$x = \frac{1}{6}$.
આમ,$0.1\overline{6} = \frac{1}{6}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) ધારો કે $x = 0.142857142857...$ (સમીકરણ $1$).
અહીં $6$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે,તેથી સમીકરણ $1$ ની બંને બાજુએ $10^6 = 1,000,000$ વડે ગુણતા:
$1,000,000x = 142857.142857142857...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1,000,000x - x = 142857.142857... - 0.142857...$
$999,999x = 142857$.
$x = \frac{142857}{999999}$.
અંશ અને છેદને $142857$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x = \frac{1}{7}$.
આમ,$0.\overline{142857} = \frac{1}{7}$.

(N/A) ધારો કે $x = 0.\overline{076923}$.
આને $x = 0.076923076923...$ તરીકે લખી શકાય (સમીકરણ $1$).
અહીં $6$ અંકોનું પુનરાવર્તન થાય છે, તેથી બંને બાજુ $10^6 = 1,000,000$ વડે ગુણતા:
$1,000,000x = 76923.076923076923...$ (સમીકરણ $2$).
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$1,000,000x - x = 76923.076923... - 0.076923...$
$999,999x = 76923$.
$x = \frac{76923}{999999}$.
અંશ અને છેદને $76923$ વડે ભાગતા:
$x = \frac{76923 \div 76923}{999999 \div 76923} = \frac{1}{13}$.
આમ, $0.\overline{076923} = \frac{1}{13}$ સાબિત થાય છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $2.64444$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે ક્રમિક વિવર્ધન (successive magnification) ની પ્રક્રિયાનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$1$. $2.64444$ એ $2$ અને $3$ ની વચ્ચે આવેલું હોવાથી,આપણે $2$ અને $3$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $2.6$ તથા $2.7$ ને શોધીએ છીએ.
$2$. હવે,$2.64444$ એ $2.6$ અને $2.7$ ની વચ્ચે છે. આપણે આ વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ અને $2.64$ તથા $2.65$ ને શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$3$. ત્યારબાદ,$2.64444$ એ $2.64$ અને $2.65$ ની વચ્ચે છે. આપણે આ વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ અને $2.644$ તથા $2.645$ ને શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ.
$4$. આ પ્રક્રિયા ચાલુ રાખતા,$2.64444$ એ $2.644$ અને $2.645$ ની વચ્ચે છે. આપણે $2.6444$ અને $2.6445$ ને શોધવા માટે આ વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ.
$5$. અંતે,આપણે સંખ્યા રેખા પર $2.64444$ બિંદુને શોધવા માટે $2.6444$ અને $2.6445$ વચ્ચેના વિસ્તારને મોટો કરીએ છીએ.

(N/A) પગલું $1$: સંખ્યા રેખા પર $2.3$ અને $2.4$ શોધો. $2.3$ અને $2.4$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. પ્રથમ નિશાન $2.31$ દર્શાવે છે,બીજું $2.32$ અને આ રીતે આગળ વધો.
પગલું $2$: સંખ્યા રેખા પર $2.36$ અને $2.37$ શોધો. $2.36$ અને $2.37$ વચ્ચેના અંતરને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
પગલું $3$: $2.36$ અને $2.37$ ની વચ્ચેનું $5$મું નિશાન $2.365$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર ક્રમિક વિવર્ધનનો ઉપયોગ કરીને $-4.126$ ને દર્શાવવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
$1$. $-4.126$ એ $-4$ અને $-5$ ની વચ્ચે આવેલી હોવાથી,આપણે $-4$ અને $-5$ વચ્ચેના ભાગને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીએ છીએ અને $-4.1$ તથા $-4.2$ ને શોધીએ છીએ.
$2$. હવે,$-4.126$ એ $-4.1$ અને $-4.2$ ની વચ્ચે આવે છે. આપણે આ ભાગને મોટો (magnify) કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $-4.12$ અને $-4.13$ ને શોધીએ છીએ.
$3$. અંતે,$-4.126$ એ $-4.12$ અને $-4.13$ ની વચ્ચે આવે છે. આપણે આ ભાગને ફરીથી મોટો કરીએ છીએ અને તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરીને $-4.126$ ને દર્શાવતું બિંદુ ચોકસાઈપૂર્વક મેળવીએ છીએ.

$3.\overline{42}$ ને $4$ દશાંશ સ્થળ સુધી દર્શાવવા માટે, આપણે સંખ્યા રેખા પર $3.4242$ ને શોધવાની જરૂર છે.
પગલું $1$: $3.4242$ એ $3$ અને $4$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3, 4]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો અને અંતરાલ $[3.4, 3.5]$ ને મોટું કરો.
પગલું $2$: $3.4242$ એ $3.4$ અને $3.5$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3.4, 3.5]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો અને અંતરાલ $[3.42, 3.43]$ ને મોટું કરો.
પગલું $3$: $3.4242$ એ $3.42$ અને $3.43$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3.42, 3.43]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો અને અંતરાલ $[3.424, 3.425]$ ને મોટું કરો.
પગલું $4$: $3.4242$ એ $3.424$ અને $3.425$ ની વચ્ચે આવેલી છે। અંતરાલ $[3.424, 3.425]$ ને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો। બિંદુ $3.4242$ એ $3.424$ પછીનું $2$જું નિશાન છે।

(D) ક્રમિક વિવર્ધનનો ઉપયોગ કરીને સંખ્યા રેખા પર $5.4949$ દર્શાવવા માટે:
$1$. $5$ અને $6$ ની વચ્ચે $5.4949$ શોધો. $5.4$ અને $5.5$ મેળવવા માટે અંતરાલને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
$2$. $5.4$ અને $5.5$ વચ્ચેના અંતરાલને મોટું કરો. $5.49$ અને $5.50$ શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
$3$. $5.49$ અને $5.50$ વચ્ચેના અંતરાલને મોટું કરો. $5.494$ અને $5.495$ શોધવા માટે તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો.
$4$. $5.494$ અને $5.495$ વચ્ચેના અંતરાલને મોટું કરો. તેને $10$ સમાન ભાગોમાં વિભાજિત કરો. બિંદુ $5.4949$ એ $5.494$ અને $5.495$ ની વચ્ચે,ખાસ કરીને $9$ મા પેટા-વિભાગ પર આવેલું છે.

(A) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે $\sqrt{3}$ અને $\sqrt{5}$ વાળા સજાતીય પદોને સાથે જૂથબદ્ધ કરીશું.
$(4 \sqrt{3}+2 \sqrt{5})+(6 \sqrt{3}-4 \sqrt{5})$
$= (4 \sqrt{3}+6 \sqrt{3}) + (2 \sqrt{5}-4 \sqrt{5})$
$= (4+6) \sqrt{3} + (2-4) \sqrt{5}$
$= 10 \sqrt{3} - 2 \sqrt{5}$

(B) $3 \sqrt{7}$ અને $5 \sqrt{7}$ નો ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ છીએ:
પગલું $1$: સહગુણકો (વર્ગમૂળની બહારની સંખ્યાઓ) નો ગુણાકાર કરો: $3 \times 5 = 15$.
પગલું $2$: વર્ગમૂળ વાળા પદોનો ગુણાકાર કરો: $\sqrt{7} \times \sqrt{7} = 7$.
પગલું $3$: પગલું $1$ અને પગલું $2$ ના પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $15 \times 7 = 105$.
તેથી,$3 \sqrt{7} \times 5 \sqrt{7} = 105$.

(A) $12 \sqrt{30}$ ને $3 \sqrt{5}$ વડે ભાગવા માટે,આપણે તેને અપૂર્ણાંક તરીકે લખીએ છીએ:
$\frac{12 \sqrt{30}}{3 \sqrt{5}}$
આપણે સહગુણકોનું સાદું રૂપ આપી શકીએ છીએ: $\frac{12}{3} = 4$.
ત્યારબાદ,આપણે $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીને વર્ગમૂળનું સાદું રૂપ આપીએ છીએ:
$\sqrt{\frac{30}{5}} = \sqrt{6}$
આ બંનેને જોડતા,આપણને $4 \times \sqrt{6} = 4 \sqrt{6}$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11})$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ગુણાકારના વિભાજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીશું:
$(3+\sqrt{5})(4-\sqrt{11}) = 3(4-\sqrt{11}) + \sqrt{5}(4-\sqrt{11})$
$= (3 \times 4) - (3 \times \sqrt{11}) + (\sqrt{5} \times 4) - (\sqrt{5} \times \sqrt{11})$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{5 \times 11}$
$= 12 - 3\sqrt{11} + 4\sqrt{5} - \sqrt{55}$

(A) પદાવલિ $(\sqrt{15}+\sqrt{7})(\sqrt{15}-\sqrt{7})$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{15}$ અને $b = \sqrt{7}$ છે.
નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$(\sqrt{15})^2 - (\sqrt{7})^2 = 15 - 7 = 8$.

(A) પદાવલિ $(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે બીજગણિતીય નિત્યસમ $(a-b)^{2} = a^{2} - 2ab + b^{2}$ નો ઉપયોગ કરીશું.
અહીં,$a = \sqrt{11}$ અને $b = \sqrt{3}$ છે.
આ કિંમતોને નિત્યસમમાં મૂકતા:
$(\sqrt{11}-\sqrt{3})^{2} = (\sqrt{11})^{2} - 2(\sqrt{11})(\sqrt{3}) + (\sqrt{3})^{2}$
$= 11 - 2\sqrt{11 \times 3} + 3$
$= 11 - 2\sqrt{33} + 3$
$= 14 - 2\sqrt{33}$

(N/A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(5 \sqrt{3} + 3 \sqrt{5})$ વડે ગુણો.
$\frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} = \frac{30}{5 \sqrt{3}-3 \sqrt{5}} \times \frac{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}{5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{(5 \sqrt{3})^{2}-(3 \sqrt{5})^{2}}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{75-45}$
$= \frac{30(5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5})}{30}$
$= 5 \sqrt{3}+3 \sqrt{5}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(5-2 \sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{1}{5+2 \sqrt{3}} = \frac{1}{5+2 \sqrt{3}} \times \frac{5-2 \sqrt{3}}{5-2 \sqrt{3}}$
છેદમાં નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{(5)^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - (4 \times 3)}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{25 - 12}$
$= \frac{5-2 \sqrt{3}}{13}$

છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી (conjugate) એટલે કે $\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$ વડે ગુણો.
$\frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} = \frac{n^{2}}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}+m} \times \frac{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}{\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m}$
છેદમાં $(a+b)(a-b) = a^{2}-b^{2}$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{(\sqrt{m^{2}+n^{2}})^{2} - (m)^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{m^{2}+n^{2}-m^{2}}$
$= \frac{n^{2}(\sqrt{m^{2}+n^{2}}-m)}{n^{2}}$
$= \sqrt{m^{2}+n^{2}}-m$

(A) આપેલ છે: $\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને $(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})$ વડે ગુણતા:
$\frac{2 \sqrt{6}-\sqrt{5}}{3 \sqrt{5}-2 \sqrt{6}} \times \frac{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}{3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6}}=a+b \sqrt{30}$
છેદમાં $(x-y)(x+y) = x^2 - y^2$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{(2 \sqrt{6}-\sqrt{5})(3 \sqrt{5}+2 \sqrt{6})}{(3 \sqrt{5})^{2}-(2 \sqrt{6})^{2}}=a+b \sqrt{30}$
અંશનું વિસ્તરણ કરતા:
$(2 \sqrt{6})(3 \sqrt{5}) + (2 \sqrt{6})(2 \sqrt{6}) - (\sqrt{5})(3 \sqrt{5}) - (\sqrt{5})(2 \sqrt{6}) = 6 \sqrt{30} + 24 - 15 - 2 \sqrt{30} = 9 + 4 \sqrt{30}$
છેદની ગણતરી કરતા:
$(3 \sqrt{5})^2 - (2 \sqrt{6})^2 = 45 - 24 = 21$
તેથી,$\frac{9+4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{9}{21} + \frac{4 \sqrt{30}}{21} = a+b \sqrt{30}$
$\frac{3}{7} + \frac{4}{21} \sqrt{30} = a+b \sqrt{30}$
સંમેય અને અસંમેય ભાગોની સરખામણી કરતા,આપણને $a=\frac{3}{7}$ અને $b=\frac{4}{21}$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે: $x = 5 + 2\sqrt{6}$.
પ્રથમ,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} = \frac{1}{5 + 2\sqrt{6}} \times \frac{5 - 2\sqrt{6}}{5 - 2\sqrt{6}} = \frac{5 - 2\sqrt{6}}{25 - 24} = 5 - 2\sqrt{6}$.
હવે,$x + \frac{1}{x}$ ની ગણતરી કરો:
$x + \frac{1}{x} = (5 + 2\sqrt{6}) + (5 - 2\sqrt{6}) = 10$.
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ શોધવા માટે:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (10)^{2} - 2 = 100 - 2 = 98$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ શોધવા માટે:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (10)^{3} - 3(10) = 1000 - 30 = 970$.

(N/A) આપેલ પદોનો સરવાળો કરવા માટે,આપણે સજાતીય પદોને સાથે લઈએ છીએ:
$(4 \sqrt{6}-8 \sqrt{10}) + (3 \sqrt{6}+12 \sqrt{10})$
$= (4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{6}) + (-8 \sqrt{10} + 12 \sqrt{10})$
$= (4 + 3) \sqrt{6} + (-8 + 12) \sqrt{10}$
$= 7 \sqrt{6} + 4 \sqrt{10}$

(A) $5 \sqrt{3}$ અને $4 \sqrt{12}$ નો ગુણાકાર કરવા માટે,આપણે નીચેના પગલાં અનુસરીએ:
$1$. પદાવલિને $(5 \sqrt{3}) \times (4 \sqrt{12})$ તરીકે લખો.
$2$. સહગુણકોનો ગુણાકાર કરો: $5 \times 4 = 20$.
$3$. કરણીઓનો ગુણાકાર કરો: $\sqrt{3} \times \sqrt{12} = \sqrt{3 \times 12} = \sqrt{36}$.
$4$. વર્ગમૂળની ગણતરી કરો: $\sqrt{36} = 6$.
$5$. પરિણામોનો ગુણાકાર કરો: $20 \times 6 = 120$.
તેથી,ગુણાકાર $120$ છે.

(B) પદાવલિ $5 \sqrt{2} + 2 \sqrt{8} - 3 \sqrt{32} + 4 \sqrt{128}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે, આપણે દરેક કરણીના પદને સરળ બનાવીએ:
$1$. $5 \sqrt{2} = 5 \sqrt{2}$
$2$. $2 \sqrt{8} = 2 \sqrt{4 \times 2} = 2 \times 2 \sqrt{2} = 4 \sqrt{2}$
$3$. $3 \sqrt{32} = 3 \sqrt{16 \times 2} = 3 \times 4 \sqrt{2} = 12 \sqrt{2}$
$4$. $4 \sqrt{128} = 4 \sqrt{64 \times 2} = 4 \times 8 \sqrt{2} = 32 \sqrt{2}$
હવે, આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકો:
$5 \sqrt{2} + 4 \sqrt{2} - 12 \sqrt{2} + 32 \sqrt{2}$
સહગુણકોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા:
$(5 + 4 - 12 + 32) \sqrt{2} = 29 \sqrt{2}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{5} + \sqrt{3})$ વડે ગુણો.
$\frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{\sqrt{5}+\sqrt{3}}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{(\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{5 - 3}$
$= \frac{\sqrt{5}+\sqrt{3}}{2}$

(A) $\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(\sqrt{10}-\sqrt{6})$ વડે ગુણો.
$\frac{4}{\sqrt{10}+\sqrt{6}} \times \frac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{\sqrt{10}-\sqrt{6}}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{(\sqrt{10})^2 - (\sqrt{6})^2}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{10-6}$
$= \frac{4(\sqrt{10}-\sqrt{6})}{4}$
$= \sqrt{10}-\sqrt{6}$

(N/A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3 \sqrt{2} + 2 \sqrt{3})$ વડે ગુણીશું.
$\frac{18}{3 \sqrt{2}-2 \sqrt{3}} \times \frac{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}{3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3}}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(3 \sqrt{2})^2 - (2 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{(9 \times 2) - (4 \times 3)}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{18 - 12}$
$= \frac{18(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})}{6}$
$= 3(3 \sqrt{2}+2 \sqrt{3})$

(A) $\frac{1}{7-4 \sqrt{3}}$ ના છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $7+4 \sqrt{3}$ વડે ગુણીશું.
$\frac{1}{7-4 \sqrt{3}} \times \frac{7+4 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} = \frac{7+4 \sqrt{3}}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{49 - 48}$
$= \frac{7+4 \sqrt{3}}{1}$
$= 7+4 \sqrt{3}$

$(17+12 \sqrt{2})$ છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(3+2 \sqrt{2})$ વડે ગુણો.
$\frac{3+2 \sqrt{2}}{3-2 \sqrt{2}} \times \frac{3+2 \sqrt{2}}{3+2 \sqrt{2}}$
$= \frac{(3+2 \sqrt{2})^2}{(3)^2 - (2 \sqrt{2})^2}$
$= \frac{3^2 + (2 \sqrt{2})^2 + 2(3)(2 \sqrt{2})}{9 - (4 \times 2)}$
$= \frac{9 + 8 + 12 \sqrt{2}}{9 - 8}$
$= \frac{17 + 12 \sqrt{2}}{1}$
$= 17 + 12 \sqrt{2}$

(A) છેદનું સંમેયીકરણ કરવા માટે,અંશ અને છેદને છેદની અનુબદ્ધ કરણી $(5-2 \sqrt{6})$ વડે ગુણો.
$\frac{5-2 \sqrt{6}}{5+2 \sqrt{6}} \times \frac{5-2 \sqrt{6}}{5-2 \sqrt{6}}$
$= \frac{(5-2 \sqrt{6})^2}{(5)^2 - (2 \sqrt{6})^2}$
$= \frac{5^2 - 2(5)(2 \sqrt{6}) + (2 \sqrt{6})^2}{25 - (4 \times 6)}$
$= \frac{25 - 20 \sqrt{6} + 24}{25 - 24}$
$= \frac{49 - 20 \sqrt{6}}{1}$
$= 49 - 20 \sqrt{6}$

(A) આપેલ પદાવલિ $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{10}}$ છે.
આને આપણે $\sqrt{\frac{5}{10}} = \sqrt{\frac{1}{2}}$ તરીકે સરળ બનાવી શકીએ છીએ.
આ $\frac{1}{\sqrt{2}}$ ની બરાબર છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા,આપણને $\frac{1}{\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ મળે છે.
$\sqrt{2} = 1.4142$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1.4142}{2} = 0.7071$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $\sqrt{5} = 2.236$.
આપણે $\frac{4 - \sqrt{5}}{\sqrt{5}}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
આ પદાવલિને $\frac{4}{\sqrt{5}} - 1$ તરીકે લખી શકાય.
$\sqrt{5}$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{4}{2.236} - 1$.
$\frac{4}{2.236}$ ની ગણતરી કરતા $\approx 1.788895$ મળે છે.
આ કિંમતમાંથી $1$ બાદ કરતા $1.788895 - 1 = 0.788895$ મળે છે.
ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.7889$ મળે છે.
જોકે,$\frac{4 - 2.236}{2.236} = \frac{1.764}{2.236} \approx 0.788886$ ની ગણતરી કરતા,ચાર દશાંશ સ્થળ સુધી $0.7889$ મળે છે.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,$0.7888$ સૌથી નજીકનો જવાબ છે.

(N/A) આપેલ છે કે $x = 3 + 2\sqrt{2}$.
પ્રથમ,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} = \frac{1}{3 + 2\sqrt{2}} \times \frac{3 - 2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} = \frac{3 - 2\sqrt{2}}{9 - 8} = 3 - 2\sqrt{2}$.
હવે,$x + \frac{1}{x}$ ની ગણતરી કરો:
$x + \frac{1}{x} = (3 + 2\sqrt{2}) + (3 - 2\sqrt{2}) = 6$.
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ નો ઉપયોગ કરો:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2 = (6)^{2} - 2 = 36 - 2 = 34$.
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરો:
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = (x + \frac{1}{x})^{3} - 3(x + \frac{1}{x}) = (6)^{3} - 3(6) = 216 - 18 = 198$.
આમ,કિંમતો $34$ અને $198$ છે.

(D) આપેલ છે કે $x = 7 - 4\sqrt{3}$.
પ્રથમ,$\frac{1}{x}$ શોધો:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{1}{x} = \frac{1}{7 - 4\sqrt{3}} \times \frac{7 + 4\sqrt{3}}{7 + 4\sqrt{3}} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - (16 \times 3)} = \frac{7 + 4\sqrt{3}}{49 - 48} = 7 + 4\sqrt{3}$.
હવે,$x + \frac{1}{x}$ શોધો:
$x + \frac{1}{x} = (7 - 4\sqrt{3}) + (7 + 4\sqrt{3}) = 14$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$.
તેથી,$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (x + \frac{1}{x})^{2} - 2$.
કિંમત મૂકતા:
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = (14)^{2} - 2 = 196 - 2 = 194$.

(A) $\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}=a+b \sqrt{35}$ ને ઉકેલવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(\sqrt{7}+\sqrt{5})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ.
$\frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{7}+\sqrt{5}}{\sqrt{7}+\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{7}+\sqrt{5})^2}{(\sqrt{7})^2-(\sqrt{5})^2}$
$= \frac{7+5+2\sqrt{35}}{7-5}$
$= \frac{12+2\sqrt{35}}{2}$
$= 6+\sqrt{35}$
$6+\sqrt{35}$ ની સરખામણી $a+b\sqrt{35}$ સાથે કરતા,આપણને $a=6$ અને $b=1$ મળે છે.

(N/A) આને ઉકેલવા માટે,આપણે પદાવલિના દરેક પદનું સંમેયીકરણ કરીશું.
પગલું $1$: પ્રથમ પદનું સંમેયીકરણ: $\frac{1}{1+\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}+1} \times \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{2}-1}{2-1} = \sqrt{2}-1$.
પગલું $2$: બીજા પદનું સંમેયીકરણ: $\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{3-2} = \sqrt{3}-\sqrt{2}$.
પગલું $3$: ત્રીજા પદનું સંમેયીકરણ: $\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}} = \frac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\sqrt{4}-\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{4-3} = \sqrt{4}-\sqrt{3} = 2-\sqrt{3}$.
પગલું $4$: પરિણામોનો સરવાળો કરો: $(\sqrt{2}-1) + (\sqrt{3}-\sqrt{2}) + (2-\sqrt{3})$.
પગલું $5$: પદાવલિનું સાદું રૂપ આપો: $\sqrt{2} - 1 + \sqrt{3} - \sqrt{2} + 2 - \sqrt{3} = -1 + 2 = 1$.
આમ,પદાવલિનું મૂલ્ય $1$ થાય છે.

(A) અને $b$ ની કિંમતો શોધવા માટે,આપણે આપેલ પદના છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ:
$\frac{5+3 \sqrt{3}}{7+4 \sqrt{3}} \times \frac{7-4 \sqrt{3}}{7-4 \sqrt{3}}$
$= \frac{(5+3 \sqrt{3})(7-4 \sqrt{3})}{(7)^2 - (4 \sqrt{3})^2}$
$= \frac{35 - 20 \sqrt{3} + 21 \sqrt{3} - 12(3)}{49 - 16(3)}$
$= \frac{35 + \sqrt{3} - 36}{49 - 48}$
$= \frac{-1 + \sqrt{3}}{1}$
$= -1 + 1 \sqrt{3}$
આને $a+b \sqrt{3}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -1$ અને $b = 1$ મળે છે.

(N/A) આપેલ છે કે $x = 2 + \sqrt{3}.$
પ્રથમ,$\frac{1}{x} = \frac{1}{2 + \sqrt{3}}$ શોધો.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{1}{2 + \sqrt{3}} \times \frac{2 - \sqrt{3}}{2 - \sqrt{3}} = \frac{2 - \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 - \sqrt{3}.$
હવે,$x + \frac{1}{x} = (2 + \sqrt{3}) + (2 - \sqrt{3}) = 4.$
$x^{2} + \frac{1}{x^{2}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2$ નો ઉપયોગ કરો.
$4^{2} = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies 16 = x^{2} + \frac{1}{x^{2}} + 2 \implies x^{2} + \frac{1}{x^{2}} = 14.$
$x^{3} + \frac{1}{x^{3}}$ શોધવા માટે,નિત્યસમ $(x + \frac{1}{x})^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(x + \frac{1}{x})$ નો ઉપયોગ કરો.
$4^{3} = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 3(4) \implies 64 = x^{3} + \frac{1}{x^{3}} + 12 \implies x^{3} + \frac{1}{x^{3}} = 52.$
આમ,કિંમતો $14$ અને $52$ છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{8.2}$ દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 8.2 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $C$ એવું બિંદુ લો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 9.2 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ મેળવો. અંતર $AO = OC = 4.6 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OA$ (અથવા $OC$) ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{8.2}$ જેટલી થશે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો. જે બિંદુએ ચાપ સંખ્યા રેખાને છેદે છે,તે બિંદુ $\sqrt{8.2}$ દર્શાવે છે.

(N/A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{5.6}$ દર્શાવવા માટે,નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. સંખ્યા રેખા પર $AB = 5.6 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ દોરો.
$2$. બિંદુ $B$ થી $C$ એવું બિંદુ અંકિત કરો કે જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 6.6 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. અંતર $AO = OC = 3.3 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $3.3 \text{ એકમ}$ ત્રિજ્યા લઈને $A$ અને $C$ માંથી પસાર થતું અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ પર $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{5.6}$ જેટલી છે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો. જે બિંદુએ ચાપ સંખ્યા રેખાને છેદે છે તે $\sqrt{5.6}$ દર્શાવે છે.

(A) સંખ્યા રેખા પર $\sqrt{7.5}$ દર્શાવવા માટે નીચેના પગલાં અનુસરો:
$1$. $7.5 \text{ એકમ}$ લંબાઈનો રેખાખંડ $AB$ દોરો.
$2$. રેખાખંડ $AB$ ને $1 \text{ એકમ}$ લંબાવીને બિંદુ $C$ મેળવો,જેથી $BC = 1 \text{ એકમ}$ થાય. હવે,$AC = 8.5 \text{ એકમ}$ થશે.
$3$. $AC$ નું મધ્યબિંદુ $O$ શોધો. અંતર $AO = OC = 4.25 \text{ એકમ}$ થશે.
$4$. $O$ ને કેન્દ્ર અને $OA$ ને ત્રિજ્યા લઈને એક અર્ધવર્તુળ દોરો.
$5$. બિંદુ $B$ આગળ રેખા $AC$ ને લંબ રેખા દોરો,જે અર્ધવર્તુળને બિંદુ $D$ માં છેદે છે.
$6$. $BD$ ની લંબાઈ $\sqrt{7.5}$ જેટલી થશે.
$7$. $B$ ને કેન્દ્ર અને $BD$ જેટલી ત્રિજ્યા લઈને સંખ્યા રેખા પર એક ચાપ દોરો,જે $\sqrt{7.5}$ દર્શાવતું બિંદુ દર્શાવશે.

(D) $\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(2-\sqrt{2})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરીશું:
$\frac{\sqrt{2}}{2+\sqrt{2}} \times \frac{2-\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{2\sqrt{2} - (\sqrt{2})^2}{2^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{2\sqrt{2} - 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} - 1)}{2} = \sqrt{2} - 1$
આપેલ છે કે $\sqrt{2} = 1.414$,તેથી આ કિંમત મૂકતા:
$1.414 - 1 = 0.414$
આમ,સાચી કિંમત $0.414$ છે.

(A) $\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}$ નું મૂલ્ય શોધવા માટે,આપણે અંશ અને છેદને $(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ વડે ગુણીને છેદનું સંમેયીકરણ કરીએ છીએ.
$\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}} \times \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}$
$= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{3 - 2} = \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{1} = \sqrt{3} - \sqrt{2}$
આપેલ છે કે $\sqrt{3} = 1.732$ અને $\sqrt{2} = 1.414$,આ કિંમતો મૂકતા:
$1.732 - 1.414 = 0.318$
આમ,જવાબ $0.318$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{10} - \sqrt{5}}{2}$
આપણે $\sqrt{10}$ ને $\sqrt{2} \times \sqrt{5}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
તેથી,પદાવલિ આ મુજબ થશે: $\frac{\sqrt{2} \times \sqrt{5} - \sqrt{5}}{2}$
અંશમાંથી $\sqrt{5}$ સામાન્ય લેતા: $\frac{\sqrt{5}(\sqrt{2} - 1)}{2}$
આપેલ કિંમતો $\sqrt{5} = 2.236$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ મૂકતા:
$= \frac{2.236(1.414 - 1)}{2}$
$= \frac{2.236(0.414)}{2}$
$= 1.118 \times 0.414$
$= 0.462852$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $0.463$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{4}{3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2}} + \frac{3}{3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}$
પ્રથમ પદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{4(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2}}{19}$
બીજા પદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{3(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})}{(3 \sqrt{3}+2 \sqrt{2})(3 \sqrt{3}-2 \sqrt{2})} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{27-8} = \frac{9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19}$
બંને પદોનો સરવાળો કરતા: $\frac{12 \sqrt{3}+8 \sqrt{2} + 9 \sqrt{3}-6 \sqrt{2}}{19} = \frac{21 \sqrt{3}+2 \sqrt{2}}{19}$
$\sqrt{3} = 1.732$ અને $\sqrt{2} = 1.414$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{21(1.732) + 2(1.414)}{19} = \frac{36.372 + 2.828}{19} = \frac{39.2}{19} \approx 2.06315...$
ત્રણ દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.063$ મળે છે.

(D) $3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.
આ નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને મળે છે:
$3^{\frac{2}{3}} \cdot 3^{\frac{4}{3}} = 3^{\frac{2}{3} + \frac{4}{3}}$
$= 3^{\frac{2+4}{3}}$
$= 3^{\frac{6}{3}}$
$= 3^2$
$= 9$

(A) $\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $(a^m)^n = a^{m \times n}$.
આ નિયમ લાગુ પાડતા:
$\left(4^{\frac{1}{5}}\right)^{3} = 4^{\frac{1}{5} \times 3}$
$= 4^{\frac{3}{5}}$
આમ,સાદું રૂપ $4^{\frac{3}{5}}$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $\frac{11^{\frac{1}{3}}}{11^{\frac{1}{5}}}$ નું સાદું રૂપ આપવા માટે,આપણે ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.
આ નિયમ લાગુ પાડતા,આપણને $11^{\frac{1}{3} - \frac{1}{5}}$ મળે છે.
ઘાતાંકમાં રહેલા અપૂર્ણાંકોની બાદબાકી કરવા માટે,આપણે સામાન્ય છેદ શોધીએ છીએ,જે $15$ છે.
તેથી,$\frac{1}{3} - \frac{1}{5} = \frac{5}{15} - \frac{3}{15} = \frac{2}{15}$.
આમ,સાદું રૂપ $11^{\frac{2}{15}}$ છે.

(A) ઘાતાંકના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$a^m \cdot b^m = (a \cdot b)^m$.
આપેલ પદાવલિ: $7^{\frac{1}{4}} \cdot 12^{\frac{1}{4}}$.
નિયમ લાગુ પાડતા: $(7 \times 12)^{\frac{1}{4}}$.
ગુણાકાર કરતા: $84^{\frac{1}{4}}$.

(D) $64^{\frac{2}{3}}$ ની કિંમત શોધવા માટે,આપણે પહેલા $64$ ને $2$ અથવા $4$ ના ઘાત તરીકે દર્શાવીએ.
કારણ કે $64 = 4^3$,આપણે પદાવલિને આ રીતે લખી શકીએ:
$64^{\frac{2}{3}} = (4^3)^{\frac{2}{3}}$.
ઘાતાંકના નિયમ $(a^m)^n = a^{m \times n}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$4^{3 \times \frac{2}{3}} = 4^2$.
કિંમતની ગણતરી કરતા,$4^2 = 16$.