Motion of Charged Particle In Magnetic Field Questions in Hindi

(C) जब एक आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में ऐसे वेग के साथ प्रवेश करता है जो चुंबकीय क्षेत्र के साथ एक न्यून कोण $\theta$ (जहाँ $\theta \neq 0^\circ, 90^\circ, 180^\circ$) बनाता है,तो वेग को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है:
$1$. चुंबकीय क्षेत्र के समानांतर घटक $(v_{\parallel} = v \cos \theta)$,जो कण को क्षेत्र रेखाओं के साथ रैखिक रूप से गति कराता है।
$2$. चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत घटक $(v_{\perp} = v \sin \theta)$,जो कण को वृत्ताकार पथ में गति कराता है।
इन दो गतियों के संयोजन से एक हेलिकल (सर्पिल) पथ बनता है। चूंकि चुंबकीय क्षेत्र एकसमान है और कोण $\theta$ स्थिर रहता है,इसलिए हेलिक्स की पिच एकसमान रहती है।

(D) इलेक्ट्रॉन का वेग $\vec{v} = v \hat{i}$ है। इसे $xy$-तल में वामावर्त वृत्ताकार पथ पर गति कराने के लिए,प्रारंभिक चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ धनात्मक $y$-अक्ष की दिशा में (वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर) होना चाहिए।
लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B})$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $q = -e$ (इलेक्ट्रॉन के लिए),हमें प्राप्त होता है:
$\vec{F}_m = -e(v \hat{i} \times \vec{B}) = F_0 \hat{j}$.
इसका अर्थ है कि $(\hat{i} \times \vec{B}) = -\frac{F_0}{ev} \hat{j}$.
चूंकि $\hat{i} \times \hat{k} = \hat{j}$,इसलिए $\hat{i} \times (-\hat{k}) = -\hat{j}$.
अतः,चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऋणात्मक $z$-अक्ष की दिशा में होना चाहिए।

(A) दिया गया है कि सभी कणों के लिए गतिज ऊर्जा $K$ समान है: ${K_p} = {K_d} = {K_\alpha} = K$.
हम द्रव्यमान और आवेश के संबंध जानते हैं: $m_p = m$,$m_d = 2m$,${m_\alpha} = 4m$ और $q_p = e$,$q_d = e$,${q_\alpha} = 2e$.
चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ है।
प्रोटॉन के लिए: ${r_p} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB}$.
ड्यूटेरॉन के लिए: ${r_d} = \frac{\sqrt{2(2m)K}}{eB} = \sqrt{2} \left( \frac{\sqrt{2mK}}{eB} \right) = \sqrt{2} {r_p}$.
$\alpha$-कण के लिए: ${r_\alpha} = \frac{\sqrt{2(4m)K}}{(2e)B} = \frac{2\sqrt{2mK}}{2eB} = \frac{\sqrt{2mK}}{eB} = {r_p}$.
अतः,तुलना करने पर हमें प्राप्त होता है कि ${r_\alpha} = {r_p} < {r_d}$.

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण $v$ वेग के साथ एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ का अनुभव करता है जो अभिकेंद्र बल के रूप में कार्य करता है।
अतः,$qvB = \frac{mv^2}{r}$,जहाँ $r$ वृत्ताकार पथ की त्रिज्या है।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होता है।
आवर्तकाल $T$ एक वृत्ताकार कक्षा को पूरा करने में लगा समय है,जो $T = \frac{2\pi r}{v}$ द्वारा दिया जाता है।
$r$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $T = \frac{2\pi (mv/qB)}{v} = \frac{2\pi m}{qB}$ प्राप्त होता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि आवर्तकाल $T$ केवल द्रव्यमान $m$,आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ पर निर्भर करता है।
यह कण के वेग $v$ से स्वतंत्र है।

(B) गतिमान आवेश पर चुंबकीय बल $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि गति ऊपर की ओर है और क्षेत्र क्षैतिज (दक्षिण से उत्तर) है,इसलिए $\theta = 90^\circ$ और $F = qvB$ होगा।
दी गई गतिज ऊर्जा $K = 200\, MeV = 200 \times 10^6 \times 1.6 \times 10^{-19}\,J = 3.2 \times 10^{-11}\,J$.
$K = \frac{1}{2}mv^2$ से,वेग $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$.
बल के सूत्र में मान रखने पर: $F = qB \sqrt{\frac{2K}{m}}$.
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times 5 \times \sqrt{\frac{2 \times 3.2 \times 10^{-11}}{1.67 \times 10^{-27}}}$.
$F = 8 \times 10^{-19} \times \sqrt{3.83 \times 10^{16}} \approx 1.56 \times 10^{-10}\,N$.
अतः,सही विकल्प $1.6 \times 10^{-10}\,N$ है।

(A) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F_m} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
यहाँ,वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ $+X$-दिशा में है और चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ $-X$-दिशा में है।
अतः,$\overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $\theta = 180^\circ$ है।
चूँकि सदिश गुणनफल $\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B} = vB \sin(180^\circ) = 0$ है,इसलिए चुंबकीय बल $\overrightarrow{F_m}$ शून्य होगा।
अतः,आवेश $X$-दिशा में नियत वेग से गति करना जारी रखेगा और अप्रभावित रहेगा।

(C) चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि संवेग $p = mv$ है,हम व्यंजक को $r = \frac{p}{qB}$ के रूप में लिख सकते हैं।
यह दिया गया है कि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन दोनों का संवेग $p$ समान है और वे समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति कर रहे हैं,इसलिए त्रिज्या केवल आवेश $q$ पर निर्भर करती है।
हालाँकि,इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के आवेश का परिमाण समान होता है $(|q_e| = |q_p| = e)$।
इसलिए,दोनों कणों के लिए पथ की त्रिज्या $r = \frac{p}{eB}$ है,जो दोनों के लिए समान है।
अतः,दोनों पथ समान रूप से मुड़े हुए होंगे।

(C) लोरेंत्ज़ बल के सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ के अनुसार।
यहाँ,वेग $\vec{v}$ पूर्व की ओर है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करने पर,बल $\vec{F}$ क्षैतिज तल में उत्तर दिशा की ओर कार्य करता है।
चूंकि चुंबकीय बल हमेशा कण के वेग के लंबवत होता है,इसलिए यह कण पर कोई कार्य नहीं करता है $(W = \vec{F} \cdot \vec{d} = 0)$।
परिणामस्वरूप,कण की गतिज ऊर्जा और चाल स्थिर रहती है।
एकसमान चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाला कण स्थिर चाल के साथ एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति कर रहे आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
यहाँ,$m$ कण का द्रव्यमान है,$v$ उसका वेग है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि त्रिज्या $r$,कण के वेग $v$ के सीधे समानुपाती होती है $(r \propto v)$।
अतः,यदि कण का वेग बढ़ता है,तो वृत्ताकार पथ की त्रिज्या भी बढ़ जाती है।

(A) जब कोई आवेशित कण एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो उस पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कार्य $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s} = \int \vec{F} \cdot \vec{v} dt = 0$ होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए कण की गतिज ऊर्जा (और इस प्रकार कुल ऊर्जा) स्थिर रहती है।
हालाँकि,चुंबकीय बल के कारण वेग सदिश की दिशा लगातार बदलती रहती है,जिसका अर्थ है कि संवेग $\vec{p} = m\vec{v}$ बदलता है क्योंकि संवेग एक सदिश राशि है।
इसलिए,संवेग बदलता है जबकि कुल ऊर्जा समान रहती है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला लॉरेंज बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = -e$ है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में गति कर रहा है,इसलिए वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण $\theta = 0^\circ$ है।
बल का परिमाण $F = |q|vB \sin \theta$ द्वारा प्राप्त होता है।
$\theta = 0^\circ$ रखने पर,हमें $F = evB \sin(0^\circ) = evB(0) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल शून्य है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र है: $r = \frac{mv}{qB}$।
हमें विशिष्ट आवेश $\frac{q}{m} = 10^{11} \ C/kg$ दिया गया है,जिसका अर्थ है $\frac{m}{q} = \frac{1}{10^{11}} \ kg/C$।
दिए गए मान $v = 10^7 \ m/s$ और $B = 10^{-4} \ T$ हैं।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$r = \left(\frac{m}{q}\right) \times \frac{v}{B} = \left(\frac{1}{10^{11}}\right) \times \frac{10^7}{10^{-4}}$
$r = \frac{10^7}{10^{11} \times 10^{-4}} = \frac{10^7}{10^7} = 1 \ m$।
अतः,त्रिज्या $1 \ m$ है।

(A) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,हमें $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
यह दर्शाता है कि $r \propto \sqrt{K}$ है।
माना प्रारंभिक त्रिज्या $R$ है और ऊर्जा $K$ है,तथा नई त्रिज्या $R_2$ है जब ऊर्जा $2K$ है।
अतः,$\frac{R_2}{R} = \sqrt{\frac{2K}{K}} = \sqrt{2}$।
इसलिए,$R_2 = R\sqrt{2}$ होगा।

(D) जब $q$ आवेश,$m$ द्रव्यमान और $v$ वेग वाला एक आवेशित कण अपनी गति के लंबवत एकसमान चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गति करता है,तो वह चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F = qvB$ का अनुभव करता है।
यह बल वृत्तीय गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $qvB = \frac{mv^2}{r}$।
त्रिज्या $r$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $r = \frac{mv}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि रैखिक संवेग $P = mv$ होता है,इसलिए व्यंजक $r = \frac{P}{qB}$ हो जाता है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि $r$ रैखिक संवेग $P$ के सीधे आनुपातिक है और चुंबकीय क्षेत्र $B$ के व्युत्क्रमानुपाती है।
अतः,कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ सूत्र $F = qvB \sin \theta$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
प्रोटॉन का आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$
वेग $v = 2.5 \times 10^7 \, m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 2.5 \, T$
कोण $\theta = 30^o$
मान रखने पर:
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (2.5 \times 10^7) \times 2.5 \times \sin(30^o)$
$F = (1.6 \times 10^{-19}) \times (6.25 \times 10^7) \times 0.5$
$F = 10 \times 10^{-12} \times 0.5$
$F = 5 \times 10^{-12} \, N$

(B) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में $v$ वेग से गति कर रहे आवेश $q$ पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$,लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(v \times B)$।
परिमाण के रूप में,इसे $F = qvB \sin \theta$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश और चुंबकीय क्षेत्र सदिश के बीच का कोण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि बल आवेश $(q)$,वेग $(v)$,चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ और कोण $(\theta)$ पर निर्भर करता है।
यह कण के द्रव्यमान $(m)$ पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल के सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक है $(q = -e)$।
वेग $\vec{v}$ पूर्व दिशा में है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ ऊपर की दिशा में है।
$\vec{v} \times \vec{B}$ के सदिश गुणनफल के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर: $\vec{v} \times \vec{B}$ की दिशा उत्तर की ओर होती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है,इसलिए बल $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ की दिशा $\vec{v} \times \vec{B}$ के विपरीत होगी।
अतः,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल दक्षिण दिशा में होगा।
वैकल्पिक रूप से,ऋणात्मक आवेश के लिए फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर: तर्जनी उंगली को ऊपर की ओर (चुंबकीय क्षेत्र),मध्यमा उंगली को पश्चिम की ओर (इलेक्ट्रॉन के वेग के विपरीत) रखने पर,अंगूठा दक्षिण दिशा की ओर संकेत करेगा।

(A) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ सूत्र $F = qvB \sin(\theta)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
आवेश $q = 1\,C$
वेग $v = 10\,m/s$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 0.5\,T$
कोण $\theta = 90^\circ$ (चूंकि वेग क्षेत्र के लंबवत है)।
मान रखने पर:
$F = 1 \times 10 \times 0.5 \times \sin(90^\circ)$
$F = 1 \times 10 \times 0.5 \times 1$
$F = 5\,N$.

(D) समान चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए: $r_1 = \frac{mv}{qB}$ है।
अंतिम स्थिति के लिए,गति दोगुनी $(v_2 = 2v)$ और चुंबकीय क्षेत्र आधा $(B_2 = B/2)$ कर दिया गया है।
नई त्रिज्या $r_2 = \frac{m(2v)}{q(B/2)}$ होगी।
इस व्यंजक को सरल करने पर: $r_2 = 4 \times \frac{mv}{qB} = 4r_1$ प्राप्त होता है।
अतः,परिणामी पथ की त्रिज्या $4r$ होगी।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $F$ लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = q(\vec{v} \times \vec{B}) = qvB \sin(\theta)$.
यहाँ,$\theta$ वेग सदिश $\vec{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B}$ के बीच का कोण है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में ही प्रवेश करता है,इसलिए कोण $\theta = 0^\circ$ है।
अतः,चुंबकीय बल $F = qvB \sin(0^\circ) = 0$.
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला कुल बल शून्य है,इसलिए इसके वेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है (परिमाण और दिशा दोनों स्थिर रहते हैं)। इस प्रकार,इलेक्ट्रॉन का वेग अपरिवर्तित रहता है।

(D) जब $m$ द्रव्यमान और $q$ आवेश वाला एक कण $v$ वेग के साथ चुंबकीय क्षेत्र $B$ में लंबवत प्रवेश करता है,तो यह $F = q(v \times B)$ के अनुसार चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल का अनुभव करता है।
चूंकि वेग चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत है,इसलिए बल का परिमाण $F = qvB$ है।
यह चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है,इसलिए $F = mv^2/r$।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $qvB = mv^2/r$।
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = mv/qB$ प्राप्त होता है।

(B) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश ऋणात्मक है $(q = -e)$।
वेग $\vec{v}$ पूर्व की ओर है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ उत्तर की ओर है।
$\vec{v} \times \vec{B}$ के सदिश गुणनफल के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,$\vec{v} \times \vec{B}$ की दिशा ऊर्ध्वाधर ऊपर की ओर (पूर्व से उत्तर की ओर) प्राप्त होती है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश होता है,इसलिए बल $\vec{F} = -e(\vec{v} \times \vec{B})$ की दिशा $\vec{v} \times \vec{B}$ की दिशा के विपरीत होगी।
अतः,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर होगा।

(A) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले आवेशित कण का परिक्रमण काल $T$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$T = \frac{2\pi m}{qB}$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 9.0 \times 10^{-31} \ kg$
आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19} \ C$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 1.0 \times 10^{-4} \ Wb/m^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 9.0 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 1.0 \times 10^{-4}}$
$T = \frac{56.52 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-23}}$
$T = 35.325 \times 10^{-8} \ s \approx 3.5 \times 10^{-7} \ s$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F}$ लोरेंत्ज़ बल सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$.
इसका परिमाण $F = qvB \sin(\theta)$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $\theta$ वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{B}$ के बीच का कोण है।
इस प्रश्न में,इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में ही प्रवेश करता है,जिसका अर्थ है कि कोण $\theta = 0^\circ$ है।
चूंकि $\sin(0^\circ) = 0$ होता है,इसलिए बल $F = qvB \sin(0^\circ) = 0$ होगा।
अतः,इलेक्ट्रॉन पर लगने वाला बल शून्य है।

(A) संयुक्त विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों में गति करने वाले आवेशित कण पर लगने वाला बल लॉरेंट्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$.
चूंकि प्रोटॉन का वेग $\vec{v}$,विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ के समानांतर है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ भी $\vec{E}$ की दिशा में है,इसलिए वेग $\vec{v}$,$\vec{B}$ के भी समानांतर है।
चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ होगा क्योंकि $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ प्रोटॉन पर विद्युत क्षेत्र की दिशा में कार्य करता है,जो उसके प्रारंभिक वेग की दिशा में ही है।
चूंकि गति की दिशा में एक स्थिर बल कार्य कर रहा है,इसलिए प्रोटॉन बढ़ते वेग के साथ उसी दिशा में गति करना जारी रखेगा।

(A) जब कोई आवेशित कण (इलेक्ट्रॉन) एक समान चुंबकीय क्षेत्र $B$ के लंबवत गति करता है,तो वह $F = qvB \sin(90^\circ) = evB$ के बराबर चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल का अनुभव करता है।
यह चुंबकीय बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है,जो $F_c = mv^2 / r$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों बलों को बराबर करने पर: $evB = mv^2 / r$।
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = mv / eB$ या $r = mv / Be$ प्राप्त होता है।

(B) जब कोई आवेशित कण अपने वेग के लंबवत एक समान चुंबकीय क्षेत्र में गति करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ का अनुसरण करता है।
इस वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ होता है।
चूंकि दोनों कणों के लिए आवेश $q$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए $r \propto mv$ होगा।
चित्र से यह स्पष्ट है कि कण $A$ के प्रक्षेप पथ की त्रिज्या,कण $B$ के प्रक्षेप पथ की त्रिज्या से अधिक है,अर्थात $r_A > r_B$ है।
इसलिए,$m_A v_A > m_B v_B$।

(B) एकसमान चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{p}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $p$ संवेग है,$q$ आवेश है और $B$ चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता है।
चूँकि दोनों कणों के लिए त्रिज्या $r$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए संवेग $p$,आवेश $q$ के सीधे आनुपातिक है $(p \propto q)$।
अतः,प्रोटॉन $(p_p)$ और अल्फा कण $(p_\alpha)$ के संवेग का अनुपात $\frac{p_p}{p_\alpha} = \frac{q_p}{q_\alpha}$ होगा।
हम जानते हैं कि प्रोटॉन का आवेश $q_p = e$ है और अल्फा कण का आवेश $q_\alpha = 2e$ है।
इन मानों को रखने पर,हमें $\frac{p_p}{p_\alpha} = \frac{e}{2e} = \frac{1}{2} = 0.5$ प्राप्त होता है।

(C) कण के एकसमान वेग से गति करने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि चुंबकीय बल को कण पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करना चाहिए।
$|F_m| = mg$
चूंकि चुंबकीय बल $F_m = qvB$ द्वारा दिया जाता है (यह मानते हुए कि चुंबकीय क्षेत्र वेग के लंबवत है),हमारे पास है:
$qvB = mg$
$B = \frac{mg}{qv}$
दिया गया है:
$m = 0.6\, g = 0.6 \times 10^{-3}\, kg$
$q = 25\, nC = 25 \times 10^{-9}\, C$
$v = 1.2 \times 10^4\, m/s$
$g = 10\, m/s^2$
मान रखने पर:
$B = \frac{0.6 \times 10^{-3} \times 10}{25 \times 10^{-9} \times 1.2 \times 10^4}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{30 \times 10^{-5}}$
$B = \frac{6 \times 10^{-3}}{0.3 \times 10^{-3}} = \frac{6}{0.3} = 20\, T$
अतः,चुंबकीय प्रेरण का मान $20\, T$ है।

(C) लंबवत चुंबकीय क्षेत्र में गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दोनों कणों के लिए वेग $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{m_{\alpha}}{m_p} \times \frac{q_p}{q_{\alpha}}$ होगा।
$\alpha$-कण के लिए,द्रव्यमान $m_{\alpha} = 4m_p$ और आवेश $q_{\alpha} = 2q_p$ होता है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{r_{\alpha}}{r_p} = \frac{4m_p}{m_p} \times \frac{q_p}{2q_p} = 4 \times \frac{1}{2} = \frac{2}{1}$ प्राप्त होता है।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(B) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
जब चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ गति की दिशा (वेग $\vec{v}$ के समानांतर) में लगाया जाता है,तो $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ या $180^\circ$ होता है।
चूंकि सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B} = vB \sin(\theta)$ होता है,और $\sin(0^\circ) = \sin(180^\circ) = 0$ होता है,इसलिए चुंबकीय बल $\vec{F}$ शून्य हो जाता है।
अतः,गति की दिशा के समानांतर लगाए गए चुंबकीय क्षेत्र से इलेक्ट्रॉन की गति प्रभावित नहीं होती है।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\overrightarrow{F}$ हमेशा वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए चुंबकीय बल द्वारा कण पर किया गया कार्य $W = \int \overrightarrow{F} \cdot d\overrightarrow{s} = \int \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{v} dt = 0$ होता है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,गतिज ऊर्जा में परिवर्तन कुल बल द्वारा किए गए कार्य के बराबर होता है।
चूंकि किया गया कार्य शून्य है,इसलिए गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शून्य है,जिसका अर्थ है कि गतिज ऊर्जा स्थिर रहती है।

(B) जब कोई आवेशित कण $v$ वेग के साथ चुंबकीय क्षेत्र $B$ में क्षेत्र के लंबवत प्रवेश करता है,तो उस पर चुंबकीय लॉरेंज बल $F = q(v \times B)$ कार्य करता है।
यह बल हमेशा वेग और चुंबकीय क्षेत्र दोनों के लंबवत होता है।
चूंकि बल वेग के लंबवत है,यह कण की गति को नहीं बदलता है लेकिन इसकी दिशा को लगातार बदलता रहता है।
यह निरंतर लंबवत बल अभिकेंद्री बल के रूप में कार्य करता है,जिससे कण एक वृत्ताकार पथ में गति करता है।
कैथोड किरणें इलेक्ट्रॉनों (ऋणात्मक रूप से आवेशित कणों) की एक धारा होती हैं,जो लंबवत चुंबकीय क्षेत्र के तहत वृत्ताकार गति के समान सिद्धांत का पालन करती हैं।

(A) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की परिक्रमण आवृत्ति $\nu$ का सूत्र है: $\nu = \frac{qB}{2\pi m}$.
चूंकि चुंबकीय क्षेत्र $B$ स्थिर है और वेग समान है,इसलिए आवृत्ति $\nu$ आवेश-द्रव्यमान अनुपात के सीधे आनुपातिक है: $\nu \propto \frac{q}{m}$.
न्यूनतम आवृत्ति ज्ञात करने के लिए,हमें वह कण खोजना होगा जिसका $\frac{q}{m}$ अनुपात सबसे कम हो।
$Li^+$ के लिए: $q = +1e$,$m \approx 7u$,इसलिए $\frac{q}{m} \approx \frac{1}{7}$.
इलेक्ट्रॉन के लिए: $q = -1e$,$m \approx \frac{1}{1836}u$,इसलिए $\frac{q}{m} \approx 1836$.
प्रोटॉन के लिए: $q = +1e$,$m \approx 1u$,इसलिए $\frac{q}{m} = 1$.
$He^+$ के लिए: $q = +1e$,$m \approx 4u$,इसलिए $\frac{q}{m} = 0.25$.
अनुपातों की तुलना करने पर,$Li^+$ का $\frac{q}{m}$ मान सबसे कम है। अतः,$Li^+$ की परिक्रमण आवृत्ति न्यूनतम होगी।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $v = \sqrt{\frac{2K}{m}}$ होगा।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,$r = \frac{m}{qB} \sqrt{\frac{2K}{m}} = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि सभी आयनों के लिए $K$ और $B$ स्थिर हैं,इसलिए त्रिज्या $r \propto \frac{\sqrt{m}}{q}$ होगी।
$He^+$ आयनों के लिए: $m_1 = 4 \ amu$,$q_1 = 1e$.
$O^{2+}$ आयनों के लिए: $m_2 = 16 \ amu$,$q_2 = 2e$.
त्रिज्याओं का अनुपात: $\frac{r_{He^+}}{r_{O^{2+}}} = \sqrt{\frac{m_1}{m_2}} \times \frac{q_2}{q_1} = \sqrt{\frac{4}{16}} \times \frac{2}{1} = \frac{1}{2} \times 2 = 1$.
अतः,पथ की त्रिज्याएँ समान होने के कारण,सभी आयन समान रूप से विक्षेपित होंगे।

(D) चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार कक्षा में गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mE}$ होता है।
इसे त्रिज्या के सूत्र में रखने पर: $r = \frac{\sqrt{2mE}}{qB}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $m = 9 \times 10^{-31} \, kg$,$E = 7.2 \times 10^{-18} \, J$,$q = 1.6 \times 10^{-19} \, C$,और $B = 9 \times 10^{-5} \, Wb/m^2$.
$r = \frac{\sqrt{2 \times 9 \times 10^{-31} \times 7.2 \times 10^{-18}}}{1.6 \times 10^{-19} \times 9 \times 10^{-5}}$
$r = \frac{\sqrt{129.6 \times 10^{-49}}}{14.4 \times 10^{-24}} = \frac{\sqrt{12.96 \times 10^{-48}}}{14.4 \times 10^{-24}}$
$r = \frac{3.6 \times 10^{-24}}{14.4 \times 10^{-24}} = \frac{3.6}{14.4} = 0.25 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.25 \, m = 25 \, cm$।

(C) जब कोई आवेशित कण विद्युत क्षेत्र $(E)$ और चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ दोनों वाले क्षेत्र से बिना विक्षेपित हुए गुजरता है,तो उस पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य होना चाहिए।
लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
कण के बिना विक्षेपित हुए गुजरने के लिए,$\vec{F} = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B} = 0$,या $E = vB$ (यह मानते हुए कि $\vec{v}$,$\vec{B}$ के लंबवत है)।
अतः,इलेक्ट्रॉन का वेग $v = \frac{E}{B}$ होगा।
यहाँ $E = 20\,N/C$ और $B = 5\,T$ दिया गया है,इसलिए $v = \frac{20}{5} = 4\,m\,s^{-1}$ प्राप्त होता है।

(A) विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ में $v$ वेग से गतिमान $q$ आवेश पर लगने वाला बल लोरेंत्ज़ बल समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$।
चूंकि कण को स्थिर अवस्था से छोड़ा गया है,इसका प्रारंभिक वेग $\vec{v} = 0$ है।
प्रारंभ में,चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ होता है।
विद्युत बल $\vec{F}_e = q\vec{E}$ कण पर कार्य करता है,जिससे यह विद्युत क्षेत्र की दिशा में त्वरित होता है।
जैसे-जैसे कण विद्युत क्षेत्र $\vec{E}$ की दिशा में वेग $\vec{v}$ प्राप्त करता है,और चूंकि $\vec{E}$ और $\vec{B}$ समानांतर हैं,इसलिए वेग $\vec{v}$ हमेशा चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$ के समानांतर रहता है।
अतः,पूरी गति के दौरान चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$ रहता है क्योंकि $\vec{v}$ और $\vec{B}$ के बीच का कोण $0^\circ$ है।
इस प्रकार,विद्युत क्षेत्र के कारण कण एक सीधी रेखा में त्वरित गति करता रहेगा।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण पर लगने वाला चुंबकीय बल $\vec{F}_m = Q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बल $\vec{F}_m$ हमेशा वेग सदिश $\vec{v}$ के लंबवत होता है,इसलिए बल हमेशा वृत्ताकार पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है (अभिकेंद्र बल)।
किया गया कार्य $W$ बल और विस्थापन का अदिश गुणनफल है: $W = \int \vec{F} \cdot d\vec{s}$।
चूंकि चुंबकीय बल $\vec{F}_m$ वृत्ताकार पथ के प्रत्येक बिंदु पर विस्थापन $d\vec{s}$ के लंबवत होता है,इसलिए उनका अदिश गुणनफल $\vec{F}_m \cdot d\vec{s} = F_m ds \cos(90^\circ) = 0$ होता है।
अतः,एक पूर्ण वृत्त में चुंबकीय क्षेत्र द्वारा कण पर किया गया कुल कार्य $0$ है।

(B) कण $x$-अक्ष पर बिना विक्षेपित हुए गति करता है,जिसका अर्थ है कि कण पर कार्य करने वाला कुल लॉरेंट्ज़ बल शून्य है।
लॉरेंट्ज़ बल का सूत्र $\vec{F} = q(\vec{E} + \vec{v} \times \vec{B})$ है।
कण के विक्षेपित न होने के लिए,विद्युत बल और चुंबकीय बल परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होने चाहिए: $q\vec{E} + q(\vec{v} \times \vec{B}) = 0$.
यहाँ $\vec{v} = v\hat{i}$,$\vec{B} = B\hat{j}$,और $\vec{E} = -E\hat{k}$ है।
चुंबकीय बल $\vec{F}_m = q(v\hat{i} \times B\hat{j}) = qvB\hat{k}$ होता है।
विद्युत बल $\vec{F}_e = q(-E\hat{k}) = -qE\hat{k}$ होता है।
दोनों के परिमाणों की तुलना करने पर: $qvB = qE$.
अतः,$B = E/v$.
दिए गए मानों को रखने पर: $B = \frac{10^4}{10} = 10^3 \, Wb/m^2$।

(D) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र में लंबवत प्रवेश करता है,तो वह एक वृत्ताकार पथ पर चलता है।
वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = \frac{mv}{qB}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है,इसलिए $mv = \sqrt{2mK}$ होता है।
इस मान को त्रिज्या के सूत्र में रखने पर,हमें $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ प्राप्त होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन की गतिज ऊर्जा $(K)$ समान है और वे समान चुंबकीय क्षेत्र $(B)$ में प्रवेश करते हैं,इसलिए त्रिज्या $r$ का मान $\frac{\sqrt{m}}{q}$ पर निर्भर करता है।
प्रोटॉन का द्रव्यमान $(m_p)$ इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान $(m_e)$ से बहुत अधिक होता है,इसलिए उनकी त्रिज्याएँ अलग-अलग होंगी।
अतः,दोनों वृत्ताकार पथ का अनुसरण करते हैं,लेकिन अलग-अलग त्रिज्याओं के साथ। इसलिए,विकल्प $A$,$B$,और $C$ गलत हैं,जिससे $D$ सही कथन है।

(C) चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करने वाले आवेशित कण के वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r$ का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
यहाँ विशिष्ट आवेश (आवेश और द्रव्यमान का अनुपात) $\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \text{ C/kg}$ दिया गया है,इसलिए सूत्र को $r = \frac{v}{(q/m)B}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$v = 6 \times 10^7 \text{ m/s}$
$\frac{q}{m} = 1.7 \times 10^{11} \text{ C/kg}$
$B = 1.5 \times 10^{-2} \text{ T}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{(1.7 \times 10^{11}) \times (1.5 \times 10^{-2})}$
$r = \frac{6 \times 10^7}{2.55 \times 10^9}$
$r \approx 2.35 \times 10^{-2} \text{ m}$
सेंटीमीटर में बदलने पर: $r = 2.35 \text{ cm}$.

(D) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल लोरेंत्ज़ बल सूत्र $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन पर ऋणात्मक आवेश $(q = -e)$ है।
वेग $\vec{v}$,$+X$ दिशा में है और चुंबकीय क्षेत्र $\vec{B}$,कागज के तल के अंदर ($-Z$ दिशा) की ओर है।
सदिश गुणनफल $\vec{v} \times \vec{B}$ के लिए दाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर,दिशा $(+X) \times (-Z) = +Y$ प्राप्त होती है।
चूंकि आवेश ऋणात्मक है,इसलिए बल $\vec{F}$ विपरीत दिशा में यानी $-Y$ दिशा में लगेगा।
वैकल्पिक रूप से,फ्लेमिंग के बाएं हाथ के नियम का उपयोग करने पर: तर्जनी उंगली को चुंबकीय क्षेत्र की दिशा में (कागज के अंदर),मध्यमा उंगली को इलेक्ट्रॉन की गति की विपरीत दिशा में (धारा की दिशा,जो $-X$ है) रखने पर,अंगूठा बल की दिशा को दर्शाता है,जो $-Y$ दिशा है।

(C) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले आवेशित कण की त्रिज्या $r = \frac{\sqrt{2mK}}{qB}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$K$ गतिज ऊर्जा है और $q$ कण का आवेश है।
चूंकि दोनों कणों के लिए त्रिज्या $r$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ समान हैं,इसलिए $q \propto \sqrt{mK}$,जिसका अर्थ है $K \propto \frac{q^2}{m}$।
प्रोटॉन के लिए,$q_p = e$ और $m_p = m$ है। अल्फा कण के लिए,$q_{\alpha} = 2e$ और $m_{\alpha} = 4m$ है।
गतिज ऊर्जा का अनुपात लेने पर: $\frac{K_{\alpha}}{K_p} = \left( \frac{q_{\alpha}}{q_p} \right)^2 \times \frac{m_p}{m_{\alpha}}$।
मान रखने पर: $\frac{K_{\alpha}}{8} = \left( \frac{2e}{e} \right)^2 \times \frac{m}{4m} = 4 \times \frac{1}{4} = 1$।
अतः,$K_{\alpha} = 8\, eV$।

(C) चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेशित कण की त्रिज्या का सूत्र $r = \frac{mv}{qB}$ है।
चूंकि गति $v$ और चुंबकीय क्षेत्र $B$ सभी कणों के लिए समान हैं,इसलिए $r \propto \frac{m}{q}$ या $r \propto \frac{1}{(q/m)}$ है।
दिए गए कणों के लिए:
$1$. इलेक्ट्रॉन $(e^-)$: आवेश $q$,द्रव्यमान $m_e$.
$2$. प्रोटॉन $(p^+)$: आवेश $q$,द्रव्यमान $m_p \approx 1836 m_e$.
$3$. ड्यूटेरॉन $(d)$: आवेश $q$,द्रव्यमान $m_d \approx 2 m_p$.
$4$. अल्फा कण $(\alpha)$: आवेश $2q$,द्रव्यमान $m_\alpha \approx 4 m_p$.
आवेश-द्रव्यमान अनुपात $(q/m)$ की तुलना करने पर:
$(q/m)_d = q / (2 m_p) = 0.5 (q/m_p)$
$(q/m)_\alpha = 2q / (4 m_p) = 0.5 (q/m_p)$
चूंकि $(q/m)_d = (q/m)_\alpha$,इसलिए $R_d = R_\alpha$ प्राप्त होता है।

(D) गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय लॉरेंज बल $\vec{F} = q(\vec{v} \times \vec{B})$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,इलेक्ट्रॉन का आवेश $q = -e$ (ऋणात्मक) है।
वेग सदिश $\vec{v} = v \hat{i}$ है और चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\vec{B} = B \hat{j}$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें $\vec{F} = -e(v \hat{i} \times B \hat{j})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\hat{i} \times \hat{j} = \hat{k}$,इसलिए बल $\vec{F} = -evB \hat{k}$ हो जाता है।
अतः,बल ऋणात्मक $z$-दिशा में निर्देशित है।

(D) धारावाही वृत्ताकार कुंडली द्वारा उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्र $\overrightarrow{B}$ उसकी अक्ष पर स्थित सभी बिंदुओं पर अक्ष के अनुदिश होता है।
चूंकि इलेक्ट्रॉन को अक्ष के अनुदिश प्रक्षेपित किया जाता है,इसलिए इसका वेग सदिश $\overrightarrow{v}$ चुंबकीय क्षेत्र सदिश $\overrightarrow{B}$ के समांतर है।
गतिमान आवेश पर लगने वाला चुंबकीय बल $\overrightarrow{F} = q(\overrightarrow{v} \times \overrightarrow{B})$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\overrightarrow{v}$ और $\overrightarrow{B}$ समांतर हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $\theta = 0^o$ या $180^o$ है।
अतः,$\overrightarrow{F} = qvB \sin(\theta) = qvB \sin(0^o) = 0$.
इस प्रकार,इलेक्ट्रॉन पर कोई बल कार्य नहीं करता है।

(D) चुंबकीय क्षेत्र $B$ में गतिमान आवेश $q$ पर कार्य करने वाला चुंबकीय लॉरेंट्ज़ बल $F_m = q(v \times B)$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जिसका परिमाण $F_m = qvB \sin \theta$ होता है।
चूंकि आवेश स्थिर है,इसलिए इसका वेग $v = 0$ है।
सूत्र में $v = 0$ रखने पर,हमें $F_m = q(0)B \sin \theta = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता चाहे कितनी भी अधिक क्यों न हो,एक स्थिर आवेश कोई चुंबकीय बल अनुभव नहीं करता है।

(D) एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वृत्ताकार पथ पर गति करने वाले आवेशित कण का आवर्तकाल $T$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $T = \frac{2\pi m}{qB}$।
दिया गया है:
इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान $m = 9.1 \times 10^{-31}\, kg$
आवेश $q = 1.6 \times 10^{-19}\, C$
चुंबकीय क्षेत्र $B = 3.534 \times 10^{-5}\, T$
मान रखने पर:
$T = \frac{2 \times 3.14 \times 9.1 \times 10^{-31}}{1.6 \times 10^{-19} \times 3.534 \times 10^{-5}}$
$T = \frac{57.148 \times 10^{-31}}{5.6544 \times 10^{-24}}$
$T \approx 10.106 \times 10^{-7}\, s \approx 1 \times 10^{-6}\, s = 1\,\mu s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) जब कोई आवेशित कण चुंबकीय क्षेत्र के लंबवत गति करता है,तो चुंबकीय लोरेंत्ज़ बल वृत्ताकार गति के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है।
चुंबकीय बल को अभिकेंद्री बल के बराबर करने पर:
$qvB = \frac{mv^2}{r}$
इससे,हम वेग $v$ या त्रिज्या $r$ ज्ञात कर सकते हैं:
$v = \frac{qBr}{m}$
एक पूर्ण चक्कर के लिए समय अवधि $T$,परिधि को गति से विभाजित करने पर प्राप्त होती है:
$T = \frac{2\pi r}{v}$
$v$ के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{2\pi r}{(qBr/m)} = \frac{2\pi m}{qB}$
अतः,एक चक्कर पूरा करने में लिया गया समय $\frac{2\pi m}{qB}$ है।